大二高数模拟卷

《高等数学》考试模拟题（一）一、求极限（每小题4分，共16分）1．1limcos 2n n n π→∞2．0tan limx kx x →4．1lim ()ln ln x x x x→∞-二、导数、微分及其应用（每小题6分，共30分）1．ln y x x =，求y '2．arccos y x x =y '3．求隐函数的导数求dy dx ：cos()xy x = 3．1sin()sin()y xy x xy +-4．求x y x e =的n 阶导数。

5．利用微分求arcsin0.4983的近似值。

三、计算不定积分、定积分和反常积分（每小题6分，共36分） 1．121x x dx e ⎰2．arctan xdx ⎰ 2．21arctan ln(1)2x x x C -++3 111ln 21x C x x -+++4．42 0tan xdx π⎰5．⎰6． 0sin x x dx e -+∞⎰四、证明题（每小题6分，共18分）1．按极限定义证明3lim(31)8x x →-=。

2．证明sin sin a b a b -≤-， a b 、为任意实数。

3．若方程11100n n n n a x a x a x a --++++= 有一个正根0x ，证明方程 12121(1)20n n n n na x n a x a x a ---+-+++= 必有一个小于0x 的正根。

模拟题参考答案（一）一、1. 0 2. k 3. e 4. -1二、1．1ln x +2．arccos x3．1sin()sin()y xy x xy +- 4．()x x n e +5．0.00176π-或0.5216三、1．1x C e -+2．21arctan ln(1)2x x x C -++ 3．111ln 21x C x x -+++ 4．14π-5．3π+ 6．12四、1．0, =3εεδ∀>∃，当03x δ<-<时，318333x x δε--=-<=。

