(完整版)2019高考考纲说明题型示例-理科数学-含简版答案

2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2,3}，而U ＝{1,2,3,4}，故U (A ∪B )＝{4}，故选D ． 2． 答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ． 3． 答案：B解析：=a ≤3，所以当32a =-92=. 方法二：∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0.而(3－a )＋(a ＋6)＝9， 由基本不等式得：(3－a )＋(a －6)≥，即9≥92≤，当且仅当3－a ＝a ＋6， 即32a =-时取等号． 4． 答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数91510182416.85y ++(+)++=，可解得y ＝8.故选C ． 5． 答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200，故选C ． 6． 答案：A解析：由题意a ＜b ＜c ，可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，所以该函数在(a ，b )和(b ，c )上均有零点，故选A ． 7． 答案：A解析：圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．8． 答案：B 解析：由程序框图可知，输出的结果为s ＝log 23×log 34×…×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)．由s ＝3，即log 2(k ＋1)＝3，解得k ＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s ，∴条件应为k ≤7. 9． 答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒ ＝2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒＝122sin40sin4022cos40︒+⨯︒-︒=︒. 10． 答案：D解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1. 所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2<≤所以|OA |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ． 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12．答案：64解析：由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64. 13．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C 792=种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C 21=种，只去骨科和内科两科医生的选法有5585C C 55-=种，只去脑外科和内科两科医生的选法有5595C C 125-=种，只去内科一科医生的选法有55C 1=种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名，则需选内科医生(5－x －y )人．(1)当x ＝y ＝1时，有113345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (2)当x ＝1，y ＝2时，有122345C C C 180⋅⋅=种不同选法； (3)当x ＝1，y ＝3时，有131345C C C 60⋅⋅=种不同选法；(4)当x ＝2，y ＝1时，有212345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (5)当x ＝2，y ＝2时，有221345C C C 90⋅⋅=种不同选法； (6)当x ＝3，y ＝1时，有311345C C C 20⋅⋅=种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．答案：5解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝20，可得BC＝由弦切角定理，可得∠BCD ＝∠A ＝60°.在Rt △BCD 中，可求得CD＝BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE ·DB ，可求得DE ＝5. 15．答案：16解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4，而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2，∴y 2＝43＝64，即y ＝±8， ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. 16．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝22,5,8,35,22,3,x x x x x -≥⎧⎪-<<⎨⎪-+≤-⎩可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a －6，故12a =. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝23x x x (-)(-).令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 18．解：设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球， 则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝123437C C 18C 35=.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝3337C 11C 3105⋅=， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝3337C 22C 3105⋅=， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535⋅==， P (X ＝0)＝12461105105357---=.综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×105＋200×105＝4(元)．19．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形．又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ．以O为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD πcos＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD πsin 3故A (0，－3,0)，B 0,0)，C (0,1,0)，D (0,0)．因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又AF ＝0,2,2z ⎛⎫⎪⎝⎭，PB ＝3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－22z ＝0，z =(舍去-)，所以|PA |＝23.(2)由(1)知AD ＝(3,0)，AB ＝，3,0)，AF ＝(0,2)，设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩因此可取n 1＝(3，－2)．由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得222230,20,y y +==⎪⎩故可取n 2＝(3，，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8⋅=⋅n n n n ，故二面角B －AF －D的正弦值为8. 20．解：(1)因为a 2＋b 2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C＝222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =.(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B＝5， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B.① 因为3π4C =，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝2，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，sin A sin B， 解得sin A sin B=由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。

