苏科版数学九年级上2.4圆周角(2)同步练习含答案

2.4 圆周角1．A 判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由.2． A 如图，已知在⊙O中，∠B OC=150°，求∠A3．A 已知一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是多少度？4．A 给你一把直尺和一把圆规，你能画出公共边为斜边的一对直角三角形么?5．B 在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．A．42° B．138°C．84° D．42°或138°6．B 如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．A．16° B．32° C．48° D．64°7．B ∠AOB=100o, 点C在⊙O上, 且点C不与A、B重合, 则∠ACB的度数为( )A.50°B.80°或50°C.130°D.50°或130°8．B 已知，如图，△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°.求⊙O的直径．9．B 如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）A. 140°B. 135 °C. 130 °D. 125 °——————————————————2.4 圆周角1．(3)是圆周角，其它都不是2．75°3．100°4．先用圆规画一个圆, 并找出其直径AB. 在圆周上找任意异于A、B的两点C、D, 连接AC、BC、AD、BD.5．D6．D7．D8．cm9．D.。

第二章 2.4 圆周角一．选择题（共8小题）1．（2019•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°4．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°8．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 二．填空题（共9小题）9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．10．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．11．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为；12．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为．13．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．14．（2019•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．15．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．16．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．17．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．三．解答题（共3小题）18．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．19．（2019•包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连结OC，过点B作BD∥OC交⊙O点D．连接AD交OC于点E（1）求证：BD＝AE．（2）若OE＝1，求DF的值．答案与解析一．选择题（共8小题）1．（2019•赤峰）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数．【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，求出∠EFB，∠OFB即可．【解答】解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．4．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据圆周角定理即可求出答案．【解答】解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据菱形的性质得到∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，再由圆周角定理得出∠DOE＝2∠ACD＝40°即可，【解答】解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 【分析】利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到CD∥OB，CD＝OB，则可求出∠A＝30°，在Rt△AOP中利用含30度的直角三角形三边的关系可对A选项进行判断；利用OP∥CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP 为△ACD的中位线，则CD＝2OP，原式可对B选项进行判断；同时得到OB＝2OP，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．二．填空题（共9小题）9．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．11．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．12．（2019•鸡西）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．13．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2019•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为40°．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．16．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为：4π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．17．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．【分析】连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三．解答题（共3小题）18．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．19．（2019•包头）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB ＝ME，进而得结论．【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连结OC，过点B作BD∥OC交⊙O点D．连接AD交OC于点E（1）求证：BD＝AE．（2）若OE＝1，求DF的值．【分析】（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），即可解决问题．（2）利用相似三角形的性质求解即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵BD∥OC，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∵∠OAC＝90°，∴∠OAE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠ACO＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD．（2）∵OE∥BD，AO＝OB，∴AE＝ED，∴BD＝2OE＝2，∴AE＝BD＝DE＝2，∴AB ＝＝2，∵△ADB≌△CEA，∴EC＝AD＝4，设AD交BC于K．∵EC∥BD，∴＝＝2，∴DK ＝，∴BK ＝＝，∵∠ABK＝∠FDK，∠AKB＝∠FKD，∴△AKB∽△FKD，∴＝，∴＝，∴DF ＝．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．21。

苏科版九年级数学上册《2.4 圆周角》同步练习题(带答案)一、选择题1.四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是( )A. 1：3：2：4B. 7：5：10：8C. 13：1：5：17D. 1：2：3：42.如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，AC⏜=AE⏜，∠D=128°则∠B的度数为( )A. 128°B. 126°C. 118°D. 116°3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为( )A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°4.如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⏜所对的圆心角为50∘，则∠C+∠E等于( )A. 155∘B. 150∘C. 160∘D. 162∘5.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC=140°，则∠D的度数是( )A. 20°B. 30°C. 40°D. 70°6.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点∠ADC=115°，则∠BAC的度数是( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=BC，∠BAC=30°，AD是直径AD=8，则AC的长为( )A. 4B. 4√ 3√ 3C. 83D. 2√ 38.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC⏜=CB⏜若∠C=110°，则∠ABC的度数等于( )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°9.如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD=68°，AO//DC则∠B的度数为( )A. 40°B. 60°C. 56°D. 68°10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形AB=AC，∠BCA=65°作CD//AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°二、填空题11.圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是．12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径OD//BC，∠ABC=40∘，则∠BCD的度数为．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM=70∘，则∠AOC的度数为．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F.若∠F= 36°，∠E=50°则∠A的度数为______ ．15.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB= 12cm，BC=5cm则圆形镜面的半径为．16.如图，要在圆柱形钢材上截取边长为a的正方形螺母，需要的圆柱形钢材的直径是．17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD若∠BAC=28∘，则∠D=．三、解答题18.如图，△ABC为锐角三角形．(1)实践与操作：以BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母)．(2)猜想与证明：在(1)的条件下，若∠A=60°，试猜想AE与AB之间的数量关系，并说明理由．19.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．(1)若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC．(2)若∠E=∠F=42∘时，求∠A的度数．(3)若∠E=α，∠F=β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．20.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中AB=AD，∠C=110∘，若点E在AD⏜上，求∠E的度数．21.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF.判断EF和BC的位置关系，并证明．22.如图所示，小明制作一个模具AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90∘，AB=13cm，BC=12cm，求这个模具的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、1+2≠3+4所以A选项不正确；B、7+10≠5+8所以B选项不正确；C、13+5=1+17所以C选项正确；D、1+3≠2+4所以D选项不正确．故选：C．根据圆内接四边形的对角互补得到∠A和∠C的份数和等于∠B和∠D的份数的和，由此分别进行判断即可．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．2.【答案】D【解析】解：连接AC、CE∵点A、C、D、E都是⊙O上的点∴∠CAE+∠D=180°∴∠CAE=180°−128°=52°∵AC⏜=AE⏜∴∠ACE=∠AEC=12×(180°−52°)=64°∵点A、B、C、E都是⊙O上的点∴∠AEC+∠B=180°∴∠B=180°−64°=116°故选：D．连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握．解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)．首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD 的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．【解答】解：∵∠BOD=100°∴∠BAD=100°÷2=50°∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−50°=130°故选：D．4.【答案】A【解析】连接AE，如图．∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠AED=180∘∵AB⏜所对的圆心角为50∘∴∠AEB=12×50∘= 25∘∴∠C+∠BED=180∘−∠AEB=155∘故选A．5.【答案】A【解析】解：∵∠AOC=140°∴∠BOC=40°∵∠BOC与∠BDC都对BC⏜∴∠D=12∠BOC=20°故选：A．利用圆周角定理判断即可求出所求．此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：如图，连接OC∵∠ADC=115°∴优弧ABC⏜所对的圆心角为2×115°=230°∴∠BOC=230°−180°=50°∴∠BAC=12∠BOC=25°故选：A．连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠BOC的度数是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠BAC=30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°−∠B=60°求得∠CAD=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接CD∵AB=BC，∠BAC=30°∴∠ACB=∠BAC=30°∴∠B=180°−30°−30°=120°∴∠D=180°−∠B=60°∵AD是直径∴∠ACD=90°∴∠CAD=30°∵AD=8∴CD=12AD=4∴AC=√ AD2−CD2=√ 82−42=4√ 3故选：B．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠CAB，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，进而计算即可．【解答】解：如图，连接AC∵四边形ABCD是半圆的内接四边形∴∠DAB=180°−∠DCB=70°∵DC⏜=CB⏜∴∠CAB=∠DAC=12∠DAB=35°∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ABC=90°−∠CAB=55°故选：A．9.【答案】C【解析】【分析】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．连接OC，由AO//DC，得出∠ODC=∠AOD=68°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=68°，求得∠COD= 44°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．【解答】解：连接OC，如图∵AO//DC∴∠ODC=∠AOD=68°∵OD=OC∴∠ODC=∠OCD=68°∴∠COD=44°∴∠AOC=68°+44°=112°∠AOC=56°．∴∠B=12故选C．10.【答案】A【解析】解：∵AB=AC、∠BCA=65°∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°∵CD//AB∴∠ACD=∠A=50°又∵∠ABD=∠ACD=50°∴∠DBC=∠CBA−∠ABD=15°故选：A．根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．11.【答案】30∘或150∘【解析】根据题意，易得弦所对的圆心角是60∘． ①当圆周角的顶点在弦所对的优弧上时，则圆周角为1×60∘=30∘; ②当圆周角的顶点在弦所对的劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，此时圆周角为150∘.故2答案为30∘或150∘．12.【答案】110°【解析】∵OD//BC∴∠AOD=∠ABC=40∘∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA=70∘∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180∘−∠OAD=110∘．13.【答案】140∘【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠B+∠ADC=180∘又∵∠ADC+∠CDM=180∘∴∠B=∠CDM=70∘∴∠AOC=2∠B=140∘．14.【答案】47°【解析】解：∵∠ECF是△CDE的外角∴∠ECF=∠E+∠EDC∵∠EDC是△ADF的外角∴∠EDC=∠A+∠F∴∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+86°∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠ECF=∠BCD=180°−∠A∴∠A+86°=180°−∠A∴∠A=47°．故答案为：47°．先两次根据三角形的外角定理，得∠ECF=∠E+∠A+∠F=∠A+86°，再根据圆内接四边形的性质，得∠ECF=∠BCD=180°−∠A，即可得出结果．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形的外角定理．综合运用圆内接四边形的性质与三角形的外角定理是本题的关键．15.【答案】13cm2【解析】解：连接AC∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角∴AC是圆形镜面的直径由勾股定理得：AC=√ AB2+BC2=√ 122+52=13(cm)cm所以圆形镜面的半径为132cm．故答案为：132连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．16.【答案】√ 2a【解析】连接BD∵∠A=90∘∴BD为直径．∵AD=AB∴BD=√ 2AB=√ 2a即需要的圆柱形钢材的直径是√ 2a.17.【答案】62∘【解析】如图，连接BC．∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90∘∴∠ABC=90∘−∠CAB=62∘∴∠D=∠ABC=62∘．18.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；(2)AE=1AB．2理由如下：连接BE，如图∵BC为⊙O的直径∴∠BEC=90°∵∠A=60°∴∠ABE=30°AB．∴AE=12【解析】(1)作BC的垂直平分线得到BC的中点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆，⊙O分别交AB，AC于点D，E；(2)连接BE，如图，先根据圆周角定理得到∠BEC=90°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到AE=1AB．2本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．19.【答案】【小题1】证明∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC．【小题2】由(1)知∠ADC=∠ABC．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC∴∠ADC=90∘，∴∠A=90∘−42∘=48∘．【小题3】连接EF，如图．∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形∴易得∠ECD=∠A.∵∠ECD=∠1+∠2∴∠A=∠1+∠2.∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180∘∴2∠A+α+β=180∘，∴∠A=90∘−α+β．2【解析】1.见答案2.见答案3.见答案20.【答案】如图，连接BD．∵∠C+∠BAD=180∘∴∠BAD=180∘−110∘=70∘．∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB∴∠ABD=1(180∘−70∘)=55∘．∵四边形ABDE为圆内接四边形2∴∠E+∠ABD=180∘，∴∠E=180∘−55∘=125∘．【解析】见答案21.【答案】解：EF//BC．理由如下：∵AB=AC，AD⊥BC∴AD平分∠BAC即∠EAD=∠FAD∴DE⏜=DF⏜∵AD为直径∴AD⊥EF而AD⊥BC∴EF//BC．【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠EAD=∠FAD，则根据圆周角定理得到DE⏜=DF⏜，再利用垂径定理的推理得到AD⊥EF，于是可判断EF//BC．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和等腰三角形的性质．22.【答案】24cm2【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，在ΔABC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．【详解】解：连接AC在ΔADC中∵AD=4cm CD=3cm∠ADC=90∘∴AC2=AD2+CD2∴AC=√ AD2+CD2=√ 32+42=5(cm)∴SΔACD=12CD×AD=12×3×4=6(cm2)在ΔABC中∵AC=5cm BC=12cm AB=13cm52+122=132即：AC2+BC2=AB2根据勾股定理的逆定理可得，ΔABC是直角三角形，且∠ACB=90∘∴SΔABC=12AC×BC=12×5×12=30(cm2)∴S四边形ABCD=SΔABC−SΔACD=30−6=24(cm2)答：这个模具的面积是24cm2．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明ΔABC是直角三角形．。

