2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试(期末)数学试题及答案解析版

2021高三期末考试2021-2021年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题（解析版）20XX-2021年高三上学期第一次调研测试数学（理）试题一、单选题1．设，则（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据集合的交集运算即可求解。

【详解】，故选：D 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。

2．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】由三角函数的最小正周期，即可求解。

【详解】，故选：B 【点睛】本题考查求三角函数的周期，属于基础题。

3．已知向量，则（）A．-8B．4C．7D．-1【答案】A 【解析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 4．已知奇函数当时，，则当时，的表达式是( ) A．B．C．D．【答案】C 【解析】设x<0，则−x>0，又当x>0时,f(x)=x(1−x)，故f(−x)=−x(1+x)，又函数为奇函数，故f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即f(x)=x(x+1)，本题选择C选项. 5．若数列满足：且，则（）A．B．-1C．2D．【答案】B 【解析】首先由递推关系得出、、、且数列的周期为即可求出.【详解】由且，则，，，所以数列为周期数列，周期为，所以故选：B 【点睛】本题考查数列周期性的应用，属于基础题. 6．若，则（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】本道题化简式子,计算出,结合,即可. 【详解】 ,得到,所以 ,故选C. 【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小. 7．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，由，得，当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A. 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标. 8．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。

江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试数学试卷2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A I B ＝ ． 答案：{0，1} 考点：集合的运算 解析：∵2x <， ∴22x -<< ∴A ＝{}22x x -<< ∵B ＝{﹣2，0，1，2} ∴A I B ＝{0，1}2．已知i 是虚数单位，则复数212i(2i)2i++-对应的点在第 象限． 答案：二 考点：复数 解析：∵212i (12i)(2i)(2i)44i 2i (2i)(2i)++++=-+=-+--+， ∴该复数对应点在第二象限3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ． 答案：0.4考点：方差与标准差解析：这组样本数据的平均数为：x ＝15×(9.4＋9.2＋10＋10.6＋10.8)＝10 ∴这组样本数据的方差为：S 2＝15×[(9.4﹣10)2＋(9.2﹣10)2＋(10﹣10)2＋(10.6﹣10)2＋(10.8﹣10)2]＝0.44．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．答案：10考点：伪代码（算法语句）解析：模拟程序的运行过程，得：s=1，i=1，满足条件i ≤5，执行循环s=1+1=2，i=3满足条件i ≤5，执行循环s=2+3=5，i=5满足条件i ≤5，执行循环s=5+5=10，i=7此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出s=10．故答案为：10．5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为 ． 答案：34考点：几何概型解析：∵直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交 2531k k <+解得3344k -<< 则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2＝9相交”发生的概率P ＝322＝34．6．已知函数ln 20()0x x f x x a x ->⎧=⎨+≤⎩，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝ ．答案：﹣1考点：分段函数，函数求值解析：2(())(1)1a f f e f a ==-=-+，求得a ＝﹣1．7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>⎧⎨>⎩是命题q ：33x y >⎧⎨>⎩的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案：必要不充分条件 考点：简易逻辑，充要条件解析：本题p 推不出q ，但q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件． 8．已知函数1(12)31()21x a x a x f x x --+<⎧=⎨≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．答案：[0，12) 考点：函数的值域解析：要使原函数值域为R ，则1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得0≤a ＜12．9．若a ＝21.4，b ＝80.2，c ＝2log 41()2-，则a ，b ，c 的大小关系是 （用“＞”连接）．答案：c ＞a ＞b 考点：指数函数解析：a ＝21.4，b ＝80.2＝20.6，c ＝2log 41()2-＝24，因为4＞1.4＞0.6，所以c ＞a ＞b ．10．已知函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且2()5a f m --＞2(22)f m m -+-，则实数m 的取值范围是 ．答案：112m ≤<考点：单调性与奇偶性相结合解析：由函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，得2﹣a ＋3＝0，所以a ＝5． 所以2()5a f m --＞2(22)f m m -+-，即2(1)f m --＞2(22)f m m -+- 由偶函数()f x 在[﹣3，0]上单调递增，而21m --＜0，222m m -+-＜0∴22223103220122m m m m m m ⎧-≤--≤⎪-≤-+-≤⎨⎪-->-+-⎩，解得112m ≤<．11．已知P 是曲线211ln 42y x x =-上的动点，Q 是直线324y x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ． 答案：62ln 25- 考点：导数与切线 解析：当曲线211ln 42y x x =-在点P 处的切线的斜率为34，且PQ ⊥直线324y x =-时，PQ 最小，由21324x y x -'==，解得x ＝2（负值已舍），此时切点P(2，1﹣ln 22)，求得点P 到直线324y x =-的距离为62ln 25-，所以PQ 的最小值为62ln 25-． 12．若正实数m ，n ，满足226m n m n+++=，则mn 的取值范围为 ． 答案：[1，4]考点：基本不等式解析：设mn ＝t，则226t t m t m +++=≥，解得1≤t ≤4，其中当m ＝n时取“＝”．13．若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(0，132) 考点：函数与方程解析：思路一：原方程可转化为223211452301x x x a x x x -⎧-≥⎪⎪=⎨-⎪-<<⎪⎩, , 恰有4个不同的正根，根据数形结合画图后即可求得0＜a ＜132． 思路二：原方程可转化为2112()40x x a x x---+=恰有4个不同的正根，从而转化为方程2240t t a -+=在(0，1)有两个不等的根，则有132040140a a a ->⎧⎪>⎨⎪+>⎩，解得0＜a ＜132． 14．设()f x '和()g x '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()f x '·()g x '＜0在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反．若函数31()2(0)3f x x ax a =->与()g x =2x 2bx +在区间(a ，b )上单调性相反，则b ﹣a 的最大值为 ．答案：12考点：利用导数研究函数的性质，不等式解析：∵31()2(0)3f x x ax a =->，()g x =2x 2bx +， ∴2()2f x x a '=-，()22g x x b '=+；由题意得()f x '·()g x '＜0在(a ，b )上恒成立，∵a ＞0，∴b ＞a ＞0，∴22x b +＞0恒成立，∴22x a -≤0恒成立，即2a -≤x ≤2a ；又∵0＜a ＜x ＜b ，∴b ≤2a ，即0＜a ≤2a ，解得0＜a ≤2；则b ﹣a≤2a ﹣a ＝221()22a --+，当a ＝12取最大值12． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）己知集合A ＝{}2320x x x -+≤，集合B 为函数22y x x a =-+的值域，集合C ＝{x }240x ax --≤．命题p ：A I B ≠∅，命题q ：A ⊆C ．（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围． 15．16．（本小题满分14分）已知函数2()(0)1xf x x x =>+． （1）求证：函数()f x 在(0，+∞)上为增函数； （2）设2()log ()g x f x =，求函数()g x 的值域；（3）若奇函数()h x 满足x ＞0时()()h x f x =，当x ∈[2，3]时，(log )a h x -的最小值为43-，求实数a 的值． 16．（3）实数a 3327． 17．（本小题满分14分）已知函数1()212xxf x =+-． （1）解关于x 的不等式()(2)f x f x ≥；（2）若对任意x ∈R ，不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，求实数k 的取值范围． 17．解：（1）∵()(2)f x f x ≥∴2211212122xxx x +-≥+- 化简得：211(2)(2)2022x xx x +-+-≤即11(22)(21)022x xx x +-++≤∵1212xx ++＞0∴1222xx +-＜0即2(21)0x -≤，又2(21)0x -≥，∴2(21)0x -=，∴x ＝0 ∴不等式()(2)f x f x ≥的解集为{1}． （2）要使不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，则222112112(2)922112222xxxx x x x xk +-+++<=++恒成立， 令122xxt =+，t ≥2，则min 9()6k t t<+=（当且仅当t ＝3时取“＝”） ∴实数k 的取值范围是k ＜6．18．（本小题满分16分）设函数()(1)()f x x x x a =--(a ∈R)，()f x 的取得极值时两个对应点为A(α，()f α)，B(β，()f β)，线段AB 的中点为M ．（1）如果函数()f x 为奇函数，求实数a 的值，并求此时()f α·()f β的值； （2）如果M 点在第四象限，求实数a 的取值范围． 18． （1）所以3()f x x x =-，则2()31f x x '=-，令()0f x '=求得3α=，3β=- ∴()f α·3333334()[()][()]333327f β=--+=-． （2）19．（本小题满分16分）下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且点P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问：两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．19．20．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()g x ax b =+，a ，b ∈R ．（1）若(1)0g -=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； （2）若不等式2()f x x m >+对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0，+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围． 20．。

