2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.3 第2课时 诱导公式(五～六)学案 苏教版必修4

第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。

第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。

第一章 三角函数函数1.2.3 三角函数的诱导公式（2）主备人：张娜 做题人：张鹏翔 审核人：刘主任一．学习目标:1．掌握诱导公式五、六的推导方法；2. 能熟练运用公式解决有关的求值、化简、证明问题.二．学习重、难点：诱导公式以及公式的综合应用.三．课堂活动：活动一 探究并证明诱导公式五、六问题1：点(,)P x y 关于直线y x =的对称点'P 的坐标是什么？问题2：若角α的终边与角β的终边关于直线y x =对称，那么角α与角β的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？问题3：角2πα-的终边与角α的终边是否关于直线y x =对称？根据问题1,2,3的启发，你能推导下列公式吗？ sin()2πα-= cos()2πα-= （公式五） 利用公式二和公式五，你能推导下列公式吗？ sin()2πα+= cos()2πα+= （公式六） 思考感悟：1.诱导公式的实质是什么？2.如何记忆这六组诱导公式?______________ ______________ 思考：你能推导出tan()_____________;2tan()2πα+= 吗？活动二 利用诱导公式解决化简、证明问题例1． 化简下列各式并加以证明：3sin()2πα+= 3cos()2πα+= 3cos()2πα-= 3sin()2πα-=活动二 利用诱导公式解决给值求值问题例2．已知3cos(40)5α︒-=，且90180α︒<<︒，求cos(50)α︒+的值.思考感悟：______________ ______________四．小结反思：_____________ _____________五．巩固练习：1.化简：3sin()cos()cos()25cos(3)sin(3)sin()2ππαπααππαπαα-++-+-.2．已知1sin(x)64π+=，求25sin()sin()63x xππ-+-的值.。

1.3 三角函数的诱导公式1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式.(难点)2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题.(重点)3.各种诱导公式的特征.(易混点)[基础·初探]教材整理1 诱导公式二～公式四阅读教材P～P例1以上内容，完成下列问题. 24231.诱导公式二(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于原点对称.(2)诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α；cos(π＋α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan α.2.诱导公式三(1)对应角终边之间的对称关系x轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，－α(2)诱导公式三sin(－α)＝－sin α；cos(－α)＝cos α；tan(－α)＝－tan α.3.诱导公式四(1)对应角终边之间的对称关系y轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，π－α(2)诱导公式四sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α；tan(π－α)＝－tan α.公式一～四可以概括为：(3)．kk的同名函数值，前面加上一的三角函数值，等于αα，－，πα＋±·2π(α∈Z) .α看成锐角时原函数值的符号个把(正确的打“√”，错误的打“×”)判断3) .( (1)tan 210°＝3)一定是锐角.( (2)对于诱导公式中的角α) β).( ＝－cos(α－(3)由公式三知cos[－(α－β)]BAABC sin ＝中，sin()(4)在△＋)C.(3. (1)tan 210°＝tan 30°＝【解析】 3(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角. (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的.ABCABC，－＝＝π，所以π(4)因为＋＋＋ABC)＝π－＋sin )＝sin(所以sin(C.【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√教材整理2 诱导公式五、六阅读教材P第七行以下至“例3”以上内容，完成下列问题.????????α－－α＝cos公式五：sinsin α. ＝cos α，1.????2226ππππ????????α＋α＋＝－sin α＝cos α，2.公式六：sincos. ????223.公式五和公式六可以概括为：π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看2成锐角时原函数值的符号.公式一～六都叫做诱导公式.ππ1????????α＋－α________.cos＝＝，则cos若????223π1????α－＝sin α＝cos 【解析】∵，??23．π????α＋∴cos??21.＝－＝－sin α31 【答案】－3][小组合作型给角求值问题.求下列各三角函数值π1029????－(1)sinπ；(2)cos . ??36360°内的角，进而利360°的角化为0°到【精彩点拨】先化负角为正角，再将大于.用诱导公式求得结果π10????－(1)sin 【自主解答】??3π4π410π????＋2π＝－sin ＝－sinsin ＝－??333π3π????＋π.＝sin ＝－sin＝??323π5π529????＋π4 ＝cos (2)cos π＝cos??666π3π????－π.＝cos＝－＝－cos ??626已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值π????，0范围内的角的三.求解如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角后，再转化到??2角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值.[再练一题].求下列各三角函数值1.17.π(1)tan(－855°)；(2)sin 6 －855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)【解】(1)tan(1. ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝5517????π2＋π (2)sin π＝sin＝sin π??666ππ????＋＝sin??321π.＝cos ＝23(式)求值问题给值πππ53??????2??????