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝58°，则∠BAD的度数为（）A．58°B．60°C．62°D．64°2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD 为（）A．70°B．65°C．50°D．45°3．如图，AD是⊙O的直径，OC⊥AB于E交⊙O于C，∠ADC＝22.5°，AB＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．4C．D．54．如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，弦AB、CD的延长线交⊙O外一点E，∠BCD＝25°，∠E＝39°，则∠APC的度数为（）A．64°B．89°C．90°D．94°5．圆中一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16°B．20°C．24°D．32°7．如图，已知AB是半⊙O的直径，点C，D都在上，且OC∥BD，AD分别与BC，OC 相交于点E，F，则下列结论错误的是（）A．AD⊥BD B．AF＝DF C．∠AOC＝∠AEC D．BD＝2OF8．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以下结论正确的是（）A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝B．若CD＝，则⊙O的半径是1C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为．10．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点E在弧AB上，点F在OB上，∠AEF＝90°，若EF＝6，AE＝8，则扇形AOB半径为．11．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝°．12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．13．如图，AB、AC是⊙O的弦，点D是CA延长线上的点，AD＝AB，若∠ADB＝25°，则∠BOC的度数是°．14．在半径为1的⊙O中，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC＝．15．如图，△ABC内接于半径为的半圆，AB为直径，点M是弧AC的中点，连结BM 交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为BM的中点时，BM的长为．16．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，OD∥BC，OD与AC相交于点E，连接AD．（1）若∠B＝50°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，求DE的长．18．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A 作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）EF平分∠BED．20．数学课上，赵老师在黑板上写出以下已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC的中点，以BC为直径作⊙O交AB于点D，连接DE，OD，OE．王洋同学根据赵老师给出的已知条件提出以下两个问题，请你帮助王洋完成：（1）求证：△DOE≌△COE；（2）若⊙O的半径为3，DB＝4，求AD的长．21．如图，已知AB为⊙O的直径，AC、CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接BC．（1）求证：OF∥BC；（2）若EB＝4cm，CD＝8cm，求AC的长．22．如图，BD是⊙O的直径，＝，点C是半圆上一动点，且与点A分别在BD的两侧．（1）如图1，若＝5，BD＝4，求AC的长；（2）求证：CD+BC＝AC．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，∴∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝54°，故选：B．2．解：∵AB是⊙O的直径的直径，∴∠ADB＝∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠AEB+∠EAD＝90°，∵C是弧AB的中点，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAD+∠BAD＝45°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠EAD+∠BCD＝45°，∴∠AEB+∠EAD﹣（∠EAD+∠BCD）＝90°﹣45°＝45°，∴∠AEB﹣∠BCD＝45°．故选：B．3．解：如图，作DE⊥AB于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵BD平分∠CDE，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），∴BE＝BC，在Rt△ADE中，根据勾股定理，AE＝＝＝2，设BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2+BC2，即（2+x）2＝42+x2，∴x＝，∴⊙O的直径AB为3．故选：B．4．解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，连接OA，由勾股定理得：AC＝，即AC＝BC＝3，∴AB＝AC+BC＝6．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．6．解：图①，当点D在圆心O的左侧且AD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD．CO、CB，∵，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∴DE＝BE＝3，∵DO＝2，∴OE＝1，∴AE＝5，CE2＝CO2﹣OE2＝15，∴AC＝；如解图②，当点D在圆心O的右侧且BD＝2时，过C作CE⊥AB，垂足为E，连接CD、CO、CB，∵，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∴DE＝BE＝1，∴OE＝3，∴AE＝7，CE2＝CO2﹣OE2＝7，∴AC＝，∴DA、DB的长均不小于2，则≤AC≤，∴AC的长可能是7．故选A．7．解：连接AC，∵A是半圆弧CAB的中点，∴，∴AB＝AC，∵OB＝OC，∴AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠DOC＝90°﹣β，∴∠DBO＝∠DOC＝45°﹣β，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠DBO＝45°﹣β，∴∠AED＝∠ODB+∠DOA，即α＝β+45°﹣β，∴2α﹣β＝90°，故选：D．8．解：连接OA、DE，如图，∵A为的中点，∴＝，∵直径BC⊥AE，∴AH＝EH，＝，∴＝，∴∠EAC＝∠DCA，∴F A＝FC，∵∠FDE＝∠EAC，∠FED＝∠DCA，∴∠FED＝∠FDE，∴FD＝FE，设DF＝2x，则CD＝6x，FE＝2x，AE＝6x，∴AH＝EH＝3x，在Rt△CHF中，CH2＝CF2﹣FH2＝（8x）2﹣（5x）2＝39x2，在Rt△CHA中，CH2＝AC2﹣AH2＝42﹣（3x）2＝16﹣9x2，∴16﹣9x2＝39x2，解得x＝，∴AH＝，CH＝x＝，设⊙O的半径为r，则OH＝﹣r，OA＝r，在Rt△OAH中，（）2+（﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．故选：B．1．解：如图，连接AC，∵AD是半圆的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣58°＝32°，∵C是弧BD的中点，∴，∴∠CAD＝∠CAB＝32°，∴∠BAD＝32°+32°＝64°．故选：D．2．解：∵OF⊥BC，∴∠BFO＝90°，∵∠BOF＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴＝，∴∠AOD＝2∠B＝50°．故选：C．3．解：∵∠ADC＝22.5°，∴∠AOC＝2×22.5°＝45°，∵OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，AE＝BE＝AB＝4，∴OE＝AE＝4，在Rt△AOE中，2AE2＝OA2，∴OA＝4．故选：A．4．解：∵∠BCD＝25°，∠E＝39°，∴∠ABC＝∠BCD+∠E＝64°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠BCD＝25°，∴∠APC＝∠BAD+∠ABC＝89°，故选：B．5．解：如图：AB＝2AC，AB为⊙O的直径，连接BC，AD，CD，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∵∠B+∠D＝180°，∴∠D＝150°，即这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°，故选：C．6．解：∵∠ABD是所对的圆周角，∴∠ABD＝∠AOD＝×128°＝64°，∵∠ABD是△BDE的外角，∴∠BDC＝∠ABD﹣∠E＝64°﹣40°＝24°，故选：C．7．解：∵AB是半⊙O的直径，∴∠D＝90°，∴AD⊥BD，故A不符合题意；∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠D＝90°，∴AF＝DF，故B不符合题意；∵AE≠EB，∴∠EAB≠∠ABC，∵∠AEC≠2∠ABC，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOC≠∠AEC，故C符合题意；∵OC∥BD，OA＝OB，∴AF＝DF，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF，故D不符合题意；故选：C．8．解：A、∵OC＝OB＝2，∵点E是OB的中点，∴OE＝1，∵CD⊥AB，∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，∴CE＝＝，∴CD＝2CE＝2，本选项错误不符合题意；B、根据CD＝，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；C、∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴BC＝OC，∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∴BC＝BD，∴OC＝OD＝BC＝BD，∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．D、∵四边形OCBD是平行四边形，∴OC＝BC，∵OC＝OB，∴OC＝OB＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠CAB＝∠BOC＝30°，故本选项错误不符合题意．故选：C．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DCE＝72°，∴∠A＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．10．解：如图，连接OC．∵AB＝8cm，∴OA＝OC＝4cm，∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝4cm．故答案为：4．11．解：如图，当点C在优弧AB上时，作OD⊥AB于D，则AD＝BD＝AB＝×2＝，在Rt△AOD中，OA＝2，AD＝，∴∠OAD＝30°，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝120°，∴∠ACB＝∠AOB＝60°，当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝120°，综上所述，∠ACB的度数为60°或120°．故答案为：60°或120°．12．解：如图，连接AC，CD，DE．设∠ABC＝α，∵，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°．故答案为：22.5°．13．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．14．解：如图，连接AC、AB、BC，过点C作CH⊥OA于H，∵∠AOC＝60°，CH⊥OA，∴∠OCH＝30°，∵OC＝3，∴OH＝OC＝，CH＝＝＝，∵点A（4，0），∴OA＝4，∴AH＝OA﹣OH＝4﹣＝，在Rt△ACH中，AC＝＝＝，∵∠BOA＝90°，∴AB为⊙M的直径，∴∠BCA＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AB，AB2＝AC2+BC2，∴，∴，在Rt△AOB中，OB2＝AB2﹣AO2＝，∴OB＝，∴点B的坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．15．解：如图，连接DO并延长交⊙O于点E，连接CE，∵DE是⊙O的直径，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，CE2+CD2＝DE2，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ABC，∴＝，∴＝，∴CE＝AB，∵AB2+CD2＝100，∴CE2+CD2＝100，即DE2＝100，∴DE＝10，∴OD＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．16．解：连接AC，根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为AC，∵AD∥BC，AB＝CD＝AD＝2，∴＝＝，∴∠ABC＝2∠ACB，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∠ABC＝60°，∴AC＝•AB＝2，所以阴影部分周长的最小值为AC+CD＝2+2，故答案为：2+2．9．解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝140°．故答案为：140°．10．解：解法一：如图，扇形AOB为以O为圆心，以OA为半径的圆的一部分，延长EF 交⊙O于点C，连接OC，∵∠AEF＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴A、O、C三点共线，∵OA＝OC，∠AOB＝90°，∴BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，在Rt△AEF中，EF＝6，AE＝8，∴AF＝＝＝10，∴CF＝AF＝10，∴CE＝CF+EF＝16，∴AC＝＝＝8，∴OA＝AC＝4，即扇形AOB半径为4，解法二：连接OE，过点E作EM⊥OA于点M，在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，EF＝6，AE＝8，＝＝，∵∠F＝∠MOE，设EM＝4x，则OM＝3x，OE＝＝5x，∴OA＝OE＝5x，∴AM＝OA﹣OM＝2x，在Rt△AEM中，AE2＝AM2+EM2，∴82＝（2x）2+（4x）2，∴x＝或x＝﹣（舍去），∴OA＝5×＝4，∴扇形AOB半径为4，故答案为：4．11．解：∵OA⊥BC，∴．∴∠ACD＝∠AOB．∵∠AOB＝50°，∴∠ADC＝25°．故答案为：25．12．解：如图，∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，∴BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由题意当AD⊥BC时，⊙O的半径最小，∵∠EAF＝60°，是定值，∴此时EF的值最小，过OD的中点K作MN⊥AD交⊙O于M、N，连接ON、AN、AM，则△AMN是等边三角形，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝2，∴OK＝KD＝，ON＝，在Rt△ONK中，NK＝KM＝＝，∴MN＝，∴∠EAF＝∠MAN＝60°，∴＝，∴EF＝MN＝，∴EF的最小值为，故答案为：．13．解：∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝25°，∴∠BAC＝25°×2＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×50°＝100°．故答案为：100°．14．解：作直径AD，连接OC，BD，∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，∴cos∠BAD＝＝，∴∠BAD＝30°，∵OC＝OD＝1，AC＝，∴OC2+OD2＝AC2，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°，当AC与AB在AD的两旁时，如图1，∠BAC＝∠CAO+∠CAO＝45°+30°＝75°，当AC与AB在AD的同旁时，如图2，∠BAC＝∠CAO﹣∠CAO＝45°﹣30°＝15°，综上所述，∠BAC的度数为15°或75°．故答案为15°或75°．15．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵，∴∠CBM＝∠ABM，∵∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，故答案为：135．（2）如图，连接AM．∵AB是直径，∴∠AMB＝90°，∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴MA＝MD，∵DM＝DB，∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，∵AB＝2，∴x2+4x2＝40，∴x＝2（负根已经舍弃），∴BM＝4，故答案为4．16．解：∵OB＝2，OA＝2，∴AB＝＝4，∵∠AOP＝45°，∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），∵∠AOB＝90°，∴AB是直径，∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，∴∠CFP＝90°，∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，舍去不合适的根，可得：a＝1+，则P点坐标为（+1，+1）．∵P与P′关于圆心（，1）对称，∴P′（﹣1，1﹣）．故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB＝4，∵OP＝3，∠OPB＝45°，∴OE＝3×＝3，∴OB＝＝＝5；（2）证明：过点O作OF⊥CD于F，∵CD⊥AB，∴∠FPE＝90°，∵∠OPB＝45°，∴∠FPO＝45°，∴∠FPO＝∠OPE，∴OP平分∠EPF，∵OF⊥CD，OE⊥AB，∴OE＝OF，∴AB＝CD．18．解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝2，在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，∴CD＝．即CD的长为：．19．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴△BDE是等腰直角三角形．另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．20．（1）证明：∵AG＝CG，∴∠DCA＝∠CAF，∵＝，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CDF，∴AC∥DF；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴＝，∴＝＝，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝3＝DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（3﹣AG）2+9，∴AG＝2，∴GE＝，∴DG＝4．21．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r．∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．22．（1）证明：∵∠ABC＝30°，又∵∠D＝∠ABC，∴∠D＝30°；（2）解：结论：AF＝2CH．理由：延长DC到T，使得CT＝CQ．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝∠AOC＝60°，AC＝OA＝OC，∴CT＝OC＝OA，∠AOF＝∠GCT＝120°，∵OA＝AC，DF＝AG，∴OF＝CG，在△CGT和△OF A中，，∴△CGT≌△OF A（SAS），∴AF＝GT，∵OH＝HG，OC＝CT，∴GT＝2CH，∴AF＝2CH．17．解：（1）连接OC．∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝50°，∵∠AOC＝2∠B＝100°，∴∠AOD＝∠COD＝50°，∴∠CAD＝∠COD＝25°；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝OD＝5，∴．∵∠AOD＝∠COD，OA＝OC，∴AE＝EC，∴OE＝BC＝3．∴DE＝OD﹣OE＝2．18．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．19．证明：（1）连接AE，BF，如图，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，BE＝CE．∵AE∥BC，∴∠AEC＝∠EAF＝90°，∴∠F AE＝∠BF A＝∠BEA＝90°，∴四边形F AEB是矩形，∴F A＝BE＝CE，∵AF∥CE，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）∵四边形AEBF是圆内接四边形，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠AFE，∵EF∥AC，∴∠FED＝∠CDE，∴∠FED＝∠AFE，∵AF∥BC，∴∠FEB＝∠AFE，∴∠BEF＝∠FED，∴EF平分∠BED．20．（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵点E是AC的中点，∴DE＝AC＝EC．在△DOE与△COE中，，∴△DOE≌△COE（SSS）；（2）解：∵点E是AC的中点，点O是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AB．设OE＝x，则AB＝2x，AD＝2x﹣4．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∴CD＝＝＝2．在Rt△OCE中，∵∠OCE＝90°，∴CE＝＝，∴AC＝2CE＝2．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝CD2+AD2，∴（2）2＝（2）2+（2x﹣4）2，解得，x＝4.5，∴AD＝2×4.5﹣4＝5．21．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵OF⊥AC，∴OF∥BC；（2）解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝CD＝×8＝4（cm），设⊙O的半径为rcm，则OC＝rcm，OE＝（r﹣4）cm，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，∴r2＝（4）2+（r﹣4）2，解得：r＝8，∴OE＝8﹣4＝4（cm），∴AE＝8+4＝12（cm），∴AC＝＝＝8（cm）．22．（1）解：连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵＝5，∴∠BOC＝∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝180°×＝30°，∴∠BDC＝∠BOC＝15°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°，∴∠ADC＝∠AEC＝60°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CAE＝90°，∵CE＝BD＝4，∴AC＝CE sin60°＝4×＝2；（2）证明：过点A作F A⊥AC，交CD的延长线于点F，∴∠CAF＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAF﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠DAF，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵AB＝AD，∴△ABC≌△ADF（ASA），∴AC＝AF，BC＝DF，∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC，∴CD+DF＝AC，∴CD+BC＝AC．。