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共14小题）1.已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2.设复数（其中i为虚数单位），则|z|＝．3.如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是．4.顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．5.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，若直线l1∥l2，则m＝﹣．6.从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是．7.若实数x，y满足条件，则z＝3x+2y的最大值为．8.将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝﹣．9.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥B﹣ECF的体积为．10.等比数列{a n}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，则公比q＝．11.记集合A＝[a，b]，当θ∈[﹣，]时，函数f（θ）＝2θ的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则b﹣a的最小值是．12.已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是﹣﹣．13.过直线l：y＝x﹣2上任意一点P作圆C：x2+y2＝1的一条切线，切点为A，若存在定点B（x0，y0），使得P A＝PB恒成立，则x0﹣y0＝．14.在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A（2，1），B（1，﹣2），C（3，﹣1），点P（x，y）满足（•）×（•）＝﹣1，则的最大值为．二、解答题（共11小题）15.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD，PB⊥PD，平面PBD⊥底面ABCD．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求证：PD⊥平面P AB．16.如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，．（1）若C＞B，且cos（C﹣B）＝，求角C；（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为4，左准线l的方程为x＝﹣4．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G（，0），求证：A1，B，G三点共线．18.某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．（1）试将l表示为α的函数l（α），并写出α的取值范围；（2）求l最小时cosα的值．19.已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x）（a∈R）．（1）当a＝0，证明：f（x）≤x﹣1；（2）如果函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且f（x1）+f（x2）＜k恒成立，求实数k的取值范围；（3）当a＜0时，求函数f（x）的零点个数．20.已知n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n+1﹣a1；数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n+b n＝n+，b4＝4，且a1＝b2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设c n＝，问：数列{c n}中是否存在不同两项c i，c j（1≤i＜j，i，j∈N*），使c i+c j仍是数列{c n}中的项？若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．21.在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，1）在矩阵M＝对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求M﹣1．22.已知曲线C1的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为，（α为参数），求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标．23.已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|的最小值为k，且a+b+c＝k，求a2+b2+c2的最小值．24.22．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）．（1）若直线y＝﹣x+1与抛物线相交于M，N两点，且MN＝2，求抛物线的方程；（2）直线l过点Q（0，t）（t≠0）交抛物线于A，B两点，交x轴于点C，如图，设＝m，＝n，求证：m+n为定值．25.我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n可得，等式左边x k的系数为（0≤k≤n），等式右边x k项系数为，所以我们得到组合数恒等式：＝．（1）化简：（）2+（）2+（）2+…+（）2+）2；（2）若袋中装有n（n∈N*）个红球和n个白球，从中一次性取出n个球．规定取出k（0≤k≤n）个红球得k2分，设X为一次性取球的得分，求X的数学期望．2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【知识点】交集及其运算2.【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果．【解答】解：＝1﹣2i，∴|z|＝＝，故答案为：．【知识点】复数求模3.【分析】模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出S＝0+1+3+5+7+9的值，从而得解．【解答】解：模拟执行伪代码，可得：S＝0+1+3+5+7+9＝25．故答案为：25．【知识点】伪代码4.【分析】求得双曲线的右焦点，可设抛物线的方程为y2＝mx，m＞0，由抛物线的焦点坐标，可得m，即可得到所求方程．【解答】解：双曲线的右焦点为（4，0），抛物线的方程设为y2＝mx，m＞0，由题意可得＝4，即m＝16，可得抛物线方程为y2＝16x．故答案为：y2＝16x．【知识点】抛物线的标准方程、双曲线的简单性质5.【分析】根据题意，由直线平行的条件可得（m﹣2）+m2＝0，解可得m的值，验证直线是否重合即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，若直线l1∥l2，必有（m﹣2）+m2＝0，解可得：m＝1或﹣2，当m＝1时，直线l1：x﹣y﹣1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，两直线重合，不符合题意；当m＝﹣2时，直线l1：x+2y﹣4＝0，l2：﹣2x﹣4y﹣1＝0，两直线平行，符合题意；故m＝﹣2；故答案为：﹣2【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系6.【分析】基本事件总数n＝＝10，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率．【解答】解：从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数n＝＝10，剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个，∴剩余三个数能构成等差数列的概率是p＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式7.【分析】画出约束条件对应的可行域，再求出对应的角点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．【解答】解：实数x，y满足条件，对应的可行域如下图所示：由，解得x＝3，y＝2时，目标函数经过A（3，2）时，目标函数取得最大值：z＝3x+2y＝13，故z＝3x+2y的最大值为：13；故答案为：13．【知识点】简单线性规划8.【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再根据g（x）的解析式，求得g（）的值．【解答】解：将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos（2x+）的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+）的图象，则＝﹣，故答案为：﹣．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换9.【分析】由题意画出图形，再由等积法求三棱锥B﹣ECF的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，∴＝．故答案为：．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积10.【分析】由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得所求公比．【解答】解：等比数列{a n}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，可得a1+a2+a3＝a1+a1q+a1q2＝42，a1+a3＝2（a2+3）即2（a1q+3）＝a1+a1q2，解得q＝2或，故答案为：2或．【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的通项公式11.【分析】利用倍角公式、和差公式化简f（x），利用三角函数的单调性可得B，根据x∈A”是“x∈B”的必要条件，可得B⊆A．即可得出结论．【解答】解：函数f（θ）＝2θ＝sin2θ+cos2θ+1＝2sin（2θ+）+1．当θ∈[﹣，]时，（2θ+）∈[﹣，]，∴sin（2θ+）∈[﹣，1]．∴2sin（2θ+）+1∈[0，3]＝B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A．∴b﹣a的最小值是3﹣0＝3．故答案为：3．【知识点】充要条件12.【分析】由题意可得f（x）为偶函数，求得f（x）在x≥0上连续，且为减函数，f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣2﹣x+x3＝f（x），同样x＞0，可得f（﹣x）＝f（x），且f（0）＝﹣1，则f（x）为偶函数，且f（x）在x≥0上为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，可得f（|1﹣x|）≤f（|x+m|），即为|x﹣1|≥|x+m|，即有（2x﹣1+m）（m+1）≤0，由一次函数的单调性，可得：（2m﹣1+m）（m+1）≤0，且（2m+2﹣1+m）（m+1）≤0，即为﹣1≤m≤且﹣1≤m≤﹣，即有﹣1≤m≤﹣，则m的范围是[﹣1，﹣]，故答案为：[﹣1，﹣]．【知识点】函数恒成立问题13.【分析】设P（a，a﹣2），B必在以P为圆心，P A为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，PB2＝P A2恒成立，即任意a∈R，（x0﹣a）2+[y0﹣（a﹣1）]2＝a2+（a﹣2）2﹣1恒成立，所以，即可解得x0，y0，进而得到答案．【解答】解：设P（a，a﹣2），由题意知B必在以P为圆心，P A为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，因为PB2＝P A2，所以（x0﹣a）2+[y0﹣（a﹣2）]2＝a2+（a﹣2）2﹣1即（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0，因为任意a∈R，（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0恒成立，所以解得或，所以x0﹣y0＝2±，故答案为：2±．【知识点】圆的切线方程14.【分析】依题意可得（2x+y）（x﹣2y）＝﹣1，通过换元令，将所求式子化简，再利用基本不等式得解．【解答】解：依题意，由（•）×（•）＝﹣1得，（2x+y）（x﹣2y）＝﹣1，令，解得，且mn＝﹣1，∴＝＝，需要求出的最大值，不妨设m+n＞0，则＝，当且仅当或时取等号．故答案为：．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律二、解答题（共11小题）15.