八年级数学 二次根式的乘除 讲义(含知识点练习题)

八年级初二数学 二次根式(讲义及答案)含答案一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2．下列计算结果正确的是（ ）A B ．3=C =D=3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）ABC ．D4．（ ）A ．1B ．﹣1C ．D -5．下列运算正确的是（ ）A =B =C ．3=D 2= 6．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21=7．化简 ）ABC D8．若a b > ）A ．-B ．-C ．D ．9．下列运算正确的是（ ）A =B ．(28-=C 12=D 1=10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A B C D11．230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对12．与根式- ）A ．B ．x -C ．D二、填空题13．已知x =()21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________14．若0a >化成最简二次根式为________． 15．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A()3-16．2==________． 17．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)．18．把_____________. 19．已知整数x ，y 满足y =，则y =__________．20．能合并成一项，则a =______．三、解答题21．计算及解方程组：（1-1-） （2)2+（3）解方程组：251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】（1）2）7；（3）102x y =⎧⎨=⎩．【分析】（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（11-1+（11=1 （22+）=34-=7-=7-（3）251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．22．先阅读下列解答过程，然后再解答：,a b，使a b m=，使得+=，ab n22m+==a b==>)+=⨯=，==，由于437,4312m n7,12+=，=即：227===+。

二次根式的乘除学习重点二次根式的乘法和除法学习二次根式加减的基础. 那么怎样才能娴熟掌握二次根式乘除法的运算呢？笔者认为应注意掌握以下几个问题：一、正确理解二次根式乘法的意义因为 3 × 6 ＝36＝322＝32，2× 8＝ 2 8＝ 16＝4，因此，一般地， a × b ＝a b (a≥0，b≥0).察看这一式子的左侧和右侧，得出等号的左侧是两个二次根式相乘，等号右侧是获得的积还是二次根式. 由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数.利用二次根式乘法的这个法例应注意：（1）要注意a≥0、 b≥0的条件，因为只有a、b 都是非负数公式才能建立. （2）从运算次序看，等号左侧是先分别求a、 b 的两因数的算术平方根，而后再求两个算术平方根的积，等号右侧是将非负数a、 b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（ 3）公式 a ×b＝a b( a≥0，b≥ 0) 能够推行到三个二次根式、四个二次根式等相乘的状况.（ 4）依据这个性质能够对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适合改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.例 1计算：（ 1）－12×6；（2）3x ×6y ；（ 3）x 2 y ×2x 4 y ；（4）2x3y×18xy3.剖析利用二次根式的乘法法例，关于第（3）小题，应视x+2y 为一个整体.解（1）－12×6＝－ 126＝622＝6 2 ；（ 2）3x ×6y＝3x 6 y ＝32 2xy ＝32xy ；（ 3）x 2 y ×2x 4 y ＝ 2 x 2 y 22 ；＝ ( x+2y)（ 4）2x3 y × 18xy3＝ 2x3 y18 xy3＝ 62x4 y4＝6x2y2.说明在进行二次根式乘法的过程中，应注意不可以随意扔掉负号，其结果必定要化简.例 2计算：（ 1）0.4 × 3.6 ；（2）5 45 ×32.2 23剖析第（ 1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（ 2）小题的根号外都含有数字因数，能够模仿单项式的乘法.解（ 1）0.4× 3.6＝0.4 3.6 ＝0.40.4 9 ＝0.4×3＝1.2.（2）5 45×322＝5×3× 452＝15× 3 152＝1530 .2323232说明关于二次根式的被开方数或式中，若知足两个相同因数或因式即移到根号外面来，进而达到化简的目的 .二、掌握公式 a × b ＝ a b (a≥0，b≥0)的反向运用关于公式 a × b ＝a b (a≥0，b≥0)，我们能够反过来，即获得 a b ＝ a ×b (a≥0，b≥0).利用这个公式，相同能够达到化简二次根式的目的.例 3化简：（1）7252；（ 2）1681 ；（3） 2000 ；（4）532282.剖析利用公式 a b ＝ a × b ，我们能够直接化简，关于2000 能够经过分解因数，关于第（4）小题能够利用平方差公式使之转变成乘积的形式，再运用公式.解（ 1）7252＝72×52＝35；（2）16 81＝16 ×81 ＝4×9＝36；（ 3）2000＝10222 5 ＝102× 22× 5 ＝20 5 ；（ 4）228253285328 ＝8125 ＝81 × 25 ＝9×5＝45. 53＝说明经过求解能够看出，假如一个二次根式的被开方数中有的因式( 或因数 ) 能开得尽方，能够逆向运用二次根式乘法的法例，将这些因式(或因数)开出来，进而将二次根式化简 .三、娴熟掌握二次根式除法的意义因为16 ÷ 4 ＝16＝ 4÷ 2＝ 2，而16 ＝ 4 ＝2，因此16÷4＝16 ＝16 . 4444一般地， a ÷ b ＝aa(a≥0，b＞0).察看这一式子的左侧和右侧，从运算次序b b看，等号左侧是先分别求被除数、除数的算术平方根，而后再求两个算术平方根的商，等号右侧是将非负数a 除以正数b 求商，再开方求商的算术平方根. 利用二次根式这一除法法例能够进行简单的二次根式的化简与运算. 值得注意的是二次根式除法的法例中这是因为当 b ＝ 0 时，分母为 0，没存心义 .