2020届四川省遂宁市第二中学校高三高考适应(二)考试数学(文)试题(解析版)

遂宁二中高中2022届2020-2021学期期末试题数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过点(0,3)且倾斜角为0的直线方程为 A ．3x =B ．3y =C ．3y x =+D ．23y x =+ 2．圆心为(3,4)-，半径是2的圆标准方程为A ．22(3)(4)4x y ++-=B ．22(3)(4)4x y -++= C ．22(3)(4)2x y ++-=D ．22(3)(4)2x y -++=3．若直线1:260l ax y ++=与直线()22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a 的值为 A ．2a =-或1a =B ．2a = C ．2a =或1a =-D ．1a =-4．下列茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是A ．甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数。

B ．甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数。

C ．甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数。

D ．甲组学生得分的方差大于乙组选手得分的方差。

5．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题，其中正确命题的序号是①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ； ②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ；③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥；A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④6．某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色､黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色､紫色两种颜色的毛线编织的概率是A ．13B ．14C ．12D ．347．设x y 、满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则Z x y =+的最小值是A ．-7B ．2C ．3D ．-58．下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是A ．43πB ．623π+C ．12πD ．423π+9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足12PA PB =．当,,P A B 三点不共线时，PAB ∆面积的最大值为 A ．24B ．12C ．43310．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4,AB BC AA E ===为棱1CC 的中点，异面直线AE 与CD 所成角为α，则2sin 2cos αα+的值为A ．213B ．223C ．213D ．223 11．直线10x y +-=与直线240x y --=交于点P ，则点P 到直线120()kx y k k R -++=∈的最大距离为A 2B ．2C ．25．412．已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点：①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥；②若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； ③若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积为定值；④E 为AD 中点，过点1,B 且与平面1A BE 6⑤若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD +的最小值为22+ 以上命题为真命题的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2020届四川省遂宁市高三二诊数学（文）试题一、单选题1．已知集合|A x y ⎧==⎨⎩，{2,1,0,1,2,3}B =--，则()A B =R I ð（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】利用函数定义域，化简集合A ，利用集合交集、补集的运算，即得解 【详解】由题意得集合|A x y ⎧==⎨⎩(,2)=-∞， 所以[2,)R A =+∞ð， 故(){2,3}R AB ⋂=ð． 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题2．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为12z i =，求出z ，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】Q 221sin cos 3322z i i ππ=-+=--，12i z ∴=，则z 在复平面内对应的点的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题. 3．“1x >”是“2log 0x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】2log 01x x >∴>∴Q “1x >”是“2log 0x >”的充要条件，选C.4．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π，所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.6．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.7．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值.【详解】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+.因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．2D ．3【答案】B【解析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，联立方程，求得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由16PF OP =，列出相应方程，求出离心率.【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--， 由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．11．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦【答案】C【解析】由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x--'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，进而得出结论. 【详解】解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解， 即2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=， 则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件．故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．12．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③【答案】B【解析】由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论. 【详解】解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-， 根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称， 所以直线//AE y 轴．所以②正确．如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．二、填空题13．已知平面向量(),2a m =r ，()1,3b =r ，且()b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与b r的夹角的大小为________． 【答案】4π 【解析】由()b a b ⊥-r r r ，解得4m =，进而求出2cos ,2a b =r r .【详解】解：因为()b a b ⊥-r r r，所以()()1,31,1130m m ⋅--=--=，解得4m =，所以22224,21,32cos ,24213a b ⋅==+⋅+r r ，所以向量a r 与b r 的夹角的大小为4π．都答案为：4π. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．【答案】30【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 【详解】根据直方图知第二组的频率是0.040100.4⨯=，则样本容量是802000.4=， 又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15+⨯=， 则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530⨯=． 故答案为：30 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题. 15．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 【答案】210-【解析】试题分析：因344ππα<<,故,所以，,应填2-【考点】三角变换及运用．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】构造2()()g x f x x =-，先利用定义判断()g x 的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化2(2)(1)321f x f x x x -->+-为(2)(1)g x g x >-，结合奇偶性，单调性求解不等式即可. 【详解】令2()()g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，()()20g x f x x ''=-<，则()g x 在(0,)+∞上递减，于是在(,0)-∞上递增．由2(2)(1)321f x f x x x -->+-得22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---， 即(2)(1)g x g x >-， 于是(|2|)(|1|)g x g x >-， 则|2||1|x x <-， 解得113x -<<． 故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：()1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？()2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券．若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】()1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；()2815. 【解析】()1由题得2505.556 5.0249K =≈>，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率. 【详解】解析：()1由题得()222004040804050 5.556 5.02412080801209K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()34,B B ，共15个．其中仅有1人是女顾客的基本事件有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，共8个．所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率815P =． 【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．18．已知等差数列{}n a 满足11a =，公差0d >，等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，35b a =．()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ()2若数列{}n c 满足3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】()121n a n =-，13n n b -=；()23nn S =.【解析】()1由11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =.进而求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =，当2n …时，由3121123n n n c c c c a b b bb ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n c c c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，可得123n n c -=⋅，进而求出前n 项和n S ． 