初升高数学衔接教材 第01章 第05节 全称量词与存在量词(解析版)

2022-2023新高一初高中衔接假期过关实训课程衔接知识点： 全称量词与存在量词知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（ ）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____．三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x ，使得x 2+2x +3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x 2﹣8x +12＝0有一个根是奇数．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m 取什么实数，方程x 2+x -m =0必有实根.（4）存在一个实数x ，使x 2+x +4≤0.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R ∀∈，210x x ++>；（2）x R ∃∈，210x x -+=；（3）所有的正方形都是矩形.9．若命题“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，求实数a 的取值范围.10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．《全称量词与存在量词》答案及解析知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形答案 C解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形．例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，－2]解析 由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 答案 B解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B. 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0答案 C解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0的否定是“∃x ∈R, 2x 2－1≤0”．过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”.故选：C二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】将问题转化为“不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立”，由此对a 进行分类讨论求解出a 的取值范围.【详解】由题意知：不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立，当0a =时，可得30>，恒成立满足；当0a ≠时，若不等式恒成立则需2016120a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得304a <<， 所以a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.思路点睛：形如()200ax bx c ++<>的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析0a =的情况；（2）再分析0a ≠，并结合∆与0的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 【答案】1k ≤【分析】转化条件为()2max 1k x≤-+，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____． 【答案】20001,04∃∈-+≤x R x x 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可直接写出p ⌝.【详解】 由全称命题的否定为特称命题，已知21:,04∀∈-+>p x R x x ，所以20001:,04⌝∃∈-+≤p x R x x . 故答案为：20001,04∃∈-+≤x R x x .三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【答案】答案见解析【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合全称命题的否定是特称命题、特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）该命题是特称命题，该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为22++=++>23(1)20x x x所以该命题的否定是假命题．（Ⅱ）该命题是全称命题，该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．（Ⅲ）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.【答案】答案见解析.【分析】（1）按全称命题改写，再判断命题真假.（2）按特殊命题改写，再判断命题真假.（3）按全称命题改写，再判断命题真假.（4）按特殊命题改写，再判断命题真假.【详解】（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.（3）∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=212x⎛⎫+⎪⎝⎭+154>0恒成立，所以为假命题.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R∀∈，210x x++>；（2）x R∃∈，210x x-+=；（3）所有的正方形都是矩形.【答案】（1）存在x∈R，210x x++≤，假命题；（2）任意x∈R，210x x-+≠，真命题；（3）至少存在一个正方形不是矩形，假命题.【分析】（1）全称量词改为存在量词，大于改为小于等于；（2）存在量词改为全称量词，等于改为不等于；（3）全称量词改为存在量词，是改为不是.【详解】（1）存在x∈R，210++≤，真假性：假命题.x x（2）任意x∈R，210-+≠，真假性：真命题.x x（3）至少存在一个正方形不是矩形，真假性：假命题.【点睛】关键点点睛：掌握全称量词的否定是存在量词，存在量词的否定是全称量词是解题关键.9．若命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，求实数a的取值范围.x a x-∞-+∞.【答案】(,1)(3,)【分析】根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，x a x则满足2a a a a--=-+>，a∆=-->，即223(3)(1)0(1)40解得1a>，a<-或3-∞-+∞.即实数a的取值范围(,1)(3,)10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）将文字改为符号即可，利用反例知原命题为假；（2）将文字改为符号即可，利用特殊值知原命题为真.【详解】（1）原命题可用符号表示为：x R ∀∈，20x >.当0x =时，20x =，可知原命题为假命题；（2）原命题可用符号表示为：0x Z ∃∈，0y Z ∈，0043x y +=.当03x =，00y =时，0043x y +=，可知原命题为真命题.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．【答案】（1）全称量词命题，p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，假命题；（2）存在量词命题，q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”，真命题．【分析】（1）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；（2）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；【详解】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”， 因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个x ∈R ，使210x x ++=成立， 即p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”， 因为=30∆-<，所以方程210x x ++=无实数解， 此命题为假命题．（2）由于“x R ∃∈”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数x ，都有2350x x ++>成立． 即q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”． 因为=110∆-<，所以对x R ∀∈，2350x x ++>总成立， 此命题是真命题．。