2019年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13C．4 D．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ） A ．14 BD ．12【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ） A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B.解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\=()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B ?<癨??．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===. （I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^， BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1A E =1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1A FD Ð为二面角1A AB C--的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD ABDF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz-．由题设知1A D与z轴平行，z轴在平面11AAC C内．（I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B£则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA=得2，即2240a a c-+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B?-+=\^．（II）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z=则1,,m CB m BB^^即10,0m CB m BB??．()0,1,0,CB=()112,0,,BB AA a c==-故0y=，且()20a x cz-+=．令x c=，则()2,,0,2z a m c a=-=-，点A到平面11BCC B的距离为cos,CA mCA mCA cm×?==．又依题设，点A 到平面11BCC Bc\=代入①解得3a=（舍去）或1a=．于是(11,0AA=-．设平面1ABA的法向量(),,n pq r=，则1,n AA n AB^^，即10,0,0n AA n AB p??\-+=，故且20p q-+=．令p=，则1,q r==()3,2n=．又()0,0,1p=为平面ABC的法向量，故1cos,4n pn pn p⋅==⋅，∴二面角1A AB C--的大小为1arccos4．20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解：记iA表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，0,1,2i=；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I）122D A B C A B A B C=⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.iiP B P C P A C i P D===⨯=∴=()()()()()()()()()()()() 1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II）X的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()2 00100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()()220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p =\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m =-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y m m m +骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫． 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=． 22. （本小题满分12分） 函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0a a -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．（ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3ln 1033x x x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合A { 1,0,1,2}, B { x | x2 1} ，则 A B （）A. { 1,0,1}B. B.{0,1}C. C.1,1}{D. D.{ 0,1,2}答案：A解答：B { x | x2 1} { x | 1 x 1} ，所以 A B { 1,0,1} .2.若z(1 i) 2i ，则 z （）A. 1 iB. 1 iC. i1D.1 i答案：D解答：z(1 i ) 2i2i 2i (1 i )i ) 1 i . , z i (11 i (1 i)(1 i)3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案：C解答：90 800.7601004. (12x2 )(1 x)4的展开式中x3的系数为（）A.12B.16C.20D.24答案：A解答：由题意可知含x 3 的项为 1 C43 1 x3 2x2 C 41 13 x 12 x3 ，所以系数为 12 .5.已知各项均为正数的等比数列a n 的前 4 项和为15 ，且 a5 3a3 4a1，则 a3 （）A. 16B. 8C. 4D. 2答案：C解答：设该等比数列的首项 a1，公比 q ，由已知得， a1q4 3a1q2 4a1，因为 a1 0 且 q 0 ，则可解得 q 2，又因为 a1 (1 q q2 q3 ) 15 ，即可解得 a1 1，则 a3 a1q2 4 .6. 已知曲线y ae x x ln x 在点 (1， ae) 处的切线方程为y 2 x b ，则（）A. a e ,b 1B. a e ,b 1C.a e 1,b 1D. a e 1,b 1答案：D解析：令 f ( x) ae x x ln x ，则 f (x) ae x ln x 1 ， f (1) ae 1 2 ，得 a 1 e 1.ef (1) ae 2 b ，可得b 1 .故选D.2x 3 7.函数 y在 [ 6,6] 的图像大致为（2x 2 xA.B.C.D.答案： B解析：∵y f ( x)2x 32( x)32x，∴f ( x)2x2x2 x）2 x 32x 2 xf ( x) ，∴ f ( x) 为奇函数，排2 432 43 8 ，根据图像进行判断，可知选项B 符合题意 .除选项 C.又∵ f (4)2 424248. 如图，点 为正方形的中心，为正三角形，平面平面， 是线段的中点，则（）A. ，且直线 ， 是相交直线B. ，且直线 ， 是相交直线C.，且直线，是异面直线D. ，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选 B.9. 执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循 ：；第二次循 ：；第三次循 ：；第四次循 ：；⋯第七次循 ：，此 循 束，可得. 故 C.10.双曲 C：x 2 y 2 1F ，点 P C 的一条 近 的点，O坐 原点 .若4 2的右焦点| PO || PF |PFO的面 （）A:3 2B: 3 2C:2 2D:3242答案 : A解析：由双曲 的方程x 2 y 2y2 x PFO 中 | PO | | PF |42可得一条 近 方程2 ；在P PHOF23点做 垂 直因 t a nP O F = PO2 ;2 得 到 所 以SP F 1O3 63 22 24;故 A;11. 若 f (x) 是定 域R 的偶函数，且在(0, )减， （）1322 )f (2 3 )A. f (log 3 ) f (2412 3B. f (log ) f (2 3 ) f (2 2 )3 432123C. f (2) f (2) f (log 3 4)231)D. f (2 3 )f (2 2 )f (log 34 答案：C 解析 :依据题意函数为偶函数且函数在(0,)单调递减，则函数在(,0)上单调递增；因为132f (log 3 ) f (log 3 4)f (log 3 4)022321 3 l o g 44； 又 因 为； 所 以321f ( 22)f3( 2f( l o g )) 34 ；故选 C.12. 设函数 f ( x) sinx0 ，已知 f ( x) 在 0，2 有且仅有 5 个零点，下述四个5结论：○1 f (x) 在 0,2○2 f (x) 在 0,2有且仅有 3 个极大值点有且仅有 2 个极小值点○3 f (x) 在0,单调递增10○4 的取值范围是12 ,295 10其中所有正确结论的编号是A. ○1 ○4B.○2 ○3C.