－α＋－αα【导学号：已知－sin 的值. ＝，求coscos??????6663 70512008】【精彩点拨】π5π????????????α－＋α cos－π＝【自主解答】因为cos??????66π3????α－ cos＝－，＝－??63πππππ52??????????2222??????????－－ααα＋α－α－sincos＝sin1－＝－＝sin，所以cos??????????6666633＋322. ＝－＝－－3331.解决条件求值问题的策略：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.ππππ2.常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；3644π2ππ3π常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等.4433．[再练一题]π2π1????????α－－α________.＝2.已知cos，则＝sin????6332ππ????????????αα＋－sin ＝sin【解析】π－??????33πππ??????????－α??α－sinsin＝＝????63??2π1????α－＝.＝cos??631【答案】 3利用诱导公式证明三角恒等式απ－2－π－απ－α＝－求证：tan α. 【导学α－－ππα 00680012号：】【精彩点拨】观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边.【自主解答】原式左边＝α－παα－－απ－αππ－α－αα－sin α－α－sin sin＝＝αcos αcos α－cos α＝－tan α＝右边.原式得证.关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异.[再练一题]，2＝)α＋πtan(7已知3.απ－＋α－π＝求证：2.α－－＋απ【证明】∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，α－2cos α＋3sin ＋α－2＋3tan απ－πα－＝＝∴＝α－tan α4－αα4cos ＋α－sin π－－2＋3×2＝2.24－[探究共研型]诱导公式中的分类讨论思想k π＋α)的值？ 探究1 利用诱导公式能否直接写出sin(k 是奇数还是偶数不确定.不能 .因为【提示】kknnk π＋α)＝sin(π＋α)＋1(＝－∈Z )，sin(sin 当α是奇数时，即；＝2kknnk π＋α)＝，sin(是偶数时，即sin ＝2α(.∈Z )当k ????απ＋ 如何化简2 tan 呢？探究 ??2nknk )＋1(【提示】 当，为奇数时，即∈＝2Z π????α＋sin ??k 2ππcos 1α????????α＋＋α＝＝；tan ＝tan ＝????22α－sin πtan α－????α＋cos ??2nkkn∈Z 2)(当，为偶数时，即＝k π????α＋.tan αtan ＝??21??k 为奇数，，k π?? α－tan ???α＋ ＝所以tan??2??k .，为偶数tan αk 为整数，化简： 设kk －π－απ－α].kk α＋＋π＋απ【精彩点拨】 本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①kk π－必须把α分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，为了便于运用诱导公式，kkkkkπ，可使用配角法＝2.－1)π－＝2(π，(＋1)π＋α＋α＋π＋αkkmm∈Z)，则设＝2原(式＝时法解【自主答】一：当为偶数，mmα＋α－π]－π－πα－α＝＝mmα＋πα＋π＋＋πααα－sin cos α－＝－1；αcos －sin αkkmm∈Z)，同理可得原式＝－＝21.＋当1(为奇数时，设kkkkkkk cos[(故π，π－α＝＋1)π＋α＋(2法二：由于－π－α＋απ＋＝21)π，(kkkkπ＋＝－sin(1)π＋cos(απ＋α)，sin[(]－－1)πα]＝cos[(＋＋1)π＋α]＝－kkπ＋α).α)＝－α)，sin(sin(π－kkπ＋－απ＋α－＝－1.所以原式＝kkα＋απ－＋πkk值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，Z由于的任意性，对于不同的∈正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析.[再练一题]nnαπ＋α－πn∈Z)(化简4.的结果为________.n]＋απ－nkk∈Z)时，(1)当＝2 (【解析】kkαsin ααcos π－απ＋＝原式＝kαπ－αcos ]＋－.α＝－sinknk (2)当＝21(＋时，∈Z)kk＋π－＋αα]＋π原式＝k]α＋π－α－sin cos α－＝sin α.＝αcosn＋1所以化简所得的结果为(－1)·sin α.n1＋sin 1)α－【答案】(1.下列各式不正确的是( )A.sin(α＋180°)＝－sin αB.cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C.sin(－α－360°)＝－sin αD.cos(－α－β)＝cos(α＋β).项错误B，故)β－αcos(＝)]β－α(－cos[＝)β＋α－cos( 【解析】．B【答案】) 2.sin 600°的值为(11 A. －B.2233 －D.C. 22 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°【解析】3.故选＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ D. 2D【答案】) 3.cos 1 030°＝(B. －cos 50°A.cos 50°C.sin 50°D. －sin 50°【解析】 cos 1 030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos 50°.【答案】 Aππ????????θ＋θ－>0，则θ<0，且cos是4.若sin( ) ????22A.第一象限角 B.第二象限角D. 第四象限角 C.第三角限角π????θ＋，cos θ<0【解析】由于sin＝??2π????θ－＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选cosB. ??2【答案】 B11π6????φ＋ 00680013】的值. 【导学号：，求cos＋sin(3π－φ)5.已知sin φ＝??2116 ，sin ∵φ＝【解】1111ππ????????φ6π－＋＋φ cos∴cos＝????22π????φ－＋＝cos??2π6????φ－＝sin ＝cosφ＝，??21111π6????φ＋)－φπ＝cos∴)－sin(3＋πφ＋sin(??211．612＝＋sin φ＝. 1111．。