【详解】解：()1由题意知，11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列， 所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =． 所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．数列{}n b 的公比3q =，其通项公式13n n b -=．()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =．当2n ≥时，由3121123n n n c c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n cc c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=， 两式相减得1nn n nc a a b +=-，所以123n n c -=⋅．故13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩所以{}n c 的前n 项和231323232323n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()131332313n n-⎡⎤⨯-⎢⎥=+=-⎢⎥⎣⎦，2n ≥．又1n =时，1113S a ==，也符合上式，故3nn S =.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，10PC =，E 为线段AD 的中点．()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；()2是否存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAED PFB V V --=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】()1证明见解析；()2 2.【解析】()1利用面面垂直的判定定理证明即可；()2由PF FC λ=u u u r u u u r，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=，继而得出λ的值. 【详解】解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=， 所以AD ⊥平面PBE ． 又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ．()2由PF FC λ=u u u r u u u r ，知()1FC PC λ+=．所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=， 所以，2λ=．即存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAE D PFB V V --=，此时2λ=．【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．20．已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A在椭圆C 上，点B 在直线y =上的点，且OA OB ⊥．()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切； ()2求AOB V 面积的最小值．【答案】()1证明见解析；()2 1.【解析】()1由题意可得椭圆C 的方程为2212x y +=，由点B 在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，分类讨论当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆221x y +=相切；()2由()1知，AOB V 的面积为112S OA OB =⋅… 【详解】解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=．由点B在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0时，OA =OB =，于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212x y +=联立得()22122k x +=，所以22212Ax k =+，222212A k y k =+，从而2222212k OA k+=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B在y =上，故x =， 从而2222OB k =+，于是22111OAOB+=．此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切． 综上，直线AB 与圆221x y +=相切．()2由()1知，AOB V 的面积为2211211122k S OA OB ++⎛=⋅===≥，上式中，当且仅当0k =等号成立， 所以AOB V 面积的最小值为1． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．21．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．（1）求证：00ln 0x x +=；（2）若0x x …时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）[1,)e -+∞.【解析】（1）对()f x 求导，令()ln 1xg x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=，即得证；（2）分00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00110x a x ++-…时，转化()n 20mi 0001()f x f x x x a x ==++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解.【详解】（1）由题意()ln 1xf x e x a '=-+-，令()ln 1xg x e x a =-+-，则1()xg x e x'=-，知()g x '为(0,)+∞的增函数， 因为(1)10g e '=->，1202g '⎛⎫=<⎪⎝⎭， 所以，存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=．所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数， 当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数，故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '取得最小值．故00x t =，于是有0010x e x -=，即001x e x =， 所以有00ln 0x x +=，证毕．（2）由（1）知，()ln 1xf x e x a '=-+-的最小值为0011x a x ++-，①当00110x a x ++-…，即0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数， 所以()020min 0000001()ln xf x f x e x x x a x x a x ==-+=++， 2000000011111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫++-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦…， 由（1）中0112x <<，得00111x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()1f x >． 故0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…满足题意． ②当00110x a x ++-<，即0011a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ， 且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x xf x e x a a x e '=-+-=⇒=-+，若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（） 若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数， 所以()f x 的最小值为()2f x ．注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…， 所以201x <…，即210x -≥，又()()()22222222222222ln ln ln 11xxxxf x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+()()22111x x e =--+，而210x e ->，所以()()221111xx e --+>，即()21f x >．由于在0112x <<下，恒有001x e x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以00111e x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭． （ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=， 所以201x x >>，所以由（）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，所以()(1)1f x f e a <=+<，不满足0x x …时，()1f x …恒成立，故舍去． 故00111e a x x ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭…满足条件． 综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞． 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，且AOB V 为正三角形．（1）求点A ，B 的极坐标；（2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求||BM 的最大值． 【答案】（1）A 2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，B 2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）12+【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C 的方程，可得点M在以12Q ⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上，所以||BM 的最大值为1||2BQ +，即得解. 【详解】（1）因为点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，AOB V 为正三角形，所以点A 在曲线(0)6πθρ=>上．又因为点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上， 所以点A 的极坐标是2,6π⎛⎫⎪⎝⎭， 从而，点B 的极坐标是2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭．（2）由（1）可知，点A的直角坐标为，B的直角坐标为1)- 设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C的方程，有1cos ,211sin ,22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即点M在以122Q ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上．||BQ == 所以||BM的最大值为11||22BQ += 【点睛】本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|21|f x x =+． （1）解不等式：()(2)6f x f x +-…； （2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-…．【答案】（1）{|12}x x -剟； （2）见解析. 【解析】（1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，()22(1)22f x af x a+--+…，222232323x a x a a a a ++++--+…，比较22323,22a a a -++大小即可.【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-， 于是原不等式化为|21||23|6x x ++-…，若21x <-，则21(23)6x x ----…，解得112x -<-…； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-…，解得1322x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-…，解得322x <…．第 21 页 共 21 页 综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟． （2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+…． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…， 由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…， 于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-…．【点睛】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.。

