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北京中考二次函数综合分类汇总函数的对称性和增减性1）求出c的值及a，b之间的关系式。
2）如果抛物线在点A、B之间从左到右上升，求a的取值范围。
3）结合函数图像判断：抛物线是否能同时经过点M(-1+m,n)和N(4-m,n)？如果可以，请写出一个符合要求的抛物线方程和n的值；如果不行，请说明理由。
二次函数与不等式1.（2020·丰台一模26题）已知二次函数y＝ax2﹣2ax。
1）二次函数图像的对称轴是直线x＝a。
2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式。
3）如果a0的解集。
二次函数与角度相关问题2.（2020·西城一模26题）已知抛物线y=ax2+bx+a+2（与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0），在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=-1.1）如果点A的坐标为（-3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标。
2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，如果抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围。
3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，如果抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图像，求a的取值范围。
二次函数与线段公共点问题--定线段21、（2020二模东城26）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y=x^2-5x+a-2的顶点为C。
1）如果抛物线经过点B，求顶点C的坐标。
2）如果点C在线段AB上，求a的取值范围。
2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，求N的取值范围；3）已知点C(-1,0)，D(3,0)，若抛物线与线段CD都没有公共点，求M的取值范围．2、已知点B(3,4)，将其向左平移3个单位长度得到点C。
若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图像，求a的取值范围。
解析：点B向左平移3个单位长度得到点C(-1,4)。
设抛物线的方程为y=ax^2+bx+c，由于抛物线与线段BC恰有一个公共点，因此该点必定在抛物线的对称轴上。
考题训练（十三）二次函数与方程、不等式A组·真题演练[2017·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．B组·模拟训练[2016·顺义一模]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2x的对称轴为直线x＝－1.(1)求a的值及抛物线y＝ax2－2x与x轴的交点坐标；(2)若抛物线y＝ax2－2x＋m与x轴有交点，且交点都在点A(－4，0)，B(1，0)之间，求m的取值范围．图J13－1C组·自测训练一、选择题1．如图J13－2是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，则使y≤1成立的x的取值范围是()A．－1≤x≤3 B．x≤－1C．x≥1 D．x≤－1或x≥3J13－2J13－32．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图J13－3，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的最大值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－6 D ．93．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两个实数根是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝34．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－25．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图J13－4，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2.其中，正确结论的个数是( )图J13－4A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题6．如图J13－5，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 的长为________.图J13－57．已知直线y ＝－2x ＋3与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于________． 8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则当y＜5时，x三、解答题9．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(2，5)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)求该抛物线与x轴的交点坐标；(3)直接写出当－3≤x≤1时，y的取值范围．10．［2015·昌平期末］已知抛物线y＝x2－(2m－1)x＋m2－m.(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与直线y＝x－3m＋3的一个交点在y轴上，求m的值．11．［2017·门头沟二模］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2mx－3＋4m－m2的对称轴是直线x＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)点D(n，y1)，E(3，y2)在抛物线上，若y1>y2，请直接写出n的取值范围；(3)设点M(p，q)为抛物线上的一个动点，当－1<p<2时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线y＝kx－4(k≠0)有交点，求k的取值范围．12．［2016·怀柔一模］在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋mx ＋2m －7的图象经过点(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)把－4<x<1时的函数图象记为H ，求此时函数y 的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若直线y ＝x ＋b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．