广东省高州一中2007届高三级理科基础考试题(2)2006.11

龙耒为你高考助力！2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科基础本试卷共12页，75小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

本试卷共75分，全部是单项选择题，每题2分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，多选、错选均不得分。

1．下列物理量为标量一的是A．平均速度B．加速度C．位移D．功2．关于自由落体运动，下列说法正确的是A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动B．加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动C．在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同3．图1是某物体做直线运动的速度图象，下列有关物体运动情况判断正确的是A．前两秒加速度为5m/s2B．4s末物体回到出发点C．6s末物体距出发点最远D．8s末物体距出发点最远4．受斜向上的恒定拉力作用，物体的粗糙水平面上做匀速直线运动，则下列说法正确是A．拉力在竖直方向的分量一定大于重力B．拉力在竖直方向的分量一定等于重力C．拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力D．拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力5．质点在一平面内沿曲线由P运动到Ｑ，如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力，下面选项可能正确的是6．质点从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是A．质量越大，水平位移越大B．初速度越大，落地时竖直方向速度越大C．初速度越大，空中运动时间越长D．初速度越大，落地速度越大7．人骑自行车下坡，坡长l=500m，坡高h=8m，人和车总质量为100kg，下坡时初速度为4m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10m/s，g取10m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为A．－4000J B．－3800J C．－5000J D．－4200J8．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m/s2，g取10m/s2。

2007届高三数学综合测试题（5）（理科）总分150分一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡上．1.P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的A 外心B 内心C 重心D 垂心2.直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃ 3.已知()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=，（，（，（)00)0)02x x x x x f π则()[]{}3-f f f 的值等于( )A ．0B ．πC ．2πD ．94．已知⋅︒︒=︒︒=则),65sin ,25(sin ),35sin ,55(sin =（ ）A ．︒10sinB ．23 C ．21 D ．21- 5.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围 ( ) A ．1a 1<<- B ．2a 0<< C ．21a 23<<- D ． 23a 21<<- 6．要得到函数1)42cos(+-=πx y 的图象，只需将函数x y sin =的图象作下列变换，其中正确的变换是 （ ）A ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,8π-）平移 B ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,4π）平移 C ．先按向量（1,4π）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21 D ．先按向量（1,8π-）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21 7.设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上( )A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(<x f ；C ．是减函数，且0)(<x fD ．是增函数，且0)(>x f ；8. 由动点Ｐ向圆x 2 + y 2=1引两条切线P A 、PB,切点分别为A 、B ，∠APB=60°,则动点Ｐ的轨迹方程为 ( )A x 2+y 2=4B x 2+y 2=3C x 2+y 2=2D x 2+y 2=1二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答卷相应的横线上．9．半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，则此圆的方程是 。

2007年广东卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．s s ss图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ） Ａ．15Ｂ．16Ｃ．17Ｄ．188．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装图3 图1 图2身高/cm有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．（1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa=+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）图5图418．（14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x=相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图6所示，等腰ABC △的底边AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF△的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P-（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF20．（14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 取值范围．21．（14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．图6AB2007年（广东卷）数学（理科B ）参考答案一．选择题 CDDC BBCA 1．101110x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩故选（C ）2．(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++为纯虚数2b ⇒=，故选（D ）3．22111()sin (12sin )cos 2222f x x x x =-=--=- 故选（D ） 4．60(01)60(1 1.5)80( 1.5)60(1.5 2.5)t t s t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩，故选（C ）5．182(5)6n n n a s s n a -=-=-⇒=，k=8，（或5＜2k －10＜8）故选（B ） 6．计算4567A A A A +++，由算法框图知，8i < 故选（B ） 7．A D →11件，B C →4件，B A →1件，共16件，故选（C ） 8．()a b a b **=∴当a b =时()b b b b **=，又[()]()()a b a a b b a b a ****=**=；()[()]()a b b a b a b a b ****=**=，故选（A ） 二．填空题9．411()()()669P AB P A P B ==⋅= 10．2cos12012⋅+⋅+=a ab a a a b = 11．线段OA 的垂直平分线方程为152(1)(,0)24y x F -=--⇒⇒准线方程54x =-12．21(1)2n n n C ++=；12；21(1)(2)2n n n n n C ---⋅=13．参数方程化普通方程得直线方程为60x y +-=，圆的方程为22(2)4x y +-= 因此圆心为(0,2)，圆心到直线的距离为d ==14．41(2)236f ---=-+=；21()5211x f x x x -≤⇒≤-⇒-≤≤三．解答题16．（1）当5c =时，5,5,cos sin AB BC AC A A ===∠=⇒∠=（2）AC BC c ==,A 为钝角222AB AC AB +<⇒2225(3)16c c +-+<253c ∴>17．（1）（略）（2）97,22x y ==，4166.5i i i x y ==∑，42186i i x ==∑，414221466.5630.786814i ii i i x y x yb x x==--===--∑∑0.35a y bx =-=，故现线性回归方程为0.70.35y x =+（3）当100x =时，70.35y =，9070.3519.65-=，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤。