遂宁二中高2020届高三上期第二学月考试数 学 试 卷（文科）（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知M ＝{y |y ＝x ＋1}，N ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则集合MN 中元素的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．多个2、命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或B.若11<<-x ，则12<xC.若11-<>x x ，或，则12>xD.若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3、设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 4．已知函数f(x)＝6x－2log x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)5．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．25 B ．35 C ．45 D ．656、函数()3sin 2f x x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象为C ，有以下三个论断：①图象C 关于直线1112x =π对称；②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．37、若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）A ．B ．12-C ．12D8．已知点A B C 、、在函数())(0)3f x x πωω=+>，如图，若AB BC ⊥，则=ω( )A ．1 B.π C ．12 D ．2π9．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164D ．1或－16410．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R 。

2024学年四川省遂宁第二中学高三下学期第二次模拟考试数学试题理试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<2．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20B ．18C ．16D ．145．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切6．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值7．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆8．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定10．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．9911．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<12．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．[1,2]-B ．[3,2]-C ．2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[2,2]-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

遂宁市第二中学2020届高三年级上学期第二次高考模拟测试理科综合试题考生注意：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷、机读卡上。

考生认真核对。

2、第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答,在试卷上作答,答案无效。

3、考试结束后,请将答题卷和机读卡一并上交。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14第I卷(选择题共126分)一、选择题：本题共13小题,每小题6分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求1.下列关于真核细胞中核酸的叙述,正确的是A.细胞中的核酸包括脱氧核苷酸和核糖核苷酸两大类B.姐妹染色单体上具有1个亲代和1个子代DNA分子C.半保留复制合成的子代DNA保留了亲代的全部遗传信息D.翻译时转运RNA分子的磷酸基团端与相应的氨基酸结合2.下列有关细胞结构的说法,错误的是A.蓝藻发生能量转换的场所在细胞质基质和叶绿体B.细胞内的囊泡除了来自于细胞器还可来自细胞膜C.人剧烈运动时产生的CO2全部来自于线粒体基质D.植物细胞分裂时,细胞板的形成与高尔基体有关3.如图表示在最适温度下,A、B两种植物随着光照强度的变化CO2吸收速率的变化曲线。

下列分析正确的是A.光照强度为a时,植物B叶肉细胞和外界没有气体交换B.与植物B相比,植物A更适宜生活在光照较弱的环境中C.光照强度为d时,限制A和B光合速率的环境因素相同D.光照强度为c且每天6h光照时,B植物能够积累有机物4.果蝇的生物钟基因位于X染色体上,有节律（X B）对无节律（X b）为显性；体色基因位于常染色体上,灰身（A）对黑身（a）为显性。

