四川省宣汉县第二中学高中数学《椭圆的标准方程》导学案 新人教A版选修11

2.1.1《椭圆及其标准方程》导学案一、【学习目标】1、知识与技能：理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程.2、过程与方法:通过亲身操作加深定义的认识.3、情感、态度与价值观:让学生在发现中学习，提高学生的积极性。

培养解析法的思想。

二、【重点难点】【重点难点】椭圆的定义和标准方程。

三、【教学过程】【回顾知识，提出问题】(一) 新课复习:(1)圆是如何定义的？(2)到两定点距离之和为定值的点的集合又是什么曲线呢？（二）问题导学:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

常数用______表示【合作探究】:椭圆的定义为什么要满足2a >2c呢？(1)当2a >∣F1F2∣时，轨迹是_____(2)当2a =∣F1F2∣时，轨迹是_____(3)当2a <∣F1F2∣时轨迹是. _____【小试牛刀】动点P到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（）（A）椭圆（B）线段F1F2（C）直线F1F2（D）不能确定。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式为：___________问题8：如何判断焦点在何轴?【小试牛刀】根据下列方程，分别求出a 、b 、c(1)椭圆标准方程为161022=+y x ，则a = ,b = , =c ； (2)椭圆标准方程为1522=+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为8222=+y x ，则a = ,b = , =c .四、【例题讲解】 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.【规律方法总结】五、【课堂检测】1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上； (2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.六、【归纳总结】1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程.3.会根据条件求椭圆的标准方程，掌握其方法.附答案：1.14 2. 2222(1)116(2)116x y y x +=+=。

2.1.1椭圆及其标准方程【教学目标】理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．【重点】椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题【难点】椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法【教学过程】1、预习与引入过程取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？2、新课讲授过程椭圆的定义：椭圆标准方程的推导过程：类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．3、例题讲解与引申：例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．例2 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？例3设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．4、巩固练习：（1）第36页第1题（2）第36页第2题（3）第36页第3题（4）第36页第4题5、课堂小结6、课后反思中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

2.2.1 椭圆及其标准方程导学案（第一课时）营山二中 龚玉伦【学法指导】1.仔细阅读教材（P 38—P 40），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画 出疑惑点，课上讨论交流。

2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。

【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。

2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

3.通过对卫星发射的再现,培养学生爱国主义情操,民族自豪感,通过对天体运动的分析, 激发学生的求知欲. 【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P 38，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把细绳的两端拉开一段距离，分别用图钉固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线 ，在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖到两定点的距离之和等于 ．2.思考下列问题：（1）作图的过程中哪些量没有变？的位置不变， 的长度不变。

（2）为什么作图过程中笔尖要绷紧？保证无论笔尖移动到任何位置，笔尖到两定点到距离之和（3）笔尖所对应的动点M 到两个定点F 1、F 2的距离有什么长度之间的关系？ = 绳长3.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。

预习二：对椭圆定义的理解1.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是2.将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？预习三：椭圆的标准方程及其推导：（仔细阅读教材P 39-P 40，回答下列问题）思考：用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤是什么？（1） （2） （3） （4） （5）根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x M 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>) {})0( 221>=+=∴a a MF MF M P=1MF 又 ，=2MF a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴ -=++∴a y c x 2)(22 ，等式两边平方整理得：=+-22)(y c x a ， 等式两边再平方整理得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,022>-∴c a两边同除以)(222c a a -得 122222=-+ca y a x ① 观察右图，你能从中找出表示22,,c a c a -的线段吗？= =a ； = =c ； =22c a -令=-22c a 代入①，得 )0(12222>>=+b a by a x ②由曲线与方程的关系可知，方程②为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程它的焦点在x 轴上，两个焦点坐标分别是 ，其中c b a ,,满足的关系式为【探究案】探究一：推出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：如果焦点F 1，F 2在y 轴上，且F 1，F 2的坐标分别为),0(),,0(c c -，b a ,的意义同上，那么由{}()0 221>=+=a a MF MF M P 得与a y c x y c x 2)()(2222=+-+++相比较，只需将 对调就可得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程它的焦点在y 轴上，两个焦点坐标分别是 ，其中c b a ,,满足的关系式为探究二：对椭圆标准方程的认识1.椭圆的标准方程有什么特点?①椭圆的标准方程的形式： 左边是 ，右边是 ②椭圆的标准方程中a 、b 的关系是2.如何区分焦点在x 轴上的椭圆的标准方程与焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？结论：看标准方程中2x ，2y 分母的大小，哪个分母 ，焦点就在 。