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码､考场号､座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()06,P y 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若152PF =，则p =（ ）A.3B.6C.9D.122.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）A.6人B.9人C.12人D.18人3.已知0a b c >>>，则下列说法一定正确的是（ ）A.a b c >+ B.2a bc <C.2ac b >D.2ab bc b ac+>+4.已知向量()()2,3,1,2a b =-=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为（ ）A.816,1717⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.2020,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知某正六棱柱的体积为（）A.18+B.18+C.24+D.24+6.已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是()()cos 03πf x x x =……的图像.某日小明和小红分别从甲､乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(),a b ，小红行走轨迹的点记为(),c d ，且满足3π2ac +=，函数()2g a bd =-，则()g a 的一个单调递减区间为（）A.4π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4π8π,33⎛⎫⎪⎝⎭D.()2π,3π7.已知椭圆22:1(09,)9x y C m m m+=<<∈Z 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上但不在坐标轴上，且12PF F 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为78，则m =（ ）A.4B.5C.6D.88.已知函数()()e eln e 1xmf x m x x=++-的定义域为()0,∞+，若()f x 存在零点，则m 的取值范围为（）A.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.(]0,eC.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[)e,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1232i,4i z z =+=-，则（ ）A.12z z +的虚部为-1B.1243z z -是纯虚数C.12z z 在复平面内所对应的点位于第一象限D.214iz z =+10.已知()7270127(43)13(13)(13)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则（ ）A.4945a =B.77141ii a==-∑C.136024622a a a a +++=+D.613135722a a a a +++=-11.设()M x 是定义在*N 上的奇因函数，是指x 的最大奇因数，比如：()()33,63M M ==，()81M =，则（ ）A.对()()*,212k M k M k ∈-N …B.()()2M k M k =C.()()()1263931M M M +++= D.()126363M +++= 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2450,{}A xx x B x x m =-->=>∣∣，若0m =，则()A B ⋂=R ð__________；若A B ⋃=R ，则m 的取值范围为__________.13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A 为甲､乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则()P A =__________.14.定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +-+='，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图像的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）公众号《全元高考》，且()2tan tan tan b B a B A B =-+.已知函数()在 ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中c =（1）求C ；（2）求a 2+b 2的取值范围.16.（15分）ln x f x x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）讨论()f x 的最值；（2）若1a =，且()e x k xf x x-…，求k 的取值范围.17.（15分）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ⊥平面ACDE ，过点E 作EF ∥AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ⊥平面ABD ；（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD，求AB 的值.18.（17分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.（1）求a 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；公众号《全元高考》公众号《全元高考》（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B 两个盒子，其中A 盒中放有9张金卡､1张银卡，B 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，直线1:2l y x =-与C 的一条渐近线平行，且与C 交于点B ，直线AB 的斜率为13.（1）求C 的方程；（2）已知直线()2:28l y x m m =+≠与C 交于,P Q 两点，问：是否存在满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ 的点()00,E x y ？若存在，求2200x y -的值；若不存在，请说明理由.数学（二）一､选择题1.A 【解析】由抛物线的定义可知15622p PF =+=，解得3p =.故选A 项.2.B 【解析】设中年人抽取x 人，青少年抽取y 人，由分层随机抽样可知20080,48036480x ==36y，解得15,6x y ==，故中年人比青少年多9人.故选B 项.3.D 【解析】当3,2,1a b c ===时，a b c =+，且2ac b <，故A ，C 项错误；因为0a b >>，0a c >>，所以2a bc >，故B 项错误；()()()20ab bc b ac b c a b +-+=-->，故D 项正确.故选D项.4.C 【解析】由题意得()()1,1,3,5a b a b +=--=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为2()()1220(),1717||a b a b a b a b +⋅-⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，故选C 项.5.D 【解析】设该正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，其外接球的半径为R，易知34ππ3R =，则R ==①26h ⋅⋅=②，联立①②，因为h ∈Z ，解得1,4a h ==，所以正六棱柱的表面积212624S ah =⋅+=.故选D 项.6.A 【解析】依题意得cos ,cos cos 3πcos 22a a b a d c ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭，且03π,03π3π,2a a⎧⎪⎨-⎪⎩…………解得03πa ……，则()2cos 2cos2cos 2cos 1222a a a g a a =+=+-，令cos 2at =，则[]1,1t ∈-，因为2221y t t =+-在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以()g a 在区间4π8π0,,2π,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递减.故选A 项.7.B 【解析】依题意得126PF PF +=，设12F F n =，不妨设点P 在第一象限，则112PF F F n ==，则26(06)PF n n =-<<，故222122(6)7cos 28n n n PF F n ∠+--==或()22221(6)7cos 268n n n PF F n n ∠+--==-，解得4n =或2411n =，又2,2n m m ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭Z 9，所以4,5n m ==.故选B 项.8.C 【解析】由题意得0m >，令()0f x =，则()ln ln ee ln e eln x mx x m x +++=+.令()e e x g x x =+，易知()g x 单调递增，所以()()ln ln g x m g x +=，即ln ln x m x +=，即ln ln m x x =-.令()ln h x x x =-，则()1xh x x'-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减，又()11h =-，当0x →时，()h x ∞→-，所以ln 1m -…，解得10em <….故选C 项.二､多选题9.BC 【解析】127i z z +=+的虚部为1，故A 项错误；124311i z z -=为纯虚数，故B 项正确；()()1232i 4i 145i z z =+-=+，其在复平面内所对应的点()14,5位于第一象限，故C项正确；24i 14i i iz -==--=，144z +=+，故D 项错误.故选BC 项.10.AC 【解析】依题意得()77(43)[313]x x -=+-，所以4347C 33527a =⨯=⨯=945，故A 项正确；令13x =，得03a =，令0x =，得7704i i a ==∑，所以777143i i a ==-∑，故B 项错误；令23x =，得7012345672a a a a a a a a =-+-+-+-①，又7012345674a a a a a a a a =+++++++②，由①+②可得77135024642222a a a a ++++==+，故C 项正确；同理，由②-①得136135722a a a a +++=-，故D 项错误.故选AC 项.11.ABD 【解析】由题意得()()2M k M k =，故B 项正确；()()()2,2121M k M k k M k k k =-=-……，故A 项正确；516312363632632+++++=⨯=⨯ ，所以()()123636363M M ++++== ，故D 项正确；()()()()1263[1M M M M +++=+ ()()][()()36324M M M M ++++++ ()][()6213631M M =+++++()()()1023121M M M ⎤⎡++=++⎦⎣ ()()][()()33124M M M M ++++++ ()108642030]222222M ==+++++=614136514-=-，故C 项错误.