【分析】（1）连结AC，交BD于点O，连结EO，则点O为AC中点，由点E为AP的中点，得EO∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（2）推导出PB⊥平面ABCD，PB⊥AB，AB⊥BD，从而AB⊥平面PBD，进而AB⊥PD，PD⊥PB，由此能证明PD⊥平面P AB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点O，连结EO，∵四边形ABCD是平行四边形，且AC交BD于点O，∴点O为AC中点，在△P AC中，∵点E为AP的中点，∴EO∥PC，∵EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE．（2）∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PB⊥BD，PB⊂平面ABCD，∴PB⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴PB⊥AB，∵AB⊥BD，BD∩PB＝B，∴AB⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AB⊥PD，∵PD⊥PB，PB∩AB＝B，∴PD⊥平面P AB．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定16.【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C的值，结合C的范围可求C的值．（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan C＝1，可得C＝，在△ABC中，由正弦定理可得AC的值．【解答】解：（1）∵AB＝14，BD＝6，，∴•＝AB•BD•cos B＝14×6×cos B＝66，∴解得cos B＝，∵△ABC中，C＞B，且B+C+∠ABC＝π，∴B，∴sin B＝＝，∵C﹣B∈（0，π），cos（C﹣B）＝，∴cos C＝cos[（C﹣B）+B]＝cos（C﹣B）cos B﹣sin（C﹣B）sin B＝﹣＝，在△ABC中，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵△ACD的面积，∴CD•CA•sin C＝AC•CD•cos C，∴sin C＝cos C，∵△ACD中，C∈（0，π），∴sin C≠0，则cos C≠0，可得tan C＝1，可得C＝，在△ABC中，由正弦定理可得，又∵sin B＝，AB＝14，sin C＝sin＝，∴＝，解得AC＝5．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律、正弦定理17.【分析】（1）由题意列出a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）①由（1）可知：F1（﹣1，0），AB＝≠4，故直线l1不与x轴重合，设直线l1方程为：x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AB|的长，即可求出m的值，从而求出直线l1的方程；②A1＝（﹣4，y1），由①可知：，，得到k＝k BG，由此，A1，B，G三点共线．【解答】解：（1）设焦距为2c，由题意可知：，解得，∴椭圆的标准方程为：；（2）①由（1）可知：F1（﹣1，0），AB＝≠4，故直线l1不与x轴重合，设直线l1方程为：x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程：，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，△＝144（m2+1）＞0，，∴|AB|＝＝＝＝，解得：m＝±1，∴直线l1的方程为：x±y+1＝0；②A1＝（﹣4，y1），由①可知：，，则k﹣k BG＝﹣＝﹣故k＝k BG，由此，A1，B，G三点共线．【知识点】直线与椭圆的位置关系18.【分析】（1）如图所示，组ME⊥TO，垂足为E点，作NF⊥ME，垂足为F点．可得TE＝70﹣60cosα，NM＝．进而得出l（α），＜α＜．（2）l′（α）＝﹣60＝0，解得cosα．【解答】解：（1）如图所示，作ME⊥TO，垂足为E点，作NF⊥ME，垂足为F点．根据条件可得TE＝70﹣60cosα，NM＝．∴l（α）＝+60（﹣α）+60++60﹣＝120++30π﹣60α，若点N在T时，，此时α0是的最小值，又∵N不能在点T，故，若点N在P时，此时切点M为点A，且不能取，故，∴∵点G需要在R的左边，故，而，∴，∴，∴α的取值范围为．（2）l′（α）＝﹣60＝0，令l'（α）＞0，可得，令l'（α）＜0，可得．令，，则当α∈（0，α0）时，l（α）为单调递减；当时，l（α）为单调递增．∴当时，函数l（α）取得最小值．【知识点】根据实际问题选择函数类型19.【分析】（1）只需证明x﹣lnx﹣1≥0，构造函数g（x）＝x﹣lnx﹣1，利用导数易得证；（2）求导后可知2ax2﹣ax+1＝0的两根分别为x1，x2，进而可得a＞8，表示出f（x1）+f（x2），构造函数求其在定义域上的最大值即可；（3）研究可知f（x）max≥0，再分类讨论结合导数及零点存在性定理即可得出结论．【解答】解：（1）证明：当a＝0时，f（x）≤x﹣1等价于lnx≤x﹣1，即证x﹣lnx﹣1≥0，令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；∴g（x）min＝g（1）＝0，∴g（x）≥0，即x﹣lnx﹣1≥0，得证；（2）令，则2ax2﹣ax+1＝0的两根分别为x1，x2，∴，解得a＞8，∴＝＝＝＝g（a），显然g（x）在（8，+∞）上递减，∴g（a）＜g（8）＝ln16﹣2﹣1＝4ln2﹣3，∴k≥4ln2﹣3；（3）当a＜0时，f′（x）＝，令f′（x）＝0，则2ax2﹣ax+1＝0，∴其中只有一个正实数根，，，∴a＝，且当0＜x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞x1时，f′（x）＜0，f（x）单减，∴f（x）max＝f（x1）＝lnx1+，令h（x）＝lnx+，h′（x）＝+＝＝，令h′（x）＝0，解得x＝1，当x∈，h′（x）＜0，h（x）递减；当x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，∴h（x）min＝h（1）＝0，∴f（x）max≥0，①当f（x）max＝0，即x1＝1时，a＝﹣1，此时f（x）只有一个零点x＝1；②当f（x）max＞0，即a＜0且a≠﹣1时，此时f（x1）＞0，注意f（1）＝0，（i）当a＜﹣1时，0＜x1＜1，而lnx+a（x2﹣x）＜x﹣1+a（x2﹣x）＝（x﹣1）（1+ax），令（x﹣1）（1+ax）＝0，解得x＝﹣，取知f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，x1）上有一个零点，另一个零点为1；（ii）当﹣1＜a＜0，即x1＞1时，此时取x0′＝，知f（x0′）＜0，∴f（x）有一个零点为1，另一个零点在（x1，x0′）上；故a＝﹣1时f（x）有一个零点，当a＜0且a≠﹣1时，f（x）有两个零点．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数求闭区间上函数的最值20.【分析】（1）根据S n＝a n+1﹣a1可得S n﹣1＝a n﹣a1，然后两式作差，得到a n＝2a n﹣1，再求出首项，进一步得到数列{a n}的通项公式；（2）根据T n+b n＝n+，且a1＝b2，得到数列{b n}的首项和公差，再求出通项公式；（3）由c n＝，假设数列{c n}中存在不同两项c i，c j（1≤i＜j，i，j∈N*），然后根据条件找出满足条件的i，j值即可【解答】解：（1）由S n＝a n+1﹣a1，得S n﹣1＝a n﹣a1（n≥2），∴a n＝2a n﹣1（n≥2），且a1＝a2﹣a1，即a2＝2a1，∴数列{a n}是首项为a1＝b2＝2，公比为2的等比数列，∴；（2）由T n+b n＝n+①∴当n≥2时，T n﹣1+b n﹣1＝n﹣1+（n﹣1）（1+b n﹣1）②①﹣②得b n+b n﹣b n﹣1＝﹣，∴4b n﹣2b n﹣1＝3+nb n﹣（n﹣1）b n﹣1，即（n﹣4）b n﹣（n﹣3）b n﹣1＝3，当n≥3时，（n﹣5）b n﹣1﹣（n﹣4）b n﹣2＝﹣3，∴（n﹣4）b n+（n﹣4）b n﹣2＝（2n﹣8）b n﹣1，∴b n+b n﹣2＝2b n﹣1（n≠4）．在①中令n＝1，由，得b1＝1，令n＝2，由b1+2b2＝2+1+b2，得b2＝2，令n＝3，由①可得b3＝3，又b4＝4，∴数列数列{b n}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴b n＝1+（n﹣1）×1＝n；（3）c n＝＝，假设数列{c n}中存在不同两项c i，c j（1≤i＜j，i，j∈N*），使c i+c j仍是数列{c n}中的项，即，注意到c n+1﹣c n＝＝＝，∴{c n}单调递增，由，得k＞j，∴k≥j+1，∴⇒，令j﹣i＝m（m≥1），则j＝m+i，∴＝，∵m+i≥2，∴，而，∴2m≤3（1+m），．令，则C n+1﹣∁n＝＝＝，∴{∁n}单调递增，注意到m＝3时，，，∴m只能为1，2，3，①当m＝1时，j﹣i＝1⇒j＝i+1，故i只能为1，2，3．当i＝1时，j＝2，此时，当i＝2时，j＝3，此时无整数解，当i＝3时，j＝4，此时＝，无正整数解，②当m＝2时，j＝i+2，此时⇒⇒3i2﹣i﹣6≤0，∴i＝1，此时j＝，无解，③当m＝3时j＝i+3，⇒i2+7i+12≥8i2+9i⇒7i2+9i﹣12≤0，此时无正整数解，综上，存在i＝1，j＝2满足题意．【知识点】数列递推式21.【分析】依题意，得到，解得，求出M﹣1＝，由此能求出M﹣1．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，1）在矩阵M＝对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，＝，∴，解得，设M﹣1＝，则＝，解得a＝﹣2，b＝1，c＝，d＝﹣，∴M﹣1＝，∴M﹣1＝＝．【知识点】几种特殊的矩阵变换22.【分析】略首先把曲线的参数方程和极坐标方程都转化成直角坐标方程，进一步建立方程组求出交点的坐标．（注意取值范围）【解答】解：由曲线C1的极坐标方程：，得曲线C1的直角坐标系的方程为x﹣y＝0，由曲线C2的参数方程：，（α为参数），得曲线C2的普通方程为：x2+y＝1（﹣1≤x≤1），由，得x2+x﹣1＝0，即x＝（舍去）或x＝，所以曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为：（，）．【知识点】参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程23.【分析】由绝对值不等式的性质可得a+b+c＝3，再利用柯西不等式即可得解．【解答】解：f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当（2x﹣1）（2x+2）≤0，即时取等号，则k＝3，∵a+b+c＝3，∴由柯西不等式有，（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2，∴，当且仅当“a＝b＝c＝1”时取等号．故a2+b2+c2的最小值3．【知识点】柯西不等式24.【分析】（1）设出直线方程与抛物线方程联立，求出两根之和与两根之积；结合弦长公式即可求解；（2）设出直线方程与抛物线方程联立，求出两根之和与两根之积；结合向量的坐标运算即可求解结论【解答】解（1）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立⇒x2﹣2（1+p）x+1＝0；∵p＞0，∴△1＝4（p2+2p）＞0；则x1＝p+1﹣，x2＝p+1+；∴|MN|＝＝|x1﹣x2|＝2＝2⇒p＝1；∴抛物线的方程为y2＝2x①；（2）设A（x3，y3），B（x4，y4），C（x0，0）∵直线l过点Q（0，t）（t≠0）；故可设直线方程为y＝kx+t②；②代入①整理得ky2﹣2py+2pt＝0；∴△2＝4p2﹣8kpt＞0；y3＝，y4＝⇒y3+y4＝③y3y4＝④；∵＝（x3，y3﹣t），＝（x0﹣x3，﹣y3），＝（x4，y4﹣t），＝（x0﹣x4，﹣y4）；⇒⇒；∴m+n＝﹣2＝t×﹣2；即m+n＝t×﹣2＝﹣1；所以：m+n为定值﹣1．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题25.【分析】（1）由等式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n，令n＝1010得等式两边含x1010项的系数相等，即可求得化简结果；（2）由题意知随机变量X的可能取值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）由等式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n可得，n＝1010时，（1+x）1010•（1+x）1010＝（1+x）2020；则等式右边含x1010项的系数为；又等式左边含x1010项的系数为+++…++；所以（）2+（）2+（）2+…+（）2+）2＝；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，12，22，…，k2，…，n2，则X的分布列为：X01222…k2…n2P ……因为＝＝＝•＝，E（X ）＝k 2＝k 2＝＝＝＝＝＝＝；所以X的数学期望为E（X ）＝．【知识点】二项式定理。

