平面解析几何练习

平面向量与平面解析几何练习一、选择题1、已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－）， 则向量a b += ( ). A 、平行于y 轴 B 、平行于第一、三象限的角平分线C 、平行于x 轴D 、平行于第二、四象限的角平分线2、设M(-2,1),N(1,2)为平面直角坐标系中的两点，将M 和N 按向量)1,1(=a平移到点M '和N '，则N M ''的坐标是（ ）A 、(4,2)B 、(3,1)C 、(2,0)D 、(-1,3)3、下列直线中，垂直于直线01=+-y x 且与圆422=+y x 相切的是（ ）.A 、022=--y xB 、02=--y xC 、022=++y xD 、02=-+y x4、抛物线24x y =的焦点坐标为（ ）.A 、1(0,)16B 、1(,0)16C 、(0,1)D 、(1,0) 5、若向量(1,1)=-a ，(2,1)=-b , ,则向量3-a b 的模|3|-=a b ( )A.6、已知直线l 过点(1,1)P -,且与直线310x y +-=垂直,则直线l 的方程为( )A.13(1)y x +=-B.11(1)3y x -=-+C.13(1)y x -=+D.11(1)3y x +=-- 7、设P 是椭圆2212510x y +=上的一点,则P 到两焦点的距离的和为( )A.5B.6C.8D.108、设(2,1),(1,2)M N =-=为平面直角坐标系中两点,将,M N 按向量a =(1,1)平移到'',M N ,则''N M 的坐标为( )9、已知直线l 1:2y=x ,直线l 2:y+2x+1=0则l 1与 l 2 ( )A. 相交不垂直B.相交且垂直C. 平行不重合D.重合10、双曲线191622=-y x 的焦距为( ) A. 7 B.5 C. 72 D.1011、已知直线y=x-2与圆x 2+y 2=4交于两点M 和N ，O 是坐标原点，则=•ON OM ( )A. -1B.0C. 1D.212、垂直于x 轴的直线l 交抛物线y 2=4x 于A 、B 两点，且|AB|=43，则该抛物线的焦点到直线l 的距离是( )A.1B.2 B.3 D.413、以点（2，-1）为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程（ ）A.3)1()2(22=++-y xB. 3)1()2(22=-++y xC. 9)1()2(22=-++y x D .9)1()2(22=++-y x14、以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ） A ．1526422=+y x B ．1121622=+y xC ．141622=+y xD ．116422=+y x 15、若抛物线==p px y ，则的点之横坐标为上到焦点的距离为2322（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题16、圆2240x x y -+=的圆心到直线40x +-=的距离为__________.17、已知m 为实数,椭圆1322=+m y x 的一个焦点为抛物线y 2=4x 的焦点,则m = .18、经过点(0，-1)与点（1，0），且圆心在直线y=x+1上的圆的方程是____________19、双曲线112422=-y x 的离心率是20、以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. 如果已知双曲线22124x y -=和22124x y -=-,那么它们的焦点所在的这个圆的方程为_______________.三、解答题21、(14分) 已知圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈. 椭圆M 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23, 两个焦点分别为1F 和2F , 椭圆M 上一点到1F 和2F 的距离之和为12. (1)求椭圆M 的方程;(2)求过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆M 所截得的线段的长;(3)问是否存在实数k,使得椭圆M 在圆k C 的内部? 请说明理由.22、(本小题满分12分) 已知椭圆1xy y x 2222=+的左、右两个焦点F1、F2为双曲线13y 4x 2222=-的顶点。