和二次根式乘法的法例相同，二次根式除法的法例也能够反过来运用，即( a ≥ 0， b ＞0) ，相同能够利用这一公式化简二次根式.例 4计算：（ 1） 72 ÷ 6；（2） 11÷1 .26剖析直接运用公式a ÷b ＝a ab化简 .b解 （1） 72÷ 6＝72 ＝ 72＝ 12＝23 ；66（2） 11 ÷1＝ 111 ＝ 3 6 ＝3.262 6 2说明 注意本例中第（ 2）小题的书写格式，以便降低求解的难度.例 5化简：（ 1） 1 15 ；（ 2）25x 4 ；（ 3） 0.09 121 .499 y 20.36 100剖析 利用公式a＝a直接化简 .bb解 （1） 115＝64＝64＝8；4949 497（ 2）25x 4 ＝ 25x 4 ＝ 5x 2 ；9 y 29y 23 y（ 3）0.09 121 ＝ 0.09 121 ＝ 0.3 11＝11 .0.36 1000.36 100 0.6 10 20a ≥ 0，b ＞ 0，a ＝ ab b说明假如被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数. ，在进行第（ 3）小题的运算时，也能够先对被开方数的分子与分母同时扩大100 倍，进而化小数为整数 .经过上述两道例题的化简与运算，我们知道二次根式的除法，有两种基本方法：①把除法先写成分式的形式；②直接套用公式 a ＝ a (a ≥0，＞0).b b b四、正确理解最简二次根式的意义相关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式 .最简二次根式一定知足：一是被开方数不含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，两者缺一不行 .例 6计算：（ 1）75÷（ 6 ×12）；（2） 2×5÷50 .剖析第（ 1）小题先做括号里的，第（2）小题先做乘法，再做除法 .解（ 1）75 ÷（6×12 ）＝75÷ 612＝675 ＝53＝5 32＝5 6；126262212（2）2× 5 ÷50＝ 10÷50＝10＝10＝ 1 ＝ 5 ＝ 5 .50505525说明经过此题的运算，我们能从中领会到怎样化去分母中含有根号的因数或因式.。

初中数学八年级下册二次根式的乘除一知识讲解(基础)【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：&够=构(a》0,bNO),即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：国眼店•---•也〃J的的处•----•%(角N°,•••.•%>())•(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如716=4.2.积的算术平方根：质=&瑚lag,bNO)，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足am o,b》0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有口2形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根E(a NO,b>0)，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除1.除法法则:要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a》0,b>0,因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质：E=(a no,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方"4b根.要点诠释:运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1）被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除法.⑴妗右;⑵$X&⑶手;⑷辱"【答案与解析】⑴右X由二娃；【总结升华】直接利用E•岳=、屈心成8乏0）$=£怎乏0,&>0）计算即可.举一反三：【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）j（-4）x（-9）=q><后；⑵援X姮=4X据X屈=4幅X屈顼而二8必.【答案】（1）不正确.改正：X（-9）=^4x9=^4X^=2X3=6；（2）不正确.改正：（4—x^25=.1^-x^25=pl^x25=^/U2=^16x7=4^7-2.计算：（1）（2014秋•门头沟区期末）（2）（2014秋•松江区校级期中）计算：而【思路点拨】做二次根式的乘除时要注意计算法则，根号外和根号内的因式分别相乘除，最终计算结果要化为最简形式.【答案与解析】解：（1）原式=-2寸去膜xB度3__2X2V3■而丁4一3•（2）原式无=J17X异Q.62【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.类型二、最简二次根式▼ 3.（2016*自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A.VI oB.V8C.VsD.V2【思路点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）.是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.【答案】B.【解析】解：因为底牙侦=2扼，因此扼不是最简二次根式.故选B.【总结升华】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.举一反三：【变式】化简（1）7（-2）2aVc5（a>0,b>0）（2）V16ab2c3【答案】（1）原式=V22a2ab2c4c=2abc2V^;(2)原式=4bc\[acMe*c 八a+b/b2-2ab+a2.己知0<a<b,化简----J——.a-bV a3b2+a2b3(b-a)2_a+b b-a---------—一•X----lx(a+b)【答案与解析】原式=—,..7-.a-b^a~b~(a+b)a-b ab V(a+b)(a+b)=L Ja+bab【总结升华】JU=a成立的条件是a>0；若a<o,则何=—a.。

