(第一讲附)相似三角形经典模型总结

相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】 “平行型”【例 1】 如图，EEJ / FFJ / MM 1，若 AE=EF=FM=MB ,贝V S.A E ® ： S 四边形EE 1F 1F : S 四边形FF 1M 1M : S 四边形MM QB 二翻折180°翻折180°V平行型斜交型斜交型平行型斜交型双垂直双垂直特殊平移翻折180°一般平移旋转180°一般一般特殊特殊C1［例2】如图，AD// EF M/N BC若AD =9 , BC =18 , AE :EM :MB = 2:3: 4,则EF = _____ , MN = ______长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H求证：PE PH PF 一PG【例3】已知, P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD , BC , CD的延【例4】已知：在ABC中，D为AB中点, 求目匸的值EF E为AC上一点，且Ah2，BE、CD相交于点F ,NCWORD整理版1 1【例引已知：在ABC中，AD AB，延长BC到F,使CF BC ,连接FD交AC于点E2 3AE =2CE求证: ① DE 二EF ②【例6】已知：D , E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F , BD: DE 二AB:AC求证：:CEF为等腰三角形【例7】如图，已知AB//EF / /CD，若AB =a，CD = b，EF = c，求证：1 =——cab【例8】如图，找出S.ABD、S BED、S.BCD之间的关系，并证明你的结论【例9】如图，四边形ABCD中，B=/D =90，M是AC上一点，ME _ AD于点E , MF _ BC于占JF 求证: MF ME ,1AB CDC【例10】如图，在ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F 求证：AE BF 二BE CF【例11】如图，在线段AB上，取一点C，以AC，CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q,求证：CP =CQ【例12】阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，第二步：连接BF'并延长交AC于点F第三步：过F点作FE _ BC ,垂足为点E 第四步：过F点作FG // BC交AB于点G 第五步：过G点作GD _ BC，垂足为点D 四边形DEFG即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形⑵在ABC中，如果BC =6「3 , ABC =45 , • BAC = 75 ,求上述正方形DEFG的边长B D' E' D E C“平行旋转型”图形梳理:C , E', F'共线【例13】已知梯形ABCD , AD // BC，对角线AC、BD互相垂直，则①证明：AD2 BC2二AB2 CD2色AEF旋转到公AE 一AEF旋转到一AE ' F' AAEF旋转到至AE ''二AEF旋转到二AE 'F' △AEF旋转至U色AE ' F'△AEF旋转至U色AE ' F' △AEF旋转至U色AE ' F'【例14】当 MOD ，以点O 为旋转中心，逆时针旋转 日度（0£日＜90），问上面的结论是否成立，请 说明理由D【例15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形AG : DF : CE = ___________ .“斜交型”【例16】如图，.:ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD^AF AB , 求证：AEF L ACD【例17】如图，等边三角形 ABC 中，D , E 分别在BC , AB 上，且CE 二BE , AD , CE 相交于M , 求证：EAM L ECAABCD 和BEFG 均为正方形，求GFBEDCD【例18】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , . BAC — CDB ,求证：.DAC = . CBDAB BC CA【例佃】如图，设伴二CA ，则.仁.2吗?AD DE EA等于18和2，DE =2，求AC 边上的高BD 1【例21】如图，在等边 ABC 的边BC 上取点D ，使 ，作CH _AD ，H 为垂足，连结BH 。

第一讲 相似三角形的性质与判定一、知识要点1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。

对应边的比叫做相似比。

三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。

2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”）。

相似三角形的基本图形：判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。

3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。

4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。

二、考点精讲考点一：平行线分线段成比例例1、（2014广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）A ． 7B ． 7.5C ． 8D ． 8.52.下列各组线段中，能成比例的是 （ ）A 、 1㎝，3㎝，4㎝，6㎝B 、 30㎝，12㎝，0.8㎝，0.2㎝C 、 0.1㎝，0.2㎝，0.3㎝，0.4㎝D 、 12㎝，16㎝，45㎝，60㎝3. 如果线段2=a ，且a 、b 的比例中项为10，那么线段b ＝ 。

