2019年秋九年级数学上册2.4用因式分解法求解一元二次方程习题课件新版北师大版20190707114

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解：(1)2 4； (2)把－4 分解成 1×(－4)，且 1＋(－4)＝－3.∴x2 －3x－4＝(x＋1)(x－4)＝0， ∴x＋1＝0 或 x－4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4.
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大家好
1
第二章 一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程
2
◎学习目标 1. 会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单 的数字系数的一元二次方程． 2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方 程的解法，体会解决问题方法的多样性．
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◎知识梳理 1. 当一元二次方程的一边为______0_______，而另 一边易于分解为两个__一__次__因__式_____的乘积时，我们就可 以采用分解因式法解一元二次方程．
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3. 用因式分解法解下列方程： (1)9x2－4＝0； 解：x1＝32，x2＝－23； (2)(x＋1)2＝4x(x＋1)． 解：x1＝－1，x2＝13.
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4. 用适当的方法解下列方程： (1)(2x－3)2＝4； 解：x1＝2.5，x2＝0.5； (2)3x2－6x＋1＝0； 解：x1＝3＋3 6，x2＝3－3 6；
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◎自主检测
知识点 ：因式分解法解一元二次方程
1. 方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
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2. (2017·德州)方程 3x(x－1)＝2(x－1)的解为 ____1_或__23______．
7
3. 用因式分解法解下列方程： (1)x2＋16x＝0； 解：x1＝0，x2＝－16； (2)5x2－10x＋5＝0. 解：x1＝x2＝1.

4.解下列方程：
( ) ( ) (1)5 x2 - x = 3 x2 + x ;
x1 = 0, x2 = 4；
(3)( x - 2) ( x - 3) =12;
x1 = - 1, x2 = 6； (5)2 y2 +4 y = y +2.
x1
=
-
2,
x2
=
1； 2
(2)( x - 2) 2 =( 2x +3) 2 ;
你知道小亮这一步的依据吗？ 如果agb = 0.
那么a = 0,或b = 0. a=0或b=0包含了哪些情况？
(1)a = 0,b ? 0; (2)a ? 0,b 0; (3)a = 0,b = 0.
a=0且b=0呢？
二、探究新知
因式分解法
由方程x2 = 3x，得：
x2 - 3x = 0.
即x( x - 3) = 0.
x - 3 = 0,或x +2 = 0. x1 = 3, x2 = - 2.
四、随堂练习
(3)( 2x +3) 2 = 4( 2x +3) ;
解：原方程可变形为：
( 2x +3) 2 - 4( 2x +3) = 0. ( 2x +3) ( 2x - 1) = 0.
2x +3 = 0,或2x - 1 = 0.
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x1
=-
2 , x2
=
. 2
(4)2( x - 3) 2 = x2 - 9.
解：原方程可变形为：
2( x - 3) 2 - ( x +3) ( x - 3) = 0. ( x - 3) ( x - 9) = 0.
x - 3 = 0,或x - 9 = 0. x1 = 3, x2 = 9.

想一想 你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？
x2–4 = 0 解：原方程可变形为
(x + 2)(x – 2) = 0. x + 2 = 0 或 x –2 = 0. x1 = –2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0 解：原方程可变形为
(x +1+5)(x+1–5) = 0. (x+6)(x–4) = 0. x+6 = 0 或 x–4 = 0. x1 = –6，x2 = 4.
x(5x – 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
x1
=
0，x2
=
4. 5
(2)原方程可变形为 x(x–2) – (x–2) = 0 ， (x–2)(x–1) = 0. x–2 = 0 ，或 x–1= 0. x1 = 2 ，x2 = 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
5x2=4x
移项
5x2–4x=0
提公因式x
x(5x–4)=0
等价于
x=0或5x–4=0
解一元一 次方程
x1=0，x2=
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创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x；
(2) x(x–2)=x–2.
分析：(2)
x(x–2)=x–2
移项
x(x–2)–(x–2)=0
提公因式(x–2)
(x–2)(x–1)=0
等价于
x–1=0或x–2=0
解一元一 次方程
x1=1，x2=2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业