故选ABD 项.三､填空题12.()50,14x x ∞⎧⎫<--⎨⎬⎩⎭… 【解析】集合{1A xx =<-∣或54x ⎫>⎬⎭，所以R A =ð504B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭….若A B ⋃=R ，结合数轴可知1m <-，故m 的取值范围为(,1)∞--.13.925【解析】若甲､乙两人的选课都不相同则共有1243C C 4312=⨯=种；若甲､乙两人的选课有1门相同，则共有2114432C C C 24+=种.故()225512249C C 25P A +==.14.-5112【解析】由题意知()24(0)f x ax a =->，又()()()12121f x f x a x x +-=+=+，所以1a =，则()24f x x =-.由题意得()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-，由()()()10n n n n x x f x f x +-+='，得()()1n n n n f x x x f x +='-，即2214422n n n n n nx x x x x x +-+=-=，又()()2211222,222n n n n nnx x x x x x +++-+=-=，所以()()21212222n n n n x x x x ++++=--，则1122ln 2ln 22n n n nx x x x ++++=--，即12n n a a +=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12,21n n n n a S -==-.令n n c S =.()552122n n n ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111822n n nc c n -+-=-⋅-，故当8n …时，1n n c c +<，当9n …时，1n n c c +>，故()9min 5112n c c ==-.四､解答题15.解：（1）因为()()tan tan πtan A B C C +=-=-，所以2tan tan tan b B a B C=+，由正弦定理得sin 2tan sin tan tan B BA B C==+()2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin B C B CB C B C B C ==++2sin cos sin B C A因为sin 0,sin 0A B ≠≠，所以2cos 1C =，则1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由余弦定理得223a b ab =+-，因为222a b ab +…，所以22222222,22a b a b a b ab a b +++-+-=…即226a b +….当且仅当a b ==.又223a b ab +=+，且0ab >，所以223a b +>.综上，22a b +的取值范围为(]3,6.16.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()11,ax f x a x x-=-='当()0,0,a x ∞∈+…时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无最值；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增.故当1x a =时，()f x 取得最小值，且最小值为11ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无最大值.综上，当0a …时，()f x 无最值；当0a >时，()f x 的最小值为1ln a +，无最大值.（2）当1a =时，由()e x k xf x x -…，得e ln x k xx x x--…，整理得2e ln x k x x x x +-…，即2ln e x x x x xk +-….令()2ln e x x x x xh x +-=，则()h x '()()()2221ln 1e ln e e x xx x x x x x x +---+-=()()ln 1e x x x x --=，由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为()110f =>，即ln 0x x ->恒成立，所以当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减.故当1x =时，()h x 取得最大值()21e h =，即2e k …，故k 的取值范围为2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.（1）证明：连接CE 交AD 于点O ，连接GO .在菱形ACDE 中，CE AD ⊥，因为AB ⊥平面,ACDE CE ⊂平面ACDE ，所以CE AB ⊥，又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD .因为,G O 分别为,BD AD 的中点，所以1,2GO AB GO =∥AB ，又1,2EF AB EF =∥AB ，所以GO EF ∥，所以四边形GOEF 为平行四边形，所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面ABD .（2）解：在菱形ACDE 中，因为AC AD =，所以ACD 和ADE 都是正三角形，取ED 的中点H ，连接AH ，则AH AC ⊥，又AB ⊥平面ACDE ，所以,AB AC AB AH ⊥⊥，即,,AB AC AH 两两垂直.以A 为坐标原点，,,AB AC AH 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，则1(0,2,0),(2,0,0),(,,2C B a D F a G a ⎛- ⎝则()2,2,0,(0,1BC a CD =-=-，30,,2FG ⎛= ⎝ .设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,0,m BC ax y m CD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取1z =，则m ⎫=⎪⎪⎭.记直线FG 与平面BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||FG m FG m FG m θ⋅=〈〉===解得1a =，即AB 的值为2.18.解：（1）依题意得(0.0010.0020.00320.006)50 1.a ++++⨯=解得0.004a =.所求平均数为250.1750.15125⨯+⨯+⨯0.21750.32250.22750.05150+⨯+⨯+⨯=.（2）依题意得14,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()4425605625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314142561C 55625P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222414962C ,55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33414163C 55625P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()41145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X 01234P 25662525662596625166251625故()14455E X =⨯=.（3）设“选到A 盒”为事件1A ，“选到B 盒”为事件2A ，，摸到金卡”为事件1B ，，摸到银卡”为事件2B ，因为12,B B 是对立事件，所以()119121*********P B =⨯+⨯=.()()2191.20P B P B =-=由题意得()()1212P A P A ==，所以()()()12122P A B P A B P B ==∣()()()2112111102,9920P B A P A P B ⨯==∣则()()2212819P A B P A B =-=∣∣.故所求的概率89123791091045P =⨯+⨯=.19.解：（1）易知C 的一条渐近线方程为y x =，则a b =.设(),2B t t -，又(),0,0A a a ->，直线AB 的斜率为13，所以213t t a -=+，解得62a t +=，则62,22a a B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入222x y a -=中，解得4a =.故C 的方程为2211616x y -=.（2）因为EA EP EP EQ ⋅=⋅ ，所以()0EP EA EQ ⋅-= ，即0EP QA ⋅=，所以PE AQ ⊥，同理可得,AE PQ EQ AP ⊥⊥.设()()1122,,,P x y Q x y ，联立221,16162.x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得2234160x mx m +++=，由题意知()22Δ1612160m m =-+>，且8m ≠，解得m <-m >8m ≠，所以21212416,33m m x x x x ++=-=.过点A 与2l 垂直的直线的方程为122y x =--，设该直线与C 的右支交于另一点H ，联立221,161612,2x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩整理得238800x x --=，解得203x =或4x =-（舍去）.所以2016,33H ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(1122016,33PH AQ x y x ⎛⎫⋅=---⋅+ ⎪⎝⎭)22121220801644333y x x x x y ⋅=+----(122121220801642333y y x x x x x =+---+()()1212)225(1m x m x m x x -++=--+()()()22128016164802)54233333m m x x m m m m +⎛⎫++--=-⨯-+⋅-+- ⎪⎝⎭222216580168801603333333m m m m m m m -=--+++--=所以PH AQ ⊥，同理可证QH AP ⊥.又AH PQ ⊥，所以H 与E 重合.因为H 在C 上，所以220016x y -=.故存在点E 满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ ，且220ij x y -的值为16.。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则其在(a,b)内一定可积的是：A.有界函数B.无界函数C.奇函数D.偶函数2.微分方程y''5y'+6y=0的通解为：A.y=C1e^x+C2e^3xB.y=C1e^2x+C2e^3xC.y=C1e^x+C2e^-6xD.y=C1e^2x+C2e^-3x3.级数∑n=1∞(n^2/n!)的收敛性是：A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定4.在空间直角坐标系中，曲面z=x^2+y^2的切平面方程在点(1,1,2)处为：A.z=2x+2y1B.z=x+y1C.z=2x+2y+1D.z=x+y+15.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值：A.一定全为实数B.一定全为正数C.一定互不相同D.一定存在复数特征值二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处一定连续。