在基因型为AaX B Y 的雄蝇减数分裂过程中,出现一个基因型为AAX B X b的变异细胞（只考虑一种变异）,下列说法错误的是A.AAX B X b的变异细胞是初级精母细胞B.该精原细胞最终形成3种类型的精子C.形成该细胞过程中,有节律基因发生了突变D.该过程中B和b随染色单体分开发生了分离5.下列关于种群和群落的叙述,不正确的是A.标志重捕法是估算动物种群密度的常用方法B.群落中捕食者的存在有利于增加物种多样性C.各种群关系和边界范围等属于群落水平上研究的问题D.出生率和死亡率、年龄组成等都会直接影响种群密度6.2018年度诺贝尔生理和医学奖颁给了两位免疫学家,他们发现：若PD-1和PD-L1之间建立起信息交流,会“麻痹”T细胞而使肿瘤细胞逃脱免疫系统的作用。

四川省遂宁市第二中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离为9，则椭圆E的离心率等于( )A． B． C．D．参考答案：答案:B2. 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( )（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：【解】：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，则∴∴∴故选B 【点评】：此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考察空间想象能力；【突破】：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键；3. 设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是（）A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]参考答案：D，所以，因为，所以，所以，即，即导数的取值范围是，选D.4. 若集合，且，则集合可能是A. B. C. D.参考答案：A5. 某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )A. B.C. D.300参考答案：A6. 设a，b，c是平面向量，则a·b＝b·c是a=c的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知函数的最大值和最小值分别是，则为A．1 B．2 C．-1 D．-2参考答案：A8. 双曲线上一点到左焦点的距离为4，则点到右准线的距离为（）A.1 B.2 C.3D. 1或3参考答案：D9. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）参考答案：A略10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴端点分别为A1，A2，记双曲线的其中的一个焦点为F，一个虚轴端点为B，若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点P i（i=1，2），使得∠A1P i A2=，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（1，）D．（，+∞）参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出直线BF的方程为cx+by﹣bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．【解答】解：由题意可设F（0，c），B（b，0），则直线BF的方程为cx+by﹣bc=0，∵在线段BF上（不含端点）有且只有不同的两点P i（i=1，2），使得∠A1P i A2=，∴线段BF与以A1A2为直径的圆相交，即＜a，化为b2c2＜a4，又b 2=c 2﹣a 2，e=，∴e 4﹣3e 2+1＜0，解得＜e 2＜，又e ＞1∴1＜e ＜，∵在线段BF 上（不含端点）有且仅有两个不同的点P i （i=1，2），使得∠A 1P i A 2=，可得a ＜b ，∴a 2＜c 2﹣a 2，解得e ＞， 综上得，＜e ＜．故选：A ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______________. 参考答案： 2412. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于、，若满足，则双曲线的离心率是.参考答案：13. 等比数列{a n }的前n 项和，则a =________．参考答案：114. 已知，则参考答案：略14、设，，则的值是____________。

