上海市八年级(上)期末数学试卷含答案

八年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列计算正确的是( )A. B. 5+6=11a 4=a 2C. D. 7m +3m =2m2a +3a =6a2.下列方程配方正确的是( )A. B. x 2−2x−1=(x +1)2−1x 2−4x +1=(x−2)2−4C. D. x 2−4x +1=(x−2)2−3x 2−2x−2=(x−1)2+13.下列关于x 的二次三项式中表示实数，在实数范围内一定能分解因式的是(m )( )A. B. C. D. x 2−2x +22x 2−mx +1x 2−2x +m x 2−mx−14.下列命题的逆命题是真命题的是( )A. 对顶角相等B. 等角对等边C. 同角的余角相等D. 全等三角形对应角相等5.已知点，，都在反比例函数的图象上，则A(1,y 1)B(2,y 2)C(−2,y 3)y =kx (k >0)( )A. B. C. D. y 1>y 2>y 3y 3>y 2>y 1y 2>y 3>y 1y 1>y 3>y 26.如图，在中，，点O 是、平分△ABC ∠B =90°∠CAB ∠ACB 线的交点，且，，则点O 到边AB 的距BC =4cm AC =5cm 离为( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.计算：______．18−2=8.方程的根是______．x 2+2x =09.已知函数，则______．f(x)=x−1xf(2)=10.函数的定义域是______．y =22x +111.关于x 的方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是x 2−3x +m =0______．12.正比例函数经过点，那么y 随着x 的增大而______填“增大”y =kx(k ≠0)(2,1).(或“减小”)13.平面内到点O 的距离等于3厘米的点的轨迹是______．14.已知直角坐标平面内两点和，则A 、B 两点间的距离等于A(−3,1)B(3,−1)______．15.如果直角三角形的面积是16，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是______．16.如图，中，，，交BC 于点D ，，则△ABC AB =AC ∠BAC =120°AD ⊥AC AD =4______．BC =17.把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角45°顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若，则______．AB =2CD =18.如图，已知两个反比例函数：和：在第C 1y =1x C 2y =13x 一象限内的图象，设点P 在上，轴于点C ，交C 1PC ⊥x 于点A ，轴于点D ，交于点B ，则四边形C 2PD ⊥y C 2PAOB 的面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共52.0分）19.计算：12+13−2−6×320.解方程：2x(x−3)+3(x−3)=021.已知y与成正比例，且当时，，求y与x的函数解析式．2x−3x=4y=1022.已知：如图，，，AB=12cm AD=13cm，，求的面CD=4cm BC=3cm∠C=90°.△ABD积．23.为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书．她们同时从家出发，小燕先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5/分钟，再以m 米分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米分钟的速度骑行，//两人行驶的路程米与时间分钟的关系如图，请结合图象，解答下列问题：y()x()图书馆到小燕家的距离是______米；(1)______，______，______；(2)a =b =m =妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是______；定义域是______．(3)y()x()24.已知：如图，，于点E ，点A 在的角平分线上，且点A 到∠F =90°AE ⊥OC ∠FOC 点B 、点C 的距离相等．求证：．BF =EC25.已知：如图，在中，于点E ，点A 是△BCD CE ⊥BD 边CD 的中点，EF 垂直平分线AB 求证：；(1)BE =12CD 当，时，求的度数．(2)AB =BC ∠ABD =25°∠ACB26.如图，在平面直角坐标系中，，轴于OA ⊥OB AB ⊥x 点C ，点在反比例函数的图象上．A(3,1)y =kx 求反比例函数的表达式；(1)y =kx 求的面积；(2)△AOB 在坐标轴上是否存在一点P ，使得以O 、B 、P 三(3)点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标：若不存在，简述你的理由．答案和解析1.【答案】B(A)=5+6【解析】解：原式，故选项A错误；(B)=a2原式，故选项B正确；(C)=7m+3m原式，故选项C错误；(D)=2a+3a原式，故选项D错误；故选：B．根据二次根式的运算法则即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的运算法则，本题属于基础题型．2.【答案】CA.x2−2x−1=(x+1)2−2【解析】解：，此选项配方错误；B.，此选项配方错误；x2−4x+1=(x−2)2−3C.，此选项配方正确；x2−4x+1=(x−2)2−3D.，此选项配方错误；x2−2x−2=(x−1)2−3故选：C．配上一次项系数一半的平方，然后再整理即可得．−本题主要考查解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．3.【答案】Dx2−2x+2=0△=4−4×2=−4<0x2【解析】解：选项A，，，方程没有实数根，即−2x+2在数范围内不能分解因式；2x2−mx+1=0△=m2−82x2−mx+1选项B，，的值有可能小于0，即在数范围内不一定能分解因式；x2−2x+m=0△=4−4m x2−2x+m选项C，，的值有可能小于0，即在数范围内不一定能分解因式；x2−mx−1=0△=m2+4>0x2−mx−1选项D，，，方程有两个不相等的实数根，即在数范围内一定能分解因式．故选：D．对每个选项，令其值为0，得到一元二次方程，计算判别式的值，即可判断实数范围内一定能分解因式的二次三项式．本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解．解题的关键是把问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题．4.【答案】B【解析】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，如位于不同平面上的两个相等的角就不是对顶角，是假命题；B、逆命题为：等边对等角，成立，是真命题；C、逆命题为：相等的角为同一个角的余角，不成立，因为钝角没有余角，是假命题；D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，如形状相同的两个大小不一样的三角板，是假命题；故选：B ．分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5.【答案】A【解析】解：函数图象如图所示：，y 1>y 2>y 3故选：A ．画出函数图象，利用图象法即可解决问题．本题考查反比例函数图象上的点的指标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．6.【答案】A【解析】解：点O 为与的平分线的交点，∵∠CAB ∠ACB点O 在的角平分线上，∴∠ACB 点O 为的内心，∴△ABC 过O 作，连接OB ，OP ⊥AB S △ABC =S △AOC +S △OAB +S △OBC =12OP ⋅AC +12OP ⋅AB +12OP ⋅BC =12OP ⋅，(AB +BC +AC)又，，为直角三角形，∵AC =5BC =4△ABC ∠B =90°，∴AB =3，∴12×3×4=12⋅OP(3+4+5)解得：．OP =1故选：A ．直接利用内心的定义结合三角形面积求法得出答案．此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题关键．7.【答案】22【解析】解：18−2 =32−2．=22故答案为：．22先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．8.【答案】，x 1=0x 2=−2【解析】解：，x(x +2)=0或，x =0x +2=0，，x 1=0x 2=−2故答案为，．x 1=0x 2=−2先提公因式，再化为两个一元一次方程即可得出答案．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．9.【答案】12【解析】解：把代入，可得：，x =2f(x)=x−1xf(2)=2−12=12故答案为：12把代入函数解答即可．x =2此题考查函数的值，关键是把代入函数解答．x =210.【答案】x >−0.5【解析】解：函数的定义域是，y =22x +12x +1>0解得：，x >−0.5故答案为：x >−0.5根据二次根式的性质和分母不能等于0解答即可．此题考查函数自变量的取值范围，关键是根据二次根式的性质和分母不能等于0解答．11.【答案】m <94【解析】解：根据题意得，△=(−3)2−4m >0解得．m <94故答案为．m <94根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．△=(−3)2−4m >0本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，ax 2+bx +c =0(a ≠0)△=b 2−4ac △>0方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有△=0△<0实数根．12.【答案】增大【解析】解：点在正比例函数的图象上，∵(2,1)y =kx(k ≠0)，∴k =12故，y =12x 则y 随x 的增大而增大．故答案为：增大．直接利用待定系数法求出正比例函数解析式进而得出答案．此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式以及正比例函数的图象与性质，正确求出解析式是解题关键．13.【答案】以点O 为圆心，3厘米长为半径的圆【解析】解：平面内到点O 的距离等于3厘米的点的轨迹是以点O 为圆心，3厘米长为半径的圆．故答案为：以点O 为圆心，3厘米长为半径的圆．只需根据圆的定义就可解决问题．本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．14.【答案】210【解析】解：直角坐标平面内两点 和，∵A(3,−1)B(−1,2)、B 两点间的距离等于，∴A (−3−3)2+(−1−1)2=210故答案为．210根据两点间的距离公式解答即可．d =(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2本题考查了两点间的距离公式，比较简单．掌握两点间的距离公式是解题的关键件．15.【答案】8【解析】解：设直角三角形的斜边长为x ，由题意得，，12×2×x =16解得，，x =16则斜边上的中线长，=12×16=8故答案为：8．根据三角形的面积公式求出斜边长，根据直角三角形的性质解答即可．本题考查的是直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．16.【答案】12【解析】解：中，，，∵△ABC AB =AC ∠BAC =120°，∴∠C =∠B =30°交BC 于点D ，∵AD ⊥AC ，，∴CD =2AD =8∠BAD =30°=∠B ，∴BD =AD =4．∴BC =BD +CD =4+8=12故答案为：12．依据等腰三角形的内角和，即可得到，依据交BC 于点D ，即∠C =∠B =30°AD ⊥AC 可得到，，进而得出BC 的长．CD =2AD =8∠BAD =30°=∠B 本题主要考查了含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：在30°直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．30°17.【答案】6−2【解析】解：如图，过点A 作于F ，AF ⊥BC 在中，，Rt △ABC ∠B =45°，，∴BC =2AB =22BF =AF =22AB =2两个同样大小的含角的三角尺，∵45°，∴AD =BC =22在中，根据勾股定理得，，Rt △ADF DF =AD 2−AF 2=6，∴CD =BF +DF−BC =2+6−22=6−2故答案为：．6−2先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出BC =22BF =AF =2DF ，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．18.【答案】23【解析】解：轴，轴，∵PC ⊥x PD ⊥y ，，∴S △AOC =S △BOD =12⋅|13|=12×13=16S 矩形PCOD =1四边形PAOB 的面积，∴=1−2×16=23故答案为．23根据反比函数比例系数k 的几何意义得到，，然S △AOC =S △BOD =12×13=16S 矩形PCOD =1后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB 的面积．本题考查了反比函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过y =k x 这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．|k|19.【答案】解：原式=23+3+2−3×6=23+3+2−32．=33−22【解析】先分母有理化，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：，∵2x(x−3)+3(x−3)=0，∴(x−3)(2x +3)=0则或，x−3=02x +3=0解得：，．x 1=3x 2=−32【解析】利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】解：与成正比例，∵y 2x−3设，∴y =k(2x−3)(k ≠0)将，代入得：，解得，x =4y =1010=(2×4−3)×k k =2所以，，y =2(2x−3)所以y 与x 的函数表达式为：．y =4x−6【解析】根据正比例函数的定义设，然后把x 、y 的值代入求出y−1=k(x +1)(k ≠0)k 的值，再整理即可得解．本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．22.【答案】解：，，，∵CD =4cm BC =3cm ∠C =90°，∴BD =42+32=5cm ，，∵AB =12cm AD =13cm ，∴BD 2+AB 2=AD 2，∴∠ABD =90°．∴S △ABD =12AB ⋅BD =12×12×5=30cm 2【解析】根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解．△ABD 此题主要是考查了勾股定理及其逆定理．关键是根据勾股定理的逆定理证明是直△ABD 角三角形．23.【答案】3000 10 15 200 y =120x 0≤x ≤25【解析】解：由图象可得，(1)图书馆到小燕家的距离是3000米，故答案为：3000；，(2)a =1500÷150=10，b =a +5=10+5=15，m =(3000−1500)÷(22.5−15)=200故答案为：10，15，200；妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是，(3)y()x()y =kx 当时，，y =3000x =3000÷120=25则，得，3000=25k k =120即妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析式是，定义域是y()x()y =120x ，0≤x ≤25故答案为：，．y =120x 0≤x ≤25根据函数图象中的数据可以直接写出图书馆到小燕家的距离；(1)根据题意和函数图象中的数据可以得到a 、b 、m 的值；(2)根据函数图象中的数据可以得到妈妈行驶的路程米关于时间分钟的函数解析(3)y()x()式以及定义域．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．24.【答案】证明：点A 在的角平分线上，，，∵∠FOC ∠F =90°AE ⊥OC ，∴AE =AF 点A 到点B 、点C 的距离相等，∵，∴AB =AC ，∵∠F =∠AEC =90°≌，∴Rt △ABF Rt △ACE(HL)．∴BF =EC 【解析】证明≌即可解决问题．Rt △ABF Rt △ACE(HL)本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】证明：连接AE ，(1)，点A 是边CD 的中点，∵CE ⊥BD ，∴AE =AD =12CD 垂直平分线AB ，∵EF ，∴EA =EB ；∴BE =12CD ，(2)∵EA =EB ，∴∠EAB =∠ABD =25°，∴∠AED =∠EAB +∠ABD =50°，∵EA =AD ，∴∠D =∠AED =50°，∴∠BAC =∠ABD +∠D =75°，∵AB =BC ．∴∠ACB =∠BAC =75°【解析】连接AE ，根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分(1)AE =AD =12CD 线的性质得到，等量代换证明结论；EA =EB 根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质计算，(2)∠AED 得到答案．本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．26.【答案】解：将代入，得：，(1)A(3,1)y =k x 1=k 3解得：，k =3反比例函数的表达式为．∴y =3x 点A 的坐标为，轴于点C ，(2)∵(3,1)AB ⊥x ，，∴OC =3AC =1，∴OA =AC 2+OC 2=2=2AC ．∴∠AOC =30°，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB =90°，∴∠B =∠AOC =30°，∴AB =2OA =4．∴S △AOB =12AB ⋅OC =12×4×3=23在中，，，，(3)Rt △AOB OA =2∠AOB =90°∠ABO =30°．∴OB =OA tan 30∘=23分三种情况考虑：当时，如图2所示，①OP =OB ，∵OB =23，∴OP =23点P 的坐标为，，，；∴(−23,0)(23,0)(0,−23)(0,23)当时，如图3，过点B 做轴于点D ，则②BP =BO BD ⊥y ，OD =BC =AB−AC =3，∵BP =BO 或，∴OP =2OC =23OP =2OD =6点P 的坐标为，；∴(23,0)(0,−6)当时，如图4所示．③PO =PB 若点P 在x 轴上，，，∵PO =PB ∠BOP =60°为等边三角形，∴△BOP ，∴OP =OB =23点P 的坐标为；∴(23,0)OP=a PD=3−a若点P在y轴上，设，则，∵PO=PB，∴PB2=PD2+BD2a2=(3−a)2+12，即，a=2解得：，∴(0,−2)点P的坐标为．综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角(−23,0)(23,0)(0,−23)(0,23)(0,−6)(0,−2)形，点P的坐标为，，，，，．(1)【解析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；(2)OA=2=2AC由点A的坐标可得出OC，AC的长，利用勾股定理可得出，进而可得∠AOC=30°∠B=∠AOC=30°30°出，结合三角形内角和定理可得出，利用角所对的直△AOB角边为斜边的一半可求出AB的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积；(3)OP=OB BP=BO PO=PB通过解直角三角形可求出OB的长，分，及三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点P的坐标，此题得解．本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、解直角三角形、三角形的面积以及等腰三(1)角形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的关(2)(3)OP=OB BP=BO PO=PB系式；通过解直角三角形，求出AB的长；分，及三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．。