4、若x ：y ＝3，则x ：(x+y)＝_______5. 在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ＝（ ）A .215-B .53- C.25- D .253-6. 已知0432≠==cb a ,则cb a +的值为( )A.54B.45C.2D.21 考点二：相似三角形的判定例2、（2013湖北荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 例3.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.练习：1．下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形 2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对3、如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截 ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）第2题4．如图，∠ADC =∠ACB 5．如图，AD ∥EF ∥BC 考点三：相似三角形的性质例4、（2013山东烟台）如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上， 且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BD C ．AB ·AD =BD ·BC D ．AB ·AD =AD ·CD例5、（2014浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ）AD E（A ）32（B ）33（C ）34（D ）36例6（2012•重庆）已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 与△DEF 的面积之比为 ．练习：1．（2014青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB +∠EDC =120°，BD =3，CE =2，则△ABC 的边长为（）A ．9B ．12C ．16D ．18Q PECDBA2．（2013四川雅安，9,3分）如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）A ．△ADE ∽△ABCB ．AFC ABF S S △△= C ．ABC ADE S S △△41=D ．DF=EF 3．（2013辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________．三、反馈练习反馈题1：如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，E 为DC 中点，直线BE 交AC 于F ，交AD 的延长线于G ；请说明：EF·BG=BF·EG反馈题2，如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D 。