2.椭圆及其标准方程〔第一课时〕导学案【学习目标】1. 掌握椭圆的定义和标准方程；2. 会求简单的椭圆方程；3.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

4.稳固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

【重点难点】重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用难点：标准方程的建立与推导【课前探究】阅读并预习教材，找出疑惑之处，完成以下问题1、自制工具，使用拉线法在纸板上演示椭圆定义做出椭圆思考:改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？2、圆的定义：椭圆的定义：3、类比圆的方程的推导过程，尝试自己推导椭圆的标准方程【课中探究】研讨互动，问题生成1、椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数2a 〔大于12F F 〕的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c。

2、椭圆的标准方程：思考1：根据椭圆的定义，找出椭圆中的等量关系，并用集合表示？思考2：建系设点，推导椭圆的标准方程？以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系设M〔x , y〕,则F1(-c,0),F2(c,0)，设122MF MF a+=思考3：如果椭圆的焦点在y轴上呢？请大家小组讨论，猜测椭圆的方程有何改变？椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b ab+=>>课中反应练习：1、请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出22,a b 。

〔1〕22110036x y += 〔2〕22136100x y += 〔3〕2213636x y += 〔4〕22110036x y -=请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点：，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为 。

椭圆的标准方程教学设计一、教材分析《椭圆标准方程》是人教B版选修2-1第二章第二节，是本章所研究的三种圆锥曲线的重点，高考中多以压轴题出现。

本章是在学生学习了直线和圆的方程基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

通过学习，培养学生用代数方法解几何问题的能力，同时培养学生的代数运算和等价变形能力，强化培养学生的数形转换能力。

二、学生分析：学生已经学习了《圆》的有关知识，上节课又学习了《曲线与方程》。

所以学生对求轨迹方程问题已经有了一定的基础，但是学生的代数运算能力还有待于提高，尤其是本节有关带根式的方程化简是个难点。

三、设计思想基于对以上几点分析，我这节课的设计主要突出以下几点：一是对椭圆的定义的引入，通过借助天体运动轨迹，让学生从感性认识入手，再通过实验探究，进行小组合作互助画出椭圆图像，这样一方面提高学生学习兴趣，又让学生上升到理性认识，形成正确的概念。

二是通过问题式探究，学生进行椭圆标准方程的推导。

注重学生自我的探究能力、运算能力、处理数据能力。

学会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法。

培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。

而教师起到指导性作用，整个课堂做到以学生为主体。

三是通过学生阅读课本的探索与研究，使学生自己认识到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，通过对比探索出两种标准方程的异同点。

并总结提升形成理论。

四、教学目标1、通过实验探究，总结出椭圆的定义，并通过练习1、2、3能指出椭圆的定义满足的条件，并能把文字语言转换成符号语言；2、探究出标准方程的推导方法，能写出标准方程，并能够说出三个量a, b,c 之间的关系；3、会由标准方程求焦点及a,b,c；4、根据已知的条件，会求椭圆的标准方程，并能总结出求标准方程的步骤。

五、教学重点与难点：教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

椭圆一．定义及标准方程定义：平面内与两定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。

符号表示：方程：（1）焦点在x 轴上：12222=+b y a x ()0b ＞＞a（2）焦点在y 轴上：12222=+ay b x ()0b ＞＞a1.求椭圆的标准方程（1）.定义法：根据定义确定22,b a 的值，再根据焦点的位置写出标准方程。

（2）.待定系数法：1）焦点不确定可设方程为：122=+By Ax 或者设为)(1222222n m ny m x ≠=+2 )与椭圆1122222222=+++=+k b y k a x b y a x 为有共同焦点的椭圆可设 3 ）与椭圆k by a x b a b y a x =+>>=+22222222)0(1设为有相同离心率的椭圆可例1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________________.例2.若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点（1，21）做圆的切线122=+y x ，切点分别为A,B 直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为________________.例3.椭圆C 的中心在原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22，过1F 的直线l 交C 与A,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为__________.例4.椭圆131222=+y x 的左右焦点分别为21,F F 点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么的是|PF |||21PF（ ）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍例5 .已知1F ，2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过椭圆的焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,，若1222=+B F A F ，则=AB ________________.二．简单几何性质：例1.设椭圆12222=+b y a x 的焦距为2C ，以O 为圆心，a 为半径做圆M ，若过点P （ca 2,0）所做圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_________.例2.过椭圆C ： 12222=+by a x 的左顶点A 且斜率为K 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好在右焦点F ，若2131<<k ，则椭圆离心率的取值范围是： （ ）)49,41.(A B.)1,32( C.)32,21( D.)21,0(例3.椭圆13622=+y x 中,F 1、F 2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点F 1,则∆ABF 2的面积为 ( ) （A ）3 （B ）233 （C ）34 （D ）4例4、已知1F ，2F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上.如果12PF F ∆是直角三角形，求点P 的坐标.三．椭圆与其他图的位置关系1、判断点和椭圆的位置关系设点P 的坐标为()00,y x ，把()00,y x 代入到椭圆方程，可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++，点在椭圆内。