2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）化简：＝．2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是．3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为．4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝．5．（2分）函数中自变量x的取值范围是．6．（2分）已知函数，那么f（6）＝．7．（2分）如果直线y＝（2k﹣3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是．8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是．9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是．10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是．11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于．12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，如果CD＝5，AC＝8，那么BC＝．13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝°．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D是AC边中点，将△ABC 沿某直线翻折使得点B与点D重合，折痕交边BC于点E，交边AB于点F，那么BE的长为．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和3B．和C．和D．和16．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则有（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2 17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝018．（3分）下列说法中正确的是（）A．“对顶角相等”没有逆命题B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）19．（6分）计算：．20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，延长CD至点E，使得，联结BE，当时，求∠DBE的度数．22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为分钟；（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时分钟；（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式．四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，AB＝CE，EF垂直平分线段AD．（1）求证：AE⊥DE；（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．（1）求k的值；（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．①求AB的长；②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过D作DE垂直AB，垂足为点E．（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，如果AB＝6，求BC的长；（2）已知CD＝BC，①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，当∠A＝∠F，且点G是CF中点时，求的值．2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）1．（2分）化简：＝2xy．【分析】根据限制条件“x＞0，y＞0”及二次根式的性质与化简解答．【解答】解：由题意可知y＞0，x＞0，∴＝2|x|•y＝＝2xy，即＝2xy；故答案为：2xy．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简．二次根式的化简：＝．2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是x1＝0，x2＝﹣1．【分析】提公因式得到x（x+1）＝0，推出x＝0，x+1＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2+x＝0，x（x+1）＝0，x＝0，x+1＝0，x1＝0，x2＝﹣1，故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为5．【分析】根据判别式的值，构建方程求解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，∴16﹣4m＝4，∴m＝5．故答案为：5．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝（x﹣1+）（x﹣1﹣）．．【分析】先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣1，＝x2﹣2x+1﹣2，＝（x﹣1）2﹣2，＝（x﹣1+）（x﹣1﹣）．故答案为：（x﹣1+）（x﹣1﹣）．【点评】本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或平分差的形式，然后利用公式法进行因式分解．5．（2分）函数中自变量x的取值范围是x≠﹣1．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．6．（2分）已知函数，那么f（6）＝．【分析】将x＝6代入该函数解析式进行计算可得此题结果．【解答】解：∵，∴f（6）＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键．7．（2分）如果直线y＝（2k﹣3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是k＜．【分析】根据反比例函数的性质得2k﹣3＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得2k﹣3＜0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率是x，则y与x之间的函数关系式是y＝100（1+x）2．【分析】利用经过两次提价后的价格＝原价×（1+每次提价的百分率）2，即可得出y与x之间的函数关系式．【解答】解：依题意得y＝100（1+x）2，故答案为：y＝100（1+x）2．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x之间的函数关系式是解题的关键．9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形．【分析】根据互逆命题的概念解答即可．【解答】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形，故答案为：有两个内角互余的三角形是直角三角形．【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是以点A为圆心，以5cm为半径的圆．【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于5cm的点的集合是圆．【解答】解：根据圆的定义可知，到点A的距离等于5cm的点的集合是以点A为圆心，5cm为半径的圆．故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．【点评】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于5．【分析】根据两点间的距离公式计算即可．【解答】解：由两点间的距离公式得，AB＝＝5，故答案为：5．【点评】本题考查两点间的距离公式，两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，如果CD＝5，AC＝8，那么BC＝6．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得AB＝10，然后再利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∴BC＝＝＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，以及勾股定理是解题的关键．13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，那么∠BAD＝58°．【分析】先根据AD⊥BD得出∠ADB＝90°，故可得出∠BAD+∠ABD＝90°，再由三角形内角和定理得出∠DBC的度数，由角平分线的定义得出∠ABC的度数，进而得出∠BAD 的度数．【解答】解：∵AD⊥BD，∠DAC＝20°，∠C＝38°，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵∠BAC+∠C+∠ABC＝180°，即∠BAD+∠DAC+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，∴（∠BAD+∠ABD）+∠DAC+∠C+∠DBC＝180°，即90°+20°+38°+∠DBC=180°，∴∠DBC＝32°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝32°，∴∠BAD＝90°﹣32°＝58°．故答案为：58．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝30°，点D是AC边中点，将△ABC 沿某直线翻折使得点B与点D重合，折痕交边BC于点E，交边AB于点F，那么BE的长为．【分析】过A作AH⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，BC＝2BG，求得AG＝AB＝2，根据勾股定理得到BG＝＝2，求得BC＝2BG＝4，得到CH＝＝，设BE＝x，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝BE＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过A作AG⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，∵AB＝AC＝4，∴∠B＝∠C＝30°，BC＝2BG，∴AG＝AB＝2，∴BG＝＝2，∴BC＝2BG＝4，∵点D是AC边中点，∴CD＝AC＝2，∴DH＝，∴CH＝＝，设BE＝x，∵将△ABC沿某直线翻折使得点B与点D重合，∴EF垂直平分BD，∴DE＝BE＝x，∴＝3﹣x，∵DE2﹣DH2＝EH2，∴x2﹣12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴BE的长为，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，正确地找出辅助线是解题的关键．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和3B．和C．和D．和【分析】根据同类二次根式的概念，化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，【解答】解：A、和3不是同类二次根式，错误；B、和不是同类二次根式，错误；C、和是同类二次根式，正确；D、和不是同类二次根式，错误；故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式．16．（3分）若点（﹣2，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则有（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2【分析】先根据反比例函数y＝中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y1，y2，y3的大小．【解答】解：∵反比例函数y＝中k＜0，∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣1＜0，∴y2＞y1＞0，∵1＞0，∴y3＜0，∴y2＞y1＞y3．故选：C．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（）A．ax2﹣x+2＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣x﹣m＝0D．x2﹣mx﹣1＝0【分析】分别求出每个一元二次方程根的判别式Δ与0的关系，进而选择正确的选项．【解答】解：A、ax2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8a，只有a≤时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；B、x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，所以原方程没有实数解，故此选项不符合题意；C、x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m，只有m≥﹣时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；D、x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，所以原方程一定有实数解，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．18．（3分）下列说法中正确的是（）A．“对顶角相等”没有逆命题B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等【分析】根据对顶角的性质、全等三角的判定定理，等腰三角形的性质判断即可．【解答】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，故不符合题意；B、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故符合题意；C、以AB为底边的等腰三角形顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线（底边的中点除外），故不符合题意；D、有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是轨迹，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）19．（6分）计算：．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝4﹣（﹣）++＝4﹣+++＝6．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．【分析】利用配方法解一元二次方程即可．【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0，移项得3x2﹣2x＝1，二次项系数化成1得，配方得，即∴，解得，．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，延长CD至点E，使得，联结BE，当时，求∠DBE的度数．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AB＝BD＝4，则＝BD＝2，再由勾股定理的逆定理得△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，点D是AB边中点，∴CD＝AB＝BD＝4，∴＝BD＝2，∵BE＝2，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，∵DE＝BD，∴∠DBE＝30°，即∠DBE的度数为30°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及含30°角的直角三角形的判定等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理是解题的关键．22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程s（m）与时间t（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为6分钟；（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时11分钟；（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式．【分析】（1）计算点C和B的横坐标之差即可；（2）利用速度＝，求出OB段的速度，再利用时间＝，求出CD段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间；（3）根据题意，求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可．【解答】解：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为8﹣2＝6（m），故答案为：6．（2）兔子的速度为＝20（m/min），CD段用时为＝3（min），∴兔子完成比赛共用时8+3＝11（min），故答案为：11．（3）由题意可知，乌龟完成比赛用时11﹣1＝10（min），∴点A的坐标为（10，100）．当0≤t≤10时，设乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式为s＝kt，将坐标A（10，100）代入，得10k＝100，解得k＝10，∴乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式s＝10t（0≤t≤10）．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键．四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分36分）23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？【分析】设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x＝（4x+4）米，宽为3x米，根据比赛区域的总面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值分别代入（4x+4）及3x中，即可求出结论．【解答】解：设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x ＝（4x+4）米，宽为3x米，根据题意得：（4x+4）•3x＝144，整理得：x2+x﹣12＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不符合题意，舍去），∴4x+4＝4×3+4＝16（米），3x＝3×3＝9（米）．答：比赛区域的长是16米，宽是9米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，AB＝CE，EF垂直平分线段AD．（1）求证：AE⊥DE；（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定义即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，在Rt△ABE和Rt△ECD中，，∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），∴∠BAE＝∠CED，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CED+∠AEB＝90°，∴∠AED＝180°﹣（∠CED+∠AEB）＝90°，∴AE⊥DE；（2）延长BF交CD的延长线于G，由（1）知，Rt△ABE≌Rt△ECD，∴BE＝CD，AB＝CE，∴BC＝BE+CE＝AB+CD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠G，在△ABF与△DGF中，，∴△ABF≌△DGF（AAS），∴DG＝AB，BF＝FG，∴CD+DG＝CG＝BC＝AB+CD，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CF⊥BG，∠CBF＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a）．（1）求k的值；（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．①求AB的长；②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为时，求点C的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，a）代入y＝﹣2x求得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入得到k＝﹣2；（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，设B（0，m），根据勾股定理得到结论；（3）设C（a，﹣2a），根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣2x和反比例函数图象都经过点A（﹣1，a），∴a＝﹣2×（﹣1）＝2，∴A（﹣1，2），∴2＝，∴k＝﹣2；（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，∴AH＝1，OH＝2，设B（0，m），∴BH＝m﹣2，∵AO2＝12+22＝5，∴AB2＝OB2﹣AO2＝AH2+BH2，∴m2﹣5＝1+（m﹣2）2，解得m＝2.5，∴OB＝，∴AB＝＝；（3）∵点C在直线OA上，∴设C（a，﹣2a），∵∠BAO＝90°，＝＝××＝，∴S△ABC解得a＝﹣或a＝﹣，∴点C的坐标为（﹣，）或（﹣，）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，过D作DE垂直AB，垂足为点E．（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，如果AB＝6，求BC的长；（2）已知CD＝BC，①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，当∠A＝∠F，且点G是CF中点时，求的值．【分析】（1）连接BD，利用线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）①过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，利用直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可；②过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，交DE的延长线于点M，利用①的结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论．【解答】（1）解：连接BD，如图，∵DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，∴DE为AB的垂直平分线，∴AD＝BD，在Rt△ADE和Rt△BDC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BDC（HL），∴AE＝BC＝3．答：BC的长为3．（2）①证明：过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，如图，∵CF⊥AB，CG⊥DE，DE⊥AB，∴四边形CGEF为矩形，∴∠GCF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠GCD+∠DCF＝∠DCF+∠FCB＝90°，∴∠DCG＝∠BCF．在△DGC和△BFC中，，∴△DGC≌△BFC（AAS），∴CG＝CF，∴矩形CGEF为正方形，∴∠DEC＝∠BEC＝45°，∴CE平分∠BED；②解：过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，交DE的延长线于点M，如图，由（2）知：四边形CMEH为正方形，∴ME＝EH，CH∥ME．∴∠GCH＝∠F．∵∠HCB+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠HCB＝∠A，∵∠A＝∠F，∴∠HCB＝∠HCG，在△HGC和△HBC中，，∴△HGC≌△HBC（AAS），∴GH＝BH，∵△DMC≌△BHC，∴MD＝BH，∴MD＝GH，∴ED＝EG．在△HGC和△EGF 中，，∴△HGC≌△EGF（ASA），∴EG＝GH，EF＝CH．∴EF＝EH＝2EG＝2DE．在△ADE和△FGE 中，，∴△ADE≌△FGE（AAS），∴AE＝EF，∴AE＝EH＝2EG，∴＝2．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键。

八年级（上）期末数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D. 0.33x 2a 2−b 282.关于x 的方程是一元二次方程，那么ax 2+3x =ax +2( )A. B. C. D. a ≠0a ≠1a ≠2a ≠33.反比例函数的图象经过点，、是图象上另两点，其中y =k x (−1,2)A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，那么、的大小关系是x 1<x 2<0y 1y 2( )A. B. C. D. 都有可能y 1>y 2y 1<y 2y 1=y 24.用配方法解方程时，原方程可变形为2x 2−8x−3=0( )A. B. C. D. (x−2)2=−52(x−2)2=112(x +2)2=7(x−2)2=75.下列命题中是真命题的是( )A. 反比例函数，y 随x 的增大而减小y =2x B. 一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则三边长度之比是1：2：3C. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形D. 如果，那么一定有(a−1)2=1−a a <l6.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点，与x 轴夹角为，将沿直线AB 翻A(−2,0)30°△ABO 折，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y =kx (k ≠0)上，则k 的值为( )A. 4B. −2C. 3D. −3二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）7.已知函数，其定义域为______．y =2x−18.不等式的解集是______．3x <2x +19.在实数范围内因式分解______．2x 2−x−2=10.方程的根是______．a 2−a =011.平面上到原点O 的距离是2厘米的点的轨迹是______．12.在工地一边的靠墙处，用32米长的铁栅栏围一个所占地面积为140平方米的长方形临时仓库，并在平行于墙一边上留宽为2米的大门，设无门的那边长为x 米．根据题意，可建立关于x 的方程______．13.已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k 的取值范围是______．y =k−1x 14.如果点A 的坐标为，点B 的坐标为，那么线段AB 的长等于______ ．(−3,1)(1,4)15.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m 的取mx 2−2x +1=0值范围是______．16.如图，中，于D ，E 是AC 的中点．若，△ABC CD ⊥AB AD =6，则CD 的长等于______．DE =517.如图，中，，，AD 是Rt △ABC ∠C =90°BD =2CD 的角平分线，______度．∠BAC ∠CAD =18.已知，在中，，，将翻折使得点A 与点C 重合，△ABC AB =3∠C =22.5°△ABC 折痕与边BC 交于点D ，如果，那么BD 的长为______．DC =2三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）19.计算：2⋅6+(3−1)2+43+120.解方程：4y2−3=(y+2)2s()21.甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离千米与其相关t()的时间小时变化的图象如图所示，读图后填空：(1)A地与B地之间的距离是______千米；(2)甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式及定义域是______；(3)乙车的速度比甲车的速度每小时快______千米．y=y1+y2y1x−1y2x=2y=1 22.已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当x=−2y=−2时，，求y关于x的函数解析式．23.如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交AB⊥BE DE⊥BE于点G，垂足为B，，垂足为E，且BF=CE AC=DF，，求证：点G在线段FC的垂直平分线上．24.已知，如图，在中，，点E 在AC 上，，．Rt △ABC ∠C =90°AB =12DE AD//BC 求证：．∠CBA =3∠CBE25.如图，已知正比例函数图象经过点，A(2,2)B(m,3)求正比例函数的解析式及m 的值；(1)分别过点A 与点B 作y 轴的平行线，与反比例函(2)数在第一象限的分支分别交于点C 、点C 、D 均在D(点A 、B 下方，若，求反比例函数的解析式；)BD =4AC 在第小题的前提下，联结AD ，试判断(3)(2)△ABD的形状，并说明理由．26.如图，已知在中，，，，，将一个直Rt △ABC ∠ABC =90°AB =3BC =4AD//BC 角的顶点置于点C ，并将它绕着点C 旋转，直角的两边分别交AB 的延长线于点E ，交射线AD 于点F ，联结EF 交BC 于点G ，设．BE =x旋转过程中，当点F 与点A 重合时，求BE 的长；(1)若，求y 关于x 的函数关系式及定义域；(2)AF =y 旋转过程中，若，求此时BE 的长．(3)CF =GC答案和解析1.【答案】C【解析】解：A 、，不是最简二次根式；0.3=310=3010B 、，不是最简二次根式；3x 2=3|x|C 、，是最简二次根式；a 2−b 2D 、，不是最简二次根式；8=22故选：C ．根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：被开方数不含分母；(1)(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2.【答案】A【解析】解：，ax 2+3x =ax +2，ax 2+(3−a)x +2=0依题意得：．a ≠0故选：A ．直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3.【答案】B【解析】解：反比例函数的图象经过点，∵y =k x (−1,2)，∴k =−2此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，∴，∵x 1<x 2<0、两点均位于第二象限，∴A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)．∴y 1<y 2故选：B ．先代入点求得k 的值，根据k 的值判断此函数图象所在的象限，再根据(−1,2)x 1<x 2<0判断出、所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：，∵2x 2−8x−3=0，∴2x 2−8x =3则，x 2−4x =32，即，∴x 2−4x +4=32+4(x−2)2=112故选：B ．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：A 、反比例函数，在第一、三象限，y 随x 的增大而减小，本说法是y =2x 假命题；B 、一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，这三个角的度数分别为、、，30°60°90°则三边长度之比是1：：2，本说法是假命题；3C 、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上的高，则该直角三角形是等腰直角三角形是真命题；D 、如果，那么一定有，本说法是假命题；(a−1)2=1−a a ≤l 故选：C ．根据反比例函数的性质判断A ；根据三角形内角和定理、直角三角形的性质求出三边长度之比，判断B ；根据等腰直角三角形的性质判断C ；根据二次根式的性质判断D ．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.【答案】D【解析】解：设点C 的坐标为，过点C 作(x,y)CD ⊥x轴，作轴，CE ⊥y 将沿直线AB 翻折，∵△ABO ，，∴∠CAB =∠OAB =30°AC =AO =2，∠ACB =∠AOB =90°，∴CD =y =AC ⋅sin60°=2×32=3，∵∠ACB =∠DCE =90°，∴∠BCE =∠ACD =30°，∵BC =BO =AO ⋅tan30°=2×33=233，CE =|x|=BC ⋅cos30°=233×32=1点C 在第二象限，∵，∴x =−1点C 恰好落在双曲线上，∵y =k x (k ≠0)，∴k =x ⋅y =−1×3=−3故选：D ．设点C 的坐标为，过点C 作轴，作轴，由折叠的性质易得(x,y)CD ⊥x CE ⊥y ，，，用锐角三角函数的定义∠CAB =∠OAB =30°AC =AO =2∠ACB =∠AOB =90°得CD ，CE ，得点C 的坐标，易得k ．本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C 的坐标是解答此题的关键．7.【答案】x ≥12【解析】解：依题意有，2x−1≥0解得．x ≥12故答案为：．x ≥12当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．考查了函数自变量的取值范围，关键是熟悉当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零的知识点．8.【答案】x <3+2【解析】解：3x−2x <1x <13−2x <3+2故答案为．x <3+2根据解不等式的过程解题，最后系数化1时进行分母有理化即可求解．本题考查了解一元一次不等式，解决本题的关键是系数化1时进行分母有理化．9.【答案】2(x−1−174)(x−1+174)【解析】解：令2x 2−x−2=0，，∵a =2b =−1c =−2∴△=b 2−4ac =1−4×2×(−2)=17∴x =1±172×2=1±174，∴x 1=1−174x 2=1+174∴2x 2−x−2=2(x−1−174)(x−1+174)故答案为：2(x−1−174)(x−1+174).先求出方程的两个根、，再把多项式写成的形式2x 2−x−2=0x 1x 22(x−x 1)(x−x 2)..本题考查了实数范围内分解因式，明确一元二次方程的根与因式分解的关系，是解题的关键．10.【答案】，a1=0a2=1a2−a=0【解析】解：，a(a−1)=0，a=0a−1=0，，a1=0a2=1，．a1=0a2=1故答案为：，．a(a−1)=0a=0a−1=0把方程的左边分解因式得到，得到，，求出方程的解即可．−−本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，因式分解提公因式法等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．11.【答案】以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆【解析】解：平面上到原点O的距离是2厘米的点的轨迹是以点O为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以原点O为圆心，2厘米长为半径的圆．根据圆的定义就可解决问题．本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．12.【答案】(34−2x)x=140(34−2x)【解析】解：设所求边长为x，则矩形的长为．(34−2x)x=140根据题意得：．(34−2x)x=140故答案为：．(32−2x+2)设所求边长为x，则矩形的长为，然后根据矩形的面积公式列方程即可．本题主要考查的是一元二次方程的应用以及一元二次方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键．13.【答案】k<1k−1<0【解析】解：由题意可得，k<1则．k<1故答案为：．k<0根据时，图象是位于二、四象限即可得出结果．(1)k>0(2)k<0此题主要考查反比例函数图象的性质：时，图象是位于一、三象限．时，图象是位于二、四象限．14.【答案】5AB=(−3−1)2+(1−4)2=5【解析】解：．故答案为：5．利用勾股定理列式计算即可得解．本题考查了点的坐标，此类题目，利用两点的坐标结合勾股定理求解．15.【答案】且m<1m≠0【解析】解：关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∵mx 2−2x +1=0，∴{m ≠0△=(−2)2−4m >0解得：且．m <1m ≠0故答案为：且．m <1m ≠0根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之△>0即可得出m 的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．△>016.【答案】8【解析】解：如图，中，于D ，E 是AC 的中点，，∵△ABC CD ⊥AB DE =5，∴DE =12AC =5．∴AC =10在直角中，，，，则根据勾股定理，得△ACD ∠ADC =90°AD =6AC =10．CD =AC 2−AD 2=102−62=8故答案是：8．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得；然后在直角AC =2DE =10中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可．△ACD 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC 的长度是解题的难点．17.【答案】30【解析】解：过点D 作于E 点，DE ⊥AB 是的角平分线，，，∵AD ∠BAC DC ⊥AC DE ⊥AB ．∴DC =DE ，∵BD =2CD ．∴BD =2DE ．∴∠B =30°，∵∠C =90°．∴∠CAB =60°．∴∠CAD =12×60°=30°故答案为30．过点D 作于E 点，根据角平分线性质可得，从而，则DE ⊥AB DE =DC BD =2DE ，可知，再利用角平分线的定义可求度数．∠B =30°∠CAB =60°∠CAD 本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质作垂线段的解题的关键．18.【答案】或2+12−1【解析】解：分两种情况：当为锐角时，如图所示，过A 作于F ，①∠B AF ⊥BC由折叠可得，折痕DE 垂直平分AC ，，∴AD =CD =2，∴∠ADB =2∠C =45°是等腰直角三角形，∴△ADF ，∴AF =DF =2又，∵AB =3中，，∴Rt △ABF BF =AB 2−AF 2=1；∴BD =BF +DF =1+2当为钝角时，如图所示，过A 作于F ，②∠ABC AF ⊥BC同理可得，是等腰直角三角形，△ADF ，∴AF =DF =2又，∵AB =3中，，∴Rt △ABF BF =AB 2−AF 2=1；∴BD =DF−BF =2−1故答案为：或．2+12−1过A 作于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角AF ⊥BC 三角形的性质，即可得到BD 的长．本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．19.【答案】解：原式=2×6+3−23+1+2(3−1)=23+4−23+23−2．=23+2【解析】利用二次根式的乘法法则、完全平方公式和分母有理化进行计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：将方程整理，得：，3y 2−4y−7=0，，，∵a =3b =−4c =−7，∴△=(−4)2−4×3×(−7)=100>0则，y =4±106，．∴y 1=73y 2=−1【解析】先将方程整理成一般式，再利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】60 40s =20t(0≤t ≤3)【解析】解：从图象可以看出AB 之间的距离为60千米，(1)故答案为60；甲的速度为：，故，(2)60÷3=20s =20t 故答案为：；s =20t(0≤t ≤3)乙的速度为：，(3)60÷1=60故答案为40．从图象可以看出AB 之间的距离为60千米，即可求解；(1)甲的速度为：，即可求解；(2)60÷3=20乙的速度为：，即可求解．(3)60÷1=60此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求甲乙的速度．22.【答案】解：设，，y 1=k 1(x−1)y 2=k 2x (k 1≠0,k 2≠0)．∴y =y 1+y 2=k 1(x−1)+k 2x 把时，；当时，代入可得：，x =2y =1x =−2y =−2{1=k 1(2−1)+k 22−2=k 1(−2−1)+k 2−2解得，，{k 1=12k 2=1关于x 的函数解析式为．∴y y =12(x−1)+1x 【解析】可设，，把已知条件代入则可求得y 与x 的y 1=k 1(x−1)y 2=k 2x (k 1≠0,k 2≠0)函数解析式；本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．23.【答案】证明：，∵BF =CE ，即．∴BF +FC =CE +FC BC =EF 又，，∵AB ⊥BE DE ⊥BE ．∴∠B =∠E =90°在和中，，Rt △ABC Rt △DEF {AC =DF BC =EF ≌ ∴Rt △ABC Rt △DEF (HL)全等三角形的对应角相等，∴∠ACB =∠DFE()等角对等边，∴GF =GC()点G 在线段FC 的垂直平分线上．∴【解析】证得≌，推知，然后由“等角对等边”Rt △ABC Rt △DEF(HL)∠ACB =∠DFE 证得，即可得出结论．GF =GC 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．24.【答案】证明：取DE 的中点F ，连接AF ，，，∵AD//BC ∠ACB =90°，∴∠DAE =∠ACB =90°，∴AF =DF =EF =12DE ，∵AB =12DE ，∴DF =AF =AB ，，∴∠D =∠DAF ∠AFB =∠ABF ，∴∠AFB =∠D +∠DAF =2∠D ，∴∠ABF =2∠D ，∵AD//BC ，∴∠CBE =∠D ．∴∠CBA =∠CBE +∠ABF =3∠CBE 【解析】取DE 的中点F ，连接AF ，根据直角三角形的性质求出AF =DF =FE =12，推出，根据等腰三角形的性质求出，，DE DF =AF =AB ∠D =∠DAF ∠AFB =∠ABF 求出，，即可得出答案．∠ABF =2∠D ∠CBE =∠D 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．25.【答案】解：设正比例函数的解析式为，(1)y =kx 正比例函数图象经过点，∵A(2,2)，∴2=2k ，∴k =1比例函数的解析式为；∴y =x 把代入解析式得，；B(m,3)m =3轴，(2)∵AC//BD//y 点的横坐标为2，D 点的横坐标为3，∴C设反比例函数的解析式为，分别代入得，，y =m x y C =m 2y D =m 3，，∴AC =2−m 2BD =3−m 3，∵BD =4AC ，∴3−m 3=4(2−m 2)解得，m =3反比例函数的解析式为；∴y =3x 是等腰直角三角形；(3)△ABD 理由是：由得：，，，(2)D(3,1)A(2,2)B(3,3)，，∴AB 2=(3−2)2+(3−2)2=2AD 2=(3−2)2+(2−1)2=2BD 2=(3−3)2+(3−1)2，=4，且，∴BD 2=AB 2+AD 2AB =AD 是等腰直角三角形．∴△ABD 【解析】设正比例函数的解析式为，代入A 的坐标根据待定系数法即可求得(1)y =kx 正比例函数的解析式，把B 代入即可求得m 的值；根据题意得出C 点的横坐标为2，D 点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为(2)y =，分别代入得，，进而求得，，根据列方m 3y C =m 2y D =m 3AC =2−m 2BD =3−m 3BD =4AC 程，解方程求得m 的值，即可求得解析式；根据两点的距离公式可得AB 和AD ，BD 的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．(3)本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据题意求得C 、D 的坐标是解题的关键．26.【答案】解：如图1，，(1)∵∠ABC =90°，，AB =3BC =4，∴AC =32+42=5，∵∠ACE =90°，∴AC 2=AB ⋅AE ，∴52=3AE ，∴AE =253；∴BE =AE−AB =253−3=163过F 作于H ，(2)FH ⊥BC ，∵AD//BC ，∴∠BAD =∠CBE =90°，∴∠FAB =∠ABH =∠BHF =90°四边形ABHF 是矩形，∴，，∴FH =AB =3BH =AF =y ，∴CH =4−y，∵∠FCE =90°，∴∠FCH +∠ECB =∠ECB +∠BEC =90°，∴∠FCH =∠BEC ∽，∴△CFH △ECB ，∴CH BE =FH BC ，∴4−y x =34，；∴y =34x−4(0≤x ≤163)，(3)∵CF =GC ，∴∠CGF =∠CFG ，∵AD//BC ，∴∠AFE =∠CGF ，∴∠CFG =∠AFE ，∵∠FAE =∠FCE =90°，∴CE =AE =3+x 在中，Rt △BCE ，∵BC 2+BE 2=CE 2，∴(x +3)2=x 2+42，∴x =76．∴BE =76【解析】如图1，根据勾股定理得到，根据射影定理即可得到结(1)AC =32+42=5论；过F 作于H ，根据平行线的性质得到，根据矩形的性(2)FH ⊥BC ∠BAD =∠CBE =90°质得到，，求得，根据相似三角形的性质即可得FH =AB =3BH =AF =y CH =4−y 到结论；根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，根据角平分线的性质得(3)∠CFG =∠AFE 到，根据勾股定理即可得到结论．CE =AE =3+x 本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。

