高数期末考试题

第 1 页 往届高等数学期终考题汇编

2021-01-12

一．解答以下各题(6*10分):

1．求极限)1ln(lim10xxex.

22222lnaxxaaxxy,求yd.

3.设3232ttyttx，求22ddxy.

4.判定级数0!12nnnnne的敛散性.

7.03dsinsinxxx.

xxxxf2,02,)(在,上展为以2为周期的付里叶级数，并指出收敛于xf的区间.

0d)4(d2yxxxy的解.

1xy与直线0,2,1yxx所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

二.(8分)将54lnxxf展开为2x的幂级数,并指出其收敛域.

三.(9分)在曲线10sin2xxy上取点10,sin,2aaaA,过点A作平行于ox轴的直线L,由直线L,oy轴与曲线axxy0sin2所围成的图形记为1S,由直线L,直线1x与曲线1sin2xaxy所围成的图形面积记为2S,问a为何值时,21SSS取得最小值.

四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体与空气温度之差成正比,空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间

五.(8分)(学习工科数学分析的做〔1〕，其余的做〔2〕)

〔1〕证明级数02nnxex在),0上一致收敛.

〔2〕求幂级数122121212)1(nnnnxn的收敛域与与函数.

六.(6分)设baCxf,2,试证存在ba,,使bafabbafabdxxf32412 第 2 页 2021．1．15

一．解答以下各题(6*10分):

1.计算极限 xxxexx30sin22lim.

2.设,5arctanlog22xxeyx求yd.

3.设,20;cossin,coslnttttytx求322ddtxy.

4.判定级数123nnnn的敛散性.

8.求函数21,210,1xxxf在2,0上展成以4为周期的正弦级数.

0dd132yyyxxy的通解.

72xy与532xy所围成的图形绕ox轴旋转一周而成的旋转体的体积.

二.(9分)证明:当0x时,有

三.(9分) 设抛物线02abxaxy通过点3,1M,为了使此抛物线与直线xy2所围成的平面图形的面积最小,试确定a与b的值.

四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？

五．〔8分〕求幂级数nnnxnn0!21的收敛域与其与函数.

六.(6分)设函数xf在0x的邻域内有连续的一阶导数,且axxfx0lim0a,

证明:nfnn1111条件收敛.

2007年1月

一. 计算以下各题(6*10分):

1．计算极限xxxexxarctan11lnlim0. 第 3 页 2. 设21arcsinxy, 求yd.

3. 设.01sin.d02yteuexytu求0ddxxy.

4. 判定级数134nnn的敛散性.

5. 计算反常积分11dxxx.

6设21lnxx为xf的原函数, 求xxfxd.

7. 将.2 ,0;20 ,1xxxf展开成以2为周期的傅立叶正弦级数,

并求此级数分别在23x与25x两点的收敛值.

8. 将函数xxfln展开为2x的幂级数,并指出其收敛域.

9求微分方程27121xyyx的通解.

10. 求抛物线25yx与21yx所围图形的面积.

二. (9分) 假设函数.0 ,;0 ,d1cos2xaxxtexfxt在0x点可导. 求a与0f.

三. (9分) 在曲线0xeyx上求一点0,0xex,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积.

四(8分)半径为R的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H为多少

五.(8分)求幂级数11nnxnn的与函数并求出级数1211nnnn的与.

六. (6分) 函数xf在,0上可导, 且10f并满足等式

0d110xttfxxfxf, 求xf并证明.0 1xxfex

2006年1月 第 4 页 一. 计算以下各题(6*10分):

1. 30sintanlimxxxx

2tan21arctanxy, 求yd.

0 ,10 ,2xxxexfx, 求xxfd121.

4. 判定级数212121nnnnn的敛散性.

5. 设xyy由方程yxytan所确定,求y.

7. 将xxf2, ,x展成以2为周期的傅立叶级数.

8. 将函数2312xxxf展成4x的幂级数, 并指出收敛区间.

9. 求微分方程xexyyx43的通解.

10. 设曲线2axy0,0xa与21xy交于点A, 过坐标原点O与点A的直线与曲线2axy围成一个平面图形. 问: 当a为何值时,该图形绕x轴旋转一周所产生的旋转体体积最大

二. (8分) 证明不等式: 当0x时, 1xx, 10.

三. (9分). 设221dxttexf, 求10dxxxf.

四. (9分). 一物体在某一介质中按3ctx作直线运动,介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0x移动到ax时克制阻力所作的功.

五. (9分) 求级数0311nnn的与.

六. (5分). 设0xf, bax,, 证明:

2005年1月15日

一. 解答以下各题〔6×10分〕

1． 计算极限xxxxxexxsin1sinlim0

2． 设1ln211222xxxxy，求yd. 第 5 页 3． 设002 , ,xxbaxxxxxf在0x处可导,求常数a与b.

4． 判定级数1131nnnn的敛散性. 假设收敛,是条件收敛还是绝对收敛

5． 设xyy由方程yeyxy)ln(1所确定,求y.

6． 设xf连续,且满足xttfx103d .求?26f.

7． 求1123223xxxxf的极值.

8． 计算不定积分xxx2ln4d.

9． 计算定积分xxdarctan10.

10． 求由曲线12xy, 直线,0y0x, 1x所围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体的体积.

二. (8分). 试证明不等式2,0x时, 3tan3xxx.

三. (9分) 将函数3212xxxf展成3x的幂级数,并指出收敛区间.

四. (9分) xf在12x的邻域内可导, 且0lim12xfx,22005lim12xfx.

求极限312121212ddlimxtuuftxtx.

五.(8分) 求幂级数nnxnn0!1的收敛域与与函数.

六. (6分) 设xf在1,0上连续, 在1,0内可导, 且10xf,

00f.

证明 xxfdxxfd103210

2004年1月

一、解以下各题

1、10lim,(0,0)2xxxxabab其中 第 6 页 2、设22(sin)xxyxex,求y

3、求不定积分arctanxxdx

4、求不定积分21(1)dxxx

5、求定积分40xedx

6、求由曲线1|ln|,,yxxxee与x轴围成的图形的面积。

7、判定级数541lnnnn的敛散性

8、将20()xtfxedt展开为x的幂级数，并求收敛域。

9、求幂级数1112nnnxn的收敛域与与函数。

10、曲线61,(0)3yxx上哪一点的法线在y轴上的截距最小

二、证明：当02x时，2sinxx

三、设某产品的本钱函数为2Caqbqc，需求函数为1()qdpe，其中C为本钱，q为需求量(也是产量)，p为单价，,,,,abcde都是正常数，且db。求(1)

利润最大时的产量与最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。

四、曲线21xyxx轴旋转一周，得一旋转体，假设把它在0x与之间局部的体积记为()V，试求lim()V

五、设()fx为[,}ab上连续，且()0fx，求证：在(,)ab内存在一点，在4()()5baafxdxfxdx

2003年1月

一、解以下各题

1、011lim1xxxe

2、设()yyx由方程cos()yxyx确定，求y

3、设221sin020axbxyxx在0x点连续，试确定,ab的值