椭圆及其标准方程[使用说明]1。

首先用15分钟时间预习课本，总结出知识要点，思考难点并提出疑问。

2．小组内互相解答疑问，讨论指导。

3．完成预习自测题目。

[学习目标]1．理解椭圆定义，能够用定义判断曲线是否为椭圆，能根据椭圆求出其上一点到两焦点的距离之和。

2。

掌握求曲线方程的建系要领，能合作完成椭圆方程的推倒化简。

3．掌握椭圆标准方程的特征，明确a,b,c 的关系及几何意义，会判断椭圆焦点的位置，会求椭圆的标准方程。

4．训练培养严谨细致的习惯，注重合作精神，体会数学的美。

【课前预习】 一、问题导学1.圆的定义是什么？怎样画圆？圆的方程最简单的形式是什么？2.通过课本第32 页探究，体会椭圆的定义是什么？定义要注意哪些要点？3.椭圆方程是怎样推导出的？在建立坐标系中怎样选择？怎样化简？4.a .b.c 的意义是什么？5.如何区分两种标准方程？6.如何求椭圆的标准方程？ 二、预习测试1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-yx ；④369422=+x y 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为3. 1,6==c a ,焦点在y 一轴上的椭圆的标准方程是4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,－5),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.（2）焦点在x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).三、预习疑问记录 【课内探究】探究一：小组合作，按照课本图示在画板上画出椭圆，总结出椭圆定义。

问题1：笔尖（动点）满足什么规律？问题2：改变细线长度会怎样？总结：探究二：在焦点、定长2a 确定的条件下，求出椭圆的方程。

问题1：求曲线方程的步骤有哪些？问题2：如何建立坐标系，才能让方程美观简洁？ 求椭圆方程的过程：总结：探究三：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：题组一：两个焦点的坐标分别是()40-，、()40，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.变式1：将上题焦点改为(0,4)-、(0,4)，结果如何？变式2：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？变式3：定点()40-，、()40，，求到这两点距离和为8的点的轨迹方程。

导学案：椭圆的标准方程一、 学习目标：1． 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程2． 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强学生的数形结合能力。

二、使用说明：1、自己认真阅读课本，理清里面的意思，试着解决问题；2、然后根据自己的理解推到椭圆的方程。

3、试着自己完成例题三、自学指导：1、椭圆的定义：2、椭圆方程的推到过程：3、椭圆的标准方程：形式1： 形式2：四、合作、探究、展示：例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23 ,25）例题2：求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：（1）;1243622=+y x （2）243822=+y x例题3：已知B 、C 是两定点，8|BC |=，且AB C ∆的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程。

五、课堂检测：1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)（1）a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.2．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值 ①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y 3． 椭圆191622=+y x 的焦距是___ _____，焦点坐标是_____________，若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2的周长为________________。

．方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是_________.限时训练 1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4. 根据下列条件，写出椭圆的标准方程：○11,3==b a ，焦点在x 轴上 ，则椭圆的标准方程为 ；○2,3=b 经过点)4,0(-，焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ； 5 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 ____ ___6、设M 是椭圆192522=+y x 上一点，1F ，2F 是椭圆的焦点。

人教A 版选修11第二章导学案椭圆的标准方程2无答案第二课时 课型：新授课 备课人：班级 小组 姓名 一、学习目的1、能应用定义写出所求椭圆轨迹方程。

2、会依据椭圆的规范方程求解焦点三角形的周长、面积。

二、自主学习温习：椭圆的定义： 焦距：规范方程：a ，b ，c 关系式：说明方法：某椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A ()32,1和B ()22,2，求椭圆的规范方程． 三、课堂探求探求一：椭圆上焦点三角形的有关求解技巧椭圆13422=+y x 中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积。