2021届九年级数学上册同步精品试题第二章圆2.4 圆周角（第二课时直径所对圆周角）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2020·苏州市期末）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】试题分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由直角三角形两锐角互余的关系即可求得∠B的度数：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选C．2．（2020·徐州市期中）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于()A．33°B．57°C．67°D．66°【答案】B【解析】如图，连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，又∵∠A=∠D，∴∠A=57°.故选B.3．（2018·连云港市期末）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．4．（2020·江阴市期中）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径【答案】B【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a 为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选B．5．（2019·盐城市期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B 的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】C【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠ACO＝50°，∴∠BCO＝90°﹣50°＝40°．∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝40°．故选：C．6．（2019·灌云县期中）如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°【答案】A【详解】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，∴∠B=∠ADC=54°．∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°．∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°．故选A．7．（2019·淮安市期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30，则∠B的度数为( )A．30°B．50°C．60°D．80°【答案】C【详解】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠A=30°，∴∠B=180°-90°-30°=60°．故选：C．8．（2019·无锡市期末）如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是（）A．1B．2C．D．【答案】C【详解】如图，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴BC=CD=2，∠BCD=90°，∴BD==2，∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，∴BD是⊙O的直径，∴⊙O的半径是=，故选：C.9．（2019·无锡市期中）如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】连接BC，∵AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，∴∠ACB=90°，∠B=90°-32°=58°，∴∠D=180°-∠B=122°（圆内接四边形对角互补），∵D是的中点，∴∠DAC=∠DCA=（180°-∠D）÷2=29°，故选B．10．（2019·扬州市期中）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．25°【答案】C【详解】∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，∴四边形ABCO是菱形，∴OA=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ADB=30°.故选C.二、填空题（共5小题)11．（2019·常州市期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．【答案】40【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．【详解】连接BD，如图，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，故答案为：40．12．（2019·南通市期中）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.【答案】1【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=30°，∴BC=AB=，故答案为1．13．（2019·苏州市期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______．【答案】70°【详解】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB=∠DAB=20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=70°，故答案为70°．14．（2018·常州市期末）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．【答案】60°【解析】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°15．（2018·镇江市期末）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．【答案】65°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数【详解】解:∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为:65°三、解答题（共2小题）16．（2018·扬州市期中）△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AH⊥BC，可得∠ABN=∠AHC=90°，又由∠C=∠N，可得∠BAN=∠HAC，然后根据AD平分∠BAC，即可证得∠DAO=∠DAH．试题解析：证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，∵AN是⊙O的直径，AH⊥BC，∴∠ABN=∠AHC=90°，∴∠BAN+∠N=90°，∠HAC+∠C=90°，∵∠N=∠C，∴∠BAN=∠HAC，∵AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴∠DAO=∠DAH．∴AD平分∠HAO.17．（2019·连云港市期中）如图，AB是圆O的直径，∠ACD＝30°，（1）求∠BAD的度数．（2）若AD＝4，求圆O的半径．【答案】（1）60°；（2）4【详解】（1）∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAD＝60°；（2）∵∠B＝30°，∠ADB＝90°，∴AB＝2AD，∵AD＝4，∴AB＝8，∴圆O的半径为4．。

