2012届高三一轮复习名师一号文科数学第十模块算法初步综合检测卷

高考综合演练3、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分）1A . 21C.45.如图，若是长方体ABCD ABQQ 1被平面EFCH 截去几何体EFGHBQ 后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH// A 1 D 1 , 则下列结论中不正确的是（ ）-厂「\；A. EH//FGB. 四边形EFGH 是矩形> V F f | I1 •若集合 X (A) X 22X(B)，则A B 是X 2X (C) (D)yXy X Da 的图象，可能正确的是（D ）则a 1°丄3 n N a nA . 28B . 334.已知非零向量C.33D . 28|a|b ，若a +2b 与a -2b 互相垂直,1b 1等于(B )B . 2D . 46•二项式（’7x 3'2^°的展开式中所得的x 的多项式中，系数为有理数的项共有（）A 、4项B 5项C 、 6项D 7项7•将7个市三好学生名额分配给 5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不 同的分配方案种数有（ ）&某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为 70分，方差为102,后来发现2 80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均 成绩5C .4W x33D .— 2 W x w 4 或 4 wx 212.已知随机变量2服从正态分布N(0,)若P( >2)=0.023，贝y P(-2 2(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977、填空题（本大题共 4个小题，每小题 4分，共16 分）Tn13.设｛an ｝是等比数列，公比q亠,sn 为｛an ｝的前n 项和•记A . 25B. 35C.60 D . 120名同学的成绩有误，甲实得 和方差分别为A . 70, 90B . 70, 114 C. 65, 90D . 65, 114X9.曲线y x 2在点 1, 1处的切线方程为（ (A )y 2x 1(B )y 2x 1 (C ) y 2x 3(D ) y 2x 210.函数 f(x)2sin x cosx 是( )（A ）最小正周期为 2 n 的奇函数(B ) 最小正周期为2n 的偶函数 （C ）最小正周期为n的奇函数 (D )最小正周期为n 的偶函数x11•设 232，且 1 sin 2x =5^x+cosx,则()A . 0 W x <n3B .--4 W x W17S n S 2n,nan 1N ・设Tn0)为数列｛Tn｝的最大项，则n°=14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为 P ,PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形•若PF1 10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是15.已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ____________________ .16 .设极点与原点重合，极轴与X 轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：x 2 2coscos( ) m3，曲线C2参数方程为：y 2sin (9为参数)，若两曲线有公共点，则实数 m 的取值范围是三、解答题(本大题共6个小题，总分74分)u _ r 亿若向量 m W 3sin X,0)n (cos X, sin x)(0)，在函数b UT r一 X [0 — ]时 f (X )f(x) m (m n) t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4 '且当 '3 '的最大值为1。

第一章集合与简易逻辑课时训练1集合的概念与运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010四川成都模拟，1)已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（）A.2个B.1个C.4个D.3个答案：D解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3. 2.(2010江苏苏州一模，1)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（）A.{1}B.{0，1}C.{0，1，2，3}D.{0，1，2，3，4}答案：A解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.3.(2010河南新乡一模，1)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N 等于（）A.{（1，1），（-1，1）}B.{1}C.［0，1］D.［0，2］答案：D解析：∵M=［0，+∞］，N=［-2，2］，∴M∩N=［0，2］.4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A ∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（）A.{0}B.{3}C.{0，3}D.{0，1，2，3}答案：C解析：依题意x∈A∪B,但x∉A∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（）A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定答案：C解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=a x-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=∅，则m的范围是（）A.m≥-1B.m>-1C.m≤-1D.m<-1答案：C解析：M={x|x<m},N={y|y>-1}，又M∩N=∅，则m≤-1.7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（）A.{（-1，2）}B.{（-1，2），（3，10）}C.∅D.{(1,2),(-1,2)}答案：B解析：M={a |a =(λ1,λ12+1),λ1∈R }，N={a |a =(1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R },设a ∈M ∩N,则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=++=.1,11,3,461,21212122121λλλλλλλλ或即故a =（3，10）或（-1，2）.二、填空题（每小题5分，共15分）8.下列各式：①2006⊆{x|x ≤2007};②2007∈{x|x ≤2007};③{2007}{x|x ≤2007};④∅∈{x|x<2007},其中正确的是____________. 答案：②③解析：①应为2006∈{x|x ≤2007};④应为∅{x|x<2007}.9.设全集U={x|0<x<6,x ∈N },A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2+px+12=0},(A)∪B={1,3,4,5},则集合A=_____________B=_______________. 答案：{2，3}{3，4}解析：U={1，2，3，4，5}，由2∉{1,3,4,5}知2∈A ，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B ，∴p=-7,B={3,4}.10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A ∩B=B ，则所有实数m 的值组成的集合是_______.答案：{0，1，-21}解析：A ∩B=B ⇒B ⊆A,故B 为∅或{-1}或{2}.当B=∅时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-21.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010浙江杭州二中模拟，15)已知集合A={x|x 2-3x+2=0},集合B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A ，求实数a 的值.解析：A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}，A ∪B=A ⇒B ⊆A ；B={x|x 2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；则有a-1=2⇒a=3或a-1=1⇒a=2.故实数a 的值为2或3.12.设函数f(x)=log 2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.（1）求集合M 、N ；（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.解析：(1)由2x-3>0得x>23,故M={x|x>23},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.(2)M ∩N={x|x>3}，M ∪N={x|x<1或x>23}. ∵N={x|1≤x ≤3},∴(N)∩M={x|23<x ≤3}.13.已知集合A={x|x 2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A B,求a 的取值范围；（2）若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(3)若A ∩B={x|3<x<4},求a 的取值范围.解析：A={x|2<x<4},当a>0时，B={x|a<x<3a};当a=0时，B=∅;当a<0时，B={x|3a<x<a}.(1)若A B ，则a>0且⎩⎨⎧≥≤,43,2a a 即34≤a ≤2.(2)若A ∩B=∅，则a ≤0满足;当a>0时，则3a ≤2或a ≥4.∴a 的取值范围为a ≤32或a ≥4.(3)若A ∩B={x|3<x<4}，当a>0时,则a>3；当a ≤0时不满足.∴a 的取值范围是a>3.14.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则a a -+11∈A. (1)若a=2,求出A 中其他所有元素.（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a ∈A,再求出A 中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2∈A,得2121-+=-3∈A. 又由-3∈A ，得21)3(1)3(1-=---+∈A. 再由-21∈A ，得31)21(1)21(1=---+∈A.而31∈A 时，311311-+=2∈A. 故A 中元素为2，-3，-21，31. （2）0不是A 的元素.若0∈A ，则0101-+=1∈A ，而当1∈A 时，aa -+11不存在，故0不是A 的元素.取a=3,可得A={3,-2,-21,31}. (3)猜想：①A 中没有元素-1，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：①由上题，0、1∉A ，若0∈A ，则由a a -+11=0,得a=-1. 而当aa -+11=-1时，a 不存在，故-1∉A,A 中不可能有元素-1，0，1. ②设a 1∈A,则a 1∈A ⇒a 2=1111a a -+∈A ⇒a 3=2211a a -+=-11a ∈A ⇒a 4=3311a a -+=1111+-a a ∈A ⇒a 5=4411a a -+=a 1∈A. 又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素：a 1,a 2,a 3,a 4,且a 1a 3=-1,a 2a 4=-1,显然a 1≠a 3,a 2≠a 4.若a 1=a 2,即a 1=1111a a -+，得a 12+1=0, 此方程无解；同理，若a 1=a 4,即a 1=1111a a +-,此方程也无实数解. 故a 1≠a 2,a 1≠a 4.∴A 中有4个元素.。

