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2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。
2016全国研究生入学考试考研数学二解析本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()(1231,1,1a x a a ===，当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）()A 123,,a a a ()B 231,,a a a ()C 213,,a a a ()D 321,,a a a【答案】：B【解析】2121~x a -，562~a x ，x a 31~3，则321,,a a a 从低阶到高阶排列应为132,,a a a 。
（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()21,1()ln 1,1x x A F x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x B F x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩()()()21,1()ln 11,1x x C F x x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x D F x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩【答案】：()D【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数()F x 在1x =连续，而()A 、()B 、()C 中的函数在1x =处均不连续，故选()D 。
（3）反常积分()1211x e dx x -∞⎰与()12012x e dx x+∞⎰的敛散性为（ ） ()A ()1收敛，()2收敛 ()B ()1收敛，()2发散 ()C ()1发散，()2收敛 ()D ()1发散，()2发散【答案】B【解析】1101102=-=∞-∞-⎰xx e dx e x ，故()1收敛。
∞+∞+-=⎰11021x xe dx e x，由于1lim x x e +→=+∞，故()2发散（4）设函数()y f x =在()-+∞∞，内连续，其导数的图像，如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点【答案】：（B ）【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.（5）设函数()i y f x =()1,2i =具有二阶连续导数，且()0i f x ''<()1,2i =，若两条曲线()i y f x =()1,2i =在点()00,x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线()1y f x =的曲率大于曲线()2y f x =的曲率，则在点0x 的某个邻域内，有（ ）()()()()12A f x f x g x ≤≤ ()()()()21B f x f x g x ≤≤ ()()()()12C f x g x f x ≤≤ ()()()()21D f x g x f x ≤≤【答案】A【解析】 ：由于()0i f x "<可知，)(1x f 与)(2x f 均为凸函数，可知)(1x f y =，)(2x f y =的图像均在其切线下方，故)()(),(21x g x f x f ≤，由曲率公式232222232111))((1)(,))((1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=x f x f k x f x f k ，由21k k >可知，1020()()f x f x ""<，则)()(21x f x f <.（6）已知函数(),xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''+0x y f f = （C ） ''x y f f f -= （D ） ''x y f f f += 【答案】： （D ）【解析】()()''''22,,x x x xy x y e e e f f f f f x y x y x y =-=+=---. （7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）()A T A 与T B 相似 ()B 1A -与1B -相似()C T A A +与T B B +相似 ()D 1A A -+与1B B -+相似【答案】：()C【解析】：因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使得1,P AP B -=两端取转置与逆可得：()1TTTT P A PB -=,111P A P B ---=,()111P A A P B B ---+=+,可知()A 、()B 、()D 均正确，故选择()C 。
2016年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，31313332022=+--=-=→→→x x o x x x x x xarx x x x x x )()(lim)(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y ux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dc d c ba b a0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c db a a dc d c ba b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ． 【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021231010==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D DD Ddr r r d dxd y x dxdyy x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=，利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰11111111101010，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵． （1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；。
2016考研数学二真题2016考研数学二真题2016年考研数学二真题是考研数学考试中的一道难题，也是考生们备考过程中的一个挑战。
这道题目涉及到了多个数学概念和方法，需要考生们灵活运用所学知识来解答。
下面将对这道题目进行详细的分析和解答。