2020年四川省遂宁市高考数学三诊试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−3,−1,0，1，3}，B ={x|x 2+3x =0}，则A ∩B =( )A. {−3,0，3}B. {−3,0}C. {0,3}D. {−3,−1,0，1，3} 2. 若复数z 满足(1+i )z =|3+4i |，则z 的虚部为( )A. 5B. 52C. −52D. −53. 已知一个几何体的正视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为( )A. 4π3 B. 8π3 C.16π3D.32π34. 在(1−2x)6的展开式中，含x 3项的系数为 ( )A. 160B. −160C. 240D. −2405. 若cos(2π−α)=−√53且α∈(π,3π2)，则sin(π+α)=( )A. −√53B. −13C. ±23D. 236. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.682 6，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4．A. 2 386B. 2 718C. 3 413D. 4 7727. 将函数f(x)=sinx +cosx 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为( )A. −π4B. π4C. 3π4D. 5π48.△ABC中，a=√3,A=π3,4bsinB=csinC，则cosC=()A. √32B. −√32C. −√32或√32D. 09.已知双曲线C：y28−x2b2=1(b>0)的离心率为√2，则焦点到渐近线的距离为()A. 2B. 2√2C. 4D. 810.已知点P(x,y)满足{x+y≤4y≥xx≥1，过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A. 2B. 2√6C. 2√5D. 411.如图，ABCD−A1B1C1D1是长方体，∠BAB1=∠B1A1C1，则AA1与B1C所成的角为()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°12.已知函数f(x)=x2+2x+alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A. a<−4B. a≥0C. a≤−4D. a>0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =2，且b⃗ =(1,3)，则a⃗在b⃗ 方向上的投影为__________．14.曲线y=x+1x−1在点(3,2)处的切线的斜率等于________________________．15.方程12sinx=lg√|x|根的个数为_____．16.已知F是抛物线y2=8x的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为A(−2,0)，则|PF||PA|的最小值是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}中，a2=3，a10=19，函数f(x)=sinx+cosx+2n−1(n∈N∗)的最大值为b n+√2．(1)求a n，b n；(2)设数列{a n·b n}的前n项和为S n，求S n．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB ⊥PD ．(1)证明：平面PAB ⊥平面PCD ；(2)若PB =PC ，E 为棱CD 的中点，∠PEA =90°，BC =2，求二面角B −PA −E 的余弦值．19. 一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等奖，资金为2000元，三人中有两人闯关成功为二等奖，资金为1000元，三人中有一人闯关成功为三等奖，资金为400元，其它情况不得奖，现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为12，丙闯关成功的概率为34，三人闯关相互独立． (Ⅰ)求得一等奖的概率； (Ⅱ)求得资金的数学期望．20. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点是椭圆x 24+y 2m=1的顶点，且两曲线的交点到y 轴的距离为1． (1)求抛物线和椭圆的方程;(2)过抛物线焦点的直线与椭圆交于点A 、B ，O 为坐标原点，求三角形OAB 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=ae x x −2ae x −12x 2+x ．(1)求曲线y =f (x )在点(2,f(2))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C ：p 2−2aρcosθ+a 2−4=0(a >0)，过点P(−2,−4)的直线l 的参数方程{x =−2+√22ty =−4+√22t (t 为参数)，直线与曲线C 分别相交于M 、N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)是否存在实数a ，使得|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，并对你的结论说明理由．23. 已知函数f(x)=√x 2−4x +4−2|x|．(1)求不等式f(x)>1的解集；(2)若正数a ，b ，c ，满足a +4b +9c =f(13)+2，求1a +4b +9c 的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．解答】解：∵集合A={−3,−1,0，1，3}，B={x|x2+3x=0}={0,−3}，∴A∩B={0,−3}．故选B．2.答案：C解析：【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由(1+i)z=|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查空间几何体的三视图，以及球的表面积．