强化训练2：椭圆12922=+y x 的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，假定|PF 1|＝4，求∠F 1PF 2的大小。

结合学习指点P23例题，完成探求二：一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.探求三：依据定义求解椭圆轨迹方程在圆x 2＋y 2＝9上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？ 总结求椭圆规范方程的方法：(1)定义法：即依据椭圆的定义，判别出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法：设出椭圆的规范方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，可归结为〝先定型，再定量〞，其普通步骤是： ①定类型：依据条件判别焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两种状况都有能够，并设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)；也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )． ②确定未知量：列出关于a 、b 、c 的方程组，得a 、b 的值，然后代入所设方程即可． 〔3〕相关点法：用相关点法求轨迹方程的基本步骤为 (1)设点：(2)求关系式：(3)代换：限时训练 2.1.2 椭圆的定义及规范方程1、12,F F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点, P 为椭圆上一动点,求12·PF PF 的最大值，并求出此时12PF F ∆的面积和12P F F ∠的余弦值。

2.1 椭圆第1课时椭圆及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P32～P36的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆．②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？提示：是．其距离之和始终等于线段的长度．(2)观察教材P33－图2.1－2.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．(3)观察教材P34“思考”．设M(x，y)，F1(0，－c)，F2(0，c)，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)，则M点的轨迹方程是什么？提示：．2．归纳总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程[问题思考](1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？提示：a＝|PF2|，b＝|OP|，c＝|OF2|．(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？提示：a，b的值及焦点的位置．[课前反思](1)椭圆的定义是：；(2)椭圆的标准方程是：；特点：；(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是：．讲一讲1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，求△ABF 2的周长．[尝试解答] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a .由椭圆的定义可知，点的集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }(其中|F 1F 2|＝2c )表示的轨迹有三种情况：当a >c 时，集合P 为椭圆；当a ＝c 时，集合P 为线段F 1F 2；当a <c 时，集合P 为空集．在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系．因为椭圆上的点与两个焦点构成一个三角形，所以可联系三角形两边之和大于第三边来帮助记忆．练一练1．已知命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2.讲一讲2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．[尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.法二：设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. (2)法一：当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．练一练3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6， 所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26，2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144. 所以所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.讲一讲3．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．[尝试解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M 、N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．练一练4．如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1，0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝4.又|AC |＝2， ∴M 点的轨迹为椭圆．由椭圆的定义知，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1.讲一讲4．如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思考点拨] 由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF 1|，再代入三角形的面积公式求解． [尝试解答] 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.即△PF 1F 2的面积是335.对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．练一练5．将本讲中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△PF 1F 2的面积． 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos 60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3. ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题． 2．对椭圆定义的理解易忽视“2a >2c ”这一条件，是本节课的易错点． 平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在． 3．本节课要重点掌握的规律方法 (1)椭圆标准方程的求法，见讲2. (2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3. (3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.课时达标训练（六） [即时达标对点练]题组1 椭圆的标准方程 1．已知方程x 2k －4＋y 210－k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，10)B ．(7，10)C ．(4，7)D ．(4，＋∞)解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.2．已知椭圆 x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2，∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.3．椭圆9x 2＋16y 2＝144的焦点坐标为________． 解析：椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1，∴a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，且焦点在x 轴上， ∴焦点坐标为(－7，0)，(7，0)． 答案：(－7，0)，(7，0)4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________．解析：∵c ＝23，a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝3b 2＝c 2＝12，b 2＝4，a 2＝16.又∵焦点在y 轴上，∴标准方程为y 216＋x 24＝1.答案：y 216＋x 24＝1题组2 与椭圆有关的轨迹问题5．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1 D ．x 2＋y 24＝1 解析：选A 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1.6．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4.但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．题组3 椭圆的定义及焦点三角形问题7．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上．则sin A ＋sin Csin B＝________． 解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：549．已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为4，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若△PF 1F 2的面积为23，求点P 坐标． 解：(1)由题意知，2c ＝4，c ＝2， |PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8， 即2a ＝8，∴a ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 坐标为(x 0，y 0)， 依题意知，12|F 1F 2||y 0|＝23，∴|y 0|＝3，y 0＝± 3.代入椭圆方程x 2016＋y 2012＝1，得x 0＝±23，∴点P 坐标为(23，3)或(23，－3)或(－23，3)或(－23，－3)．[能力提升综合练]1．设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 解析：选D ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作x 轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P ，则△PF 1F 2的面积等于( )A.32B. 3C.72D ．4解析：选A 如图所示，由定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，c ＝a 2－b 2＝3，又由PF 1⊥F 1F 2，可设点P 的坐标为(－3，y 0)，代入x 24＋y 2＝1，得|y 0|＝12，即|PF 1|＝12，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|＝32. 3．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或 x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或 x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3. ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.4．设F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，在曲线C 上满足的点P 的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4 解析：选B ∵，∴PF 1⊥PF 2.∴点P 为以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c ＝8－4＝2. ∵b ＝2，∴点P 为该椭圆y 轴的两个端点．5．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．解析：∵|OF 2|＝c ，∴由已知得3c24＝3，∴c 2＝4，c ＝2.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△POF 2为正三角形， ∴|x 0|＝1，|y 0|＝3，代入椭圆方程得1a 2＋3b2＝1.∵a 2＝b 2＋4，∴b 2＋3(b 2＋4)＝b 2(b 2＋4)， 即b 4＝12，∴b 2＝2 3. 答案：2 36．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点， 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. 即F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. 故所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.8．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积； (2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3，0)．①在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角， 得即(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0.又y 2＝1－x 24， 所以34x 2<2，解得－263<x <263.所以点P 横坐标的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.第2课时 椭圆的简单几何性质[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 37～P 40“探究”的内容，回答下列问题． 观察教材P 38－图2.1－7，思考以下问题：(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中x ，y 的取值范围各是什么？提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的对称轴和对称中心各是什么？