16.3.1二次根式的乘除考点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.考点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..要点：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.题型1：二次根式的乘法1-数字型10.4 1.6）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8D【分析】根据二次根式乘法法则计算即可．原式0.8===． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根．2_________． 20 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．解：原式==20=，故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．题型2：二次根式的乘法2-字母型及复合型3__________．4a 【分析】根据二次根式的乘法进行求解即可．4a =； 故答案为：4a 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．下列计算正确的是( )A ．B ()()35=15-⨯-C ．-DDA 选项：24，计算错误，故与题意不符；B 3515=⨯=，计算步骤有误，故与题意不符;C 选项：22233633，计算错误，故与题意不符；D ，计算正确，故与题意相符. 故选D.5．计算（- ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32B 【分析】利用平方差公式进行计算即可．解：（=22=-20128.=-=故选B ．【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行二次根式的乘法运算，掌握公式特点是解题的关键．题型3：二次根式的乘法法则成立的条件6230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对B 【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案. 2x 30-=，0=0=， ∴x=-2或x=3，又∵2030x x +≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3， 故选B. 【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.题型4：二次根式的除法1-数字型7___．用二次根式除法法则计算即可．=故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的除法，解题关键是熟练掌握二次根式除法法则，准确进行计算．8_____． 3 【分析】直接利用二次根式的除法运算计算得出即可．3=． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．9_____． 2 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可求解．÷2=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，熟知二次根式的除法法则是解题关键．题型5：二次根式除法法则成立的条件10x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥0C ．x ≥2D ．x ＞2D【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x 的取值范围即可．由题意可得：020x x ≥⎧⎨-⎩＞，解得：x ＞2．故选D ． 【点睛】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．11=成立的条件时，则x 的取值范围为 ___．32x -≤<【分析】由二次根式有意义的条件可得30,20x x 再解不等式组即可得到答案.解： 3020x x ①②由①得：3,x ≥-由②得：2,x <所以则x 的取值范围为3 2.x 故答案为：32x -≤< 【点睛】本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握0,0ba b a”是解本题的关键.12．下列各式：==a ＞0，b≥0）；=-，其中一定成立的是________（填序号）． ②③④ 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可．①00，a b ≥>≠=00，a b ≥>；③当00，a b >≥时，3133b a a a a== ④3a 成立时，0a ≤3a aaaa ，故一定成立；故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键．题型6：二次根式的除法2-字母型及复合型13____．根据二次根式的除法法则解决此题．===故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则．14___．根据二次根式的除法运算法则计算即可；原式255yx x y==； 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法法则，准确计算是解题的关键．15=_________． x 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．=123⎛÷ ⎝=x ． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式．16．计算：43434(32)⨯=______24 【分析】运用积的乘方的逆运算：(ab )n =anbn ，把43434(32)⨯写成433434432⨯⨯⨯左到右的顺序运算． 解：43434(32)⨯ =433434432⨯⨯⨯ =3×23 =3×8=24=故答案为：24，【点睛】此题考查了实数的运算，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序． 17．当0x >= _________________．94先根据二次根式的定义和除法的性质可得0y >，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．由二次根式的定义得：2500x y y x ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，0x，0y ∴≥，又除法运算的除数不能为0，0y ∴≠， 0y ∴>，35xy =3xy==49=94本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．题型7：二次根式的乘除法1-数字型18．下列运算错误的是（ ） A=B=C．25= D．2D 【分析】利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案． 