集合与函数复习11.13

高考数学集合和函数知识点1. 集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。

集合的元素可以是任意事物，比如数字、字母、图形等等。

集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。

常见的集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R等等。

集合之间可以进行运算，包括并集、交集、差集等等。

2. 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方式表示，比如集合A={1, 2, 3}；也可以通过描述元素的特征来表示，比如集合B={x | x是偶数}。

3. 集合的运算3.1 并集并集是指两个集合中所有的元素的总和。

表示为A∪B，其中A和B是两个集合。

并集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中的所有元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

3.2 交集交集是指两个集合中共有的元素组成的集合。

表示为A∩B，其中A和B是两个集合。

交集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中共有的元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集为A∩B={3}。

3.3 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的集合。

表示为A-B，其中A和B是两个集合。

差集的结果是一个新的集合，其中包含了A中去除掉B 中的元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的差集为A-B={1, 2}。

3.4 补集补集是指在某个全集中，不属于某个集合的元素所组成的集合。

表示为A的补集，其中A是一个集合。

补集的结果是一个新的集合，其中包含了全集中不属于A的元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}，它的补集为A的补集={x | x∈R, x≠1, x≠2, x≠3}。

4. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数由定义域、值域和对应关系组成。

集合与函数概念知识点集合与函数是高中数学中的重要概念，在数学的各个领域中起着关键的作用。

集合是数学中最基础的概念之一，它是由不同元素组成的一种事物的整体。

而函数则是集合之间的一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的映射关系。

本文将从集合和函数的定义、性质和应用等方面来探讨这两个重要的数学概念。

首先，我们先来了解集合的概念。

集合是由一些确定的对象组成，这些对象称为集合的元素。

举个简单的例子，{1, 2, 3}就是一个集合，其中的1、2、3就是集合的元素。

在集合中，元素的顺序是无关紧要的，而且一个元素在集合中只会出现一次。

集合可以用不同的方式来表示，比如列举法、描述法和图示法等。

集合的基本运算包括交集、并集、补集和差集等，这些运算在解决实际问题时起到了重要的作用。

其次，我们来介绍函数的概念。

函数是集合之间的一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

函数可以用各种方式表示，比如用公式、图像、表格和文字描述等。

函数有很多重要的性质，比如一一对应、单调性和可逆性等。

其中，一一对应是指一个输入对应一个输出，输出不会重复；单调性则描述了函数的增减趋势；可逆性则表示函数的输入和输出之间存在着逆关系。

函数在数学中的应用非常广泛，如在几何学中用来描述图形的变换、在微积分中用来描述曲线的变化、在统计学中用来表示概率分布等。

进一步探讨，集合和函数之间存在着密切的关系。

事实上，函数可以看作是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的一种特殊关系。

函数可以用集合来表示，其中输入的集合被称为定义域，输出的集合被称为值域。

函数的图像可以用集合的图示法来表示，其中每个点代表了函数中的一个元素对。

函数的特性可以通过集合的运算来研究，比如函数的复合、函数的反函数和函数的性质等。

通过研究函数与集合之间的关系，我们可以更好地理解函数的本质和特点。

最后，我们来谈一谈集合和函数在现实生活中的应用。

集合的应用非常广泛，比如在统计学中用来表示样本空间、在计算机科学中用来表示数据集、在金融学中用来表示投资组合等。

集合与函数概念知识点归纳
一、集合
1、定义：集合是一种特殊的数学概念，由一组无序的、相互独立的、具有相同特征的对象构成的。

2、术语：元素是集合中的每一个成员，例如：集合{1,2,3}中1,2,3
都是它的元素。

一个集合的元素称为它的子集，可以用一对大括号表示：{x,y,z}。

3、集合的关系：
（1）子集：如果一个集合包含另一个集合中的全部元素，称前者是
后者的子集。

（2）真子集：如果一个集合中包含另一个集合中的其中一元素，称
前者是后者的真子集。

（3）并集：并集是指两个集合中元素的总和，称为两个集合的并集。

（4）交集：交集是指两个集合中都包含的元素，称为两个集合的交集。

（5）补集：补集是指一个集合之外的其他元素，称为另一个集合的
补集。

4、集合的操作：
（1）加法：将元素加入到一些集合中，使得其包含的元素增加。

（2）减法：从一些集合中删除元素，使其包含的元素减少。