第 2课时 三角函数的诱导公式五～六[课时作业] [A 组 基础巩固]π sin( ＋θ)－cosπ－θ2 1．已知 tan θ＝2，则等于( )πsin( －θ)－sinπ－θ2A ．2B ．－2C ．0D ．3π sin ( ＋θ)－cosπ－θ2 cos θ＋cos θ 2解析： ＝ ＝ ＝－2.πcos θ－sin θ 1－tan θsin ( －θ)－sinπ－θ2答案：B13π2．如果 sin(π－α)＝－3，那么 cos (－α)的值为()21 1 A. B ．－3 3 2 2 2 2 C. D ．－33 1 1 解析：∵sin (π－α)＝－ ，∴sin α＝－ ， 333ππ1 则 cos(－α)＝－cos( －α)＝－sin α＝ .22 3答案：A33．化简： 1－sin 2(π－α)＝( )2 A ．sin α B ．|sin α| C ．cos αD ．|cos α|解析：原式＝ 1－cos 2α＝ sin 2α＝|sin α|. 答案：B4．若 f (sin x )＝3－cos 2x ，则 f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2xD ．3＋sin 2xπ解析：f (cos x )＝f [sin( －x )]＝3－cos(π－2x )＝3＋cos 2x .2答案：C1π5．已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cos ( ＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝21，则 sin α＝( )3 5 3 7 A. B. 5 7 3 10 1 C. D. 103解析：利用诱导公式化简为Error! 3 解得：tan α＝3，由Error!得 sin α＝.10 10答案：C16．已知 cos(75°＋α)＝ 且－180°<α<－9 0°，则 cos(15°－α)＝________.31解析：因为 cos(75°＋α)＝ 且－180°<α<－90°，32 2 所以 sin(75°＋α)＝－， 32 2 故 cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.32 2 答案：－ 34 π37．sin(π＋θ)＝ ，sin＝ ，则 θ 角的终边在第________象限．5( ＋θ)254 4 解析：因为 sin(π＋θ)＝ ，所以 sin θ＝－ <0，5 5π3 3 因为 sin( ＋θ)＝ ，所以 cos θ＝ >0，255所以 θ 角的终边在第四象限． 答案：四8．若 sin(180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－a ，则 cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值 是________．a解析：由已知得 sin α＝ ，2a3a ∴cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3× ＝－ .2 23a 答案：－ 23 sin 3π－α＋5cos 34π－α9．已知 sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－ π)，求2 3cos35π＋α－sin3－α的值．23 解析：sin(α－3π)＝cos(α－2π)＋sin(α－π)，2得－sin α＝2cos α.则tan α＝－2，sin3π－α＋5cos34π－α所以3cos35π＋α－sin3－αsin3α＋5cos3α＝－3cos3α＋sin3αtan3α＋5＝－3＋tan3α－23＋5 3＝＝.－3＋－2 3 11510．已知sin α＝，且α是第一象限角．5(1)求cos α的值；3πsin (－α)2(2)求tan(α＋π)＋的值．cosπ－α解析：(1)因为α是第一象限角，所以cos α>0.5 2 5因为sin α＝.所以cos α＝1－sin2α＝.5 5sin α 1(2)因为tan α＝＝.cos α 23πsin (－α)2所以tan(α＋π)＋cosπ－α－cos α 3＝tan α＋＝tan α＋1＝.－cos α 2[B组能力提升]1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是() A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin CA B＋C C．cos( ＋C)＝sinB D．sin ＝cos2 2 A 2解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C.所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，B＋CπA A所以sin ＝sin( －)＝cos ，因此D是正确的．2 2 2 23答案：Dπ3 2．若 sin(π＋α)＋cos ( ＋α)＝－m ，则 cos (π－α)＋2sin(2π－α)的值为( )222m 2mA ．－ B. 3 3 3m 3m C ．－ D. 22π解析：因为 sin(π＋α)＋cos( ＋α)2m＝－sin α－sin α＝－m ，所以 sin α＝ ，23故 cos(π－α)＋2sin(2π－α)23 ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－ m . 2答案：Cπ cos ＋αsin －π－α23．已知角 α 终边上一点 P (－4,3)，则 的值为________．11π 9πcos －αsin＋α 223解析：因为角 α 的终边过点 P (－4,3)，所以 tan α＝－ ，4πcos ＋αsin －π－α2－sin α·sin α 则 ＝＝11π 9π 3π πcos －αsin ＋αcos －αsin ＋α2 22 2－sin 2α sin 2α sin α3＝ ＝＝tan α＝－ .π sin αcos α cos α 4－cos －αcos α2 3 答案：－ 44．已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角 α 的弧度数为________．π解析：Error!∵3∈( ，π)，2∴sin 3>0，cos 3<0.即 α 的终边在第一象限．ππππ ∴cosα＝cos( －3)＝cos (3－ 2).又∵3－ 2∈(0， 2)，2π∴α＝3－.2π答案：3－24π π5．是否存在角 α，β，α∈(－， 2)，β∈(0，π)，使得等式 sin(3π－α)＝2π3π－ 2cos( ＋β)与 3cos(－α)＝－ 2sin (－β)同时成立．22解析：存在．所需成立的两个等式可化为 sin α＝ 2sin β， 3cos α＝ 2cos β， 两式两边分别平方相加得： sin 2 α＋3cos 2α＝2， 1 得 2cos 2α＝1，所以 cos 2α＝. 2π π又因为 α∈(－，， 2)2π π 所以 α＝ 或－ . 4 4π 3 当 α＝ 时，由 3cos α＝ 2cos β，得 cos β＝ ， 4 2π 又 β∈(0，π)，所以 β＝ ；6π 1 当 α＝－ 时，由 sin α＝ 2sin β，得 sin β＝－ ， 4 2 而 β∈(0，π)，所以无解．5。