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业1 集合一、选择题1．（2011年江西高考文2）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂解析：{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ， ()(){}6,5=⋂N C M C U U答案：D2．(2010年湖北高考)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：在同一坐标系中，作出集合A 、B 所表示的图形，运用图形知A ∩B 含两个元素，共有子集的个数是22＝4，故选A.答案：A3．[2011·北京卷] 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析： 由P ∪M ＝P ，可知M ⊆P ，而集合P ＝{x |－1≤x ≤1}，所以－1≤a ≤1，故选C. 答案：C4．(2011年荆州质检Ⅱ)设全集U ＝A ∪B ，定义：A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，集合A ，B 分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A －B 的是( )答案：C5．(2011年湖南省长沙市一中高三年级月考卷(二))已知集合M ＝{x |0<x <3}，N ＝{x |－2<x <2}，则集合(∁R M )∩N ＝( )A ．(0,2)B ．(－2,0]C．(2,3] D．(－2,3)解析：M＝(0,3)，N＝(－2,2)，所以(C R M)∩N＝(－2,0]故选B.答案：B6．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M为{2,3}，{1,2,3}，共两个．答案：B二、填空题7．集合M＝{x|y＝2－x2}，集合N＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则M∩N等于________．解析：由M＝{x|y＝2－x2}＝{x|2－x2≥0}＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，得M∩N＝{y|－1≤y≤2}．答案：{y|－1≤y≤2}8．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝________.解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．但本题要注意列举法的规范书写．答案：{(0,1)，(－1,2)}9．设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.解析：A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．答案：{2,4,6,8}三、解答题10．已知全集为R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x≥a}，并且M∁R P，求a的取值范围．解：M＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，∁R P＝{x|x<a}．∵M∁R P，∴由数轴知a≥2.11．已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|2<x＋1≤4}，设集合C＝{x|x2＋bx＋c>0}，且满足(A∪B)∩C＝Ø，(A∪B)∪C＝R，求b，c的值．解：∵A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|1<x≤3}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}． ∵(A ∪B )∩C ＝Ø，(A ∪B )∪C ＝R ， ∴全集U ＝R .∴C ＝{x |x <－2或x >3}．∵C ＝{x |x 2＋bx ＋c >0}，∴x 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝－2和x 2＝3，由一元二次方程根与系数的关系，得b ＝－(－2＋3)＝－1，c ＝(－2)×3＝－6.12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2m ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值； (2)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (3)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |[x －(m －2)][x －(m ＋2)]≤0，x ∈R ，m ∈R }＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}(1)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，如图有：⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥－1m ＋2≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1m ≤1，∴m ＝1.(2)∵A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0m ＋2≥3，∴m ＝2.(3)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ∴m －2>3或m ＋2<－1， ∴m >5或m <－3.。

第一模块集合与常用逻辑用语综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中,正确的是( )A.存在一个实数,使-2x2+x-4=0B.所有的质数都是奇数C.在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行D.对数函数在定义域上是单调增函数答案:C2.“m>0>n”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3.已知集合A={x|x2-3x<0},B={x||x|<1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,3)D.(-1,3)答案:D4.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B5.已知命题p:|x-1|≥2,命题q:x∈Z,如果“p且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x为( )A.{x|x≥3或x≤-1,x∉Z}B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}解析:由题意知p假q真,由p假可知|x-1|<2,-1<x<3,由q真知x∈Z,∴x=0,1,2,故选D.答案:D6.已知集合I=R,集合M={x|x2-x<0},集合N={x|1x≤1}.则下列关系正确的是( )A.M ∁I NB.M ∁I NC.M=∁I ND.∁I M∪N=R 解析:∵M={x|0<x<1},N=11xx⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤=1xxx-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤={x|x<0或x≥1},∴∁I N={x|0≤x<1},故选A. 答案:A7.已知函数f(x)=2(1)(1)log x x x c x ⎧⎨+<⎩≤,则“c=-1”是函数f(x)在R 上递增的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当c=-1时,f(x)在(-∞,1)､[1,+∞)上分别是增函数,且log 21=0,则f(x)在R 上是增函数,反之,当f(x)在R 上是增函数,只须1+c≤0,而c≤-1,∴“c=-1”是“函数f(x)在R 上递增”的充分不必要条件.答案:A8.P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R },Q={β|β=(1,-2)+n(2,3),n∈R }是两个向量集合,则P∩Q 等于( )A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(1,2)}D.{(-23,-13)}解析:先化简,α=(m-1,2m+1),β=(2n+1,3n-2).依题意,α=β.得121,2132,m n m n -=+⎧⎨+=-⎩解得n=-7,m=-12.∴α=β=(-13,-23),故选B.答案:B9.给出下列四个命题:①点(a,b)关于直线y=1的对称点的坐标是(a,2-b);②与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x+y=0;③直线Ax+By=0与圆x 2+y 2+Ax+By=0相切;④直线y=xtan α+b 的倾斜角一定是角α.其中正确命题的是( )A.①②B.③④C.①③D.②④解析:与坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,故②不正确;直线y=xtan α+b,当α∉(0,π)时,不是直线的倾斜角,故④不正确.故选C.答案:C10.对任意x∈R ,kx 2-kx-1<0是真命题,则实数k 的最大取值范围为( )A.-4≤k≤0B.-4≤k<0C.-4<k≤0D.-4<k<0解析:当k=0时,kx 2-kx-1=-1<0, 当k≠0时,2040,k K k <⎧⎨+<⎩得-4<k<0, ∴-4<k≤0,故选C.答案:C二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.已知P={x|2≤x≤6},Q={x|a≤x≤a+1},若Q ⊆P,则a 的取值范围是________.解析:由题意知,216a a ⎧⎨+⎩≥≤,∴2≤a≤5. 答案:{a|2≤a≤5}12.命题p:对任意x∈R ,x 2-x+14<0,命题q:存在x∈R ,sinx=sin2x,则命题“p 且q”、“p 或q”、“¬p”、“¬q”中真命题有________个.解析:∵x 2-x+14=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0, ∴命题p 为假命题.∵当x=0时,sinx=sin2x,∴命题q 为真命题.故p 且q 为假,p 或q 为真,¬p 为真,¬q 为假.答案:2 13.命题:“对任意x∈13110,,32xlog x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的否定是____________________. 答案:存在x∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,1312xlog x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ 14.设命题p:点(2x+3-x 2,x-2)在第四象限,命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 解析:命题p:223020x x x ⎧+->⎨-<⎩,∴-1<x<2.命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,即(x-a)(x-2a-6)<0,当a<-6,q:2a+6<x<a,当a>-6,q:a<x<2a+6. 由题可知¬p ⇐¬q,∴p ⇒q,∴62612a a a <-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥或61262a a a >-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≥解得-2≤a≤-1.经检验a=-1和a=-2时,符合条件. 答案:[-2,-1]15.“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1”的________条件.解析:对任意正数x,2x+ax≥1,即2x2+a≥x,即2x2-x+a≥0恒成立,∴2214x⎛⎫-⎪⎝⎭≥18-a恒成立,∴18-a≤0,a≥18,故“a=18”是它的充分不必要条件.答案:充分不必要三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知全集U=R,A={x|x2-2x>0},B=322xxx+⎧⎫⎨⎬-⎩⎭≥,求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B). 解:(1)A={x|x<0或x>2},由32xx+-≥2得72xx--≤0,即2<x≤7,∴B={x|2<x≤7},∴A∩B={x|2<x≤7}.(2)∁U A={x|0≤x≤2},∁U B={x|x≤2或x>7},(∁U A)∩(∁U B)={x|0≤x≤2}.17.(2011•福建模拟)已知p:x2-3x-4<0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.解:由x2-3x-4<0,得-1<x<4,∴¬p:x≤-1或x≥4.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,∴¬q:x<1-m或x>1+m.∵¬p是¬q的充分不必要条件,∴1141mm--⎧⎨+⎩≤≥,∴0<m≤2.经检验m=2时¬p是¬q的充分不必要条件. 故实数m的取值范围为0<m≤2.18.已知A={x|2x2-ax+b=0},B={x|bx2+(a+2)x+5+b=0},且A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,求A∪B.解:∵A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,∴12为方程2x2-ax+b=0及bx2+(a+2)x+5+b=0的公共根,∴2211202211(2)5022a bb a b⎧⎛⎫⨯-⨯+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯++⨯++=⎪⎪⎝⎭⎩解得439269ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴A=2432612620,9929x x x ⎧⎫⎧⎫+-==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B=22625191190,999213x x x ⎧⎫⎧⎫--+==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭. ∴A∪B=11926,,2139⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 19.