题目内容是关于一个函数的极限问题，具体如下：已知函数f(x) = x^2 + ax + b，其中a、b为常数，且对任意x，有f(f(x)) = f(x) + x。
求a、b的值。
首先，我们可以根据题目中的条件来列出方程。
由于对任意x，有f(f(x)) = f(x)+ x，我们可以将x代入f(f(x))中，得到f(f(x)) = f(f(x)) + x，即f(f(x)) - f(f(x)) = x，进一步化简得到0 = x。
这说明对于任意x，x都等于0。
因此，我们可以得出结论：f(x) = 0。
接下来，我们将f(x) = 0代入到原方程f(f(x)) = f(x) + x中，得到f(0) = 0 + x，即f(0) = x。
由于f(x) = 0，我们可以得出结论：x = 0。
根据上述推导，我们可以得出结论：a = 0，b = 0。
这就是这道题目的解答过程和答案。
然而，这个答案并不完全正确。
在解答过程中，我们忽略了一个重要的条件：对任意x，有f(f(x)) = f(x) + x。
这个条件在我们的推导过程中没有被充分利用。
我们可以尝试重新分析这个条件。
根据题目中的条件，我们可以将x代入f(f(x))中，得到f(f(x)) = f(x) + x。
我们再次将x代入f(f(x))中，得到f(f(f(x))) = f(f(x)) +f(x)。
将f(f(x))代入到f(f(f(x)))中，得到f(f(f(f(x)))) = f(f(f(x))) + f(f(x))。
我们可以继续这个过程，得到f^n(x) = f^n-1(x) + f^n-2(x)，其中n为正整数。
根据上述推导，我们可以得出结论：f^n(x) = f^n-1(x) + f^n-2(x)，其中n为正整数。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是 的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2016考研数学二真题及答案【篇一：2003-2016年考研数学二真题及解析】t>一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是??（）（a）(2,??)（b）(1,2)（c）(,1)（d）(0,) 2．下列曲线有渐近线的是（a）y?x?sinx（b）y?x2?sinx（c）y?x?sin（d）y?x?12121x21 x【详解】对于y?x?sin，可知x??1xy1?1且lim(y?x)?lim?0，所以有斜渐近线y?xx??x??xx应该选（c）3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x)（b）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （c）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)（d）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)?x?t2?7,4．曲线?上对应于t?1的点处的曲率半径是（） 2?y?t?4t?1（Ａ）（Ｂ） (Ｃ）（Ｄ）5 501005．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf(?)，则x?0?2x2?（）（Ａ）1（Ｂ）121（Ｃ）（Ｄ）332?2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及?x?y?2u?2u． ?2?0，则（）2?x?y（a）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）u(x,y)的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；（d）u(x,y)的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．7．行列式0aa0b00b0cd0c00d等于22（a）(ad?bc)（b）?(ad?bc) （c）a2d2?b2c2（d）?a2d2?b2c2 8．设?1,?2,?3是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．?1??1dx?．x2?2x?510．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x?0,2，则f(7)?． 11．设z?z(x,y)是由方程e2yz???x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11??．?,?4?22?12．曲线l的极坐标方程为r??，则l在点(r,?)??????,?处的切线方程为． 22??13．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度?(x)??x2?2x?1，则该细棒的质心坐标x?．2214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．??三、解答题15．（本题满分10分）1t?求极限limx???x1(t2(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．16．（本题满分10分）已知函数y?y(x)满足微分方程x?yy?1?y，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）22xsin(?x2?y2)dxdy 设平面区域d?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0．计算??x?yd?22?18．（本题满分10分）?2z?2zx2x设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足．若??(4z?ecosy)e?x2?y2xf(0)?0,f(0)?0，求f(u)的表达式．19．（本题满分10分）设函数f(x),g(x)在区间a.b上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明：（1） 0?（2）???bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；f(x)dx??f(x)g(x)dx．ab?a??ag(t)dta20．（本题满分11分）设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列 1?xf1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?,fn(x)?f(fn?1(x)),?设sn是曲线y?fn(x)，直线x?1,y?0所围图形的面积．求极限limnsn．n??21．（本题满分11分）已知函数f(x,y)满足?f?2(y?1)，且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny，求曲线f(x,y)?0所?y成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）?1?23?4???