【解答】解：根据题意得，该空间几何体为底面直径为2的圆锥，如图所示：所以AO 2=AO 12+OO 12，即R 2=(√3−R)2+12，解得R =2√33， 所以S 球=4π×(2√33)3=16π3，故选C ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．由二项式定理及展开式通项得：T r+1=C 6r ·16−r ·(−2x)r =(−2)r ·C 6r·x r ，则含x 3项的系数为：(−2)3C 63=−160，得解．【解答】解：(1−2x)6的展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ·16−r ·(−2x)r =(−2)r ·C 6r ·x r ， 令r =3，所以含x 3项的系数为：(−2)3C 63=−160，故选B ．5.答案：D解析：解：∵cos(2π−α)=−√53且α∈(π,3π2)，∴cosα=−√53，sinα=−√1−cos 2α=−23，∴sin(π+α)=−sinα=√1−cos 2α=√1−59=23． 故选：D ．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，利用诱导公式化简所求后即可代入求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．×0.6826=0.3413，即可得出结论．求出P(0<X≤1)=12【解答】×0.6826=0.3413，解：由题意P(0<X≤1)=12∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选C．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，先把f(x)化成，利用图象平移得到，结合正弦函数的奇偶性即可求解，属于基础题．【解答】)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，解：由题意可得，将函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4+φ)为奇函数，则，因为φ>0，所得函数为y=√2sin(x+π4，所以φ的最小值为3π4故选：C．8.答案：D,4bsinB=csinC，解析：解：∵a=√3,A=π3∴由正弦定理可得4b2=c2，可得：c=2b，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得3=b2+4b2−2b⋅2b⋅1，可得b=1，c=2，2∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=3+1−42×√3×1=0，故选：D ．由已知利用正弦定理可求c =2b ，进而由余弦定理可求b ，c 的值，根据余弦定理可求cos C 的值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.答案：B解析： 【分析】运用离心率公式和渐近线方程可得b ，c ，结合点到直线的距离公式，进而得到焦点到渐近线的距离． 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题． 【解答】 解：双曲线C ：y 28−x 2b 2=1(b >0)的离心率为√2，则e =ca =√2，即c =√2×2√2=4，则b =2√2． 设焦点为(4,0)，渐近线方程为y =x ， 则d =4√2=2√2， 故选：B ．10.答案：D解析：解：约束条件{x +y ≤4y ≥x x ≥1的可行域如下图示：画图得出P 点的坐标(x,y)就是三条直线x +y =4，y −x =0和x =1构成的三角形区域，三个交点分别为(2,2)，(1,3)，(1,1)，因为圆c ：x 2+y 2=14的半径r =√14，得三个交点都在圆内， 故过P 点的直线l 与圆相交的线段AB 长度最短， 就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度 .三角形区域内距离原点最远的点就是(1,3)，可用圆d ：x 2+y 2=10与直线x =y 的交点为(√5,√5)验证， 过点(1,3)作垂直于直线y =3x 的弦， 国灰r 2=14，故|AB|=2√14−10=4， 所以线段AB 的最小值为4． 故选：D ．本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件{x +y ≤4y ≥x x ≥1的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在(1,3)处取得最小值．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．11.答案：C解析：解：∵ABCD −A 1B 1C 1D 1是长方体，∠BAB 1=∠B 1A 1C 1， tan∠BAB 1=BB 1AB=tan∠B 1A 1C 1=B 1C1A 1B 1，∴B 1C 1=BB 1，∵AA 1//BB 1，∴∠BB 1C 是AA 1与B 1C 所成的角， ∵BB 1⊥BC ，BC =BB 1，∴∠BB 1C =45°， ∴AA 1与B 1C 所成的角为45°． 故选：C ．本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．推导出B 1C 1=BB 1，由AA 1//BB 1，得∠BB 1C 是AA 1与B 1C 所成的角，由此能求出AA 1与B 1C 所成的角．12.答案：B解析：解：f ′(x)=2x +2+ax (x >0)．∵函数f(x)在(0,1)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0,1)上恒成立． ∴2x +2+ax ≥0，x ∈(0,1)⇔a ≥(−2x 2−2x)max ，x ∈(0,1)． 令g(x)=−2x 2−2x =−2(x +12)2+12，则g(x)在(0,1)单调递减． ∴g(x)<g(0)=0． ∴a ≥0． 故选B ．由函数f(x)在(0,1)上单调递增，可得f′(x)≥0在(0,1)上恒成立．即2x +2+ax ≥0，x ∈(0,1)⇔a ≥(−2x 2−2x)max ，x ∈(0,1).利用二次函数的单调性求出即可．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、等价转化、二次函数的性质等是解题的关键．13.答案：2√1010解析： 【分析】本题考查向量的数量积及投影，属于基础题．