已知c>0,设命题p:函数y=c x 为减函数.命题q:当x∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,函数f(x)=x+11x c >恒成立.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题.求c 的取值范围.解:由命题p 知0<c<1｡ 由命题q 知2≤x+1x ≤52, 要使此式恒成立,则2>1c ,即c>12, 又由p 或q 为真,p 且q 为假知,p 、q 必有一真一假,当p 为真,q 为假时,c 的取值范围为0<c≤12, 当p 为假,q 为真时,c 的取值范围为c≥1,综上知,c 的取值范围为{c|0<c≤12或c≥1}. 20.已知三个集合A=10mx x x -⎧⎫<⎨⎬⎩⎭,B={x|x 2-3x-4≤0},C={x|12log x>1};三个命题p:实数m 为小于6的正整数,q:A 是B 成立的充分不必要条件,r:A 是C 成立的必要不充分条件.已知三个命题p 、q 、r 都是真命题,求实数m 的值.解:∵命题p 是真命题,即0<m<6,m∈N* ①∵A=11|0|0mx x x x x m -⎧⎫⎧⎫<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B={x|x 2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}, C={x|12log x>1}=102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭, 又∵命题q 、r 都是真命题, ∴14112m m ⎧⎪⎪⎨⎪>⎪⎩≤,②由①②得m=1. 21.已知函数f(x)=4sin 2(4πcos2x-1,且满足条件p:“4π≤x≤2π”. (1)求f(x)的最大值和最小值;(2)若又给条件q:“|f(x)-m|<2”,且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=2[1-cos(2πcos2x-1214(2)13x sin x π+=-+, ∵4π≤x≤2π, ∴6π≤2x -3π≤23π, ∴2≤4sin(2x -3π)≤4, ∴3≤f(x)≤5.即f(x)的最大值为5,最小值为3.(2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2,又p是q的充分条件,∴2325mm-<⎧⎨+>⎩,解得3<m<5,即m的取值范围是(3,5).。

第三章 数列名师检测题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2，…，其相邻的两个1被2隔开，第n 对1之间有n 个2，则该数列的前1234项的和为( )A ．2450B ．2419C ．4919D ．1234解析：将数列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1，…进行分组： 第1组：1,2， 第2组：1,2,2， 第3组：1,2,2,2， …第n 组：∴前n 组一共有(2＋n ＋1)n 2＝n (n ＋3)2项．当n ＝48时，有48×512＝1224项；当n ＝49时，有49×522＝1274项，即前1234项可以排满前48组，在第49组只能排前10项． 故前1234项中含49个1，其余的均为2，故该数列前1234项的和为49×1＋(1234－49)×2＝2419，故选B. 答案：B2．数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2，则a n ＝( )A.13·2n －1 B.12·3n －1 C.12n D.n 3n 解析：令n ＝1，得a 1＝12，排除A 、D ；再令n ＝2，得a 2＝16，排除C ，故选B.答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，第k 项满足750<a k <900，则k 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：依题意，由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1，两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，a 2＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝13×4n －2n ≥2，将a k 代入不等式750<3×4k －2<900验证，知k ＝6.答案：C4．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝( )A.212 B ．6 C ．10D ．11解析：依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝12，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1.S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×12＋1＝6，选B.答案：B5．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当n ∈N *时，a n ＋2等于a n a n ＋1的个位数，若数列{a n }的前k 项和为243，则k ＝( )A ．61B ．62C ．63D ．64解析：依题意得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝8，a 6＝2，a 7＝6，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝4，a 11＝8，a 12＝2，a 13＝6，…，数列{a n }除第一项外，其余的项形成以6为周期的数列，且从a 2到a 7这六项的和等于24，注意到243＝1＋24×10＋2，因此k ＝1＋6×10＋1＝62，选B.答案：B6．把正整数排列成三角形数阵(如图甲)，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵(如图乙)，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，则a 2010＝( )A ．3955B ．3957C ．3959D ．3961解析：注意到图乙中，第n 行有n 个数，且第n 行的最后一个数是n 2，又62×632<2010<63×642，因此a 2010位于图乙中第63行中的第57个数，第63行的最后一个数是632＝3969，且第63行的数自左向右依次形成公差为2的等差数列，于是a 2010＋(63－57)×2＝3969，a 2010＝3957.答案：B7．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：设{a n }的公差为d ，则d ＝1，设c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则c n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，c n ＋1－c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－a 2n －1－2a 2n ＝6d ＝6，选择C.答案：C8．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－89，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( )A.53 B.35 C ．－53D ．－35解析：依题意，设公比为q ，则q ≠1，因此⎩⎨⎧a 1(1－q 4)1－q ＝158①a12q 3＝－98②，又1a 1，1a 2，1a 3，1a 4构成以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1[1－⎝⎛⎭⎫1q 4]1－1q ＝(1－q 4)a 1q 3(1－q )，①÷②得(1－q 4)a 1q 3(1－q )＝－53，即1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，选择C.答案：C9．设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101＝( )A ．200B ．2C ．－2D ．0解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为对任意正整数，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，a n ＋2a n q＋a n q 2＝0，因为a n ≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，q ＝－1，S 101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B10．已知a n ＝sin n π6＋162＋sinn π6(n ∈N *)，则数列{a n }的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D.193解析：令t ＝2＋sin n π6(1≤t ≤3)，则a n ＝f (t )＝t ＋16t －2，f ′(t )＝1－16t 2<0，∴f (t )在其定义域上单调递减，∴当t ＝3，即sin n π6＝1时，a n 取得最小值193，故选D.答案：D11．数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 2008＝( )A.13 B.35 C.20092008D.40114009解析：由a n ＝2－1a n －1(n ≥2)得，a n －1＝1－1a n －1＝a n －1－1a n －1，即1a n －1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1，∴数列{1a n －1}是首项为1a 1－1＝－52，公差为1的等差数列．故1a n －1＝－52＋n －1＝n －72，∴a n ＝2n －52n －7，∴a 2008＝40114009.故选D.答案：D12．数列{a n }满足a 1＝32，a n ＋1＝a n 2－a n ＋1(n ∈N *)，则m ＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2009的整数部分是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：依题意得a 1＝32，a 2＝74，a 3＝3716>2，a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，数列{a n }是递增数列，∴a 2010>a 3>2，∴a 2010－1>1，∴1<2－1a 2010－1<2.由a n ＋1＝a n 2－a n ＋1得1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 2009＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2009－1－1a 2010－1＝1a 1－1－1a 2010－1＝2－1a 2010－1∈(1,2)，因此选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．已知数列{a n }的第一项都是非负实数，且对任意m ，n ∈N *有a m ＋n －a m －a n ＝0或a m ＋n －a m －a n ＝1.又知a 2＝0，a 3>0，a 99＝33.则a 3＝________，a 10＝________.解析：a 2＝a 1＋a 1或a 2＝a 1＋a 1＋1，由a 2＝0，得a 1＝0，或a 1＝－12(不符合题意，舍去)，a 3＝a 1＋a 2或a 3＝a 1＋a 2＋1，由a 1＝a 2＝0，a 3>0，得a 3＝1(a 3＝0舍去)；由条件a m ＋n ＝a m ＋a n 或a m ＋n ＝a m ＋a n ＋1，可知a n ∈N ，a 100＝a 99＋a 1或a 100＝a 99＋a 1＋1，∵a 99＝33，∴a 100＝33或34.又∵a m ＋n ≥a m ＋a n ，∴a 100≥10a 10，∴a 10≤3.3或a 10≤3.4；而a 9≥3a 3＝3，a 10≥a 9≥3，所以a 10＝3.答案：1 314．考虑以下数列{a n }，n ∈N *：①a n ＝n 2＋n ＋1；②a n ＝2n ＋1；③a n ＝ln nn ＋1.其中满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列有________(写出所有满足条件的序号)；若数列{a n }满足上述性质，且a 1＝1，a 20＝58，则a 10的最小值为________．解析：对于①，a 1＝3，a 2＝7，a 3＝13，a 1＋a 32>a 2，因此{a n }不满足“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n 2≤a n ＋1都成立”．