2017_2018学年高中数学第04章圆与方程专题4.2.1直线与圆的位置关系试题 新人教A版 必修2 含答案

高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.2直线、圆的位置关系§4.2.1直线与圆的位置关系(1)【学习目标】理解直线和圆的位置关系的判断方法，能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.【学习重点】直线与圆的位置关系的判断方法的运用.【学习难点】用代数法判断直线与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第126-127页，完成自主学习)1.复习导入：(1)直线的一般式方程为___________________(2)圆的标准方程为___________________,圆心为________,半径为______.(3)圆的一般方程为__________________,圆心为________,半径为_____________.2.完成下列问题：(1)平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆_____三种.(2)直线与圆的三种位置关系的含义是:(3)判断直线与圆的位置关系的方法方法一:就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二:可以依据______________与___________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）二、合作探究例1 :已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.例2:已知圆的方程是222x y +=,直线y x b =+,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点、一个公共点，没有公共点.三、达标检测1.已知直线l 的斜率为1,-且与圆2223x y +=只有一个公共点,求直线l 的方程.2.判断直线3420x y ++=与圆2220x y x +-=的位置关系.四、学习小结代数法判断直线与圆的位置关系的步骤：1.____________________________________________;2.____________________________________________;3.____________________________________________;4.____________________________________________;高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.1直线与圆的位置关系(2)【学习目标】掌握直线与圆的三种位置关系的判定方法.【学习重点】已知直线和圆的位置关系，求直线或圆的方程.【学习难点】圆的切线方程的求法.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第126-127页，完成自主学习)1.知识回顾：（1）平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆_____三种.(2)判断直线l与圆的位置关系方法一,就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二,可以依据_____________与___________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）2.自我认知：(1)过圆上一点可作几条切线？(2)过圆外一点可作几条切线？(3)过圆内一点可作几条切线？二、合作探究例1：过点P(-1,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.例2：过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.例3：求圆C：x2+(y-1)2=9与直线l:x-y+1=0.的交点坐标推广：已知圆的方程为22(2)1x y ++=,(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值.三、达标检测1.分别过点12341(,(1,0),(2,0),(1,2)22P P P P ----向圆221x y +=引切线,求它们各自切线的方程.２.已知直线43350x y +-=与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程.３.求过点(1,2)P -且与圆22:5C x y +=相切的直线方程.４.求斜率为3，且与圆2210x y +=相切的直线方程.四、学习小结1.求圆的切线方程,一般有三种方法:一是设切点,利用切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d =r ),求出k 的值.2、把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.2.1直线与圆的位置关系(3)【学习目标】掌握直线与圆的三种位置关系的判定方法.【学习重点】根据直线和圆的位置关系，解决相关问题.【学习难点】圆的弦长的求法.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第127-128页，完成自主学习)知识回顾 复习导入：1.平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆_____、直线与圆_____、直线与圆____ 三种.２.判断直线l 与圆的位置关系方法一：就是看由它们的方程组成的方程组_______________；（代数法）方法二：可以依据______________与____________的关系判断直线与圆的位置关系.（几何法）二、合作探究例1:求直线360x y --=被圆22240x y x y +--=截得的弦长.例2:如果一条直线经过点3(3,)2M --且被圆2225x y +=所得的弦长为8，求这条直线的方程.例３:已知圆2246120x y x y +-+-=内的一点(4,2)A -，求以A 为中点的弦所在的直线方程.三、达标检测1.求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.２.已知直线l 的斜率为k ,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.３.已知圆C ：x 2+(y -1)2=5,直线l :mx -y +1-m =0.求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;４.求直线:3x -y -6=0被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长四、学习小结圆的弦长公式1.___________________________________________________;2.___________________________________________________;高二数学必修2 第四章圆与方程§4.2.2圆与圆的位置关系【学习目标】掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.【学习重点】求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.【学习难点】判断圆和圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第129-130页，完成自主学习)知识回顾：(1)平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是______、_______、_______、______、______(2)判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法一（几何法）：第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.方法二（代数法）：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆________；若方程组有两组相同的实数解,则两圆_______；若无实数解,两圆_______.二、合作探究例1：已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.例2：已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.三、达标检测1.判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.2.求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.四、学习小结1.判断两圆的位置关系,一般情况下先化为标准方程,利用______判断较为准确直观.2.两个圆方程联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的______所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.。