1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。

2020-2021学年高一数学同步题型学案（新教材人教版必修第一册）第一章集合与常用的逻辑用语1．5 全称量词与存在量词【课程标准】1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,并会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题,并能判断其真假．2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．【本节知识点】知识点一　全称量词与全称量词命题全称量词“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”知识点二　存在量词与存在量词命题存在量词“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”知识点三　全称量词命题和存在量词命题的否定(1)全称量词命题的否定对含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M,p(x),它的⌝⌝否定p：∃x∈M,p(x)．　全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题的否定对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论：存在量词命题p：∃x∈M,p(x),它的⌝否定綈p：∀x∈M,p(x)．　存在量词命题的否定是全称量词命题．(3)在书写这两种命题的否定时,相应地存在量词变为全称量词,全称量词变为存在量词．【题型分类】题型一　全称量词命题和存在量词命题的判断题型要点点拨：判断全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词为“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”．(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”．(3)存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词为“有的”等．【例1】下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．存在一个四边形不是平行四边形C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．存在x∈R,2x＋1是奇数【参考答案】C【解析】因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量词,所以选项A、B、D均为存在量词命题,选项C为全称量词命题．【例2】判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题．①凸多边形的外角和等于360°；②矩形的对角线不相等；③若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直．④有些实数a,b能使|a－b|＝|a|＋|b|；⑤方程3x－2y＝10有整数解．【参考答案】见解析【解析】①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称量词命题．②可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称量词命题．③若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题．④含存在量词“有些”,故为存在量词命题．⑤可改写为：存在一对整数x ,y ,使3x －2y ＝10成立．故为存在量词命题．【方法技巧】判断语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称量词命题或存在量词命题．(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题．(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质．【易错提醒】全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略．【同类练习】1．设非空集合P ,Q 满足P ⊆Q,则表述正确的是( )A ．∀x ∈Q,有x ∈PB ．∀x ∈P ,有x ∈QC ．∃x ∉Q,使得x ∈PD ．∃x ∈P ,使得x ∉Q【参考答案】B【解析】：因为P ⊆Q,则由子集的定义知P 集合中的任何一个元素都在Q 中,所以选B.2．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．(1)对任意x ∈{x |x >－1},3x ＋4>0成立；(2)对所有实数a ,b ,方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．【参考答案】见解析【解析】：(1)∀x ∈{x |x >－1},3x ＋4>0.(2)∀a ,b ∈R,方程ax ＋b ＝0恰有一解．(3)∃x ∈Z,x 既能被2整除,又能被3整除．(4)∃x ∈{y |y 是四边形},x 不是平行四边形．题型二、全称量词命题与存在量词命题真假判断【例3】（多选题）在下列命题中,真命题有（ ）A ．,x R ∃∈230x x ++=B ．,是有理数x Q ∀∈211132x x ++C ．,使,x y Z ∃∈3210x y -=D ．,x R ∀∈2||x x >E.命题“,”的否定是“,”x R ∀∈3210x x -+≤x R ∃∈3210x x -+>【参考答案】BCE【解析】A 中,,故A 是假命题；B 中,,一221113024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭x Q ∈211132x x ++定是有理数,故B 是真命题；C 中,,时,成立,故C 是真命题；4x =1y =3210x y -=对于D,当时,左边=右边=0,故D 为假命题；E 命题否定的形式正确,故为真命题．0x =【方法技巧】全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧(1)全称量词命题的真假判定要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M 中的一个x ,使得p (x )不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)存在量词命题的真假判定要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M 中,找到一个x ,使p (x )成立即可；否则,这一存在量词命题就是假命题．【同类练习】1．有下列四个命题：①∀x ∈R,＋1>0；x 2②∀x ∈{1,－1,0},2x ＋1＞0；③∃x ∈N,x 2≤x ；④∃x ∈N *,x 为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【参考答案】　C【解析】对于①,这是全称量词命题,因为≥0对任意实数都成立,所以＋1>0,故①为真x 2x 2命题；对于②,这是全称量词命题,因为当x＝－1时,2x＋1＞0不成立,故②为假命题；对于③,这是存在量词命题,当x＝0或x＝1时,有x2≤x成立,故③为真命题；对于④,这是存在量词命题,当x ＝1时,x为29的约数成立,所以④为真命题．2.下列结论中正确的是( )A．∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命题【参考答案】C【解析】：当n＝1时,2n2＋5n＋2不能被2整除,当n＝2时,2n2＋5n＋2能被2整除,所以A、B、D错误,C项正确．故选C.题型三、　含有一个量词的命题的否定【例4】写出下列命题的否定,并判断其真假．(1)p：∀x,y∈N,x－y∈N；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)s：至少有一个实数x,使x3＋1＝0.【参考答案】见解析⌝【解析】　(1)p：∃x,y∈N,x－y∉N,真命题,因为当x＝2,y＝4时,x－y＝－2∉N.⌝(2)q：至少存在一个正方形不是矩形,假命题．⌝(3)s：∀x∈R,x3＋1≠0,假命题,因为x＝－1时,x3＋1＝0.【方法技巧】全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词, 同时否定结论．(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定． 【同类练习】1．写出下列命题的否定．(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)有些质数是奇数．【参考答案】见解析【解析】：(1)有些自然数的平方不是正数．(2)存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(3)所有的质数都不是奇数．2．判断下列命题的真假,并写出它们的否定．(1)对任意x∈R,x3－x2＋1≤0；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)每个二次函数的图象都开口向下．【参考答案】见解析【解析】：(1)当x＝2时,23－22＋1＝5＞0,故(1)是假命题．命题的否定：存在x∈R,x3－x2＋1＞0.(2)10能被5整除,10是偶数,故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)每个二次函数的图象都开口向下,是全称量词命题,是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．【本节同步分层练习】一、夯实基础1．命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )A．对任意实数x,都有x>1　B．不存在实数x,使x≤1C．对任意实数x,都有x≤1D．存在实数x,使x≤1【参考答案】C【解析】：由存在量词命题的否定为全称量词命题可知,原命题的否定为：对于任意的实数x,都有x≤1.2.（多选题）下列命题中,是全称量词命题的有（）A ．至少有一个x 使成立B ．对任意的x 都有成立2210x x ++=2210x x ++=C ．对任意的x 都有不成立D ．存在x 使成立2210x x ++=2210x x ++=E.矩形的对角线垂直平分【参考答案】BCE【解析】A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”,属存在量词命题；B 和C 用的是全称量词“任意的”,属全称量词命题,所以B 、C 是全称量词命题；E 中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”,是全称量词命题.3．下列命题中为存在量词命题的是( )A ．所有的整数都是有理数B ．每个三角形至少有两个锐角C ．有些三角形是等腰三角形D ．正方形都是菱形【参考答案】C【解析】：　A 、B 、D 为全称量词命题,C 中含有存在量词“有些”,故为存在量词命题．4．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．∀x ∈R,2x ＋1>0B ．若2x 为偶数,则∀x ∈NC ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数【参考答案】C【解析】：对A,是全称量词命题,但不是真命题,故A 不正确；对B,是真命题,但不是全称量词命题,故B 不正确；对C,是全称量词命题,也是真命题,故C 正确；对D,是真命题,但不是全称量词命题,故D 不正确,故选C.5．