三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定1．了解三角形相似的定义，掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法．2．会证明三角形相似，并能解决有关问题．1．相似三角形(1)定义：对应角____，对应边成____的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形______的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.①三角形相似与三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．②三角形相似定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比例．③相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上，这一点与全等三角形是一致的；例如△ABC和△DEF相似，若点A与点E对应，点B与点F对应，点C与点D对应，则记为△ABC∽△EF D．【做一做1】已知△ABC∽△A′B′C′，下列选项中的式子，不一定成立的是( ) A．∠B＝∠B′ B．∠A＝∠C′C．ABA′B′＝BCB′C′D．ABA′B′＝ACA′C′2判定三角形相似的三种基本图形(1)平行线型：(2)相交线型：(3)旋转型：【做一做2－1】如图所示，在△ABC 中，FD ∥GE ∥BC ，则与△AFD 相似的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个 D ．4个【做一做2－2】如图所示，DE 与BC 不平行，当AB AC＝__________时，△ABC ∽△AE D ．3．直角三角形相似的判定定理(1)如果两个直角三角形有一个____对应相等，那么它们相似； (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成____，那么它们相似．(3)如果一个直角三角形的____和一条____边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别与原三角形相似． 在证明直角三角形相似时，要特别注意利用直角这一条件． 【做一做3】在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝90°，AB A ′B ′＝BCB ′C ′，∠B ＝35°，则∠C ′＝__________.答案：1．(1)相等 比例 对应边【做一做1】B 很明显选项A ，C ，D 均成立．因为∠A 和∠C ′不是对应角，所以∠A ＝∠C ′不一定成立．2．相交 相似 相等 相似 比例 相等 比例 第三边 比例 【做一做2－1】B ∵ FD ∥GE ∥BC ， ∴△AFD ∽△AGE ∽△ABC ，故与△AFD 相似的三角形有2个．【做一做2－2】AE AD△ABC 与△ADE 有一个公共角∠A ，当夹∠A 的两边对应成比例，即AB AC ＝AEAD时，这两个三角形相似． 3．(1)锐角 (2)比例 (3)斜边 直角 【做一做3】55° ∵∠A ＝∠A ′＝90°， ∴△ABC 和△A ′B ′C ′均是直角三角形．又AB A ′B ′＝BCB ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. ∴∠C ′＝∠C ，又∠B ＝35°，∴∠C ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°，∴∠C ′＝55°.同一法证明几何问题剖析：当直接证明一个几何问题比较困难时，往往采用间接证明的方法．“同一法”就是一种间接证明的方法．应用同一法证明问题时，往往先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题的已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立.例如，如图所示，已知PQ ，T R 为⊙O 的切线，P ，R 为切点，PQ ∥R T.证明PR 为⊙O 的直径．证明：如图，延长PO 交R T 于点R ′，∵PO ⊥PQ ，∴PR ′⊥PQ .∵PQ ∥RT ，∴PR ′⊥RT ，即OR ′⊥RT . 又∵TR 为⊙O 的切线，R 为切点， ∴OR ⊥RT ，∴点R ′与点R 重合， ∴PR 为⊙O 的直径．由上例可以看出，同一法证明几何问题的步骤：(1)先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；(2)根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；(3)说明已知图形符合结论．题型一 判定三角形相似 【例题1】如图，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：△ABD ∽△ACE .分析：由于已知AB AD ＝AC AE ，得AB AC ＝ADAE，则要证明△ABD ∽△ACE ，只需证明∠DAB ＝∠EAC 即可．反思：(1)本题中，∠DAB 与∠EAC 的相等关系不易直接找到，这里用∠BAC ＝∠EAD ，在∠BAC 和∠EAD 中分别减去同一个角∠DAC ，间接证明．(2)判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就能推导出结论．题型二 判定直角三角形相似【例题2】如图，已知在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .分析：由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明AD QC ＝DQCP即可． 反思：直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法判定，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中，可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法．题型三 证明线段成比例【例题3】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，BD 平分∠ABC ，求证：AB AC ＝CDBC.分析：所要证明的等式中的四条线段AB ，AC ，CD ，BC 分别在△ABC 和△BCD 中，但这两个三角形不相似，由题意可得BD ＝CD ，这样AB ，AC ，BD ，BC 分别在△ABC 和△ABD 中，只需证明这两个三角形相似即可．反思：证明线段成比例，常把等式中的四条线段分别看成两个三角形的两条边，再证明这两个三角形相似即可，若这四条线段不能分别看成两个三角形的两边，则利用相等线段进行转化，如本题中把CD 转化为B D ．题型四 证明两直线平行【例题4】如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM ，CM 的延长线分别交AC ，AB 于F ，E 两点．求证：EF ∥B C ．分析：要证明EF ∥BC ，想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的，而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理．在作平行线时，要充分考虑到中点D 的应用．反思：常利用引理来证明两条直线平行，如本题中的三种证法，其关键是证明其对应线段成比例，这样又转化为证明线段成比例，其证明方法有：利用中间量，如本题证法一；转化为线段成比例，如本题证法二；既用中间量，又转化为线段成比例，如本题证法三．答案：【例题1】证明：因为AB AD ＝BC DE ＝ACAE，所以△ABC ∽△ADE .所以∠BAC ＝∠EAD ，∠BAC －∠DAC ＝∠EAD －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC . 又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝ADAE，所以△ABD ∽△ACE . 【例题2】证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴AD QC ＝2.∵BP PC ＝3，∴BCPC ＝4.又BC ＝2DQ ，∴DQCP＝2.在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ＝DQCP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .【例题3】证明：∵ BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠DBA ＝12∠ABC ，又∠ABC ＝2∠C ，∴∠DBA ＝∠DBC ＝∠C ， ∴BD ＝CD .在△ABD 和△ACB 中， ∠A ＝∠A ，∠DBA ＝∠C ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝BD BC ，∴AB AC ＝CDBC.【例题4】证法一：延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG ，CG ，如下图所示．∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形．∴EC ∥BG ，FB ∥CG .∴AE AM AB AG =，AF AMAC AG =， ∴AE AF AB AC=.∴EF ∥BC . 证法二：过点A 作BC 的平行线，与BF ，CE 的延长线分别交于G ，H 两点，如图所示．∵AH ∥DC ，AG ∥BD ， ∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD ，∴AH DC ＝AGBD .∵BD ＝DC ，∴AH ＝AG .∵HG ∥BC ，∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AGBC .∵AH ＝AG ，∴AE EB ＝AFFC.∴EF ∥BC .证法三：过点M 作BC 的平行线，分别与AB ，AC 交于G ，H 两点，如下图所示．则GM BD ＝AM AD ，MH DC ＝AMAD ，∴GM BD ＝MH DC. ∵BD ＝DC ，∴GM ＝MH .∵GH ∥BC ，∴EM EC ＝GM BC ，FM FB ＝MHBC .∵GM ＝MH ，∴EM EC ＝FMFB.∴EF ∥BC .1如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 是BC 上一点，AF 交DE 于G ，则与△ADG 相似的是( )A ．△AEGB ．△ABFC ．△AFCD ．△ABC2如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，则图中与Rt△ADE 相似的三角形个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3如图所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b .则BD ＝__________(用a ，b 表示)．4如图所示，O 是△ABC 内一点，且AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′.求证：AC ∥A ′C ′.5如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线，求证：AD 2＝DC ·A C ．答案：1．B 在△ABF 中，DG ∥BF ，则△ADG ∽△ABF .2．D 题图中Rt△CBA ，Rt△CAD ，Rt△ABD ，Rt△DBE 均与Rt△ADE 相似．3．b 2a 由题意，可得△ABC ∽△CDB ，∴AC BC ＝BC BD，∴BD ＝BC 2AC ＝b 2a.4．证明：∵AB ∥A ′B ′，∴OA ′OA ＝OB ′OB.又∵BC ∥B ′C ′，∴OB ′OB ＝OC ′OC.∴OA′OA＝OC′OC.∴AC∥A′C′.5．分析：有一个角是36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，所以∠CBD＝36°，则可推出△ABC∽△BCD，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°.∴AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB＝CD∶BC.∴BC2＝AB·CD.又BC＝AD，AB＝AC，∴AD2＝AC·CD.。