对于②，易知数列{a n }是等差数列，故有a n ＋2＋a n 2＝a n ＋1，因此{a n }满足“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n 2≤a n ＋1都成立”．对于③，a n ＋2＋a n ＝ln n (n ＋2)(n ＋3)(n ＋1)，2a n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22，n (n ＋2)(n ＋3)(n ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋22＝n (n ＋2)3－(n ＋3)(n ＋1)3(n ＋3)(n ＋1)(n ＋2)2＝－2n －3(n ＋3)(n ＋1)(n ＋2)2<0，即有a n ＋2＋a n 2<a n ＋1，因此{a n }满足“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”．综上所述，满足性质“对任意的正整数n ，a n ＋2＋a n2≤a n ＋1都成立”的数列为②③.对于满足上述性质的数列{a n }，令d n ＝a n ＋1－a n .由a n ＋2＋a n2≤a n ＋1得a n ＋1－a n ≥a n ＋2－a n ＋1，即d n ≥d n ＋1.又a 10＝a 1＋d 1＋d 2＋…＋d 9≥a 1＋9d 9，a 10＝a 20－(d 19＋d 18＋…＋d 10)≥a 20－10d 10，即a 10－a 19≥d 9，a 10－a 2010≥－d 10，所以a 10－a 19＋a 10－a 2010≥d 9－d 10≥0，即a 10－19＋a 10－5810≥0，由此解得a 10≥28，即a 10的最小值为28.答案：②③ 2815．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *.设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝________.解析：根据等比数列的通项公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ，故T n ＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－q a 1q n ＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q (q n ＋16q n －17)，令q n ＝(2)n ＝t ，则函数g (t )＝t ＋16t ，当t ＝4时函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4. 答案：416．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列{1x n}为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．解析：因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤⎝⎛⎭⎫x 3＋x 1822＝100，即x 3x 18的最大值为100.答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18. 解析：(1)因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c ，当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即a 1＋a 2＝2a 2－c ，解得a 2＝3c ， 所以3c ＝6，解得c ＝2；则a 1＝4，数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2. (2)证明：因为1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝14×6＋16×8＋…＋1(2n ＋2)(2n ＋4)＝12⎝⎛⎭⎫14－16＋12⎝⎛⎭⎫16－18＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n ＋2－12n ＋4＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14－16＋⎝⎛⎭⎫16－18＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋2－12n ＋4 ＝12⎝⎛⎭⎫14－12n ＋4＝18－14(n ＋2).因为n ∈N *，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.18．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a n 2n －1 ＝n ，即a n ＝n ·2n －1.S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n ＋1.19．(本小题满分12分)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2、a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)(理)若b n ＝log 2a n ＋1，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n >42＋4n 成立的n 的最小值． (文)若b n ＝log 2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，①又a 2＋a 3＋a 4＝28，将①代入得a 3＝8.所以a 2＋a 4＝20.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.又{a n }是递增的，故a 1＝2，q ＝2. 所以a n ＝2n . (2)(理)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1，S n ＝n 2＋3n 2.故由题意可得n 2＋3n2>42＋4n ，解得n >12或n <－7.又n ∈N *所以满足条件的n 的最小值为13. (文)b n ＝log 22n ＋1＝n ＋1.故S n ＝n 2＋3n2.20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，公比q >1，且a 2＝3，S 3＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b na n ＝n (n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，q >1S 3＝3q ＋3＋3q ＝13⇒q ＝3. ∴a 1＝1，a n ＝a 1q n －1＝3n －1.(2)∵b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b na n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)，当n ＝1时，b 1a 1＝3，∴b 1＝3.当n ≥2时，∵b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n －1a n －1＝(n －1)(n ＋1)，∴b na n ＝n (n ＋2)－(n －1)(n ＋1)＝2n ＋1， 即b n ＝(2n ＋1)·3n －1.经检验，得b n ＝(2n ＋1)·3n －1(n ∈N *)．∵T n ＝3×30＋5×31＋7×32＋…＋(2n ＋1)×3n －1，3T n ＝3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1＋(2n ＋1)×3n .两式相减，得－2T n ＝3＋2(31＋32＋…＋3n －1)－(2n ＋1)·3n ＝3n －(2n ＋1)×3n ，∴T n ＝n ·3n .21．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn ，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ，即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12，b 3＝b 2＋122，…b n ＝b n －1＋12n －1(n ≥2)，于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2)．又b 1＝1，故所求数列{b n }的通项公式为b n ＝2－12n －1.(2)由(1)知a n ＝n ⎝⎛⎭⎫2－12n －1＝2n －n2n －1.令T n ＝k2k －1，则2T n ＝k 2k －2，于是T n ＝2T n －T n ＝12k －1－n2n －1＝4－n ＋22n －1.又(2k)＝n(n ＋1)，所以S n ＝n(n ＋1)＋n ＋22n －1－4.22．(本小题满分12分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k都成立．求证：c 的最大值为92.解析：(1)由题设知，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝2d a 1－3d 2＋2d 2n.由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2d a 1＋d 2)＝a 1＋2d a 1＋3d 2，解得a 1＝d. 故当n ≥2时，a n ＝2nd 2－d 2.又a 1＝d 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.(2)证明：由a 1＝d 及S n ＝a 1＋(n －1)d ，得d>0，S n ＝d 2n 2.于是，对满足题设的m ，n ，k ，m ≠n ，有S m ＋S n ＝(m 2＋n 2)d 2>(m ＋n )22d 2＝92d 2k 2＝92S k .所以c 的最大值c max ≥92.另一方面，任取实数a>92.设k 为偶数，令m ＝32k ＋1，n ＝32k －1，则m ，n ，k 符合条件，且S m ＋S n ＝d 2(m 2＋n 2)＝d 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32k ＋12＋⎝⎛⎭⎫32k －12＝12d 2(9k 2＋4)． 于是，只要9k 2＋4<2ak 2，即当k>22a －9时，就有 S m ＋S n <12d 2·2ak 2＝aS k .所以满足条件的c ≤92，从而c max ≤92.因此c 的最大值为92.。

第十章 单元能力测试卷(B 版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A 、B 、C 均为棱的中点，D 是顶点，则在正方体中，异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为( )A.25B.35 C.105 D.55答案 C解析 把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，∠EGF 为AB 和CD 所成的角，F 为正方体一棱的中点．∴EF ＝GF ＝52，EG ＝ 2. ∴cos ∠EGF ＝105. 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|AB →|＝3，|BC →|＝7，|CD →|＝11，|DA →|＝9，则AC →·BD →的取值( )A ．只有一个B ．有两个C ．有四个D ．有无穷多个答案 A解析 注意到32＋112＝72＋92＝130，由于AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，则|DA →2|＝DA →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2(AB →·BC →＋BC →·CD →＋CD →·AB →) ＝AB →2－BC →2＋CD →2＋2(BC →2＋AB →·BC →＋BC →·CD →＋CD →·AB →) ＝AB →2－BC →2＋CD →2＋2(AB →＋BC →)·(BC →＋CD →)．即2AC →·BD →＝AD →2＋BC →2－AB →2－CD →2＝0，所以AC →·BD →只有一个值0，故选A.3．在半径为10 cm 的球面上有A 、B 、C 三点，且AB ＝8 3 cm ，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为( )A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm 答案 C解析 设平面ABC 对应的小圆圆心为M ，即三角形ABC 的外接圆的圆心，设小圆的半径为r ，根据正弦定理有2r ＝AB sin ∠ACB ＝83sin60°， ∴r ＝8 cm.根据球体的性质OM ⊥平面ABC ，即球心O 到平面ABC 的距离d ＝OM ，且三角形OCM 为直角三角形，所以d ＝R 2－r 2＝d ＝102－82，∴d ＝6 cm.∴选C.4．已知直线m 、n 、l 和平面α、β、γ，下列条件中，能推出α∥β的是( ) A ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n B ．