1. 以点A （-5,4）为圆心，且与x 轴的相切的圆标准方程是（ ） A.16)4()5(22=-++y x B.16)4()5(22=++-y x C. 25)4()5(22=-+-y x D. 25)4()5(22=+--y x2.与椭圆1334922=+yx有公共焦点且离心率为34=e 的双曲线的标准方程为（ ）A.19722=-yxB.192522=-yxC.17922=-yxD.125922=-yx3.当方程15822=-+-k yk x表示焦点在y 轴上的双曲线时，k 的值是（ ）A.k<5B.5<k<8C.k<8D.k>8 4.椭圆的长轴是短轴的2倍，则椭圆的离心率是（ ） A.21 B.31 C.22 D.235.如果直线y=x+b 与抛物线x y 42=的焦点的距离为2，那么b 等于（ ） A.22 B. -22 C. ±22-1 D. ±226.当e>1时，圆锥曲线表示的曲线是7.已知圆C 和直线x-y=0相切，圆心坐标为（1,3），则圆C 的方程是 8.椭圆11003622=+yx的交点坐标是 ，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是9.在抛物线x y 122=上和焦点的距离等于9的点的坐标是 10.抛物线2x y =与直线y=2x-4的最短距离是11.已知双曲线191622=-yx，则它的离心率是1. 在第四象限内到原点的距离为2的点的轨迹方程是（ ） A.422=+y x B 422=+y x （x>0） C.24x y --= D. 24x y --=（0<x<2）2.以双曲线0369422=+-y x 的中心为顶点，其焦点为焦点的抛物线方程是（ ） A.x y 1322±= B. x y 1342±= C. y x 1342±= D. y x 1322±=3.设θ为第四象限的角，那么方程θθsin sin 22=+y x 所表示的曲线是（ ） A.焦点在x 轴上的双曲线 B.焦点在x 轴上的椭圆 C.焦点在y 轴上的双曲线 D.焦点在y 轴上的椭圆4.顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线y=x-1截得的弦长等于62，则抛物线的方程是（ ）A.y x y x 622=-=或B. y x -=2C. y x y x 622-=-=或D. y x 62=5.若椭圆的短轴长、焦距，长轴长依次成等差数列，则这个椭圆的离心率为（ ） A.43 B.53 C.54 D.-456.以点A （-5,4）为圆心，且与y 轴相切的圆的方程是7.中心在原点，坐标轴为对称轴，短轴长为10，离心率为1312的椭圆方程为8.若方程110222=---n yn x表示焦点在x 轴上的双曲线，则n 的取值范围是9.抛物线x y 62=与双曲线1422=-yx 的公共余弦长等于10.已知圆07622=--+x y x 与抛物线px y 22=的准线相切，则p= 11.设圆1322=+y x 和斜率是32的直线相切，求此切线的方程12.已知P 是椭圆1162522==yx上的点，21,F F 是焦点，若∠02160=PF F ，求△21F PF 的面积13.求焦点在x 轴上，焦距为20.渐近线方程是x y 34±=的双曲线方程14.已知抛物线x y 82-=，过点)1,1(-o P 引一条弦，使此弦在0P 点被平分，求弦所在的直线方程15.求过点M （1,0）所作椭圆1422=+yx的弦中点的轨迹方程16.已知直线y=x+m 与抛物线x y 42=的焦点的距离为2，求m 的值。

专题12平面解析几何（第二部分）一、单选题1．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP二、填空题3．抛物线216y x =的焦点坐标为．4．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为； MNF V 的面积为．5．设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为． 6．已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为.7．设0a >，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减；②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的序号是．三、解答题8．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠ 都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 11．已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()()2,0,0,1A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．12．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.13．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交3y =-交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．15．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为 (1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．17．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .18．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．19．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u v u u u v ，QN QO μ=u u u v u u u v ，求证：11λμ+为定值． 21．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．。