由题a ⃗ ⋅b ⃗ =2得，又， 即可求得向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影．【解答】 解：∵a ⃗ ⋅b ⃗ =2，，又|b ⃗ |=√10， ∴，∴向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为2√1010． 故答案为2√1010． 14.答案：−12解析：解析：本题考查求导公式和求导法则，熟记公式和法则是解题的关键，考查导数的几何意义求切线的斜率k =y′|x=3，题目比较基础． 【解答】 解：∵y =x+1x−1， ∴y′=x−1−(x+1)(x−1)2=−2(x−1)2，y′|x=3=−2(3−1)2=−12，∴曲线y =x+1x−1在点(3,2)处的切线的斜率是k =−12． 故答案−12．15.答案：6解析： 【分析】本题函数图象的作法与应用，函数的零点与方程根的关系，属于基础题． 根据题意，方程根的个数转化为与y =lg√|x |图象交点的个数，分别作出图象即可． 【解答】解：根据题意，方程根的个数， 转化为与y =lg√|x |图象交点的个数，分别作出图象如图所示，由图可得与y =lg√|x |图象有6个交点，故答案为6．16.答案：√22解析： 【分析】本题考查抛物线的性质，设点P 的坐标为(x,y)，求得|PA |=√(x +2)2+y 2，|PF |=x +2，则|PF||PA|=()22，求最小值．【解答】 解：设P(x,y)， 则y 2=8x ， ∵F(2,0)，A(−2,0)， ∴|PF ||PA|=()22=2=√−16(x+2)2+8(x+2)+1，设t =1(x+2)，x ≥0,0<t ⩽12， ∴|PF ||PA |=√−16t 2+8t+10<t ≤12，当t =14时，g(t)=−16t 2+8t +1最大值为2， ∴|PF ||PA |=√−16t 2+8t+1的最小值为√22，故答案为√22．17.答案：解：(1)因为在等差数列{a n }中，a 2=3，a 10=19，所以公差d =a 10−a 210−2=2，所以a n =a 2+(n −2)×2=2n −1．因为f(x)=sinx +cosx +2n−1=√2sin(x +π4)+2n−1，所以f(x)的最大值为√2+2n−1，且√2+2n−1=b n +√2，所以b n =2n−1． (2)由题可得a n b n =(2n −1)×2n−1，则S n =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n −1)×2n−1，2S n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −1)×2n ，上述两式相减可得−S n =1×20+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−(2n −1)×2n ， 即−S n =1+2×2(1−2n−1)1−2−(2n −1)×2n ，所以S n =(2n −3)2n +3．解析：本题考查等差数列的通项公式、等比数列的前n 项和、错位相减法求和等，考查学生的运算求解能力.(1)先求出等差数列的公差，然后根据等差数列的通项公式的求法可得a n ，先求出sinx +cosx 的最大值，然后可得函数f(x)的最大值，进而可得b n ；(2)因为{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，所以采用错位相减法可求得S n ．18.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴CD ⊥PB ．∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD ． ∵PB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ． (2)解：设BC 中点为O ，连接PO ，OE ，∵PB =PC ，∴PO ⊥BC ，又面PBC ⊥面ABCD ， 且面PBC ∩面ABCD =BC ， 所以PO ⊥面ABCD ．以O 为坐标原点，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ． 由(1)知PB ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，故PB ⊥PC,∴PO =12BC =1，设AB =a ， 可得P(0,0,1),E(1,a2,0),A(−1,a,0),B(−1,0,0)， 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a 2,−1),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,a 2,0)， 由题得PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得a =2√2． 所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√2,−1),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√2,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面PAB 的法向量， 则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +2√2y −z =02√2y =0,令x =1，可得n⃗ =(1,0，−1)． 设m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)是平面PAE 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−a +2√2b −c =0−2a +√2b =0, 令a =1，可得m ⃗⃗⃗ =(1,√2,3)． cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−√66． 又二面角B −PA −E 的平面角为钝角， 所以二面角B −PA −E 的余弦值为−√66．解析：本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(1)证明CD ⊥BC.CD ⊥PB.PB ⊥PD 推出PB ⊥平面PCD.