苏科版数学七年级下册 解一元一次不等式易错题专讲、方法点拨(含解析)

专题1.5 一元一次不等式章末重难点题型【苏科版】【考点1 不等式的定义】【方法点拨】不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．【例1】（2020春•丛台区校级期中）式子①x ﹣y ＝2 ②x ≤y ③x +y ④x 2﹣3y ⑤x ≥0⑥12x ≠3中，属于不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】利用不等式的定义进行解答即可． 【解答】解：①x ﹣y ＝2是二元一次方程； ②x ≤y 是不等式； ③x +y 是代数式； ④x 2﹣3y 是代数式； ⑤x ≥0是不等式；⑥12x ≠3是不等式；属于不等式的共3个， 故选：B ．【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【变式1-1】（2020春•巴州区校级期中）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2x ﹣5≥0，③x ＝1，④x 2﹣x ，⑤x ≠﹣2，⑥x +2＜x ﹣1中，是不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】利用不等式定义进行解答即可．【解答】解：①﹣2＜0，②2x ﹣5≥0，⑤x ≠﹣2，⑥x +2＜x ﹣1是不等式，共4个， 故选：C ．【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【变式1-2】（2020春•叶集区期末）式子：①2＞0；②4x +y ≤1；③x +3≠0；④y ﹣7；⑤m ﹣2.5＞3．其中不等式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．据此可得答案．【解答】解：不等式有：①2＞0；②4x +y ≤1；③x +3≠0；⑤m ﹣2.5＞3，共有4个． 故选：D ．【点评】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【变式1-3】（2020春•毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①x ﹣1≥1；②﹣2＜0；③x ≠3；④x +2；⑤x −12y ＝0；⑥x +2y ≤0．你认为其中是不等式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以：①x﹣1≥1；②﹣2＜0；③x≠3；⑥x+2y≤0．为不等式，共有4个．故选：C．【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞＜≤≥≠．【考点2 不等式的基本性质】【方法点拨】不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【例2】（2020春•开封期末）下列不等式的变形正确的是（）A．若a＜b，且c≠0，则ac＜bc B．若a＞b，则1+a＜1+bC．若ac2＜bc2，则a＜b D．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．【解答】解：A．若a＜b，当c＜0时，ac＞bc，故本选项不符合题意；B．若a＞b，则1+a＞1+b，故本选项不符合题意；C．若ac2＜bc2，则a＜b，故本选项符合题意；D．若a＞b，c＝0，则ac2＝bc2，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．【变式2-1】（2020春•江阴市期末）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+2c＜b+2c B．2c﹣a＜2c﹣b C．a+2c＞b+2c D．2ac＜2bc【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：A、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形一定成立，故此选项符合题意；B、∵a＜b，∴2c﹣a＞2c﹣b，原变形不成立，故此选项不符合题意；C、∵a＜b，∴a+2c＜b+2c，原变形不成立，故此选项不符合题意；D、∵a＜b，∴2ac＜2bc（c＞0）或2ac＝2bc（c＝0）或2ac＞2bc（c＜0），原变形不一定成立，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向；不等式两边同时乘以或乘以一个负数，不等式要改变方向．【变式2-2】（2020春•福田区期中）下列不等式变形错误的是（）A．若a＞b，则1﹣a＜1﹣bB．若a＜b，则ax2≤bx2C．若ac＞bc，则a＞bD．若m＞n，则mx+1＞nx+1【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，正确，故本题选项不符合题意；B、∵a＜b，∴ax2≤bx2，正确，故本题选项不符合题意；C、当c＜0时，根据ac＞bc不能得出a＞b，错误，故本题选项不符合题意；D、∵m＞n，∴mx+1＞nx+1，正确，故本题选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．【变式2-3】（2020春•泰山区期末）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣cC．ac+1＜bc+1D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）【分析】根据不等式的性质解答．【解答】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．【考点3 不等式性质的运用】【方法点拨】含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【例3】（2020春•南岗区校级月考）如果一元一次不等式（m +2）x ＞m +2的解集为x ＜1，则m 必须满足的条件是（ ） A ．m ＜﹣2B ．m ≤﹣2C ．m ＞﹣2D ．m ≥﹣2【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m +2＜0，求出即可． 【解答】解：∵不等式（m +2）x ＞m +2的解集是x ＜1， ∴m +2＜0， ∴m ＜﹣2， 故选：A ．【点评】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的解集的应用，关键是能根据题意得出m +2＜0． 【变式3-1】（2020春•郯城县校级期末）如果关于x 的不等式（a +2020）x ﹣a ＞2020的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞﹣2020B ．a ＜﹣2020C ．a ＞2020D ．a ＜2020【分析】根据解一元一次不等式的方法和不等式的性质，可以得到a 的取值范围． 【解答】解：∵不等式（a +2020）x ﹣a ＞2020的解集为x ＜1， ∴a +2020＜0， 解得，a ＜﹣2020， 故选：B ．【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法和不等式的性质． 【变式3-2】（2020春•仁寿县期中）若不等式ax−52−2−ax 4＞0的解集是x ＞1，则a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．﹣4D ．以上答案都不对【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵ax−52−2−ax 4＞0，∴2（ax ﹣5）﹣（2﹣ax ）＞0， 2ax ﹣10﹣2+ax ＞0， 3ax ＞12， ∴ax ＞4，∵不等式的解集为x ＞1， ∴a ＝4， 故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式3-3】（2020•回民区二模）如果不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4，则不等式2a ﹣5y ＞1的解集是（ ） A ．y ＜52B ．y ＜25C ．y ＞52D ．y ＞25【分析】先由不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4，根据不等式的性质得出a ﹣2＜0，2a−5a−2=4，解得a =32，则2a ＝3，再解不等式2a ﹣5y ＞1即可． 【解答】解：∵不等式（a ﹣2）x ＞2a ﹣5的解集是x ＜4， ∴a ﹣2＜0，2a−5a−2=4，解得a =32， ∴2a ＝3，∴不等式2a ﹣5y ＞1的解集为y ＜25． 故选：B ．【点评】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【考点4 解一元一次不等式】【方法点拨】根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【例4】（2020春•福山区期末）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． （1）1−4x−13＞3x （2）2x+13≥3(x−1)2+1【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）1−4x−13＞3x ， 3﹣4x +1＞9x ， ﹣4x ﹣9x ＞﹣3﹣1， ﹣13x ＞﹣4， x ＜413，在数轴上表示为：；（2）2x+13≥3(x−1)2+1，4x +2≥9x ﹣9+6， 4x ﹣9x ≥﹣9+6﹣2， ﹣5x ≥﹣5， x ≤1，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1． 【变式4-1】（2020春•南关区校级期中）解不等式：1+x 2−2x−13≤1，并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集．【解答】解：去分母，得：3（1+x ）﹣2（2x ﹣1）≤6， 去括号，得：3+3x ﹣4x +2≤6， 移项，合并同类项，得：﹣x ≤1， 则x ≥﹣1． 在数轴上表示为：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式4-2】（2020春•河南期末）解不等式：2x−1.50.5−3x−0.60.2＞0.19−0.3x 0.01；【分析】先把不等式的分母化为整数，再去括号，移项，合并同类项，把x 的系数化为1即可； 【解答】解：2x−1.50.5−3x−0.60.2＞0.19−0.3x 0.01，整理得，（4x ﹣3）﹣（15x ﹣3）＞19﹣30x ， 去括号得，4x ﹣3﹣15x +3＞19﹣30x ， 移项、合并同类项得，19x ＞19， 把x 的系数化为1得，x ＞1；【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 【变式4-3】（2020春•思明区校级月考）x 取何正整数时，代数式x+13−2x−14的值不小于代数式x−36的值？【分析】根据题意两个代数式建立不等式，求得不等式的解集，求得x 的正整数解即可． 【解答】解：由题意得x+13−2x−14≥x−364x +4﹣6x +3≥2x ﹣6 4x ﹣6x ﹣2x ≥﹣6﹣4﹣3 ﹣4x ≥﹣13 解得x ≤134，x 是正整数，可以取1、2、3．【点评】此题考查一元一次不等式的正整数解，求得不等式的解集是解决问题的关键． 【考点5 解一元一次不等式组】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.