第08练-平面解析几何一、单选题1．已知点F 为椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（ ）A ．2B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得交点坐标和a .【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：因为过F 点的两条切线垂直，故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==，故可得2OF =，即点F 坐标为)2,0. 则2,1c b ==，故2223a b c =+=，解得3a =故选：D.【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，涉及直线与圆相切时的几何性质，属基础题.2．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4（a ＞0）及直线l ：x ﹣y+3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于（ ）A B ．2-C 1 D 1【答案】C【解析】【分析】由题意，结合垂径定理算出圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d ＝1，利用点到直线的距离公式建立关于a 的方程，求解即可．【详解】∵圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4的圆心为C （a ，2），半径r ＝2∴圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d=∵l 被圆C 截得的弦长为∴2d +2＝22，解得d ＝1，因此，d=1，得1a =或1a =（舍） 故选C ．【点睛】本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置等知识，属于基础题．3．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v ，则r 的取值范围是（ ）A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】【分析】由题意可知：以AB 为直径的圆与圆()()22234(0)x y r r -+-=>有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出r 的范围．【详解】 Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为：221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距5d ==∴151r r -≤≤+解得：46r ≤≤故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ）A ．22154x y += B ．221259x y += C ．221169x y += D ．2212516x y += 【答案】D【解析】【分析】直线2100x y ++=过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为(5,0)-,所以椭圆中5a =，由离心率为35，则3c =，可求出椭圆的b ，从而可得椭圆的方程.【详解】直线2100x y ++=与x 轴的交点为(5,0)-,直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(5,0)-.所以椭圆中5a =，由椭圆的离心率为35，则3c =. 则4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=. 故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求,,a b c ，属于基础题.5．已知双曲线的标准方程为2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0），若渐近线方程为y ＝，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．4【答案】B【解析】【分析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是y =，可得b a=c e a == 【详解】Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是y =，∴b a=∴双曲线的离心率2c e a ===． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定b a= 6．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．【答案】A【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.7．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．2y x = 【答案】A【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴3b a =3=双曲线的渐近线方程为：3x y x =±=, 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF V 的面积为( )A．2 B．2 C ．32 D ．92【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF V 的面积，根据1F BF V 和BOF V 的关系即可得到答案.【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分，则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒， 依题可知12||2216910F F c ==+=， 由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠=即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=；又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF V 的面积为：111113||||sin 123322F BF S BF BF F BF =∠=⨯=V 因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BF S S ==V V 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.9．已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值为（）A ．1BCD ．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到228||BF AF AB +=-，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时||AB 最小，把||AB 的最小值2b 代入228||BF AF AB +=-，由22BF AF +的最大值等于5可求b 的值．【详解】由02b <<可知，焦点在x 轴上，∴2a =，∵过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴22112248BF AF BF AF a a a +++=+== ∴228||BF AF AB +=-．当AB 垂直x 轴时||AB 最小，22BF AF +值最大，此时222||b AB b a==，∴258b =-，解得b =C ． 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出22114BF AF BF AF a +++=，属于一般题．10．过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】【分析】 求得两圆的圆心和半径，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ， 2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】圆221:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径为12r =；圆222:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为21r =， 设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ， 连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=---2212(||4)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||32(||||)32232435a PF PF PF PF c =+-=+--=-=g g ）…．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选A ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、多选题11．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()0,2B ．()1,21-C ．()2,0D ．()21,1- 【答案】AC【解析】【分析】 设点A 的坐标为(),2t t -，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可求出点A 的坐标.【详解】如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切， 由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o ，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA == 由两点间的距离公式得()2222OA t t =+-=整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(2或)2,0. 故选：AC.【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 【答案】BC 【解析】 【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A错误；当()()1,0,2,0,D B -时，12PDPE =，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO+-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+， ()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得()22220000=2x y x y +++，整理得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC. 【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.三、填空题 13．直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】 【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p=_______，49NF MF-的最小值为______． 【答案】8p =13【解析】 【分析】利用抛物线的定义可得8p =，设直线l 的方程为4x my =+，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得1114MF NF +=，代入到49NF MF-，再根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NF MF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-4?19NF NF ≥13=， 当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立，故答案为：13． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．四、解答题15．已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M . （1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）(2,0)-【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线PQ 的方程为()2y k x =-与抛物线联立，得到,P Q 横坐标关系，设直线MQ 的方程为y mx n =+与抛物线联立，得到,M Q 横坐标关系,从而得到,m n 的关系，找出定点.解法二：直线PQ 的方程为2x ty =+，与抛物线联立，得到,P Q 纵坐标关系，设直线MQ 的方程为x my n =+，与抛物线联立，得到,M Q 纵坐标关系，从而可以解出n ，得到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为()1,0，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =；（2）【解法一】因为点P 与点M 关于x 轴对称 所以设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,M x y -， 设直线PQ 的方程为()2y k x =-，代入24y x =得：()22224140k x k x k -++=，所以124x x =，设直线MQ 的方程为y mx n =+，代入24y x =得：()222240m x mn x n +-+=，所以21224n x x m==，因为10x >，20x >，所以2nm=，即2n m =， 所以直线MQ 的方程为()2y m x =+，必过定点()2,0-. 【解法二】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ， 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以31y y =-， 设直线PQ 的方程为2x ty =+，代入24y x =得：2480y ty --=，所以128y y =-，设直线MQ 的方程为x my n =+，代入24y x =得：2440y my n --=，所以234y y n =-，因为31y y =-，所以()211248y y y y n -=-=-=，即2n =-， 所以直线MQ 的方程为2x my =-，必过定点()2,0-. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.16．如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率3e =.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）是定值，52【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程组2222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，求解椭圆方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得点C 的坐标，并求直线OC 的方程20x y -=，设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，根据三点共线求1y 和2y，并表示2125OM ON y y y y ==.【详解】（Ⅰ）由题意可知：22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆Γ的方程：2214x y +=；（Ⅱ）由已知，点C 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，得直线OC 的方程为20x y -=， 设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，因P ，A ，M 三点共线，故0110222y y y x =--，整理得0100222y y x y -=--，因P ，B ，N 三点共线，故0220112y y y x --=，整理得020022x y x y =-+， 因点P 在椭圆Γ上，故220044x y +=，从而()000012200000022222224y x x y y y x y x y x y --=⋅=---+--00220000214442x y x y x y -==+--，所以1212552OM ON y y ===为定值.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点,M N 的纵坐标并用点P 的纵坐标表示，并将OM ON 2125y y y ，这样问题迎刃而解.。

第八章 平面解析几何（知识点）1. 直线：(1) 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。

其范围是),0[π(2) 斜率：①倾斜角为090的直线没有斜率；②αtan =k（倾斜角的正切）③经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1212x x y y K --= )(21x x ≠(3) 直线的方程①两点式：121121x x x x y y y y --=-- ② 截距式 1=+b y a x③ 斜截式：b kx y += ④点斜式：)(00x x k y y -=- ⑤一般式：0=++C By Ax注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l 平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0 2.求直线的方程最后要化成一般式。

(4) 两条直线的位置关系①点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2200||B A C By Ax d +++=②0:1=++C By Ax l 与0:2=++C By Ax l 平行2221||BA C C d ++=2. 圆的方程（1） 标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r）其中圆心),(b a ，半径r 。

（2） 一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）圆心（2,2E D --） 半径：2422F EDr -+=（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较。

