外接球的体积与表面积专题练习-2023届高三数学二轮复习

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2023年高考数学---外接球与内接球问题真题练习（含答案解析）

1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均

在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）

A．1

3 B．1

2 C

．3

3 D

．2

2

【答案】C

【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD

对角线夹角为

， 则2111

sin222

222ABCDSACBDACBDrrr

==

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O

到底面ABCD

所在小圆距离一定时，底面ABCD

面积最大值为2

2r

又设四棱锥的高为

h，则22

rh1+=，

3

222

2222122243

22

333327OABCDrrh

Vrhrrh

−

++

===





当且仅当22

2rh=

即3

3h=时等号成立.

故选：C

[方法二]：统一变量＋基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a

，底面所在圆的半径为r

，

则2

2ra=

，所以该四棱锥的高2

1

2a

h=−，

3

222

2222

231

1444143

442

1(1)()

323442333327aaa

aaaa

Va

++−



=−=−==







(当且仅当22

1

42aa

=−，即24

3a=

时，等号成立)

所以该四棱锥的体积最大时，其高2

23

11

233a

h=−=−=.

故选：C．

[方法三]：利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a

，底面所在圆的半径为r

，2 则2

2ra=

，所以该四棱锥的高2

1

2a

h=−

，2

21

1

32a

Va=−，令2

(02)att=

，3

21

32tVt

=−，

设()3

2

2ttft

=−，则()2

3

2

2t

ftt−

=，

4

0

3t

，()

0ft



，单调递增， 4

2

3t

，()

[学生用书P46]

第1讲 空间几何体的表面积与体积

考点一 空间几何体的表面积和体积

[学生用书P47]

[典型例题]

命题角度1 求空间几何体的表面积

(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(

)

A．64π B．48π

C．36π D．32π

(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．

【解析】 (1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin 60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO21＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.

(2)设正方体的棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1­AB1C为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶3. 【答案】 (1)A (2)1∶3

求几何体的表面积的方法

(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．

命题角度2 求空间几何体的体积

(1)(2020·南充市第一次适应性考试)

如图，在正三棱锥A-BCD中，AB＝BC，E为棱AD的中点．若△BCE的面积为2，则三棱锥A-BCD的体积为( )

A.23 B．33

C.233 D．223

(2)(一题多解)(2020·福建省质量检测)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )

专题13圆锥圆柱圆台模型（解析版）

一、解题技巧归纳总结

1．球内接圆锥

如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R.通常在OCB△中，由勾股定理建立方程来计算R.如图2，当PCCB时，球心在圆锥内部；如图3，当PCCB时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

由图2、图3可知，OChR或Rh，故222()hRrR，所以222hrRh.

2．球内接圆柱

如图，圆柱的底面圆半径为r，高为h，其外接球的半径为R，三者之间满足22()2hrR.

3．球内接圆台

2222222122rrhRrh，其中12,,rrh分别为圆台的上底面、下底面、高.

二、典型例题

例1.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A．3 B．2 C．163 D．以上都不对

【解析】易知该几何体是圆锥，其外接球的球心恰好是正三角形的外心，因而半径为233，

21643sr

故选：C．

例2.半径为4的球中有一个内接圆柱，圆柱的侧面积为163，则圆柱的体积为 .

【解析】如图，设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则22163()162rhhr，

解得432hr，或423hr.

当432hr时，圆柱的体积2163Vrh；

当423hr时，圆柱的体积248Vrh，故答案为163或48.

例3.已知圆台12OO上底面圆1O的半径为2，下底面圆2O的半径为22，圆台的外接球的球心为O，且球心在圆台的轴12OO上，满足12||3||OOOO，则圆台12OO的外接球的表面积为 ．

【解析】设外接球的半径为R，几何体的轴截面如图：

221||2OOR，222||(22)OOR，

创作；朱本晓

2022年元月元日

创作；朱本晓

2022年元月元日 球的体积、外表积

1.1 球的体积

【例1】两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )

A．2 B.2 C.32 D.1234

【解析】设大球半径为r，那么43πr3＝2×4π3，

∴r＝32，应选C.

【评注】球的体积公式为：V=43πr3，设半径列方程求半径即可.

【变式1】利用正方体的对角线长等于其外接球的直径求正方体的棱长

〔2021〕一个正方体的所有顶点在一个球面上. 假设球的体积为92, 那么正方体的棱长为 .

1.3【解析】设球半径为R，球的体积为34932R，

∴R=32，

又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3，那么棱长为3.

【变式2】一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如下图(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，那么该几何体外接球的体积为________．

2.43π【解析】依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，所求外接球的直径就是正方体的体对角线；

∴2R＝23(R为球的半径)，∴R＝3，

∴球的体积V＝43πR3＝43π.

【变式3】利用球截面圆圆心与球心连线与截面垂直的性质求球的半径 创作；朱本晓

2022年元月元日

创作；朱本晓

2022年元月元日 用与球心间隔 为1的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的体积为( )

A.8π3

B.82π3 C．82π D.32π3