（2）原式可变形为(3x+2)2-4(x-3)2=0．
分解因式，得[(3x+2)+2(x-3)][(3x+2)-2(x-3)]=0，
即
(5x-4)(x+8)=0．
于是得
5x-4=0，或x+8=0，
x1
4 5
，x2
8．
五、课堂练习
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
解：（1）因式分解，得(x-2)(3-x)=0． 于是，得x-2=0，或3-x=0， 所以， x1=2 , x2=3．
五、课堂练习
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
三、探究新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数 是几？你是怎样求出来的？
根据题意，设这个数为x，得方程x2=3x． 整理得x2-3x=0 x（x -3）=0 x=0或x -3=0 所以x1=0或x2=3
三、探究新知
像这样，先因式分解，使方程化为两个一次式乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元 二次方程的方法叫做因式分解法．
B．x=0
C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2 2．用因式分解法把方程(x-1)(x-2)=12分解成两个一元一次方程，下

程的解．
例1 解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4. 5
(2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知1－讲
总结
Байду номын сангаас
知1－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技能为： 右化零，左分解，两因式，各求解.
2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
1 一元二次方程x2－4x＝12的根是( B )
A．x1=2, x2=-6
B． x1=2, x2=-6
C．x1=2, x2=-6
D． x1=2, x2=-6
知1－练
知1－练
2 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0 的两根，则该等腰三角形的周长是( A ) A．12 B．9 C．13 D．12或9
北师大版数学九年级上册
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
2.4 用因式分解法求解 一元二次方程
1 课堂讲授 用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，

(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
8．一个三角形的两边长为3和6，第三边边长是方程(x
－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长为( C )
A．11
B．11或13
C．13
D．11和13
9．(易错题)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－5＝0，
则x2－x的值是__5__．
10．读题后回答问题：解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法 如下：解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.请回答：
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
解：x1＝－32，x2＝－1

.
6．用分解因式法解方程： (1)(3x－4)2＝(4x－3)2； 解：x1＝1，x2＝－1； (2)(x－3)2＋2x(x－3)＝0. 解：x1＝3，x2＝1.
7．用适当方法解下列方程： (1)3(x－5)2＝x2－25； 解：3(x－5)2＝(x＋5)(x－5)，3(x－5)2－(x＋5)(x－5)＝0，(x－5)[3(x－5)－x
15．已知实数 x 满足(x2－x)2－4x2＋4x－12＝0，求代数式 x2－x＋2015 的值． 解：由(x2－x)2－4x2＋4x－12＝0 得(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，∴(x2－x＋ 2)(x2－x－6)＝0，∴x2－x＋2＝0 或 x2－x－6＝0，当 x2－x＋2＝0 时，Δ＝ －7＜0，此方程无解，当 x2－x－6＝0 时，Δ＝25＞0，∴x2－x＝6，∴x2－ x＋2015＝6＋2015＝2021.
夜盲症，缺乏 维生素C 会引起坏血病。
练 习 1．下列特色美食中富含糖类和油脂的是( B )
A．烤大虾
B．奶油玉米
C．什锦水果 D．烤蒜苔羊排
练 习 2．食品安全与人体健康息息相关，生活中下列做法错误的是( D )
A．食盐作为咸味剂
B．食醋作为酸味剂
C．甲醛作为防腐剂
D．小苏打作为膨松剂
练 习 3．化学就在我们身边，化学与生活息息相关。
C．－2 和－3
D．2 和 3
9．下列方程适合用分解因式法求解的( D )
A．x2－x－1＝0
B．2x2－3x＋5＝0
C．x2＋ 5x－ 3＝0
D．(x－1)2＝1－x
10．三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2－13x＋36＝0 的两根，
则该三角形的周长为( A )