相交⇔<r d ； 相切⇔=r d ； 相离⇔>r d3. 二次曲线：定义一：平面内到一个定点和一条定直线的距离的比等于定长e 的点的集合,①当0<e<1时,是椭圆.②当e>1时,是双曲线.③当e=1时,是抛物线. 4. 椭圆注：等轴双曲线：（1）b a =（2）离心率2=e （3）渐近线x y ±=6. 抛物线（如右图示） 注：（1）p 的几何意义表示焦点到准线的距离。

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》测试卷及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，116 B ．(0,1)C ．(1,0) D.⎝⎛⎭⎫116，0答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由抛物线y 2＝4x 得2p ＝4，解得 p ＝2，则焦点坐标为(1,0)，故选C.2．过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －7＝0C ．3x －2y －4＝0D ．3x ＋2y －8＝0答案 B解析 设要求的直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0，把点(2,1)代入可得4＋3＋m ＝0，解得m ＝－7.可得要求的直线方程为2x ＋3y －7＝0，故选B.3．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是() A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不能确定答案 B解析 将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b24，∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，∵圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝a 2＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53 B.355 C.63 D.62答案 B解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35＝355. 5．已知双曲线E 的渐近线方程是y ＝±2x ，则E 的离心率为( )A.2或2B. 5C.52D.5或52 答案 D解析 当双曲线焦点在x 轴上时，依题意得b a＝2， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 当双曲线焦点在y 轴上时，依题意得a b ＝2，即b a ＝12， 故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选D.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( )A.4x 225＋y 26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，得c a ＝12， 椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，即2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，。