【例5】（2020春•雨花区校级月考）解不等式组{5x −4≤2+7xx −x−13＜1+x 2，并把它们的解在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式5x ﹣4≤2+7x ，得：x ≥﹣3， 解不等式x −x−13＜1+x2，得：x ＜1， 则不等式组的解集为﹣3≤x ＜1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式5-1】（2020春•太湖县期末）解不等式组：{x −32(2x −1)≤41+3x 2＞2x −1并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：{x −32(2x −1)≤4①1+3x2＞2x −1②，由①得：x ≥−54， 由②得：x ＜3，∴不等式组的解集为−54≤x ＜3， 表示在数轴上，如图所示：【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式5-2】（2020春•雨花区校级期中）解不等式组{5x +7≥3(x −1)①2−2x+53＞x −3②，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可． 【解答】解：{5x +7≥3(x −1)①2−2x+53＞x −3②， 由①得，x ≥﹣5， 由②得x ＜2，∴不等式组的解集为﹣5≤x ＜2． 在数轴上表示为：【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-3】（2020春•东阿县期末）根据要求解不等式组． （1）{2x −6＜3xx+25−x−14≥0； （2）{2x−13−5x−12≤15x −1＜3(x +1)（在数轴上把它的解集表示出来）．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式2x ﹣6＜3x ，得：x ＞﹣6， 解不等式x+25−x−14≥0，得：x ≤13，则不等式组的解集为﹣6＜x ≤13；（2）解不等式2x−13−5x−12≤1，得：x ≥−511，解不等式5x ﹣1＜3（x +1），得：x ＜2， 则不等式组的解集为−511≤x ＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【考点6 方程（组）的解构造不等式（组）求字母范围】【方法点拨】不等式组的解的求解过程：分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解（若没有公共部分则无解）.口诀：大大取大，小小取小，大小小大两头夹，大大小小是无解.【例6】（2020春•龙华区校级期末）已知关于x 的方程5x+m 3−x−12=m 的解为非负数，则m 的范围为 ． 【分析】解方程求出x =4m−37，根据方程的解为非负数得出关于m 的不等式，解之可得． 【解答】解：解方程5x+m 3−x−12=m 得x =4m−37， 根据题意，得：4m−37≥0，则4m ﹣3≥0，∴4m ≥3，解得m ≥34，故答案为：m ≥34．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式6-1】（2020春•高州市期末）已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +y =1+2m x +2y =2−m的解满足不等式x +y 为非负数，求实数m 的取值范围．【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x ，y 关于a 的式子，代入x +y ＞0，然后解出a 的取值范围．【解答】解：方程组中两个方程相加得3x +3y ＝3+m ，即x +y ＝1+13m ，又x +y ≥0，即1+13m ≥0，解一元一次不等式得m ≥﹣3．【点评】本题是综合考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合运用，灵活运用二元一次方程组的解法是解决本题的关键．【变式6-2】（2020秋•大渡口区月考）已知方程组{3x +y =−13+m x −y =1+3m的解满足x 为非正数，y 为负数． （1）求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1的解为x ＞1，请写出整数m 的值．【分析】（1）解方程组用m 的代数式表示出x 、y ，根据x 为非正数，y 为负数列出关于m 的不等式组，解之求得m 的范围；（2）根据不等式的性质得出2m +1＜0，求得m 的范围，结合m 为整数及（1）中m 的范围可得答案．【解答】解：（1）解方程组{3x +y =−13+m x −y =1+3m得：{x =m −3y =−2m −4． ∵x ≤0，y ＜0，∴{m −3≤0−2m −4＜0． 解得﹣2＜m ≤3；（2）不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1移项得：（2m +1）x ＜2m +1．∵不等式（2m +1）x ﹣2m ＜1的解为x ＞1，∴2m +1＜0，解得m ＜−12．又∵﹣2＜m ≤3，∴m 的取值范围是﹣2＜m ＜−12．又∵m 是整数，∴m 的值为：﹣1．【点评】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是得出关于m 的不等式组并求解．【变式6-3】（2020春•洪山区期末）已知关于x 、y 的方程组{3x −y =2a −5x +2y =3a +3的解都为正数，且满足a +b ＝4，b ＞0，z ＝a ﹣3b ，则z 的取值范围是（ ）A ．﹣8＜z ＜4B ．﹣7＜z ＜8C ．﹣7＜z ＜4D ．﹣8＜z ＜8【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a 的不等式组解出即可得到a 的范围；根据题意得出b ＝4﹣a ＞0，即可得到1＜a ＜4，代入z ＝a ﹣3b 得到z ＝4a ﹣12，根据a 的取值可得结论．【解答】解：解这个方程组的解为：{x =a −1y =a +2， 由题意，得{a −1＞0a +2＞0， 则原不等式组的解集为a ＞1；∵a +b ＝4，b ＞0，∴b ＝4﹣a ＞0，∵a ＞1，∴1＜a ＜4，∵a ﹣3b ＝a ﹣3（4﹣a ）＝4a ﹣12，z ＝a ﹣3b ，故﹣8＜z ＜4．故选：A ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．【考点7 根据不等式（组）的解集求字母范围】【例7】（2020春•章丘区期末）若不等式2x+53−1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式2x +m ＜1成立，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜−35B ．m ≤−35C ．m ＞−35D ．m ≥−35 【分析】求出不等式2x+53−1≤2﹣x 的解，求出不等式3（x ﹣1）+5＞5x +2（m +x ）的解集，得出关于m的不等式，求出m 即可．【解答】解：解不等式2x+53−1≤2﹣x 得：x ≤45， ∵不等式2x+53−1≤2﹣x 的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式2x +m ＜1成立，∴x ＜1−m 2，∴1−m 2＞45，解得：m ＜−35，故选：A ．【点评】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m 的不等式是解此题的关键．【变式7-1】（2020春•邗江区期末）已知x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m ≤﹣2B ．m ＜2C ．﹣2＜m ≤2D ．﹣2≤m ＜2 【分析】根据x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【解答】解：∵x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，∴4m ﹣3m +2≤0，解得：m ≤﹣2，∵x ＝2不是这个不等式的解，∴2m ﹣3m +2＞0，解得：m ＜2，∴m ≤﹣2，故选：A ．【点评】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是根据x ＝4是不等式mx ﹣3m +2≤0的解，且x ＝2不是这个不等式的解，列出不等式，从而求出m 的取值范围．【变式7-2】（2020春•渝中区校级期末）关于x 的方程3﹣2x ＝3（k ﹣2）的解为非负整数，且关于x 的不等式组{x −2(x −1)≥32k+x 3≤x 无解，则符合条件的整数k 的值的和为（ ） A ．5 B ．2 C ．4 D ．6【分析】表示出方程的解，由方程的解为非负整数【解答】解：解方程3﹣2x ＝3（k ﹣2）得x =9−3k 2， ∵方程的解为非负整数，∴9−3k 2≥0，即k ≤3，即非负整数k ＝1，2，3，不等式组整理得：{x ≤−1x ≥k，由不等式组无解，得到k ＞﹣1，∴﹣1＜k ≤3，即整数k ＝0，1，2，3，综上，k ＝1，2，3，则符合条件的整数k 的值的和为6．故选：D ．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式7-3】已知不等式组{2x −3a ＜7b +26b −3x −3＜5b． ①若它的解集是4＜x ＜23，求a ，b 的取值．②若a ＝b ，且上述不等式无解，求a 的取值范围．【分析】①先用字母a ，b 表示出不等式组的解集13（b ﹣3）＜x ＜12（3a +7b +2），然后再根据已知解集是4＜x ＜23，对应得到相等关系联立成方程组，求出a ，b 的值；②把不等式组的解集用a 表示，进一步利用不等式组解集的求法得出答案即可．【解答】解：①原不等式可化为{x ＜12(3a +7b +2)x ＞13(b −3)， 则13（b ﹣3）＜x ＜12（3a +7b +2）， ∵4＜x ＜23，∴{13(b −3)=412(3a +7b +2)=23， 解得：{a =−613b =15； ②若a ＝b ，则不等式为{x ＜5a +1x ＞13(a −3)∵不等式无解，∴5a +1≤13（a ﹣3）解得：a ≤−37． 【点评】主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a ，b 表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等或不等关系，解关于字母a ，b 的方程组或不等式即可求解．【考点8 利用整数解求字母取值范围】【例8】（2020春•惠安县期末）已知关于x 的不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a 即可．【解答】解：解不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 得：x ＜a+24，∵关于x 的不等式3x ﹣2a ＜4﹣5x 有且仅有三个正整数解，是1，2，3，∴3＜a+24≤4，解得：10＜a ≤14，∴整数a 可以是11，12，13，14，共4个，故选：B ．【点评】本题考查Lee 解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键．【变式8-1】（2020春•长沙期末）关于x 的不等式组{52x +1＞32(x −1)12x −1≤a −32x 只有四个整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ＜3C ．3＜a ≤5D ．