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【参考答案】D【解析】：原命题是全称量词命题,其否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．6．命题p：∃m∈R,方程x2＋mx＋1＝0有实根,则綈p是( )A．∃m∈R,方程x2＋mx＋1＝0无实根B．∀m∈R,方程x2＋mx＋1＝0无实根C．不存在实数m,使方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m,使方程x2＋mx＋1＝0有实根【参考答案】B【解析】：存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题p：∃m∈R,方程x2＋mx＋1＝0有实根的否定为“∀m∈R,方程x2＋mx＋1＝0无实根”．7．已知命题p：∃x>0,x＋a－1＝0,若p为假命题,则a的取值范围是( )A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}C．{a|a>1}D．{a|a≤－1}【参考答案】B【解析】：　∵p为假命题,∴p为真命题,即：∀x>0,x＋a－1≠0,即x≠1－a,∴1－a≤0,则a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1},故选B.8.若命题“∃x∈R,x2－4x＋a＝0”为假命题,则实数a的取值范围是________．【参考答案】：{a|a>4}【解析】：∵命题∃x∈R,x2－4x＋a＝0为假命题,∴方程x2－4x＋a＝0没有实数根,则Δ＝(－4)2－4a<0,解得a>4.9.下列四个命题：①有些不相似的三角形面积相等；②∃x∈Q,x2＝2；③∃x∈R,x2＋1＝0；④有一个实数的倒数是它本身．其中真命题的个数为________．【参考答案】：2【解析】：只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似,∴①为真命题．当且仅当x ＝±时,x 2＝2,∴不存在x ∈Q,使得x 2＝2,∴②为假命题．对∀x ∈R,x 2＋1≠0,∴③为假命2题．④中1的倒数是它本身,∴④为真命题．∴①④均为真命题．10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假．(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除；(3)∀x ∈{x |x ＞0},x ＋＞2.1x 【参考答案】见解析【解析】：(1)命题中隐含了全称量词“所有的”,因此命题应为“所有的有理数都是实数”,是全称量词命题,且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称量词命题,且为假命题,当x ＝1时,x ＋＝2.1x 二、能力提升1.命题“对任意的,”的否定是（ ）x ∈R 323240x x -+<A ．不存在,B ．存在,x ∈R 323240x x -+≥x ∉R 333240x x -+≥C ．存在,D ．存在,,x ∈R 323240x x -+≥x ∈R 323240x x -+<【参考答案】C【解析】命题“对任意的,”是全称命题,否定时将量词对任意的实数x ∈R 323240x x -+<变为存在,再将不等号变为即可,即存在,,故选:.x ∈R x ∈R <≥x ∈R 323240x x -+≥C 2．命题“任意的,”的否定是（ ）0x >01xx >-A ．存在,B ．存在,0x <01x x ≤-0x >01xx ≤-C ．任意的,D ．任意的,0x >01x x ≤-0x <01xx >-【参考答案】B【解析】因为命题“任意的,”,所以否定是：存在,.0x >01xx >-0x >01xx ≤-3.已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是( )x R ∃∈212(1)02x a x +-+≤a A ．B ．(,1)-∞-(1,3)-C ．D ．(3,)-+∞(3,1)-【参考答案】B【解析】因为命题“,使”是假命题,所以x R ∃∈212(1)02x a x +-+≤212(1)02x a x +-+>恒成立,所以,解得,故实数的取值范围是．2()114202a ∆=--⨯⨯<13a -<<a (1,3)-4.（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．命题“,”的否定是“,”x ∀∈R 21x >-x ∃∈R 21x <-B ．命题“,”的否定是“,”(3,)x ∃∈-+∞29x ≤(3,)x ∀∈-+∞29x >C ．“”是“”的必要而不充分条件22x y >x y >D ．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件0m <x 2x 2x m 0-+=【参考答案】BD【解析】A.命题“,”的否定是“,”,故错误；x ∀∈R 21x >-x ∃∈R 21x ≤-B.命题“,”的否定是“,”,正确；(3,)x ∃∈-+∞29x ≤(3,)x ∀∈-+∞29x >C.,不能推出,也不能推出,所以“”是“22x y x y >⇔>x y >x y >x y >x y >22x y >”的既不充分也不必要条件,故错误；x y >D.关于的方程有一正一负根,所以“”是“关于x 2x 2x m 0-+=4400m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩0m <x的方程有一正一负根”的充要条件,正确,2x 2x m 0-+=5．（多选题）下列命题的否定中,是全称命题且是真命题的是（ ）A ．B ．所有正方形都是矩形21,04x R x x ∃∈-+<C ．D ．至少有一个实数x ,使2,220x R x x ∃∈++=310x +=【参考答案】AC【解析】由题意可知：原命题为特称命题且为假命题.选项A. 原命题为特称命题,,所以原命题为假命题,所以选项A 满足条2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭件.选项B. 原命题是全称命题,所以选项B 不满足条件.选项C. 原命题为特称命题,在方程中,所以方程无实数根,所以原命题为假命题,所以选项C 满足条2220x x ++=4420∆=-⨯<件.选项D. 当时,命题成立. 所以原命题为真命题,所以选项D 不满足条件.1x =-6.某中学开展小组合作学习模式,高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R,x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题,求m 的范围．小李略加思索,反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R,x 2＋2x ＋m >0”是真命题,求m 的范围．你认为,两位同学题中m 的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)【参考答案】：是【解析】：∵命题“∃x ∈R,x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R,x 2＋2x ＋m >0”．而命题“∃x ∈R,x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题,则其否定“∀x ∈R,x 2＋2x ＋m >0”为真命题．∴两位同学题中m 的范围是一致的．7．下列命题：①存在x <0,x 2－2x －3＝0；②对一切实数x <0,都有|x |>x ；③∀x ∈R,＝x ；x 2④已知a n ＝2n ,b m ＝3m ,对于任意n ,m ∈N *,a n ≠b m .其中,所有真命题的序号为________．【参考答案】：①②【解析】：因为x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或3,所以存在x ＝－1<0,使x 2－2x －3＝0,故①为真命题；②显然为真命题；③＝|x |＝Error!故③为假命题；x 2④当n ＝3,m ＝2时,a 3＝b 2,故④为假命题．8．若命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题,则实数a 的取值范围是________．【参考答案】a ≤98【解析】因为命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题,所以其否定“∃x ∈R,2x 2＋3x ＋a ＝0”是真命题,所以Δ＝32－4×2×a ≥0,解得a ≤.故实数a 的取值范围是a ≤.98989．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.（1）∀x ∈N ,2x ＋1是奇数；（2）存在一个x ∈R ,使＝0；11x -（3）对任意实数a ,|a |＞0；【解析】（1）是全称量词命题.因为都是奇数,所以该命题是真命题.,21x N x ∀∈+（2）是存在量词命题.因为不存在,使成立,所以该命题是假命题.x ∈R 11x =-（3）是全称量词命题.因为,所以不都成立,因此,该命题是假命题.00=||0a >10．写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）；2,10x x x ∀∈++>R （3）平行四边形的对边相等；（4）．2,10x x x ∃∈-+=R 【解析】（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题,所以其否定是“有的人不晨练”．（2）因为命题“”是全称命题,所以其否“”．2,10x x x ∀∈++>R 2,10x x x ∃∈++≤R （3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等,是一个全称命题,所以它的否定是“存在平行四边形,它的对边不相等”．（4）因为命题“”是特称命题,所以其否“”．2,10x x x ∃∈-+=R 2,10x x x ∀∈-+≠R 三、挑战高考1.a,b,c为实数,且a＝b＋c＋1,证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0,x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．【证明】　要证明结论的否定：两个方程都没有两个不相等的实数根,则有：Δ1＝1－4b≤0,Δ2＝a2－4c≤0.所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0.因为a＝b＋c＋1,所以b＋c＝a－1.所以1－4(a－1)＋a2≤0,即a2－4a＋5≤0.但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋1>0,故矛盾．所以要证明结论的否定是假命题,要证明的结论为真命题,即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0,x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．10．已知命题p：∀x∈R,2x≠－x2＋m,命题q：∃x∈R,x2＋2x－m－1＝0,若命题p为假命题,命题q为真命题,求实数m的取值范围．【参考答案】m≥－1【解析】　因为命题p为假命题,所以命题p的否定为真命题,即命题“∃x∈R,2x＝－x2＋m”为真命题．则－x2－2x＋m＝0有实根．所以Δ＝4＋4m≥0,所以m≥－1.若命题q：∃x∈R,x2＋2x－m－1＝0为真命题,则方程x2＋2x－m－1＝0有实根,所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0,所以m≥－2.所以m≥－1且m≥－2,所以m的取值范围为m≥－1.。