高一数学诱导公式知识点1.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.2.诱导公式的记忆2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．3.诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 4.诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．题型一 给角求值【例1】求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]．【过关练习】1.求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)．2.sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.323.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A ．－1＋32B.1－32C.3－12 D.3＋12题型二 给值求值问题【例1】已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值．【过关练习】1.已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于( ) A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±12132.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.253.若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－324.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．5.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值．题型三 三角函数式的化简【例1】化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.【过关练习】1.化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ).2.化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).题型四 利用诱导公式证明恒等式【例1】求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.【过关练习】1.求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.题型五 诱导公式的综合应用【例1】已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【过关练习】1.已知角α终边经过点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．2.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .【补救练习】1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－122.若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－323.化简下列各式．(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．4.已知sin(π＋α)＝－13.计算： (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．1.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．22.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 3.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对4.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－136.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2237.已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .1.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 22.已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D.3 3.式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ . 4.若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．5.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．。

1、3、2三角函数的诱导公式（五、六）讲义编写者：前面我们学习了诱导公式一、二、三、四，本节课来学习诱导公式五、六.一、【学习目标】1、理解公式五、六；2、熟记公式一到六，并能熟练应用.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材26—27页内容，回答问题<1>终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系.结论：如图所示，设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x,y）,由于角π/2-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角π/2-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是（y,x）.<2>理解并写出诱导公式五.结论：根据问题<1>，我们有：sinα=y，cosα=x，tanα=y/x；sin(π/2-α)=x,cos(π/2-α)=y，tan(π/2-α)=x/y.从而得到诱导公式五：cos(π/2-α)= sinα，sin(π/2-α)= cosα，tan(π/2-α)=cotα.<3>请你利用π/2+α=π-(π/2-α)，由公式四及公式五写出诱导公式六.结论：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=-sinα，tan(π/2+α)=-cotα.公式一—六可以用一下十个字来概括奇变偶不变，符号看象限三、【综合练习与思考探索】练习一：教材例3、例4；练习二：教材4、5、6、7.四、【作业】1、必做题：习题1.3B组2；2、选做题：总结本节公式并形成文字到作业本上.五、【小结】本节主要学习了公式五、六，要求学生能掌握并理解.六、【教学反思】要求学生能在理解的基础上学习.。