（8）平面解析几何——高考数学考前模块强化练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为( )A.8- B.0C.2D.102．圆22:(3)(4)2C x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为( )A.22(4)(3)2x y -++= B.22(4)(3)49x y -+-=C.22(4)(3)2x y ++-= D.22(4)(3)49x y +++=3．如图,平面四边形ABCD 中,//AB CD ,2AB CD ==1AD =.若A ,B 是椭圆1C 和双曲线2C 的两个公共焦点,C ,D 是1C 与2C 的两个交点,则1C 与2C 的离心率之积为( )11b <≤或b =C.11b -≤≤ D.11b -≤≤或b =6．已知点()4,1A ,()0,4B ,直线:310l x y --=( )7．3D 打印是快速成型技术的一种,通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒,该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm （数据均以外壁即笔筒外侧表面计算）,则笔筒最细处的直径为( )8．已知点()00,A x y 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上位于第一象限内的一点,1F ,2F 分别为C 的左､右焦点,C 的离心率和实轴长都为2,过点A 的直线l 交x 轴于点01,0M x ⎛⎫⎪⎝⎭,交y 轴于点N ,过1F 作直线AM 的垂线,垂足为H ,则下列说法错误的是( )A.C 的方程为2213y x -=B.点N 的坐标为010,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.OH 的长度为1,其中O 为坐标原点D.四边形12AF NF 面积的最小值为二、多项选择题9．已知曲线22:cos 1(0π)sin y Mx θθθ+=<<,则以下说法正确的是( )A.M 可能是两条平行的直线B.M 既不可能是抛物线,也不可能是圆C.M 不可能是焦点在y 轴上的双曲线D.当0θ<<10．某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为1d ,远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为2d ,并且近日点,远日点及太阳中心在同一条直线上,则( )A.轨道的焦距为2d d +C.轨道的短轴长为2116y -=,则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的实轴长为6B.双曲线C 的渐近线方程为34y x=±C.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为4D.双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为812．已知抛物线()2:20E x py p =>,过其准线上的点()1,1A --作E 的两条切线,切点分别为B ,C ,则下列说法正确的是( )A.抛物线E 的方程为22x y = B.AB AC⊥C.直线BC 的斜率为220y +-=三、填空题13．已知圆22:20C x y y +-=,过直线:10l x y ++=上任意一点P ,作圆的两条切线,切点分别为A , B 两点,则AB ∣的最小值为_________.14．设m ∈R ,已知直线()1:2220l m x my m +++-=,过点()3,4作直线2l ,且12//l l ,则直线1l 与2l 之间距离的最大值是__________.15．一动圆C 与圆外切,同时与圆222:4770C x y y +--=内切,则动圆C 圆心的轨迹方程为______.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,左、右顶点分别为1A ,2A ,PF x ⊥轴于点F ,且2PF QF =．当12A QA ∠最大时,点P 恰好在双曲线C 上,则双曲线C221:430C x y y +++=的离心率为___________．四、解答题17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>,其中离心率为e =,求（1）双曲线C 的标准方程;（2）若直线l 与双曲线C 交于不同的两点M ,N ,且OM ON ⊥18．在平面直角坐标系中,已知圆22:48120C x y x y +--+=,圆N 过原点O 及点()2,0A -且与圆C 外切.(1)求圆N 的标准方程;(2)若过点A 的直线l 被两圆截得的弦长相等,求直线l 的方程.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点与点3,12P ⎛⎫⎪⎝⎭连线的斜率为2,且点(1,)e 在椭圆C 上(其中e 为C 的离心率).（1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点(2,0)D ,过点P 的直线l 与C 交于A ,B 两点,直线DA ,DB 分别交C 于M ,N 两点,试问直线MN 的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点()2,1P ,1F ,2F 分别为椭圆C 的左,右焦点,且12PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程;（2）点M ,N 是椭圆C 上与点P 不重合的两点,且以MN 为直径的圆过点P ,若直线MN 过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由．参考答案1．答案：A解析：由直线210x y +-=可得：21y x =-+，所以直线210x y +-=的斜率等于2-，因为过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，所以过点()2,A m -和(),4B m的直线的斜率也是2-，2=-，解得：8m =-，故选：A.2．答案：A解析：22(3)(4)2x y ++-=表示以()3,4-为圆心,)3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ,则有340,2241,3a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =,3b =-,故所求圆的方程为22(4)(3)2x y -++=,故选：A.3．答案：C解析：由题意知四边形ABCD 为等腰梯形,如图,连接BD ,过点D 作,垂足为E ,则AE====DEB △中,2225BD DE BE =+=,所以1C 与2C的离心率之积为2222AB AB AB BD AD BD AD BD AD ⋅===+--.故选C.4．答案：DDE AB ⊥解析：曲线x=221(0)x y x +=≥,表示以(0,0)为圆心,半径等于1的半圆(位于y 轴及y轴右侧的部分),如图,当直线y x b =+经过点(0,1)A 时,1b =;当直线y x b =+经过点(0,1)-时,1b =-;当直线y x b =+和半圆相切时,由圆心到直线yx =+1,求得b =(舍去),或b =综上可得,11b -<≤,或b =故选:B.6．答案：C解析：如图,作出点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '延长交直线l 于点P ,此时点P 使在直线l 上另取点1P ,连接1P A ,1PB ,1PB111PB P A PB -=不妨设点(,)B m n ',则有:413,431022n m m n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪⨯--=⎪⎩解得:3,3m n =⎧⎨=⎩即(3,3)B ',B A '===故选:C.7．答案：C解析：该塔筒的轴截面如图所示,以C 为笔筒对应双曲线的实轴端点,以OC 所在直线为x 轴,过点O 且与OC 垂直的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,设A 与B 分别为上,下底面对应点.由题意可知,,,设()3,A m ,则()4,8B m -,,因为双曲线的离心率为3A x =4B x =8A B y y -=221(0,0)y a b b -=>>3=所以,所以方程可化简为,将A 和B 的坐标代入式可得,解得则笔筒最细处的直径为.故选：C.8．答案：B解析：对于A,因为222e a ⎧⎪==⎨⎪=⎩,解得1a =,b =所以其方程为2213y x -=,故A 正确;对于B,000200011AM y x yk x x x===--,所以令得直线l 交y 轴于点,故B 错误;对于C,直线的方程为,与直线AM 的方程联立解得,,故C 正确;对于D,四边形1AF NF 20000332F y y y y ⎛⎫⎛⎫+=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y =时等号成立,故D 正确.b =()22288x y a -=*()*()222272812888m am a⎧-=⎪⎨--=⎪⎩m a ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a =00031x y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =030,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭1F H ()023y y x x -=+00002,2121x y H x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭1=故选：B.9．答案：AB解析：A 项：当cos 0θ=即θ=21y =,1y =±为两条平行直线,正确．