八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在二次根式，，，中，最简二次根式有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2.下列函数中，当x＞0时，函数值y随x的增大而减小的是（）A. y=B. y=C. y=D. y=-3.过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（）A. B. x（x-1）=380C. 2x（x-1）=380D. x（x+1）=3804.下列命题的逆命题为假命题的是（）A. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根，那么b2-4ac＜0．B. 线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等．C. 如果两个数相等，那么它们的平方相等．D. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）5.化为最简二次根式：=______．6.函数y=的定义域是______ ．7.方程（x-1）2=1的解为______．8.已知与是同类二次根式，写出一个满足条件的x的正整数的值为______．9.在实数范围内分解因式：x2-2x-1=______．10.已知函数f（x）=，则f（）=______．11.已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+x-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．12.经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是______．13.已知反比例函数，当x＞0时，y的值随着x的增大而减小，则实数k的取值范围______．14.如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，AB=2，那么AD=______．15.如图，已知△ABC中，AC=AB═5，BC=3，DE垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E．那么△EBC的周长为______．16.如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC=______．17.如图，将Rt△ABC绕着顶点A逆时针旋转使得点C落在AB上的C′处，点B落在B′处，联结BB′，如果AC=4，AB=5，那么BB′=______．18.为了探索代数式的最小值，小明运用了“数形结合”的思想：如图所示，在平面直角坐标系中，取点A（0，1），点B（4，-2），设点P（x，0）．那么AP=．借助上述信息，可求出+最小值为______．三、解答题（本大题共9小题，共60.0分）19.计算：20.解方程：（x-1）2-3（x-1）=10．21.已知，求的值．22.如图，AE平分∠BAC，交BC于点D，AE⊥BE，垂足为E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．求证：点F是AB的中点．23.已知y=y1+y2，y1与（x-1）成反比例，y2与x成正比例，且当x=2时，y1=4，y=2．求y关于x的函数解析式．24.为了预防“流感”，某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（时）成正比例；药物释放结束后，y与x成反比例；如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数解析式；（2）据测定，当药物释放结束后，每立方米的含药量降至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多长时间，学生才能进入教室？25.已知：如图，点A（1，m）是正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴，垂足为点B，△ABO的面积是2．（1）求m的值以及这两个函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△AOP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．26.在△ABC中，点Q是BC边上的中点，过点A作与线段BC相交的直线l，过点B作BN⊥l于N，过点C作CM⊥l于M．（1）如图1，如果直线l过点Q，求证：QM=QN；（2）如图2，若直线l不经过点Q，联结QM，QN，那么第（l）问的结论是否成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由．27.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是边A上的动点（点D与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线BC于点E，联结AE，点F是AE的中点，过点D、F作直线，交AC于点G，联结CF、CD．（1）当点E在边BC上，设，DB=x，CE=y．①写出y关于x的函数关系式及定义域；②判断△CDF的形状，并给出证明；（2）如果AE=，求DG的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由于=，=2，故，是最简二次根式，故选：B．根据最简二次根式的概念即可求出答案．本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．2.【答案】A【解析】解：A、y=是反比例函数，图象位于第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故本选项符合题意；B、y=是一次函数k=＞0，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；C、y=是一次函数k=＞0，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D、y=-是反比例函数，图象位于第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；故选：A．需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x＞0时，y随x的增大而减小的函数．本题综合考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：设全班有x名同学，由题意得：x（x-1）=380，故选：B．设该班级共有同学x名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．4.【答案】C【解析】解：A、逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中b2-4ac＜0，那么没有实数根，正确，是真命题；B、逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，为真命题；C、逆命题为：如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，错误，因为这两个数也可能是互为相反数，是假命题；D、逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，是真命题，故选：C．分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．5.【答案】2【解析】解：==2，故答案为：2．根据二次根式的性质化简即可．本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．6.【答案】x≤【解析】解：根据二次根式的意义，被开方数2-3x≥0，解得x≤．故函数y=的定义域是x≤．根据二次根式的意义及性质，被开方数大于或等于0，据此作答．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7.【答案】x1=2，x2=0【解析】解：x-1=±1，所以x1=2，x2=0．故答案为x1=2，x2=0．利用直接开平方法求解．本题考查了解一元二次方程：直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．8.【答案】22【解析】解：当x=22时，x+5=27，=3，3和是同类二次根式，故答案为：22．根据同类二次根式定义可得x=22时，化简后被开方数为3，进而可得x的值．此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．9.【答案】（x-1+）（x-1-）．【解析】解：x2-2x-1，=x2-2x+1-2，=（x-1）2-2，=（x-1+）（x-1-）．故答案为：（x-1+）（x-1-）．先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或平分差的形式，然后利用公式法进行因式分解．10.【答案】-1【解析】解：因为函数f（x）=，所以f（）===-1．故答案为：-1．把x=代入函数关系式求值即可．本题考查了求函数的值，解题的关键能够正确分母有理化．11.【答案】m且m≠2【解析】解：根据题意得：m-2≠0，解得：m≠2，△=1+4（m-2）＞0，解得：m，综上可知：m且m≠2，故答案为：m且m≠2．根据一元二次方程的定义，得到一个关于m的不等式，解之，根据“一元二次方程（m-2）x2+x-1=0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到一个关于m的不等式，解之，取两个解集的公共部分即可．本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．12.【答案】线段AB的垂直平分线【解析】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．故答案为线段AB的垂直平分线．要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质．13.【答案】k【解析】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而减小，∴1-2k＞0，∴k＜．故答案为k＜．先根据反比例函数的性质得出1-2k＞0，再解不等式求出k的取值范围．本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．14.【答案】2【解析】解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠ADB，∴AD=AB=2，故答案为：2．根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．15.【答案】8【解析】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，∴AE=BE，∴BE+CE=AC，∵AB=AC，AB=5，BC=3，∴△EBC的周长=（BE+CE）+BC=AC+BC=5+3=8．故答案为：8先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再根据AB=AC即可得出AC的长，进而得出结论．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．16.【答案】45°【解析】解：∵△ABC为锐角三角形，∴高AD和BE在三角形内．∵高AD和BE交于点H，∴∠ADC=∠BEC=90°．∵∠EBD+∠BHD=90°，∠AHE+∠HAE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠EAD=∠EBD，又∵BH=AC，∠ADC=∠BDH=90°，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴∠ABC=45°．故答案为45°此题先根据已知条件利用AAS判定△BDH≌△ADC，得出BD=AD，因为∠ADB=90°，所以得出∠ABC=45°．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，∠C=90°，∴BC===3，∵AC=AC′=4，BC=B′C′=3，∴BC′=AB=AC′=5-4=1，∵∠BC′B′=90°，∴BB′===，故答案为．在Rt△BC′B′中，求出BC′，B′C′即可解决问题．本题考查旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.【答案】5【解析】解：连接AB，如图：由题意可知：要求出+最小值，即求AP+PB长度的最小值，据两点之间线段最短可知求AP+PB的最小值就是线段AB的长度．∵A（0，1），点B（4，-2），∴AB=，故答案为：5．要求出+最小值，即求AP+PB长度的最小值；根据两点之间线段最短可知AP+PB的最小值就是线段AB的长度，求出线段AB长即可．本题主要考查了最短路线问题、两点间的距离公式以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，利用两点间的距离公式求解是解题关键．19.【答案】解：原式=5++2+-=4+2+2．【解析】先分母有理化，再利用二次根式的性质化简，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：方程整理可得：（x-1）2-3（x-1）-10=0，左边因式分解可得：（x-1+2）（x-1-5）=0，即（x+1）（x-6）=0，∴x=-1或x=6．【解析】将x-1看做整体，因式分解即可求解；本题主要考查解一元二次方程，根据方程特点灵活使用简便方法求解是关键．21.【答案】解：x===3，原式=====．【解析】先将已知化简，再代入即可．本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简再代入是解答此题的关键．22.【答案】证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵EF∥AC，∴∠FEA=∠CAD，∴∠BAD=∠FEA，∴FA=FE，∵AE⊥BE，∴∠BEF+∠AEF=90°，∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠BEF，∴FB=FE，∴FB=FA，即点F是AB的中点．【解析】根据角平分线的性质、平行线的性质得到FA=FE，根据垂直的定义、同角的余角相等得到FB=FE，证明结论．本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质、线段的中点，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．23.【答案】解：根据题意，设y1=，y2=k2x（k1、k2≠0）．∵y=y1+y2，∴y=+k2x，∵当x=2时，y1=4，y=2，∴．∴k1=4，k2=-1．∴y=．【解析】根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入y=y1+y2，再把当x=2时，y1=4，y=2代入y关于x的关系式，求出未知数的值，即可求出y与x之间的函数关系式．本题考查了正比例函数及反比例函数的定义及用待定系数法求函数的解析式的知识点，只要根据题意设出函数的关系式，把已知对应值代入即可．24.【答案】解：（1）药物释放过程中，y与x成正比，设y=kx（k≠0），∵函数图象经过点A（2，1），∴1=2k，即k=，∴y=x；当药物释放结束后，y与x成反比例，设y=（k'≠0），∵函数图象经过点A（2，1），∴k'=2×1=2，∴y=；（2）当y=0.25时，代入反比例函数y=，可得x=8，∴从药物释放开始，至少需要经过8小时，学生才能进入教室．【解析】（1）药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（小时）成正比；药物释放完毕后，含药量y（毫克）与时间x（小时）成反比，用待定系数法可得函数关系式；（2）根据函数值为0.25，利用反比例函数即可得到自变量x的值．本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．25.【答案】解：（1）∵△ABO的面积是2，∴k2=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=．当x=1时，m==4，∴点A的坐标为（1，4）．又∵点A（1，4）在正比例函数y=k1x的图象上，∴k1=4，∴正比例函数的解析式为y=4x．（2）∵△AOP是以OA为腰的等腰三角形，∴OA=OP或OA=AP．①当OA=OP时，∵点A的坐标为（1，4），∴OA==，∴OP=，∴点P的坐标为（-，0）或（，0）；②当OA=AP时，OP=2OB=2，∴点P的坐标为（2，0）．综上所述：点P的坐标为（-，0），（，0），（2，0）．【解析】（1）由△OAB的面积，利用反比例函数系数k的几何意义可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出正比例函数的解析式；（2）分OA=OP或OA=AP两种情况考虑：①当OA=OP时，由点A的坐标可求出OA 的长，结合OP=OA及点P在x轴上可得出点P的坐标；②当OA=AP时，利用等于三角形的三线合一可得出OP=2OB=2，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用正反比例函数系数k的几何意义及正比例函数图象上点的坐标特征，求出两函数的解析式；（2）分OA=OP或OA=AP两种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．26.【答案】证明：（1）∵点Q是BC边上的中点，∴BQ=CQ，∵BN⊥l，CM⊥l，∴∠BNQ=∠CMQ=90°，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQM，∴△BQN≌△CQM（AAS）∴QM=QN；（2）仍然成立，理由如下：如图，延长NQ交CM于E，∵点Q是BC边上的中点，∴BQ=CQ，∵BN⊥l，CM⊥l，∴BN∥CM∴∠NBQ=∠QCM，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQE，∴△BQN≌△CQE（ASA）∴QE=QN，且∠NME=90°，∴QM=NQ=QE．【解析】（1）由“AAS”可证△BQN≌△CQM，可得QM=QN；（2）延长NQ交CM于E，由“ASA”可证△BQN≌△CQE，可得QE=QN，由直角三角形的性质可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．27.【答案】解：（1）①∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4，∠B=∠BAC=45°，又∵DE⊥AB，∴△DEB为等腰直角三角形，∵DB=x，CE=y，∴EB=x，又∵EB+CE=4，∴x+y=4，∴y=4-x（0＜x≤2）；②∵DE⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ADE=90°，∵点F是AE的中点，∴CF=AF=AE，DF=AF=AE，∴CF=DF，∵∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD，∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，∵∠CAB=45°，∴∠CFD=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）如图1，当点E在BC上时，AE=，AC=4，在Rt△ACE中，CE=，则AE=2CE，∴∠CAE=30°，又CF=DF=AE=，在Rt△CFG中，GF=，∴DG=DF+FG=；如图2，当点E在BC延长线上时，∠CFD=90°，同理可得CF=DF=AE=，在Rt△CFG中，GF=，∴DG=DF-FG=．【解析】（1）①先证△DEB为等腰直角三角形，设DB=x，CE=y知EB=x，由EB+CE=4知x+y=4，从而得出答案；②由∠ADE=90°，点F是AE的中点知CF=AF=AE，DF=AF=AE，据此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，结合∠CAB=45°知∠CFD=90°，据此可得答案；（2）分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案．本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．。