第一章 1.3 第二课时 三角函数的诱导公式五、六课时跟踪检测一、选择题1．若sin22.5°＝a ，则cos67.5°的值为( ) A ．a B ．－a C.1－a 2D ．－1－a 2解析：cos67.5°＝cos(90°－22.5°)＝sin22.5°＝a . 答案：A2．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝17，则cos(π－θ)等于( ) A ．－17B.17 C ．－67D.67解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝17，∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－17. 答案：A3．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－223B.223 C.13D ．－13解析：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 答案：D4．若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，则sin(π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.25 B ．－25C.52D ．－52解析：由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α， 得－sin α＝2cos α，∴tan α＝－2，又sin(π－α)cos(π＋α)＝－sin αcos α＝－tan α1＋tan 2α＝25.答案：A5．已知sin 2 0172π＋α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＝( ) A.13 B.29 C.79D ．－79解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫2 0172π＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫1 008π＋π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝13，∴cos α＝13， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫π2－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 2α－cos 2α＝1－2cos 2α＝1－29＝79. 答案：C6．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( ) A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22D ．－m 2＋12解析：∵－sin α＋cos α＝m ， ∴1－2sin αcos α＝m 2， ∴sin α·cos α＝1－m 22，∴sin(180°＋α)·sin(270°＋α)＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α＝1－m 22.答案：C 二、填空题7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋αsin ⎝⎛⎭⎫23π－α＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫56π＋αsin ⎝⎛⎭⎫23π－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－19. 答案：－198．已知α是第三象限的角，且f (α)＝ sin ⎝⎛⎭⎫α－π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan (π－α)tan (－π－α)sin (－π－α).若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，则f (α)的值为________．解析：f (α)＝－cos αsin α(－tan α)－tan αsin α＝－cos α，由cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，得sin α＝－15， 因为α是第三象限的角， 所以f (α)＝－cos α＝－(－1－sin 2α)＝265.答案：2659．化简：sin (4π－α)cos ⎝⎛⎭⎫9π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫11π2＋αcos (2π－α)－tan (5π－α)sin (3π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________.解析：原式＝sin (－α)(－sin α)(－cos α)cos (－α)－－tan αsin αcos α＝sin 2α－cos 2α＋1cos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝1.答案：1 三、解答题10．已知cos α＝13，且－π2<α<0，求tan (－α－π)·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α·tan (－α) 的值．解：∵cos α＝13，且－π2<α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－22，∴原式＝tan (－α)·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α·(－tan α)＝－tan α·(－cos α)－sin α·tan α＝－cos αsin α＝－1tan α＝24.11．(2017·吉林省长春市高一期末)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＋cos(2π－2x )＋a ，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，求f ⎝⎛⎭⎫π2的值． 解：∵f (x )＝cos2x ＋cos2x ＋a ＝2cos2x ＋a ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋a ＝2cos π2＋a＝a ＝2，∴f (x )＝2cos2x ＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＋2 ＝2cosπ＋2 ＝－2＋2 ＝0.12．求证：tan (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明：∵左边＝tan (－α)⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (－α)⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝(－tan α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边，∴原等式成立．考题过关13．(2017·湖南省长沙市高一测试)化简sin (π－α)·cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2的结果是________．解析：原式＝sin α·cos α·(－cos α)－cos α·(－sin α)＝－cos α.答案：－cos α。