提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与坐标轴的交点坐标是什么？提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？ 提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2.(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？ 提示：离心率e ＝c a；0<e <1.(6)如果保持椭圆的长半轴长a 不变，改变椭圆的短半轴长b 的值，你发现b 的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)根据离心率的定义及椭圆中a ，b ，c 的关系可知，e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越接近于1，则c 越接近于a ，从而b ＝a 2－c 2就越小；e 越接近于0，则c 越接近于0，从而b 越接近于a .那么e 的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 2．归纳总结，核心必记 椭圆的简单几何性质续表[问题思考](1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ 提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？ 提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ．(3)如何用a ，b 表示离心率？提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2，∴e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∴e ＝1－b 2a2. [课前反思](1)椭圆的几何性质：；(2)椭圆的离心率与椭圆的扁圆程度的关系是： ．讲一讲1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [尝试解答] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．练一练1．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2， ∴1m 2>14m2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m .离心率e ＝ca ＝32m1m＝32.讲一讲2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.[尝试解答] (1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．练一练2．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A (2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上．设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254. ∴方程为y 225＋4x225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x225＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[尝试解答] 由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝b a，故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0. 又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c ，可直接利用e ＝c a求解．若已知a ，b 或b ，c ，可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c a求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．练一练3．如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1OOA. ∴b 2a b ＝ca，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率． 2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点． 3．本节课要重点掌握的规律方法(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1. (2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.课时达标训练（七） [即时达标对点练]题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6 D ．10、6、0.6解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a ＝10，2b ＝6，c a＝0.8.2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.题组2 由椭圆的几何性质求标准方程4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A 因为2a ＝18，2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D 由题意得m －2>10－m 且10－m >0，于是6<m <10，再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为_______________________．解析：依题意可设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，a >b >0，半焦距为c ， ∵椭圆G 的离心为率为32， ∴c a ＝32⇒c ＝32a . ∵椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12， ∴2a ＝12⇒a ＝6.∴c ＝33，b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝1题组3 椭圆的离心率7．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：选A 化为标准方程为x 24＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴e ＝c a ＝32.8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( ) A.513 B.35 C.45 D.1213解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a －c ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋c ＝9.当a －c ＝9时，由b 2＝9得a 2－c 2＝9＝(a －c )(a ＋c )，a ＋c ＝1，则a ＝5，c ＝－4(不合题意)．当a ＋c ＝9时，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，故e ＝45.9．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．解：如图，连接BF 2.∵△AF 1F 2为正三角形， 且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥AF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c ， 根据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ， ∴ca＝3－1.∴椭圆的离心率e 为3－1.[能力提升综合练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 解析：选A 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33 C.12 D.13解析：选B 记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13D.12解析：选D又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即aa ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12. 4．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________． 解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5，4)，则椭圆的方程为________．解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5，4)，∴25a 2＋5×164a2＝1. 解得a 2＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝16．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，c 为半径的圆． 因为点M 总在椭圆内部，所以c <b ， 所以c 2<b 2＝a 2－c 2，所以2c 2<a 2，所以e 2<12，所以0<e <22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2两点，求椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2代入上式，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4322b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222a 2＋（2）2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝4.此时椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2代入上式得 ⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4322a 2＋12b2＝1，（2）2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3222b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝9.因为a >b >0，所以舍去， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.8．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝ m （m ＋2）m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1，0)，A 2(1，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.第3课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[思考1] 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；d>r⇔相离；d<r⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．[思考3] 已知直线l和椭圆C的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．[尝试解答] 将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.当Δ＝0时，得m＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m<52，直线与椭圆相交；当Δ<0时，得m<－52或m>52，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆 x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立， 因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立， 所以1－m ≤0， 即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以0<m <5， 综上，1≤m <5，即m 的取值范围是[1，5)．[思考1] 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长[思考2] 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？讲一讲2．已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．[尝试解答] (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1）， 由于P (4，2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.练一练2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172解析：选C 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)， ∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.∴所求中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1.讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63.(1)若2a2c＝32，求椭圆方程；(2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．[尝试解答] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，2a 2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b2＝1， 得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0， 且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2， 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1，所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1.又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d。