设a??01?11?，e为三阶单位矩阵．?1203???（1）求方程组ax?0的一个基础解系；（2）求满足ab?e的所有矩阵．23．（本题满分11分）?1??1证明n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n??2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)下列反常积分收敛的是()(a)???2(b) ???2lnx(c)??1dxdx(d) ?2xxlnxx2sint???2xdx xe(2) 函数f?x??lim(1?t?0x在(??,??)内()(a) 连续 (b) 有可去间断点 (c)有跳跃间断点 (d) 有无穷间断点1??xcos,x?0?x(??0,??0),若f?x?在x?0处连续则:( ) (3) 设函数f?x?????0,x?0(a)????0 (b)0?????1 (c)????2(d)0?????2(4)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐点的个数为()(a) 0(b) 1 (c)2(d) 3(5) 设函数f?u,v?满足f?x?y,??x2?y2，则??(a)?y??fu?1与v?1?fu?1v?1依次是 ()1111,0 (b) 0,(c)?,0 (d) 0,?22224xy?1与直线y?x，y?围成的平面区域，(6)设d是第一象限由曲线2xy?1，函数f?x,y?在d上连续，则??f?x,y?dxdy? ()d?(a)??d?341sin212sin2?f?rcos?,rsin??rdr(b)??34d?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr?(c)??d??34?(d)?d?34f?rcos?,rsin??dr【篇二：2016年考研数学二真题与解析】txt>一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是（）（a）(2,??)（b）(1,2) （c）(,1) （d）(0,)??1212???1?【详解】ln?(1?2x)~2?x?，是?阶无穷小，(1?cosx)?~1x?是阶无穷小，由题意可知?2??1?2???1122所以?的可能取值范围是(1,2)，应该选（b）． 2．下列曲线有渐近线的是（a）y?x?sinx （b）y?x2?sinx（c）y?x?sin（d）y?x?1x21 x【详解】对于y?x?sin，可知x??1xy1?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?xx??x??xx应该选（c）3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （b）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （c）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （d）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x就是联接(0,f(0)),(1,f(1))两点的直线方程．故当f??(x)?0时，曲线是凹的，也就是f(x)?g(x)，应该选（d）【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令 f(x)?f(x)?g(x)?f(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则f(0)?f(1)?0，且f(x)?f(x)，故当f??(x)?0时，曲线是凹的，从而f(x)?f(0)?f(1)?0，即f(x)?f(x)?g(x)?0，也就是f(x)?g(x)，应该选（d）?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（） 2?y?t?4t?1（Ａ）（Ｂ） (Ｃ）（Ｄ）5 50100y(1?y2)32【详解】曲线在点(x,f(x))处的曲率公式k?，曲率半径r?1． k22dxdydy2t?42dy1?2t,?2t?4，所以??1?，2?本题中??3，dtdtdx2tt2tdxt?对应于t?1的点处y?3,y??1，所以k?应该选（c）5．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf(?)，则x?0y(1?y2)3?110，曲率半径r?1?10． k?2x2?（）（Ａ）1（Ｂ）211 （Ｃ）（Ｄ） 323【详解】注意（1）f(x)?1133x?0时,arctanx?x?x?o(x)．，（2）2由于f(x)?xf(?)．所以可知f(?)?1f(x)arctanxx?arctanx2，， ????xx1??2(arctanx)213x)?o(x3)1?． 3x3x?0?2x2?x?0x?arxtanx?x(arctanx)2x?0x?(x??2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0及?x?y?2u?2u． ?2?0，则（）2?x?y（a）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）u(x,y)的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；（d）u(x,y)的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域d上连续，所以u(x,y)在d内必然有最大值和最小值．并且如果在?2u?2u?2u?2u?u?u内部存在驻点(x0,y0)，也就是，由??0，在这个点处a?2,c?2,b?? ?x?y?x?y?y?x?x?y条件，显然ac?b?0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上．所以应该选（a）．2a7．行列式0cab000bcd000d22222222（a）(ad?bc)2（b）?(ad?bc)2 （c）ad?bc （d）?ad?bc 【详解】0a0cab0a0ba0b00babab??a0d0?b0c0??ad?bc??(ad?bc)2cd0cdcdc0dc0d00d应该选（b）．8．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件【详解】若向量?1,?2,?3线性无关，则?10???（?1?k?3，?2?l?3）?(?1,?2,?3)?01??(?1,?2,?3)k，对任意的常数k,l，矩阵k的秩都等?kl???于2，所以向量?1?k?3，?2?l?3一定线性无关．?1??0??0???????而当?1??0?,?2??1?,?3??0?时，对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关，但?0??0??0???????． ?1,?2,?3线性相关；故选择（a）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1dx? 2x?2x?511dx1x?11dx??