萃取深海火种——国家“863”重大专项“天然气水合物钻探取心关键技术研究”记事2007年5月1日，一个振奋人心的消息从南海传到北京，中国科学家们在南海钻探的第一个站位上成功获取天然气水合物样品。

尽管这次取自南海北部神狐海域海底以下190米处的深海海底沉积物，细腻、密实、细小的白色斑点分散其中，又迅疾消失，但还是标志着被誉为21世纪新能源的“可燃冰”——天然气水合物在中国的首次获取。

“怎样让这些白色斑点保留下来？”这个问题困扰着中国科学家，也让国家“863”计划项目重大专项课题“天然气水合物钻探取心关键技术”科研人员整整忙了3年。

2010年5月初，在胜利油田钻井工艺研究院课题负责人薄万顺告诉记者：“我们离这个目标不远了。

”该项研究目前已经取得重大进展，申请国家实用新型专利6项，已授权4项，申请发明专利5项。

一、天然气水合物俗称“可燃冰”，外表像冰，但其成分中８０％—９９．９％为甲烷，可以燃烧。

它也被认为是未来人类最理想的替代能源之一。

１立方米的“可燃冰”可以释放１６４立方米的甲烷天然气。

是一种天然气和水在低温、高压条件下结合形成的白色固体物质，外貌极似冰块，点火即可燃烧，主要成分是甲烷。

科学家估计，海底可燃冰分布的范围约4000万平方公里，约占海洋总面积的10%，海底可燃冰的储量够人类使用1000年。

但是，由于其储藏于高压、低温的深海之下，即使钻探获得的样本，在提升到常温、常圧的海面上即迅速挥发。

没有保持高压、低温的钻采技术，很难获得水合物样品。

目前以保温保压取样和开采技术为代表的技术系列已成为世界天然气水合物研究开发的前沿技术。

在天然气水合物资源的调查研究上，我们曾经远远落后于世界。

20世纪70年代以来，美国、日本、印度等国纷纷将天然气水合物列入国家级研究开发计划，对它展开了广泛深入的研究，并在世界各地展开钻探，不断获得新的成果和研究进展。

我国从1999年开始了对天然气水合物的资源调查和评估，随后开展了对天然气水合物的研究工作。

广东省高州一中2007届高三级理科基础（期中）考试题(3)2006.12我国某地一枝旗杆的周年影长变化如下图1，读图回答1～3题。

1、该地可能是：A．哈尔滨B．北京C．武汉D．海口2、从夏至日到秋分日，该地正午太阳高度的变化规律是：A．渐增B．渐减C．先增后减D．先减后增3、我国另一地方在15时可以测得当天影长最短，该地可能位于附近。