（）2.若函数f(x)在区间(a,b)内单调增加，则其导数f'(x)在(a,b)内一定大于0。

（）3.级数∑n=1∞1/n^2是发散的。

（）4.多元函数的极值点一定是函数的驻点。

（）5.若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B一定有共同的特征向量。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在x=______处取得极小值。

2.微分方程y''+4y=0的通解为y=______。

3.级数∑n=1∞(-1)^(n-1)/n的值为______。

4.曲线x^2+y^2=1在点(√2/2,√2/2)处的切线方程为______。

5.若矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3，则矩阵A^3的特征值为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理及其应用。

2.解释什么是函数的泰勒展开。

3.什么是拉格朗日中值定理？给出一个应用实例。

4.简述多元函数的极值和最值的区别。

高数二试题模拟及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C解析：根据奇函数的定义，f(-x) = -f(x)。

选项A是偶函数，选项B和D不满足奇函数的性质，只有选项C满足。

2. 若函数f(x) = ln(x^2 - 1)的定义域为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)C. (-∞, -1) ∪ [-1, 1) ∪ (1, +∞)D. (-∞, -1] ∪ (-1, 1) ∪ [1, +∞)答案：B解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x^2 - 1 > 0，解得x < -1或x > 1。

...（此处省略其他选择题，共10题）二、填空题（每题4分，共20分）1. 若曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率为3，则该切线的方程为______。

答案：y = 3x - 2解析：首先求出y = x^3的导数y' = 3x^2，然后代入x = 1得到切线斜率k = 3。

利用点斜式方程y - 1 = k(x - 1)，得到切线方程。

2. 设数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则该数列的前n项和Sn = ______。

答案：n^2解析：数列{an}是等差数列，首项a1 = 1，公差d = 2。

利用等差数列前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入得Sn = n(1 + (2n - 1))/2 = n^2。

...（此处省略其他填空题，共5题）三、解答题（共50分）1. （10分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。

答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫[0,1] x^2 dx = (1/3)x^3|[0,1] = (1/3)(1)^3 - (1/3)(0)^3 = 1/3。

一、单选题二、多选题1. 古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）A ．413B ．427C ．308D ．1332. 已知函数，，的图象关于直线对称，则（ ）A．B．C．D．3. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为（ ）A．B．C．D．4.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（ ）A．B．C．D．6.平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ）A．B．C．D．7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）．A ．在上单调递增B ．在上单调递增C ．在上单调递减D ．在上单调递减8.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）A．B ．（2，﹣1，2）C．D ．（1，﹣2，1）9. 空气质量的指数是反映空气质量状况的指数，指数的值越小，表明空气质量越好．指数不超过，空气质量为“优”；指数大于且不超过，空气质量为“良”；指数大于，空气质量为“污染”．下图是某市2020年空气质量指数（）的月折线图．下列关于该市2020年空气质量的叙述中一定正确的是（ ）某市2020年空气质量指数（）月折线图A．全年的平均指数对应的空气质量等级为优或良B ．每月都至少有一天空气质量为优2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）三、填空题四、解答题C ．2月，8月，9月和12月均出现污染天气D ．空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份10. 已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（ ）A．B ．若，则函数的最小正周期为C ．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为11. 圆柱的侧面展开图是长4cm ，宽2cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）A．B．C．D．12. 数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A．B．C．D．13.已知函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．14. 某市为了响应江苏省“农村人居环境整治的新实践”，调研农村环境整治情况，按地域将下辖的250个行政村分成，，，四组，对应的行政村个数分别为25，75，100，50，若用分层抽样抽取50个行政村，则组中应该抽取的行政村数为________.15.如图，在直三棱柱中，，D ，E分别为，分如中点，则过点A ，D ，E 的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．16. 如图，已知矩形中，、分别是、上的点，，，是的中点，现沿着翻折,使平面平面.（1）为的中点，求证：平面.(2)求异面直线与所成角的大小.17. 已知函数．(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．18. 在中，内角所对的边分别是，且.（1）求角；（2）若，求的面积的最大值.19. 已知是等比数列的前项和．(1)求及；(2)设，求的前项和．20. 党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月月份编号x12345利润y(百万)712131924(1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）；(2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望.附：相关系数21. 某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：(1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人；(2)这部分学生体重的中位数落在第______组；(3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．。

2023年全国各类成人高等学校招生考试《高等数学（二）》模拟卷一1. 【选择题】A. 1B. -1C.D.正确答案：B参考解析：（江南博哥）2. 【选择题】A. 2xcosx4B. x2cosx4C. 2xsinx4D. x2sinx4正确答案：C参考解析：3. 【选择题】下列极限计算正确的是A.B.C.D.正确答案：B参考解析：4. 【选择题】下列反常积分收敛的是A.B.C.D.正确答案：C参考解析：5. 【选择题】当x→0时，无穷小量x+sinx是比x的A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶但非等价无穷小D. 等价无穷小正确答案：C参考解析：6. 【选择题】把两封信随机地投入标号为1，2，3，4的4个邮筒中，则1，2号邮筒各有一封信的概率等于A.B.C.D.正确答案：C参考解析：7. 【选择题】甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0．6和0．5，现已知目标被命中，是甲射中的概率为（）A. 0．6B. 0．75C. 0．85D. 0．9正确答案：B参考解析：8. 【选择题】A. [0，1)∪(1，3]B. [1，3]C. [0，1)D. [0，3]正确答案：A参考解析：9. 【选择题】A. 一定有定义B. 一定有f(x0)=AC. 一定连续D. 极限一定存在正确答案：D参考解析：10. 【选择题】A. 0B.C.D. e2—1正确答案：B参考解析：11. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】-2xysin(xy2)12. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】e-113. 【填空题】若由ey=xy确定y是x的函数，则y'=______. 我的回答：正确答案：参考解析：【答案】14. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】115. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】16. 【填空题】设y=excosx，则y”=______.我的回答：正确答案：参考解析：【答案】-2exsinx17. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】118. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】19. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】e-620. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】221. 【解答题】求函数y=2x3—3x2的单调区间、极值及函数曲线的凸凹性区间、拐点和渐近线．我的回答：参考解析：22. 【解答题】我的回答：参考解析：23. 【解答题】我的回答：参考解析：24. 【解答题】我的回答：参考解析：25. 【解答题】我的回答：参考解析：26. 【解答题】我的回答：参考解析：27. 【解答题】我的回答：参考解析：28. 【解答题】我的回答：参考解析：。