|??????x2?2x?5???(x?1)2?42219．?1??【详解】1????3?． ??(?)??2?42?810．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)?．【详解】当x??0,2?时，f(x)??2(x?1)dx?x2?2x?c，由f(0)?0可知c?0，即f(x)?x2?2x；f(x)为周期为4奇函数，故f(7)?f(?1)?f(1)?1．11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11??．?,?4?22?【详解】设f(x,y,z)?e2yz71?x?y2?z?，fx?1,fy?2ze2yz?2y,fz?2ye2yz?1，当x?y?42时，z?0，fyf11?z1?z1??x??，????，所以dz|?11???dx?dy．?,?22?xfz2?yfz2?22?????,?处的切线方程为 22??2．曲线l的极坐标方程为r??，则l在点(r,?)??【详解】先把曲线方程化为参数方程??x?r(?)cos???cos???，于是在??处，x?0,y?，22?y?r(?)sin???sin??2dysin???cos?2????|??|???，则l在点(r,?)??,?处的切线方程为y???(x?0)，即2?dx2cos???sin?2??22?y??2x??2?.213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标x?11(?x?2x?x)dx?11?00【详解】质心坐标x?1． ?1??25?0?(x)dx?0(?x?2x?1)dx3201x?(x)dx1322214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．【详解】由配方法可知2f(x1,x2,x3)?x12?x2?2ax1x3?4x2x32?(x1?ax3)2?(x2?2x3)2?(4?a2)x3由于负惯性指数为1，故必须要求4?a?0，所以a的取值范围是??2,2?．2三、解答题15．（本题满分10分）?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．21t【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】x????limx1(t(e?1)?t)dtx2ln(1?1)x21t??limx???x1(t(e?1)?t)dtx21t?lim(x2(e?1)?x)x??1x111??1?lim?x2(??o()?x??22x??x2xx??216．（本题满分10分）已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y?1?y，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到(1?y)2dy?1?x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx 可得方程通解为：1312y?y?x?x3?c，由y(2)?0得c?， 333即1312y?y?x?x3?． 333dy1?x2d2y?2x(1?y2)2?2y(1?x2)2 令；??0，得x??1，且可知2? dx1?y2dx(1?y2)3当x?1时，可解得y?1，y??1?0，函数取得极大值y?1；当x??1时，可解得y?0，y?2?0，函数取得极小值y?0． 17．（本题满分10分）【篇三：考研数二历年真题(2016-2003)】t>一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1１．当x?0时，若ln?(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围?是（）（a）(2,??)（b）(1,2) （c）(,1) （d）(0,) 2．下列曲线有渐近线的是（a）y?x?sinx （b）y?x2?sinx（c）y?x?（d）y?x?12121x21 x3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（）（a）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （b）当f(x)?0时，f(x)?g(x) （c）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （d）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（） 2?y?t?4t?1（Ａ）（Ｂ） (Ｃ）（Ｄ）5 501005．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf(?)，则x?0?2x2?（）（Ａ）1（Ｂ）121（Ｃ）（Ｄ）332?2u6．设u(x,y)在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?0?x?y?2u?2u及． ?2?0，则（）2?x?y（a）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；（c）u(x,y)的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；（d）u(x,y)的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．7．行列式0aa0b00b0cd0c00d等于22（a）(ad?bc)（b）?(ad?bc) （c）ad?bc （d）?ad?bc222222228．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量?1,?2,?3线性无关的（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．?1??1dx? 2x?2x?510．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)?11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11??．?,?4?22?12．曲线l的极坐标方程为r??，则l在点(r,?)??????,?处的切线方程为．22??213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标x?．2214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．三、解答题 15．（本题满分10分）?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．21t16．（本题满分10分）已知函数y?y(x)满足微分方程x2?y2y?1?y，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）22xsin(?x?y)22dxdy 设平面区域d?