参考答案|真题演练|解：(1)由抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，令y ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3， ∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，令x ＝0， 得y ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3. (2)由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x ＝2， ∵y 1＝y 2，∴x 1＋x 2＝4.把y ＝－1代入y ＝－x ＋3，得x ＝4.∵x 1＜x 2＜x 3，∴3＜x 3＜4，即7＜x 1＋x 2＋x 3＜8， ∴x 1＋x 2＋x 3的取值范围为：7＜x 1＋x 2＋x 3＜8.|模拟训练|解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2x 的对称轴为直线x ＝－1， ∴－－22a＝－1，解得a ＝－1，∴y ＝－x 2－2x.令y ＝0，则－x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2. ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(0，0)，(－2，0)．(2)∵抛物线y ＝ax 2－2x 与抛物线y ＝ax 2－2x ＋m 的一次项系数、二次项系数相同，∴抛物线y ＝ax 2－2x ＋m 可以由抛物线y ＝ax 2－2x 上下平移得到． ∵抛物线y ＝－x 2－2x 的对称轴与x 轴的交点为(－1，0)，抛物线y ＝－x 2－2x 与x 轴的交点(0，0)，(－2，0)都在点A ，B 之间，且点B(1，0)比点A(－4，0)离对称轴x ＝－1近．∴把B(1，0)代入y ＝－x 2－2x ＋m 中，得m ＝3， 抛物线在x 轴负半轴的交点坐标为(－3，0)．把(－1，0)代入y ＝－x 2－2x ＋m 中，得m ＝－1， 此时抛物线与x 轴只有一个交点为(－1，0)．∴－1≤m<3. |自测训练| 1．D2．B [解析] ∵抛物线的开口向上，顶点的纵坐标为－3，∴a ＞0, －b 24a ＝－3，即b 2＝12a.∵一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4am ≥0，即12a －4am ≥0，即12－4m ≥0，解得m ≤3，∴m 的最大值为3.故选B.3．B 4．D5．D [解析] ①∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac>0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c>0.∵对称轴方程x ＝－b2a >0，∴ab<0.∵a<0，∴b>0，∴abc<0，故②正确；③∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0没有实数根，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 和直线y ＝m 没有交点，由图可得m>2，故③正确．故选D.6．3 [解析] 由二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，0)，(1，－2)，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，所以y ＝x 2－x －2.令x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，所以AC 的长为3.7．68．0＜x ＜4 [解析] 由表可知，抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以x ＝4时，y ＝5，所以y<5时，x 的取值范围为0<x<4.9．解：(1)∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(2，5)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧5＝4＋2b ＋c ，－3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－3.∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)令y ＝0，则x 2＋2x －3＝0.∴(x ＋3)(x －1)＝0. ∴x 1＝－3，x 2＝1.∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)． (3)当x ＝－3或x ＝1时，y 最大值＝0； 当x ＝－1时，y 最小值＝－4.∴－4≤y ≤0.10．解：(1)证明：∵Δ＝[－(2m －1)]2－4(m 2－m)＝4m 2－4m ＋1－4m 2＋4m ＝1＞0， ∴此抛物线与x 轴必有两个不同的交点．(2)∵此抛物线与直线y ＝x －3m ＋3的一个交点在y 轴上， ∴m 2－m ＝－3m ＋3， ∴m 2＋2m －3＝0， ∴m 1＝－3，m 2＝1，∴m 的值为－3或1.11．解：(1)∵y ＝－x 2＋2mx －m 2－3＋4m ＝－(x －m)2＋4m －3，抛物线的对称轴是直线x ＝1， ∴m ＝1，∴y ＝－x 2＋2x.(2)－1＜n ＜3.(3)设点M 关于y 轴的对称点为M′，由题意可得M′(－p ，q)， ∴结合－1＜p ＜2，确定动点M 及M′， 当x ＝－1时，y ＝－3；当x ＝2时，y ＝0.因为动点M 与M′关于y 轴对称，所以翻折后的函数表达式为y ＝－x 2－2x(－2<x<0)，图象确定如图．当直线过点(1，－3)时，由－3＝k·1－4得k ＝1；当直线过点(－2，0)时，由0＝－2k －4得k ＝－2.综上所述：k>1或k<－2.12．解：(1)将(1，0)代入，得m ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)抛物线y ＝x 2＋2x －3开口向上，且在－4<x<1范围内有最低点， ∴当x ＝－1时，y 有最小值为－4. 当x ＝－4时，y ＝5.∴y 的取值范围是－4≤y<5.(3)当直线y ＝x ＋b 经过(－3，0)时，b ＝3. 变换后抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. 联立可得：－x 2－2x ＋3＝x ＋b ， 令判别式为零可得b ＝214.由图象可知，b 的取值范围是3<b<214.。