2023-2024学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题。

（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．（3分）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）A．x（x﹣5）＝0B．ax2﹣3＝0C．D．2x﹣x3＝1 3．（3分）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（ ）A．50000（1+x）2＝20000B．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝20000C．5000+5000×3x＝20000D．5000+5000×2x＝200004．（3分）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是（ ）A．B．C．3D．5．（3分）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数y＝﹣kx的图象上，那么点P在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限．6．（3分）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．两直线平行，内错角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．（2分）计算：＝ ．8．（2分）函数的定义域为 ．9．（2分）已知，那么f（﹣1）＝ ．10．（2分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ．11．（2分）如果点A（2，1）是反比例函数图象上一点，那么k＝ ．12．（2分）已知y是x的正比例函数，当x＝2时，y＝3，那么当时，y＝ ．13．（2分）化简：＝ ．14．（2分）在实数范围内分解因式：x2+4x+1＝ ．15．（2分）如图，射线l A、l B分别表示两个物体A和B所受压力F与受力面积S的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力分别为F A、F B，则F A F B．（填“＞”、“＜”或“＝”）16．（2分）已知等腰直角三角形斜边上的高为方程x2﹣5x﹣6＝0的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ．17．（2分）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠ABD＝∠DBC，AD＝6，BC＝8，那么△DBC的面积是 ．18．（2分）已知点D、E分别是等边△ABC边AB、AC上的动点，将△ADE沿直线DE翻折，使点A恰好落在边BC上的点P处，如果△BPD是直角三角形，且BP＝2，那么EC的长是 ．三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分）19．（6分）计算：．20．（6分）解方程：x（x﹣2）＝7．21．（6分）已知y＝y1+y2，并且y1与（x﹣2）成正比例，y2与x成反比例，当x＝﹣1时，y ＝3；当x＝4时，．（1）求y关于x的函数解析式；（2）求x＝﹣1时的函数值．22．（6分）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD ＝CD．求证：AD平分∠BAC．四、解答题（本大题共4题，第23-25题每题8分，第26题10分，满分34分）23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，6）、B（3，m）是反比例函数的图象上的两点，联结AB．（1）求反比例函数的解析式；（2）线段AB的垂直平分线交x轴于点P，求点P的坐标．24．（8分）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：v（千米/小时）15202530t（小时）2 1.5 1.21（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；（3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足0.8≤t≤1.6，求平均速度v的取值范围．25．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，E是边BC 上一点，F是边AC上一点，且DF⊥DE，联结EF．（1）求证：AF＝CE；（2）如果AF＝4，DF＝3．求边AC的长．26．（10分）如图，∠AOB＝30°，C是射线OB上一点，且OC＝2，D是射线OA上一点，联结CD，将△COD沿着直线CD翻折，得到△CDE．（1）设OD＝x，S△COD＝y，求y与x的函数关系式；（2）如果线段DE与射线OB有交点，设交点为G．①直接写出OD的取值范围 ；②若△CEG是等腰三角形，求∠ODE的度数．2023-2024学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题。

沪科版八年级数学上册期末试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 如果一个三角形的两边分别是5cm和12cm，那么第三边的长度可能是多少？A. 7cmB. 8cmC. 17cmD. 18cm3. 下列哪个数是质数？A. 21B. 23C. 27D. 294. 已知一组数据：2, 5, 7, 10, 12，那么这组数据的平均数是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 如果一个圆的半径是4cm，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A. 16πB. 32πC. 64πD. 128π二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数相加的和都是偶数。

（）2. 一个三角形的三个角的度数和一定是180度。

（）3. 0是最小的自然数。

（）4. 如果一个数的因数只有1和它本身，那么这个数一定是质数。

（）5. 任何一个正方形的对角线长度都大于它的边长。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个正方形的边长是6cm，那么它的面积是______平方厘米。

2. 如果一个数的平方根是9，那么这个数是______。

3. 一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，那么这个三角形的周长是______厘米。

4. 下列哪个数既是偶数又是质数？______5. 如果一个圆的直径是10cm，那么这个圆的半径是______厘米。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述平行线的定义及其性质。

2. 请简述勾股定理的内容及其应用。

3. 请简述因式分解的意义及其方法。

4. 请简述概率的定义及其计算方法。

5. 请简述函数的定义及其性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个长方形的长是10cm，宽是5cm，求这个长方形的面积。

2. 如果一个等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，求这个三角形的面积。

3. 解方程：2x + 3 = 11。

4. 已知一组数据：2, 5, 7, 10, 12，求这组数据的方差。

上海市青浦实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．方程x2＝3的根是．2．若一次函数图象与直线平行，且过点（0，2），则此一次函数的解析式是．3．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．4．函数的定义域是．5．在实数范围内因式分解：2x2+2x﹣1＝．6．已知函数，则f（6）＝．7．如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是．8．如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数（k＜0）的图象上，那么a、b的大小关系是．（用“＜”号连接）9．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可列方程．10．如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是度．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝5，AC＝10．则AB＝．12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD 于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝cm．13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为．14．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是．二、单项选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分）15．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．B．（x﹣2）2＝5C．x2+2x＝0D．16．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞0B．x＜0C．x＜2D．x＞2．17．下列说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系B．圆的周长与直径成正比例关系C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系18．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是边BC上一点，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（）A．1B．2C．2.5D．5三、解答题：（本大题共有7题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第24、25题每题12分，满分60分）19．（6分）解方程：（x﹣1）2＝5﹣5x．20．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．21．（8分）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与A 地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题：（1）两人谁先到达B地？．（填“甲”或“乙”）（2）甲到达B地用了小时．（3）两人在出发多少小时后相遇？22．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F．求线段CF的长．23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，求证：EH＝AC．24．（12分）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x 轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．（1）求直线y＝kx的函数解析式；（2）求点C到直线OA的距离；（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．25．（12分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D 作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，联结EF、AG，已知AB＝10，BC＝6，AC＝8．（1）求证：AC⊥AG；（2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．方程x2＝3的根是x1＝，x2＝﹣．【分析】把方程两边开方即可．【解答】解：x2＝3，x＝±，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为：x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．2．若一次函数图象与直线平行，且过点（0，2），则此一次函数的解析式是y＝﹣x+2．【分析】设一次函数的解析式是y＝kx+b，根据两直线平行求出k＝﹣，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．【解答】解：设一次函数的解析式是y＝kx+b，∵一次函数图象与直线y＝﹣x平行，∴k＝﹣，即y＝﹣x+b，∵一次函数的图象过点（0，2），∴代入得：2＝b，即y＝﹣x+2，故答案为：y＝﹣x+2．【点评】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．3．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是1＜k＜3．【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k＜0，k﹣3＜0，即可求解；【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，∴k＞1，k＜3，∴1＜k＜3；故答案为1＜k＜3；【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y＝kx+b，k与b对函数图象的影响是解题的关键．4．函数的定义域是．【分析】让被开方数为非负数列式求值即可．【解答】解：由题意得2x+1≥0，解得x≥﹣，故答案为x≥﹣．【点评】考查求函数自变量的取值；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数是非负数．5．在实数范围内因式分解：2x2+2x﹣1＝2（x+）（x+）．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝2（x2+x﹣）＝2（x2+x+﹣﹣）＝2（x++）（x+﹣）＝2（x+）（x+），故答案为：2（x+）（x+）．【点评】本题考查了实数范围内分解因式，以及算术平方根，掌握因式分解的方法是关键．6．已知函数，则f（6）＝2．【分析】把x＝6代入计算即可．【解答】解：f（6）＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查函数值，理解函数值的定义是解决问题的前提，把x的值代入函数关系式按照关系式指明的运算进行计算是得出正确答案的关键．7．如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k ≠0．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，解得k≤且k≠0．故答案为：k≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数（k＜0）的图象上，那么a、b的大小关系是a＜b．（用“＜”号连接）【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数（k＜0）中k＜0，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣3＜0，﹣2＜0，∴点（﹣3，a），（﹣2，b）位于第二象限，∴a＞0，b＞0，∵﹣3＜﹣2＜0，∴a＜b．故答案为：a＜b．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．9．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可列方程1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．【分析】利用十月份的销售额＝八月份的销售额×（1+每月的销售额增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．故答案为：1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是1620度．【分析】从多边形一个顶点可作8条对角线，则这个多边形的边数是11，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有8条对角线，∴n﹣3＝8，∴n＝11，∴该多边形边数为11，∴（11﹣2）•180°＝1620°，∴这个多边形的内角和为1620°．故答案为：1620．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝5，AC＝10．则AB＝20．【分析】先根据CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10得到∠ACD＝30°，再利用同角的余角相等得到∠B＝∠ACD＝30°，所以AB＝2AC＝20．【解答】解：如图，∵CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10，∴∠ACD＝30°，∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠BCD＝90°，又∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AC＝10，∴AB＝2AC＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是掌握直角三角形的这条性质．12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD 于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝3cm．【分析】由BF平分∠ABC得到∠ABE＝∠CBE，又由平行四边形两组对边分别平行可以推出∠ABE＝∠BFC，然后可以得到BC＝CF，从而求出DF．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BFC，∴∠CBE＝∠BFC，∴BC＝CF，∴DF＝CF﹣CD＝BC﹣AB＝7﹣4＝3．故答案为：3．【点评】此题主要利用利用平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形两组对边分别平行．13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为20．【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，∴∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，AD＝2DF∵BE＝2，DF＝3，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．14．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是或3．【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当AC∥DE时，如图2，当BC∥DE时，利用含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图1，当AC∥DE时，过点B作BF⊥EC延长线于点F，根据题意可知：∠DEC＝60°，∠ACB＝30°，∵AC∥DE，∴∠ACF＝∠DEC＝60°，∴∠BCF＝30°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴BF＝BC＝，∴△BCE的面积＝CE•BF＝2×＝；如图2，当BC∥DE时，过点B作BG⊥EC延长线于点G，∵BC∥DE，∴∠BCG＝∠DEC＝60°，∵BC＝AB＝2，∴BG＝BC＝3，∴△BCE的面积＝CE•BG＝2×3＝3．综上所述：△BCE的面积是或3．故答案为：或3．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．二、单项选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分）15．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．B．（x﹣2）2＝5C．x2+2x＝0D．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．16．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞0B．x＜0C．x＜2D．x＞2．【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17．下列说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系B．圆的周长与直径成正比例关系C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系【分析】根据正比例函数的定义和反比例函数的定义，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：一个人的体重与他的年龄不成正比例关系，故选项A不符合题意；圆的周长与直径成正比例关系，故选项B符合题意；周长一定时，长方形的长与宽不成反比例关系，故选项C不符合题意；车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成正比例关系，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的定义，正确得出函数关系是解题关键．18．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是边BC上一点，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（）A．1B．2C．2.5D．5【分析】根据全等三角形的性质得到AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，推出△AED是等腰直角三角形，求得△ADE的面积＝AE2，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∵BE＝CD＝a，AB＝EC＝b，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴△ADE的面积＝AE2，∵△ABE的面积为1，∴ab＝1，∴ab＝2，∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∴a2+b2＝5，∴△ADE的面积＝×5＝，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题：（本大题共有7题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第24、25题每题12分，满分60分）19．（6分）解方程：（x﹣1）2＝5﹣5x．【分析】原方程整理为（x﹣1）2+5（x﹣1）＝0，再利用提公因式法求解即可．【解答】解：（x﹣1）2＝5﹣5x，（x﹣1）2﹣5+5x＝0，（x﹣1）2+5（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1+5）＝0，x﹣1＝0或x+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．20．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+8＝2+8，（x﹣2）2＝10，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．（8分）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与A 地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题：（1）两人谁先到达B地？甲．（填“甲”或“乙”）（2）甲到达B地用了小时．（3）两人在出发多少小时后相遇？【分析】（1）根据图象可知，甲先到达B地；（2）根据图象中的数据，可以先计算出甲的速度，然后即可计算出甲到达B地用的时间；（3）根据图象中的数据，先计算乙的速度，然后设两人在出发a小时后相遇，再根据甲行驶的路程＝乙行驶的路程+20，列出相应的方程，然后求解即可．【解答】解：（1）由图象可得，甲先到达B地，故答案为：甲；（2）由图象可得，甲的速度为：25÷1＝25（千米/小时），甲到达B地用了：45÷25＝（小时），故答案为：；（3）由图象可，乙的速度为：（30﹣20）÷1＝10（千米/小时），设两人在出发a小时后相遇，20+10a＝25a，解得a＝，即两人在出发小时后相遇．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F．求线段CF的长．【分析】联结AF，由矩形的性质得AD＝BC＝2，DC＝AB＝4，∠D＝90°，由线段的垂直平分线的性质得AF＝CF，根据勾股定理得AD2+DF2＝AF2，则22+（4﹣CF）2＝CF2，即可求得CF＝．【解答】解：连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，DC＝AB＝4，∠D＝90°，∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，∵AD2+DF2＝AF2，且DF＝4﹣CF，∴22+（4﹣CF）2＝CF2，解得CF＝，∴CF的长为．【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，求证：EH＝AC．【分析】连接DH，由平行线的性质可得∠C＝2∠DEC，利用直角三角形斜边上中线的性质可得HD＝AC＝CD，结合等腰三角形的性质可得∠DHC＝2∠DEC，再根据三角形外角的性质可得∠DEC＝∠HDE，即可得DH＝EH，进而可证明结论．【解答】证明：连接DH，∵DE∥AB，∴∠B＝∠DEC，∵∠C＝2∠B，∴∠C＝2∠DEC，∵AH⊥BC于点H，D是AC中点，∴HD＝AC＝CD，∴∠C＝∠DHC，∴∠DHC＝2∠DEC，∵∠DHC＝∠DEC+∠HDE，∴∠DEC＝∠HDE，∴DH＝EH，∴EH＝AC．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明DH＝EH是解题的关键．24．（12分）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x 轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．（1）求直线y＝kx的函数解析式；（2）求点C到直线OA的距离；（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．【分析】（1）根据中点坐标公式求出点A的横坐标，进而求出点A坐标，即可求出答案；（2）先求出点B坐标，进而求出AB，最后用面积公式建立方程求解，即可求出答案；（3）设出点D的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．【解答】解：（1）设点A的坐标为（m，），∵点C（2，0）是AB的中点，∴2（m+0）＝2，∴m＝4，∴A（4，2），∵点A在直线y＝kx上，∴4k＝2，∴k＝，∴直线y＝kx的解析式为y＝x；（2）由（1）知，点A（4，2），∴OA＝2，∵点C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，∴B（0，﹣2），设点C到直线OA的距离为h，则S△AOB＝OB•|x A|＝OA•h，∴h＝＝＝，即点C到直线OA的距离为；（3）由（1）知，直线OA的解析式为y＝x，设点D（n，n），∵A（4，2），B（0，﹣2），∴AB2＝32，BD2＝n2+（n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∵△ABD是直角三角形，∴①当∠ABD＝90°时，BD2+AB2＝AD2，∴n2+（n+2）2+32＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∴n＝﹣，∴D（﹣，﹣），②当∠BAD＝90°时，AD2+AB2＝BD2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+32＝n2+（n+2）2，∴n＝4（不符合题意，舍去），③当∠ADB＝90°时，AD2+BD2＝AB2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2+（n+2）2＝32，∴n＝4（不符合题意，舍去）或n＝﹣，∴D（﹣，﹣），即D（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，勾股定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．25．（12分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D 作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，联结EF、AG，已知AB＝10，BC＝6，AC＝8．（1）求证：AC⊥AG；（2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，由D是AB的中点，得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到∠GAB＝∠B，推出∠EAG＝90°，于是得到结论；（2）连接EG，根据勾股定理得到EF2＝（8﹣x）2+y2，根据全等三角形的性质得到AG ＝BF，由勾股定理得到EG2＝x2+（6﹣y）2，于是得到方程（8﹣x）2+y2＝x2+（6﹣y）2，即可得到结论（3）①当BF＝DB时，6﹣y＝5，列方程得到AE＝；②当DF＝FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF＝FB＝6﹣y，根据勾股定理得方程（6﹣y）2＝42+（3﹣y）2，求得y＝，于是得到＝求得AE＝．【解答】（1）证明：∵BC＝6，AC＝8，∴BC2+AC2＝36+64＝100，∵AB2＝100，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADG和△BDF中，∴△ADG≌△BDF，∴∠GAB＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB+∠GAB＝90°，∴∠EAG＝90°，即：AC⊥AG；（2）连接EG，∵AE＝x，AC＝8，∴EC＝8﹣x，∵∠ACB＝90°，由勾股定理，得EF2＝（8﹣x）2+y2，∵△ADG≌△BDF，∴AG＝BF，∵CF＝y，BC＝6，∴AG＝BF＝6﹣y，∵∠EAG＝90°，由勾股定理，得EG2＝x2+（6﹣y）2，∵DG＝DF，DF⊥DE，∴EF＝EG，∴（8﹣x）2+y2＝x2+（6﹣y）2，∴y＝，自变量x的取值范围：＜x＜；（3）①当BF＝DB时，6﹣y＝5，∴y＝1，∴1＝，∴x＝，即AE＝；②当DF＝FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF＝FB＝6﹣y，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝5，∵DH⊥FB，BC＝6，∴CH＝HB＝3，∴FH＝3﹣y，∵DH⊥FB，由勾股定理，得DH＝4，在Rt△DHF中，可得（6﹣y）2＝42+（3﹣y）2，解得：y＝，∴＝解得x＝，即AE＝，综上所述，AE的长度是，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。