课题：2.2.1椭圆及其标准方程（2） 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。

◆ 情感、态度与价值观目标会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．批 注教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。

教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

教学用具： 多媒体，三角板教学方法： 推导，分析 教学过程： 一、课前准备（预习教材P 41~ P 42）复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,35b =,则椭圆的标准方程是 ．二、新课导学 ※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比为22的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升 ※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．课后作业1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．教学后记：。

§1.1.1 椭圆及其标准方程年 月 日 班级 组别 姓名 评定人签字学习目标——目标指明方向1. 了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程以及椭圆标准方程的推导过程；2. 掌握椭圆的定义和标准方程.自学——书读百遍，其义自见课前准备：一块硬纸板，一根约10到30cm 的细线（或细绳子）。

探究一 椭圆的定义动手试试：1．将一条细绳子的两端固定在同一点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转一周以后，笔尖在硬纸板上形成的轨迹是一个 ，半径为 .结论：平面内动点到定点的距离等于常数的点的轨迹（集合）叫作 .2．将一条细绳子的两端分别固定在两个定点上（绳长大于两定点距离），用笔尖勾直绳子，使笔尖移动，滑动旋转一周以后，笔尖在硬纸板上形成的轨迹是一个 .3．记绳长为2a （a ＞0），记两定点分别为1F 、2F ，两定点的距离∣21F F ∣=2c （c ＞0），（1）当轨迹为椭圆时，绳长2a 与两定点的距离2c 的大小关系： . （2）若2a =∣21F F ∣时，则轨迹是 .（3）若2a ＜∣21F F ∣时，则轨迹 .椭圆定义：在平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于∣21F F ∣）的点的集合叫作椭圆.两个定点1F 、2F 叫作椭圆的 ，两个焦点1F 、2F 的距离叫作椭圆的 .结论：平面内动点到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹（集合）叫作 .（动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离）4．利用定义在准备的硬纸板上画一个椭圆，使其焦距等于8cm ，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于10cm.探究二 椭圆的标准方程1．根据纸板上的椭圆：平面内两定点的距离为8，一动点M 到两定点的距离之和等于10，建立适当的直角坐标系，求出动点M 满足的轨迹方程.2．如图，给定椭圆，它的焦点为1F 、2F ，焦距∣21F F ∣=2c （c ＞0），椭圆上任意一点，到两焦点距离之和等于2a （a ＞c ），以点1F ，2F 所在的直线为x 轴，线段21F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy .则焦点的坐标分别为：1F （ ），2F （ ）.设P(x ，y )是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，椭圆上的点P 满足：由两点距离公式可知：∣1PF ∣=∣2PF ∣=即点P 所满足的条件用上式可表示为：化简整理得：由椭圆的定义可知：a ＞c ，则22c a - 0.( a ＞0,c ＞0)令222c a b -=（b ＞0），则a b ＞0，代入上式，得想一想：若a =b ( a ＞0,b ＞0)，则方程12222=+by a x 表示的图形是 . 探究三 椭圆焦点在y 轴上的标准方程1. 我们把方程12222=+by a x （a ＞b ＞0）叫作焦点在x 轴上的标准方程. 焦点坐标分别为1F （ ），2F （ ）.其中222c a b -=，即222b a c -=.2．类比：如果焦点在y 轴上，椭圆上点的坐标满足方程 ，满足方程 的解的坐标的点都在椭圆上。