cos 0sin 22θθ=>⇒=,无解,由于无一次项,故不可能是抛物线,正确;C 项：由()0,πθ∈,sin 0θ>,为双曲线时cos 0θ<,此时焦点只能在y 轴上,错误;D 项：若M 是焦点在y 轴上的椭圆,则1sin 0sin 22cos θθθ>>⇒>无解,错误．10．答案：BC解析:由12a c d a c d -=⎧⎨+=⎩,解得a =则轨道的焦距为11．答案：AC2116y -=,可得3a =,4b =,则5c ==,对于A 中,双曲线C 的实轴长为26a =,所以A 正确;对于B 中,双曲线的渐近线方程为43b y x x a =±=±,所以B 不正确;对于C 中,设双曲线C 的右焦点(5,0)F ,不妨设一条渐近线方程为43y x =,即430x y -=,=2d d -==1212111d d d d -==-++可得焦点到渐近线的距离为4d ==,所以C 正确;对于D 中,根据双曲线的性质,可得双曲线上的点到焦点的最短距离为2c a -=,所以D 错误.故选：AC.12．答案：BCD解析：因为()1,1A --在准线上,所以准线方程为1y =-,所以2p =,抛物线E 的方程为24x y =,故A 错误;设直线()11y k x +=+,代入24x y =,得24440x kx k --+=,当直线与E 相切时,Δ0=,即210k k +-=,设AB ,AC 的斜率分别为1k ,2k 易知1k ,2k 是上述方程的两根,故121k k +=-,121k k =-所以AB AC ⊥,故B 正确;设()11,B x y ,()22,C x y ,则1x ,2x 分别是方程2114440x k x k --+=,2224440x k x k --+=的根,所以112x k =,222x k =所以()22121212121212442BCy y x x x x k k k x x x x --++=====--()121222x x k k +=+=-,121244x x k k ==-,()222121212122344x x x x x x y y +-++===,所以BC 的中点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线BC 的方程为()12321y x -=-+,即220x y +-=,故D 正确.故选：BCD.解析：由题知圆22:20C x y y +-=的圆心为 (0,1), 半径为 1 , 如图所示221PA PC =-，12PBCA S PA AC =⨯⨯四边形当||PC 取最小值时,||AB 取最小值,此时(1,0)P -,||1PA =,||PC =min |AB =14．答案：5解析：由于直线()1:2220l m x my m +++-=,整理得：()()21220x y m x +-++=,故210,220,x y x +-=⎧⎨+=⎩解得1,1,x y =-⎧⎨=⎩即直线1l 恒过点()1,1-;则过点()3,4作直线2l ,且12//l l ,则最大距离5d ==.2121x +=解析：设动圆C 的圆心(),C x y ,半径为r ,又由圆221:430C x y y +++=得()221:21C x y ++=,圆心()10,2C -,半径11r =,由圆222:4770C x y y +--=得()222:281C x y +-=,圆心()20,2C ,半径29r =,21,9r CC r +=-210CC =,根据椭圆定义可得动圆C 圆心的轨迹为以1C ,C 221x b +=其中5a =,2c =,所以225421b =-=,2121x +=.2121x +=.解析：如图：因为PF x ⊥又2PF QF = ,所以Q 为PF 中点.因为12A QA ∠最大,所以经过1A ,2A 两点的圆与PF 相切于Q ,此时Q 点坐标为2,2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭,圆心20,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,22222222222224422b b CA CQ a c b b a a a c a a ⎛⎫⎛⎫=⇒+=⇒=⇒=⇒ ⎪ ⎪⎝-=⎭⎝⎭222255c e c aa ⇒⇒=⇒==214y -=;（2）证明见解析.解析：（1）由题设22222681c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎪⎩,可得2224a b ⎧=⎨=⎩,故双曲线C214y =;（2）由题设及双曲线渐近线,令直线:OM y kx=且k⎛∈⎝,则直线:ON y=则22124x yy kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩,可得22(2)4k x-=,即2Mx=2My=221M Mx y==+同理可得2Nx=2N y=221N Nx y==+222114(1)kON k++==+18．答案：（1）22(1)(1)2x y++-=（2）360x y-+=或320x y-+=解析：（1）由题意知,圆N的圆心N在直线1x=-上,设(1,)N b-,半径为,因为圆N与圆C外切,且圆C的圆心(2,4)C,半径为r=+22(4)(b r+-=+①,又ON r==,即221b r+=②,由①得,42b-=,代入②得,2870b b-+=,解得1b=或7b=(舍),所以r=221)(1)2x y++-=.（2）当l的斜率不存在时,l的方程为：2x=-,与圆C相离,不符合题意.当l的斜率存在时,设为k,故l的方程为()2y k x=+,则圆心C到直线l的距离为：1d2因为圆的弦长一半与圆心到弦的距离的平方和等于圆的半径的平方,=21030k k -+=,解得3k =或k =60x y -+=或320x y -+=.19．答案：（1）222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（2）直线MN 的斜率为定值,且定值为2-解析：（1）由题意可得222222210311c c a a b a b c-⎧-⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,（2）由题意可知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为(1)x m y =-()11,A x y ,()22,B x y ,()33,M x y ,()44,N x y ,则直线DA 的方程为1122x x y y -=+.联立11222212x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22111132220x y xy y y -+-+=则13y y =13132y y x =-.代入1122x x y y -=+,得131232322x x x -=+=-同理可得24232y y x =-,432x =-因为()()()()21211213214312123232323211232232MNy y y x y x y y x x k x x x x x x -------===-----1()()()21112112123332322222, y my m y my m m y y m y y m y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===---所以直线MN 的斜率为定值,且定值为2-.212y +=（2）直线MN 过定点,该定点坐标为63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2a =,解得a =将()2,1P 211b+=,解得22b =,212y +=;（2）当直线MN 的斜率不存在时,设(),M m n ,则(),N m n -,因为以MN 为直径的圆过点()2,1P ,则()()222,12,1450PM PN m n m n m m n ⋅=--⋅---=--+=,因为2248m n +=,故2242504m m m ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭,解得m =因为M ,N 是椭圆C 上与点P 不重合的两点,所以2m ≠,故m =故此时直线MN的方程为65x =,当直线MN 的斜率存在时,设方程为y kx t =+,212y +=联立后,得到()222148480k x ktx t +++-=,设()11,M x y ,()22,N x y ,则12x x +=12x =其中()()()222222212121212224881414t k t y y kx t kx t k x x ktx x t k t k k -=++=+++=⋅-+=++()21212282214k t y y k x x t t k +=++=-+=+则()()()()1122121212122,12,1250PM PN x y x y x x x x y y y y ⋅=--⋅--=-++-++=,22222168250141414kt k t t k k k-+++-+=+++,整理得2212316520k kt t t -++-=,即()()2153210t k t k +-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,解得12t k =-或()3215t k =-+,当12t k =-时,12y kx k =+-,即()12y k x -=-,此时直线MN 过定点()2,1,此时与点P 重合,不合要求,当()3215t k =-+时,()3215y kx k =-+,即3655y k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,此时直线MN 过定点63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,显然当直线MN 的斜率不存在,直线x =63,55⎫-⎪⎭,满足要求,综上,直线MN 过定点,该定点坐标为63,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