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+3．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．3B．4C．5D．66．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（）A．B．1C．D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．9．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为．10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题12．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．15．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．16．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．19．已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．23．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON：AN ＝2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．2．解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．3．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，故①符合题意；∵C是中点，∴AC＝BC，故②符合题意；∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，∴AB＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝，∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≈△BCE，∴CD＝CE，AD＝BE，∴OECD是正方形，设正方形的边长为a，∴OA﹣a＝OB+a，∴2a＝OA﹣OB＝4，∴a＝2，∴点C坐标为：（2，﹣2），故④符合题意，故选：A．4．解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：＝＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴CM＝EM，∵E是BC的中点，∴CM＝BC，∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DM⊥BC，∴DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，∵AC＝CD，∴AD＝2AF，∴＝，∴AB＝2AC，BC＝＝AC，∴＝＝，∴BC：AB＝；故选：B．5．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AP＝5，故选：C．6．解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA 交CA的延长线于G．∴AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，∴EM＝EN，DH＝DH，∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，∴EM＝EN＝，∵∠ECN＝∠CEN＝45°，∴CN＝EN＝，∴EC＝，∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），∴AG＝BH，同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴CG＝CH，∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，∴CG＝DG＝7，∴CD＝7，∴DE＝7﹣＝，∴＝＝．7．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．二．填空题8．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝6，AC＝4，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠FED＝∠ACD＝60°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EFD＝30°，∵△JAD是等边三角形，∴∠AJD＝60°，∴∠AFD＝∠AJD，∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，此时FJ＝6，JM＝＝，∴FM的最大值为6+，故答案为：6+．9．解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝16，故答案为：16．11．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题12．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．14．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．15．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．16．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．17．解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．19．（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．20．证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．21．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；22．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．23．解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．24．解：∵AB＝10，∴OA＝5，∵ON：AN＝2：3，∴ON＝2，∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴OM＝ON＝1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2＝CO2﹣OM2＝25﹣1＝24，∴CM＝2，∴CD＝2CM＝4．25．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．。