A．日照B．九江C．湛江D．喀什4、图2反映某国的经济结构，则该国可能是：A．美国B．法国C．中国D．孟加拉5、图3为我国四种作物的分布示意图，判断正确的是：A．①油菜②甘蔗③冬小麦④水稻B．①水稻②冬小麦③甘蔗④油菜C．①油菜②甘蔗③水稻④冬小麦D．①水稻②油菜③甘蔗④冬小麦6、图4反映了四条河流的径流变化，其主要补给及分布地区都正确的说法是：A．Ⅰ河多见于我国东北地区，多形成冰川消融的春汛和降水造成的夏汛B．Ⅱ河以降水补给为主，常见于我国东南地区C．Ⅲ河是以高山冰川补给为主的内流河，在我国分布以西北为主D．Ⅳ河代表我国西南地区，因终年多雨形成的河流7、图5反映了“南水北调”工程，相关说法正确的是：A．线路Ⅰ的工程量和调水量最大，水质最差B．线路Ⅲ的工程量和调水量最小，水质最好C．线路Ⅰ需要逐级提水D．线路Ⅱ上的甲处，是举世闻名的三峡水库8、下列孙中山的民族主义主张在今天仍具现实意义的是：①“联合世界上以平等待我之民族，共同奋斗”②“（中国人民）一律平等，无种族阶级宗教之区别”③“驱除鞑虏之后，光复我民族的国家”④“异种残之，外邦逼之，民族主义……殆不可以须臾缓”A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④9、“全国人大的代表中有少数民族428名，在全国政协中每个民族都有自己的政协委员……”这一现象说明：A.各民族的民族素质大大提高，从而都出现管理国家人才B.各民族在政治权利上和社会地位上实现了真正的平等C.我国消灭了民族歧视和民族压迫，不再存在民族的差异D.我国56个民族的公民全都享有我国宪法和法律规定的一切政治权利10、从清末立宪到新中国第一部宪法的颁布，中国的宪政建设经历了近半个世纪，其中中国人民政治协商会议通过的具有临时宪法性质的文件是：A.《钦定宪法大纲》B.《临时约法》C.《中华人民共和国宪法》D.《共同纲领》11、1979年元旦《告台湾同胞书》中说：“在解决统一问题上，尊重台湾的现状和台湾各界人士的意见，采取合情合理的政策和办法，不使台湾人民蒙受损失。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学（理科）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|1}x x <D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = A ．2-B ．12-C ．12D ．2 3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是 A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是s s ss A ． B ． C ． D ．5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =A ．6B ．7C ．8D ．96．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 Ａ．9i < Ｂ．8i < Ｃ．7i < Ｄ．6i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为 Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18 8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是 A ．()**a b a a =B ． ()**b b b b =C ．[()]()****a b a a b a =D ．()[()]****a b b a b b =图3图1 图2身高/cm二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 ．（答案用分数表示）10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ．11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．图5图4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy，已知圆心在第二象限、半径为C与直线y x=相切于坐标原点O．椭圆22219x ya+=与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．如图6所示，等腰ABC △的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． 20．（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．图6PED F BA2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)试题参考答案一、选择题：CBDC BCBA 二、填空题：9.91 10.21 11.45-=x 12.2)1(+n n ；12；2)2)(1(--n n n (底面内共有2n C 条直线,每一条直线与2-n 条侧棱组成异面直线) 13.(0，2)； 14.6；]1,1[- 15.6DAC π∠=；3(弧BC 、弧CE 都为60°,故弧AE 也为60°，故AE=EC=CB)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5，则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>==，∴si n ∠A. （2）若∠A 为钝角，则391600c c -++<⎧⎨≠⎩ 解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞.17．解：(1) 散点图略. (2)4166.5i ii X Y ==∑, 4222221345686ii X==+++=∑, 4.5X =, 3.5Y =,266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-, ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=. 所求的回归方程为 0.70.35y x =+. (3) 100x =, 700.3570.35y =+=.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨). 18．解：（1）设圆C 的圆心为)0)(,(>n n m .则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆C 的方程为 22(2)(2)8x y ++-=.（2）由条件可知a =5，∴椭圆方程为221259x y +=，其右焦点为F(4，0).若存在点Q ，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称.直线CF 的方程为340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在点Q 412(,)55，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长.19．解：（1）由折起的过程可知， PE ⊥平面ABC，ABC S ∆=，2254BEFBDC x S S x ∆∆=⋅, 212669x S ACFE-=,21(9)12x x -(0x <<（2）21'())4V x x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x >，V(x)单调递增；6x <<'()0v x <，V(x)单调递减.因此x=6时，V(x)取得最大值（3）过F 作MF//AC 交AD 与M,则212MB BE ==，PM=MF BF PF =====， 在△PFM 中，84721cos 847PFM -∠==，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17. (此问也可用空间向量求解：以E 为原点，EA 、EF 分别为x 、y 轴)20．解1：函数()y f x =在[-1,1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1,1]上有解. a=0时，不符合题意,所以a ≠0.方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[1,1]2af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩解得实数a的取值范围是a ≤或a ≥1. 解2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0.又2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-在[-1，1]上的值域. 设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则t ∈[1,5]，21(3)217(6)22t y t t t --=⋅=+-，设2277(),'()t g t t g t t t-=+=，t ∈时，'()0g t <，g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,g(t)单调递增，∴y的取值范围是3,1]，_ F 图6_P_ E_ D _C B_AM∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解⇔1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤.21．解：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，∴αβ=. （2）'()21f x x =+，221112121nn nn n n n a a a a a a a ++-+=-=++5114(21)4212n n a a =++-+. 11a α=>.用数学归纳法可证n a α=（n=1,2,…）.(22112211(3) .n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα+++++++-==-⎛⎫+ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∴12n n b b +=, 又1111ln4ln2a b a βα-===-, ∴数列{}n b 是一个首项为 14ln2+,公比为2的等比数列. ∴)()1212421ln 122n n n S -==--.。