专题10平面解析几何（第二部分）一、填空题1．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为． 2．已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．3．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .4．设抛物线22{2x pt y pt ==（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E ，若||2||C F AF =，且ACE ∆的面积为p 的值为．二、解答题5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程． (2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．6．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．7．设椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值.8．设椭圆2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.9．已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，，且BF = （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r ，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD△AP的方程.13．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|2||OA OB=（O为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且OC AP∥，求椭圆的方程.14．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率.15．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为(,0)F c-，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA△的面积为22 b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，32FQ c=，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM QNP，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.16．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为 B ,左焦点为F ,离心率为 （Ⅰ）求直线BF 的斜率;（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点 M ,||=||PM MQ l . （ⅰ）求λ的值;（ⅱ）若||sin PM BQP ∠=求椭圆的方程.。

平面解析几何测试题一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1.直线3x+4y-24=0在x 轴，y 轴上的截距为 （ ） A.6,8 B.-6,8 C.8,6 D.-8,6 2.x=29y -表示的曲线是 （ ）A.一条直线B.两条直线C.半个圆D.一个圆3.已知直线x-ay+8=0与直线2x-y-2=0垂直，则a 的值是 （ ）A.-1B.2C.1D.-24.已知圆x 2+y 2+ax+by=0的圆心为（-4，3），则a,b 的值分别是 （ ）A.8,6B.8,-6C.-8,-6D.-8,6 5.已知A （3，-6），B （-5，2），C （6，y ）三点共线，则点C 的纵坐标是 （ ）A.-13B.9C.-9D.136.已知过点P （2，2）的直线与圆（x-1）2+y 2 =5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a 的值为（ ）A.2B.1C.-21D.21 7. 直线2x-y=0与圆x 2+y 2-2x-4y-1=0的位置关系为 （ ） A. 相交但不过圆心 B.相离 C.相切 D.相交过圆心8.已知双曲线22a x -22b y =1的渐近线的斜率k=±34，则离心率等于 （ ）A.53B.45C.34D.359.若椭圆22a x +22by =1（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，若▲AF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为 ） A.22 B.21 C.41D.3-1 10.已知双曲线22x -22by =1（b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y=x ，点P （3，y 0）在双曲线上，则1PF •2PF 等于 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 11.已知椭圆焦点在x 轴上，长轴长为18，且焦点将长轴三等分，则椭圆的方程为（ ）A.812x +722y =1B.812x +92y =1 C.812x +452y =1 D.812x +162y12.设点F 为抛物线y 2=3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|等于 （ ） A.330B.6C.12D.37 13.已知圆x 2+y 2-4x-4y=0与x 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为（ ）A.6π B.3π C.2π D.3π2 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的3倍，且过点（-3，1），则椭圆的方程为 （ ）A.92x +y 2=1 B.121822=+x y .121822=+y x D.92y +x 2=1 15.关于x ，y 的方程x 2+my 2=1，给出下列命题： ①当m<0时，方程表示双曲线； ②当m=0时，方程表示抛物线； ③当0<m<1时，方程表示椭圆； ④当m=1时，方程表示等轴双曲线； ⑤当m>1时，方程表示椭圆. 其中真命题的个数是 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个x-y-1≦016.已知变量x ，y 满足的约束条件是 x+y ≦1，目标函数z=10x+y 的最优解是 （ ） x ≧0 A. （0，1），（1，0） B.（0，1），（0，-1） C.（0，-1），（1，0） D.（0，-1），（0，0） 17.已知双曲线17922=-y x ，直线AB 过焦点F 1，且|AB|=4，则▲ABF 2的周长是 （ ）A.12B.20C.24D.48 18.已知椭圆的焦点F 1（0，-1），F 2（0，1），P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|，构成等差数列，则椭圆的方程为 （ ）A.191622=+y x B.1121622=+y x C.13422=+x y D.13422=+y x 19. 已知点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点，A 1，A 2是双曲线的顶点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积是（ ）A.1B.-1C.2D.-2 20.圆（x+1）2+（y+2）2=8上到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 21.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的最大距离为 . 22.已知点(2，-1)与点(a ，-2)在直线3x+y-4=0的两侧，则a 的取值范围是 .23.物线的顶点在原点，焦点是双曲线3x 2-y 2=12的左顶点，则其标准方程为 .24.若方程142222=-+-m y m x 表示椭圆，则m 的取值范围是 . 25.设点F 1，F 2为双曲线1422=-y x 的两焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°，则▲F 1F 2P 的面积等于 . 三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.（本小题6分）已知抛物线y=241x ，点P （0，2）作直线l 交抛物线A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）求证：OA •OB 为定值；（2）直线l 与向量n=（1，2）平行，求▲AOB 的面积.27.（本小题8分）已知点P 是椭圆16410022=+y x 上一点，点F 1，F 2是左、右焦点，若∠F 1PF 2=60°，求▲PF 1F 2的面积.28.（本小题8分）在抛物线y=2x 2上求一点P ，使P 到直线l ：y=2x-3的距离最短，求P 点的坐标.29.（本小题8分）已知椭圆22a x +22by =1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为21.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l ：y=2x+m 与椭圆相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点，求直线l 的方程.30.（本小题10分）已知双曲线22a x -22by =1（a>0，b>0）的离心率为2，两顶点的距离为4.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线l 过圆x 2+y 2-6x+2y+6=0的圆心并与双曲线交于A ，B 两点，且点A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程.第八章 平面解析几何测试题答案一、选择题1.C2.C3.D4.B5.C6.A7.D8.D9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.C 15.B 16.C 17.B 18.C 19.A 20.C 二、填空题 21. 6 22. （2,∞-） 23. y 2=-8x24. （2,3）U （3,4） 25. 1三、解答题 26.（1）-4 （2）4627.3364 28.（21，21） 29.（1）13422=+y x （2）y=2x+219或y=2x -21930.（1）112422=-y x （2）0269=-+y x。