m ⊥α，m ⊥βC ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥βD ．α⊥γ，β⊥γ 答案 B解析 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行． 本题也可以通过反例否定错误选项，从而筛选出正确结论． 例如，对于A ，如果α∩β＝l ，m ∥l ，n ∥l ， 那么α与β不平行，对于选项C ，当α与β相交时，存在直线m⊂α、n⊂α，使得m∥β，n∥β，从而可排除C.对于选项D，设α、β为正方体相邻两个侧面，γ为底面，则满足α⊥γ，β⊥γ，但α与β不平行，从而可剔除D.5．如右图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 C解析连结AC、BD交于点O，连结OE，易得OE∥PA.∴所求角为∠BEO.由所给条件易得OB＝62，OE＝12PA＝22，BE＝2，∴cos∠OEB＝12，∴∠OEB＝60°，选C.6．已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，①m⊥β；②n⊥α；③m⊥β或n⊥α；④m⊥β且n⊥α.这四个结论中，不正确．．．的三个是( ) A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案 B解析对于结论③，可用反证法证明其正确性．假设m⊥β和n⊥α都不成立，因为m⊥n，根据三垂线定理的逆定理，m垂直于n在α上的射影．由于m和n不可能都与α、β的交线平行，不妨设n与α、β的交线不平行，从而n与它在α上的射影相交，故m⊥β.这与假设矛盾，故m⊥β或n⊥α.7．正三棱锥P－ABC中，M、N是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN垂直于侧面PBC，则棱锥的侧面积与底面积的比为( )A ．1∶2B.2∶ 3 C.3∶2 D.6∶1 答案 D解析 如右图所示，∵M 、N 为正三棱锥的侧棱PB 、PC 之中点，∴MN ∥BC ，AM ＝AN . 设MN 的中点为F ，连结AF ，连结PF 并延长交BC 于E ， 连结AE ，则E 为BC 的中点．∵平面AMN ⊥侧面PBC ，而MN ＝平面AMN ∩平面PBC ， ∴AF ⊥PE .又F 为PE 之中点， ∴PA ＝AE .设底面边长为a ，斜高为h ′. 则S 侧＝12×3a ·h ′，S 底＝34a 2.又PB ＝PA ＝AE ＝32a ，BE ＝12a ， ∴h ′＝PE ＝PB 2－BE 2＝22a . ∴S 侧S 底＝12×3a ·h ′34a 2＝12×3a ×22a34a 2＝6∶1. 8．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75 答案 B解析 记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 9．ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，点P 在线段A 1C 1上运动，异面直线BP 与AD 1所成角为θ，则θ的取值X 围是( )A ．0<θ<π2B ．0<θ≤π2C ．0<θ<π3D ．0<θ≤π3 答案 D解析 因为AD 1∥BC 1，所以BP 与AD 1所成的角θ＝∠C 1BP ，因为P 在A 1C 1上运动，所以0<θ≤π3，故选D. 10．如右图所示的多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B ＝D 1D .已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB ＝1，则这个多面体的体积为( )A.62B.63 C.64D.66答案 D解析 将多面体补形，补成一个高为CC 1 的正四棱柱，则V 棱柱＝2V 多． 又∵截面与底面成30°， ∴∠C 1AC ＝30°.在Rt △ACC 1中，AC ＝2， ∴C 1C ＝2tan30°＝33×2＝63. ∴V 柱＝S ABCD ·CC 1＝63. ∴V 多＝12V 柱＝66.11．半径为4的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，则△ABC ，△ACD ，△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 C解析 设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB ＝12(ab ＋ac ＋bc )≤12(a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22) ＝12(a 2＋b 2＋c 2) ＝12×4R 2＝12×4×42＝32， 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．12．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150° B．45° C ．60° D．120° 答案 C解析 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,1,1)、B (2,2,2)、C (3,2,4)，则△ABC 的面积是________． 答案62解析AB →＝(1,1,1)，AC →＝(2,1,3)， cos 〈AB →，AC →〉＝63·14＝427，∴sin A ＝77. 因为S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝123·14·77＝62.14．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为________．答案118解析 以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.15．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F 则EF →＝________.答案3a ＋3b －5c解析EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，两式相加，得 2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)， 因为E 是AC 中点，故EA →＋EC →＝0， 同理BF →＋DF →＝0，所以2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )＝6a ＋6b －10c ， ∴EF →＝3a ＋3b －5c16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD . 其中正确的有______个． 答案 2解析 将几何体展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面所成的角是30°，∠BAD ＝90°.AB ∥CD ，AD ＝CD ＝a ，AB ＝2a .(1)若AE ⊥PB 于E ，求证：DE ⊥PB . (2)求异面直线AE 与BC 的夹角的余弦．解析 (1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与底面ABCD 所成的角． ∵∠PBA ＝30°，∴PA ＝233a .A (0,0,0)，B (2a,0,0)，D (0，a,0)，P (0,0，233a )， AD →＝(0，a,0)，PB →＝(2a,0，－233a )． ∵AD →·PB →＝(0，a,0)·(2a,0，－233a )＝0，∴PB →⊥AD →.又PB →⊥AE →， ∴PB ⊥平面ADE ，∴PB ⊥DE . (2)过E 作EF ⊥AB 于F ，AE ＝a ，EF ＝32a ，AF ＝12a ，E (12a,0，32a )， ∴AE →＝(12a,0，32a )．又C (a ，a,0)，∴BC →＝(－a ，a,0)．设AE →与BC 的夹角是θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →|·|BC →|＝－24，∴异面直线AE 与BC 的夹角的余弦是24. 18．(本小题满分12分)如右图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝a ，∠BCA ＝90°，AA 1＝2a ，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点．(1)求BN 的长； (2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .解析 以C 为原点建立空间直角坐标系． (1)B (0，a,0)，N (a,0，a )， |BN →|＝a －02＋0－a2＋a －02＝3a .(2)A 1(a,0,2a )，C (0,0,0)，B 1(0，a,2a )，∴BA 1→＝(a ，－a,2a )，CB 1→＝(0，a,2a )，BA 1→·CB 1→＝a ·0＋(－a )·a ＋2a ·2a ＝3a 2， |BA 1→|＝a －02＋0－a2＋2a －02＝6a ， |CB 1→|＝0－02＋a －02＋2a －02＝5a ，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝36×5＝3010.(3)C 1(0,0,2a )，M (a 2，a 2，2a )，C 1M →＝(a 2，a 2，0)，A 1B →＝(－a ，a ，－2a )，∴A 1B →·C 1M →＝(－a )·a 2＋a ·a 2＋(－2a )·0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →，∴A 1B ⊥C 1M .19．(本小题满分12分)已知M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱B 1C 1和B 1B 的中点．(1)求MN 与A 1C 1所成角的大小； (2)求MN 与平面ACC 1A 1所成角的大小．解析 (1)设正方体的棱长为1，建立直角坐标系D －xyz (如图)．则A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，M (12，1,1)，N (1,1，12)．∴MN →＝(12，0，－12)，A 1C 1→＝(－1,1,0)．∴cos 〈MN →，A 1C 1→〉＝MN →·A 1C 1→|MN →||A 1C 1→|＝－1222×2＝－12，∴〈MN →，A 1C 1→〉＝120°.而异面直线所成角在(0,90°]内，∴MN 与A 1C 1成60°角．(2)设平面ACC 1A 1的法向量n ＝(1，α，β)，则n ⊥AA 1→，(1，α，β)·(0,0,1)＝0，∴β＝0，又n ⊥AC →.∴(1，α，β)·(－1,1,0)＝0，∴a ＝1， ∴n ＝(1,1,0)，∴cos 〈n ，MN →〉＝n ·MN →|n ||MN →|＝12，∴〈n ，MN →〉＝60°， ∴MN 与面ACC 1A 1成30°角．20．(本小题满分12分)如右图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PN →＝12NC →，PM ＝MD .(1)求证：PC ⊥AM ；(3)求二面角B —AN —M 的大小．解析 (1)证明：因为四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，故建立如右图所示的空间直角坐标系A —xyz ，又PA ＝AD ＝2，则有P (0,0,2)，D (0,2,0)，∴M (0,1,1)，C (2,2,0)， ∴PC →＝(2,2，－2)，AM →＝(0,1,1)， ∵PC →·AM →＝0＋2－2＝0，∴PC ⊥AM .(2)证明：设N (x ，y ，z )，∵PN →＝12NC →，则有x －0＝12(2－x )，∴x ＝23.同理可得y ＝23，z ＝43.即N (23，23，43)．由PC →·AN →＝43＋43－83＝0，∴PC ⊥AN .又∵PC ⊥AM ，AM ∩AN ＝A ，∴PC ⊥平面AMN .(3)解：连接BN ，设平面BAN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ·AB→＝2x ＝0，n ·AN →＝23x ＋23y ＋43z ＝0，取n ＝(0，－2,1)．而PC →＝(2,2，－2)为平面AMN 的法向量． ∴cos 〈n ，PC →〉＝n ·PC →|n |·|PC →|＝－4－25·12＝－155.结合图形可知，所求二面角B —AN —M 的大小为π－arccos155. 21．(本小题满分12分)(2010·某某卷，文)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．(2)若AD ＝1，求二面角B －EC －D 的平面角的余弦值．解析 (1)如图，由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AB .又PA ＝AB ，故△PAB 为等腰直角三角形，而点E 是棱PB 的中点，所以AE ⊥PB .由题意知BC ⊥AB, 又AB 是PB 在平面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面PAB ，故BC ⊥AE .因为AE ⊥PB ，AE ⊥BC ，所以AE ⊥平面PBC .(2)由(1)知BC ⊥平面PAB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面PAB ，故AD ⊥AE .在Rt △PAB 中，PA ＝AB ＝2，AE ＝12PB ＝12PA 2＋AB 2＝1.