一个新的分数阶混沌系统及其异结构同步

一个新的分数阶超混沌系统的同步张一帆;张志明;李天增【摘要】研究分数阶超混沌Lu系统的超混沌行为,给出在不同的参数下生成超混沌的最低阶数.并从理论和数值上研究Lu系统的同步,通过计算机数值仿真证明提出方法的正确性和有效性.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2016(042)002【总页数】5页(P148-152)【关键词】计算机仿真;超混沌系统;同步;拉普拉斯变换【作者】张一帆;张志明;李天增【作者单位】河南牧业经济学院自动化与控制系,河南郑州450011;河南牧业经济学院软件学院,河南郑州450046;四川理工学院理学院,四川自贡643000【正文语种】中文【中图分类】O175尽管分数阶微积分已经有三百年的历史,但是其在物理和工程上的应用在近几年才引起大家的关注[1-3].许多著名系统都有分数阶动力特性[4-5],例如电介质极化[6],电极电解液极化[7],粘弹性系统[8]等等.超混沌系统在物理、生物、信息、化学和其他方面都有广泛的应用[9-12],典型的分数阶超混沌系统有Chen系ssler系统[14] 等.众所周知,超混沌的同步是非常重要但是也是困难的[15-19].迄今为止,已经有了一些控制方法比如反馈控制器、非线性控制器等[20-23].本文研究分数阶超混沌系统动力行为及其同步.给出在不同控制参数下系统能够产生超混沌的最低阶数.把单向耦合法应用到同步分数阶系统中,利用拉普拉斯理论给出驱动系统和响应系统同步条件.数值仿真证明方法的正确性和有效性.本文采用Caputo分数阶算子[1],其被称为光滑的分数阶算子,定义如下:式中:m为不小于q得最小整数,且Γ为Gamma函数t.当求分数阶微分方程的数值解时,采用修正的预校估计法[1].为了解释这个方法,首先考虑下面的分数阶微分方程：式中为Caputo分数阶算子,q为算子的分数阶数,为微分方程的初值.上面的微分方程(2)等价于下面的Volterra积分方程[1]：现在令h=T/N, tn=nh (n=0,1,…,N),则上面的积分方程(3)可以被离散化为下面形式：式中这种近似的误差为式中:p=min(2,1+q).本文主要考虑四维的分数阶非线性系统式中:α(α∈(0,1])为算子的分数阶,x=(x1(t), x2(t), x3(t), x4(t))T为系统的状态变量,x(0)=(c1, c2, c3, c4)T为初始条件,且为Caputo分数阶算子[1].下面主要研究四维分数阶系统的超混沌行为.文献[24]通过引入状态反馈控制器构建了一个简单的四维超混沌系统,具有如下形式：式中:a=36,b=3,c=20为系统中的常数,d为系统的控制参数.系统(10)就称为超混沌系统.通过计算机数值仿真,发现当控制参数d满足-0.35≤d≤1.30时,系统能够产生超混沌[24].考虑超混沌系统(10)的分数阶形式：式中:α(α∈(0,1])为算子的分数阶,a,b,c为系统中的常数,d为系统的控制参数.通过数值仿真发现对于不同的控制参数,系统产生超混沌吸引子的最低阶数不同,结论如下：1) 控制参数d=1.3时,对于0.645≤α<0.877系统(10)是具有周期轨道,如图1，2；而对于0.877≤α≤1系统具有超混沌吸引子,如图3，4.2) 控制参数d=0.5时,对于0.657≤α<0.833系统(4)具有周期轨道,如图5，6；而对于0.833≤α≤1系统具有超混沌吸引子,如图7，8.图4 当d=1.3,α=0.95时,系统(10)关于y-z-u的超混沌吸引子图5 当d=0.5,α=0.8时系统(10)关于x-y-z的周期轨道图6 当d=0.5,α=0.8时系统(10)关于y-z-u的周期轨道图7 当d=0.5,α=0.9时系统(10)关于x-y-z的超混沌吸引子通过上面方法,能够很容易地得到分数阶系统在不同的控制参数下产生超混沌的最低阶数.利用单向耦合法[25-26]设计出分数阶超混沌系统的同步方法.为了区分驱动和响应系统,对驱动系统的状态变量添加下标m,对响应系统的状态变量添加下标s.驱动系统和响应系统分别定义如下.驱动系统定义为响应系统定义为式中:k1,k2耦合强度.下面定义驱动系统(12)和响应系统(13)之间的状态误差e1=xs-xm, e2=ys-ym, e3=zs-zm和e4=us-um.利用响应系统(12)和驱动系统(13)的差得到误差的分数阶动力方程：对方程(14)两边同时进行拉普拉斯变换,令利用拉普拉斯的性质得sαE1(s)-sα-1e1(0)=a(E2(s)-E1(s))+E4(s)sαE2(s)-sα-1e2(0)=-L{xse3}-L{zme1}+(c-k1)E2(s)sαE3(s)-sα-1e3(0)=L{xse2}+L{yme1}-bE3(s)sαE4(s)-sα-1e4(0)=L{xse3}+L{zme1}+(d-k2)E4(s)方程(15)又可以写成和利用拉普拉斯终值定理,可得和在本文中假设(k1-c)*(k2-d)≠0成立.