解：A=BC、25=，正确，不符合题意； D、2故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大．19___．先把除法转化为乘法，再计算即可完成．=【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，注意运算顺序不要出错．题型8：二次根式的乘除法2-字母型及复合型20．下列结论中，对于实数a、b，成立的个数有（）=a=±；2a．A．0个B．1个C．2个D．3个C【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论．①当a、b∴①不成立；②∵a＞0，b≥0，∴ba≥0，②成立；＝|a|，∴③不成立；＝|a 2|＝a 2， ∴④成立．综上可知：成立的结论有②④． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键．21=（ ）A B C D ．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．原式==故选：A 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 22．计算：（1（20)a >（334÷（4（5）2(0,0)a b >>．（1）19；（2）3a ；（34）5）312-a b【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可．（1）原式19==；（2）原式=3a ==；（3）原式331(2442=÷=⨯÷；（4）原式=（5）原式1 23()2ab =⨯÷-12ab =-212ab a =-⨯312a b =-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 23．计算:（1）（2）(（3）0,0)a b >>（1）2）154-；（3 【分析】 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可；（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；（3）根据二次根式乘除法法则计算即可．（1）原式233=⨯2=（2）原式13153()5=844⨯-⨯=-⨯-；（3）原式== 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．题型9：有理化因式241的一个有理化因式是（ ）A B C 1 D ． 1- D【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．解：∵由平方差公式，)111x =-，11-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．25的有理化因式是 ___．根据有理化因式的定义（两个根式相乘的积不含根号）即可得答案．3x =-，【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．26．写出n 的一个有理化因式：_______．n 【分析】根据平方差公式即可得出答案．解：n的有理化因式n，故答案为n．【点睛】此题考查了有理化因式的定义：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式，及平方差计算公式，熟记有理化因式的定义是解题的关键．27．）B C DAC【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．解：∵3(2)x=-，∴故选：C．【点睛】本题考查了有理化因式的定义：两个含二次根式的非零代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一般地，282的有理化因式可以是___．2【分析】利用平方差公式进行有理化即可得．解：因为2)5=--=-，14x x22，2．【点睛】本题考查了有理化因式，熟练掌握有理化的方法是解题关键．题型10：与分母有理化计算变形问题292的倒数是（ ）A 2B ．2C ．2D A【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可．22， 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化．30．已知a=1则a 与b 的关系是( ) A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．互为负倒数A【分析】把的分子分母同乘（1a 比较得出结论即可．1b1=--（1a=1∴a 与b 互为相反数.故选A.【点睛】本题考查分母有理化.31m ＞0，n ＞0)分别作了如下变形：()m n-====关于这两种变形过程的说法正确的是( )A ．甲，乙都正确B ．甲，乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确D【分析】甲的做法是先把分母有理化，再约分；乙的做法是先把分子分解因式，再约分．计算过程中，要考虑m=n 这种情况．甲的做法是先把分母有理化，再约分，如果m=n 则化简不成立；乙的做法是先把分子分解因式，再约分，正确．故本题选D ．【点睛】本题考查的是分母有理化的计算方法．32．若a ，b ＝a b 的值为（ ） A ．12B ．14CD B【分析】将a b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出a b 的值．a ＝=b 44=． ∴14a b =． 故选B ．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．题型11：二次根式乘除的应用33．若一个长方体的长为_______．12【分析】直接根据长方体体积公式求解可得．∵长方体的长为∴长方体的体积=12故答案为：12【点睛】本题考查求长方体的体积，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长．34．站在竖直高度 h m 的地方，看见的水平距离是 d m ，它们近似地符合公式85h d =.某一登山者登上海拔2000 m 的山顶，那么他看到的水平距离是________m . 160 【分析】把h=2000代入公式85h d =进行即可. 解：把h=2000代入公式85h d =得 2000884008201605d ===⨯=所以答案是：160. 【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.35．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则22a b +的值是___________．523-【分析】首先根据3的取值范围得出a ，b 的值进而求出即可．