2023-2024学年上海市重点学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式中，与2不是同类根式的是( )A. 12B. 0.2 C. 18D. 50x22.如果方程mx2−6x+1=0有实数根，那么m的取值范围是( )A. m<9且m≠0B. m≤9且m≠0C. m<9D. m≤93.下列说法正确的是( )A. 面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成正比例B. 面积一定的平行四边形的一边和这边上的高成反比例C. 周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成正比例D. 周长一定的等腰三角形的腰长与它底边的长成反比例4.某工厂第四季度的每月产值的增长率都是x，其中12月份的产值是100万元，那么10月份的产值是是( )A. 100(1−x2)B. 100(1−x)2C. 100(1+x)2D. 1001+x25.用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是( )A. 13,14,15B. 4，5，6C. 17，8，15D. 1,3,236.下列说法中正确的是( )A. 每个命题都有逆命题B. 每个定理都有逆定理C. 真命题的逆命题是真命题D. 假命题的逆命题是假命题二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。

7.当a<−1时，(a+1)2=______ ．8.如果x2(2+x)=−x⋅2+x，那么等式成立的条件是______ ．9.计算：a−ba12−b12=______ ．10.不等式：(3−2)x<1的解集是______ ．11.在实数范围内因式分解x2y2−3xy−2=______ ．12.函数y=x−32−x的定义域是______ ．13.函数y=25x的图象经过的象限是______ ．14.函数y=x2m−3(m为常数)中，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是______ ．15.“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是______．16.已知线段AB，以∠A为顶角的等腰△ABC的顶点C的轨迹是______ ．17.如果一个直角三角形两条边的长分别为5、12，那么斜边上中线的长为______ ．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=6(如图)，点D是AB的中点，将△ACD沿直线CD翻折后点A落在点E，那么BE的长为______ ．三、计算题：本大题共1小题，共6分。

沪科版数学八年级上册期末考试试题一、选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系内，下列的点位于第四象限的是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（0，﹣1）2．下列图案中，属于轴对称图形的有（）A．5个B．3个C．2个D．4个3．若点（2，y1）和（﹣2，y2）都在直线y＝﹣x+3上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定4．为了估计池塘A，B两点之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点C，测得AC＝3m，BC＝6m，则A，B两点之间的距离可能是（）A．11m B．9m C．7m D．3m5．下列命题中是假命题的是（）A．全等三角形的对应角相等B．三角形的外角大于任何一个内角C．等边对等角D．角平分线上的点到角两边的距离相等6．如图，∠ABD＝∠CBD，现添加以下条件不能判定△ABD≌△CBD的是（）A．∠A＝∠C B．∠BDA＝∠BDC C．AB＝CB D．AD＝CD 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝10，则CE的长为（）A．5B．4C．3D．28．若ab＜0且a＜b，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，过点A1（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B1；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B3；…，按此规律作下去，则点B2021的坐标为（）A．（22021，22020）B．（22021，22022）C．（22022，22021）D．（22020，22021）10．2020年12月22日8时38分，G8311次动车组列车从合肥南站始发，驶向沿江千年古城安庆．这标志着京港高铁合肥至安庆段正式开通运营．运行期间，一列动车匀速从合肥开往安庆，一列普通列车匀速从安庆开往合肥，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（）①合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；②普通列车到达终点站共需2h；③普通列车的平均速度为88km/h；④动车的平均速度为250km/h．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．函数y＝中自变量x的取值范围是．12．已知点A（3，0）和B（1，3），如果直线y＝kx+1与线段AB有公共点，那么k的取值范围是．13．已知一次函数y＝kx+3（k＞0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为．14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD 的度数是．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法正确的是（填序号）．①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．（1）画出△ABC向右平移5个单位，再向上平移4个单位得到的△A1B1C1，其中点C1的坐标为；（2）在x轴上画出点P，使PA+PB最小，此时点P的坐标为．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．（1）求∠BAD的度数；（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）18．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．19．定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是；（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是；（3）若（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．五、（本大题满分10分）20．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于点E．求证：AD＝2CE．六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21．许多企业纷纷跨界转行生产口罩．我县某工厂接到订单任务，要求用7天时间生产A、B两种型号的口罩，共不少于5.8万只，其中A型口罩只数不少于B型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果2天生产A型口罩，3天生产B型口罩，一共可以生产4.6万只；如果3天生产A型口罩，2天生产B型口罩，一共可以生产4.4万只，并且生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．（1）试求出该厂的生产能力，即每天能生产A型口罩或B型口罩多少万只？（2）在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产A型口罩和B型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？22．数学模型学习与应用：（1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．（2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BAD ＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）；（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．C．2．D3．A．4．C．5．B．6．D．7．A．8．B．9．B．10．C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．函数y＝中自变量x的取值范围是x≥﹣且x≠1．解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故答案为：x≥﹣且x≠1．12．已知点A（3，0）和B（1，3），如果直线y＝kx+1与线段AB有公共点，那么k的取值范围是﹣≤k≤2．解：由y＝kx+1可知直线经过点（0，1），当k＞0时，y＝kx+1过B（1，3）时，3＝k+1，解得k＝2，∴直线y＝kx+1与线段AB有公共点，则k≤2；当k＜0时，y＝kx+1过A（3，0），0＝3k+1，解得k＝﹣，∴直线y＝kx+1与线段AB有公共点，则k≥﹣．综上，满足条件的k的取值范围是﹣≤k≤2；故答案为﹣≤k≤2．13．已知一次函数y＝kx+3（k＞0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为y＝x+3．解：一次函数y＝kx+3与y轴的交点A的坐标为（0，3），则OA＝3，由题意得，×OB×3＝3，解得，OB＝2，则点B的坐标为（﹣2，0），∴﹣2k+3＝0，解得，k＝，∴一次函数的表达式为y＝x+3，故答案为：y＝x+3．14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD 的度数是18°或112°．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝124°，分别作AC，AB两边的垂直平分线PM，PN，垂足分别是点M，N．以下说法正确的是①②④（填序号）．①∠P＝56°；②∠EAF＝68°；③PE＝PF；④点P到点B和点C的距离相等．解：∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°，①说法正确；∵∠BAC＝124°，∴∠B+∠C＝180°﹣124°＝56°，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴EC＝EA，FB＝FA，∴∠EAC＝∠C，∠FAB＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAC﹣∠FAB＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝124°﹣56°＝68°，②说法正确；△ABC不一定是等腰三角形，∴PE与PF的大小无法确定，③说法错误；连接PC、PA、PB，∵PM垂直平分AC，PN垂直平分AB，∴PC＝PA，PB＝PA，∴PB＝PC，即点P到点B和点C的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣4，﹣1），C（﹣4，﹣4）．（1）画出△ABC向右平移5个单位，再向上平移4个单位得到的△A1B1C1，其中点C1的坐标为（1，0）；（2）在x轴上画出点P，使PA+PB最小，此时点P的坐标为（﹣，0）．【解答】解（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点C1的坐标为（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）作A点关于x轴对称点A′，则A′（﹣2，2），故设直线BA′的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BA′的解析式为：y＝x+5，当y＝0时，x＝﹣，此时点P的坐标为：（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．（1）求∠BAD的度数；（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝40°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）18．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°．∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∵∠AGD＝∠FGB，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．19．定义：关于x的一次函数y＝ax+b与y＝bx+a（ab≠0）叫做一对交换函数，例如：一次函数y＝3x+4与y＝4x+3就是一对交换函数．（1）一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y＝﹣bx+2；（2）当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1；（3）若（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，求b的值．解：（1）由题意可得，一次函数y＝2x﹣b的交换函数是y﹣bx+2，故答案为：y＝﹣bx+2；（2）由题意可得，当2x﹣b＝﹣bx+2时，解得x＝1，即当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，故答案为：x＝1；（3）函数y＝2x﹣b与y轴的交点是（0，﹣b），函数y＝﹣bx+2与y轴的交点为（0，2），由（2）知，当b≠﹣2时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是x＝1，∵（1）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为4，∴＝4，解得b＝6或b＝﹣10，即b的值是6或﹣10．五、（本大题满分10分）20．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于点E．求证：AD＝2CE．【解答】证明：延长AB、CE交于点F，∵∠ABC＝90°，CE⊥AD，∠ADB＝∠CDE，∴∠BAD＝∠ECD，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠FAE，在△CAE和△FAE中，，∴△CAE≌△FAE（ASA），∴CE＝EF，∴AD＝CF＝2CE．六、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）21．许多企业纷纷跨界转行生产口罩．我县某工厂接到订单任务，要求用7天时间生产A、B两种型号的口罩，共不少于5.8万只，其中A型口罩只数不少于B型口罩．该厂的生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果2天生产A型口罩，3天生产B型口罩，一共可以生产4.6万只；如果3天生产A型口罩，2天生产B型口罩，一共可以生产4.4万只，并且生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元．（1）试求出该厂的生产能力，即每天能生产A型口罩或B型口罩多少万只？（2）在完成订单任务的前提下，应怎样安排生产A型口罩和B型口罩的天数，才能使获得的总利润最大，最大利润是多少万元？解：（1）设该厂每天能生产A型口罩x万只或B型口罩y万只．根据题意，得，解得，答：该厂每天能生产A型口罩0.8万只或B型口罩1万只．（2）设该厂应安排生产A型口罩m天，则生产B型口罩（7﹣m）天．根据题意，得，解得≤m≤6，设获得的总利润为w万元，根据题意得：w＝0.5×0.8m+0.3×1×（7﹣m）＝0.1m+2.1，∵m＝0.1＞0，∴w随m的增大而增大．∴当m＝0.6时，w取最大值，最大值＝0.1×6+2.1＝2.7（万元）．答：当安排生产A型口罩6天、B型口罩1天，获得2.7万元的最大总利润．22．数学模型学习与应用：（1）学习：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．（2）应用：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BAD ＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）；（3）拓展：如图3，在（2）的条件下，若α＝120°，且△ACF是等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴AC＝DE，BC＝AE，故答案为：DE，AE；（2）∵∠BAD＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，∵DE＝a，BD＝b，∴CE＝DE﹣BD＝a﹣b；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：由（2）知：△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∵△ACF是等边三角形，∴∠CAF＝60°，AB＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABD+∠ABD＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠FAE，在△BDF和△AEF中，，∴△BDF≌△AEF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，∴△DEF是等边三角形．。

