大一下高数下册知识点

高等数学下册知识点

第八章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量线性运算

定理1：设向量a≠0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ,使

b＝λa

1、 线性运算：加减法、数乘；

2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；

3、 利用坐标做向量的运算：设),,(zyxaaaa,),,(zyxbbbb；

则 ),,(zzyyxxbabababa, ),,(zyxaaaa；

4、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：222zyxr；

2） 两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,

4） 方向余弦：rzryrxcos ,cos ,cos

5） 投影：cosPraaju,其中为向量a与u的夹角;

（二） 数量积,向量积

1、 数量积：cosbaba

12aaa 2ba0ba

2、 向量积：bac

大小：sinba,方向：cba,,符合右手规则

10aa

2ba//0ba

运算律：反交换律 baab

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：0),,(:zyxfS

2、 旋转曲面：

yoz面上曲线0),(:zyfC,

绕y轴旋转一周：0),(22zxyf

绕z轴旋转一周：0),(22zyxf

3、 柱面：

0),(yxF表示母线平行于z轴,准线为00),(zyxF的柱面

4、 二次曲面

1） 椭圆锥面：22222zbyax

2） 椭球面：1222222czbyax 旋转椭球面：1222222czayax

3） 单叶双曲面：1222222czbyax

4） 双叶双曲面：1222222czbyax

5） 椭圆抛物面：zbyax2222

6） 双曲抛物面马鞍面：zbyax2222

7） 椭圆柱面：12222byax

8） 双曲柱面：12222byax

9） 抛物柱面：ayx2

（四） 空间曲线及其方程

1、 一般方程：0),,(0),,(zyxGzyxF

2、 参数方程：)()()(tzztyytxx,如螺旋线：btztaytaxsincos

3、 空间曲线在坐标面上的投影 0),,(0),,(zyxGzyxF,消去z,得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH

（五） 平面及其方程

1、 点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA

法向量：),,(CBAn,过点),,(000zyx

2、 一般式方程：0DCzByAx

截距式方程：1czbyax

3、 两平面的夹角：),,(1111CBAn,),,(2222CBAn,

4、 点),,(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：

（六） 空间直线及其方程

1、 一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA

2、 对称式点向式方程：pzznyymxx000

方向向量：),,(pnms,过点),,(000zyx

3、 参数式方程：ptzzntyymtxx000

4、 两直线的夹角：),,(1111pnms,),,(2222pnms,

5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,

第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念

1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;

2、 多元函数：1定义：设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集,称映射f：D→R为定义在D上的n元函数;当n≥2时,称为多元函数;记为

U=fx1,x2,…,xn,x1,x2,…,xn∈D;

3、 二次函数的几何意义：由点集D所形成的一张曲面;如z=ax+by+c的图形为一张平面,而z=x2+y2的图形是旋转抛物线;

4、 极限：1定义：设二元函数fp=fx,y的定义域D,p0x0,y0是D的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y∈D∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-AⅠ=Ⅰfx,y-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A为函数fx,y当x,y→x0,y0时的极限,记作

多元函数的连续性与不连续的定义

5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：1在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值；2在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值;

6、 偏导数：设有二元函数z=fx,y,点x0,y0是其定义域D内一点;把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y有增量称为对x/y的偏增量如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y在x0,y0处对x/y的偏导数记作xyxfyxxfyxfxx), (), (lim),(0000000

7、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxyx,y和fyxx,y在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;

8、 方向导数： coscosyfxflf其中,为l的方向角;

9、 全微分：如果函数z=fx, y 在x, y处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y可以表示为△z=A△x+B△y+oρ,其中A、B不依赖于△x, △y,仅与x,y有关,

当Ρ→0,此时称函数z=fx, y在点x,y处可微分,A△x+ B△y称为函数z=fx,

y在点x, y处的全微分,记为

（二） 性质

1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：

微分法

1） 定义： u x

2） 复合函数求导：链式法则 z

若(,),(,),(,)zfuvuuxyvvxy,则 v y

zzuzvxuxvx,zzuzvyuyvy

3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组

（三） 应用 偏导数存在 函数可微

函数连续 偏导数连续

充分条件 必要条件

定义 1 2

2

3 4 1、 极值

1） 无条件极值：求函数),(yxfz的极值

解方程组 00yxff 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00yx,令

),(00yxfAxx,),(00yxfBxy,),(00yxfCyy,

① 若02BAC,0A,函数有极小值,

若02BAC,0A,函数有极大值；

② 若02BAC,函数没有极值；

③ 若02BAC,不定;

2） 条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值

令：),(),(),(yxyxfyxL ——— Lagrange函数

解方程组

0),(00yxLLyx

2、 几何应用

1） 曲线的切线与法平面

曲线)()()(:tzztyytxx,则上一点),,(000zyxM对应参数为0t处的

切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx

法平面方程为：0))(())(())((000000zztzyytyxxtx

2） 曲面的切平面与法线

曲面0),,(:zyxF,则上一点),,(000zyxM处的切平面方程为：

法线方程为：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx

第十章 重积分

（一） 二重积分

1、 定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(

2、 性质：6条

3、 几何意义：曲顶柱体的体积;

4、 计算：

1） 直角坐标

bxaxyxyxD)()(),(21,

dycyxyyxD)()(),(21,

2） 极坐标

（二） 三重积分

1、 定义： nkkkkkvfvzyxf10),,(limd),,(

2、 性质：

3、 计算： 1） 直角坐标

Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),,(ddd),,( -------------“先一后二”

ZDbayxzyxfzvzyxfdd),,(dd),,( -------------“先二后一”

2） 柱面坐标

zzyxsincos,(,,)d(cos,sin,)dddfxyzvfzz

3） 球面坐标

（三） 应用

曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：

第十二章 无穷级数

（一） 常数项级数

1、 定义：

1无穷级数：nnnuuuuu3211

部分和：nnkknuuuuuS3211, 正项级数：1nnu,0nu

交错级数：1)1(nnnu,0nu

2级数收敛：若SSnnlim存在,则称级数1nnu收敛,否则称级数1nnu发散

3绝对收敛：1nnu收敛,则1nnu绝对收敛；

条件收敛：1nnu收敛,而1nnu发散,则1nnu条件收敛;

定理：若级数1nnu绝对收敛,则1nnu必定收敛;

2、 性质：

1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性；

2） 级数1nna与1nnb分别收敛于和s与σ,,则1)(nnnba收敛且,其和为s+σ

3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛；

4） 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;

5） 必要条件：级数1nnu收敛即0limnnu.

3、 审敛法

正项级数：1nnu,0nu

1） 定义：SSnnlim存在；

2） 1nnu收敛nS有界；