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-„，{1B =-，1，2}，则A B =I． 2．（5分）设复数21z i=+（其中i 为虚数单位），则||z = ． 3．（5分）如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．4．（5分）顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．5．（5分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=，若直线12//l l ，则m = ．6．（5分）从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．7．（5分）若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则32z x y =+的最大值为 ．8．（5分）将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4g π= ．9．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为 ．10．（5分）等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q = ． 11．（5分）记集合[A a =，]b ，当[6πθ∈-，]4π时，函数2()23cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是 ．12．（5分）已知函数331(),0()22,0x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--⎩…，若对任意的[x m ∈，1]m +，不等式(1)()f x f x m -+„恒成立，则实数m 的取值范围是 ．13．（5分）过直线:2l y x =-上任意一点P 作圆22:1C x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点0(B x ，0)y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -= ．14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点(2,1)A ，(1,2)B -，(3,1)C -，点(,)P x y 满足()()1OP OA OP OB ⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则2||OP OCOP u u u r u u u rg u u u r 的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB BD ⊥，PB PD ⊥，平面PBD ⊥底面ABCD ．（1）求证：//PC 平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB ．16．（14分）如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD =u u u r u u u r g ．（1）若C B >，且13cos()14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且12S CA CD =u uu r u u u r g ，求AC 的长度．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为4，左准线l 的方程为4x =-．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线1l 过椭圆E 的左焦点1F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点．①若247AB =，求直线1l 的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为1A ，点5(2G -，0)，求证：1A ，B ，G 三点共线．18．（16分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N 在线段PT 上（不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点)N ，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道¶MA 到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处（设计要求M ，O ，G 三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R ．记MOT ∠为α，轨道总长度为l 米． （1）试将l 表示为α的函数()l α，并写出α的取值范围； （2）求l 最小时cos α的值．19．（16分）已知函数2()()()f x lnx a x x a R =+-∈． （1）当0a =，证明：()1f x x -„；（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当0a <时，求函数()f x 的零点个数．20．（16分）已知*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足1(1)2n n n T b n n b +=++，且12a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设nn na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，(1j c i j <…，i ，*)j N ∈，使i j c c +仍是数列{}n c 中的项？若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-…，{1B =-，1，2}，则A B =I {1，2} ． 【解答】解：{|02}A x x =Q 剟，{1B =-，1，2}， {1A B ∴=I ，2}．故答案为：{1，2}． 2．（5分）设复数21z i=+（其中i 为虚数单位），则||z = 5 ．【解答】解：2112z i i=+=-， 22||1(2)5z ∴=+-=，故答案为：5．3．（5分）如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 25 ．【解答】解：模拟执行伪代码，可得：01357925S =+++++=． 故答案为：25．4．（5分）顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是 216y x = ．【解答】解：双曲线221124x y -=的右焦点为(4,0)，抛物线的方程设为2y mx =，0m >， 由题意可得44m=，即16m =， 可得抛物线方程为216y x =． 故答案为：216y x =．5．（5分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=，若直线12//l l ，则m = 2- ．【解答】解：根据题意，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=， 若直线12//l l ，必有2(2)0m m -+=， 解可得：1m =或2-，当1m =时，直线1:10l x y --=，2:10l x y --=，两直线重合，不符合题意； 当2m =-时，直线1:240l x y +-=，2:2410l x y ---=，两直线平行，符合题意； 故2m =-； 故答案为：2-6．（5分）从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是25． 【解答】解：从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数， 基本事件总数2510n C ==，剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(3，4，5)，共4个，∴剩余三个数能构成等差数列的概率是42105p ==． 故答案为：25． 7．（5分）若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则32z x y =+的最大值为 13 ．【解答】解：实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，对应的可行域如下图所示：由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得3x =，2y =时，目标函数经过(3,2)A 时，目标函数取得最大值：3213z x y =+=，故32z x y =+的最大值为：13；。