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题-数学（二）(数学)1. 已知全集，集合，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则( )A. 2B.C.D.3.已知数列满足，，则( )A. B. C. 2 D.4. 已知某种传染性病毒使人感染的概率为，在感染该病毒的条件下确诊的概率为，则感染该病毒且确诊的概率是( )A. B. C. D.5. 已知函数，若不等式对恒成立，则m的取值范围是( )A. B. C. D.6. 已知某圆锥的侧面积为底面积的3倍，体积为，则该圆锥的母线长为( )A. B. C. D.7. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，设与的图象上相邻的三个公共点分别为A，B，C，若为直角三角形，则( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，若在T上存在两点A，B，使四边形FABO为菱形，则双曲线T的离心率为( )A. B. C. D.9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是( )A. 直线l必过点B. 直线l与圆E必相交C. 圆心E到直线l的距离的最大值为1D. 当时.直线l被圆E截得的弦长为10. 下列命题正确的是( )A. ，，B. ，使C. ，，D. ，，使11. 函数，若不等式恒成立，则a的值可以为( )A. B. C. 1 D.12. 如图，在正四面体PABC中，，，分别为所在棱的三等分点，沿平面截去四个小正四面体后所得几何体称为截角四面体.则( )A.截角四面体的所有面都是正多边形 B.C. 平面D. 截角四面体与正四面体的表面积之比为13. 已知向量，，若，则___.14. 在一次乒乓球知识竞赛中，已知甲、乙两赛队在6道笔试题中所得分数的中位数相等每题满分10分，具体得分如下：甲赛队9671098乙赛队10k87108若，则k的值为___.15. 已知抛物线，，动点A，B在C上，则的最大值为___.16. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则在区间上的极大值为___.17. 已知数列中，，，当时，，记求数列的通项公式;设数列的前n项和为，证明：18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的内切圆半径为，，求的周长.19. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习.第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间满时长15小时，将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图同一组中的数据用该组区间的中点值为代表求a的值;以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数;现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数四舍五入取整数参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，20.如图.在直三棱柱中，，E，F分别为，BC 的中点.若，证明：平面平面若，求二面角的正弦值.21. 已知函数若，求的极大值;若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围.22. 已知椭圆的四个顶点所构成四边形的面积为，点在T上.求椭圆T的方程;直线l经过T的右焦点F交T于A，B两点，轴，交直线于点C，试问直线AC是否恒过定点?若过定点，求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查并集和补集的混合运算.先化简全集U和集合B，再利用并集和补集的定义，即可得到结果.【解答】解：全集Z，N，，故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的模，考查复数的代数表示及其几何意义．根据复数的几何意义可得，再根据复数的基本运算法则化简，结合模长公式即可求解.【解答】解：由题意得，所以，所以3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了数列的递推关系和周期性，属于中档题.由，利用周期性即可求解．【解答】解：根据题意，得，所以，所以数列是周期为3的周期数列，所以，所以4.【答案】A【解析】【分析】本题考查应用概率解决实际问题，涉及条件概率，属于基础题.设事件，然后利用即可求解.【解答】解：设事件“该传染性病毒使人感染”，“感染该病毒后确诊”，则，，所以5.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式的恒成立问题、函数的单调性和函数的对称性.因为，所以的图象关于直线对称且时，单调递增.由，可得，解得，可得，即可求解.【解答】解：因为，所以的图象关于直线对称，又，当时，单调递增.因为，所以，解得，所以，所以，解得6.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面积、体积和结构特征，属于基础题.设该圆锥底面半径为r，母线长为l，由条件列方程组，解方程组即可.【解答】解：设该圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得得，7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的图象与性质，属于中档题.由题意得；，作出两个函数的图象，令，可得，所以，则，可得可得【解答】解：由题意得；，作出两个函数的图象，如图所示.不妨取点A，C在x轴上方，点B在x轴下方，D为AC的中点，所以，由对称性可得又为直角三角形，所以，所以令，得或，，所以或，又，所以，所以，则，所以，所以所以8.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的离心率.连结BF，，根据图形分析可得是等边三角形，再结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【解答】解：设双曲线的右焦点，连结BF，，画出图形如下图所示：因为四边形FABO为菱形，所以，所以，根据对称性可知是等边三角形，所以，所以，根据双曲线定义可知，，即，故得故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及判定.直线l过定点，点在圆E内，直线l与圆相交，圆心E到直线l的距离的最大值为圆心与的距离，当时，利用弦长公式求弦长.【解答】解：直线，过定点，，直线l不经过点，故A错误；定点在圆E内，所以直线l与圆相交，故B正确；圆心E到直线l的距离最大值为圆心与的距离，即，故C正确；当时，直线，直线l被圆E截得的弦长为，故D错误.