然后证明平面PAB ⊥平面PCD ．(2)设BC 中点为O ，连接PO ，OE ，以O 为坐标原点，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.求出平面PAB 的法向量，平面PAE 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −PA −E 的余弦值即可．19.答案：解：(1)获得一等奖的概率P 1=12×12×34=316.(4分)2)二等奖的概率p 2=12×12×34+12×12×34+12×12×14=716.(6分) 三等奖的概率P 3=12×12×34+12×12×14+12×12×14=516，(8分) 不得奖的概率P 4=12×12×14=116， ∴X 的分布列为：(10分)奖金的数学期望EX =2000×16+1000×16+400×16+0×16=937.5.(12分)解析：(1)利用相互独立事件概率乘法公式能求出获得一等奖的概率．(2)分别求出一等奖、二等奖、三等奖和不得奖的概率，由此能求出X 的分布列，从而能求出奖金的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．20.答案：解：(1)由条件得{p2=214+2p m=1，解得{b =4m =323∴抛物线的方程为y 2=8x ，椭圆的方程为x 24+3y 232=1．(2)由(1)得抛物线的焦点为(2,0)，设A(2,0)，B(x 0,y 0)，∴S △OAB =12×2|y 0|=|y 0|. ∵|y 0|≤4√63， ∴S △OAB 的最大值为4√63．解析：本题考查抛物线和椭圆的标准方程，抛物线的性质以及直线与椭圆的位置关系，求出抛物线和椭圆的标准方程是解题的关键．(1)根据已知条件列出方程组，可求出抛物线和椭圆的方程；(2)根据(1)求得抛物线的交点坐标，可设A(2,0)，B(x 0,y 0)，再求得三角形面积等于|y 0|，根据几何意义求出最大值．21.答案：(1)由题意，函数f(x)=ae x x −2ae x −12x 2+x ，则f′(x)=a(e x +xe x )−2ae x −x +1=(x −1)(ae x −1)，可得曲线y =f (x )在点(2,f(2))处的切线斜率为ae 2−1，切点坐标为(2,0)， 所以切线的方程为y −0=(ae 2−1)(x −2)，即y =(ae 2−1)(x −2)； (2)函数f (x )的导函数为f′(x)=(x −1)(ae x −1)， ①当a =0时，f′(x )=−(x −1)， 若x >1，则f ′(x)<0，f (x )单调递减， 若x <1，则f ′(x)>0，f (x )单调递增．②当a <0时，若x >1，则f′(x )<0，f (x )单调递减； 若x <1，则f′(x )>0，f (x )单调递增．③当a >0时，若a =1e ，则f′(x )=(x −1)(e x−1−1),f (x )在R 上单调递增． 若a >1e ，则f′(x )>0，即为，可得x >1或x <ln 1a ；f′(x )<0，即为，可得ln 1a <x <1．若0<a <1e ，则f′(x )>0，即为，可得x <1或x >ln 1a ；f′(x )<0，即为，可得1<x <ln 1a ，综上可得，当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(1,+∞)； 当a =1e 时，f (x )的单调递增区间为R ；当a >1e 时，f (x )的单调递增区间为(1,+∞)，(−∞,ln 1a )，单调递减区间为(ln 1a ,1)； 当0<a <1e 时，f (x )的单调递增区间为(ln 1a ,+∞)，(−∞,1)，单调递减区间为(ln 1a ,1)解析：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)求出f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；(2)求出f(x)的导数f′(x)=(x −1)(ae x −1)，对a 讨论，分a ≤0时，a =1e 时，a >1e 时，0<a <1e 时，由导数大于0，可得增区间，导数小于0可得减区间．22.答案：解：(1)C ：(x −a)2+y 2=4，l ：y =x −2；(2)将{x =−2+√22ty =−4+√22t 代入(x −a)2+y 2=4，得t 2−(6√2+√2a)t +a 2+4a +16=0， 设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理，得t 1+t 2=6√2+√2a ，t 1t 2=a 2+4a +16， 所以|MN|2=|PM|⋅|PN|得(t 1−t 2)2=t 1t 2，得(t 1+t 2)2=5t 1t 2,从而(6√2+√2a)2=5(a 2+4a +16)， 化简得3a 2−4a +8=0，而此方程无解，故不存在实数a ．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．(1)利用x =ρcosθ，y =ρsinθ，ρ2=x 2+y 2代入可得C 的直角坐标方程，消去参数t 可得直线l 的普通方程；(2)根据参数t的几何意义可得．23.答案：解析：(1)即解不等式f(x)=|x−2|−2|x|>1，①当x≤0时，f(x)=2−x−(−2x)=x+2，由f(x)>1，即x+2>1，解得x>−1，又x≤0，所以−1<x≤0；②当0<x<2时，f(x)=2−3x，由f(x)>1，即2−3x>1，解得x<13，又0<x<2，所以0<x<13，③当x≥2时，f(x)=−x−2，由−x−2>1解得x<−3，又x≥2，此时不等式无解，综上，不等式f(x)>1的解集为：(−1,13)．(2)∵a+4b+9c=f(13)+2=3，∴13(a+4b+9c)=1，∴1a+4b+9c=13(a+4b+9c)(1a+4b+9c)=13[98+4(ab+ba)+9(ca+ac)+36(bc+cb)]≥13(98+√ab⋅ba8+√ca⋅ac18+√bc⋅cb72)=1963，当且仅当ba =ab，ca=ac，cb=bc，a+4b+9c=3时，即a=b=c=314时，等号成立，所以1a +4b+9c的最小值为1963．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集．)+2=3，再根据基本不等式即可求出．(2)由题意可得a+4b+9c=f(13。