4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即 时 自 测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析 由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一 与两圆相切有关的问题【例1】 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 （a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二 与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一 当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？ 提示 两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二 如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52， 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25， 即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三 直线与圆的方程的应用【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基 础 过 关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析 圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解 设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能 力 提 升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2， 解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探 究 创 新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明 圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10， 圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解 联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解 设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。

4.2.3 直线与圆的方程的应用疱丁巧解牛知识·巧学一、解决与圆相关的实际问题运用圆的相关知识可以解决实际生活中的有关问题，解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题;(2)引进数学符号或圆的方程，建立数学模型;(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果;(4)转译成具体问题作出解答.方法点拨 应用直线与圆的方程解决实际问题时，要注意建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决，一般情况下需要建立适当的直角坐标系，应用方程的思想来处理.二、坐标法用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论.这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点提示 应用几何法，即坐标法解决平面几何问题时，先建系，把相应的几何元素用坐标或方程来表示，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决，最终得到几何问题的结论，要注意这一方法的三个步骤.问题·探究问题1 怎样判断直线与圆的位置关系较好？在直线与圆相离的情况下，如何求圆上的点到直线距离的最大值或最小值？探究:在判断直线与圆的位置关系时，虽代数法可用，但不如用几何法简单、直观，即研究圆心到直线距离与半径大小关系.在直线与圆相离的情况下，圆心距ｄ＞ｒ，根据图形分析可知：圆上点到直线距离的最小值是d-r ，最大值是d+r.问题2 有人说，研究两圆位置关系就是将两圆方程联立，整理成关于x 的方程，来判断其方程解的个数，若方程有一解，则两圆相切，这种说法正确吗？试举例说明.探究:这种说法不正确.如圆C 1:x 2+y 2=4，圆C 2:(x-2)2+y 2=4.将两圆方程联立，消去y ，整理成关于x 的方程为x=1，此方程只有一解x=1，但由图分析：两圆相交，有两个公共点，所以说，在判断两圆位置关系时，最好不要用方程求解，而是利用圆心距与两圆关系来判断. 典题·热题例1 已知直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，求交点A 、B 的坐标及｜AB ｜长.思路解析：由题意，可以先利用题中的对称关系，求出k 值，然后再求交点坐标，代入两点间距离公式求出弦长｜AB ｜.解：因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，即点(x 1,y 1)与点(y 1,x 1)均在直线和圆上，所以k=-1符合圆的条件.解方程组⎩⎨⎧=++=0,4-y -x -y x 1,-x y 22得曲线的两个交点A(2，-1)，B(-1,2).所以|AB|=23)21()12(22=--++.辨析比较 本题若不求k 值，由方程组联合求解交点A 、B ，在A 、B 的坐标表示中含有k ，再反过来由对称关系确定k 值，也可以求出，但计算较繁,不如上法简捷.例2 如图4-2-3，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？图4-2-3 图4-2-4思路解析：本题考查应用坐标法研究平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当坐标系，利用圆的方程来解决.解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系，设所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则A(6，-2).设圆的方程为x 2+(y+r)2=r 2，将A(6，-2)代入方程得r=10，∴圆的方程为x 2+(y+10)2=100，当水面下降1米后，可设点A′(x 0，-3)(x 0>0).如图4-2-4，将A′(x 0，-3)代入圆方程，求得x 0=51.∴水面下降1米，水面宽为2x 0=512≈14.28(米).