故选10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假判断、不等式的性质，属于中档题.根据不等式的性质及特值法逐一判断即可.【解答】解：因为，，所以，所以，所以，故A正确；因为，则恒成立，故B错误;取，则，故C错误;取，，则，故D正确.故选11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了不等式的恒成立问题、分段函数和函数图象的应用.作出函数的大致图象，易得，将已知不等式转化为，由图象的平移可得a的取值范围.【解答】解：作出函数的大致图象如图所示，的图象关于点中心对称，故，由，得，即，即的图象向左平移2个单位后得到的图象一定在的图象上方，如图，，即，所以a的取值范围为故选12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查棱锥的截面问题及线面平行判定及棱锥的表面积计算.根据截角四面体的定义与正四面体的性质判断A，B，再由线面平行的判定定理判定C，由四面体的表面积公式判定【解答】解：截角四面体表面由4个等边三角形和4个正六边形构成，故A正确;由题意得，由正四面体的性质可得，所以，故B正确;易知，，得，又平面，平面，所以平面，故C正确设，则截角四面体的表面积为，正四面体的表面积为，所以截角四面体的表面积与正四面体的表面积之比为，故D错误.故答案为13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，模的坐标运算.根据坐标运算公式求出k的值，再求的模长即可.【解答】解：由题意得，解得，所以14.【答案】9【解析】【分析】本题考查了中位数的计算，属于基础题.先得出甲赛队成绩的中位数，可分和两种情况研究即可.【解答】解：将甲赛队成绩从小到大排列为6，7，8，9，9，10，所以甲赛队成绩的中位数为，由题意知乙赛队成绩的中位数为，若，此时乙赛队成绩的中位数为，不符合题意，若，此时乙赛队成绩的中位数为，解得，符合题意.15.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系，属于中档题.设直线，与联立，利用直线与抛物线相切可得k，代入倍角公式可得答案.【解答】解：由题意知当直线PA，PB分别与C相切时，取最大值，由已知得直线PA的斜率存在，可设直线，与联立得，所以，得，所以为坐标原点，则由对称性可得，所以16.【答案】1【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的单调性、极值，考查构造新函数，利用导数求单调性最值，属于导数的综合题.由题意得，令，由，求得，令；由导数得到在处取得最大值，从而得到，使，又，，从而得到当时，取得极大值.【解答】解：由题意得，令，则，不妨设，所以，所以，解得，所以，所以，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，又，所以，使，又，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，所以当时，取得极大值17.【答案】解：由题意得，所以，即当时，当时，也符合.综上，；证明：由得，当时，当时，，故当时，综上，【解析】本题考查数列的递推公式，考查裂项相消法.由题意得到，利用累加法进行求解即可；由得，利用裂项相消法求出，再进行证明即可.18.【答案】解：由题：A，B，C是的内角，所以，，，且因为，即，由正弦定理得：，所以，即，所以故由题：由余弦定理得：，即，①又由等面积公式有：其中r是的内切圆半径，即，化简为：②则由①②得：，，所以的周长故的周长为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理及三角函数基本公式在解三角形中的应用.根据正弦定理变形原式可得，再根据同角三角函数基本关系即可求解；由等面积公式及余弦定理可得，，的周长即可求得.19.【答案】解：，解得由题意知样本的平均数为，所以又，所以则，所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，则，所以则这3人中学习时间在内的教职工平为人数约为【解析】本题考查频率分布直方图及正态分布，以及离散型随机变量的数学期望计算与分层抽样，属于中档题.根据小矩形的面积之和为1进行求解即可；根据正态分布的对称性进行求解即可；利用分层抽样确定抽取人员，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，求出对应概率得出数学期望即可.20.【答案】解：证明：由直三棱柱得面ABC，面ABC，，，，BC，平面，平面又平面，由，得，，且这两个角都是锐角，，所以，又， AB，平面ABE ，平面平面，平面平面取AC的中点O，连接OB，因为，所以因为，所以以O为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，，设平面AEF的一个法向量为，由得令，得设平面的一个法向量为，由得令，得设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为【解析】本题主要考查面面垂直的判定和二面角，属于中档题.先根据线线垂直判定线面垂直，再根据线面垂直判定面面垂直.根据题意以O为坐标原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，写出两个平面的法向量坐标计算二面角，即可得出结论.21.【答案】解：当时，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为由题意得当时，，对恒成立，在区间上单调递增，又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意.当时.令得若即时对恒成立.在区间上单调递减.又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意，若即时，在区间上单调递增.在区间上单调递减，令，，则，所以在区间上单调递减，所以，即，所以其中因为函数的图象开口向下，所以，使即在区间上有两个零点.综上，实数a的取值范围为【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数研究函数的零点问题.由得出，求出，解，判断出的单调性，进而求出的极大值；求出，对a进行分类讨论，判断出的单调性，进而得出函数在区间上有两个零点时a的取值范围.22.【答案】解：由题意得解得，，所以T的方程为由得，设直线，，，，联立得，所以，，又直线，即，即，则直线AC恒过点【解析】本题考查椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆位置关系的应用及恒过定点问题.由椭圆的性质，可求得，再得椭圆的标准方程；设直线，，联立，消去x，得，结合韦达定理以及直线AC的方程，可得结论.。