3≤a ＜5【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，确定出a 的范围即可．【解答】解：不等式组整理得：{x ＞−52x ≤a+12， 解得：−52＜x ≤a+12， 由不等式组只有四个整数解，得到整数解为﹣2，﹣1，0，1，∴1≤a+12＜2，解得：1≤a ＜3．故选：B ．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．【变式8-2】（2020春•津南区校级期末）已知关于x 的不等式组{x −m ＞02x −n ≤0的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，若m ，n 为整数，则m +n 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5或6D ．6或7【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m 、n 的取值范围，结合m 、n 为整数可以确定m 、n 的值，代入计算可得．【解答】解：解不等式x ﹣m ＞0，得：x ＞m ，解不等式2x ﹣n ≤0，得：x ≤n 2，∵不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴﹣3≤m ＜﹣2，4≤n 2＜5，即8≤n ＜10，∵m ，n 为整数，∴m ＝﹣3，n ＝8或n ＝9，当n ＝8时，m +n ＝﹣3+8＝5；当n ＝9时，m +n ＝﹣3+9＝6；综上，m +n 的值为5或6，故选：C ．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式8-3】（2020春•万州区期末）已知关于x 、y 的方程组{ax +3y =12x −3y =0的解为整数，且关于x 的不等式组{2(x +1)＜x +53x ＞a −4有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣8D ．﹣6 【分析】根据不等式组求出a 的范围，然后再根据方程组求出a 的取值，从而确定的a 的可能值即可得出答案．【解答】解：解方程组{ax +3y =12x −3y =0得：{x =12a+1y =4a+1， ∵方程组{ax +3y =12x −3y =0的解为整数， ∴a +1＝±1、±2、±4，解得：a＝﹣2或0或1或﹣3或3或﹣5，解不等式组{2(x+1)＜x+53x＞a−4，得：a−43＜x＜3，∵不等式组{2(x+1)＜x+53x＞a−4有且仅有5个整数解，∴﹣3≤a−43＜−2，解得：﹣5≤a＜﹣2，∴满足条件的整数a有﹣5，﹣3、共2个，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8．故选：C．【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．【考点9 不等式（组）中的新定义问题】【例9】（2020春•高邮市期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）不等式x≥2x≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，求m的取值范围；（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3＞a与不等式ax﹣1≤a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，再根据云不等式的定义可得﹣2m ＞3，解不等式即可求解；（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．【解答】解：（1）∵不等式x≥2和不等式x≤2有公共整数解2，∴不等式x≥2是x≤2的“云不等式”，故答案为：是；（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+1得x＜4，∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+1的“云不等式”，∴﹣2m≥4，解得m ≤﹣2．故m 的取值范围是m ≤﹣2；（3）①当a +1＞0时，即a ＞﹣1时，依题意有a ﹣3＜1，即a ＜4，故﹣1＜a ＜4；②当a +1＜0时，即a ＜﹣1时，始终符合题意，故a ＜﹣1；综上，a 的取值范围为a ＜﹣1或﹣1＜a ＜4．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．【变式9-1】（2020春•椒江区期末）规定min （m ，n ）表示m ，n 中较小的数（m ，n 均为实数，且mn ），例如：min {3，﹣1}＝﹣1，、min {√2，√3}=√2据此解决下列问题：（1）min {−12，−13}= −12 ；（2）若min {2x−13，2}=2，求x 的取值范围；（3）若min {2x ﹣5，x +3}＝﹣2，求x 的值．【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；（2）利用题中的新定义得出2x−13≥2，计算即可求出x 的取值；（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x 的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min {−12，−13}=−12；故答案为：−12；（2）由题意2x−13≥2，解得：x ≥3.5；（3）若2x ﹣5＝﹣2，解得：x ＝1.5，此时x +3＝4.5＞﹣2，满足题意；若x +3＝﹣2，解得：x ＝﹣5，此时2x ﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，综上，x ＝1.5．【点评】此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式9-2】（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a ※b ”：当a ≥b 时，a ※b ＝2a +b ；当a ＜b 时，a ※b ＝2a ﹣b ．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空：（﹣2）※3＝ ；（2）若（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），则x 的取值范围为 ；（3）已知（2x ﹣6）※（9﹣3x ）＜7，求x 的取值范围；（4）小明在计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）时随意取了一个x 的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x ﹣4≥2x +3，解之可得；（3）由题意可得{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7，分别求解可得； （4）先利用作差法判断出2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，再根据公式计算（2x 2﹣2x +4）※（x 2+4x ﹣6）即可．【解答】解：（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，故答案为：﹣7；（2）∵（3x ﹣4）※（2x +3）＝2（3x ﹣4）+（2x +3），∴3x ﹣4≥2x +3，解得：x ≥7，故答案为：x ≥7．（3）由题意知{2x −6≥9−3x 2(2x −6)+(9−3x)＜7或{2x −6＜9−3x 2(2x −6)−(9−3x)＜7， 解得：x ＜10；（4）∵2x 2﹣2x +4﹣（x 2+4x ﹣6）＝x 2﹣6x +10＝（x ﹣3）2+1＞0∴2x 2﹣2x +4＞x 2+4x ﹣6，原式＝2（2x 2﹣2x +4）+（x 2+4x ﹣6）＝4x 2﹣4x +8+x 2+4x ﹣6＝5x 2+4；∴小明计算错误．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式9-3】（2019秋•九龙坡区校级月考）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x ﹣6＝0的解为x ＝3，不等式组{x −2＞0x ＜5的解集为2＜x ＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x ﹣6＝0为不等式组{x −2＞0x ＜5的相伴方程．（1）若关于x 的方程2x ﹣k ＝2是不等式组{3x −6＞4−x x −1≥4x −10的相伴方程，求k 的取值范围；（2）若方程2x +4＝0，2x−13=−1都是关于x 的不等式组{(m −2)x ＜m −2x +5≥m的相伴方程，求m 的取值范围；（3）若关于x 的不等式组{−x ＞−2x +12x ≤n +2的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n 的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，根据相伴方程的定义列出关于k 的不等式组，解之即可；（2）先求出方程的解和不等式组的解集，分m ＞2和m ＜2讨论，即可得出答案； （3）先求出不等式组的解集，然后根据题意列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）∵不等式组为{3x −6＞4−x x −1≥4x −10，解得52＜x ≤3， ∵方程为2x ﹣k ＝2，解得x =2+k2， ∴根据题意可得，52＜k+22≤3，∴解得：3＜k ≤4， 故k 取值范围为：3＜k ≤4． （2）∵方程为2x +4＝0，2x−13=−1，解得：x ＝﹣2，x ＝﹣1；∵不等式组为{(m −2)x ＜m −2x +5≥m ，当m ＜2时，不等式组为{x ＞1x ≥m −5，此时不等式组解集为x ＞1，不符合题意，舍； ∴当m ＞2时不等式组解集为m ﹣5≤x ＜1，∴根据题意可得，{m ＞2m −5≤−2，解得2＜m ≤3；故m 取值范围为：2＜m ≤3．（3）∵不等式组为{−x ＞−2x +12x ≤n +2，解得1＜x ≤n+22，根据题意可得，3≤n+22＜4，解得4≤n ＜6， 故n 取值范围为4≤n ＜6．【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解相伴方程的定义是解题关键，属于中档题．【考点10 不等式（组）的应用（程序框图）】【例10】（2020春•渝中区校级期末）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x 的取值范围是（ ）A ．2＜x ≤4B ．2≤x ＜4C ．2＜x ＜4D ．2≤x ≤4【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围．【解答】解：依题意，得：{3(3x −2)−2≤283[3(3x −2)−2]−2＞28，解得：2＜x ≤4． 故选：A ．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【变式10-1】（2020春•南岸区期末）如图，规定程序运行到“判断结果是否大于100”为第一次运算，若运算进行了三次才停止，则满足条件的整数x 的个数为 ．【分析】由该运算进行了三次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再结合x 为正整数即可得出结论．【解答】解：依题意，得：{3(3x −1)−1≤1003[3(3x −1)−1]−1＞100，。

苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x ，请你根据题意写出x 必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x 必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．【第二讲 一元一次不等式组的解法370096 例2】举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2. 解下列不等式组(1) 313112123x x x x +<-⎧⎪⎨++≤+⎪⎩①② （2）213(1)4x x x +>-≥-．【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】解：(1)解不等式①，得x ＜-2解不等式②，得x ≥-5故原不等式组的解集为-5≤x ＜-2．其解集在数轴上表示如图所示．（2） 原不等式可变为：213(1)3(1)4x x x x +>-⎧⎨-≥-⎩①② 解①得：4x <解②得：12x ≥- 故原不等式组的解集为142x -≤<．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．举一反三：【变式】（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树； 第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式. 到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；不等式（2）的解集是：x ＞20，所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三：【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？【答案】解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得： 88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4.（2015•桂林）“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．【实际问题与一元一次不等式组409416 例2】举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤， 又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．。

七年级数学下册一元一次不等式（组）易错例题解析一元一次不等式是初中新学习的内容，不像学习的二元一次方程组，还有点基础，一元一次不等式（组）可以说是全新的开始。

在学习一元一次不等式（组）时，这七类易错点，你还再犯错吗？类型一：忽视第一个0（系数不等于0）一元一次不等式需要满足的条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数等于1；（3）为不等式，即含有不等号；（4）未知数的系数不能等于0.本题中，需要再满足两个条件：|m|=1且m+1≠0，解得：m=1.这是从不等式的基本定义出发，与一元一次方程类似，一定要注意一次项前面的系数不等于0.类型二：忽视第二个0（因式不等于0）不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。

但是在做题目时，还要注意不等式左右两边乘以（或除以）的式子能不能等于0.本题中，一个数的平方为非负数，即c^2≥0，那么左右两边同乘以的数可以等于0，因此填写的应该为“≥”。

那么第2小问与第1小问有什么区别呢？区别就在于第2小问左右两边同时除以c^2，由题意可知，既然这个不等式能够成立，那么应该默认c≠0，即此时左右两边同时除以的为正数，那么不等号方向不改变，即a＞b。

类型三：去括号时符号问题去括号时，括号前如果是负号，要记得变号，这与一元一次方程中去括号一样，一定要特别注意。

比如本题，2x-3x-1＞2，即-x＞3，解得x＜-3.类型四：去括号时系数问题去括号时，除了要注意符号问题，还需要注意系数问题，括号外面的系数要与括号里面的每一项都相乘，不能漏乘。

如果既有系数问题，又有符号问题，为了避免出错，我们可以先处理系数问题，再处理符号问题。

解：2x-（6x+2）＞2，即2x-6x-2＞2，化简得：-4x＞4，解得：x＜-1.类型五：移项时符号问题移项时也要注意符号问题，移项不会影响不等号的方向，只会改变所移项的符号，因此要注意只有在系数化为1时，才能决定改不改变不等号的方向，在移项时不能随意改变不等号方向。

一元一次不等式组解题思路探究一、解一元一次不等式组典例1解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.【解析】不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的公共部分，通常借助数轴来确定其解集，这样既直观又不易错.注意除以负数时，改变不等号的方向.解不等式3(x-2)+8>2x，得x>-2，解不等式31+x≥x－21-x,得x≤-1.所以不等式组的解集是-2<x≤-1.它在数轴上表示如右图所示：【领悟整合】不等式的解集可以借助数轴，求出它的公共部分，体现数形结合.不等式的应用十分广泛，具有工具性的作用，因此，熟练地解不等式（组），是最基本的要求.【拓展体验】1：等式组2x-6<0 ①x+5>-3 ②的解集是（）(A)2<x<3(B)-8<x<-3(C)-8<x<3 (D)x<-8或x>3()()求不等式组的正整数解。

114315821312232+-≤+<>-+-<++<>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪x x x x x 二、求不等式组的整数解典例2 解不等式组，并写出不等式组的整数解。