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2-4圆周角》同步练习题（附答案）1．如图，在⊙O中，AB是直径，C、D是⊙O上的两个点，OC∥AD．若∠DAC＝25°，则∠BOC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．65°2．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为（）A．124°B．114°C．116°D．126°3．如图，在⊙O中，AB为直径，∠A＝50°，点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．如图，两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD等于弧CB，∠C＝50°，则∠CEB的度数为（）A．50°B．80°C．90°D．100°5．如图，AB为圆O的直径，且AB＝8，C为圆上任意一点，连结AC、BC，以AC为边作等边三角形ACD，以BC为边作正方形BCEF，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（）A．ab+8＝c2B．a2+b2＝2c2C．a2+c2＝3b2D．ab+64＝c26．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝20°，则∠D的度数是（）A．70°B．100°C．110°D．120°7．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠DCE＝65°，则∠A的度数为（）A．112°B．68°C．65°D．52°8．如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（）A．131°B．119°C．122°D．58°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD ＝1，则AD的长为（）A．2﹣2B．3﹣C．4﹣D．211．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC与BD交于点E，且BD为⊙O的直径，已知∠BDC＝40°，∠AEB＝110°，则∠ABC＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°12．如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC ＝20°，则∠A的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°13．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A．B．C．5D．14．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连接AB，BC，CD，若BP ＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（）A．B．2C．D．15．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，且⊙O 的半径为3．若AP＝4，PB＝1，则OP的长是（）A．2B．2C．D．16．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD＝9，BD＝4，以C 为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（）A．24B．9C．6D．2717．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，则∠ADC的度数是．18．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝．19．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB ＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为．20．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为．21．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝．22．一圆周上有三点A，B，C，∠A的平分线交边BC于D，交圆于E，已知BC＝2，AC ＝3，AB＝4，则AD•DE＝．23．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△P AD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．24．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．参考答案1．解：∵OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO＝25°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝∠OAC+∠OCA＝50°，故选：B．2．解：连接BD，如图：∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠CAB＝∠BDC＝24°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝24°+90°＝114°．故选：B．3．解：连接BC，延长ED交⊙O于N，连接OD，并延长交⊙O于M，∵∠A＝50°，OA＝OC，∴∠AOC＝80°，∴的度数是80°，∵点D为弦AC的中点，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COD，∴＝，即M为的中点，∴和的度数都是×80°＝40°，∵＞，∴40°＜的度数＜80°，∴20°＜∠CED＜40°，∴选项B符合题意；选项A、选项C、选项D都不符合题意；故选：B．4．解：∴＝，∠C＝50°，∴∠C＝∠A＝50°，∴∠CEB＝∠A+∠C＝50°+50°＝100°．故选：D．5．解：过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵△ACD是等边三角形，四边形BCEF是正方形，∴∠ACD＝60°，∠BCE＝90°，∴∠DCE＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，∴∠BCG＝180°﹣120°＝60°，∴∠CEG＝30°，∵AC为a，BC为b，DE为c，∴GC＝b，∴EG＝b，在Rt△DGE中，DG2+EG2＝DE2，且a2+b2＝AB2＝64，∴+＝c2，化简得，ab+64＝c2，故选：D．6．解：连接BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°，∵圆内接四边形的对角互补，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝180°﹣70°＝110°，故选：C．7．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE＝65°．故选：C．8．解：∵∠AOB＝122°，∴∠D＝∠AOB＝61°，∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，∴∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．故选：B．9．解：连接AC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC：∠ADC＝2：1，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵∠E＝60°，∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，∵点C为的中点，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC⊥DE，∴AD为⊙O的直径，∵BC∥AD，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠CAB＝∠ACB，∴AB＝BC，∴AB＝BE，∴⊙O的半径为2，∴⊙O的面积＝4π，故选：D．10．解：延长AD、BC交于E，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∵∠B＝90°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，在Rt△CDE中，DE＝＝，∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，故选：C．11．解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠AEB﹣∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝80°，故选：D．12．解：∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵∠BDC＝20°，∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，故选：C．13．解：EC＝AC﹣AE＝，由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，则DE＝＝，∴BD＝DE+BE＝，故选：B．14．解：∵AP•PC＝BP•PD，∴PD＝＝，∴＝，∴∠ACD＝∠CBD，∵∠CDP＝∠BDC，∠DCP＝∠DBC，∴△DCP∽△DBC，∴DC：DB＝DP：DC，即DC：（）＝：DC，∴DC＝．故选：A．15．解：延长CP交圆于一点D，连接OC，∵PC⊥OP，∴PC＝PD，∴PC2＝P A•PB，∵AP＝4，PB＝1，∴PC2＝4×1，∴PC＝2，∴OP＝＝＝．故选：C．16．解：延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．∵CD2＝AD•DB，AD＝9，BD＝4，∴CD＝6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ＝DE•EM＝CE•EN，设CE＝x，则DE＝6﹣x，EN＝6﹣x+6则（6﹣x）（x+6）＝x（6﹣x+6），解得x＝3．所以，CE＝3，DE＝6﹣3＝3，EM＝6+3＝9．所以PE•EQ＝3×9＝27．故选：D．17．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣68°＝112°，故答案为：112°．18．解：∵弦AB、CD交于P，∴P A•PB＝PC•PD，∴4×4＝2×PD，解得，PD＝8，∴CD＝PC+PD＝10，故答案为：10．19．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，∴AE＝1，EB＝3，由相交弦定理得，AE•EB＝CE•ED，∴1×3＝CE×（CE+2），解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），则CE＝1，DE＝2，∴CD＝1+3＝4，故答案为：4．20．解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴BD：AD＝BD：BH，∴AD＝BH，∴BD＝AH，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．21．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．22．解：∵∠A的平分线交边BC于D，交圆于E，∴，∵BC＝2，AC＝3，AB＝4，∴，解得：BD＝，CD＝2﹣＝，∵CD•BD＝AD•DE＝×＝．故答案为：．23．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴△P AD∽△PCB；（2）解：∵△P AD∽△PCB，∴＝，∵P A＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6，当PD＝4时，PC＝6，当PD＝6时，PC＝4，∵PD＜PC，∴PD＝4．24．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．。

2.4 圆周角（1）班级 姓名 学号【学习目标】1．认识圆周角，掌握圆周角的两个特征；2．经历探索同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程，体验“观察—猜想—验证—归纳”的过程，初步应用其解决问题；3．引导学生体会分类的思想、转化等数学思想方法，学会理性的分析思考问题． 【探索活动】 操作与思考一：（1）如图，点A 在⊙O 内，点B 1、B 2、B 3在⊙O 上，点C 在⊙O 外， 度量⊙A 、⊙B 1、⊙B 2、⊙B 3、⊙C 的大小，你能发现什么？⊙B 1、 ⊙B 2、⊙B 3有什么共同的特征？它们与圆心角有什么区别？记下你的发现： . （2）你认为圆周角概念中是否有值得注意的地方？试写下来： . （3）判断下列各图中的角是否是圆周角？说说你的理由.操作与思考二：1．如图，弧BC 所对的圆心角有多少个？弧BC 所对的圆周角有多少个？ 请你在图中画出弧BC 所对的圆心角和圆周角.2．观察上图，你所画的圆周角与圆心有几种不同的位置关系？它们分别是 ；OO O O O OOCB3．设弧BC 所对的圆周角为⊙BAC ，请你探索⊙BAC 与圆心角⊙BOC 有怎样的数量关系？和同学们交流你的发现，并讨论如何证明自己的发现.（请你在下面空白处画出图形，并写出证明过程）4．如果同学们画的是等弧所对的圆周角，或者是同弧所对的圆周角，它们之间又会有什么关系呢？为什么？5．通过上述讨论，你获得的结论是： 【基础训练】1．如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则⊙1的度数为 ． 2．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC=60°，则∠BOC= ，若∠AOB=90°，则∠ACB= ． 3．如图，AC 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，EC ∥AB ，交⊙O 于点E 。

请写出与BOC 21相等的角 ．4．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC=40°，∠AED=75°，则∠ABD= ．【典型例题】例1、如图AB 、AC 为⊙O 的两条弦，延长CA 到D ，使AD=AB ，如果∠ADB=35°，求∠BOC 的度数.E O BCAOCAE O BCA第2题 第3题第4题第1题O BCA例2．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 中，∠ADC=∠BDC=60°，判 断ΔABC 的形状，并说明理由.操作与思考（三）（1）∠A 与圆周上的角大小有什么关系？ ∠C 与圆周上的角大小又有什么关系？（2）成果展示如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外，BD 交⊙O 于点F ， 比较⊙BAC 与⊙BDC 的大小，并说明理由．【法眼观察】人们常用“一字之差，差之千里”来形容因一点小小的差别，往往会给问题本身带来很大的区别。