如果E2(s)和E4(s)都是有界的,即|E2(s)|≤M和|E4(s)|≤M成立,则,又由方程(20), 则.又由于吸引子的特点,存在一个正数N,使得|ym|≤N,|zm|≤N,|xs|≤N.因此,根据方程(22),可得.最终可得).这就意味着系统(12)和(13)实现了超混沌同步.当进行数值仿真时, 超混沌系统的参数分别取为a=36,b=3,c=20,d=1.3,算子的分数阶取为α=0.9.从图3,4可知,分数阶系统为超混沌的.仍选用修正的预校估计法进行数值求解分数阶微分方程.选取驱动系统(12)和响应系统(13)的初始值分别为xm(0)=-2, ym(0)=2, zm(0)=-1, um(0)=1和xs(0)=4, ys(0)=-4, zs(0)=5,us(0)=-5.为得到使两超混沌系统同步的最优耦合强度k1,k2,从k1=k2=0,步长为1的连续增加进行计算机仿真.最终得到以下结论：当k1=k2<3时,两系统不能达到同步；当3≤k1=k2<200时, 两系统能够很快的完成同步；当k1=k2>200时,两系统不能完成同步.更进一步,仿真发现耦合强度k1,k2的最优值大概为100.图9显示了当k1=k2=5时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线；图10显示了当k1=k2=100时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线；图11显示了当k1=k2=180时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线.从图9～11和仿真结果可知,当耦合强度k1,k2越接近100,驱动系统和响应系统达到同步的时间越少,同步效果也越好.本文研究分数阶超混沌系统,给出系统在不同参数下产生超混沌的最低阶数.利用单向耦合法实现了系统的同步,并给出最佳的耦合强度.数值仿真证明方法的正确性和有效性.致谢：本文得到四川理工学院校级项目(2012PY17, 2014PY06)的资助，在此表示感谢.【相关文献】[1] PODLUBNY I.Fractional differential equations [M].San Diego:Academic Press,1999.[2] MATSUMOTO T,CHUA L O,KOBAYASHI boratory experiment and numerical confirmation [J].IEEE Trans Circuits System,1986,33:1143-1147.[3] JIA Q.Generation and suppression of a new hyperchaotic system with double hyperchaotic attractors[J].Phys Lett A,2007,371:410-415.[4] CAI G,TAN Z,ZHOU W,et al.The dynamical analysis and control of a new chaotic system [J].Acta Phys Sin,2007,56:6230-6237.[5] JIANG P Q,WANG B H,BU S L,et al.Hyperchaotic synchronization in deterministic small-world dynamical networks [J].Int J Mod Phys B,2004,18:2674-2681.[6] DUARTE F B M,MACADO J A T.Chaotic phenomena and fractional dynamics in the trajectory control of redundant manipulators [J].Nolinear Dyn,2002,29:315-342.[7] SUN H H,ABDELWAHAD A A,ONARAL B.Linear approximation of transfer function with a pole of tractional order [J].IEEE Trans Automat Control,1984,29(5):441-444.[8] KOELLER R C.Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity [J].J Appl Mech,1984,51:299-307.[9] ZHOU X,WU Y,LI Y,et al.Adaptive control and synchronization of a novel hyperchaotic system with uncertain parameters [J].Appl Math Comput,2008,203:80-85. 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