高数二真题模拟答案及解析导语：高等数学是大多数理工科学生所必修的一门课程。

对于许多学生来说，高等数学的学习并不容易，尤其是在面对高数二这门难度较大的课程时。

为了帮助学生更好地掌握高数二的知识，本文将通过模拟题的形式给出答案及解析，以期对学生们的学习有所帮助。

一、题目一答案及解析题目：求曲线$y=\ln(x^2+1)$在点$(1,0)$处的切线方程。

解析：要求曲线在给定点处的切线方程，首先需要求出曲线在该点处的斜率。

根据求导的知识，可以得到曲线的导数为$y'=\frac{2x}{x^2+1}$。

将$x=1$代入求导公式，可以计算得到曲线在点$(1,0)$处的斜率为$2$。

切线的一般方程为$y-y_0=k(x-x_0)$，其中$(x_0,y_0)$为切点的坐标。

代入已知条件$(x_0,y_0)=(1,0)$和$k=2$，我们可以得到切线方程为$y=2(x-1)$。

二、题目二答案及解析题目：计算积分$I=\int_0^{\pi/2} \sin(x) \cos(x) \, dx$。

解析：要计算该积分，可以考虑使用换元法。

设$u=\sin(x)$，则$du=\cos(x) \, dx$。

在积分区间内，当$x=0$时，$u=0$；当$x=\pi/2$时，$u=1$。

将积分的上下限用$u$表示，可以得到新的积分$I'=\int_0^1 u \, du$。

对于$I'=\int_0^1 u \, du$，直接求解可得$I'=\frac{1}{2}$。

由于使用了变量替换，我们还需要将积分的结果转化回原来的变量。

即$I=\frac{1}{2}$。

三、题目三答案及解析题目：已知函数$y=f(x)$满足微分方程$\frac{dy}{dx}=2xy$，且$y(0)=1$，求函数$f(x)$。

解析：根据已知条件，我们可以得到微分方程的解为$y=f(x)=e^{x^2+C}$，其中$C$是一个常数。

2023年全国各类成人高等学校招生考试《高等数学（二）》模拟卷二1. 【选择题】曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点是A. (0，0)B. (1，2)C. (-1，2)D. (-1，-2)（江南博哥）正确答案：C参考解析：【考情点拨】本题考查了导数应用的知识点．【应试指导】由y=x3-3x得y'=3x2-3，令y'=0，得x=±1．经计算x=-1时，y=2；x=1时，y=-2，2. 【选择题】A. 0B. 1C. 2D. 3正确答案：C参考解析：【考情点拨】本题考查了极限的知识点．【应试指导】3. 【选择题】设函数y=2+sinx，则y'=A. cosxB. -cosxC. 2+cosxD. 2-cosx正确答案：A参考解析：【考情点拨】本题考查了导数的知识点．【应试指导】因为y=2+sinx，所以y'=cosx．4. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点．【应试指导】5. 【选择题】函数f(x)=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是A. (-∞，0)B. (-2，2)C. (0，+∞)D. (-∞，+∞)正确答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了函数的凸区间的知识点．【应试指导】因为f(x)=x4-24x2+6x，则，f'(x)=4x3-48x+6，f''(x)=12x2-48=12(x2-4)，令，f''(x)<0，有x2-4<0，于是-2<x<2，即凸区间为(-2，2)．6. 【选择题】曲线y=(x-1)3-1的拐点是()A. (2，0)B. (1，-1)C. (0，-2)D. 不存在正确答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了曲线的拐点的知识点．【应试指导】7. 【选择题】A. xy·(3x2+y2)xy-1B. (3x2+y2)xy·ln(3x2+y2)C. y·(3x2+y2)xy[(3x2+y2)ln(3x2+y2)+6x2]D. y·(3x2+y2)xy-1[(3x2+y2)ln(3x2+y2)+6x2]正确答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了二元函数的一阶偏导数的知识点．【应试指导】8. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了不定积分的知识点．【应试指导】9. 【选择题】函数f(x)=(x2-1)3+1，在x=1处()A. 有极大值1B. 有极小值1C. 有极小值0D. 无极值正确答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了函数极值的知识点．【应试指导】10. 【选择题】事件A，B满足AB=A，则A与B的关系为A. A=BB. A BC. A BD.正确答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了事件的关系的知识点．【应试指导】AB=A，则A AB(AB A，按积的定义是当然的)，即当ω∈A时，必有ω∈AB，因而ω∈B，故A B．11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】112. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】13. 【填空题】设y=x2cosx+2x+e，则y'=______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】2xcosx-x2sinx+2xln214. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】15. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】116. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】17. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】18. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】x-arctanx+C19. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】y3dx+3xy2dy20. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【答案】21. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：22. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：23. 【解答题】设y=lncosx，求y''(0)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：24. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：25. 【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：26. 【解答题】确定函数y=2x4-12x2的单调区间、极值及函数曲线的凸凹性区间和拐点．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：27. 【解答题】求曲线y=x2与该曲线在x=a(a>0)处的切线与x轴所围的平面图形的面积．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：28. 【解答题】求由方程2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0确定的隐函数的全微分．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：。