江苏省镇江中学2020届高三年级第一学期期中调研试题数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}(3)0x x x -<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A I B ＝ ． 答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{}(3)0x x x -<， 所以A ＝(0，3)，又B ＝{﹣1，0，1，2，3}， 所以A I B ＝{1，2}． 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+ 考点：复数解析：2215i (15i)(1i)5i 4i 164i2i 31i (1i)(1i)1i 2--+--+-====-+--+-． 3．函数y =的定义域为 ．答案：(1，2]考点：函数的定义域解析：由题意得：12log (1)010x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，则21x x ≤⎧⎨>⎩，故原函数的定义域为(1，2]．4．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ．答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：由α终边上一点P(x，得2cos 3α==-，解得：24x =，α是第二象限角，所以x 的值为﹣2．5．右图是一个算法流程图，则输出的i 的值为 ．答案：3考点：程序框图解析：第一次，S ＝400，不满足退出的循环条件，i ＝1； 第二次，S ＝800，不满足退出的循环条件，i ＝2； 第三次，S ＝1200，不满足退出的循环条件，i ＝3；第四次，S ＝1600，满足退出的循环条件．故输出的i 的值为3．6．若同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为3的慨率是 ． 答案：16考点：古典概型解析：同时抛掷两枚骰子，基本事件总数为36，其中向上的点数之差的绝对值为3的事件数为6，故P ＝636＝16． 7．若正四棱锥的底面边长为22，侧面积为422，则它的体积为 ． 答案：8考点：棱锥体积解析：设四棱锥为P —ABCD ，底面ABCD 的中心为O 取CD 中点E ，连结PE ，OE ，则PE ⊥CD ，OE ＝2， ∵S 侧面＝4S △PCD ＝4×12×CD ×PE ＝422， ∴PE ＝11，PO ＝3，∴正四棱锥体积V ＝12222383⨯⨯⨯=．8．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若3a ＝5，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a ＝ ． 答案：21n -考点：等差数列的通项公式解析：∵1S ，5S ，7S 成等差数列，∴25S ＝1S ＋7S ，即314107a a a =+故3331027()a a d a d =-++，又3a ＝5，求得d ＝2， ∴n a ＝5(3)2n +-＝21n -． 9．在△ABC 中，B ＝4π，BC 边上的高等于13BC ，则cosA ＝ ．答案：10-考点：余弦定理解析：设BC 边上的高AD 为x ，则a ＝BC ＝3x ，BD ＝x ，CD ＝2x ，故c ＝ABx ，b ＝AC＝，由余弦定理得：cosA ＝2222b c a bc +-22210-．10．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则21x y xy++的最小值为 ．答案：5 考点：基本不等式解析：212323232()()55x y x y x y y xx y xy xy x y x y x y+++++==+=++=++≥当且仅当1x y =+=⎪⎩时取“＝”．11．已知a ∈R ，设函数2, 1(), 1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 ． 答案：1e≤a ≤4 考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：分两部分完成，第一部分20x ax a -+≥对1x ≥恒成立，第二部分0xae x -≥对1x <恒成立．（1）先20x ax a -+≥对1x ≥恒成立，当x ＝1时，符合题意；当x ＞1时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为1121x x -++-≥4，当x ＝2时取“＝”，故上式恒成立时a ≤4； （2）再解0xae x -≥对1x <恒成立，参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，1()0xxp x e -'=>，故()p x 单调递增， ∴1()(1)x x p x p e e=<=要使0xae x -≥对1x <恒成立，则a ≥1e．综上所述，a 的取值范围为1e≤a ≤4．12．在△ABC 中，已知(4AB AC -u u u r u u u r )⊥CB u u u r，则sinA 最大值等于 ．答案：35考点：余弦定理，平面向量数量积与向量垂直，基本不等式解析：∵(4AB AC -u u u r u u u r )⊥CB u u u r∴(4AB AC -u u u r u u u r )·CB u u u r＝0∵CB u u u r ＝AB AC -u u u r u u u r，代入上式，并化简得：24AB 5AB AC AC 0-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故2245cos A 0c bc b -+=，得2244cos A 0555b c b cbc c b+==+>， 由同角三角函数关系式，可知sinA 最大时，cosA 最小，由44cos A 555b c c b =+≥，当且仅当b ＝2c 时取“＝”， 此时sinA 最大值等于35．13．已知实数1a ，2a ，3a ，4a 满足1230a a a ++=，2142420a a a a a +-=，且1a ＞2a ＞3a ，则4a 的取值范围是 ． 答案：(12+-，12) 考点：不等式与不等关系，一元二次方程与一元二次不等式 解析：∵1230a a a ++=，1a ＞2a ＞3a ， ∴1a ＞0，1a ＞2a ＞﹣1a ﹣2a ，得21112a a -<<∵2142420a a a a a +-= ∴22441(1)a a a a =- 当4a ＝1时，显然不符题意；当4a ≠1时，224141a a a a =∈-(12-，1)，解得12+-＜4a＜12， 故4a 的取值范围是(12+-，12)． 14．已知2()(ln )(ln )f x ax x x x x =+--恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 ．答案：(1，221e e e e-+-)考点：函数与方程解析：令()0f x =，变形得：2ln ln ()(1)(1)0x xa a x x+---=， 令ln xt x=，得2(1)(1)0t a t a +---=， 发现ln x t x =，21ln xt x-'=， 当0＜x ＜e ，0t '>，ln x t x =在(0，e )上单调递增；当x ＞e ，0t '<，ln xt x =在(e ，+∞)上单调递增，且ln x t x =＞0．且ln x t x =在x ＝e 时有最大值1e．当2(1)(1)0t a t a +---=有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意； 当2(1)(1)0t a t a +---=有两根时，1t t =或2t t =，规定12t t <，要使原方程有三个解，则直线1y t =，2y t =与ln xy x=的交点恰有三个， 即转化为2(1)(1)0t a t a +---=的两根10t ≤，210t e<<，则22(1)4(1)0(1)011(1)(1)0a a a a a ee ⎧⎪-+->⎪--≤⎨⎪⎪+--->⎩，解得1＜a ＜221e e e e -+-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ﹣b )sinA ＝(b ＋c )(sinC ﹣sinB)．（1）求角C 的值； （2）若cos(B ＋6π)＝13，求sinA ．17．（本题满分14分）已知a ，b 为实数，函数2()1f x x a x b =---． （1）已知a ≠0，讨论()y f x =的奇偶性；（2）若b ＝1，①若a ＝2，求()f x 在x ∈[0，3]上的值域；②若a ＞2，解关于x 的不等式()f x ≥0．18．（本题满分16分）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝27米，设灯柱高AB＝h(米)，∠ACB＝θ(30°≤θ≤45°)．（1）求灯柱的高h(用θ表示)；（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．19．（本题满分16分）对于给定的正整数k ，若正项数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-+--+++++L L 2()k n a =，对任意的正整数n (n ＞k )总成立，则称数列{}n a 是“G(k )数列”．（1）证明：正项等比数列{}n a 是“”；（2）已知正项数列{}n a 既是“G(2)数列”，又是“G(3)数列”，①证明：{}n a 是等比数列；②若21a qa =，N q *∈，且存在N t *∈，使得2134t t a a ++-为数列{}n a 中的项，求q的值．20．（本题满分16分）已知函数321()13f x x ax bx =+++(a ，b ∈R)． （1）若b ＝0，且()f x 在(0，+∞)内有且只有一个零点，求a 的值；（2）若a 2＋b ＝0，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由；（3）若a ＝1，b ＜0，试讨论是否存在0x ∈(0，12)U (12，1)，使得01()()2f x f =．。