【解析】求一元一次不等式组的整数解时，先求出不等式组的解集，再按要求取特殊解.解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1；解不等式≥，得x≥－2；所以不等式组的解集是：－2≤x<1.所以不等式组的整数解是：－2，－1，0.【技巧点拨】求不等式的整数解，关键还是解不等式（组）.【拓展体验】2： 三、求不等式组中字母系数 典例3 若不等式组无解，求a 的取值范围.【解析】由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，也就是说如果x 比一个较大的数大，而比一个较小的数小，则这样的数x 不存在.依题意：2a-5≥3a -2，解得a≤-3.【交流研讨】在本题中，特别地，当2a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请同学们注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.【拓展体验】3、不等式组的解集为x＜2，试求k的取值范围.四、学科渗透题典例4m为何整数时，方程组的解是非负数？【解析】解方程组得，∵方程组的解是非负数，∴，即解不等式组∴此不等式组解集为≤m≤,又∵m为整数，∴m=3或m=4.【技巧点拨】本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即.先解方程组用m 的代数式表示x,y,再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m 的取值范围，最后切勿忘记确定m 的整数值.【拓展体验】4：x 取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8.五、实际应用题 典例5 有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数.【解析】这是一道数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决.题目中有两个主要未知数---十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数＝十位上的数+2,一个不等关系：20＜原两位数＜40.设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2),原两位数为10x+(x+2),由题意可得：20<10x+(x+2)<40,解这个不等式得，1117<x<3115, ∵x 为正整数，∴1117<x<3115的整数为x=2或x=3， ∴当x=2时，∴10x+(x+2)=24,当x=3时，∴10x+(x+2)=35,答：这个两位数为24或35.【探索发现】下面再探索出如下解法，供同学们参考：解法1:设十位上的数为x,个位上的数为y, 则两位数为10x+y,由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）.将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,解不等式得：1117<x<3115,∵x 为正整数，1117<x<3115的整数为x=2或x=3,∴当x=2时，y=4，∴10x+y=24,当x=3时，y=5, ∴10x+y=35.答：这个两位数为24或35.解法2:可通过“心算”直接求解.法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2和3.当十位数为2时，个位数为4，当十位数为3时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35.【拓展体验】5：甲、乙两车间各有若干个工人生产同一种零件，甲车间有1人每天生产6件，其余每人每天生产11件；乙车间有1人每天生产7件，其余人每人每天生产10件.若两车间每天生产的零件总数相等，且每个车间总数不少于100件也不超过200件.问甲、乙车间各有多少个工人？六、阅读理解题典例6 （2006湖北）先阅读理解下列例题，再按要求完成作业.例题：解一元二次不等式()()01223>+-x x解：()()01223>+-x x ,由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有（1）⎩⎨⎧>+>-012023x x 或（2）⎩⎨⎧<++<-012023x x . 解不等式组（1）得32>x ,解不等式组（2）得21-<x . 所以()()01223>+-x x 的解集为32>x 或21-<x . 作业题：1.求分式不等式03215<-+x x 的解集 2.通过阅读例题和做作业题1，你学会了什么知识和方法？【解析】通过有理数的乘法法则，把一元二次不等式转化为已学过的一元一次不等式组来解决，类似根据有理数的除法法则，把分式不等式转化为不等式组来解决.（1）由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”有（1ˊ）⎩⎨⎧<->+032015x x 或(2ˊ)⎩⎨⎧>-<+032015x x ，解不等式组（1ˊ）得2351<<-x ；解不等式组（2ˊ）得不等式组（2）无解.因此，分式不等式03215<-+x x 的解集为2351<<-x . （2）通过阅读例题和做作业题1，学会了解一元二次不等式、分式不等式的一种方法.【品思感悟】此题主要考查学生学会类比转化的思想方法.（1）阅读理解材料，应用所学数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，切实做好语言转换，领悟其中的实质，理顺量与量的关系，利用已有的数学模型，把实际问题抽象为数学问题.（2）把问题用方程、方程组、不等式、不等式组等表示出来.（3）对方程、方程组、不等式、不等式组进行处理，得出数学结果.（4）用已求得的数学结果，解释并回答实际问题.【拓展体验】6：阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会。

【一、不等式】1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.注：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．【练习】1.用适当的符号语言表达下列关系.。

（1）a与5的和是正数.（2）b与-5的差不是正数.（3）x 的2倍大于x. （4）2x 与1的和小于零. （5）a 的2倍与4的差不少于5. 2.用适当的符号语言表达下列关系： （1）y 的12与3的差是负数.（2）x 的12与3的差大于2.（3）b 的12与c 的和不大于9.3.用适当的符号填空：（1）如果a<b ，那么a-3__b-3； 7a__7b ；-2a__-2b. （2）如果a<b ，那么a-b__0；a+5b__6b ；11__22a b b -. 4.用适当的符号填空：（1）7a+6__7a-6；（2）若ac ＞bc ，且c ＜0，则a b ． 5.判断（1）如果a b >，那么22ac bc >；（2）如果22ac bc >，那么a b >.6.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ； （2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4； （3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2； （4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）． （6）若a ＞b ＞0，则＜． ．7.设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【三、一元一次不等式组】关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 注：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【练习】1.解不等式组： ⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--②①13215)3(3x xx x ，并求出正整数解。