苏科版九年级数学上册 2.4 圆周角 同步练习1 / 92.4 圆周角一、选择题1. 如图，点 ， ， 都在 上，若 ，则 的度数为A.B.C.D.2. 如图，CD 是 的直径，已知 ，则A.B.C.D.3. 如图，点D 在以AC 为直径的 上，若 ，那么 的度数是A.B.C.D.4.如图，在中，AB平分， ，则的大小为A.B.C.D.5.如图，点A、B、C、D都在上，，平分，则A.B.C.D.6.如图，AB是的直径，C、D、E都是上的点，则A.B.C.D.7.如图，是的内接三角形，AC是的直径，， 的平分线BD交于点D，则的度数是A.B.苏科版九年级数学上册 2.4 圆周角 同步练习3 / 9C.D.8. 如图， 是 的外接圆，已知 ，则 为A.B.C.D.9. 如图，AB 是 的直径，点C 、D 在 上，， ，则A.B.C.D.10. 如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点， 的半径为OA ，点P 是优弧上的一点，则 的度数是 A.B.C.D. 不能确定11.如图，四边形ABCD为的内接四边形延长AB与DC相交于点，，垂足为E，连接， ，则的度数为A.B.C.D.二、解答题12.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且，与AC交于点E．若，求的度数；若，，求AB的长．13.如图，点A、B在上，点O是的圆心，请你只用无刻度的直尺，分别画出图和图中的余角．图中，点C在上；苏科版九年级数学上册 2.4 圆周角 同步练习5 / 9图 中，点C 在 内．14. 如图， 的直径为 ， ， 的平分线交于D ，连接AD ．求BC 的长；求 的度数．15.如图，是的内接三角形，CE是的直径，CF是的弦，，垂足为D，若，求的度数．【答案】1. D2. C3. B4. B5. C6. C7. B8. A9. C10. B11. C苏科版九年级数学上册2.4 圆周角同步练习12. 解：， ，，，是半圆O的直径，，，，即，，；，，，设，则，在中，，，解得：，，．7 / 913. 解：如图 ， 就是所求的角；如图 ， 就是所求的角．14. 解：是的直径，，， ，，；连接OD，是的角平分线，，，，，．15. 解：是的直径，，，，苏科版九年级数学上册2.4 圆周角同步练习，．9 / 9。

第2章对称图形一一圆2.4圆周角（2）如图，AB 是半圆的直径，D 是AC 的屮点，ZABO50。

，则ZDAB 的度数为（【基础提优】 1. A.如图, 15° AB 为OO 的直径, 点C 在。

O 上，ZA=30°,则ZB 的度数为（ ） 如图, 35° 若AB 为OO 的直径，CD 是＜90的弦, B. 45。

C. 55° 2. A. 3.如图，DC 是＜30的直径，弦AB 丄CD 于点F,连接BC, DB, ZABD=55°,则ZBCD 的度数为( D. 75°则下列结论错误的是（A. AD=BDB. AF= BFC. OF=CFD. ZDBC=90°4. A.5. 55° B. 60° C. 65° D. 70°在下列四条圆弧与直角三角板的位置关系屮，可判断其屮的圆弧为半圆的是（BA第3题)cm.ZCAB=30°,贝ij BC= 第6题 B第7题7. 如图，AB 是OO 的直径，C 是圆上一点，ZBAO70。

，则ZOCB= __________ • 8. 如图,AB 为的直径，弦AC=6,BC=8, ZACB 的平分线交于点D,则BD= _______________ 9•如图，在 RtAABC 中，已知ZACB=90°, AC=5, CB=12, AD 是Z\ABC 的角平分线, 过A, C, D 三点的圆与斜边AB 交于点E,连接DE.(1) 求BE 的长；(2) 求AACD 外接圆的半径.【拓展提优】1.如图，OO 的弦CD 与直径AB 相交，若ZBAD=50°,则ZACD 的度数为() 2. 如图，AABC 内接于OO,若ZB=30°, AC=A /3 ,则OO 的直径为(3. 如图，OO 是AABC 的外接圆，CD 是直径，ZB=40°,则处的度数是(B. 40° C. 50° D. 60°B. 4C. 6D. 2>/3BA. 2cBDA. 80°B. 100°C. 120°D. 130°4.如图，AB是OO的直径，AE是弦，C是AE的中点，过点C作CD±AB于点G, CD交AE于点F, AF=8,则CF的长为( )5.____________________________________________________________________ 如图，AABC 内接于OO, ZBAC= 120°, AB=AC,BD 为（DO 的直径,AD=6,则DC= _________6.在平面直角坐标系xO)，屮，已知点A(4, 0), B(-6, 0), C是y轴上的一个动点，当ZBCA=45°时，点C的坐标为________ .7.如图，AD是AABC的角平分线，以点C为圆心，CD的长为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且ZB=ZCAE.求证：F是AD的中点.8.如图，AB为OO的直径，点C在＜90上，连接BC并延长至点D,使CD=BC,延长DA与OO的另一个交点为E,连接AC, CE.(1)求证：ZB=ZD；(2)若AB=4, BC-AC=2,求CE 的长.9.如图，(DC经过原点且与两樂标轴分别交于点A和点B, C 在第一象限内的一点且ZODB=60°.(1)求©C的半径；(2)求圆心C的坐标.参考答案【基础提优】1-5 DACCB AOB6. 57.20°8.5>/25713 9.(1) & (2)——6 【拓展提优】1-4 BDBC5.2>/36.(0, 12)或(0, -12)7 •证明略8.(1)证明略；(2) 1+衙9.(1) 2； (2) (>/3 , 1)。

初中数学苏科版九年级上册 2.4 圆周角同步测试一、单选题1.下列命题正确是（）A.相等的圆心角所对的弧是等弧B.等圆周角对等弧C.任何一个三角形只有一个外接圆D.过任意三点可以确定一个圆2.如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（）.A. B. C.D.3.如图，是⊙ 的直径，点在⊙ 上.若，则等于（）A.25°B.40°C.50°D.55°4.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，⊙BAC=15°，⊙CED=30°，则⊙BOD的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90°5.如图，为⊙ 的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角的度数为（）A.57°B.52°C.38°D.26°6.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且⊙ACB＝100°，则⊙α＝（）A.80°B.100°C.120°D.160°7.用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（）A. B. C. D.8.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，⊙ABC＝70°，则⊙ADC的度数是（）A.70°B.110°C.130°D.140°9.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，⊙ADC＝106°，则⊙CAB等于（）A.10°B.14°C.16°D.26°。

第2章 对称图形——圆2.4 圆周角（2）【基础提优】1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A=30°，则∠B 的度数为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°第1题 第2题2．如图，若AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．75°3．如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD ⌒=BD ⌒B ．AF= BFC ．OF=CFD ．∠DBC=90°第3题 第4题 4．如图，AB 是半圆的直径，D 是AC ⌒的中点，∠ABC=50°，则∠DAB 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°5．在下列四条圆弧与直角三角板的位置关系中，可判断其中的圆弧为半圆的是（ ）A B C D6．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=10 cm ，∠CAB=30°，则BC= cm ．第6题 第7题7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= ．8．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC=6，BC=8，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，则BD= ．9．如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【拓展提优】1．如图，⊙O的弦CD与直径AB 相交，若∠BAD=50°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，，则⊙O的直径为（）A．2 B．4 C．6 D．⌒的度数是（）3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则ADA．80°B．100°C．120°D．130°⌒的中点，过点C作CD⊥AB于点G，CD交AE于点F，AF=8，4．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是AE则CF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．105．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC= 120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= ．6．在平面直角坐标系x O y中，已知点A(4，0)，B(-6，0)，C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C 的坐标为．7．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD的长为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE．求证：F是AD的中点．8．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使CD=BC，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．9．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0，2)，D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°．（1）求⊙C的半径；（2）求圆心C的坐标．参考答案【基础提优】1-5 DACCB6．57．20°8．9．（1）8；（2）6【拓展提优】1-4 BDBC5．6．(0，12)或(0，-12) 7．证明略8．（1）证明略；（2）9．（1）2；（2），1)。