高数II 期末模拟卷课程名称：高等数学AII课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。

2、考试时间120分钟。

3、答案写在答题卷上。

一、单项选择题（每小题3分，共21分）1.下列方程中是线性微分方程的是()A.2(')120y xy +=B.'''3sin xy y xy y -+=C.32'4y y x -= D.222'''x y y y e x x-+=2.直线134x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩和直线11111x y z +-==-的夹角等于()A．2πB．4πC．3πD．6π3.函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩点（0，0）处()A.连续但偏导数不存在B.不连续但偏导数存在C.连续且偏导数存在D.偏导数存在且可微4.设D 由22(2)1x y ++=所围区域，I 1=2()d Dx y σ+⎰⎰，I 2=3()d Dx y σ+⎰⎰则()A.12I I >B．12I I =C．12I I <D．不能比较5.设⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I ，交换积分次序，得()A.⎰⎰xx dxy x f dy 210),( B.⎰⎰10),(yy dxy x f dy C.⎰⎰102),(y ydxy x f dy D.⎰⎰yydxy x f dy 1),(6.设S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1z =之间的部分，则Sz dS =⎰⎰()学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题A.23πB．223D．π7.下列级数绝对收敛的是()A.2221111357-+-+B.1(1)n n ∞-=-∑C.11(1)nn n ∞=-∑ D.231(1)nn n∞-=-∑二、填空题（每小题3分，共21分）1.微分方程20y y y '''-+=的通解为.2.xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的曲面方程是.3.极限211lim (1)x xyx y x →∞→-=.4.曲线23222x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩在点t=1处的切线方程为.5.已知D =22{(,)1}x y x y +≤，22()Df xy dxdy +⎰⎰，其极坐标形式为.6.设Ω：222+2,x y z z +≤则dV Ω=⎰⎰⎰.7.幂级数0(1)21nnn n x ∞=-+∑的收敛区间是.三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x y ===围成.2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.2.求幂级数121n n n x n ∞+=+∑的收敛半径、收敛域及和函数.参考答案一、单项选择题（每小题3分，共21分）DABA BBA二、填空题（每小题3分，共21分）1.12x x y C e C xe =+；2.225y z x +=；3.1e -；4.12113x y z --==；5.212()d f r rdr πθ⎰⎰；6.43π；7.(-2,2).三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.解：先求20y xy '+=的通解为21x y C e -=(2分）常数变易法，将2()x y u x e-=⋅代入原方程得22()2x xu x e xe --'⋅=解得2()u x x C =+,故原方程的通解为22()x y x C e -=+（4分）将01x y==代入通解得1C =，（5分）故满足初始条件01x y==的特解为22(1)xy x e -=+.（6分）2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.解：直线11111x y z --==-过两点(2,1,2)-和点(1,0,1)，（2分）由条件知平面过点A (2,1,2)-、点B (1,0,1)点和C (0,3,1)-，所以过A、B、C 三点的平面方程为111110130x yz ---=--（5分）即所求平面方程为3410x y z --+=.（6分）四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.解：222x y z x y x +∂=+∂，222x y z yxx +∂=+∂（4分）所以222222()()x ydz y dx x y x yx dy =+++++（5分）()()222222222222411z z x x y xy y x y x y x y y y x ⎛⎫∂∂-⋅-=+=+=+ ⎪∂∂∂⎝++⎭+210x y z x y==∂∂∂1=（6分）2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.解：设2(,,)z F x y z xz y e =-+（1分）则(,,),x F x y z z =(,,)2y F x y z y =-，(,,)zz F x y z x e =+（2分）,x Z z F z zF x e x ∂-=-=∂+2,y Z z F z y yF e x ∂=-=∂+（4分）()22221z z z y e x e x z z z y x x e y x ∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭++∂∂∂()()32z z z y x e ze x e -+-+=（6分）3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.解：2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，解得驻点为（0，0），（2，2）（3分）又68,2,(,)2yy A x B C f x y =-===-（4分）对于点（0，0），A=-8,B=2,C=-2,2120AC B -=>,且A<0，所以(0,0)6f =为极大值.对于点(2,2)，A=4,B=2,C=-2,2120AC B -=-<,所以(2,2)f 不是极值.（6分）五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x x ===围成.解：X 型区域D:02,2x x y x ≤≤≤≤，（2分）220(2)(2)xDxx y dxdy dx x y dy+=+⎰⎰⎰⎰（3分）2220456[2(2)26x x x x x dx -=-+=⎰（6分）2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.解：积分域Ω:2:z x ≤≤∈+≤⎪⎩（2分）极坐标系下的区域D:02,01r θπ≤≤≤≤（3分）Dzdxdydz zdyΩ=⎰⎰⎰⎰⎰（4分）212230(1)2Dx y dxdy d r dr ππθ=--==⎰⎰⎰⎰（6分）3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.解:2,12x Q xy P =+=,又xQx y P ∂∂==∂∂2,故积分与路径无关.（2分）所以积分路径L 可换为折线从点A(0,0)到C(2,0)再到B(2,2)（3分）又因为线段AC:,20,0≤≤=x y 线段BC:,20,2≤≤=y x (4分)⎰⎰⎰+++++=++CBACLdyx dx xy dy x dx xy dy x dx xy 222)12()12()12(104220=+=⎰⎰dy dx （6分）六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.解：1212)1(-+-=nnn n a ，（1分）而121121)1(21212lim lim 11<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅--=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 所以原级数绝对收敛，故原级数收敛。