方法归纳 此为一道数学的实际应用问题，一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，尽可能地减少未知数的个数.把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解. 例3 已知直线l ：y=k(22+x )与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△ABO 的面积为S.(1)试将S 表示成k 的函数S(k)，并求其定义域；(2)求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.思路解析：(1)求△ABO 的面积可用S=21×底×高，底为｜AB ｜，高为圆心到直线距离；(2)可利用△ABO 的几何性质解决.解：(1)由y=k(22+x )得kx-y+k 22=0，圆心到l 距离d=21||22k k +，|AB|=22222114184242k k k k d +-⨯=+-=-，∴S △ABO =21|AB|·d=11||2422+-•k k k ，又d ＜2，即21||222<+kk 且k≠0， 得k∈(-1,0)∪(0,1)，∴S(k)=2221)1(24k k k +-,k∈(-1,0)∪(0,1). (2)S=21|OA|·|OB|·sin∠AOB=2sin∠AOB, 所以当∠AOB=90°时,S max =2.此时圆心到直线的距离d=2，21||222=+k k ，解之,可得k=±33. 误区警示 本题要注意在做第(2)问时，如果直接应用第(1)问的结果，求此函数的最大值，则运算会非常复杂.。

4.2.3 直线与圆的方程的应用疱丁巧解牛知识·巧学一、解决与圆相关的实际问题运用圆的相关知识可以解决实际生活中的有关问题，解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题;(2)引进数学符号或圆的方程，建立数学模型;(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果;(4)转译成具体问题作出解答.方法点拨 应用直线与圆的方程解决实际问题时，要注意建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决，一般情况下需要建立适当的直角坐标系，应用方程的思想来处理.二、坐标法用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论.这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点提示 应用几何法，即坐标法解决平面几何问题时，先建系，把相应的几何元素用坐标或方程来表示，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决，最终得到几何问题的结论，要注意这一方法的三个步骤.问题·探究问题1 怎样判断直线与圆的位置关系较好？在直线与圆相离的情况下，如何求圆上的点到直线距离的最大值或最小值？探究:在判断直线与圆的位置关系时，虽代数法可用，但不如用几何法简单、直观，即研究圆心到直线距离与半径大小关系.在直线与圆相离的情况下，圆心距ｄ＞ｒ，根据图形分析可知：圆上点到直线距离的最小值是d-r ，最大值是d+r.问题2 有人说，研究两圆位置关系就是将两圆方程联立，整理成关于x 的方程，来判断其方程解的个数，若方程有一解，则两圆相切，这种说法正确吗？试举例说明.探究:这种说法不正确.如圆C 1:x 2+y 2=4，圆C 2:(x-2)2+y 2=4.将两圆方程联立，消去y ，整理成关于x 的方程为x=1，此方程只有一解x=1，但由图分析：两圆相交，有两个公共点，所以说，在判断两圆位置关系时，最好不要用方程求解，而是利用圆心距与两圆关系来判断. 典题·热题例1 已知直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，求交点A 、B 的坐标及｜AB ｜长.思路解析：由题意，可以先利用题中的对称关系，求出k 值，然后再求交点坐标，代入两点间距离公式求出弦长｜AB ｜.解：因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，即点(x 1,y 1)与点(y 1,x 1)均在直线和圆上，所以k=-1符合圆的条件.解方程组⎩⎨⎧=++=0,4-y -x -y x 1,-x y 22得曲线的两个交点A(2，-1)，B(-1,2).所以|AB|=23)21()12(22=--++.辨析比较 本题若不求k 值，由方程组联合求解交点A 、B ，在A 、B 的坐标表示中含有k ，再反过来由对称关系确定k 值，也可以求出，但计算较繁,不如上法简捷.例2 如图4-2-3，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？图4-2-3 图4-2-4思路解析：本题考查应用坐标法研究平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当坐标系，利用圆的方程来解决.解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系，设所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则A(6，-2).设圆的方程为x 2+(y+r)2=r 2，将A(6，-2)代入方程得r=10，∴圆的方程为x 2+(y+10)2=100，当水面下降1米后，可设点A′(x 0，-3)(x 0>0).如图4-2-4，将A′(x 0，-3)代入圆方程，求得x 0=51.∴水面下降1米，水面宽为2x 0=512≈14.28(米).方法归纳 此为一道数学的实际应用问题，一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，尽可能地减少未知数的个数.把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解. 例3 已知直线l ：y=k(22+x )与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△ABO 的面积为S.(1)试将S 表示成k 的函数S(k)，并求其定义域；(2)求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.思路解析：(1)求△ABO 的面积可用S=21×底×高，底为｜AB ｜，高为圆心到直线距离；(2)可利用△ABO 的几何性质解决.解：(1)由y=k(22+x )得kx-y+k 22=0，圆心到l 距离d=21||22k k +，|AB|=22222114184242k k k k d +-⨯=+-=-，∴S △ABO =21|AB|·d=11||2422+-•k k k ，又d ＜2，即21||222<+kk 且k≠0， 得k∈(-1,0)∪(0,1)，∴S(k)=2221)1(24k k k +-,k∈(-1,0)∪(0,1). (2)S=21|OA|·|OB|·sin∠AOB=2sin∠AOB, 所以当∠AOB=90°时,S max =2.此时圆心到直线的距离d=2，21||222=+k k ，解之,可得k=±33. 误区警示 本题要注意在做第(2)问时，如果直接应用第(1)问的结果，求此函数的最大值，则运算会非常复杂.。

2018-2019学年高中数学第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第四章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4.2。