苏科版九年级数学上册《2.4 圆周角》同步练习题(附带答案)一、选择题1.如图，AB是半圆O的直径∠BAC=40°，则∠D的度数是( )A. 140°B. 135°C. 130°D. 125°2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD⏜中点∠BDC=60°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°3.如图，点A，B，C在⊙O上∠AOB=72°，则∠ACB等于( )A. 28°B. 54°C. 18°D. 36°4.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点∠ADC=106°，则∠CAB等于( )A. 10°B. 14°C. 16°D. 26°⏜=BC⏜，∠BDC=50°则∠ADC的度数是( )5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD.若ACA. 125°B. 130°C. 135°D. 140°6.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为( )A. 6B. 8C. 5√ 2D. 5√ 37.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=( )A. 70°B. 110°C. 120°D. 140°二、填空题8.如图，点A、B、C在⊙O上BC=6，∠BAC=30°，则⊙O的半径为．9.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点∠C=110°，则∠BOD=________度10.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A=30°，CD=2√ 3，则⊙O的半径是______．11.如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO=15°，则∠ACB=______．12.如图，点A、B、C、D在⊙O上CB⏜=CD⏜，∠CAD=30°，∠ACD=50°则∠ADB=．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=．14.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC=6，BD=5√ 2，则BC的长为．15.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90∘，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD= 58∘则∠EBD的度数为度.三、解答题16.如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC=26°，求∠CAB的度数．17.如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB=CD.求证：PA=PC．18.已知△ABC(1)用无刻度的直尺和圆规作△ABD，使∠ADB=∠ACB.且△ABD的面积为△ABC面积的一半，只需要画出一个△ABD即可(作图不必写作法，但要保留作图痕迹)(2)在△ABC中，若∠ACB=45°，AB=4则△ABC面积的最大值是____．19.已知：如图，在△ABC中AB=AC，E为BA延长线上一点，连接EC交△ABC的外接圆于点D，连接AD、BD．(1)求证：AD平分∠BDE;(2)若∠BAC=30∘，AE=AB，BC=2求CD的长．∠CDF=60°．20.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点∠CDE=12(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)判断DA、DC、DB之间的数量关系，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵AB是半圆O的直径∴∠ACB=90°∴∠B=90°−∠BAC=90°−40°=50°∵∠B+∠D=180°∴∠D=180°−50°=130°．故选：C．先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用互余得到∠B的度数，然后根据圆内接四边形的性质得到∠D的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出AB⏜=AD⏜=CD⏜是解此题的关键．求出AB⏜=AD⏜=CD⏜，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的BC⏜的度数，求出AB⏜的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵A为BD⏜中点∴AB⏜=AD⏜∵AB=CD∴AB⏜=CD⏜∴AB⏜=AD⏜=CD⏜∵圆周角∠BDC=60°∴∠BDC对的BC⏜的度数是2×60°=120°×(360°−120°)=80°∴AB⏜的度数是13×80°=40°∴AB⏜对的圆周角∠ADB的度数是12故选：A．3.【答案】D【解析】解：根据圆周角定理可知∠AOB=2∠ACB=72°即∠ACB=36°故选：D．根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．本题主要考查了圆周角定理，正确认识∠ACB与∠AOB的位置关系是解题关键．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆周角定理．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可计算出∠BDC=16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．【解答】解：如图，连接BD∵AB是半圆的直径∴∠ADB=90°∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=106°−90°=16°∴∠CAB=∠BDC=16°．故选C．5.【答案】B⏜=BC⏜，∠BDC=50°【解析】解：∵AC∴∠ABC=50°∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC=180°−∠ABC=130°．故选B．根据AC⏜=BC⏜∠BDC=50°得到∠ABC然后利用圆内接四边形的性质得到结果．本题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．延长AO交⊙O于点E连接BE由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD据此可得BE= CD=6在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图延长AO交⊙O于点E连接BE则∠AOB+∠BOE=180°又∵∠AOB+∠COD=180°∴∠BOE=∠COD∴BE=CD=6∵AE为⊙O的直径∴∠ABE=90°∴AB=√ AE2−BE2=√ 102−62=8故选B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理.在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半．作AB⏜所对的圆周角∠ADB如图利用圆内接四边形的性质得∠ADB=70°然后根据圆周角定理求解．【解答】解：作AB⏜所对的圆周角∠ADB如图∵∠ACB+∠ADB=180°∴∠ADB=180°−110°=70°∴∠AOB=2∠ADB=140°．故选D．8.【答案】6【解析】【分析】本题考查圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：连接OB OC∵∠BOC=2∠BAC=60°又OB=OC∴△BOC是等边三角形∴OB=BC=6故答案为6．9.【答案】140【解析】【分析】本题考查圆周角定理和圆内接四边形性质解题的关键是明确它们各自内容灵活运用解答问题．根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．【解答】解：∵A B C D是⊙O上的四个点∠C=110°∴四边形ABCD是圆内接四边形∴∠C+∠A=180°∴∠A=70°∵∠BOD=2∠A∴∠BOD=140°故答案为140．10.【答案】2【解析】【分析】本题考查的是垂径定理圆周角定理含30°角的直角三角形的性质勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．CD=√ 3由直角三角形的性质得连接BC由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB=90°CH=DH=12出AC=2CH=2√ 3AC=√ 3BC=2√ 3AB=2BC得出BC=2AB=4求出OA=2．【解答】解：连接BC如图所示：∵AB是⊙O的直径弦CD⊥AB于点H∴∠ACB=90°CH=DH=1CD=√ 32∵∠A=30°∴AC=2CH=2√ 3在Rt△ABC中∠A=30°∴AC=√ 3BC=2√ 3AB=2BC∴BC=2AB=4∴OA=2即⊙O的半径是2；故答案为：2．11.【答案】60°【解析】【分析】此题考查圆周角定理关键是根据直径和垂直得出∠BDC的度数．连接DC得出∠BDC的度数进而得出∠A的度数利用互余解答即可．【解答】解：连接DC∵AC为⊙O的直径OD⊥AC∴∠DOC=90°∠ABC=90°∵OD=OC∴∠ODC=45°∵∠BDO=15°∴∠BDC=30°∴∠A=30°∴∠ACB=60°故答案为60°．12.【答案】70°【解析】【分析】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理有关知识直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°−∠CAB−∠ABC进而得出答案．【解答】解：∵CB⏜=CD⏜∠CAD=30°∴∠CAD=∠CAB=30°∴∠DBC=∠DAC=30°∵∠ACD=50°∴∠ABD=50°∴∠ACB=∠ADB=180°−∠CAB−∠ABC=180°−50°−30°−30°=70°．故答案为70°．13.【答案】70°【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理的应用掌握半圆(或直径)所对的圆周角是直角是解题的关键．连接AC得到∠CAB=12∠DAB=20°∠ACB=90°计算即可．【解答】解：连接AC∵点C为弧BD的中点∴∠CAB=12∠DAB=20°∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠ABC=70°故答案为70°．14.【答案】8【解析】解：连接AD∵∠ACB=90°∴AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°∵∠ACB的角平分线交⊙O于D∴∠ACD=∠BCD=45°∵∠BAD=∠BCD∴∠BAD=45°∵∠ADB=90°∴△ABD是等腰直角三角形∴AD=BD=5√ 2∴AB=√ AD2+BD2=√ (5√ 2)2+(5√ 2)2=10．∵AC=6∠ACB=90°∴BC=√ AB2−AC2=√ 102−62=8．故答案为：8．本题考查的是圆周角定理熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．15.【答案】32【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质圆周角定理推出A B C D四点共圆是解题的关键．根据已知条件得到点A B C D在以E为圆心AC为直径的同一个圆上根据圆周角定理得到∠DEB=116°根据直角三角形的性质得到DE=BE=1AC根据等腰三角形的性质即可得到结论．2【解答】解：∵∠ABC=∠ADC=90∘E为对角线AC的中点∴EA=EB=EC=ED．∴A B C D四点共圆圆心是E直径是AC．∵∠BAD=58∘∴∠BED=116∘∴∠EBD=(180∘−116∘)÷2=32∘．16.【答案】解：连接BC∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90°∵∠B=∠D=26°∴∠CAB=90°−26°=64°．【解析】此题考查了圆周角定理．此题难度适中注意掌握辅助线的作法．连接BC根据圆周角定理即可得到结论．17.【答案】证明：连接AC．∵AB=CD∴AB⏜=CD⏜∴AB⏜+BD⏜=BD⏜+CD⏜即AD⏜=CB⏜∴∠C=∠A∴PA=PC．【解析】连接AC由圆心角弧弦的关系得出AB⏜=CD⏜进而得出AD⏜=CB⏜根据等弧所对的圆周角相等得出∠C=∠A根据等角对等边证得PA=PC．本题考查了圆心角弧弦的关系圆周角定理等腰三角形的判定等熟练掌握性质定理是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图1所示△ABD即为所求．(2)4+4√ 2．【解析】【分析】本题主要考查作图−复杂作图解题的关键判断出点C是以AB为弦的圆上圆的确定及线段的中垂线的尺规作图等知识点．(1)先作出△ABC的外接圆再作AB边上的高继而作出此高的中垂线与外接圆的交与D点△ABD 即为所求；(2)作以AB为弦且AB所对圆心角为90°的⊙O则垂直于弦AB的直径与优弧的交点即为使三角形面积最大的点C根据作图得出AB边上的高可得答案．【解答】解：(1)见答案如图1所示；(2)如图2所示作以AB为弦且AB所对圆心角为90°的⊙O∵C点为优弧AB上不与A B重合的任一点∴当C在C′位置上时(C′在AB的垂直平分线上)高最长面积最大∵AB=4∠AOB=90°∴AP=BP=OP=2则OC′=OA=2√ 2∴PC′=2+2√ 2∴△ABC′的面积为12⋅AB⋅PC′=12×4×(2+2√ 2)=4+4√ 2即△ABC的面积的最大值为4+4√ 2．故答案为：4+4√ 2．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O∴∠EDA=∠ABC∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC∴∠EDA=∠ACB又∵∠ADB=∠ACB∴∠ADB=∠EDA∴AD平分∠BDE；(2)解：∵AE=AB=AC∴∠ABC=∠ACB∠ACD=∠E∴∠ACB+∠ACE=90°∴∠BCE=90°∵∠BDC=∠BAC=30°BC=2∴CD=√ 3BC=2√ 3．【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心圆内接四边形的性质角平分线的定义等腰三角形的性质圆周角定理正确的识别图形是解题的关键．(1)根据圆内接四边形的性质得到∠EDA=∠ABC根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠ABC等量代换得到∠ADB=∠EDA于是得到结论；(2)根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB∠ACD=∠E求得∠BCE=90°解直角三角形即可得到结论．20.【答案】(1)证明：∵∠CDE=1∠CDF=60°2∴∠CDE=∠EDF=60°∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠CDE=∠ABC=60°由圆周角定理得∠ACB=∠ADB=∠EDF=60°∴△ABC是等边三角形；(2)解：DA+DC=DB理由如下：如图在BD上截取PD=AD连接AP∵∠ADP =60°∴△APD 为等边三角形∴AD =AP ∠APD =60°∴∠APB =120°∵∠CDE =12∠CDF =60° ∴∠ADC =120°=∠APB由圆周角定理得 ∠ABP =∠ACD在△APB 和△ADC 中{∠APB =∠ADC ∠ABP =∠ACD AP =AD, ∴△APB≌△ADC(AAS)∴BP =CD∴BD =BP +PD =CD +AD ．【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质 等边三角形的性质 全等三角形的判定和性质 掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．(1)根据圆内接四边形的性质得到∠CDE =∠ABC =60° 根据圆周角定理 等边三角形的判定定理证明；(2)在BD 上截取PD =AD 证明△APB≌△ADC 根据全等三角形的性质证明结论．。