专题05预备知识五：全称量词与存在量词1、理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系对点特训一：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（）①x ∀∈R ，220x +>；②4,1x x ∀∈≥N ；③3,1x x ∃∈<Z ；④2,3x x ∃∈=Q ．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.【详解】x ∀∈R ，2220x +≥>，①正确；当0x =时，401x =<，②错误；1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“0x ∃>，230x -<”的否定是（）A．0x ∃≤，230x -<B．0x ∃>，230x -≥C．0x ∀≤，230x -<D．0x ∀>，230x -≥【答案】D【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】命题“0x ∃>，230x -<”为存在量词命题，其否定为：0x ∀>，230x -≥.故选：D2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知命题p ：x ∀∈R ，3210x x +->，则p ⌝为（）A．0x ∃∈R ，300210x x +-≤B．0x ∃∈R ，300210x x +-<C．x ∀∈R ，3210x x +-≤D．x ∀∈R ，3210x x +-<【答案】A【分析】在给命题取否定时，需要将任意量词和存在量词互相转换，并对结论取否定.【详解】将原命题的任意量词x ∀∈R 换成存在量词0x ∃∈R ，结论中的“0>”换成“0≤”就得到原命题的否定p ⌝为：0x ∃∈R ，300210x x +-≤，从而A 正确.故选：A对点特训三：根据全称（特称）命题的真假求参数典型例题例题1．（22-23高三上·山东淄博·阶段练习）若命题p ：“0x ∀>，240x ax -+≥”是真命题，则实数a 的取值范围是（）1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则a 的取值范围为（）A．012a a <>或B．012a a ≤>或C．012a <<D．012a ≤<【答案】D【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得a 的取值范围.【详解】若命题“2R,2120x ax ax ∀∈-+>”是真命题，则当0a =时，不等式为120>对R x ∀∈恒成立；故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，则实数m 的一个可能取值为.【答案】0（答案不唯一）【分析】由题意得2250x x m +-=有解，再根据一元二次方程根的判别式即可得解.【详解】因为命题“x ∀∈R ，使2250x x m +-≠”是假命题，所以命题“x ∃∈R ，使2250x x m +-=”是真命题，即方程2250x x m +-=有解，所以()2Δ5420m =-⨯⨯-≥，得258m ≥-，故实数m 的一个可能取值为0（满足258m ≥-即可）．故答案为：0（答案不唯一）.6．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“x ∃∈R ，使得220x x m -+=”是真命题，则实数m 的取值范围为．【答案】(],1-∞【分析】原命题转化为“方程220x x m -+=有实数解”，再由0∆≥可求实数m 的取值范围.【详解】若命题“R x ∃∈，使得220x x m -+=”是真命题，也就是“方程220x x m -+=有实数解”，∴0∆≥⇒440m -≥⇒1m ≤.故答案为：(],1-∞一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）命题“x ∀∈Z ，20x ≥”的否定是（）A．x ∃∈Z ，20x ≥B．x ∃∉Z ，20x ≤C．x ∃∈Z ，20x <D．x ∃∉Z ，20x <【答案】C【分析】根据命题“x M ∀∈，()p x ”的否定是“x M ∃∈，()p x ⌝”直接得出结果.【详解】命题“x ∀∈Z ，20x ≥”的否定是“x ∃∈Z ，20x <”．故选：C．2．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“1x ∃≥，10x +≥”的否定是（）A．1x ∀≥，10x +<B．1x ∃≥，10x +<。