1 直线与圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1．直线3x－4y＋6＝0与圆（x－2)2＋（y－3）2＝4的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心解析:圆心(2,3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交且过圆心．答案:C2．若圆C的半径长为1，圆心在第一象限,且与直线4x－3y＝0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋（y＋1）2＝1C．（x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．（x－3）2＋(y－1） 2＝1解析：设圆心坐标为（a,b）,(a〉0，b〉0），由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝错误!＝r＝1,化简得|4a－3b｜＝5①，又圆与x轴相切,可得｜b｜＝r＝1，解得b ＝1或b＝－1（舍去)，把b＝1代入①得：4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－错误! (舍去），所以圆心坐标为(2，1），则圆的标准方程为:(x－2)2＋(y－1）2＝1,故选A。

第二课时 直线与圆的位置关系(习题课)1．直线与圆的位置关系有哪几种？ 略2．如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？ 略3．如何求过某点的圆的切线方程？ 略4．如何求圆的弦长？ 略[例1] 自点P 在直线与圆x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0相切于点Q .求光线l 所在直线方程．[解] 如图，作圆x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0关于x 轴的对称圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0，由几何光学原理，知直线l 与圆x 2＋y 2－8x ＋6y＋21＝0相切．由于l 的斜率必存在，故可设直线l ：y －7＝k (x ＋6)，即kx －y ＋6k ＋7＝0.由圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l 的距离等于半径，知|4k ＋3＋6k ＋7|k 2＋1＝10|k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34或k ＝－43，故光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －10＝0或4x ＋3y ＋3＝0. [类题通法]过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法： (1)设切线斜率，用判别式法；(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长； (3)设切点(x 0，y 0)，用切线公式法． [活学活用]已知圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1.求： (1)过A (3,4)的圆C 的切线方程；(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C 的切线方程．解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A (3,4)的直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由|2k －1＋4－3k |1＋k2＝1，得k ＝43. 所以切线方程为y －4＝43(x －3)，即4x －3y ＝0.当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，也符合题意． 故所求直线方程为4x －3y ＝0或x ＝3.(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x a ＋y a＝1或y ＝kx ，于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得|3－a |2＝1或|2k －1|1＋k2＝1. 解得a ＝3±2，k ＝0或k ＝43.故所求切线方程为x ＋y ＝3±2或y ＝0或y ＝43x .[例2] 求m 的取值范围．[解] ∵l ：y ＝－33x ＋m ，圆x 2＋y 2＝1， ∴l 可变形为3x ＋3y －3m ＝0， 圆的圆心为(0,0)，半径长r ＝1.当直线和该圆相切时，应满足d ＝|－3m |3＋9＝1，解得m ＝±233.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l 2：y ＝－33x ＋233，l 3：y ＝－33x －233. 过原点作直线l 0：y ＝－33x ，m 0：y ＝－x .∵直线l 的斜率k ＝－33，直线AB 的斜率k ＝－1， ∴只有当直线l 在移动到过A (0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l 1：y ＝－33x ＋1.要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l 只有在直线l 1和直线l 2之间运动才可，此时相应的m ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，233.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，233.[类题通法]解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，利用数形结合的方法，可以很容易得出答案．[活学活用]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l ：12x －5y ＋c ＝0(其中c 为常数)．下列有关直线l 与圆O 的命题：①当c ＝0时，圆O 上有四个不同的点到直线l 的距离为1； ②若圆O 上有四个不同的点到直线l 的距离为1，则－13＜c ＜13； ③若圆O 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1，则c ＝13； ④若圆O 上恰有两个不同的点到直线l 的距离为1，则13＜c ＜39； ⑤当c ＝±39时，圆O 上只有一个点到直线l 的距离为1. 其中正确命题的序号是________． 答案：①②⑤[例3] 已知圆Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0消去y ，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝100－m －＞0， ①x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.又OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∴x 1·x 2＋12(3－x 1)·12(3－x 2)＝0，整理得5x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝0， ∴5×4m －275－3×(－2)＋9＝0.解得m ＝3满足① ∴实数m 的值为3. [类题通法]此题设出P ，Q 两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握．[活学活用]自原点O 作圆(x －1)2＋y 2＝1的不重合两弦OA ，OB ，若|OA |·|OB |＝k (定值)，证明不论A ，B 两点位置怎样，直线AB 恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．解：设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则|OA |·|OB |＝x 21＋y 21·x 22＋y 22 ＝x 21＋[1－x 1－2]·x 22＋[1－x 2－2]＝4x 1x 2＝k . ∴x 1x 2＝k 24.设直线AB 的方程为y ＝mx ＋b ， 代入已知圆的方程并整理，得 (1＋m 2)x 2＋2(mb －1)x ＋b 2＝0， 由根与系数的关系，得x 1x 2＝b 21＋m2.∴b 21＋m2＝k 24. ∵原点O 到直线mx －y ＋b ＝0的距离为|b |1＋m2，∴所求定圆的半径r 满足r 2＝b 21＋m2＝k 24(定值)． ∴直线AB 恒切于定圆x 2＋y 2＝k 24.4.