江苏省镇江市2019—2020学年高三上学期第一次调研考试数学试卷2020．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}220x x x -≤，B ＝{﹣1，1，2}，则A I B ＝ ．2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z ＝ ． 3．右图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物 线方程是 ． 第3题 5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：20x my m -+-=，l 2：(2)10mx m y +--=，若直线l 1∥l 2，则m ＝ ．6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．7．若实数x ，y 满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最大值为 ．8．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()4g π＝ ．9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥B —ECF 的体积为 ．10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q ＝ ．11．记集合A ＝[a ，b ]，当θ∈[6π-，4π]时，函数2()23sin cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要条件，则b ﹣a 的最小值是 ．12．已知函数331()0()220x x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪--≥⎩，，，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式(1)f x -≤()f x m +恒成立，则实数m 的取值范围是 ．13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定点B(0x ，0y )，使得PA ＝PB 恒成立，则0x ﹣0y ＝ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，﹣2)，C(3，﹣1)，点P(x ，y )满足(OP OA)(OP OB)1⋅⨯⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2OP OC OP⋅u u u r u u u ru u u r 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB ⊥BD, PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD ．（1）求证：PC ∥平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB ．16．（本题满分14分）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA BD 66⋅=u u u r u u u r．（1）若C ＞B ，且cos(C ﹣B)＝1314，求角C ； （2）若△ACD 的面积为S ，且1CA CD 2S =⋅u u ur u u u r ，求AC 的长度．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)的长轴长为4，左准线l的方程为x＝﹣4．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝247，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G(52-，0)，求证：A1，B，G三点共线．18．（本题满分16分）某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT 上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道¼MA到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．（1）试将l 表示为α的函数()l α，并写出α的取值范围； （2）求l 最小时cos α的值．19．（本题满分16分）已知函数2()ln ()f x x a x x =+-(a ∈R)． （1）当a ＝0，证明：()1f x x <-；（2）如果函数()f x 有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且12()()f x f x k +<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当a ＜0时，求函数()f x 的零点个数． 20．（本题满分16分）已知N n *∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足1(1)2n n n T b n n b +=++，且12a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n n na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1≤i ＜j ，i ，j N *∈），使i c ＋j c 仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．参考答案11．3 12． 13．14．15．16．17．18．19．。