第一章集合与逻辑用语1.5 全称量词与存在量词【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的含义2.能用数学符号表示含有量词的命题，并能判断命题的真假3.能正确使用量词对全称量词命题与存在量词命题进行否定【知识网络详解】知识点一：全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题1.全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题知识点二：命题的否定1.命题否定的含义（1）定义：将一个命题的否定替换为原来结论的反面，条件不变，得到一个新的命题，这个命题就是原来命题的否定。

如原来的命题为p：若s，则t，则它原命题的否定若⌝，则:。

sp⌝t（2）性质：一个命题与它的否定只能是一真一假。

2.全称量词命题与存在量词命题的否定【考向详析】题型一：全称量词命题与存在量词命题的辨析例1.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：(1)实数都能写成小数形式． (2)有的有理数没有倒数． (3)不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根． (4)存在一个实数x ，使x 2＋x ＋4≤0.例2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)负数没有对数; (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)∀x ∈{x|x 是无理数},2x 是无理数; (4) y y x |{∈∃是无理数}，2x 是无理数.【练习】1.量词符号“∀，∃”表示下列命题： (1)有的实数不能写成小数形式：________； (2)凸n 边形的外角和等于2π：________． 题型二：全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例1.判断下列命题的真假1.所有的素数都是奇数；2.;11||,≥+∈∀x R x3.有一个实数x ，使;0322=++x x4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。

【练习】1.下列命题是真命题的为( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1＜0B ．∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，nm ＝mC ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得1x 2－2x ＋3 ＝342.设语句()x x x q -=-11:。