解：∵123<<，3的整数部分是a ，小数部分是b ，∴a =1，b =3-1∴()222=1+3-1=5-23a b + 故答案为：523-【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，得出a ，b 的值是解题关键．一、单选题11128 ） A 2B ．2C ．2D 2B【分析】直接根据二次根式的除法计算法则求解即可得到答案．解：原式2=． 故选B ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除计算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘除计算法则． 2．下列各运算，正确的是（ ）A ．=B 35=CD x y + B【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件进行计算即可．解：A 、30=，故本选项错误；B 35，本选项正确；CD故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，二次根式有意义的条件，掌握这些知识点是解题关键．3．计算 ）A B C D ．C【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．原式=故选C ．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除法法则，本题属于基础题型．4（ ）（a ＞0，b ＞0）A ．10b a B ．10a b C ．2a D ．2a 2C【分析】根据二次根式的除法法则计算可得．解：原式2a ===， 故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的除法运算法则．5其中0,a b ≥满足的条件是（ ）A ．b ＜0B ．b ≥0C ．b 必须等于零D ．不能确定B【分析】根据二次根式乘法法则的条件解答即可．解：=0a ≥，∴b ≥0．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和乘法法则的理解，属于基础题型，熟知二次根式的被开方数非负是解答的关键．6 ） A ．10到11之间B ．9到10之间C ．8到9之间D ．7到8之间D【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式为4的范围，即可得出答案．解：原式==4∵34<，∴748<+<，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．7）B C DAC【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高．直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h=，∴h=．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键．8n的最小值是（）A．3 B．2 C．48 D．6A【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值．∴是一个完全平方数，正整数n的最小值为3．48n是正整数，3n故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的定义，解答本题的关键是能够正确的对二次根式进行化简．9．计算201820192)2)的结果是（ ）A ．2+B 2 C ．2 D B【分析】原式利用积的乘方变形为201820182)2)2)，再利用平方差公式计算，从而得出答案．201820192)2)=201820182)2)2)=))2018222⎡⎤⎣⎦=())201812-2故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．已知226a b ab +=，且a >b >0，则a b a b +-的值为( )AB ．C ．2D ．±2 A【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a +b ）2=8ab ，（a -b ）2=4ab ，可以得出（a +b ）和（a -b ）的值，即可得出答案．解：∵a 2+b 2=6ab ，∴（a +b ）2=8ab ，（a -b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，∴a +b a -b∴a b a b +-= 故选A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．二、填空题11．计算；（1=__________________；（2=_________；（3=_________；（4=__________，（5=__________；（6=____________；（7=__________；（8=__________．（1（2 （3； （4 （5 （6 （7， （8）【分析】=00a b ≥>、），反过来，可=00a b ≥>、）．（1= （2=（3=4（5=（6=（7=；（8=． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根数的除法法则是解题的关键．12=______．44 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．=4==4故答案为：4【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．13．化简；（1）_____________；（2___________()0a >；（3）10111)1)=_____________；45 31．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算，然后利用二次根式性质化简即可；（2）先把被开方式因式分解，利用二次根式性质化简，化简结果也可3（3）利用乘方的逆运算分出一次幂与10次幂即))1110111=，再利用积的乘方逆运将底数用平方差公式化简后再与一次幂因式相乘．解:（1）45==；（23==()0a >；（3）)))101011101)1)111111⎡⎤==⨯=⎣⎦故答案为（1）452）331．【点睛】本题考查二次根式的乘法乘方混合运算，掌握二次根式性质，二次根式乘方与乘法运算法则是解题关键．14y0xy的值为________．=，那么()20201【分析】根据非负数的性质列出方程求出x，y的值，代入所求代数式计算即可．解：由题意得，x0=，y0，解得，x=，y=则xy1=，∴()2020=．xy1故答案为：1.【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，绝对值的非负性，二次根式的乘法运算，有理数乘方的含义，代数式的值，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．