（3）求幂：将一些集合中的元素以其中一种方式考虑，得到一个新
的集合。

（4）合并操作：将两个集合中的元素合并成一个集合。

二、函数
1、定义：函数是一种特殊的数学概念，它表示两个变量之间的关系，当给定一个输入时，它可以将输入映射到一个输出。

2、术语：函数由函数表达式组成。

集合与函数基本概念例题和知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中一个基础的概念，它是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合通常用大写字母表示，比如 A、B、C 等。

集合中的元素用小写字母表示，如果元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。

集合有三种常见的表示方法：列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是通过描述元素的特征来表示集合，比如集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

图示法包括维恩图，能直观地表示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B；如果集合A 是集合 B 的子集，且集合 B 中存在元素不属于集合 A，那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么集合 A 和集合 B 相等，记作 A ＝ B。

例题 1已知集合 A ＝｛1, 2, 3}，集合 B ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，判断集合 A 与集合 B 的关系。

解：因为集合 A 中的元素 1、2、3 都属于集合 B，而集合 B 中还有元素 4、5 不属于集合 A，所以集合 A 是集合 B 的真子集，即 A ⊂ B。

二、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，表示两个变量之间的一种对应关系。

设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

记作 y ＝f(x)，x ∈ A。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x) ｜ x ∈ A}叫做函数的值域。

数学集合与函数知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是指具有确定的特征和个数、可以确定归属关系的一组事物的总和。

集合中的元素可以是数字、字母、符号、实际事物或抽象概念等。

1.2 集合的表示方法集合可以用两种方式表示：列举法和描述法。

列举法是将集合的元素逐个列举出来，用大括号{}括起来表示；描述法是用适当的条件来表示集合的元素（x满足某个条件），一般用符号{}或者条件表达式表示。

1.3 集合的元素关系集合中的元素之间可以存在包含关系、相等关系和互不相交关系。

1.4 集合的运算常见的集合运算有并集、交集、差集、补集、直积等。

1.5 集合的基本性质集合的基本性质包括空集的唯一性、互补律、结合律、分配律、对称律等。

二、集合的性质和应用2.1 集合的性质集合的性质包括有限集合和无限集合、有穷集合和无穷集合、空集合和非空集合等。

2.2 集合的应用集合在数学和其他学科中都有很多应用，如概率论、图论、数理逻辑、离散数学等。

三、函数的基本概念3.1 函数的定义函数是一个元素集合到另一个元素集合的映射关系。

通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

3.2 函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的对应关系在平面直角坐标系中的表示，常用图形表示。

3.3 函数的特性函数具有单值性、有限性、相等性等特性，其中单值性是指每个自变量在函数中对应一个确定的因变量。

3.4 函数的表示方法函数可以用解析式、图象或者映射表示。

3.5 函数的分类函数可以按照定义域、值域、解析式的形式来分类，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

四、函数的性质和应用4.1 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。

4.2 函数的应用函数在数学和其他学科中有很多应用，可以用来描述现实生活中的变化规律，如物理学中的运动规律、经济学中的需求函数、生物学中的生长规律等。

五、数学集合与函数的综合应用5.1 集合与函数的关系集合与函数是数学中基本的概念，它们之间有着密切的关系。

集合与函数概念知识点1. 集合的概念1.1 集合的定义集合是由一些明确的、互不相同的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

1.2 集合的表示集合通常用大写字母表示，如 A, B, C 等。

集合中的元素用小写字母表示，如 a, b, c 等。

集合可以用大括号表示，例如 A = {a, b, c}。

2. 集合的分类2.1 有限集元素数量有限的集合称为有限集。

2.2 无限集元素数量无限的集合称为无限集。

2.3 空集不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

3. 集合间的关系3.1 子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，则 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。