高一全称量词和存在量词知识点一、全称量词与全称命题。

1. 全称量词。

- 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。

- 例如：“所有的正方形都是矩形”，这里“所有的”就是全称量词。

2. 全称命题。

- 定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题。

- 一般形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可记为∀x∈M，p(x)。

- 例如：∀x∈R，x²≥0。

这个命题表示对于实数集R中的任意一个数x，x的平方都大于等于0。

3. 判断全称命题的真假。

- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。

- 例如：判断命题“∀x∈Z，x²≥0”的真假。

因为整数集中的任何一个整数的平方都大于等于0，所以这个全称命题是真命题。

- 要判断全称命题∀x∈M，p(x)是假命题，只需在集合M中找到一个元素x₀，使得p(x₀)不成立即可。

- 例如：命题“∀x∈R，x > 0”是假命题，因为当x = 0时，0不大于0，即在实数集中找到了一个反例。

二、存在量词与特称命题。

1. 存在量词。

- 定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。

- 例如：“存在一个实数x，使得x²=2”，这里“存在一个”就是存在量词。

2. 特称命题。

- 定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题。

- 一般形式：存在M中的元素x₀，使p(x₀)成立，可记为∃x₀∈M，p(x₀)。

- 例如：∃x₀∈R，使得x₀²+1 = 0。

（这个命题实际上是假命题，但它是一个特称命题的形式）3. 判断特称命题的真假。

- 要判断特称命题∃x₀∈M，p(x₀)是真命题，只需在集合M中找到一个元素x ₀，使得p(x₀)成立即可。

- 例如：判断命题“∃x₀∈R，x₀² = 4”的真假。

当x₀ = 2或x₀=- 2时，x₀² = 4，所以在实数集中找到了满足条件的元素，这个特称命题是真命题。

第05讲全称量词与存在量词【人教A版2019】·模块一全称量词与存在量词·模块二全称量词命题与存在量词命题的否定·模块三命题的否定与原命题的真假·模块四课后作业1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【解题思路】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答过程】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【例1.2】（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）下列是存在量词命题且是假命题的是（）A．∃∈Z,2>2B．∀∈R,2>0C．∃s∈R,2+2<0D．∀∈R,2∈N【解题思路】根据存在量词命题和假命题特征判断即可．【解答过程】A为真命题；B和D为全称量词命题；因为s∈R，所以2≥0，2≥0，故2+2≥0，故C为假命题故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是（）A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2B．∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2C．∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2【解题思路】根据全称量词命题的概念，改写命题，即可得答案.【解答过程】命题对应的全称量词命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.故选：D.【变式1.2】（2023秋·广东揭阳·高一统考期末）关于命题“∃∈，2+2=0”，下列判断正确的是（）A．该命题是全称量词命题，且是真命题B．该命题是存在量词命题，且是真命题C．该命题是全称量词命题，且是假命题D．该命题是存在量词命题，且是假命题【解题思路】根据存在量词命题的定义及取=0可判断.【解答过程】该命题是存在量词命题，当=0时，2+2=0，所以该命题为真命题.故选:B.【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假】【例2.1】（2023秋·湖北武汉·高一校考期末）下列命题中不正确的是（）A．对于任意的实数，二次函数=2+的图象关于轴对称B．存在一个无理数，它的立方是无理数C．存在整数、，使得2+4=5D．每个正方形都是平行四边形【解题思路】利用二次函数的对称性可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；分析可知2+4为偶数，可判断C选项；利用正方形与平行四边形的关系可判断D选项.【解答过程】对于A选项，对于任意的实数，二次函数=2+图象的对称轴为轴，A对；对于B选项，无理数62的立方为2，且2为无理数，B对；对于C选项，若、为整数，则2、4均为偶数，所以，2+4也为偶数，则2+4=5不成立，C错；对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对.故选：C.【例2.2】（2023·高一课时练习）能说明全称量词命题“∀∈R,2−3+2=0”为假命题的例子是（）A．=0B．=1C．=2D．=3【解题思路】求出方程的根，即可判断.【解答过程】因为2−3+2=0，即−2−1=0，解得=0或=1或=2，所以当≠0且≠1且≠2时均能说明全称量词命题“∀∈R,2−3+2=0”为假命题，故符合题意的为D.故选：D.【变式2.1】（2023·河北·模拟预测）命题：∀>1，+2−3>0，命题：∃∈，22−4+3=0，则（）A．真真B．假假C．假真D．真假【解题思路】对于命题：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题：根据存在命题结合二次函数的Δ判别式分析判断.【解答过程】对于命题：令=>1，则=+22−3=22+−3开口向上，对称轴为=−14，且U J1=0，则=22+−3>0，所以∀>1，+2−3>0，即命题为真命题；对于命题：因为Δ=−42−4×2×3=−8<0，所以方程22−4+3=0无解，即命题为假命题；故选：D.【变式2.2】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）下列命题为真命题的是（）A ．∀∈s 2+3<0B ．∀∈s 2≥1C ．∃∈s 5<1D ．∃∈s 2=5【解题思路】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.【解答过程】对于A ，因为2≥0，所以∀∈s 2+3≥3，A 错误；对于B ，当=0时，2<1，B 错误；对于C ，当=0时，5<1，C 正确；由2=5可得=±5均为无理数，故D 错误，故选:C.1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题与存在量词命题的否定】【例1.1】（2023春·甘肃张掖·高一校考阶段练习）命题：“∀∈，2−+2≥0”的否定是（）A．∀∉R，2−+2≥0B．∃∉R，2−+2≥0C．∃∈，2−+2<0D．∀∈，2−+2<0【解题思路】根据全称量词的否定是存在量词可得结果.【解答过程】命题：“∀∈，2−+2≥0”的否定是∃∈，2−+2<0.故选：C.【例1.2】（2023·高一课时练习）若命题p的否定为：∃<1,2<1，则命题p为（）A．∀<1,2<1B．∀<1,2≥1C．∀≥1,2≥1D．∀≥1,2<1【解题思路】利用含有量词的否定方法进行求解.【解答过程】因为命题p的否定为：∃<1,2<1，所以命题p为：∀<1,2≥1.故选：B.【变式1.1】（2023·高一课时练习）命题“∃∈R,2+1<0”的否定是（）A．∀∈R,2+1<0B．∀∈R,2+1≥0C．∃∈R,2+1>0D．∃∈R,2+1≥0【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题即可求出结果.【解答过程】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题：“∃∈s2+1<0”的否定是”∀∈s2+ 1≥0”，故选：B.【变式1.2】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知命题G∃∈0,+∞，2+−2>0，则¬（）A．∀∈0,+∞，2+−2≤0B．∀∈−∞,0，2+−2≤0C．∃∈0,+∞，2+−2≤0D．∃∈−∞,0，2+−2≤0【解题思路】利用特称命题的否定形式即可判断选项.【解答过程】解：命题的否定为：∀∈[0,+∞)，2+−2≤0.故选：A．1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2.命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【考点1命题否定的真假判断】【例1.1】（2023秋·河南周口·高一校考期末）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x-3>x；(3)∀x∈R，有x+1=2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解题思路】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀x∈R，有4x-3≤x．因为当x=2时，4×2-3=5>2，所以“∀x∈R，有4x-3≤x”是假命题．（3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x=2时，x+1=2+1=3≠2×2，所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题．（4）命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．【例1.2】（2023·高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）∀∈，2++1>0；（2）∃∈，2−+1=0；（3）所有的正方形都是矩形.【解题思路】（1）全称量词改为存在量词，大于改为小于等于；（2）存在量词改为全称量词，等于改为不等于；（3）全称量词改为存在量词，是改为不是.【解答过程】（1）存在∈，2++1≤0，真假性：假命题.（2）任意∈，2−+1≠0，真假性：真命题.（3）至少存在一个正方形不是矩形，真假性：假命题.【变式1.1】（2022秋·广东梅州·高一校考阶段练习）写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃∈R，使4−3>；(3)∀∈R，有+1=2.【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明4−3≤不成立;对(3)举例说明+1≠2成立.【解答过程】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：∀∈R，有4−3≤．因为当=2时，4×2−3=5>2，所以“∀∈R，有4−3≤”是假命题．（3）命题的否定：∃∈R，使+1≠2．因为当=2时，+1=2+1=3≠2×2，所以“∃∈R，使+1≠2”是真命题．【变式1.2】（2023·高一课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假．（1）有些素数是奇数；（2）所有的矩形都是平行四边形；（3）不论m取何实数，方程2+2−=0都有实数根；（4）∃∈，2+2+5>0．【解题思路】根据特称命题与全称命题的否定依次书写每个命题的否定并判断真假即可.【解答过程】解：（1）所有素数都不是奇数，假命题；（2）有些矩形不是平行四边形，假命题；（3）存在实数m，使得方程2+2−=0没有实数根，真命题；（4）∀∈，2+2+5≤0，假命题．【考点2根据命题的真假求参数】【例2.1】（2023春·湖南长沙·高一校考阶段练习）若命题“∀∈s2−4+≠0”为假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,4B．−∞,4C．−∞,−4D．−4,+∞【解题思路】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案.【解答过程】命题“∀∈s2−4+≠0”为假命题，∴“∃0∈s02−40+=0”是真命题，∴方程2−4+=0有实数根，则Δ=(−4)2−4≥0，解得≤4，故选：A.【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃∈−1,3，2−2−≤0”为真命题，则实数可取的最小整数值是（）A．−1B．0C．1D．3【解题思路】参变分离后，令新函数ℎ=2−2，转化为求函数ℎ的最小值，利用二次函数性质求解.【解答过程】由题意，∃∈−1,3，≥2−2，令ℎ=2−2，则∃∈−1,3，≥ℎmin，因为函数ℎ=2−2在−1,1上单调递减，在1,3上单调递增，所以ℎmin=ℎ1=1−2=−1，所以≥−1.所以实数可取的最小整数值是−1.故选：A.【变式2.1】（2023春·安徽马鞍山·高一校考开学考试）若“∀∈，>”为真命题，“∃∈，>3”为假命题，则集合M可以是（）A．−∞,3B．−∞,−1C．0,3D．3,+∞【解题思路】根据假命题的否定为真命题可知∀∈，≤3，又∀∈，>，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.【解答过程】解：∵∃∈，>3为假命题,∴∀∈，≤3为真命题，可得⊆(−∞,3]，又∀∈，>为真命题，可得⊆(−∞,0)，所以⊆(−∞,0)，故选：B.【变式2.2】（2023·高一课时练习）已知命题G∃∈，B2+1≤0；命题G∀∈，2+B+1>0．若，都是假命题，则实数的取值范围为（）A．≤−2B．≥2C．≥2或≤−2D．−2≤≤2【解题思路】写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.【解答过程】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：∀∈s B2+1>0为真命题，解得≥0，同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即∃∈s2+B+1≤0为真命题，所以=2−4≥0，解得≥2或≤−2，综上：≥2，故选：B.【考点3根据命题否定的真假求参数】【例3.1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知命题G∀∈，2+1≥，若¬为真命题，则a的取值范围是（）．A．−∞,1B．−∞,1C．1,+∞D．1,+∞【解题思路】根据全称命题的否定得到¬，然后将存在问题转化为最值问题，求出2+1min即可.【解答过程】¬：∃∈R，2+1<，因为¬为真命题，则2+1min<，即>1.故选：C.【例3.2】（2023·高一单元测试）若命题“∃0∈R，02+(−1)0+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解题思路】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用Δ>0求得a的取值范围．【解答过程】命题“∃0∈R，02+(−1)0+1<0”的否定是假命题，则命题“∃0∈R，02+(−1)0+1<0”是真命题，即Δ=(−1)2−4>0，解得a＞3或a＜﹣1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故选：D.【变式3.1】（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是（）A．{x|0＜x≤4}B．{x|0≤x≤4}C．{x|x≤0或x≥4}D．{x|x＜0或x＞4}【解题思路】先求出命题的否定，然后利用二次函数的性质求解即可【解答过程】解：由题意可知，命题p的否定是：∃x∈R，ax2+ax+1＜0，因为命题p的否定是真命题，所以a＜0或＞0△=2−4＞0，解得a＜0或a＞4，故实数a的取值范围是{x|x＜0或x＞4}.故选：D.【变式3.2】（2023秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若¬是真命题，则实数a的取值范围是（）A．a<1B．a>3C．a≤3D．a≥3【解题思路】根据给定条件写出命题¬，再由全称量词命题是真命题即可得解.【解答过程】因命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，则有命题¬：∀x∈{x|1<x<3}，x-a<0，又¬是真命题，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3，所以实数a的取值范围是a≥3.故选：D.1．（2023秋·广东江门·高一校考期中）命题“∀∈0,1,2−<0”的否定是（）A．∀∈0,1,2−≥0B．∃∉0,1,2−≥0C．∀∈0,1,2−<0D．∃∈0,1,2−≥0【解题思路】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.【解答过程】命题“∀∈0,1,2−<0”的否定是：∃∈0,1,2−≥0.故选：D.2．（2023·高一课时练习）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（）A．∀s∈R,2+2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃0∈R,02=0D．一次函数的图象是直线【解题思路】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.【解答过程】对于A，∀s∈R,2+2<0为全称量词命题，但是2+2≥0，故是假命题，故A错误，对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，对于C,是存在量词命题,故C错误，对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，故选：D.3．（2022秋·浙江丽水·高一校考阶段练习）若命题“存在实数x0，使x02+ax0+1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（−∞，−2]B．[−2，2]C．（−2，2）D．[2，+∞）。