专题15 一元一次不等式 易错题之解答题（25题）Part1 与 不等式的解集 有关的易错题1．在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x≥－3.5 （2）x ＜－1.5（3）x ≥2 （4）－1≤x ＜2【答案】【解析】试题分析：根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法即可得到结果.用不等式表示图中的解集为x ＜3，则这个不等式的正整数解是x ＝1，2.考点：本题考查的是数轴表示不等式解集的方法点评：解答本题的关键是熟练掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．2．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：(1)若a －b ＞0，则a b ；(2)若a －b ＝0，则a b ；(3)若a －b ＜0，则a b.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较4＋3a 2－2b ＋b 2与3a 2－2b ＋1的大小．【答案】（1）＞；（2）=；（3）＜；（4）4＋3a 2－2b ＋b 2＞3a 2－2b ＋1【分析】（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同2-110-2-3-432-110-2-3-432-110-2-3-432-110-2-3-43时加上b即可；（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，结果仍是等式，等式的两边同时加上b 即可；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．【详解】（1）因为a﹣b＞0，所以a﹣b+b＞0+b，即a＞b；（2）因为a﹣b=0，所以a﹣b+b=0+b，即a=b；（3）因为a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，即a＜b．（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1=b2+3因为b2+3＞0，所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．故答案为＞、=、＜、4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．【点睛】（1）本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．（2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握．Part2 与不等式的性质有关的易错题3．（2020·浙江杭州市·九年级期末）若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．【答案】2﹣3x＞2﹣3y【提示】根据不等式的性质，由x＜y，可得﹣x＞﹣y，再判断出2﹣3x与2﹣3y的大小【详解】解：∵x＜y，∵﹣x＞﹣y，∵﹣3x＞﹣3y，∵2﹣3x＞2﹣3y．【名师点拨】主要考察不等式的基本性质4．（2019·福建泉州市·七年级期中）已知4x－y=6，x －12y＜2，求x 的取值范围.【答案】x的取值范围是x＞1.【提示】求x的范围，只需要将y换成x的表达式，就可以得到关于x的一元一次不等式【详解】∵4x－y=6，∵y=4x-6，∵x－12y＜2，∵x－12（4x－6）＜2，解得：x＞1，即x的取值范围是x＞1.【名师点拨】本题主要考查一元一次不等式的性质，解题的关键是将y换成x.5．(1)①如果a－b＜0，那么a________b；②如果a－b＝0，那么a________b；③如果a－b＞0，那么a________b.(2)由(1)你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．(3)用(1)的方法你能否比较3x2－3x＋7与4x2－3x＋7的大小？如果能，请写出比较过程．【答案】(1)①＜②＝③＞；(2)能，详解见解析；(3)能，理由见解析．【分析】根据不等式的基本性质即可一一解答．【详解】解：(1)①＜②＝③＞；(2)比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，那么a大于b；如果a与b的差等于0，那么a等于b；如果a 与b的差小于0，那么a小于b.(3)能．过程：∵(3x2－3x＋7)－(4x2－3x＋7)＝－x2≤0，∵3x2－3x＋7≤4x2－3x＋7.【点睛】解答此题的关键是熟练掌握不等式的基本性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变．6．（2020·江苏扬州市·七年级期末）（1）用等号或不等号填空：比较4x与242x 的大小：当x ＝1时，4x 242x +；当=0x 时，4x 242x +；当x ＝2-时，4x 242x +；试猜想：无论x 取何值，4x 242x +，请说明理由；（2）已知2242+8164x y y xy ++=，求x y 的值．【答案】（1）＜，＜，＜，＜，理由见详解；（2）116【提示】 （1）根据代数式求值，把x 的值代入代数式，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；（2）先利用配方法得到（2x -y ）2+（y+4）2=0，再利用完全平方公式的非负性质得x=﹣2，y=﹣4，然后把x 和y 的值代入计算即可．【详解】解：（1）比较4x 与242x +的大小：当x=1时，4x ＜4x 2+2，当x=0时，4x ＜4x 2+2，当x=-2时，4x ＜4x 2+2，无论x 取何值，4x ＜242x +，理由：242x +－4x ，=4x 2－4x+2，=4x 2－4x+1+1，=()22x 1+1－ ，∵()22x 10－≥，∵()22x 1+1－＞0恒成立，∵4x ＜242x +．（2）2242+8164x y y xy ++=，移项：22244xy+y +8160x y y ++=－，222x y y 40++=（－）（），∵22y 0x ≥（－），2y 40+≥（），∵2y 0x =－，40y +=，∵解得：x=﹣2，y=﹣4，∵x y =116． 【名师点拨】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，负整指数幂的运算，解题关键在于理解掌握完全平方公式的非负性，掌握负整指数幂的运算法则．7．（2019·北京东城区·七年级期中）阅读下列材料：解答“已知2x y -=，且1x >，0y <，确定x y +的取值范围”有如下解，解：∵2x y -=，∵2x y =+．又∵1x >，∵21y +>．∵1y >-．又∵0y <，∵10y -<<，①同理得：12x <<．② 由①+②得1102y x -+<+<+．∵x y +的取值范围是02x y <+<．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知3x y -=，且2x >，1y <，求x y +的取值范围．（2）已知1x <-，1y >，若x y a -=，且2a <-，求x y +得取值范围（结果用含a 的式子表示）．【答案】(1) 1＜x+y ＜5;(2) a+2＜x+y ＜-a -2.【解析】整体提示：（1）先分别确定x ，y 的取值范围，再根据等式的性质确定x+y 的范围；（2）先分别用含a 的式子确定x ，y 的取值范围，再根据等式的性质用含a 的式子确定x+y 的范围；解：（1）∵x-y=3，∵x=y+3.∵x＞2，∵y+3＞2，∵y＞-1.∵y＜1，∵-1＜y＜1.…①同理得：2＜x＜4.…②由①+②得-1+2＜y+x＜1+4，∵x+y的取值范围是1＜x+y＜5.（2）∵x-y=a，∵x=y+a.∵x＜-1，∵y+a＜-1，∵y＜-a-1.∵y＞1，∵1＜y＜-a-1.…①同理得：a+1＜x＜-1.…②由①+②得1+a+1＜y+x＜-a-1+(-1)，∵x+y的取值范围是a+2＜x+y＜-a-2.8．（2019·浙江杭州市·八年级期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.不等式组是否也具有类似的性质呢?请解答下列问题.（1）完成下列填空：（2）一般地，如果a bc d<⎧⎨<⎩那么a c+_______b d+（用“<”或“>”填空）.请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性【答案】（1）>、<；（2）<，理由见解析.【提示】（1）根据有理数的运算即可得出；（2）利用（1）的规律判断，利用不等式的基本性质即可证明.【详解】解：（1）4+231，3221，故答案为>、<；（2）结论：a c b d +<+，理由如下：∵a b <，∵a c b c +<+，∵c d <，∵a c b d +<+.【名师点拨】本题考查的是不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.Part3 与 解一元一次不等式 有关的易错题9．（2020·泰兴市七年级期中）解不等式621123x x ++-≤，并把它的解集在数轴上表示出来.【答案】不等式的解集为：x≥-2在数轴上表示为：【解析】【提示】先去分母，再去括号，然后移项，接着合并同类项，最后系数化为1即可得出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可得出答案.【详解】解：去分母得：6-3(x+6)≤2(2x+1)去括号得：6-3x -18≤4x+2移项得：-3x -4x≤2+18-6合并同类项得：-7x≤14系数化为1得：x≥-2∵不等式的解集为：x≥-2在数轴上表示为：【名师点拨】本题考查的是解一元一次不等式，注意在数轴上表示解集时，有等于号要用实心点，无等于号用空心点. 10．（2020·射阳县七年级期中）解不等式并把解集表示在数轴上：（1）2(x +1)﹣1≥4x +2，（2）2x ﹣2≥﹣73x - 【答案】（1）x ≤﹣12；（2）x ≥﹣2 【提示】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】解：（1）2(x +1)﹣1≥4x +2，2x +2﹣1≥4x +2，2x ﹣4x ≥2﹣2+1，﹣2x ≥1，x ≤﹣12； 在数轴上表示为：（2）2x ﹣2≥﹣73x -， 3x ﹣12≥﹣2(7﹣x )，3x ﹣12≥﹣14+2x ，3x ﹣2x ≥﹣14+12，x ≥﹣2，在数轴上表示为：【名师点拨】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示一元一次不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．11．（2020·江苏扬州市·七年级期末）已知二元一次方程x+2y=-5．当x 取什么值时，y 的值是大于-1的负数？【答案】当-5＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数【提示】先用x 表示y ，从而得到-1＜-12x -52＜0，然后解不等式组即可． 【详解】∵x+2y=-5．∵y=-12x -52， 而-1＜y ＜0， ∵-1＜-12x -52＜0，解得-5＜x ＜-3， ∵当-5＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数．【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤． 12．（2020·江苏苏州市·七年级期末）解不等式：2192136x x -+-≥，并把解集表示在数轴上．【答案】x≤﹣2，数轴见详解【提示】不等式的两边同时乘以6，去分母得：()()221926x x --+≥ ；去括号得：42926;x x ---≥ 移项得：510;x ≤- 系数化为1得：2x ≤- 解集在数轴上表示见解析.【详解】去分母得：2(21)(92)6x x --+≥ ；去括号得：42926;x x ---≥移项及合并得：510;x ≤-系数化为1得：不等式的解集为x ≤－2，在数轴上表示如图所示：13．（2020·江苏宿迁市·七年级期末）关于x ，y 的方程组23221x y k x y k +=⎧⎨+=-+⎩ 的解满足x+y ＞35．（1）求k 的取值范围；（2）化简|5k+1|﹣|4﹣5k|． 【答案】(1) 45k >;(2)5 【提示】（1）方程组两方程相加表示出x+y ，代入已知不等式即可求出k 的范围；（2）根据k 的范围确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义，去括号合并即可得到结果．【详解】（1）23221x y k x y k ①②+=⎧⎨+=-+⎩，①+②得：3（x+y ）=k+1，即x+y=13k +， 代入已知不等式得：1335k +>， 去分母得：5k+5＞9，即45k >； （2）∵45k >， ∵5k+1＞0，4﹣5k ＜0，则原式=5k+1+4﹣5k=5．【名师点拨】此题考查了二元一次方程组的解以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2020·沭阳县期末）如果关于x y ，的二元一次方程组35442x y a x y a+=+⎧⎨+=⎩的解满足2x y +>，请求出a 的取值范围．【答案】a ＞5．【提示】把方程组中的两个方程相加可得：()724x y a +=+，进而可得x +y 关于a 的代数式，而已知2x y +>，则可得关于a 的不等式，解不等式即得结果．【详解】解：对方程组：35442x y a x y a +=+⎧⎨+=⎩①②， ①+②，得：()724x y a +=+，∵247a x y ++=， ∵2x y +>， ∵2427a +>，解得：a ＞5． 【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键． Part4 与 用一元一次不等式解决问题 有关的易错题15．（2020·江苏南京市期末）某学校为了庆祝国庆节，准备购买一批盆花布置校园．已知1盆A 种花和2盆B 种花共需13元；2盆A 种花和1盆B 种花共需11元．