2.4 圆周角2.4.2 直径所对的圆周角的性质一、选择题（共6小题；共30分）1. 如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20∘，则∠DBA为( )A. 50∘B. 20∘C. 60∘D. 70∘2. 如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70∘，则∠OCB等于( )A. 70∘B. 20∘C. 140∘D. 35∘3. 如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD等于( )A. 116∘B. 32∘C. 58∘D. 64∘4. 如图，在⊙O中，直径AB=5，弦BC=3，若点P为弧BC上任意一点，则AP的长不可能为( )A. 3B. 4C. 4.5D. 55. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：① AD⊥BD；② ∠AOC=∠AEC；③ CB平分∠ABD；④ AF=DF；⑤ BD= 2OF；⑥ △CEF≌△BED，其中一定成立的是( )A. ②④⑤⑥B. ①③⑤⑥C. ②③④⑥D. ①③④⑤6. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4．P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC．则线段CP长的最小值为( )A. 32B. 2 C. 8√1313D. 12√1313二、填空题（共6小题；共30分）7. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54∘，则∠BAC的度数等于．8. 如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A，B重合），延长BD到C，使BD=CD，△ABC的形状为．9. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50∘，则∠CAD=．10. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已知B(8,0)，C(0,6)，则⊙A的半径为．11. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120∘，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=．12. 如图，已知A，B两点的坐标分别为(2√3,0)，(0,2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45∘，则点P的坐标为．三、解答题（共4小题；共40分）13. 如图，已知△ABC的顶点在⊙O上，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D．求证：∠BAE=∠CAD．14. 如图，AB是半圆的直径，图①中，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图①中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图②中，画出△ABC中AB边上的高．⏜的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE15. 如图，AB是⊙O的直径，C是BD于点F．求证：CF=BF．16. 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图1，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（2）如图2，若∠CAB=60∘，求BD的长．答案第一部分1. D2. B3. B4. A 【解析】连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，在Rt△ACB中，AC=√AB2−BC2=√52−32=4，∵点P为弧BC上任意一点，⏜≤AP⏜≤AB⏜，∴AC∴AC≤AP≤AB，即4≤AP≤5．5. D【解析】① ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘ .∴AD⊥BD .② ∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC .③ ∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC .∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC .∴∠OBC=∠DBC .∴CB平分∠ABD .④ ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘ .∴AD⊥BD .∵OC∥BD，∴∠AFO=90∘ .∵点O为圆心，∴AF=DF .⑤由④有，AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线.∴BD=2OF .⑥ ∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等.6. B 【解析】提示：∠P始终等于90∘，所以点P始终在以AB为直径的圆上，AB 中点与C连线交于圆上，此点即为所求．第二部分7. 36∘8. 等腰三角形9. 40∘10. 5【解析】连接BC．因为∠BOC=90∘，所以BC为圆A的一条直径，由题意得OB=8，OC=6，所以BC=√OB2+OC2=√82+62=10，BC=5．所以圆A的半径等于1211. 2√3【解析】提示：∠BCA=30∘，∠BDA=30∘，∠BAD=90∘．12. (√3+1,√3+1)【解析】∵OB=2，OA=2√3，∴AB=√OA2+OB2=4．∵∠AOP=45∘，∴P点的横、纵坐标相等，可设为P(a,a)．∵∠AOB=90∘，∴AB是直径，∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标为C(√3,1)．∵P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．连接CP，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于点E，交CF于点F，∴∠CFP=90∘，∴PF=a−1，CF=a−√3，PC=2，∴在Rt△PCF中，(a−√3)2+(a−1)2=22，解得a=√3+1或a=0(舍去)．∴P(√3+1,√3+1)．第三部分13. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90∘，∴∠BAE+∠E=90∘．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90∘，∴∠CAD+∠ACB=90∘．∵∠E=∠ACB，∴∠BAE=∠CAD．14. （1）在图①中，点P即为所求．（2）在图②中，PC即为所求．15. 如图，连接AC，⏜的中点，∵C是BD∴∠DBC=∠BAC．在△ABC中，∠ACB=90∘，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90∘，∴∠BCE=∠BAC，∴∠BCE=∠DBC，∴CF=BF．16. （1）∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90∘．在直角△CAB中，BC=10，AB=6，由勾股定理，得AC=√BC2−AB2=√102−62=8 . ∵AD平分∠CAB，∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴BD=CD=5√2 .（2）连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60∘，∠CAB=30∘ .∴∠DAB=12∴∠DOB=2∠DAB=60∘．又OB=OD，∴△OBD是等边三角形.∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．。

初中-数学-打印版圆周角环节一、温故知新1、顶点在圆心的角叫做 。

如图1，∠AOB 为 角。

2、如图2，∵AB=AC∴∠B= 。

即等边对 。

3、如图3，若∠ACD 是△ABC 的一个外角，则∠ACD=∠A+ 。

即三角形的外角 与它不相邻的两个内角的和。

图 1 图 2图3环节二、同一条弧所对的圆周角【思考】同一条弧所对的圆周角有怎样的大小关系？即如图4，⌒AB 对着圆周角∠C 与∠D ，观察几何画板《同弧所对的圆周角》，猜想∠C 与∠D 有怎样的大小关系。

【猜想】∠C ∠D 。

证明：连接OA ，OB 。

∵⌒AB 对着圆周角∠C 和圆心角∠AOB ， ∴∠C = ∠AOB ，同理，∠D = ∠AOB ， 图4 ∴∠C ∠D 。

又因为相等的弧所对的圆心角 ，从而它们所对的圆周角 。

【推论1】同弧或等弧所对的圆周角 。

环节三、直径与直角 1、直径所对的圆周角OBCAD AOBCO BAB BDC OACB初中-数学-打印版【问题1】如图5，AB 是⊙O 的直径，求直径AB 所对的圆周角∠C 的度数。

解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AOB= °，∴∠C = ∠AOB= = 。

【推论2】半圆（或直径）所对的圆周角是 角。

图52、90°的圆周角所对的弦 【问题2】如图6，圆周角∠C =90°,求证：AB 是直径。

证明：设圆心为O ， ∵圆周角∠C =90°,∴∠AOB= ∠C= = ， ∴弦AB 经过 ，∴AB 是直径。

【推论3】90°的圆周角所对的弦是 。

图6 环节四、巩固练习1、如图7，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AB=10cm ，BC=6cm ，则AC = 。

变式练习：如图7，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AC =12cm ，BC =5cm ，则⊙O 的半径为 cm 。

2、如图8，CD 是⊙O 的直径，A ，B 是⊙O 上的两点，（1）∠C AD= °； （2）若∠B=20°，则∠C= °，∠A DC= °。