1.5 全称量词与存在量词（精讲）考点一 判断全称、特称量词命题的真假【例1-1】（2021·全国高一课时练习）判断下列全称量词命题的真假: (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (3)对任意负数2,x x 的平方是正数; (4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题. (3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题 (4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题. 【例1-2】（2021·江苏无锡市·）有下列四个命题： ①x R ∀∈10>； ②2,0x N x ∀∈>； ③x N ∃∈，2x x ≤；④2,2x Q x ∃∈=.其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①，x R ∀∈110≥>，故命题成立；对于②，显然当0x =时满足x ∈N ，但20x =，故命题为假； 对于③，显然0x =时满足x ∈N ，200≤成立，故命题为真；对于④，22x =的实数根为x =. 综上，真命题的个数为2. 故选：B. 【一隅三反】1．（2021·山东潍坊市）（多选）下列命题中是假命题的是（ ）． A ．x R ∀∈，30x ≥ B ．0x R ∃∈，303x = C ．x Q ∀∈，31x ≥ D ．0x N ∃∈，303x =【答案】ACD【解析】取12x =-，3108x =-<，所以选项A ，C 不正确；由303x =得0x =是无理数，所以选项B 正确，选项D 不正确， 故选：ACD2．（2021·淮安市）（多选）下列命题是真命题的有（ ） A ．2,x R x x ∃∈> B ．2,x R x x ∀∈> C ．20,320x x x ∃<-+< D ．2,20x R x x ∀∈++>【答案】AD【解析】对选项A ，当2x =时，满足2,x R x x ∃∈>，故A 为真命题； 对选项B ，当12x =时，不满足2,x R x x ∀∈>，故B 为假命题； 对选项C ，2320x x -+<，解得12x <<， 所以不满足20,320x x x ∃<-+<，故C 为假命题.对选项D ，因为22172024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立， 所以满足2,20x R x x ∀∈++>，故D 为真命题. 故选：AD3．（2021·云南省云天化中学高一开学考试）（多选）下列命题正确的有（ ） A ．0x ∃<，2210x x --=B ．0m =是函数2()1f x x mx =++为偶函数的充要条件C ．x R ∀∈xD ．1x >是(1)(2)0x x -+>的必要条件 【答案】AB【解析】对于A ，2210x x --=，解得1x ==，所以0x ∃<，2210x x --=，所以A 正确； 对于B ，“0m =”时，函数()21f x x =+是偶函数，“函数()21f x x mx =++是偶函数时，由()()f x f x -=得到0m =，故B 正确．对于C x =，所以x R ∀∈x 不正确，所以C 不正确． 对于D ，1x >可得()()120x x -+>，反之不成立，所以D 不正确． 故选：AB ．4．（2021·浙江高一期末）（多选）下列命题错误的是（ ） A ．x ∃∈Z ，143x << B ．x ∃∈Z ，22310x x -+= C ．x ∀∈R ，210x -= D ．x ∀∈R ，2220x x ++>【答案】AC【解析】A. 由143x <<，得1344x <<，故错误； B.由22310x x -+=得：12x =或1x =，故正确；C. 由210x -=得：1x =±，故错误；D. 由()2222110x x x ++=++>，故正确； 故选：AC考点二 命题的否定【例2-1】（2021·云南丽江市·高一期末）命题2,10x R x ∃∈+≤的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210xB ．x R ∃∈，210xC ．x R ∀∈，210x +≥D ．x R ∃∈，210x +≥【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题“2,10x R x ∃∈+≤”的否定是“2,10x x ∀∈+>R ”.故选：A【例2-2】（2021·全国高一单元测试）写出下列命题的否定： （1）:p x ∃∈R ，210x +≥； （2）p ：所有自然数的平方都是正数；（3）p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根； （4）p ：有些分数不是有理数.【答案】（1）:p x ⌝∀∈R ，210x +<；（2）:p ⌝有些自然数的平方不是正数；（3）:p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根；（4）:p ⌝一切分数都是有理数. 【解析】（1）:p x ⌝∀∈R ，210x +<； （2）:p ⌝有些自然数的平方不是正数；（3）:p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根； （4）:p ⌝一切分数都是有理数. 【一隅三反】1．（2021·全国高三其他模拟）命题“22,26x x ∀>+>”的否定（ ） A ．22,26x x ∃≥+> B ．22,26x x ∃≤+≤ C ．22,26x x ∃≤+> D ．22,26x x ∃>+≤【答案】D【解析】因为原命题“22,26x x ∀>+>”，所以其否定为“22,26x x ∃>+≤”，故选：D.2．（2021·四川遂宁市）设命题2000:,310p x R x x ∃∈-+<，则p ⌝为（ ）A ．2,310x R x x ∀∈-+≥B ．2000,310x R x x ∃∈-+≥.C ．2,310x R x x ∀∈-+<D ．2000,310x R x x ∃∈-+<.【答案】A【解析】命题0:p x R ∃∈，20310x x -+<， 由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则p ⌝为：x R ∀∈，2310x x -+．故选：A ．3．（2021·黑龙江大庆市）命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.4．（2021·浙江高一期末）命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（ ） A ．20,10x x ax ∃≥+-< B ．20,10x x ax ∃≥+-≥ C ．20,10x x ax ∃<+-< D ．20,10x x ax ∃<+-≥【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”. 故选：C考点三 求含有量词的参数【例4】（1）（2021·全国高一课时练习）若“,x R ∃∈有21k x -+≤ 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________（2）（2021·黑龙江哈尔滨市）已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____.【答案】（1）1k ≤（2）5【解析】（1）由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.（2）当3x ≥时，26215x x ≥⇒-≥，因为“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，所以5m ≤.故答案为：5 【一隅三反】1．（2021·全国高三专题练习（文））若对[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为[]1,2x ∀∈，都有20ax x -≤，所以[]1,2x ∀∈，都有1a x≤，令()1g x x =，[]1,2x ∈，因为()1g x x=，在[]1,2x ∈上单调递减，所以()()min 122g x g ==，所以12a ≤，即实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 2．（2021·安徽芜湖市·高一期末）已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________.【答案】(]3,0-【解析】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题.当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意； 当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-. 故答案为：(]3,0-.3．（2021·江西）已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】18a >【解析】因为命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，所以命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是真命题，当0a =时，得2x <，故命题“R x ∀∈，使得220ax x -+>”是假命题，不合题意；当0a ≠时，得0180a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得18a >.故答案为：18a >4．（2021·福建高一期末）若命题“2,220x R x mx m ∀∈+++≥”为真命题，则m 的取值范围是______ 【答案】[1,2]-【解析】依题意可得，命题等价于2220x mx m +++≥恒成立， 故只需要()2=4420m m ∆-+≤解得12m -≤≤，即1,2m故答案为：[]1,2-5．（2021·河北）已知{}2|8200A x x x =--≤，{}|2B x x m =-≤（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）412m -≤≤；（1）存在，08m ≤≤【解析】{}()(){}{}2|82001020210A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，{}{}{}|22222B x x m x x m x m x m =-≤=-≤-≤=-≤≤+（1）若“∃x ∈A ，使得x ∈B ”为真命题，即集合A 、B 存在公共元素， 假设A 、B 无公共元素，则210m ->或22m +<-， 解得12m >或4m <-，则集合A 、B 存在公共元素时，实数m 的取值范围412m -≤≤. （2）存在实数m ，使“x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 若 “x ∈A ”是“X ∈B ”必要不充分条件， 则B ⊆A ，所以22210m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得08m ≤≤，所以m 的取值范围为08m ≤≤.。