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴====，∴=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．图③双A字型【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC 的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若=，求的值．【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，∴△AEG∽△ABF．∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，∴△ADG∽△ACF．（2）∵=，∴=，∵△ADG∽△ACF，∴==．【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG与GF的比．【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；（2）∵==，=，∴=，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE∴△ADG ∽△ACF ， ∴==，∴=2．图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）【例5】如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH 的周长；（3）是否存在一个实数a ，当HE=a 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a ；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形HEFG 为矩形， ∴HG ∥EF ， 而AD ⊥BC ， ∴AM ⊥BC ，。

相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。

相似图形之间的互相变换称为相似变换。

二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。

三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。

2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。

3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。

例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。

如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。

如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。

4.相似三角形周长的比等于相似比。

如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。

ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。

这种方法被称为等量代换法。

在证明比例式时，常常会用到中间比。

证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。

证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。

相似三角形模型分析大全-、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型C （平行）C （不平行）B（蝴蝶型）（不平行）（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型:、相似三角形判定的变化模型母子型相似三角形：例1:如图，梯形ABCD中，AD // BC,对角线AC、BD交于点0, BE // CD交CA延长线于E.求证：0C2 0A 0E .旋转型: 由A字型旋转得到-- 1 - =—a h c8字型拓展EB共享性线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解等腰△ ABC 中，AB = AC , AD 丄 BC 于 D , CG // AB , BG 分另交 AD 、AC 于 E 、F .相关练习:1、如图，已知 AD 为^ ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线•求证：FD 2FB FC .AD 是Rt △ ABC 中/ A 的平分线，/ C=90°, EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于M EF 、BC 的延长线交于一点 N 。

2△ AM 0A NMD; (2)ND =NC- NB已知：如图, △ ABC 中，点E 在中线AD 上,DEB求证: (1) DB2DE DA ; (2) DCE求证: BE 2 EFEG .已知：如图, 2、已知: 求证：⑴A3、已知：如图，在△ ABC中，/ ACB=90 , CD! AB于D, E是AC上一点，CF丄BE于F。

求证：EB- DF=AE- DB/I4.在ABC中，AB=AC高AD与BE交于H EF BC，垂足为F,延长AD到G,使DG=EF M是AH勺中点。

求证：GBM 905.已知：如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°,BC=2, AC=4, P是斜边AB上的一个动点，PDLAB,交边AC于点D （点D 与点A C都不重合），E是射线DC上一点，且/ EPD/ A.设A、P两点的距离为X, △ BEP的面积为y.(1)求证：AE=2PE求y关于X的函数解析式，并写出它的定义域;当^ BEP与△ ABC相似时，求△ BEP的面积.双垂型：1、如图，在△ ABC 中，/ A=60°, BD CE 分别是 AC AB 上的高2、如图，已知锐角△ ABC , AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ ABC 和^ BDE 的面积分别是 27和3, DE=6 J 2 ,1 >△ ABC 是等边三角形，D 、B 、C E 在一条直线上，/ DAE=12O ，已知BD=1, CE=3 ,求等边三角形的边长.2、已知：如图，在 Rt △ ABC 中，AB=AC ,/ DAE =45°求证：(〔)△ AB»A ACE (2)A AD0AABC (3)BC=2ED求证：(1) △ ABE sA ACD ;(2) BC 22BE CD.求：点B 到直线AC 的距离。