青浦区东方中学2022学年第一学期八年级数学期末练习（时间：90分钟满分100分）一、选择题（每题3分，共18分）1.下列说法正确的是（）A.20x x -=是二项方程B.2=是无理方程C.1423x x--=是分式方程 D.2123x y-=是二元二次方程2.下列方程中，有实数根的是（）A.220x x -+= B.410x -= C.1=- D.111x x x =--3.下列函数中，y 的值随x 的值增大而减小的是（）A.21y x =- B.21y x =-+ C.2y x=D.2y x=-4.某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元，经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元，求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣x 套，原计划每套运动衣的利润是y 元，可列方程组为（）A.()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩ B.()()4001012000400012000x y xy ⎧+-=+⎨=⎩C .()()4001012000120004000x y xy ⎧+-=⎨=+⎩ D.()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=-⎩5.如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，点G 、F 分别是BC 、DE 的中点，则下列结论中错误的是（）A .GE ＝GDB.GF ⊥DEC.∠DGE ＝60°D.GF 平分∠DGE6.在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（）A.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D.关于某一条直线对称的两个三角形全等二、填空题（每题2分，共24分）7.直线3y kx =-与直线12y x =-平行，则k =___________8.用换元法解方程2220383x x x x+-=+，若设23x x y +=，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________9.关于x 的方程bx －3=x 有解，则b 的取值范围是________．10.方程(0x +=的解是___________________．11.有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是x ，由题意列出关于x 的方程：___________．12.函数1y kx =-的图像过点()3,7-及点()11,x y 和()22,x y ，则当12x x <时，1y ___________2y （填“>”，“=”或“<”）13.解关于x 的方程3222x mx x -=--有增根，则m 的值为___________14.通过两定点A 、B 的圆的圆心的轨迹是_____．15.点(),4A a ，()2,2B a -两点间的距离等于4，则=a ___________16.如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是___________°17.如图，点P 是AOB ∠的平分线上的一点，过点P 作PC OA ∥交OB 于点C ，PD OA ⊥，若60AOB ∠=︒，8OC =，则PD =___________18.已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B 、C 、E 在同一直线上，90ABC DCE ∠=∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度()090αα︒<<︒，如果在旋转的过程中ABC 有一条边与DE 平行，那么此时BCE 的面积是___________．三、简答题（第19，20，21每题5分，第22题6分，共21分）19.解方程：26511x x x +--＝41x x ++．20.解方程：4x =21.解方程组：2244123x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩22.小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度四、简答题（第23题8分，第24题7分，第25题10分，第26题12分，共37分）23.如图中的图像（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：（1）汽车共行驶了___________千米；（2）汽车在行驶途中停留了___________小时；（3）汽车自出发后4点到5.5小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系式（写出解题过程）24.已知，如图在ABC 中，AD 、BE 分别是BC ，AC 边上的高，AD 、BE 交于H ，DA DB =，BH AC =，点F 为BH 的中点，DC DF =．（1）求证：ADC BDH ≌△△；（2）求证：15ABE ∠=︒．25.如图，一次函数y ax b =+的图像与反比例函数ky x=的图像交于M 、N 两点（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OM 、ON ，求三角形OMN 的面积（3）连接OM ，在x 轴的正半轴上是否存在点Q ，使MOQ △是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，若不存在，说明理由26.已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，63BC =，点D 是AB 边的中点．点E 是射线BC 上的一动点（点E 不与点B 重合），点F 在ED 的延长线上，且DF DE =，DG EF ⊥，垂足为点D ，DG 交边AC 于点G（1）求证：AF BC ∥；（2）当点E 在线段BC 上时，设AG x =，CE y =，求y 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域；（3）当2CE =时，直接写出AG 的长青浦区东方中学2022学年第一学期八年级数学期末练习（时间：90分钟满分100分）一、选择题（每题3分，共18分）1.下列说法正确的是（）A.20x x -=是二项方程B.2=是无理方程C.1423x x--=是分式方程 D.2123x y-=是二元二次方程【答案】B【分析】利用无理方程及二项方程以及高次方程的定义进行判断即可得到答案；【详解】解：20x x -=是一元二次方程，不是二项方程，故A 不符合题意；2=B 符合题意；1423x x--=是一元一次方程，故C 不符合题意；2123x y-=是分式方程，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了无理方程及二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义．2.下列方程中，有实数根的是（）A.220x x -+= B.410x -= C.1=- D.111x x x =--【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式、偶次方的意义、算术平方根的意义、以及分式方程的解逐项分析即可．【详解】A 、∆＝1﹣8＝﹣7＜0，故没有实数根，故错误，不符合题意；B 、410x -=存在实数根1和﹣1，故正确，符合题意；C 、任何数的算术平方根一定是非负数，故错误，不符合题意；D 、此方程化为整式方程的根为x ＝1，而分母x ﹣1≠0，即x ≠1，所以此方程无解，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，乘方的意义，算术平方根的意义，分式方程有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．3.下列函数中，y 的值随x 的值增大而减小的是（）A.21y x =- B.21y x =-+ C.2y x=D.2y x=-【答案】B【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可解答．【详解】解：A 选项，21y x =-，y 的值随x 的值增大而增大，不符合题意；B 选项，21y x =-+，y 的值随x 的值增大而减小，符合题意；C 选项，2y x=，在每一象限内，y 的值随x 的值增大而减小，不符合题意；D 选项，2y x=-，在每一象限内，y 的值随x 的值增大而增大，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，梳理掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键．4.某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元，经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元，求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣x 套，原计划每套运动衣的利润是y 元，可列方程组为（）A.()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩ B.()()4001012000400012000x y xy ⎧+-=+⎨=⎩C.()()4001012000120004000x y xy ⎧+-=⎨=+⎩ D.()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=-⎩【答案】B【分析】本题的等量关系为：计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利()120004000+元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设原计划销售运动衣x 套，每套运动衣的原计划利润为y 元．根据题意得：()()4001012000400012000x y xy ⎧+-=+⎨=⎩故选B ．【点睛】本题考查的是二元二次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列出方程组是解本题的关键．5.如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，点G 、F 分别是BC 、DE 的中点，则下列结论中错误的是（）A.GE ＝GDB.GF ⊥DEC.∠DGE ＝60°D.GF 平分∠DGE【答案】C【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的定义与性质即可分别判断求解.【详解】解：∵BD 、CE 是高，点G 是BC 的中点，∴GE ＝12BC ，GD ＝12BC ，∴GE ＝GD ，A 正确，不符合题意；∵GE ＝GD ，F 是DE 的中点，∴GF ⊥DE ，B 正确，不符合题意；∠DGE 的度数不确定，C 错误，符合题意；∵GE ＝GD ，F 是DE 的中点，∴GF 平分∠DGE ，D 正确，不符合题意；故选C ．【点睛】此题主要考查三角形的三线，解题的关键是熟知三角形高线、中线、角平分线的性质.6.在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（）A.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D.关于某一条直线对称的两个三角形全等【答案】D【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据线段垂直平分线判定定理、等腰三角形的性质，三角形的内角和定理、全等三角形的判定和轴对称的定义进行判断即可．【详解】解：A 、逆命题为到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，此逆命题为真命题；B 、逆命题为如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形，此逆命题为真命题；C 、逆命题为三边对应相等的三角形全等，此逆命题为真命题；D 、逆命题为两个全等三角形关于某直线对称，此逆命题为假命题．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．二、填空题（每题2分，共24分）7.直线3y kx =-与直线12y x =-平行，则k =___________【答案】12-【分析】根据两直线平行，系数k 相等，b 不相等，即可求解．【详解】解：∵直线3y kx =-与直线12y x =-平行，∴12k =-．故答案为：12-．【点睛】本题考查了一次函数中两条直线平行的性质，解题关键掌握两直线平行，系数k 相等，b 不相等的性质．8.用换元法解方程2220383x x x x+-=+，若设23x x y +=，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________【答案】28200y y --=【分析】由于方程中含有23x x +，故设23x x y +=，代入方程后，把原方程化为整式方程．【详解】解：设23x x y +=，则208y y-=，∴28200y y --=，故答案为：28200y y --=．【点睛】此题考查了数学中的换元思想，用换元法解分式方程，能够使方程简单，因此应根据方程特点选择合适的方法．9.关于x 的方程bx －3=x 有解，则b 的取值范围是________．【答案】b ≠1【详解】试题解析：3,bx x -= 3,bx x ∴-=即()13,b x -=当10,b -≠即1b ≠时，方程有解.故答案为1b ≠.10.方程(0x +=的解是___________________．【答案】x=2【详解】试题解析：(10,x +=10x ∴+=0.=解得：=1x -或 2.x =当=1x -不成立，故舍去.故答案为 2.x =11.有一件商品，由原售价连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知原售价是875元，降价两次后的售价是560元，若每次下降的百分率是x ，由题意列出关于x 的方程：___________．【答案】()28751560x -=【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意可列方程为()28751560x -=；故答案为()28751560x -=．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准关系量．12.函数1y kx =-的图像过点()3,7-及点()11,x y 和()22,x y ，则当12x x <时，1y ___________2y （填“>”，“=”或“<”）【答案】>【分析】首先把点()3,7-代入解析式，即可求得k 的值，再根据一次函数的性质，即可解答．【详解】解：把点()3,7-代入解析式，得317k -=-，解得2k =-，∴该函数的解析式为：21y x =--，20k =-< ，y ∴随x 的增大而减小，12x x < ，12y y ∴>，故答案为：>．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．13.解关于x 的方程3222x mx x -=--有增根，则m 的值为___________【答案】12-##0.5-【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解．【详解】解：根据题意，得该分式方程的增根是2x =，该分式方程转化为整式方程，得32x m -=，把2x =代入，得12m =-．故答案为：12-．【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0．14.通过两定点A 、B 的圆的圆心的轨迹是_____．【答案】线段AB 的垂直平分线【分析】一个圆经过两定点A 、B ，则这个圆心到两定点A 、B 的距离相等，根据垂直平分线的性质即可得到这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上．【详解】解：∵一个圆经过两定点A 、B ，∴这个圆心到两定点A 、B 的距离相等，∴这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上，∴通过两定点A 、B 的圆的圆心的轨迹是线段AB 的垂直平分线．故答案为:线段AB 的垂直平分线【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．15.点(),4A a ，()2,2B a -两点间的距离等于4，则=a ___________【答案】2或6【分析】直接利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：∵点(),4A a ，()2,2B a -两点间的距离等于4，∴()()2222244a a -+--=，∴28120a a -+=，解得：12a =，26a =，故答案为：2或6．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用勾股定理建立方程求解是解本题的关键．16.如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是___________°【答案】35【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，∵CD 是Rt ABC 斜边上的中线，∴CD AD DB ==，∴A ACD ∠=∠，∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为70︒，即70BDC ∠=︒，∴270BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠=︒，解得35A ∠=︒，另一个锐角903555B ∠=︒-︒=︒，∴这个直角三角形的较小内角的度数为35︒．故答案为：35．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．17.如图，点P 是AOB ∠的平分线上的一点，过点P 作PC OA ∥交OB 于点C ，PD OA ⊥，若60AOB ∠=︒，8OC =，则PD =___________【答案】【分析】作PE OB ⊥，则PD PE =，由等腰三角形的性质可得，8OC PC ==，在Rt PCE △中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：作PE OB ⊥，如下图：∵OP 平分AOB ∠，PE OB ⊥，PD OA ⊥，∴PD PE =，1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，∵PC OA ∥，∴30DOP OPC POC ∠=∠=︒=∠，∴8OC PC ==，60PCE POC OPC ∠=∠+∠=︒，在Rt PCE △中，8PC =，60PCE ∠=︒，∴30CPE ∠=︒∴142CE CP ==，由勾股定理得，223PE PC CE =-=，∴43PD PE ==．故答案为：3【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，二次根式的化简，等腰三角形的判定与性质以及含30︒直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．18.已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B 、C 、E 在同一直线上，90ABC DCE ∠=∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，将ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度()090αα︒<<︒，如果在旋转的过程中ABC 有一条边与DE 平行，那么此时BCE 的面积是___________．33【分析】先求解2AB DE ==，30∠=︒CDE ，4AC DE ==，22423BD DC ==-=论；如图，当AC DE ∥时，过B 作BH CE ⊥于H ，则60DEC ACH ∠=∠=︒，当BC DE ∥时，过B 作BH CE ⊥于H ，则60DEC BCH ∠=∠=︒，再求解BCE 中CE 上的高即可得到答案．【详解】解：∵90ABC DCE ∠=∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，且两个三角形一样，∴2AB DE ==，30∠=︒CDE ，4AC DE ==，，∴603030BCH ∠=︒-︒=︒，132BH BC ==∴1123322BCE S CE BH ==⨯⨯ ，当BC DE ∥时，过B 作BH CE ⊥于H ，则60DEC BCH ∠=∠=︒，∴30CBH ∠=︒，132CH BC ==，223BH BC CH =-=，∴1123322BCE S CE BH ==⨯⨯= ，故答案为：33．【点睛】本题考查的是旋转的性质，含30︒的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用旋转的性质解题是关键．三、简答题（第19，20，21每题5分，第22题6分，共21分）19.解方程：26511x x x +--＝41x x ++．【答案】9x =【分析】方程两边都乘()()11x x +-得出()()()65141x x x x ++=+-，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】两边通分得：()()()65141x x x x ++=+-，整理得：265544x x x x x ++=+--，化简得：2890x x --=，()()910x x -+=，解得：91x x ==-，，将x =-1和x =9代入方程中检验，得出x =-1是增根，x =9是方程的解，【点睛】本题考查了解分式方程和一元二次方程，掌握分式方程的解法并注意验根是解此题的关键．20.解方程：4x =【答案】x =6y =．先求y ，再求x ，结果需检验．【详解】解：将原方程变形为：220x --=，y =，原方程化为220y y --=，解得12y =，21y =-，当2y =2=，得6x =，当1y =-时，1=-无解．检验：把6x =代入原方程，适合．∴原方程的解是6x =．【点睛】本题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．21.解方程组：2244123x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩【答案】方程组的解为：7515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11x y =⎧⎨=⎩．【分析】先把方程①变形可得21x y -=或21x y -=-，再把原方程组化为两个二元一次方程组，再解两个二元一次方程组即可．【详解】解：2244123x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②，由①得：()221x y -=，∴21x y -=或21x y -=-，∴原方程组化为：2123x y x y -=⎧⎨+=⎩或2123x y x y -=-⎧⎨+=⎩，由2123x y x y -=⎧⎨+=⎩可得：7515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由2123x y x y -=-⎧⎨+=⎩可得：11x y =⎧⎨=⎩，∴方程组的解为：7515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握“把二元二次方程组化为二元一次方程组的方法解题”是解本题的关键．22.小李家离某书店12千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了一小时，求小李去书店时的步行速度【答案】小李去书店时的速度为4千米/小时．【分析】设小李去书店时的速度为每小时x 千米，根据他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了1小时列方程求解即可．【详解】解：设小李去书店时的速度为每小时x 千米，根据题意得212111x x-=-整理得2120x x --=解得14x =，23x =-（不合题意舍去）经检验4x =是原方程的根且符合题意答：小李去书店时的速度为4千米/小时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，设出速度，以时间作为等量关系列方程求解．四、简答题（第23题8分，第24题7分，第25题10分，第26题12分，共37分）23.如图中的图像（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空：（1）汽车共行驶了___________千米；（2）汽车在行驶途中停留了___________小时；（3）汽车自出发后4点到5.5小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系式（写出解题过程）【答案】（1）240（2）0.5（3）()804404 5.5s t t =-+≤≤【分析】（1）由()4120D ，，()5.50E ，可得汽车一共行驶的路程；（3）由()4120D ，，()5.50E ，可得汽车行驶速度，再利用待定系数法求解函数解析式即可．【小问1详解】解：由()4120D ，，()5.50E ，可得：汽车共行驶了1202240⨯=（千米）；【小问2详解】由()2.590B ，，()390C ，可得：汽车在行驶途中停留了3 2.50.5-=（小时）；【小问3详解】由()4120D ，，()5.50E ，可得：行驶速度为每小时：()120 5.5480÷-=（千米）；设s kt b =+，∴41205.50k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：80440k b =-⎧⎨=⎩，∴()804404 5.5s t t =-+≤≤．【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，利用待定系数法求解一次函数的解析式，理解题意，明确坐标含义是解本题的关键．24.已知，如图在ABC 中，AD 、BE 分别是BC ，AC 边上的高，AD 、BE 交于H ，DA DB =，BH AC =，点F 为BH 的中点，DC DF =．（1）求证：ADC BDH ≌△△；（2）求证：15ABE ∠=︒．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由全等三角形的判定定理HL 证得结论即可；（2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH ，结合直角三角形斜边中线性质得到DF DH =，然后证明DFH 是等边三角形，推出30DBH ∠=︒，根据DB DA =得到ABD ∠，即可求出15ABE ∠=︒．【小问1详解】解：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90ADC BDH ∠=∠=︒，AC BH AD BD =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt ADC BDH ≌△△（HL ）．【小问2详解】∵Rt Rt ADC BDH ≌△△，∴CD DH =，∵DC DF =，∴DF DH =，∵点F 为BH 的中点，∴DF BF FH ==，∴DH DF FH ==，∴DFH 是等边三角形，∴60BHD ∠=︒，∴30DBH ∠=︒，∵DB DA =，∴45DBA DAB ∠=∠=︒，∴15ABE ∠=︒．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25.如图，一次函数y ax b =+的图像与反比例函数k y x=的图像交于M 、N 两点（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OM 、ON ，求三角形OMN 的面积（3）连接OM ，在x 轴的正半轴上是否存在点Q ，使MOQ △是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，若不存在，说明理由【答案】（1）反比例函数的解析式是3y x=，一次函数的解析式是2y x =-．（3）所有符合条件的点Q 的坐标是)或()6,0或503⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）把N 的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M 的坐标代入解析式，求出M 的坐标，把M 、N 的坐标代入y ax b =+，能求出一次函数的解析式；（2）求出MN 与x 轴的交点坐标，求出MOC △和NOC 的面积即可；（3）符合条件的有3个①OM OQ =，②OM MQ =，③MO OQ =，再利用勾股定理列方程求解即可．【小问1详解】解：把()13N --，代入k y x=得：()133k =-⨯-=，∴3y x =，把()3M m ，代入得：1m =，∴()31M ，，把()13N --，，()31M ，代入y ax b =+得：331a b a b -+=-⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩，∴2y x =-，答：反比例函数的解析式是3y x =，一次函数的解析式是2y x =-．【小问2详解】如图，设MN 交x 轴于C ，由2y x =-，当0y =时，2x =，∴()20C ，，2OC =，∴MON △的面积是112123422MOC NOC S S =+=⨯⨯+⨯⨯= ，【小问3详解】设()()0>0Q x x ，，而()31M ，，()00O ，，∴22QO x =，2223110MO =+=，()()22223131QM x x =-+=-+，如图，MOQ △为等腰三角形，当OM OQ =时，则210x =，∴x =（负根舍去）Q 的坐标是)；当OM MQ =时，则()23110x -+=，解得：6x =（0x =舍去）Q 的坐标是()60，；当OQ QM =时，则()2231x x =-+，解得：53x =，Q 的坐标是503⎛⎫⎪⎝⎭，；答：在x 轴的正半轴上存在点Q ，使MOQ △是等腰三角形，所有符合条件的点Q 的坐标是)0或()60，或503⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，注意分类讨论思想的运用．26.已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，BC =，点D 是AB 边的中点．点E 是射线BC 上的一动点（点E 不与点B 重合），点F 在ED 的延长线上，且DF DE =，DG EF ⊥，垂足为点D ，DG 交边AC 于点G（1）求证：AF BC ∥；（2）当点E 在线段BC 上时，设AG x =，CE y =，求y 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域；（3）当2CE =时，直接写出AG 的长【答案】（1）证明见解析（2）)33612y x x =-≤<（3）23183AG +=或18233AG -=．【分析】（1）证明()SAS ADF BDE ≌，根据全等三角形的性质得到FAD B ∠=∠，根据平行线的判定定理证明；（2）连接GF ，根据全等三角形的性质得到AE BE =，根据线段垂直平分线的性质得到GF GE =，根据勾股定理列出关系式，再利用两个临界位置得到函数定义域；（3）分点E 在线段BC 上，点E 在线段BC 的延长线上两种情况，根据（2）的结论与探究方法，再利用函数式或勾股定理计算即可．【小问1详解】证明：∵点D 是AB 边的中点．∴AD BD =，在ADF △和BDE △中，AD BD ADF BDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADF BDE ≌，∴FAD B ∠=∠，∴AF BC ∥；【小问2详解】连接GF ，∵ADF BDE △≌△，∴AF BE =，∵DF DE =，DG FE ⊥，∴DG 是EF 的垂直平分线，∴GF GE =，∵90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，3BC =，∴2123AB BC ==，∴2218AC AB BC =-=，由勾股定理得，222GF AF AG =+，222GE CE CG =+，∴2222AF AG CE CG +=+，∵AG x =，CE y =，即()()2222183y x yx +-=+，整理得，363y x =-；当E ，B 重合时，如图，此时1632AD AB ==，2AG DG =，∴(222233AG DG DG -==，解得：6DG =，12AG x ==，此时132CD AB ==，30DCA DAC ∠=∠=︒，2CG DG =，同理可得：6DG =，12CG =，∴18126AG =-=，∴)33612y x =-≤<．【小问3详解】当点E 在线段BC 上时，2CE =，即2y =，∴3632-=，解得，23183x +=，即23183AG =，当点E 在线段BC 的延长线上时，如图2，连接GE ，GF ，由（1）得，AF BC ∥，90GAF ∠=︒，∴2222AF AG CE CG +=+，即()()2222632182x x +=-+，解得，18233x -=，即18233AG -=综上所述，当2CE =时，23183AG +=或18233AG -=．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

沪教版八年级上册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知点，，点P在线段AB上（不与端点重合），反比例函数的图象经过点P，则的取值范围是（）A. ＞3B.0≤≤3C.0＜≤3D. ≥32、如图正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，AC ⊥x轴于点C，CD∥AB交y轴于点D，连接AD、BD，若S△ABD＝6，则下列结论正确的是（）A. k1＝﹣6B. k1＝﹣3C. k2＝﹣6D. k2＝﹣123、下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（）A. B. C.D.4、下列式子为最简二次根式的是（）A. B. C. D.5、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系用图象表示应为图中的（）A. B. C.D.6、下列各数分别与（2-）相乘，结果为有理数的是（）A. B.2+ C.2- D.-2+7、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ，AD= ，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN 的中点，则EF长度的最大值为（）A. B.3.5 C.5 D.2.58、如图所示，两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象依次是C 1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A.k1+k2B.k1﹣k2C.k1•k2D.k1•k2﹣k29、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.10、函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（）A.m≠0B.m≠0且m≠1C.m=2D.m=1或211、将水匀速滴进如图所示的容器时，能符合题意反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的图象大致是（）A. B. C. D.12、最简二次根式与是同类二次根式，则x等于（）A. B.10 C.2 D.413、若关于x的方程是一元二次方程,则a的取值范围是（）A.a≠1B.a>1C.a<1D.a≠014、如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCO 的顶点 A，C 分别在 y 轴、x 轴上，以 AB 为弦的⊙M 与 x 轴相切，若点 A 的坐标（0，8），则圆心M 的坐标为（）A.（－4，3）B.（－3，4）C.（－5，5）D.（－4，5）15、下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为________．17、如图，点A在反比例函数上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是4，则k的值是________．18、如图，过点的直线交轴于点，，，曲线过点，将点沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为________．19、若x是实数，且y= + ﹣1，则x+y=________．20、函数y＝中，自变量x的取值范围是________.21、方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为________．22、圆的面积S与半径R之间的关系式是S=πR2，其中自变量是________ ．23、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高长度为________．24、如图，反比例函数y= 的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为________．25、余干二中秋季运动会上，小捷掷出的铅球在场地上砸出一个小坑（如图），其中AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，则该铅球的直径为________cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程组：27、已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：△BEC≌△DAE28、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数．29、利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．30、如图3－5－24，⊙O直径AB为5 cm，弦AC为3 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、B4、A5、D6、B7、D8、B9、D10、C11、D12、A13、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。