第05讲全称量词与存在量词1．理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义；2．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假；3．正确地对含有一个量词的命题进行否定。

一、全称量词与全称量词命题1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．（2）符号表示：通常，将含有变量x 的语句用()p x ，()q x ，()r x ，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，()p x 成立”可用符号简记为(),∀∈M p x 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。

二、存在量词与存在量词命题1、全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；2、存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。

（2）符号表示：存在量词命题“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”可用符号简记为(),∃∈M p x【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断1、判断全称量词命题真假若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；若为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；2、判断存在量词命题真假只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个命题为真，否则为假。

1.5 全称量词与存在量词【典例精讲】 考点一 全称命题的判断【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是 （ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ，使2250x x ++=”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（ ）A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小 【答案】C【解析】A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题； B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B 是全称量词命题； C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题； D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 是全称量词命题．故选：C. 2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（ ） A ．至少有一个x 使2210x x ++=成立 B ．对任意的x 都有2210x x ++=成立 C ．对任意的x 都有2210x x ++=不成立 D ．存在x 使2210x x ++=成立E.矩形的对角线垂直平分 【答案】BCE 【解析】A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B 和C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B 、C 是全称量词命题； E 中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE考点二 特称命题的判断【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. （1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数； （2）存在一个x ∈R ，使11x -＝0； （3）对任意实数a ，|a |＞0；【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题. （2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题.（3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有2111x +；存在量词命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B . 2．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（ ） A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z ，21x +是奇数 D ．存在x ∈R ，21x +是奇数【答案】C【解析】A 、B 、D 中都有存在量词，是存在量词命题，C 中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C .考点三 全称、特称命题真假的判断【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论m 取何实数,关于x 的方程20x x m +-=必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数y kx =图象恒过原点. 【答案】见解析【解析】(1)即“所有m R ∈，关于x 的方程20x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程20x x m +-=没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； (3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题.【一隅三反】1．（2020·平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0【答案】BA 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．2．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是 （ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意[]1,2m ∈，方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”，但当1m =时，方程有实数解1x =，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A. 3．（2020·全国高一）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2,0x R x∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】(1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.考点四 命题的否定【例4】（2020·全国高一课时练习）设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“x A ∀∈，2x B ∉”的否定是 （ ) A ． x A ∃∈，2x B ∈ B ．x A ∃∉，2x B ∈ C ． x A ∀∉，2x B ∉ D ．x A ∀∉，2x B ∈【答案】A【解析】“x A ∀∈，2x B ∉”即“所有x A ∈，都有2x B ∉”，它的否定应该是“存在x A ∈，使2x B ∈”，所以正确选项为A.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（ ） A ．x ∃∈Z ，143x << B ．x ∃∈Z ，510x += C ．x ∀∈R ，210x -= D ．x ∃∈R ，2320x x ++=【答案】D【解析】对A ，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由143x <<得1344x <<，这样的整数x 不存在，故A 为假命题，其否定为真命题，故A 错误；对B ，510x +=，15x =-∉Z ，故B 为假命题，其否定为真命题，故B 错误； 对C ，210x -=⇒1x =±，故C 为假命题，其否定为真命题，故C 错误；对D ，存在1x =-或2x =-，使232(1)(2)0x x x x ++=++=，故D 为真命题，从而D 的否定是假命题，故D 正确.故选：D.2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥.故选：C.3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+> C ．2,240x R x x ∀∉-+≥ D ．2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词∀换为存在量词∃，不等号≤换为＞，可得命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为“2000,240x R x x ∃∈-+>”，故选：B.考点五 全称特称求参数【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥B ．5a ≥C ．3a ≥D ．5a ≤（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－（3）（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】（1）B （2）B （3）D【解析】（1）[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使20x a -≤恒成立，则2a x ≥恒成立，即4a ≥， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B 符合.故选：B.（2）由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. （3）由()22()211f x x x x =-=--，知 当1[1,2]x ∈-时，[]1()1,3f x ∈- 由()2(0)g x ax a =+>，知当[]21,2x ∈-时，[]2()2,22g x a a ∈-++ 由题意得：[][]1,32,22a a -⊆-++，即21223a a -+≤-+≥⎧⎨⎩，解得3a ≥综上，3a ≥.故选：D【一隅三反】1．（2020·浙江高一课时练习）若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或 【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .2．（2020·全国高一课时练习）命题“已知1y x =-，x R ∀∈都有m y ≤”是真命题，则实数m 的取值范围是 （ ) A ．1m ≥- B ． 1m >- C ． 1m ≤- D ．1m <-【答案】C【解析】由已知1y x =-，得1y ≥-，要使x R ∀∈，都有m y ≤成立，只需1m ≤-，所以正确选项为C.3．（2020·广东高三其他（文））已知命题2000:,20p x R x x a ∃∈++≤，命题1:0,q x x a x∀>+>，若p 假q 真，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(1,2) D ．(1,2]-【答案】C【解析】命题0:p x R ∃∈，20020x x a ++≤为假命题，则2,20x R x x a ∀∈++>为真命题，满足2240a ∆=-<，解得1a >；命题1:0,q x x a x ∀>+>为真命题，由12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，可知2a <，故实数a 的取值范围为(1,2)， 故选：C.4．（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2)-∞【解析】函数2y x ax =-+的对称轴为=2a x ， 当12a<即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数， 则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意； 当12a>即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意.故答案为：(,2)-∞。

通用版2022-2023学年初升高衔接新知识预习篇专题：存在量词与全称量词(解析版）一、基本知识及其典型例题【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)矩形的对角线不相等；(2)凸多边形的外角和等于360°；(3)存在x∈N,使得2x＋1是偶数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．【解析】(1)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为存在量词命题．(2)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(3)含有存在量词“存在”，故是存在量词命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为存在量词命题．【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（2）菱形都是正方形；（3）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【详解】（1）该命题是特称命题， （2）该命题是全称命题， （3）该命题是特称命题，【例2】将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数；(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <0)至少存在一个负根；【解析】 (1)∀x ∈R ，x 2≥0.(2)∃x 0<0，ax 20＋2x 0＋1＝0(a <0)． 【变式2】用符号“∀”“∃”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对()x y ，，使30x y ++<成立； （3）任意实数乘1-，都等于它的相反数； （4）存在实数x ，使得32x x >. 【答案】答案见解析. 【分析】按照全称命题和特称命题的定义进行求解 【详解】解：（1）x R ∀∈，x 能写成小数形式； （2）(,),,x y x R y R ∃∈∈，使30x y ++<； （3）,(1)x R x x ∀∈⋅-=-； （4）32,x R x x ∃∈>. 【点睛】此题考查全称命题和特称命题的含义及符号表示，属于基础题.【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断下列命题的真假． (1)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0；(2)对任意实数a ，|a |＞0；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数x 0，使等式x 20＋x 0＋8＝0成立．【解析】(1)是存在量词命题．假命题，因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立．(2)是全称量词命题．假命题，因为|0|＝0，所以|a |＞0不都成立．(3)是全称量词命题．假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．(4)是存在量词命题．假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解 【变式3.1】（多选题）下列全称量词命题中真命题的有（） A.负数没有对数；B.对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；C.二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点； D.∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0. 【解析】ABC 为真命题．D 中，当0==y x 时，x 2＋|y |=0，不符合。