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

遗憾，每个遗憾都有它的青春美。

4.方茴说：“可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。

” 5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

” 6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

” 7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

江苏省镇江市高三数学期末试题2015年2月第I 卷注意事项:1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．. 1．记复数i bi a z (+=为虚数单位）的共轭复数为),(R b a bi a z ∈-=，已知i z +=2，则=2z ▲ .2．设全集Z U =，集合{}{}2,1,0,1,2,2,1--==P M ，则U P M ð= ▲ .3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ▲ .4．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的1，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .5．已知向量x x ⊥+=--=),1,2(),1,12(，则x 6．执行如图流程图，若输入21,20==b a ，则输出a 7．设βα,为互不重合的平面，n m ,①若α⊂n n m ,//，则α//m ；5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

江苏省镇江市2020届高三上学期期末考试参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，1，2}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z ＝1＋2i (其中i 为虚数单位)，则|z|＝________．3. 如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是________．Read S ←0For i from 1 to 9 step 2 S ←S ＋i End for Print S End4. 顶点在原点且以双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线方程是________．5. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：x －my ＋m －2＝0，l 2：mx ＋(m －2)y －1＝0.若直线l 1∥l 2，则m ＝________．6. 从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是________．7. 若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．8. 将函数f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(π4)＝________．9. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱B 1C 1上的任意一点，则三棱锥BECF 的体积为________． 10. 已知等比数列{a n }的前三项和S 3＝42.若a 1，a 2＋3，a 3成等差数列，则公比q ＝________． 11. 记集合A ＝[a ，b]，当θ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，函数f(θ)＝23sin θcos θ＋2cos 2θ的值域为B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，则b －a 的最小值是________．12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（12）x ＋x 3，x ＜0，－2x －x 3，x ≥0.若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f(1－x)≤f(x＋m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．13. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A.若存在定点B(x 0，y 0)，使得PA ＝ PB 恒成立，则x 0－y 0＝________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知三个点A(2，1)，B(1，－2)，C(3，－1)，点P(x ，y)满足(OP →·OA →)×(OP →·OB →)＝－1，则OP →·OC →|OP →|2的最大值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是AP 的中点，AB ⊥BD ，PB ⊥PD ，平面PBD ⊥底面ABCD.求证：(1) PC ∥平面BDE ； (2) PD ⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，AB ＝14，BD ＝6，BA →·BD →＝66. (1) 若C ＞B ，且cos(C －B)＝1314，求角C 的大小； (2) 若△ACD 的面积为S ，且S ＝12CA →·CD →，求AC 的长度．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，左准线l 的方程为x ＝－4.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 直线l 1过椭圆E 的左焦点F 1，且与椭圆E 交于A ，B 两点．①若AB ＝247，求直线l 1的方程；②过A 作左准线l 的垂线，垂足为A 1，点G(－52，0)，求证：A 1，B ，G 三点共线．某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS 的长PS 为130米，宽RS 为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O ，圆O 与PS ，SR ，QR 分别相切于点A ，D ，C ，点T 为PQ 的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成：出发点N 在线段PT 上(不含端点，游客从点Q 处乘升降电梯至点N)，轨道第一段NM 与圆O 相切于点M ，再沿着圆弧轨道MA ︵到达最高点A ，然后在点A 处沿垂直轨道急速下降至点O 处，接着沿直线轨道OG 滑行至地面点G 处(设计要求M ，O ，G 三点共线)，最后通过制动装置减速沿水平轨道GR 滑行到达终点R.记∠MOT 为α，轨道总长度为l 米．(1) 试将l 表示为α的函数l(α)，并写出α的取值范围； (2) 求l 最小时cos α的值．已知函数f(x)＝ln x＋a(x2－x)(a∈R)．(1) 当a＝0，求证：f(x)≤x－1；(2) 如果函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，且f(x1)＋f(x2)≤k恒成立，求实数k的取值范围；(3) 当a<0时，求函数f(x)的零点个数．已知n ∈N *，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1－a 1；数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n )，且a 1＝b 2.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{b n }的通项公式；(3) 设c n ＝a nb n，问：数列{c n }中是否存在不同两项c i ，c j (1≤i ＜j ，i ，j ∈N *)，使c i ＋c j仍是数列{c n }中的项？若存在，请求出i ，j 的值；若不存在，请说明理由．2020届高三模拟考试试卷(三)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234对应的变换下得到点Q(y－2，y)，求M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .B. (选修43：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin 2α(α为参数)，求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标．C. (选修44：不等式选讲)已知函数f(x) ＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为k ，且a ＋b ＋c ＝k ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．(1) 若直线y ＝－x ＋1与抛物线相交于M ，N 两点，且MN ＝26，求抛物线的方程； (2) 直线l 过点Q(0，t)(t ≠0)交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点C ，如图，设QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，求证：m ＋n 为定值．23. 我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来推导组合数恒等式．例如由等式(1＋x)2n＝(1＋x)n (1＋x)n 可得：等式左边x k 项系数为C k 2n (0≤k ≤n)，等式右边x k 项系数为C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n，所以我们得到组合数恒等式： C 0n C k n ＋C 1n C k －1n ＋C 2n C k －2n ＋…＋C k －1n C 1n ＋C k n C 0n ＝C k 2n. (1) 化简：(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋(C 21 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2； (2) 若袋中装有n(n ∈N *)个红球和n 个白球，从中一次性取出n 个球．规定取出k(0≤k ≤n)个红球得k 2分，设X 为一次性取球的得分，求X 的数学期望．参考答案1. {1，2}2. 53. 254. y 2＝16x5. －26. 257. 138. －39. 16 10. 2或12 11.312. [－1，－13] 13. 2±2 14. 52415. 解：(1) 连结AC 交BD 于一点O ，连结OE ，因为底面ABCD 是平行四边形， 所以点O 是AC 的中点．(1分) 因为点E 是AP 的中点，所以OE 是△PAC 的中位线，(2分) 所以OE ∥PC.(3分)因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE.(7分)(2) 因为平面PBD ⊥底面ABCD ，AB ⊥BD ，平面PBD ∩底面ABCD ＝BD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBD.(9分)因为PD ⊂平面PBD ，所以AB ⊥PD.(11分)因为PB ⊥PD ，PB ∩AB ＝B ，PB ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB.(14分)16. 解：(1) 在△ABD 中，AB ＝14，BD ＝6，则BA →·BD →＝BA·BD·cos B ＝14×6·cos B ＝66，得cos B ＝1114.(1分)在△ABC 中，sin B ＞0，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（1114）2＝5314.(2分)又C ∈(0，π)，C ＞B ，则B ∈(0，π2)，则C －B ∈(0，π)．又cos(C －B)＞0，则C －B ∈(0，π2)，由cos(C －B)＝1314，则sin(C －B)＝1－cos 2（C －B ）＝1－（1314）2＝3314，(4分)则cos C ＝cos[B ＋(C －B)]＝cos B ·cos(C －B)－sin B ·sin(C －B) ＝1114×1314－5314×3314＝12.(6分) 又C ∈(0，π)，则C ＝π3.(7分)(2) 在△ACD 中，AD 2＝BA 2＋BD 2－2BA·BDcos B ＝142＋62－2×14×6×1114＝102，解得AD ＝10.(9分)由余弦定理得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝102＋62－1422×10×6＝－12.又∠ADB ∈(0，π)，得∠ADB ＝2π3，则∠ADC ＝π3.(10分)因为S ＝12CA →·CD →，即12CA ·CD ·sin C ＝12CA ·CD ·cos C ，得tan C ＝1，又C 为锐角，C ＝π4.(12分)在△ACD 中，因为AD ＝10，C ＝π4，∠ADC ＝π3，则由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝AD sin C ，即AC 32＝1022，解得AC ＝5 6.(14分)17. (1) 解：设椭圆左焦点的坐标为(－c ，0)(c ＞0)，由2a ＝4，a 2c＝4，解得a ＝2，c ＝1.(2分)由b 2＝a 2－c 2＝3，则所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分) (2) ①解：若直线AB 的斜率不存在，则AB ＝3≠247，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0， 则x 1＝－4k 2－6k 2＋14k 2＋3，x 2＝－4k 2＋6k 2＋14k 2＋3 (Ⅰ)，x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3 (Ⅱ)．(4分)(解法1)由椭圆的第二定义知AF 1AA 1＝12，则AF 1＝12AA 1＝12(x 1＋4)＝12x 1＋2. 同理BF 1＝2＋12x 2，(5分)则AB ＝AF 1＋BF 1＝4＋12(x 1＋x 2)＝4＋12·－8k 24k 2＋3＝247.(6分)解得k ＝±1，则直线l 1的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1.(8分)(解法2)AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2（x 2－x 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|，(5分) 代入(Ⅰ)得AB ＝1＋k 2×12k 2＋14k 2＋3＝12（k 2＋1）4k 2＋3＝247.(下同解法1)(6分)②证明：当直线AB 的斜率不存在时，不妨设A(－1，32)，B(－1，－32)，则A 1(－4，32)．又G(－52，0)，kA 1G ＝32－4＋52＝－1，k BG ＝32－52＋1＝－1.则kA 1G ＝k BG ，所以A 1，B ，G 三点共线(9分)当直线AB 的斜率存在时，A(x 1，y 1)，A 1(－4，y 1)，又G(－52，0)，要证A 1，B ，G 三点共线，因为kA 1G ＝y 1－32，k BG ＝y 2x 2＋52，只要证y 1－32＝y 2x 2＋52.(10分)即证k(x 1＋1)(2x 2＋5)＋3k(x 2＋1)＝0.(12分)即证2x 1x 2＋5(x 1＋x 2)＋8＝0，代入(Ⅱ)，因为24k 2－124k 2＋3＋5－8k 24k 2＋3＋8＝－32k 2－244k 2＋3＋8＝－8＋8＝0，所以A 1，B ，G 三点共线．综上所述，A 1，B ，G 三点共线．