（1）求1盆A 种花和1盆B 种花的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种盆花共100盆，并且A 种盆花的数量不超过B 种盆花数量的2倍，请求出A 种盆花的数量最多是多少？【答案】（1）1盆A 种花的售价为3元，1盆B 种花的售价是5元；（2）A 种盆花最多购进66盆．【提示】（1）1盆A 种花的售价为x 元，1盆B 种花的售价是y 元，根据：“1盆A 种花和2盆B 种花共需13元；2盆A 种花和1盆B 种花共需11元”列方程组求解即可；（2）首先根据“A 种盆花的数量不超过B 种盆花数量的2倍”确定m 的取值范围，然后得出最值即可．【详解】解：（1）1盆A 种花的售价为x 元，1盆B 种花的售价是y 元，根据题意可得：213211,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：35.x y =⎧⎨=⎩答：1盆A 种花的售价为3元，1盆B 种花的售价是5元；（2）设购进A 种花m 盆，依据题意可得：()2100,m m ≤- 解得：266,3m ≤ 而m 为正整数，∵m 最多=66，答：A 种盆花最多购进66盆．【名师点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．16．（2020·江苏连云港市·八年级期末）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠．现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；（2）购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算.【答案】（1）甲厂家所需金额为：1680+80x；乙厂家所需金额为：1920+64x；（2）16张．【提示】（1）根据甲乙两厂家的优惠方式，可表示出购买桌椅所需的金额；（2）令甲厂家的花费大于乙厂家的花费，解出不等式，求解即可确定答案．【详解】解：（1）根据甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案：甲厂家所需金额为：3×800+80（x﹣9）=1680+80x；乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1920+64x；（2）由题意，得：1680+80x＞1920+64x，解得：x＞15．答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算．【名师点拨】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题目中的数量关系是本题的解题关键．17．（2020·南京市期末）某口罩加工厂有,A B两组工人共150人，A组工人每人每小时可加工口罩70只，B组工人每小时可加工口罩50只,,A B两组工人每小时一共可加工口罩9300只.、两组工人各有多少人？（1）求A B、两组工人均提高了工作效率，一名A组工人和一名B组工人每小时共可生产口罩200只，（2）由于疫情加重，A B、两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么A组工人每人每小时至少加工多少只口罩？若A B【答案】（1）A组工人有90人、B组工人有60人（2）A组工人每人每小时至少加工100只口罩【提示】（1）设A组工人有x人、B组工人有（150−x）人，根据题意列方程健康得到结论；（2）设A组工人每人每小时加工a只口罩，则B组工人每人每小时加工（200−a）只口罩；根据题意列不等式健康得到结论．【详解】（1）设A组工人有x人、B组工人有（150−x）人，根据题意得，70x＋50（150−x）＝9300，解得：x ＝90，150−x ＝60，答：A 组工人有90人、B 组工人有60人；（2）设A 组工人每人每小时加工a 只口罩，则B 组工人每人每小时加工（200−a ）只口罩；根据题意得，90a ＋60（200−a ）≥15000，解得：a≥100，答：A 组工人每人每小时至少加工100只口罩．【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．18．（2020·江苏扬州市·七年级期末）为响应国家“足球进校园”的号召，某校购买了50个A 类足球和25个B 类足球共花费7500元，已知购买一个B 类足球比购买一个A 类足球多花30元．（1）求购买一个A 类足球和一个B 类足球各需多少元？（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为“足球特色学校”，学校计划用不超过4800元的经费再次购买A 类足球和B 类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个A 类足球？【答案】（1）购买一个A 类足球需要90元，购买一个B 类足球需要120元；（2）本次至少可以购买40个A 类足球．【提示】（1）设购买一个A 类足球需要x 元，购买一个B 类足球需要y 元，根据“购买50个A 类足球和25个B 类足球共花费7500元，购买一个B 类足球比购买一个A 类足球多花30元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m 个A 类足球，则购买（50-m ）个B 类足球，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4800元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设购买一个A 类足球需要x 元，购买一个B 类足球需要y 元，依题意，得：5025750030x y y x +=⎧⎨-=⎩， 解得：90120x y =⎧⎨=⎩． 答：购买一个A 类足球需要90元，购买一个B 类足球需要120元．（2）设购买m 个A 类足球，则购买()50m -个B 类足球，依题意，得：()90120504800m m +-≤，解得：40m ≥．答：本次至少可以购买40个A类足球．【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．19．（2020·苏州高新区七年级期中）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？【答案】（1）60，80；（2）答案见解析；（3）方案一商家获利最多．【提示】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，则根据所花的钱数为1600元，可得出方程，解出即可；（2）根据题意所述的不等关系：不超过3240元，且不少于3200元，等量关系：两种球共50个，可得出不等式组，解出即可；（3）分别求出三种方案的利润，继而比较可得出答案．【详解】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，根据题意，得8x+14（x+20）=1600，解得：x=60，x+20=80．即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元；（2）设购进足球y个，则购进篮球（50-y）个．根据题意，得6080(50)3200 6080(50)3240 y yy y+-≥⎧⎨+-≤⎩，解得：4038yy≤⎧⎨≥⎩，∵y为整数，∵y=38，39，40．当y=38，50-y=12；当y=39，50-y=11；当y=40，50-y=10．故有三种方案：方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；方案三：购进足球40个，则购进篮球10个；（3）商家售方案一的利润：38（60-50）+12（80-65）=560（元）；商家售方案二的利润：39（60-50）+11（80-65）=555（元）；商家售方案三的利润：40（60-50）+10（80-65）=550（元）．故第二次购买方案中，方案一商家获利最多．【名师点拨】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意所述的等量关系及不等关系，列出不等式，难度一般．20．（2020·江苏南通市·七年级期末）平高集团有限公司准备生产甲、乙两种开关，共8万件，销往东南亚国家和地区，已知2件甲种开关与3件乙种开关销售额相同；3件甲种开关比2件乙种开关的销售额多1500元．（1）甲种开关与乙种开关的销售单价各为多少元？（2）若甲、乙两种开关的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种开关多少万件？【答案】（1）甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件；（2）至少销售甲种商品2万件【提示】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，根据题意得：23321500x yx y=⎧⎨-=⎩，解得：900600 xy=⎧⎨=⎩．答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件．（2）设销售甲种商品a万件，依题意有900a+600（8﹣a）≥5400，解得a≥2．答：至少销售甲种商品2万件．【名师点拨】本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．Part5 与一元一次不等式组 有关的易错题21．（2020·江苏苏州市·七年级期中）解不等式-3+3+121-3-18-x x x x ⎧≥⎪⎨⎪<⎩（） 【答案】﹣2＜x≤1．【详解】试题提示：根据不等式的解法，分别解两个不等式，然后取其公共部分即可. 试题解析：331(1)213(1)8(2)x x x x -⎧++⎪⎨⎪--<-⎩，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∵不等式组的解集为﹣2＜x≤1．名师点拨：此题主要考查了不等式组的解法，解题关键是利用一元一次不等式的解法，分别解不等式，然后根据不等式组的解集确定法：“都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”，确定其解集即可.22．（2020·江苏扬州市·七年级期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组354538x y m x y -=⎧⎨-=⎩， （1）若方程组的解满足6-=x y ，求m 的值；（2）若方程组的解满足x y <-，求m 的取值范围．【答案】（1）10；（2）2m >【提示】（1）利用第一个方程加上第二个方程得出112x y m -=+，从而根据题意建立一个关于m 的方程，解方程即可； （2）利用第二个方程减去第一个方程得出42x y m +=-，从而根据题意建立不等式，解不等式即可．【详解】354538x y m x y -=⎧⎨-=⎩①②（1）①+②可得：112x y m -=+， 6x y -=，1162m ∴+=， 10m ∴=．（2）②-①可得：42x y m +=-，x y <-，420m ∴-<，2m ∴>．【名师点拨】本题主要考查方程组及不等式式，掌握解方程组和不等式的方法是解题的关键．23．（2020·江苏苏州市·七年级期末）解不等式组()12213x x x x ⎧-≥-⎪⎨+>⎪⎩，并求出它的所有整数解的和． 【答案】﹣1.5＜x ≤3，不等式组的所有整数解的和为5．【提示】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．【详解】解：解不等式x ﹣1≥2（x ﹣2），得：x ≤3，解不等式x +1＞3x ， 得：x ＞﹣1.5，则不等式组的解集为﹣1.5＜x ≤3，∵不等式组的所有整数解为：1,0,1,2,3.-∵不等式组的所有整数解的和为﹣1+0+1+2+3＝5．【名师点拨】本题考查的是解不等式组，及求不等式组的整数解，掌握以上知识是解题的关键．24．（2020·江苏淮安市·七年级期末）解不等式或不等式组：（1）2151132x x -+-≤ （2）()312215233x x x x ⎧+<+⎪⎨-≤+⎪⎩，并写出解集中所有的整数．【答案】（1）x≥-1；（2）-1≤x ＜3整数解有-1，0，1，2【提示】（1）去分母后，根据一元一次不等式解法移项，合并同类项即可求解；（2）对两个不等式去分母、移项，合并同类项即可获得解集，然后根据解集写出解集中的整数即可．【详解】（1）2151132x x -+-≤ 去分母得：()()2213516x x --+≤去括号得：421536x x ---≤移项、合并同类项得：1111x -≤解得：1x ≥-故答案为1x ≥-；（2）()312215233x x x x ⎧+<+⎪⎨-≤+⎪⎩①②解不等式①得，3x <， 解不等式②得，22x -≤，即1x ≥-，∵不等式的解集为13x -≤<解集中包含整数-1，0，1，2故答案为-1≤x ＜3整数解有-1，0，1，2．【名师点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，要注意去括号和移项时的变号问题，也要注意获取整数解时，解集中大于等于或小于等于时，包含左侧或右侧的数字．25．（2020·江苏扬州市·七年级期末）已知关于 x 、 y 的方程组123x y a x y a -=--⎧⎨-=-⎩ （1）求该方程组的解（用含 a 的代数式表示）；（2）若方程组的解满足 x ＜0 ， y ＞0 ，求 a 的取值范围．【答案】（1）2+1+2x a y a =-⎧⎨=-⎩；（2）122a << 【提示】（1）利用加减消元法求解可得；（2）根据题意列出关于a 的不等式组，解之可得．【详解】解：（1）123x y a x y a -=--⎧⎨-=-⎩①②， ②-①，得：x=-2a+1，将x=-2a+1代入①，得：-2a+1-y=-a -1，解得y=-a+2，所以方程组的解为2+1+2x a y a =-⎧⎨=-⎩； （2）根据题意知2+10+20a a -<⎧⎨->⎩， 解不等式-2a+1＜0，得a ＞12， 解不等式-a+2＞0，得a ＜2， 解得：12＜a ＜2． 【名师点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．。