从而在Rt △DAE 中，DE ＝AE 2＋AD 2＝ 2.在Rt △CBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 2.又CD ＝2，所以△CED 为等边三角形．取CE 的中点F ，连接DF ，则DF ⊥CE .因为BE ＝BC ＝1，且BC ⊥BE ，则△EBC 为等腰直角三角形，连接BF ，则BF ⊥CE ，所以∠BFD 为二面角B －EC －D 的平面角．连接BD ，在△BFD 中，DF ＝CD ·sin π3＝62，BF ＝12CE ＝22，BD ＝BC 2＋CD 2＝ 3.所以cos BFD ＝DF 2＋BF 2－BD 22·DF ·BF ＝－33.故二面角B －EC －D 的平面角的余弦值为－33. 22．(本小题满分12分)如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是以∠C 为直角的等腰直角三角形，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别在棱CC 1，A 1B 1上，N 是A 1B 1的中点．(1)若M 是CC 1的中点，求异面直线AN 与BM 所成的角；(2)若点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上，试确定M 点在CC 1上的位置． 解析 (1)以CB 、CA 、CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (0，－2,0)，B (2,0,0)，C 1(0,0,2)，A 1(0，－2,2)，B 1(2,0,2)，由于N 是A 1B 1的中点，M 是CC 1的中点，所以M (0,0,1)，N (1，－1,2)，于是AN →＝(1,1,2)，BM →＝(－2,0,1)，因此cos 〈AN →，BM →〉＝06×5＝0，所以异面直线AN 与BM 所成的角等于90°.(2)设M (0,0，z )(0<z ≤2)，由于点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上， 取AB 的中点D ，连接CD 、DN 、MD ，易知CD ⊥AB ，ND ⊥AB ，所以AB ⊥平面C 1NDC ，而AB ⊂平面ABM ，所以平面ABM ⊥平面C 1NDC ，又平面ABM ∩平面C 1NDC ＝DM ，过C 作CH ⊥DM ，则CH ⊥平面ABM ，延长CH 至P ，使PH ＝CH ， 则点P 就是点C 关于平面ABM 的对称点，所以P 点在平面C 1NDC 中，又P 点恰好在平面ABB 1A 1上，所以P 点应该在直线ND 上． 由于D (1，－1,0)，所以MD →＝(1，－1，－z )，而点H 在线段MD 上，所以设MH →＝λ·MD →＝(λ，－λ，－λz )，则CH →＝CM →＋MH →＝(λ，－λ，z －λz )，故CP →＝2CH →＝(2λ，－2λ，2z －2λz )，所以P (2λ，－2λ，2z －2λz )， 于是DP →＝(2λ－1，－2λ＋1,2z －2λz )，而DN →＝(0,0,2)，由于P 点应该在直线ND 上，且DC ＝DP ，所以⎩⎨⎧2λ－1＝0，－2λ＋1＝0，|2z －2λz |＝2，得z ＝2，所以当点C 关于平面ABM 的对称点恰好在平面ABB 1A 1上时，CM ＝ 2.。

第十章 单元能力测试卷(A 版)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．(2010·上海春季高考)若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．平行、相交、是异面直线都有可能 答案 D2．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14 B.12 C.36D.34答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影O 落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于( )A.34 B.74C.377D.43答案 A解析 ∵BC ⊥CD ，BC 是AC 在平面BCD 上的射影， ∴AC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC ， ∵AD ⊥AB ，∴AC ⊥AB ，∴θ＝∠DAC ，∴sin θ＝CD AD ＝34.4．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90°，且A 、B 两地间的球面距离为π3R (R 为地球半径)，那么x 等于( )A ．30B ．45C ．60D ．75答案 B解析 记球心为点O ，依题意得∠AOB ＝π3，OA ＝OB ＝R ，因此AB ＝R .又A 、B 两地经度相差90°，因此A 、B 两地所在的纬线圈的半径是22R ，x ＝45，选B. 5．设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α；③α∥β；④α⊥β.其中可能的情况有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种答案 C解析 ①③④都有可能，②不可能，否则有b ⊥a ，与已知矛盾．6．在三棱锥A －BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，ΔBCD 是锐角三角形，那么必有( ) A ．平面ABD ⊥平面ADC B ．平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面BCD D ．平面ABC ⊥平面BCD 答案 C解析 由AD ⊥BC ，BD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD .又AD ⊂平面ADC ， ∴平面ADC ⊥平面BCD .7．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝AA 1＝a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是( ) A ．a B.2a C.22a D.3a答案 C解析 取A 1C 的中点O ，连接AO . ∵AC ＝AA 1，∴AO ⊥A 1C .又该三棱柱是直三棱柱，∴平面A 1C ⊥平面ABC . 又∵BC ⊥AC ，∴BC ⊥AO .因此AO ⊥平面A 1BC ，即AO 的长等于A 到平面ABC 的距离，解得AO ＝22a . 8．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°.若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A．13 B．11 C．9 D．7 答案 B解析作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O为△ABC的外心．∴OA＝AB2sin∠BCA＝152sin120°＝5 3.∴PO＝PA2－OA2＝11为所求．9．高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器(下有底)，可放置最大球的半径是( )A.32B．2C.322D. 2答案 B解析如上图所示，过球心作平行于底的截面，R＝23tan30°＝2.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )A．是AC和MN的公垂线B．垂直于AC，但不垂直于MNC．垂直于MN，但不垂直于ACD．与AC，MN都不垂直答案 A解析∵MO在面ABCD上的射影为OD，OD⊥AC，∴OM⊥AC，又∵MO在面CC1D1D中的射影与MN垂直，∴MO⊥MN，∴OM是AC和MN的公垂线．11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C. 2D. 3答案 C解析 如图，△ABE 为题中三角形，由已知得AB ＝2，BE ＝2×32＝3，BF ＝23BE ＝233， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝4－43＝83， ∴△ABE 的面积为S △＝12×BE ×AF ＝12×3×83＝ 2.故选C. 12．已知二面角α—l —β的平面角为θ，PA ⊥α，PB ⊥β，A 、B 为垂足，且PA ＝4，PB ＝5，设A 、B 到棱l 的距离分别为x 、y ，当θ变化时，点(x ，y )的轨迹是下列图形中的( )答案 D解析 如图，PO 2＝PA 2＋OA 2＝PB 2＋OB 2， ∴16＋x 2＝25＋y 2.∴x 2－y 2＝9且x ≥3，y >0.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，PM ⊥平面ABC ，当BC ＝18，PM ＝33时，PN 和平面ABC 所成的角是________．答案 30°解析 ∵PM ⊥平面ABC ，∴∠PNM 为PN 与平面ABC 所成的角．tan ∠PNM ＝PM MN ＝339＝33，∴∠PNM ＝30°.14．有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为________．答案3πr解析 由题意得交线为半径为32r 的圆周，其长为3πr . 15．在正四面体A —BCD 中，O 为底面△BCD 的中心，M 是线段AO 上一点，且使得∠BMC ＝90°，则AM MO＝________.答案 1解析 如右图所示，设正四面体A —BCD 的棱长为2，由∠BMC ＝90°，得BM ＝ 2.又可得BO ＝233，在Rt △BOM 中，MO ＝63，由勾股定理得AO ＝263，所以得AMMO ＝1.16．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 、分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BF 与直线AF 异面 ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BC ⊥平面PAD . 其中正确的有______个． 答案 2解析 将几何图展开拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为PA 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面PAD ，E ∈平面PAD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥⊥平面PBC ，③正确；平面PAD 与平面BCE 不一定垂直，④错．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD证明 取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则NE 綊12DC又∵AM 綊12DC ，∴NE 綊AM∴四边形AENM 为▱.∴MN ∥AE 又AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴ MN ∥平面PAD .18．(本小题满分12分)如右图所示，已知直二面角α—PQ —β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°.(1)证明：BC ⊥PQ ；(2)求二面角B —AC —P 的大小．解析 (1)如右图，在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB .因为α⊥β，α∩β＝PQ ，所以CO ⊥α.又因为CA ＝CB ，所以OA ＝OB .而∠BAO ＝45°，所以∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°.从而BO ⊥PQ . 又CO ⊥PQ ，所以PQ ⊥平面OBC .因为BC ⊂平面OBC ，故PQ ⊥BC . (2)由(1)知，BO ⊥PQ ，又α⊥β，α∩β＝PQ ，BO ⊂α，所以BO ⊥β. 过点O 作OH ⊥AC 于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH ⊥AC . 故∠BHO 是二面角B —AC —P 的平面角．由(1)知，CO ⊥α，所以∠CAO 是CA 和平面α所成的角，则∠CAO ＝30°. 不妨设AC ＝2，则AO ＝3，OH ＝AO sin30°＝32. 在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，所以BO ＝AO ＝ 3. 于是在Rt △BOH 中，tan ∠BHO ＝BO OH＝332＝2.故二面角B —AC —P 的大小为arctan2.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°.(1)求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1；(2)求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值； (3)求点C 1到平面A 1CB 的距离．解析 证明：(1)四边形BCC 1B 1是矩形，∴BC ⊥BB 1. 又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1.∵BC ⊂平面CA 1B ，∴平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1.