(14分)18. 解：(1) 过点M 作ME ⊥TO ，垂足为E ，过点N 作NF ⊥ME ，垂足为F ，过点G 作GI ⊥OD ，垂足为I.因为圆O 与矩形的三边PS ，SR ，QR 相切， 所以PS ＝130，SR ＝120，圆O 的半径r ＝60，弧长MA ＝60(π2－α)．(1分)在Rt △MNF 中，MN ＝NF sin α＝OT －OE sin α＝70－60cos αsin α.(2分) 在Rt △OCG 中，OG ＝60sin α，(3分)CG ＝60tan α＝60cos αsin α，GR ＝60－60cos αsin α，(4分)所以l(α)＝70－60cos αsin α＋60(π2－α)＋60＋60sin α＋60－60cos αsin α＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π.(7分)答：将l 表示为α的函数l(α)＝130－120cos αsin α－60α＋120＋30π，α的取值范围是(π4，π2)．(8分) (2) l′(α)＝60cos 2α－130cos α＋60sin 2α＝10·（2cos α－3）（3cos α－2）sin 2α.(10分)令l′(α)＝0，解得cos α＝23或cos α＝32(舍去)．(12分)记cos α0＝23，a 0∈(π4，π2)．递减 递增 (14分)所以当cos α＝23时，l(α)最小．(15分)答：轨道总长度l 最小时，cos α的值为23.(16分)19. (1) 证明：当a ＝0时，f(x)＝ln x ，定义域为(0，＋∞)，记F(x)＝f(x)－(x －1)＝ln x －x ＋1，令F′(x)＝1x －1＝1－x x ＝0，解得x ＝1.(1分)当x ∈(0，1)时，F ′(x)＞0，则F(x)在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x)＜0，则F(x)在(1，＋∞)上单调递减，(2分) 所以F(x)≤F(1)＝0，则f(x)≤x －1.(3分)(2) 解：由题知f′(x)＝1x ＋2ax －a ＝2ax 2－ax ＋1x ①.(4分)因为f(x)有两个不同的极值点x 1，x 2，令g(x)＝2ax 2－ax ＋1 ②，则方程g(x)＝0的两正根为x 1，x 2，即x 1＝a －a 2－8a 4a ＞0，x 2＝a ＋a 2－8a4a＞0，等价于a ≠0，Δ＝a 2－8a ＞0 ③，x 1＋x 2＝12＞0 ④，x 1x 2＝12a ＞0 ⑤，解得a ＞8.(5分)令G(a)＝f(x 1)＋f(x 2)＝ln x 1＋a(x 21－x 1)＋ln x 2＋a(x 22－x 2) ＝ln(x 1x 2)＋a[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a(x 1＋x 2)， 将④⑤代入得G(a)＝ln12a －14a －1＝－ln(2a)－14a －1.(6分) 因为G(a)在a ∈(8，＋∞)上为减函数，则G(a)＜G(8)＝－ln 16－3.(7分)由f(x 1)＋f(x 2)≤k 恒成立，则k 的取值范围是[－ln 16－3，＋∞)．(8分) (3) 解：当a ＜0时，显然f(1)＝0，所以f(x)至少有一个零点为1.(9分) 由(2)中②③⑤知，此时Δ>0，x 1＋x 2＝12＞0，x 1x 2＝12a ＜0，则x 1＜0＜x 2.因为f′(x)＝2ax 2－ax ＋1x ＝2a （x －x 1）（x －x 2）x，x －x 1＞0，当x ∈(0，x 2)时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，x 2)上为增函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x)＜0，f(x)在(x 2，＋∞)上为减函数，所以f(x)max ＝f(x 2)．(10分)因g(1)＝2a －a ＋1＝a ＋1，1° 当a ＝－1时，g(1)＝0，则x 2＝1，f(x)max ＝f(x 2)＝f(1)＝0， 此时f(x)有且只有一个零点．(11分)2° 当a ＜－1时，g(1)＜0，则0＜x 2＜1，又由f(x)在(x 2，＋∞)上单调递减，f(x 2)＞f(1)＝0，则f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点是1.(12分)又a ＜－1，则0＜－1a ＜1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＜0，则0＜－1a ＜x 2.由(1)知当x ＞0且x ≠1时，f(x)＜x －1＋a(x 2－x)＝(ax ＋1)(x －1)，则f(－1a )＜0 ⑥.因为f(x)为连续函数，且在(0，x 2)上递增，则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点， 所以当a ＜－1时，f(x)共有两个零点．(13分) 3° 当－1＜a ＜0时，g(1)＞0，则x 2＞1，又由f(x)在(0，x 2)上为增函数，f(x 2)＞f(1)＝0， 则f(x)在(0，x 2)上有且仅有一个零点是1.(14分)又－1＜a ＜0，则－1a ＞1，－1a －x 2＝－2x 1x 2－x 2＝(2x 2－2)x 2＞0，则－1a ＞x 2.由⑥知，f(－1a )＜0，因为f(x)为连续函数，且在(x 2，＋∞)上为减函数，所以当－1＜a ＜0时，f(x)在(x 2，＋∞)上有且仅有一个零点， 此时f(x)共有两个零点．(15分)综上所述，当a ＝－1时，f(x)有且只有一个零点；当a ＜－1或－1＜a ＜0时，f(x)共有两个不同零点．(16分) 20. 解：在T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n )中，令n ＝1，得b 1＝1.令n ＝2，得b 2＝2，则a 1＝b 2＝2，(1分)当n ≥2时，由S n ＝a n ＋1－a 1，则S n －1＝a n －a 1， 两式相减得S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＝a n ＋1－a n ，则a n ＋1a n＝2.(2分) 又由S n ＝a n ＋1－a 1，令n ＝1，得a 2a 1＝2，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＝2n .(3分)(2) 当n ≥2时，由T n ＋b n ＝n ＋12n(1＋b n ) ①，则T n －1＋b n －1＝n －1＋12(n －1)(1＋b n －1)②，①－②得b n ＋b n －b n －1＝32＋12nb n －12(n －1)b n －1，(n －4)b n －(n －3)b n －1＋3＝0 ③.(4分)当n ≥3时，则(n －5)b n －1－(n －3)b n －2＋3＝0 ④， 两式相减得(n －4)b n －(2n －8)b n －1＋(n －4)b n －2＝0，所以当n ≥5时，b n ＋1＋b n －1＝2b n ，b n ＋1－b n ＝b n －b n －1，(5分)由(1)知b 1＝1，b 2＝2，在①中令n ＝3，4，5，求得b 3＝3，b 4＝4，b 5＝5，b 6＝6，(6分)所以b n ＋1－b n ＝b n －b n －1＝…＝b 2－b 1＝1，所以数列{b n }为首项为1，公差为1的等差数列，即b n ＝n.(7分) (3) 由(1)(2)得c n ＝a n b n ＝2nn，c n ＋1－c n ＝2n ＋1n ＋1－2n n ＝n2n ＋1－（n ＋1）2n n （n ＋1）＝（n －1）2nn （n ＋1）≥0，则c 2＝c 1，当n ≥2时，且c n －1＞c n .(9分)假设存在不同两项c i ，c j ，使c i ＋c j 仍是{c n }中的第k(1≤i ＜j ＜k ，i ，j ，k ∈N *)项， 即c i ＋c j ＝c k .由c i ＋c j ≤c j －1＋c j ＝2j －1j －1＋2j j ＝j2j －1＋（j －1）2j j （j －1）＝（3j －2）2j －1j （j －1）.(11分)又c k ≥c j ＋1＝2j ＋1j ＋1，(12分)则c k －(c i ＋c j )≥2j ＋1j ＋1－（3j －2）2j －1j （j －1）＝j （j －1）2j ＋1－（j ＋1）（3j －2）2j －1j （j －1）（j ＋1）＝（j 2－5j ＋2）2j －1j （j －1）（j ＋1）. 当j ≥5时，c k －(c i ＋c j )＞0，c i ＋c j ＝c k 无解．(14分) 又c 1＝2，c 2＝2，c 3＝83，c 4＝4，c 5＝325，c 6＝643，当j ＝2，3，4，5时，只存在不同两项c 1，c 2，使得c 1＋c 2＝c 4.综上所述，存在i ＝1，j ＝2，使得c 1＋c 2＝c 4.(16分)2020届高三模拟考试试卷(镇江) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：依题意，[1234][x1]＝[y －2y ]，即{x ＋2＝y －2，3x ＋4＝y ，解得{x ＝0，y ＝4.(4分)设逆矩阵M －1＝[a bc d]，由MM －1＝[1001]得a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，(7分)则逆矩阵M －1＝[－2 132－12]，(8分)所以M －1[xy ]＝[－2 132－12][04]＝[ 4－2]．(10分)B. 解：由θ＝π4，得曲线C 1的直角坐标系的方程为x －y ＝0.(4分)由{x ＝cos α，y ＝sin 2α，得曲线C 2的普通方程为x 2＋y ＝1(－1≤x ≤1)．(8分) 由{x －y ＝0，x 2＋y ＝1，得x 2＋x －1＝0，即x ＝1－52(舍去)或x ＝－1＋52，所以曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(－1＋52，－1＋52)．(10分)C. 解：f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，(2分)当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0，即－1≤x ≤12时取等号，则k ＝3.(3分)因为a ＋b ＋c ＝3，则由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c)2，(6分) 所以a 2＋b 2＋c 2≥（a ＋b ＋c ）23＝3，(7分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，(8分) 此时a 2＋b 2＋c 2的最小值为3.(10分)22. (1) 解：设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由{y 2＝2px ，y ＝－x ＋1，得x 2－2(1＋p)x ＋1＝0.(1分)因为p ＞0，所以Δ1＝4(p 2＋2p)＞0，x 1＝p ＋1－p 2＋2p ，x 2＝p ＋1＋p 2＋2p.(2分)由MN ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝1＋k 2|x 2－x 1|＝22p 2＋2p ＝26，解得p ＝1.(3分)所以抛物线的方程为y 2＝2x ①.(4分)(2) 证明：设A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4)，由于直线l 过Q(0，t)(t ≠0)，点C(x 0，0)， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t ②.②代入①消去x ，得ky 2－2py ＋2pt ＝0，Δ2＝4p 2－8kpt ＞0，y 3＝p －p 2－2kpt k ，y 4＝p ＋p 2－2kpt k ，则y 3＋y 4＝2p k ③，y 3y 4＝2pt k ④.(7分)又QA →＝(x 3，y 3－t)，AC →＝(x 0－x 3，－y 3)，OB →＝(x 4，y 4－t)，BC →＝(x 0－x 4，－y 4)，由QA →＝mAC →，QB →＝nBC →，则{y 3－t ＝－my 3，y 4－t ＝－ny 4，所以⎩⎨⎧m ＝t y 3－1n ＝ty 4－1，(8分)则m ＋n ＝t y 3＋ty 4－2＝t y 3＋y 4y 3y 4－2，(9分)将③④代入得m ＋n ＝t 2pk2pt k－2＝－1为定值．(10分)23. 解：(1) 因为已知等式(1＋x)2n ＝(1＋x)n (1＋x)n ，令n ＝1 010，得(1＋x)1 010(1＋x)1 010＝(1＋x)2 020， 等式右边展开式含x 1 010项的系数为C 1 0102 020.而等式左边展开式含x 1 010的系数为(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2，所以(C 01 010)2＋(C 11 010)2＋…＋(C 1 0091 010)2＋(C 1 0101 010)2＝C 1 0102 020.(3分)(2) X 的可能取值为0，12，22，…，k 2，…，n 2，且X 的分布表如下因为C k n ＝n ！k ！（n －k ）！＝n （n －1）！k （k －1）！（n －k ）！＝nk （n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝n k C k －1n －1.(7分) E(X)＝∑nk ＝0k 2C k n C n －k n C n 2n＝∑n k ＝0k 2C k n C k n C n 2n ＝1C n 2n ∑n k ＝0(kC k n )2＝1C n 2n ∑n k ＝1(n·C k－1n －1)2＝n 2C n 2n ∑n k ＝1(C k －1n －1)2 ＝n 2C n 2n ∑n k ＝1C k －1n －1C n －k n －1＝n 2C n 2nC n －12n －2＝n 2（2n －2）！（n －1）！（n －1）！（2n ）！n ！n ！＝n 34n －2， 所以X 的数学期望E(X)＝n 34n －2.(10分)。

2020年江苏省镇江市扬中第一中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i （i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．2. 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线参考答案：D略3. 下列四个结论中，正确的结论是（）（A）命题“若，则”的否命题为“若，则”（B）若命题“”与命题“”都是真命题，则命题一定是假命题（C）“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．（D）命题“”的否定是“”参考答案：D4.在等差数列{a n}中，a1=13,a3=12若a n=2，则n等于（）A． 23 B．24 C．25D．26参考答案：答案：A5. 函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，∴它的最小正周期是=π，故选：B．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．6. 矩形中，，，将与沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（）A．B． C. D．参考答案：C初始状态直线与直线成的角为，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.7. 若数列{a n}的前n项和S n满足S n= 4 a n(n∈N*)，则a5=A．1 B．C．D．参考答案：D略8. 下列说法正确的是（）A. 若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行B. 若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C. 若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行D. 若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行参考答案：C【分析】举出特例，即可说明错误选项。