2020-2021学年上海市普陀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列二次根式中，最简二次根式是()C. √2aD. √a2+2ab+b2A. √0.5B. √1162.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是()A. x2=1B. x2−2x=1C. x2+2x+2=0D. x2−2x+1=03.已知正比例函数y=3x的图象上有两点M(x1,y1)、N(x2,y2)，如果x1>x2，那么y1与y2的大小关系是()A. y1>y2B. y1=y2C. y1<y2D. 不能确定4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是()ABA. CD=12ABB. CB=12C. ∠A=∠ACDD. ∠ADC=2∠B5.如果下列命题中，有一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题是()A. 邻补角互补B. 直角三角形的两个锐角互余C. 全等三角形的对应角相等D. 等腰三角形是轴对称图形6.如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2+b2=ab+10，那么小正方形的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.计算：√18=______．8.函数f(x)=√2x−4的定义域是______．9.已知函数f(x)=√x−3，那么f(4)=______．x10.方程x2−4x=0的解为______．11.在实数范围内因式分解：2x2−4x−1=______ ．12.已知反比例函数y=k−2的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______．x13.某建筑工程队利用工地的一面墙，用120米长的铁栅栏靠墙围一个长方形的仓库，在与墙平行的一边，要开一扇1米宽的门，仓库的平面图如图所示．设长方形与墙垂直的一条边长为x米，那么被围进仓库的墙面AB的长为______米(用含有x的代数式表示)．14.已知直角坐标平面内的两点分别为A(2,−3)、B(5,6)，那么A、B两点的距离等于______．15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.如果∠CBE=25°，那么∠CDA=______°.16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AC.如果BD=2，那么AB的长等于______．17.如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC=110°，那么∠A=______°.18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______．三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）19.计算：√3(√12−1)+1√3+√2−4√18．20.解方程：x2−12x=4．21.A、B两地相距20千米，甲、乙两人某日中午12点同时从A地出发匀速前往B地，甲的速度是每小时4千米，如图，线段OM反映了乙所行的路程s与所用时间t之间的函数关系，根据提供的信息回答下列问题：(1)乙由A地前往B地所行的路程s与所用时间t之间的函数解析式是______，定义域是______；(2)在图中画出反映甲所行驶的路程s与所用时间t之间的函数图象；(3)下午3点时，甲乙两人相距______千米．22.如图，在△ABC中，(1)用直尺和圆规分别作∠ACB的平分线、线段AB的中垂线、它们的交点M(不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M)；(2)过点M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F.求证：BE=AF．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AB中点，ED//BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．(1)求证：AD⊥BD；(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF=2AD．(k≠24.如图，在平面直角坐标系xOy内，正比例函数y=4x的图象与反比例函数y=kx0)的图象的公共点A的纵坐标为4．(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式；(2)正比例函数y=4x的图象上有一点B，AB=OA(点B不与点O重合)，过点B作直于点C，求△ABC的面积．线BC//y轴交双曲线y=kx25.如图，在△ABC中，AC=2√3，AB=4√3，BC=6，点P为边BC上的一个动点(不与点B、C重合)，点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．(1)求∠B的度数；(2)联结BQ，当∠BQC=90°时，求CQ的长；(3)设BP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、√0.5=√22被开方数中含开得尽方的因数，不符合题意；B、√116=14被开方数中含开得尽方的因数，，不符合题意；C、√2a是最简二次根式，故选项符合题意；D、√a2+2ab+b2=√(a+b)2=|a+b|被开方数中含开得尽方的因式，故选项不符合题意；故选：C．根据最简二次根式中被开方数不含分母；根据被开方数中不含开得尽方的因数；根据最简二次根式的定义进行判断即可．本题考查了最简二次根式：满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式的二次根式叫最简二次根式．2.【答案】D【解析】解：A.x2−1=0，Δ=02−4×(−1)=4>0，方程有两个不相等的实数根；B.x2−2x−1=0，Δ=(−2)2−4×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实数根；C.x2+2x+2=0，Δ=22−4×2=−4<0，方程没有实数根；D.x2−2x+1=0，Δ=(−2)—2−4×1=0，方程有两个相等的实数根．故选：D．先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3.【答案】A【解析】解：∵正比例函数y=−3x中，k=−3<0，∴y随x的增大而增大，∵x1>x2，∴y1>y2．故选：A．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1>x2即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB上的中点，AB，故A选项正确，不符合题意；∴AD=BD=CD=12∴∠A=∠ACD，故C选项正确，不符合题意；∠DCB=∠B，∴∠ADC=∠DCB+∠B=2∠B，故D选项正确，不符合题意；AB，故B选项错误，符合题意．只有当∠A=30°时，CB=12故选：B．根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：A、逆命题为：互补的角是邻补角，错误，是假命题，不符合题意；B、逆命题为：两个锐角互余的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；C、逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；D、逆命题为轴对称图形是等腰三角形，错误，是假命题，不符合题意．故选：B．分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．6.【答案】A【解析】解：设大正方形的边长为c，∵大正方形的面积是18，∴c2=18，∴a2+b2=c2=18，∵a2+b2=ab+10，∴ab+10=18，∴ab=8，∴小正方形的面积=(b−a)2=a2+b2−2ab=18−2×8=2，故选：A．由正方形1性质和勾股定理得a2+b2=18，再由a2+b2=ab+10，得ab+10=18，则ab=8，即可解决问题．本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出ab=8是解题的关键．7.【答案】3√2【解析】解：√18=√9×2=3√2．故答案为3√2．根据算术平方根的性质进行化简，即√a2=|a|．此题考查了算术平方根的性质，即√a2=|a|．8.【答案】x≥2【解析】解：由二次根式的性质得：2x−4≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．根据二次根式的被开方数大于等于0即可得到函数的定义域．本题考查了函数的定义域问题，当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．9.【答案】14【解析】解：∵f(x)=√x−3x ， ∴f(4)=√4−34=14． 故答案为：14．把4直接代入函数式计算即可得到答案．此题考查的是函数值，能够正确代入进行计算是解决此题关键．10.【答案】x 1=0，x 2=4【解析】【分析】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．该题运用了因式分解法．x 2−4x 提取公因式x ，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．【解答】解：x 2−4x =0x(x −4)=0x =0或x −4=0x 1=0，x 2=4故答案是x 1=0，x 2=4．11.【答案】(x −2+√62)(x −2−√62)【解析】【分析】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 令原式为0求出x 的值，即可确定出因式分解的结果．【解答】解：令2x 2−4x −1=0，这里a =2，b =−4，c =−1，∵Δ=16+8=24，∴x =4±2√64=2±√62， 则原式=(x −2+√62)(x −2−√62)，故答案为：(x −2+√62)(x −2−√62) 12.【答案】k >2【解析】解：∵y =k−2x 的图象位于第一、第三象限，∴k −2>0，k >2．故答案为k >2．由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k −2>0，求出k 的取值范围即可． 本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k >0时，图象分别位于第一、三象限；当k <0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k >0时，在同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k <0时，在同一个象限，y 随x 的增大而增大．13.【答案】(121−2x)【解析】解：由题意可知，被围进仓库的墙面AB 的长为：120−2x +1=(121−2x)米． 故答案为：(121−2x)米．用总长减去与墙垂直的墙长的2倍再加上门宽即可．本题考查列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．正确理解题意是解题的关键．14.【答案】3√10【解析】解：∵A(2,−3)、B(5,6)，∴A 、B 两点的距离=√(2−5)2+(−3−6)2=3√10，故答案为：3√10．根据两点间的距离公式计算即可．本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c，那么a2+b2=c2．15.【答案】130【解析】解：∵∠ACB=90°，D是边AB的中点，∴∠ACD+∠BCD=90°，AD=CD=BD，∴∠ACD=∠A，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠BCD+∠CBE=90°，∴∠A=∠ACD=∠CBE=25°，∵∠A+∠ACD+∠CDA=180°，∴∠CDA=180°−25°−25°=130°，故答案为：130．由直角三角形斜边中线的性质可得AD=CD=BD，即可得∠ACD=∠A，由同角的余角相等可得∠A=∠ACD=∠CBE=25°，再根据三角形的内角和定理可求解．本题主要考查直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，求解∠A=∠ACD=∠CBE=25°是解题的关键．16.【答案】2√3【解析】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，∵AD⊥AC，∴∠CAD=90°，∴CD=2AD，∠BAD=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=2，∴CD=4，在Rt△ADC中，AC=√CD2−AD2=√42−22=2√3，∴AB=2√3．故答案为：2√3．由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=30°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC=120°，根据含30°角的直角三角形的性质得到CD=AD，∠BAD=30°，即可得AD=BD=2，CD=4，利用勾股定理求得AC的长，即可求解AB的长．本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17.【答案】55【解析】解：连接AF并延长至点D，∵点F是边AB、AC的中垂线的交点，∴FA=FB，FA=FC，∴∠FAB=∠FBA，∠FAC=∠FCA，∴∠BAD=12∠BFD，∠CAF=12∠CFD，∴∠BAC=12∠BFC=12×110°=55°，故答案为：55．连接AF并延长至点D，根据线段垂直平分线的性质得到FA=FB，FA=FC，根据等腰三角形的性质得到∠FAB=∠FBA，∠FAC=∠FCA，根据三角形的外角性质计算，得到答案．本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18.【答案】12或3√2【解析】解：①当∠BDE=90°时，如图，此时，四边形ACDE是正方形，则CD=DE=AC=6，又△BDE是等腰直角三角形，属于BD=DE=6，所以BC=CD+BD=12；②当∠DBE=90°时，如图，设BD=x，则BE=x，DE=√2x，由折叠可知，CD=DE=√2x，由题意可知，∠BDE=∠DEB=45°，∴∠CDE=135°，∴∠CAE=45°，即△ACF是等腰直角三角形，∴AC=CF=6，∠F=45°，∴BE=BF=x，∴√2x+x+x=6，解得x=6−3√2，∴BC=√2x+x=3√2．故答案为：12或3√2．根据题意可知，需要分两种情况，∠BDE=90°，∠DBE=90°，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．19.【答案】解：原式=√3×12−√3+√3−√2−√2=6−2√2．【解析】先利用二次根式的乘法法则运算，再分母有理化，然后化简后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．20.【答案】解：x2−12x=4，x2−12x−4=0，∵a=1，b=−12，c=−4，∴Δ=(−12)2−4×1×(−4)=160>0，则x=−b±√b2−4ac2a =12±4√102×1=6±2√10，∴x1=6+2√10，x2=6−2√10．【解析】利用求根公式求解即可．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．21.【答案】s=103t0≤t≤62【解析】解：(1)设直线OM的解析式为s=kt，且M(6,20)，∴6k=20，解得k=103；∴s=103t；由图象可知，0≤t≤6；故答案为：s=103t；0≤t≤6；(2)∵甲的速度是每小时4千米，∴甲所用的时间t=204=5(小时)，∴N(5,20)，图象如下图所示：×3=2．(3)下午3点时，甲、乙两人之间的距离为：4×3−103故答案为：2．(1)设直线OM的解析式为s=kt，将M(6,20)代入即可求出k，由图象可直接得出t的范围；(2)根据甲的速度，可得出行驶时间，得到终点时点N的坐标，作出直线即可；(3)用甲行驶的路程减去乙行驶的路程即可．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22.【答案】(1)解：如图，点M即为所求；(2)证明：如图，连接AM，BM，∵点M在AB的垂直平分线上，∴MA=MB，∵MA平分∠BAC，ME⊥AB，MF⊥AC，∴ME=MF，∵∠MEB=∠MFA=90°，在Rt△MEB和Rt△MFA中，{MB=MAME=MF，∴Rt△MEB≌Rt△MFA(HL)，∴BE=AF．【解析】(1)利用尺规作出∠ABC的角平分线，线段AB的中垂线即可；(2)证明Rt△MEB≌Rt△MFC，可得BE=AF．本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．23.【答案】证明：(1)∵E为AB中点，∴BE=AE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE//BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，∴DE=AE，∴∠EAD=∠EDA，∵∠EAD+∠EDA+∠ABD+∠BDE=180°，∴∠ADE+∠BDE=90°，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD；(2)延长AD，BC交于点N，在△ADB和△NDB中，{∠ABD=∠CBDBD=BD∠ADB=∠NDB=90°，∴△ABD≌△NBD(ASA)，∴AD=DN，∴AN=2AD，∵∠ADB=90°=∠ACB，∴∠N+∠DBN=90°=∠DBN+∠BFC，∴∠N=∠BFC，在△ACN和△BCF中，{∠N=∠BFC∠ACN=∠BCF=90°AC=BC，∴△ACN≌△BCF(AAS)，∴BF=AN，∴BF=2AD．【解析】(1)由平行线的性质和角平分线的性质可得BE=AE=DE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ADB=90°，可证AD⊥BD；(2)由“ASA”可证△ABD≌△NBD，可得AD=DN，由“AAS”可证△ACN≌△BCF，可得BF=AN=2AD．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．24.【答案】解：(1)设点A坐标为(x,4)，∵点A(x,4)在函数y=4x的图象上，∴4=4x，解得x=1，∴点A的坐标为(1,4)；∵点A(1,4)在函数y=kx的图象上，∴k=4×1=4，∴反比例函数解析式是y=4x；(2)∵AB=OA，∴A为OB中点，∵A(1,4)，∴B(2,8)．∵BC//y轴，且点C在反比例函数y=4x的图象上，∴C(2,2)，∴BC=8−2=6．过点A作AH⊥BC于H，则AH=1，∴S△ABC=12BC⋅AH=12×6×1=3．【解析】(1)先由点A纵坐标为4，点A在直线y=4x上可确定点A的坐标为(1,4)，然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式；(2)根据中点坐标公式求出点B的坐标为(2,8)，由BC//y轴，且点C在反比例函数y=4x的图象上，得到点C坐标为(2,2)，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两个函数的解析式；也考查了待定系数法求函数图象的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．25.【答案】解：(1)∵AC=2√3，AB=4√3，BC=6，∴AC2+BC2=48，AB2=48，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC=12AB，∴∠B=30°；(2)∵点P关于直线AB的对称点为点Q，∴BD垂直平分PA，∴PB=BQ，∴∠QBD=∠PBD=30°，∴∠PBQ=60°，∵∠BQC=90°，∴∠BCQ+∠PBQ=90°，∴∠BCQ=30°，∴BQ=12BC=3．∴CQ=√BC2−BQ2=3√3；(3)过点Q作QH⊥BC于点H，∵BP=BQ，∠PBQ=60°，∴△BPQ为等边三角形，∵QH⊥BP，BP=x，∴BH=12x，∴CH=6−12x，∴QH=√BQ2−BH2=√32x，∵∠CHQ=90°，CQ=y，∴(6−12x)2+(√32x)2=y2，∴y关于x的函数解析式为y=√x2−6x+36(0<x<6)．【解析】(1)由勾股定理的逆定理可得出∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得出答案；(2)求出∠BCQ=30°，由直角三角形的性质得出BQ=12BC=3.由勾股定理可得出答案；(3)过点Q作QH⊥BC于点H，证明△BPQ为等边三角形，由勾定理得出(6−12x)2+(√32x)2=y2，则可得出答案．本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．第21页，共21页。