解：(2)过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，D 即为B 1B 的中点，连接DC . ∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面BCC 1B 1， 故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角． 在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13.∵四边形A 1ABB 1是菱形，∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴A 1D ＝23，∴tan ∠A 1CD ＝A 1D CD ＝2313＝23913. (3)∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ，∴C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离． 连接AB 1，AB 1与A 1B 交于点O . ∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B . ∵平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC . ∴B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离，又B 1O ＝23， ∴C 1到平面A 1BC 的距离为2 3.20．(本小题满分12分)(09·广东)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 、AA 1的中点．设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(3)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．解析 (1)点A 、E 、G 、F 在平面DCC 1D 1的投影分别为点D 、E 1、G 1、F ，连结EF 、EE 1、EG 1、ED .则VE －DE 1FG 1＝VF －EE 1G 1＋VD －EE 1G 1＝13×1×1＋13×1×1＝23.(2)∵点E 在平面DCC 1D 1的正投影为点E 1， 则EE 1⊥面DCC 1D 1.∵FG 1⊂平面DCC 1D 1，∴EE 1⊥FG 1.在△E 1FG 1中，FG 1＝FD 12＋G 1D 12＝2，E 1F ＝FC 12＋E 1C 12＝2，E 1G 1＝2， ∴FE 12＋FG 12＝E 1G 12＝4，∴FG 1⊥FE 1， ∵FE 1∩EE 1于点E 1，∴FG 1⊥平面FEE 1.(3)取正方形ADD 1A 1的中心为M ，连结EM 、AM ，则EM 綊E 1G 1，且EM ⊥面AA 1D 1D ，∴EM ⊥AM .∵AM ＝AG 2＋MG 2＝2，AE ＝AB 2＋BC22＋AG 2＝6，EM ＝2， ∴sin ∠AEM ＝AM AE＝26＝33. ∴异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值为33. 21．(本小题满分12分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点．(1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角N —B 1M —B 的余弦值． (3)在棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论． 解析 (1)证明：∵在底面ABCD 内，BM MA ＝BNNC，∴BM ＝BN ，MN ∥AC . 又∵AC ⊥BD ，∴MN ⊥BD . 又BB 1⊥MN ，∴MN ⊥平面BB 1D 1D . 而BP ⊂平面BB 1D 1D ，∴MN ⊥BP .(2)解：在AA 1上取点Q ，使A 1Q ∶QA ＝1∶2， 连接PQ 、BQ 、BD ，则PQ ⊥平面A 1ABB 1. ∵PB ⊥平面B 1MN ，∴PB ⊥MN ，PB ⊥B 1M ， ∴根据三垂线定理逆定理，DB ⊥MN ，QB ⊥B 1M . 设BQ ∩B 1M ＝H ，连接NH . ∵NB ⊥平面B 1MB ，∴NH ⊥B 1M ，∴∠NHB 为二面角N —B 1M —B 的平面角． 令AB ＝3，则AQ ＝2，BQ ＝13， ∴cos ∠HBM ＝BH BM ＝BA BQ ＝313，∴在Rt △NBH 中，tan ∠NHB ＝BN BH ＝BM BH ＝133， ∴cos ∠NHB ＝32222.(3)解：存在点P ，且P 在DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.证明如下： ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴C 1C ⊥BD . 又AC ⊥BD ，∴BD ⊥平面ACC 1， 取AC 1中点O ，连接PO ，易证PO ∥BD ， 从而PO ⊥平面ACC 1，∵PO ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.22．(本小题满分12分)如右图所示，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA ＝AD ＝a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的大小； (2)求证：平面MND ⊥平面PCD ；(3)当AB 的长度变化时，求异面直线PC 与AD 所成角的取值范围． 解析 (1)PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，∴PD ⊥CD . 故∠PDA 是平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角． 在Rt △PAD 中，PA ⊥AD ，PA ＝AD ， ∴∠PDA ＝45°.(2)如右图所示，取PD 中点E ，连结AE 、EN .由M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴EN 綊12CD 綊12AB .∴AMNE 为平行四边形．∴MN ∥AE .在等腰Rt △PAD 中，AE 是斜边的中线，∴AE ⊥PD . 又CD ⊥PD ，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD .∴CD ⊥AE .又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD .∴MN ⊥平面PCD .∴平面MND ⊥平面PCD . (3)∵AD ∥BC ，∴∠PCB 为异面直线PC 、AD 所成的角．由三垂线定理知PB ⊥BC . 设AB ＝x (x >0)，∴tan ∠PCB ＝a 2＋x 2a＝1＋x a2>1.用心 爱心 专心 - 11 - 又∠PCB 为锐角，∴∠PCB ∈(π4，π2)， 即异面直线PC 、AD 所成角的范围是(π4，π2)．。

第2章 第6节一、选择题 1．若a>1，b>0，且ab ＋a －b ＝22，则ab －a －b 的值等于( )A. 6 B ．2或－2C ．－2D ．2[答案] D[解析] ∵a>1，b>0，∴ab>a －b.又∵ab ＋a －b ＝22，∴(ab ＋a －b)2＝a2b ＋a －2b ＋2＝8，∴(ab －a －b)2＝a2b ＋a －2b －2＝4，∴ab －a －b ＝2.2．若函数y ＝ax ＋b －1 (a>0，且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a<1，且b>0B ．a>1，且b>0C ．0<a<1，且b<0D ．a>1，且b<0[答案] C[解析] 如图所示，图像与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，即a0＋b －1<0，∴b<0，又图像经过第二、三、四象限，∴0<a<1.故选C.3．设f(x)＝|3x －1|，c<b<a 且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )A ．3c>3bB ．3b>3aC ．3c ＋3a>2D ．3c ＋3a<2[答案] D[解析] 作f(x)＝|3x －1|的图像如图所示，由图可知，要使c<b<a 且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0，∴3c<1<3a ，∴f(c)＝1－3c ，f(a)＝3a －1.又f(c)>f(a)，∴1－3c>3a －1，即3a ＋3c<2，故选D.4．函数的y ＝3x 图像与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2的图像关于( ) A ．点(－1,0)对称B ．直线x ＝1对称C ．点(1,0)对称D ．直线x ＝－1对称[答案] B [解析] y ＝3x ――→y 轴对称y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ――→右移2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2，在同一坐标系中作出y ＝3x ，y ＝3x －2图像，结合选项知选B.5．函数y ＝ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14[答案] B[解析] 当a>0，a≠1时，y ＝ax 是定义域上的单调函数，因此其最值在x ∈[0,1]的两个端点得到，于是必有1＋a ＝3，∴a ＝2.6．若函数y ＝4x －3·2x＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞，0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为( )A ．A BB ．A ＝BC ．B AD ．A ⊆B[答案] A[解析] ∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －322＋34的值域为[1,7]， ∴2x ∈[2,4]．∴x ∈[1,2]，即A ＝[1,2]．∴A B.7．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] 本题考查幂函数，指数函数、对数函数、余弦函数的性质．对任意的x>0，y>0，只有指数函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)·f(y)． 8．(2011·济宁模拟)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log23)＝( )A.124B.112C.18D.38[答案] A[解析] ∵2<3<4＝22，∴1<log23<2，∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log224＝2－log224＝2log2124＝124. 二、填空题9．(2011·海南五校联考)若x>0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________. [答案] －23[解析] 原式＝(2x 14)2－(332)2－4x1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|ax －1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 数形结合．由图可知0<2a<1，作出0<a<1和a>1两种图像易知只有0<a<1有可能符合．∴0<a<12.11．已知2x2＋x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－25516，32[解析] ∵2x2＋x≤2－2(x －2)，∴x2＋x≤－2(x －2)，解得－4≤x≤1.又∵y ＝2x －2－x 在[－4,1]上是增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1，故－25516≤y≤32.三、解答题12．设a>0，f(x)＝ex a ＋aex 是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解方程f(x)＝2.[解析] (1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即e －xa ＋ae －x ＝exa ＋aex 恒成立．整理，得(a2－1)(e2x －1)＝0对任意实数x 恒成立，故a2－1＝0.又∵a>0，∴a ＝1.(2)证明：设0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋1ex1－1ex2＝(ex2－ex1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex1＋x2－1＝ex1(ex2－x1－1)·1－ex2＋x1ex2＋x1，由x1>0，x2>0，x2－x1>0，得x1＋x2>0，ex2－x1－1>0,1－ex2＋x1<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由f(x)＝2，得ex ＋1ex ＝2，即e2x －2ex ＋1＝0.∴ex ＝1＝e0.∴x ＝0.故方程f(x)＝2的根为x ＝0. 13．函数f(x)＝2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax<2a ＋x(a ∈R)的解集为B ，求使A∩B＝A 的实数a 的取值范围．