3.2 真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 A 和 B 不相等，则 A 是 B的真子集，记作 A ⊂ B。

3.3 并集集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合称为 A 和 B 的并集，记作A ∪ B。

3.4 交集集合 A 和集合 B 的公共元素组成的集合称为 A 和 B 的交集，记作A ∩ B。

3.5 差集集合 A 中不包含集合 B 元素的部分称为 A 和 B 的差集，记作 A - B。

4. 函数的概念4.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素映射到另一个集合（值域）中的唯一元素。

4.2 函数的表示函数通常用 f, g, h 等表示，元素 x 映射到元素 y 可以表示为y = f(x)。

5. 函数的分类5.1 一元函数定义域中只有一个变量的函数称为一元函数。

5.2 二元函数定义域中有两个变量的函数称为二元函数。

5.3 多元函数定义域中有多个变量的函数称为多元函数。

6. 函数的性质6.1 单射如果函数f: A → B 中，A 中的每个元素都有唯一的像，并且 B中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是单射。

6.2 满射如果函数f: A → B 中，B 中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是满射。

集合与函数专题复习攻略一、要点回顾1、知识梳理（1）集合：集合的表示方法主要有列举法、描述法和图示法，在探讨与集合有关问题时要特别注意其元素是否具有确定性、互异性和无序性。

集合与集合的关系包括相等关系、子集关系、真子集关系，要注意空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。

集合的运算主要有交、并、补。

（2）函数：①函数是一种由非空数集到非空数集按一定对应关系所构成的映射。

其三要素是定义域、对应关系和值域，判断一个函数是否为同一函数就看其三要素是否一样。

②函数的表示方法有列表法、图像法和解析法，三种方法各有优缺点，列表法和图像法都比较直观，而解析法则可以简明、全面概括变量间的关系，是最常用的一种表示方法。

③函数的基本性质主要包括单调性和奇偶性。

对于单调性的判断主要根据定义和图像，也可以直接利用一些常见的函数如一次函数、二次函数及反比例函数的单调性作出判断，奇偶性的判断应先考虑定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系得出结论。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，利用这一点可以方便作出画像。

④我们学的函数主要包括一次函数、二次函数、幂函数、指数函数与对数函数，它们都是基本初等函数。

一次函数在R上都是递增或递减的、二次函数以对称轴为分界线两边单调性相反、幂函数当时，图像在第一象限是递增的、而指数函数与对数函数当底数时，都在定义域内递增，时在定义域内递减。

在比较大小及判断单调性时常要分两种情况讨论，而对于对数函数来说，其真数大于零是最容易忽略的地方。

⑤函数的图像与轴的交点横坐标称为函数的零点，该零点其实也就是方程的根，所以零点是一个数而不是一个点。

对于一个图像在区间上上连续的函数，如果，则在区间内至少有一零点，它只能作存在性的判断，其个数还要结合函数图像的单调性来确定。

该方法反过来是不一定正确的，即若成立，不能推出任何结论。

对于方程的近似解或零点据区间范围，我们常用二分法，即先找一零点所在区间，再每次取区间的中点，将区间一分为二，再经过比较两端点函数值是否符号相反，不断进行下去，值到找到一个符合要求的小区间的方法，其原理在实际生活中是经常用到的。

必修1 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B {|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B {|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且（1）()UA A=∅（2）()UA A U=（3）()()()U U UA B A B=（4）()()()U U UA B A B=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<< ||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b acx a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(]a-∞-、[,)a+∞上为增函数，分别在[,0)a-、(0,]a上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；（2）存在x I∈，使得()f x M=．那么，我们称M是函数()f x的最大值，记作max()f x M=．②一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x m≥；（2）存在x I∈，使得()f x m=．那么，我们称m是函数()f x的最小值，记作max()f x m=．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数()f x为奇函数，且在0x=处有定义，则(0)0f=．yxo③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第一章 集合与函数概念第一讲 集合★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素 [解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