○1 ○2○3D. ○1○3 ○4答案： D解析：根据题意，画出草图，由图可知2 x 1, x 2 ，x 15x 1 245由题意可得，5，解得，29x 26 x255所以24229 ，解得 12 29 ，故 ○4 对；5 5 5 10令x得 x 32 0 ，∴图像中 y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故510∵ 2 x 1, x 2 ，∴ f ( x) 在 0,2 有 2 个或 3 个极小值点，故 ○2 错；∵ 1229 ，∴ 11 10 549，故 ○3 对.51025 1002二 . 填空题13. 已知 a ， b 为单位向量，且 a b0 ，若 c2a5b ，则 cos a, c答案：○1对；.2 3解析：22a5b2223 ，∵ c 4a 5b 4 5a b 9 ，∴ c∵ a ca 2a5b2a5a b 2 ，∴ cos a, ca c22 .2a c 1 3 314. 记 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 0 ， a 2S10.3a 1 ，则S 5答案：4解析：设该等差数列的公差为d ，∵ a 2 3a 1 ，∴ a 1 d 3a 1 ，故 d 2a 1 a 1 0, d 0 ，10 a1 a10∴S10 2 2 2a1 9d 2 10d 4 . S5 5 a1 a5 2a1 4d 5d215.设F1x 2 y21的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若MF1 F2 、 F2为椭圆C：2036为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：(3, 15 )解析：已知椭圆x2 y 26 ， c 4 ，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角C ：1可知， a36 20形MF1 F2 中MF1 F1F2 8 ，MF2 2a MF1 4 ,sin F1 F2M 82 22 15 , y M MF 2 sin F1F2 M 15 ，代入8 4x2 y 23 .故 M 的坐标为(3, 15 ) .C ：1可得x M36 2016. 学生到工厂劳动实践，利用3 D 打印技术制作模型。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 III 卷）理科数学一．选择题1、已知集合，则（ ）}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A =⋂B A A.}1,0,1{-B. B.{0,1}C. C.}1,1{-D. D.}2,1,0{答案：A 解答：，所以.}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B }1,0,1{-=⋂B A 2.若，则（ ）i i z 2)1(=+=z A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +1答案：D 解答：,.i i z 2)1(=+i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A.5.0B.6.0C.7.0D.8.0答案：C 解答：7.0100608090=+-4.的展开式中的系数为（ ）42)1)(21(x x ++3x A.12B.16C.20D.24答案：A 解答：由题意可知含的项为，所以系数为.3x 33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅125.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（）{}n a 41553134a a a =+3a =A. 16B. 8C. 4D. 2答案：C 解答：设该等比数列的首项，公比，由已知得，，1a q 4211134a q a q a =+因为且，则可解得，又因为，10a >0q >2q =231(1)15a q q q +++=即可解得，则.11a =2314a a q ==6.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）x x ae y x ln +=)1(ae ，b x y +=2A.,e a =1-=b B.,e a =1=b C.,1-=e a 1=b D.,1-=e a 1-=b 答案：D 解析：令，则，，得.x x ae x f xln )(+=1ln )(++='x ae x f x21)1(=+='ae f 11-==e ea ，可得.故选D.b ae f +==2)1(1-=b7.函数在的图像大致为（ ）3222xx x y -=+[6,6]-A.B.C.D.答案：B 解析：∵，∴，∴为奇函数，32()22x x x y f x -==+332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++()f x 排除选项C.又∵，根据图像进行判断，可知选项B 符合题意.334442424(4)8222f -⨯⨯=≈=+8.如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A.，且直线，是相交直线B.，且直线，是相交直线C.，且直线，是异面直线D.，且直线，是异面直线答案：B解析：因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9.执行右边的程序框图，如果输出为，则输出的值等于（）A.B.C.D.答案：C解析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10.双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若C 22142x y -=F P C O 则的面积为（ ）||||PO PF =PFO ∆C:D:答案:A 解析：由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过22042x y -=y x =PFO ∆||||PO PF =点做垂直因为;所以P PH OF tan POF=∠PO =故选A;12S PFO ∆==11.若是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）()f x R (0,)+∞A. 233231(log )(2)(2)4f f f -->>B.233231(log (2)(2)4f f f -->>C.233231(2)(2)(log )4f f f -->>D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>答案：C 解析:依据题意函数为偶函数且函数在单调递减，则函数在上单调递增；因为(0,)+∞(,0)-∞；又因为；所以3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=233230221log 4--<<<<；故选C.233231(2)(2)(log )4f f f -->>12.设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()f x []02π，5结论：在有且仅有个极大值点○1()f x ()0,2π3在有且仅有个极小值点○2()f x ()0,2π2在单调递增○3()f x 0,10π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是 ○4ω1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.○1○4○2○3○1○2○3○1○3○4答案：D解析：根据题意，画出草图，由图可知，[)122,x x π∈由题意可得，，解得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，解得，故对；2429255πππωω≤<1229510ω≤<○4令得，∴图像中轴右侧第一个最值点为最大值点，故对；52x ππω+=3010x πω=>y ○1∵，∴在有个或个极小值点，故错；[)122,x x π∈()f x ()0,2π23○2∵，∴，故对.1229510ω≤<1149251051002πππππω≤⋅+<<○3二.填空题13.已知，为单位向量，且，若，则 .ab 0a b ⋅= 2c a =- cos ,a c =答案：23解析：∵，∴，()22222459c a a b b ==+-⋅= 3c =∵，∴.()2222a c a a a b ⋅=⋅=-⋅= 22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯⋅14.记为等差数列的前项和，若，，则 .n S {}n a n 10a ≠213a a =105S S =答案：4解析：设该等差数列的公差为，∵，∴，故，d 213a a =113a d a +=()1120,0d a a d =≠≠∴.()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d++⨯====++15.设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若1F 2F 1203622=+y x C ：M C 为等腰三角形，则的坐标为________.21F MF ∆M 答案：)15,3(解析：已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三1203622=+y x C ：6=a 4=c M C角形中，,,21F MF ∆8211==F F MF 4212=-=MF a MF 415828sin 2221=-=∠M F F ，代入可得.故的坐标为.15sin 212=∠=M F F MF y M 1203622=+y x C ：3=M x M )15,3(16.学生到工厂劳动实践，利用D 打印技术制作模型。