2017-2018学年上海市浦东新区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）副标题一、选择题（本大题共4小题，共8.0分）1.如果反比例函数的图象经过点（3，-5），那么这个反比例函数的图象一定经过点（）A. B. C. D.2.在下列四个命题中的逆命题中，是真命题的个数共有（）①相等的角是对顶角；②等腰三角形腰上的高相等；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的三个角分别对应相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（）A. 4、7、9B. 5、12、13C. 6、8、10D. 7、24、254.下列两数都是方程x2-2x=7+4x的根是（）A. 1，7B. 1，C. ，7D. ，二、填空题（本大题共15小题，共30.0分）5.初二（2）班共有38名学生，其中参加读书活动的学生人数为n（1≤n≤38，且n为整数），参与率为p，那么p关于n的函数解析式为______．6.函数y=的定义域为______．7.已知在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=-4x的图象经过点A（-3，m），点B在x轴的负半轴上，过点A作直线AC∥x轴，交∠AOB的平分线OC于点C，那么点C到直线OA的距离等于______．8.的有理化因式为______．9.如果二次三项式x2-8x+m能配成完全平方式，那么m的值是______．10.如果点A的坐标为（3，5），点B的坐标为（0，-4），那么A、B两点的距离等于______．11.如果等边三角形的边长为m厘米，那么这个三角形的面积等于______平方厘米（用含m的代数式表示）．12.如果关于x的方程（m-1）x3-mx2+2=0是一元二次方程，那么此方程的根是______．13.已知正比例函数的图象经过点（-2，6），那么这个函数中的函数值y随自变量x值的增大而______．14.已知在△ABC中，AB=9，AC=10，BC=17，那么边AB上的高等于______．15.在实数范围内分解因式：x2-3y2=______．16.已知直线AB上有一点P，那么在直线AB上，且到点P的距离为3厘米的点共有______个．17.如果方程5x2-4x=m没有实数根，那么m的取值范围是______．18.已知函数f（x）=，那么f（6）=______．19.如图，已知在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，且∠CBD：∠ABD=4：3，那么∠A=______度．三、计算题（本大题共1小题，共15.0分）20.（1）计算：；（2）解不等式：x≤2x+3；（3）解方程：3x2+4x-1=0．四、解答题（本大题共6小题，共45.0分）21.已知：如图，BD=CD，∠B=∠C，求证：AD平分∠BAC．22.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是边AB的中点，连接CM并延长到点E，使得EM=AB，D是边AC上一点，且AD=BC，联结DE，求∠CDE的度数．23.已知：如图，反比例函数y=的图象上的一点A（m，n）在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且AB=AO，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线相交于点C，与反比例函数的图象相交于点D．（1）用含m的代数式表示点D的坐标；（2）求证：CD=3BD；（3）联结AD、OD，试求△ABD的面积与△AOD的面积的比值．24.某企业研制的产品今年第一季度的销售数量为300件，第二季度由于市场等因素，销售数量比第一季度减少了4%，从第三季度起，该企业搞了一系列的促销活动，销售数量又有所提升，第四季度的销售量达到了450件，假设第三季度与第四季度销售数量的增长率相同，求这个增长率．25.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将这个三角形绕点A旋转，使点B落在边BC延长线上的点D处，点C落在点E处．求证：AD垂直平分线段CE．26.某药物研究单位试制成功一种新药，经测试，如果患者按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）之间的关系如图所示，如果每毫升血液中的含药量不小于20微克，那么这种药物才能发挥作用，请根据题意回答下列问题：（1）服药后，大约______分钟后，药物发挥作用．（2）服药后，大约______小时，每毫升血液中含药量最大，最大值是______微克；（3）服药后，药物发挥作用的时间大约有______小时．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵反比例函数的图象经过点（3，-5），∴k=2×（-5）=-15．∵A中3×5=15；B中-3×5=-15；C中-2×（-5）=15；D中0×（-5）=0，∴反比例函数的图象一定经过点（-3，5）．故选：B．由反比例函数的图象经过点（3，-5）结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键．2.【答案】C【解析】解：①相等的角是对顶角，错误；②等腰三角形腰上的高相等，正确；③直角三角形的两个锐角互余，正确；④全等三角形的三个角分别对应相等，正确；故选：C．根据对顶角、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的性质即可一一判断．本题考查命题与定理、对顶角、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．3.【答案】A【解析】解：A、42+72≠92，故不是直角三角形，故此选项符合题意；B、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+62=102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4.【答案】C【解析】解：x2-6x-7=0，（x+1）（x-7）=0，所以x1=-1，x2=7，即方程x2-2x=7+4x的根为-1和7．故选：C．先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程，从而得到方程的解．本题考查了一元二次方程的解：能使一元次方程左右两边相的未知数的是一二次方的解．5.【答案】p=（1≤n≤38，且n为整数）【解析】解：依题意得：p=（1≤n≤38，且n为整数）故答案是：p=（1≤n≤38，且n为整数）．根据概率的定义列出函数关系式即可．考查了函数关系式，列函数关系式的依据：参与率=．6.【答案】x＞-3【解析】解：∵函数y=中，x+3＞0，解得x＞-3，∴函数y=的定义域为x＞-3，故答案为：x＞-3．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．本题主要考查了函数自变量的取值范围，对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．7.【答案】12【解析】解：过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示．∵正比例函数y=-4x的图象经过点A（-3，m），∴m=-4×（-3）=12．∵OC平分∠AOB，∴点C到直线OA的距离等于线段CD的长度．∵AC∥x轴，CD⊥x轴，点A的坐标为（-3，12），∴CD=12．故答案为：12．过点C作CD⊥x轴于点D，利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，根据角平分线的性质可得出点C到直线OA的距离等于线段CD的长度，再根据平行线的性质结合点A的坐标即可求出CD的长度，此题得解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质以及平行线的性质，利用角平分线的性质找出点C到直线OA的距离等于线段CD的长度是解题的关键．8.【答案】【解析】解：二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以，的一个有理化因式是．故答案为．一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此作答．本题考查了有理化因式的定义：两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．一般地，a的有理化因式是；a-b的有理化因式是a+b．9.【答案】16【解析】解：∵二次三项式x2-8x+m能配成完全平方式，∴x2-8x+m=（x-4）2，则m=16．故答案为：16．直接利用完全平方公式计算得出答案．此题主要考查了完全平方公式，正确配方是解题关键．10.【答案】3【解析】解：A、B两点间的距离==3．故答案为3．直接利用两点间的距离公式计算．本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=．11.【答案】【解析】解：因为等边三角形的边长为m厘米，可得等边三角形的高是厘米，所以这个三角形的面积=平方厘米；故答案为：．根据等边三角形的性质和三角形面积公式解答即可．此题考查等边三角形的性质，关键是得出等边三角形的高．12.【答案】【解析】解：由题意得：，∴m=1，原方程变为：-x2+2=0，x=，故答案为：．直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握二次项系数不为零是解题关键．13.【答案】减小【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kx，∵正比例函数的图象经过点（-2，6），∴6=-2k，∴k=-3＜0，∴这个函数中的函数值y随自变量x值的增大而减小．故答案为：减小．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再根据正比例函数的性质即可找出函数值y随自变量x值的增大而减小．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．14.【答案】8【解析】解：作CD⊥AB延长线于D点，设CD=x，AD=y，在直角△ADC中，AC2=x2+y2，在直角△BDC中，BC2=x2+（y+AB）2，解方程得y=6，x=8，即CD=8，∵CD即AB边上的高，∴AB边上的高等于8．故答案为8．作CD⊥AB延长线于D点，根据直角△ADC和直角△BDC中关于CD的计算方程求AD，CD；CD即AB边上的高．本题考查了勾股定理的正确运用，设x、y两个未知数，根据解直角△ADC和直角△BDC求得x、y的值是解题的关键．15.【答案】（x+y）（x-y）【解析】解：原式=（x+y）（x-y）．故答案是：（x+y）（x-y）．直接利用平方差公式分解因式得出即可．此题主要考查了利用公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．16.【答案】2【解析】解：如图所示：，所以在直线AB上，且到点P的距离为3厘米的点共有2个，故答案为：2根据两点间的距离解答即可．此题考查两点间的距离，关键是根据到点P的距离为3厘米的点有两个解答．17.【答案】m＜-【解析】解：∵方程5x2-4x=m没有实数根，∴△=（-4）2-4×5×（-m）＜0，解得：m＜-故答案为：m＜-．根据方程没有实数根得出不等式△=（-4）2-4×5×（-m）＜0，求出不等式的解集即可．本题考查了根的判别式，能根据根的判别式得出关于m的不等式是解此题的关键．18.【答案】【解析】解：把x=6代入f（x）==，故答案为：将x=6代入计算即可．本题主要考查的是求函数值，掌握二次根式的性质是解题的关键．19.【答案】27【解析】解：∵AB的垂直平分线DE，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，设∠CBD=4x，∠ABD=3x，则∠A=3x，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=3x+4x+3x=90°，∴10x=90°，∴x=9°，∴∠A=3x=27°，故答案为：27．根据线段垂直平分线得出AD=BD，推出∠A=∠ABD，设∠CBD=4x，∠ABD=3x，则∠A=3x，根据三角形内角和定理即可求出答案．本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形性质等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．20.【答案】解：（1）原式=2+3-=2+3-（-）=2+3-+=+4；（2）（-2）x≤3，x≤，x≤3（+2）．即x≤3+6；（3）△=42-4×3×（-1）=28，x==，所以x1=，x2=．【解析】（1）先利用因式分解的方法变形a-b，再约分，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；（2）先移项，再把系数化为1得到x≤，然后分母有理化即可；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．也考查了解一元二次方程和一元一次不等式．21.【答案】证明：连接BC，∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB，∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC．【解析】连接BC，利用SSS可得△ABD≌ACD，由全等三角形的性质证明即可．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．22.【答案】解：如图，连接AE，∵∠ACB=90°，AM=BM，∴CM=AB，∵EM=AB，∴CM=EM，在△AME和△BMC中，∵ ，∴△AME≌△BMC（SAS），∴AE=BC，∠EAM=∠B，∵AD=BC，∴AD=AE，∵∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠EAM=90°，即∠DAE=90°，∴∠ADE=45°，∴∠CDE=135°．【解析】连接AE，先证△AME≌△BMC得AE=BC、∠EAM=∠B，再结合AD=BC、∠BAC+∠B=90°可得AD=AE、∠DAE=90°，据此得出∠ADE=45°，从而得出答案．本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．23.【答案】解：（1）如图，∵点A（m，n）在反比例函数y=的图象上，∴n=，∴A（m，），过点A作AH⊥x轴于H，∴H（m，0），∵AB=OA，∴OB=2OH，∴B（2m，0），∵BD⊥x轴于D，∴点D的横坐标为2m，∵点D在反比例函数y=的图象上，∴D（2m，）；（2）设直线AO的解析式为y=kx，∵点A（m，），∴，∴k=，∴直线AO的解析式为y=x，∵点C在直线AO上，且横坐标为2m，∴C（2m，），∴CD=，∵BD=，∴CD=3BD；（3）由（2）知，CD=3BD，∴S△ACD=3S△ABD，∵AB=AO，∴∠AOB=∠ABO，∵∠CBO=90°，∴∠AOB+∠C=90°，∠ABO+∠ABC=90°，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴AC=AO，∴S△AOD=S△ACD，∴S△AOD=3S△ABD，∴△．△【解析】（1）先用m表示点A的坐标，进而利用等腰三角形的性质得出点B的坐标，即可得出结论；（2）先确定出直线OA的解析式，即可得出点C的坐标，求出CD，BD即可得出结论；（3）先判断出S△ACD=3S△ABD，再判断出S△AOD=S△ACD，即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系中几何图形的面积的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出CD=3BD．24.【答案】解：设这个增长率是x，根据题意，得300（1-4%）（1+x）2=450，整理，得（1+x）2=，解得x1=0.25，x2=-2.25（不合题意舍去）．答：这个增长率是25%．【解析】先表示出第二季度的销售数量为300（1-4%）件，再设这个增长率是x，根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），则第四季度的销售量是300（1-4%）（1+x）2件，依此列出方程，解方程即可．此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出第四季度的销售量是300（1-4%）（1+x）2件，然后得出方程．25.【答案】证明：∵△ADE是由△ABC旋转得到，∴AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，∵AD=AB，∴∠ADC=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵AE=AC，∴AD垂直平分线段CE．【解析】根据旋转的性质得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，进而利用等边对等角和垂直平分线的判定证明即可．此题考查旋转的性质，关键是根据旋转得出AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC．26.【答案】20；2；80；6.7【解析】解：（1）由图象可知：服药一个小时时，每毫升血液中含药60微克，所以大约20分钟后，每毫升血液中含药20微克，所以服药后，大约20分钟后，药物发挥作用．故答案为：20；（2）由图象得：服药后，大约2小时，每毫升血液中含药量最大，最大值是80微克；故答案为：2；80；（3）由图象可知：x=7时，y=20，7-=≈6.7（小时）则服药后，药物发挥作用的时间大约有6.7小时．故答案为：6.7．（1）先观察图象得：1小时对应y=60，可知20分时含药为20微克，根据如果每毫升血液中的含药量不小于20微克，那么这种药物才能发挥作用，可得结论；（2）根据图象得出；（3）利用y=20时，对应的x的差可得结论．本题考查了函数的图象的运用，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键，并注意理解本题中“含药量不小于20微克，那么这种药物才能发挥作用”的意义．。

上海市八年级（上）期末数学试卷（附答案与解析）一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y ＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A．B．C．D．3．（2分）方程x2＝4x的解是（）A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝04．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（）A．﹣6B．6C．D．﹣5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米B．米C．4米D．6米6．（2分）已知下列命题中：①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）计算：＝．8．（3分）函数的定义域是．9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝．10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是．11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为度．12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝．13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：．14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为．17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为．18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为．三、计算题（本大题共2题，满分10分）19．（5分）计算：．20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．（1）求反比例函数解析式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C|，是最简二次根式，符合题意；D、＝|y|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．2．（2分）已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y ＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，∴k＜0，∴双曲线在第二、四象限，∴函数y＝kx的图象经过第二、四象限，故选：B．3．（2分）方程x2＝4x的解是（）A．x＝4B．x＝2C．x＝4或x＝0D．x＝0【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x＝0，提取公因式：x（x﹣4）＝0，∴x＝0或x＝4．故选：C．4．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（）A．﹣6B．6C．D．﹣【分析】把（3，﹣2）代入解析式，就可以得到k的值．【解答】解：根据题意，得k＝xy＝﹣2×3＝﹣6．故选：A．5．（2分）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米B．米C．4米D．6米【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D．6．（2分）已知下列命题中：①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【解答】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题；③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题．其中真命题的个数是2个；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．（3分）计算：＝4．【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，故答案为4．8．（3分）函数的定义域是x≥﹣2．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：3x+6≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．9．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3＝．【分析】首先解一元二次方程x2﹣x﹣3＝0，即可直接写出分解的结果．【解答】解：解方程x2﹣x﹣3＝0，得x＝，则：x2﹣x﹣3＝．故答案是：．10．（3分）如果正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是k ＜2．【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y＝kx（k≠0），当k＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．【解答】解：∵正比例函数y＝（k﹣2）x的的图象经过第二、四象限，∴k﹣2＜0，解得，k＜2．故答案是：k＜2．11．（3分）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为400度．【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题．【解答】解：把x＝0.25代入，解得y＝400，所以他的眼睛近视400度．故答案为：400．12．（3分）已知直角坐标平面内点A（1，2）和点B（2，4），则线段AB＝．【分析】利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵点A（1，2），B（2，4），∴AB＝＝．故答案为：．13．（3分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．14．（3分）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）．【解答】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN，∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝1，∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE＝．故答案为：．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，联结AC、BD，取AC和BD的中点M、N，联结MN，则MN的长度为5．【分析】连接MB、MD，利用直角三角形斜边上中线的性质得出△MBD为等腰三角形，再利等腰三角形“三线合一”得出MN⊥BD，BN＝ND＝BD＝12，最后利用勾股定理即可求出MN的长度．【解答】解：如图，连接MB、MD，∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴MB＝AC，MD＝AC，∵AC＝26，∴MB＝MD＝×26＝13，∵N是BD的中点，BD＝24，∴MN⊥BD，BN＝DN＝BD＝×24＝12，∴MN＝＝＝5，故答案为：5．17．（3分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，有若干个正方形如图依次叠放，双曲线经过正方形的一个顶点（A1，A2，A3在反比例函数图象上），以此作图，我们可以建立了一个“凡尔赛阶梯”，那么A2的坐标为（，）．【分析】根据题意求得A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），由图象上点的坐标特征得到k＝m（m+1）＝1，解得m＝，即可求得A2的坐标为（，）．【解答】解：∵反比例函数的解析式为，∴A3所在的正方形的边长为1，∴A3（1，1），设A2所在的正方形的边长为m，则A2（m，m+1），∴m（m+1）＝1，解得m＝（负数舍去），∴A2的坐标为（，），故答案为：（，）．18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为．【分析】延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，可得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中可得（x+x）2+（3﹣x）2＝32，即可解得答案．【解答】解：延长B1D交BC于E，如图：∵B1D⊥BC，∴∠BED＝∠B1EC＝90°，∵∠B＝30°，∴DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，∴B1D＝x，∵BC＝3，∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32，解得x＝0（舍去）或x＝，∴BD＝，故答案为：．三、计算题（本大题共2题，满分10分）19．（5分）计算：．【分析】先进行分母有理化、化简二次根式，再去括号，计算加减即可．【解答】解：原式＝﹣（﹣1）+2＝﹣2﹣+1+2＝2﹣1．20．（5分）解方程：2x（x﹣2）＝x2﹣3．【分析】先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解（x﹣1）（x﹣3）＝0，方程就可化为两个一元一次方程x﹣1＝0或x﹣3＝0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：方程变形为：x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．四、解答题（本大题共5题，21-24每题6分，25题8分，满分32分）21．（6分）已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．【分析】根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，解得：m≤且m≠1，则m的最大整数值为0．22．（6分）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到185.9万元．（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；（2）从2020年到2022年，这三年我校将总共投资多少万元？【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，利用2022年投资额＝2020年投资额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用这三年我校总共投资的金额＝2020年投资额+2020年投资额×（1+年平均增长率）+2022年投资额，即可求出结论．【解答】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为x，依题意得：110（1+x）2＝185.9，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%．（2）110+110×（1+30%）+185.9＝110+143+185.9＝438.9（万元）．答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元23．（6分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，点E是线段BC上一点，且AE⊥DE，AE＝ED，如果BE＝3，AB+BC＝11，求AB的长．【分析】求出∠A＝∠DEC，∠B＝∠C＝90°，根据AAS证△ABE≌△ECD，推出AB＝CE，求出AB+BC＝2AB+BE＝11，把BE＝3代入求出AB即可．【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是点B、C，∴∠B＝∠C＝90°．∴∠A+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∵∠AEB+∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∵在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝CE，∵BC＝BE+CE＝BE+AB，∴AB+BC＝2AB+BE＝11，∵BE＝3，∴AB＝4．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．（1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线上；（2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据三角形的性质可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN．【解答】（1）解：作图正确；（2）证明：连接AN．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°．∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°．∵AN＝BN，∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°．∵∠C＝30°，∴CN＝2AN．∴CN＝2BN．25．（8分）如图，已知一次函数和反比例函数的图象交点是A（4，m）．（1）求反比例函数解析式；（2）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△AOP是等腰三角形，请求出点P的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）若使△AOP是等腰三角形，分OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况讨论分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵A点是一次函数和反比例函数图象的交点，∴m＝×4，解得m＝2，即A（4，2），把A点坐标代入反比例函数得，2＝，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设P点的坐标为（n，0），若使△AOP是等腰三角形，分以下三种情况：①当OA＝OP时，由（1）知，A（4，2），∴n＝＝2，即P（2，0）；②当OA＝AP时，作AH⊥OP于H，∵A（4，2），∴OH＝4，∵OA＝AP，∴OP＝2OH＝2×4＝8，即P（8，0）；③当OP＝AP时，∵A（4，2），∴n＝，即n2＝（4﹣n）2+22，解得n＝，即P（，0），综上，符合条件的P点坐标为（2，0）或（8，0）或（，0）．五、综合题：（本大题只有1题，满分10分）26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上．（1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系．【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE；（2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2；（3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC ＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2．【解答】（1）证明：如图1，∵CA＝CB，∴∠A＝∠B，∵CD＝CE，∴∠CEA＝∠CDB，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，∴AE﹣DE＝BD﹣DE，∴AD＝BE．（2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠CBA＝∠A＝45°，由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD，∵∠DCE＝45°，∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FCE＝∠DCE，∵CE＝CE，∴△FCE≌△DCE（SAS），∴FE＝DE，∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝90°，∴FE2＝BF2+BE2，∵BF＝AD，∴DE2＝AD2+BE2.（3）a2＝b2+2c2，理由如下：如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°，∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2，∵∠BPC＝135°，∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°，∴BG2＝BP2+PG2，∵BG＝AP，∴AP2＝BP2+2PC2，∴a2＝b2+2c2．。