利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题[典例] 设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上，求x －2＋y 2的最值．[解]x －2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点的距离是－2＋－2＝5，圆的半径是1，所以x －2＋y 2的最小值是5－1，最大值是5＋1.[多维探究] 1．化为求斜率问题 求y ＋2x ＋1的最小值． 解：法一：令y ＋2x ＋1＝t ， 则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝t x ＋，x 2＋y －2＝1一定有解．消去y ，整理得(1＋t 2)x 2＋2(t 2－3t )x ＋(t2－6t ＋8)＝0有解．所以Δ＝4(t 2－3t )2－4(1＋t 2)(t 2－6t ＋8)≥0， 即6t －8≥0，解得t ≥43.故y ＋2x ＋1的最小值是43. 法二：令y ＋2x ＋1＝k ， 则k 表示圆上任一点与点(－1，－2)连线的斜率， ∴kx －y ＋k －2＝0， 由|0－1＋k －2|k 2＋1≤1，得k ≥43.∴y ＋2x ＋1的最小值为43.2．化为求圆心到直线距离问题求直线x －y －2＝0上的点到圆的距离的最值．解：圆心为(0,1)，到直线x －y －2＝0的距离为|－1－2|2＝322，因此直线上的点和圆上的点的最大距离为322＋1，最小距离为322－1.3．化为求圆心到直线距离问题若圆上有且只有四个点到直线3x －4y ＋C ＝0的距离为12，求C 的取值范围．解：由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于12即可，则|－4＋C |32＋42＜12， 解得32＜C ＜132.所以C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，132.[方法感悟]解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义： (1)k ＝y －bx －a表示圆上的点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于x 的一元二次方程，利用Δ≥0求k 的最值；也可用圆心到直线的距离d ≤r ，求k 的最值．(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为d ＋r ，最小值为d －r .[随堂即时演练]1．直线x ＋3y ＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心 答案：A2．若直线y ＝x ＋t 被圆x 2＋y 2＝8截得的弦长大于等于423，则t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－823，823B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，823C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫823，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－823，823答案：D3．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是________． 答案： 34．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案：435．已知以点P 为圆心的圆过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程． 答案：(1)x ＋y －3＝0(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40[课时达标检测]一、选择题1．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 的值为( ) A ．0或2 B ．0或4 C ．2 D ．4答案：C2．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5 D ．5答案：B3．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A ．k ＝12，b ＝－4B ．k ＝－12，b ＝4C ．k ＝12，b ＝4D ．k ＝－12，b ＝－4答案：A4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 答案：B5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案：A 二、填空题6．(重庆高考)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．答案：0或67．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是____________．答案：3－ 28．已知圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为________． 答案：14＋6 5 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)设l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求l 的倾斜角； (3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程．解：(1)证明：由已知直线l ：y －1＝m (x －1)，知直线l 恒过定点P (1,1)． ∵12＝1＜5，∴P 点在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝5，mx －y ＋1－m ＝0，消去y 得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，x 1，x 2是一元二次方程的两个实根，∵|AB |＝1＋m 2|x 1－x 2|，∴17＝1＋m 2·16m 2＋201＋m2，∴m 2＝3，m ＝±3，∴l 的倾斜角为π3或2π3.(3)设M (x ，y )，∵C (0,1)，P (1,1)，当M 与P 不重合时， |CM |2＋|PM |2＝|CP |2，∴x 2＋(y －1)2＋(x －1)2＋(y －1)2＝1.整理得轨迹方程为x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0(x ≠1)． 当M 与P 重合时，M (1,1)满足上式， 故M 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0.10．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由⊙O 外一点P (a ，b )向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ |＝|PA |.(1)求实数a ，b 间满足的等量关系； (2)求线段PQ 的最小值． 解：(1)连接OP ，∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ ，由勾股定理有|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2. 又∵|PQ |＝|PA |，∴|PQ |2＝|PA |2， 即a 2＋b 2－1＝(a －2)2＋(b －1)2， 整理，得2a ＋b －3＝0.(2)由2a ＋b －3＝0得b ＝－2a ＋3， ∴|PQ |＝a 2＋b 2－1＝a 2＋－2a ＋2－1＝5a 2－12a ＋8＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫a －652＋45， ∴当a ＝65时，|PQ |min ＝255，即线段PQ 的最小值为255.。