苏教版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解【学习目标】1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系1.行程问题：路程＝速度×时间2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100%⨯利润利润率进价4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.【实际问题与一元一次不等式409415 小结：】要点二、列不等式解决实际问题列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；(2)设：设出适当的未知数；(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；(4)解：解所列的不等式；(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．要点诠释：(1)列不等式的关键在于确定不等关系；(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B 型车 ”．这一点应十分注意．【典型例题】类型一、行程问题1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外（包括100m ）的安全地区，导火索至少需要多长？【思路点拨】设导火索要xcm 长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区，可列不等式求解． 【答案与解析】解：设导火索要xcm 长，根据题意得：1000.85x ≥ 解得：16x ≥答：导火索至少要16cm 长．【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m 的安全距离作为不等量关系列不等式求解．类型二、工程问题2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要完成多少土方？ 【思路点拨】假设以后几天平均每天完成x 土方，一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，那么该土方工程还剩300-60=240土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，说明至多4天完成任务，用去一天，还剩4-1=3（天）则列不等式2403x≤ 解得x 即可知以后平均每天至少完成多少土方．【答案与解析】解：设以后几天平均每天完成x 土方．由题意得： 30060621x---≤ 解得： x≥80答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80土方．【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不等式．【实际问题与一元一次不等式409415 例3】举一反三：【变式】（2014春•常州期末）某人计划20天内至少加工400个零件，前5天平均每天加工了33个零件，此后，该工人平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内完成任务？【答案】解：设以后平均每天加工x 个零件，由题意的：5×33+（20﹣5）x≥400，解得：x≥2153． ∵x 为正整数，∴x 取16．答：该工人以后平均每天至少加工16个零件．类型三、利润问题3.水果店进了某种水果1t ，进价是7元/kg ．售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？【答案与解析】解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售,根据题意得：1t ＝1000kg10001000(107)(107)20001022x ⨯-⨯+-⨯≥ 解得：8x ≥ 答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售．【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式． 举一反三：【变式】某商品的进价为1000元，售价为2000元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折．【答案】六.类型四、方案选择4.（2015•庆阳）某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元，销售10个篮球和20个排球的总利润为650元．（1）求每个篮球和每个排球的销售利润；（2）已知每个篮球的进价为200元，每个排球的进价为160元，若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个，且要求篮球数量不少于排球数量的一半，请你为专卖店设计符合要求的进货方案．【思路点拨】（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，根据题意得到方程组；即可解得结果；（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m ）个，根据题意得不等式组即可得到结果．【答案与解析】解：（1）设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x 元，y 元，根据题意得：，解得：， 答：每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元，20元；（2）设购进篮球m 个，排球（100﹣m ）个，根据题意得：，解得：≤m≤35，∴m=34或m=35，∴购进篮球34个排球66个，或购进篮球35个排球65个两种购买方案．【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键．。