4 用因式分解求解一元
例 (3)3根据一“个至的数少平有方方一的法个2因称倍式等为为于零这分”,得个解到数两的因个7 一倍 x ,根据题意得
.
2x2 - 7x =0老, 师提示:
（1）x2-6x=7
（2）3x2+8x-3=0
∴当x一+6元=0二,或次x1-方4.=程0用的分一边解是 0因,而式另一法边易的于条分解件成两是个:一方次程因式左的乘边积易时,我于们分就可解以用,而分解右因式边的等方法于求解零. ;
0)的6)两;个根x1,
x2,然后
直接将 ax2+bx+c 写成 a(x-x1)(x-x2) ,就可以了.
解方程 : x 2x 3 0得x 3, x 1; 而x 2x 3 (x 3)(x 1); 我们已经学过一些特殊2 的二次三项式的分解因式,如：
2
当一元二次方程的一边是 0 ,而另一边易于分解1 成两个一次2 因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.
再见
三、运用新知
例1 用分解因式法解方程: （1）5x2 = 4x; （2）x – 2 = x(x - 2).
解：（1） 5x2 4x 0,
x5x 4 0
x 0或5x 4 0
x1
0;
x2
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（2） x 2 x x 2 0, x 21 x 0
x 2 0,或1 x 0
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
x2 6x 9 (x 3)2;
x 2 5 x 6 (x 2)( x 3);
但对于一般的二次三项式 ax2+bx+c (a≠0) ,怎么把它分解因式呢?
观察下列各式,也许你能发现些什么？
四、巩固新知

一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法
出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)的两个(liǎnɡ ɡè)根x1,x2,然后直
将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
把下列各式分解因式 :
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0) 2.b2-4ac≥0.
第三页，共16页。
心动 不如行动
你能解决这个(zhè ge) 问题吗
一个数的平方与这个(zhè ge)数的3倍有可能相等吗？
如果相等，这个(zhè ge)数是几？你是怎样求出来的？
1.x2 7;
解 : 1.一元二次方程
2.3 y 2 y 14.
解 : 2.一元二次方程
x2 7 0
3y2 y 14 0
的两个根是x1 7, x2 x2 7 (x 7)(x 7).
7.
的两个根是y1
2,
y2
7. 3
3y2 y 14 3( y 2)( y
7 ).
3
第十三页，共16页。
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
x1
0,
x2
7. 2
第十页，共16页。
我最棒
,用分解(fēnjiě)因式法解下列方
参考答案：
1. x2 (5 2)x 5 2 ;0
1.x1 5; x2 2.
2. x2 ( 3 5)x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3.

【解析】 依题意，得 x2－5x＋5＝1， 解得 x1＝1，x2＝4， 当 x＝1 时，x2＋4x－5＝0，不符合； 当 x＝4 时，x2＋4x－5≠0， 所以 x＝4.
7．[2016· 淄博]阅读下面的例题，解方程 x2－|x|－2＝0.
解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0. 令 y＝|x|，原方程化成 y2－y－2＝0， 解得 y1＝2，y2＝－1. 当|x|＝2 时，x＝± 2；当|x|＝－1 时(不符合题意，舍去)． ∴原方程的解是 x1＝2，x2＝－2.
(4)x2＋8x＋16＝(3＋5x)2；
解：x2＋8x＋16＝25x2＋30x＋9. ∴24x2＋22x－7＝0， ∴(4x－1)(6x＋7)＝0， 1 7 ∴x1＝4，x2＝－6.
(5)3(x－2)2＝x(x－2)． 解：(x－2)(3x－6－x)＝0， ∴2(x－2)(x－3)＝0， ∴x1＝2，x2＝3.
归类探究
类型之一 用因式分解法解方程 解方程． (1)x2－3x＋2＝0； (2)x2－6x＋9＝(5－2x)2.
解：(1)x2－3x＋2＝0. 因式分解，得(x－1)(x－2)＝0， x－1＝0 或 x－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝2.
(2)原方程可化为(x－3)2＝(5－2x)2， 移项，得(x－3)2－(5－2x)2＝0， 分解因式，得[(x－3)＋(5－2x)][(x－3)－(5－2x)]＝0， 即(－x＋2)(3x－8)＝0， ∴－x＋2＝0 或 3x－8＝0， 8 解得 x1＝2，x2＝3.
当堂测评
1．方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D ) A．x＝2 B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 2．一元二次方程 x(x－2)＝2－x 的根是( D ) A．－1 B．0 C．1 和 2 D．－1 和 2 x1＝0，x2＝－1 ． 3．方程 x2＋x＝0 的解是________________