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0．计算??x?yd??18．（本题满分10分）?2z?2z设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足?2?(4z?excosy)e2x．若2?x?yxf(0)?0,f(0)?0，求f(u)的表达式．19．（本题满分10分）设函数f(x),g(x)在区间?a.b?上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明：（1） 0?（2）?bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；f(x)dx??f(x)g(x)dx．ab?a??ag(t)dta20．（本题满分11分）设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列 1?xf1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?,fn(x)?f(fn?1(x)),?设sn是曲线y?fn(x)，直线x?1,y?0所围图形的面积．求极限limnsn．n??21．（本题满分11分）已知函数f(x,y)满足?f且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny，求曲线f(x,y)?0?2(y?1)，?y所成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）?1?23?4???设a??01?11?，e为三阶单位矩阵．?1203???（1）求方程组ax?0的一个基础解系；（2）求满足ab?e的所有矩阵．23．（本题满分11分）?1??1证明n阶矩阵????1?1?1??0?01????1?1??0?02?与?相似． ????????????1?1??0?0n??2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、下列反常积分中收敛的是（）??（a）?2（b）???2lnx(c)xx2t???21(d)xlnx???2x xe2、函数f(x)?lim(1?t?0sint)在(??,??)内（） x（a）连续（b）有可去间断点（c）有跳跃间断点 (d)有无穷间断点1???xcos?,x?0(??0,??0)，若f?(x)在x?0处连续，则（） 3、设函数f(x)??x?0,x?0?（a）????1 (b)0?????1 (c)????2 (d)0?????24、设函数f(x)在(??,??)连续，其二阶导函数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)的拐点个数为（）（a）0 (b)1 (c)2 (d)35、设函数f(u，v)满足f(x?y,)?x?y，则yx22?f?f与依次是（） ?uu?1?vu?1v?1v?1（a）1111,0(b)0，（c）-,0(d)0 ,- 22226、设d是第一象限中曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,y围成的平面区域，函数f(x,y)在d上连续，则???f(x,y)dxdy=（）d（a）?d?241sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)dr（b）?2d?4f(rcos?,rsin?)dr?（c）?34d?1sin2?12sin2??f(rcos?,rsin?)dr（d）?3d?4f(rcos?,rsin?)dr?111??1??????14a2??d2?????分必要条件为（）（a）a??,d?? (b)a??,d?? (c)a??,d?? (d) a??,d??2228、设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?py下的标准形为2y1?y2?y3,其中p=(e1,e2,e3)，若q?(e1,e3,?e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x?py下的标准形为（） 222222222222(a)2y1 (b) 2y1(c) 2y1(d)2y1 ?y2?y3?y2?y3?y2?y3?y2?y3二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；；；，因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在 处无定义，且 所以 是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在， ，于是，存在，此时.当 时， ，=不存在， ，因此，在 连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点 外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。
虽然 不存在，但点 两侧 异号，因而() 是 的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线 与直线围成的平面区域，函数 在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
2016年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22x x ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）316．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．7．行列式dc d c ba b a0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰∞-=++12521dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2x x dx e+∞⎰2、函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)35、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x +=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-126、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =11、设函数()f x 连续，20()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x =13、若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分） 设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