第四、五讲：集合与函数一、集合有关概念1、集合的含义2、集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3、集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4） Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集 : 含有有限个元素的集合(2) 无限集 : 含有无限个元素的集合(3) 空集 : 不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作AB(或BA)③如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n 个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作AB（读作‘A 交B’），即AB=｛x|x A ，且x B ｝． 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：AB（读作‘A 并B’），即AB ={x|xA ，或x B})．设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集） 记作C U A ，即 C U A=A A=A A Φ=Φ AB=B AA B A ABB A A=A A Φ=A A B=B A A B Ａ ABB(C U A) (C U B)= C U (A B)(C U A)(C U B)= C U (A B)A (C U A)=UA(C U A)= Φ．练习题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .4.设集合A=，B=，若A B，则的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

1．集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．2．集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.3．集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.4．函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2⇔f(x1)＝f(x2)．(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．5．函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，再检验f (－x )与f (x )的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y 轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．题型一 集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn 图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．例1 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围．(2)是否存在a ，使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x <0，或x >2}．∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0.(2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时，－1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．跟踪演练1 (1)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( )A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]。

集合与函数章节复习一、集合：（一）知识1.集合 （1）集合元素的3个性质——互异、确定、无序。

（2）集合的3种表示方法——列举、描述、图示。

（3）元素与集合间的关系————属于或不属于。

2.子集 （1）定义：A B B A B x A x ⊇⊆∈⇒∈或则对于任意,（2) 性质: 若A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆(3)有限集A 有n 个元素，A 的子集有2n 个(4)两个集合相等的概念. B A A B B A =⊆⊆，则且3.空集 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.4.集合的运算（1.）定义：交集：{|A B x x A =∈且}x B ∈；并集：{|AB x x A =∈或}x B ∈；补集：若B U ⊆,则{|U C B x x U =∈且}x B ∉；（2）性质：,A A A ∅=∅∅=,,A A A A A A ==；,,.A A B A B A A B A B ⊆⊆⊆ A B A A B =⇔⊆．A B A A B =⇔⊇； ()()()U U U C A B C A C B =，()()()U U U C A B C A C B =（二）方法与思想：1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析意识；2.能化简的要先化简，即化简的意识；3.抓住集合中元素的性质，对互异性要注意检验，即检验的意识；4、求交集、并集、补集，要充分发挥数轴、坐标系或文氏图的作用，即数形结合的意识；5、含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止丢掉空集；6、善于把集合语言与方程、不等式、函数、曲线进行语言 “互译”的能力。

（三）典型例题1. 已知集合A=｛2，8，a ｝, B=｛2，a 2-3a+4｝,又A B ，求a 的值。

(解：a= -1或4)2. 已知{1,a,b}={a,a 2,ab},求实数a,b 的值. （答案：a=-1，b=0）3. 设A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2-px+15=0},A∩B={3}.则P =________, q =________.A∪B=_________ （答案：P=8,q=6,A∪B={2,3,5}）4. 设U=R,A={x|-1<x ≤5或x=6} B={x|2≤x<5},则C U A=______ C U B=______, C A B=____（答案C U A={x|x≤-1或5<x<6或x>6} C U B={x|x<2或x ≥5} C A B={x|-1<x<2或x=5或x=6} ）5. 设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（C U A ）∩B={3，7}，（C U B ）∩A ={2，8}，(C U A)∩(C U B) ={1，5，6}，则集合A= ，B=(答案：A={2,4,8,9} B={3,4,7,9} 建议利用Venn 图解决)6. 已知集合A={1,2}，且A ∪B={1,2,3,4}，则满足条件的集合B 的个数有多少？（4个）7.已知集合{}{}{}B C B A x x y y C A x x y y B a x x A =∈==∈+==≤≤-= 若，,|,32|,2|2,求a 的取值范围。