专题11平面解析几何（第一部分）一、单选题1．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．42．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2 C ．3 D ．3．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( )A ．1B ．2C D ．4．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 5．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=6．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-7．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．78．已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．1±B ．C ．D ．2±9．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 A ．a 2=2b 2 B ．3a 2=4b 2 C ．a =2b D ．3a =4b二、填空题10．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为．三、解答题11．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．四、单选题12．若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -=B ．2213y x -= C ．22531x y -= D ．22126x y -=五、填空题13．已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)C 的方程为．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则=a ；b =．15．已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =． 16．已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距离是． 17．已知双曲线2221x y a-= (a ＞0)＋y ＝0，则a ＝.六、单选题18．已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4 C ．2 D ．12七、填空题19．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．20．若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =. 21．若双曲线221y xm -=m =． 22．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=.23．已知()2,0是双曲线2221y x b -=（0b >）的一个焦点，则b =．。

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角的范围0180（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k 。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k g 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),x x x k k或，则有A、B、C三点共A x yB x yC x y若123AB AC线。

高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。

专题08平面解析几何一、单选题1．已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．2D 2．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．3．双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -= 4．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >） B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 5．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2 C ．3 D ．二、多选题6．设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 7．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A e 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．10．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为．11．抛物线216y x =的焦点坐标为．12．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．四、解答题13．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点. (1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP V 的面积为9，求l 的方程．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程． (2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．16．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．。

平面解析几何练习题一、直线与圆的相交1. 已知圆的方程为：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求与直线y = 2x + 1相交的点坐标。

解析：首先将直线方程代入圆的方程，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 6(2x + 1) + 9 = 0。

将方程化简得到二次方程 5x^2 - 22x - 14 = 0。

解此二次方程，得两个不同实根：x1 ≈ 0.953 和x2 ≈ 2.337。

将x的值带入直线方程求得对应的y值，即可得到两个交点的坐标。

2. 已知直线过点A(2, 4)且与圆x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0相切，求此直线的方程。

解析：首先求圆的切线方程，在圆的方程中，将x和y的系数前的项移至另一侧得到新方程 x^2 + y^2 = 6x - 8y - 9。

然后利用点到直线的距离公式，得到圆心O(a, b)到直线的距离公式：d = |a + 2b - 8| / √(1 + 4) = |a + 2b - 8| / 2。

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径。

将距离公式代入原方程，得到二次方程 (2a + 4b - 16)^2 = 4(a^2 + b^2 - 6a + 8b + 9)。

通过求解此二次方程，得到a和b的值，即可得到直线的方程。

二、圆的切线与切点1. 已知圆C的方程为：(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16，求过点P(3,2)的圆C 的切线方程及切点。

解析：首先求得点P到圆心C(2,-1)的距离，即两点之间的线段CP 的长度r = √((3-2)^2 + (2+1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √13。

因为点P在圆C 上，所以点P到圆C的距离等于圆C的半径 r = 4。

接下来求得点P到圆C的切线斜率k，即斜率为 -1/k 的直线与圆C的切线。

切线斜率 k = (2 - (-1)) / (3 - 2) = 3。