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A ＝{x|x 2﹣5x+6＞0}，B ＝{x|x ﹣1＜0}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣3，﹣1）D ．（3，+∞）2．（5分）设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知＝（2，3），＝（3，t ），||＝1，则?＝（）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．34．（5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：+＝（R +r ）．设α＝．由于α的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则r 的近似值为（）A ．RB ．RC ．R D ．R5．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．（5分）若a ＞b ，则（）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．3a＜3bC ．a 3﹣b 3＞0D ．|a|＞|b|7．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．（5分）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．89．（5分）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）A ．f （x ）＝|cos2x|B ．f （x ）＝|sin2x|C ．f （x ）＝cos|x |D ．f （x ）＝sin|x|10．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sin α＝（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）设F 为双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF |，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．12．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x+1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m]，都有f （x ）≥﹣，则m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，]C ．（﹣∞，]D ．（﹣∞，]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A．{-1，0，1} B．{0，1} C．{-1，1} D．{0，1，2}2.若z（1+i）=2i，则z=A．-1-I B．-1+I C．1-i D．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。

某中学为了了解本小学生阅读四大名著的情况，随机调查看了100位学生，期中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84.的展开式中的系数为A．12 B．16 C．20 D．245.已知各项均为正数的等比数列 {}的前4项和为15，且，则A．16 B．8 C．4 D．26.已知曲线y=+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a= ，b=1 D．a=，b=-17.函数y=2x32x+2-x，在[-6,6]的图像大致为A． B. C． D.10.双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为A.4 B.2 C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.三.解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答：（一）必考题：共60分。

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学·参考答案一、选择题1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C12．D二、填空题13．2314．4 15． 16．118.8三、解答题17．解：（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35．b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积34ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 31sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而3382ABC S <<△． 因此，△ABC 面积的取值范围是33⎝⎭．19．解：（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH以H 为坐标原点，HC u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG u u u r =（1，0AC u u u r=（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||⋅〈〉==n m n m n m 因此二面角B –CG –A 的大小为30°． 20. 解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为–1，最大值为1．21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- .整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t=-==+.设12,d d分别为点D，E到直线AB的距离，则12d d==.因此，四边形ADBE的面积()(2121||32S AB d d t=+=+设M为线段AB的中点，则21,2M t t⎛⎫+⎪⎝⎭.由于EM AB⊥u u u u r u u u r，而()2,2EM t t=-u u u u r，ABu u u r与向量(1, )t平行，所以()220t t t+-=.解得t=0或1t=±；当t=0时，S=3；当1t=±时，S=因此，四边形ADBE的面积为3或22.解：（1）由题设可得，弧»»»,,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cosρθ=，2sinρθ=，2cosρθ=-.所以1M的极坐标方程为π2cos04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M的极坐标方程为π3π2sin44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M的极坐标方程为3π2cosπ4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭.（2）设(,)Pρθ，由题设及（1）知若π4θ≤≤，则2cosθ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sinθ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cosθ-=5π6θ=.综上，P的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.23．解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z-++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x=-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. （2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦， 故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥， 当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +． 由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．。

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12 B．16 C．20 D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16 B．8 C．4 D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。