[解析] 由2－xx －1≥0，得1<x≤2，即A ＝{x|1<x≤2}． ∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax<2a ＋x 得2ax<a ＋x ，∴B ＝{x|(2a －1)x<a}．(1)当2a －1>0，即a>12时，x<a2a －1.又∵A ⊆B ，∴a 2a －1<2，解得12<a<23.(2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，满足A∩B＝A.(3)当2a －1<0，即a<12时，x>a2a －1.∵A ⊆B ，∴a2a －1≤1，解得a≤12或a≥1，∴a<12.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23.14．(2011·衡阳模拟)已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围.[解析] (1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴所求a ，b 的值为2,1.(2)由(1)知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－13. 15．已知定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x 4x ＋1. (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；(2)求证：f(x)在(0,1)上是减函数．[分析] 求f(x)在[－1,1]上的解析式，可以先求f(x)在(－1,0)上的解析式，再去关注x ＝±1,0时的函数值；函数的单调性可利用单调性定义来证明．[解析] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x 4－x ＋1＝－2x 4x ＋1，由f(0)＝－f(0)， 且f(1)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝－f(1)，得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0，∴在区间[－1,1]上，有f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈0，1，－2x 4x ＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x 4x ＋1. 设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝2x14x1＋1－2x24x2＋1＝2x2－2x12x1＋x2－14x1＋14x2＋1.∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,1)上是减函数．。

阶段性测试题十(算法初步)理阶段性测试题十(算法初步、框图)文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2010·天津卷)阅读右边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A．i<3？B．i<4?C．i<5? D．i<6?[答案] D[解析]第一步：i＝1，S＝2；第二步：S＝1，i＝3；第三步：S＝－2，i＝5；第四步：S＝－7，i＝7；输出S的值为－7，故选D.2．(2011·西安模拟)以下程序中，输出时A的值是输入时A的值的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍[答案] D[解析]输入A，A＝A＋A＝2A，A＝2]3．(2011·临川一模)下面的程序框图给出了计算数列{a n}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为()A．8 B．63C．92 D．129[答案] C[解析]程序框图是计算S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＝92，∴输出的S为92，故选C.4．(2009·福建6)阅读下图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是()A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 本小题主要考查流程图等基础知识．由程序框图易知输出的结果是4，故选D. 5．(2011·宣城调研)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7 [答案] C[解析] 因加密规则可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4c ＝1d ＝7故明文为6,4,1,7.6．(理)(2010·凤阳一模)如图，如果执行下边的流程图，那么输出的C ＝________.A ．3B ．5C ．8D ．13 [答案] B[解析] 此程序共执行了三次循环，最后输出的C 的值为5. (文)要表示直线与圆的位置关系最好用下列哪种框图来表示( ) A ．流程图B ．程序框图C ．结构图D ．统筹图[答案] C[解析] 直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离，它们三者是并列关系，都从属与直线与圆的位置关系，故宜用结构图表示．7．如图所示的程序框图输出的结果是( )A.34B.45C.56D.67[答案] C[解析] i ＝1≤4满足，执行第一次循环后，A ＝23，i ＝2；i ＝2≤4满足，执行第二次循环后，A ＝34，i ＝3；i ＝3≤4满足，执行第三次循环后，A ＝45，i ＝4；i ＝4≤4满足，执行第四次循环后，A ＝56，i ＝5；i ＝5≤4不满足，跳出循环，输出A ＝56. 8．(2011·吴旗模拟)下面是一个算法的程框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是13，则(1)处的关系式是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝3－xC ．y ＝3xD ．y ＝x 13[答案] C[解析] 当输入x 值为3时，得3－2＝1，则1－2＝－1，因为3－1＝13.故选C.9．阅读下列程序：x ＝input (“x ＝”)；if x<0y ＝－x ＋1；elseif x ＝0y ＝0； else y ＝x ＋1； end endprint (%io (2)，y )；则该程序对应的程序框图(如图)中，①、②两个判别框内要填写的内容分别是( ) A ．x >0 x <0 B ．x >0 x ＝0 C ．x <0 x ＝0 D ．x ≥0 x <0[答案] C[解析] 由题设可知：题中给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x<00 x ＝0x ＋1 x >0，求函数的函数值的程序对应的程序框①处的条件成立时，选用y ＝－x ＋1来求值，故值x <0；②处的条件成立时，选用y ＝0来求值，故填x ＝0.10．(2011·安徽安庆调研)执行如图所示的流程图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是( )A ．3B ．7C ．15D ．31[分析] 本题在知识方面主要考查同学们对流程图结构的识别及等比数列求和的有关知识，在能力方面主要考查学生处理问题和分析问题的逻辑思维能力．处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案．本题若将n ＝n ＋1与S ＝S ＋2n －1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下．[答案] C[解析] 第一次循环后，S ＝0＋1＝1，n ＝2；第二次循环后S ＝0＋1＋2＝3，n ＝3 第三次循环后，S ＝0＋1＋2＋22＝7，n ＝4； 第四次循环后，S ＝0＋1＋2＋22＋23＝15，n ＝5； 所以只需使p ＝15，便可使得循环结束，输出n 的值为5.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2010·江苏卷)下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．[答案] 63[解析] 本题主要考查程序框图的相关知识，求解的关键是确定循环的次数，再进行运算即可得到输出的结果．由算法流程图知，当n ＝1时，S ＝1＝21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63.12．(2011·江苏扬州模拟)给出一个算法： 输入x If x ≤0 Then f (x )←4x Else f (x )←2x End If End If 输出f (x )根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝________. [答案] 0[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤0，2x ，x >0，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋22＝0.13．(文)(2011·常州)根据下图：则“函数的应用”包括的主要内容有______________________． [答案] 函数与方程、函数模型及其应用(理)(2011·宜川一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，(1≤n ≤4)a n －4，(n >4)，计算其前102项和的算法流程图如图所示，图中①，②应该填________，________.[答案] a n ＝a n －4 n ＝n ＋1[解析] 算法流程图中用的循环体中应有使循环结束的语句，故应有n ＝n ＋1，而n ＝n ＋1使原来的n 的值增加1，故应在求和后，所以应填在②中，而①应填给a n 赋值的语句a n ＝a n－4.14．(2010·广东卷)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4(单位：吨)．根据下图所示的程度框图，若x 1，x 2，x 3，x 4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s 为__________.[答案] 32[解析] 本题考查了程序框图中循环结构的用法，注意S 与S 1不能混，S ＝1＋1.5＋1.5＋24＝32. 15．(2009·安徽)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本知识．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·合肥模拟)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．[分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．[解析] 程序框图如图所示：[点评]设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需要的条件．17．(本小题满分12分)(2011·九江质检)按有关规定，儿童乘火车，若身高不超过1.1m，则无需购票；若身高超过1.1m，但不超过1.4m，可买半票；若超过1.4m应买全票．试设计一个购票流程图．[解析]由题意画购票流程图如下：18．(本小题满分12分)(理)(2011·安阳调研)设计一个计算1×3×5×7×…×99的算法，并画出它的程序框图．[解析]算法：S1：S＝1；S2：i＝3；S3：S＝：S×i；S4：i＝i＋2；S5：如果i≤99，转到S3；S6：输出S.程序框图如右：(文)(2011·安阳调研)据有关人士预测，我国将逐步进入新一轮消费周期，其特点是：城镇居民消费热点主要为商品住房、小轿车、电子信息产品、新型食品，以及服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电．试画出消费的结构图．[解析]19．(本小题满分12分)(2011·河南新乡模拟)春节到了，小刘的妈妈的糖果店里忙极了，请你帮她设计一个程序方便算账，已知果糖每千克16.8元，奶糖每千克32.6元，巧克力每千克41元．那么依次购买这三种糖果a、b、c千克，应收取多少元？[解析]程序：20．(本小题满分13分)到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元但不超过1000000元，一律收取50元手续费．设计算法求：当汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，画出程序框图．[解析]程序框图：21．(本小题满分14分)(2011·西安高二期末测试)高三(1)班共50名同学参加数学竞赛，现已有这50名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀同学的平均分输出的算法(规定90分以上为优秀)，画出程序框图，并设计程序．[分析]本题由于涉及到50名同学的分数，因此可以使用循环结构控制输入分数，用条件结构来判断分数是否高于90分，同时统计高于90分的成绩的总和和人数，进而求平均分．[解析]程序框图如下：程序为：S＝0M＝0i＝1WHILE i<＝50 IPNPUT xIF x>90THENS＝S＋xM＝M＋1 END IFi＝i＋1 WENDP＝S/MPRINT PEND。