15．不等式>____________．x<利用解不等式的方法与步骤求得解集，进一步化简即可．xx＜x＜故答案为：x＜【点睛】本题考查了二次根式的实际运用，掌握解不等式的方法与二次根式的化简是解答本题的关键．16a b=，用含a、b=_________．ab【分析】的形式，即可求解．=ab故答案为ab【点睛】此题考查了二次根式乘法的逆用，熟练掌握二次根式是解题的关键．17．交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v 表示车速=v d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m ），f 表示摩擦系数.在一段限速80km /h 的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得24d m =， 1.3f =，则肇事汽车当时______超速.（填“已经”或“没有”）已经【分析】把d 、f 的值代入公式进行计算即可得解．∵d =24m ，f =1.3，∴v 16×5.59≈89.4km/h ．∵89.4＞80，∴肇事汽车当时已经超速．故答案为已经．【点睛】本题考查了二次根式的应用，把已知数据代入公式进行计算即可，计算时要用计算器．18．==……请你将发现的规律用含自然数n （n ≥1）的等式表示出来__________________．(1)n n =+≥【分析】(2=+(3=+n (n ≥1)(1)n n =+≥=(2=+(3+……，发现的规律用含自然数n (n ≥1)(1)n n =+≥．(1)n n =+≥ 【点睛】 本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．三、解答题19⎛÷ ⎝2a -根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．解：当0a >，0b >时，原式232b b ⎛=⋅- ⎝322⎛=- ⎝2a =- 当0a <，0b <时，原式232b b ⎛=⋅ ⎝⎭ 322⎛= ⎝2a =-∴原式2a =-【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20．计算：（1）（25；（3）)21；（4）)33；（5）（6（1）；（2）1；（3）6+4）4；（5）5；（6）5．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；（2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；（3）利用完全平方公式进行计算；（4）利用平方差公式进行计算；（5）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；（6）根据二次根式的除法运算法则进行计算；解：（1）32⨯=（2555651===-=；（3）)22211516=+=+=+（4）)223331394=-=-=；（5）615==-=；（6235==+=． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除运算法则是解题关键．21【分析】 根据二次根式的乘法与除法法则进行计算即可．3112n m m m =⨯m n=362= 本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，掌握二次根式乘除运算的法则并正确化简二次根式是解题的关键．22．【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行即可．12=12==根据题意知：x 与y 同号== 本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最后二次根式要化成最简二次根式．23．计算（1（2（x ＜2y ＜0） (1) 203;(2)-21xy 试题分析:(1)根据二次根式的乘法和除法法则计算,(2)根据二次根式的性质进行化简.试题解析÷ =203,（2x ＜2y ＜0） =2122y x y x xy -⨯--, =21xy -. 24．阅读下面问题：1；＝1×1× 试求：________； (2)当n________； (3)…的值．(3)9【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；（3）先将所求式子变形，然后计算即可．【小题1】=【小题2】=【小题3】....+11=101=-9=．【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．。

3.2 二次根式的乘除学习目标1.理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算。

2.能熟练地进行二次根式的化简及变形。

知识详解1.二次根式的乘法二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)即两个二次根式相乘，就是把被开方数相乘.2．积的算术平方根积的算术平方根，等于各算术平方根的积．利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3.运用二次根式乘法法则的“四点注意”（1）被开方数：乘法法则中的a,b可以是数，也可以是代数式，但都必须满足a≥0,b ≥0这个条件.（2）二次根式前的“系数”：当二次根式前面的“系数”不为1时，可类比单项式乘以单项式的法则进行运算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为积的被开方数。

（3）运算的结果：二次根式相乘的结果必须化为最简.（4）二次根式法则的推广：多个二次根式相乘时，所有系数之积作为积的系数，所有被开方数之积作为积的被开方数。

4.二次根式的除法二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b>0)即：二次根式相除，只把被开方数相除，结果仍然作为被开方数．5.商的算术平方根：商的算术平方根等于各算术平方根的商．6. 最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．（3）分母中的根号若不能直接约去，先利用除法法则将式子化为商的算术平方根，再把被开方数中的分子、分母都乘以分母，然后化简即可7. 理解二次根式除法法则的四点注意（1）二次根式除法法则中的a,b既可以是数，也可以是代数式.（2）在运算中应注意约分要彻底.（3）若法则中a,b为带分数时，则一定要先化为假分数,再运用法则进行运算.（4）运算过程中，注意符号变化，结果要化成最简二次根式.8. 二次根式化成最简二次根式“四步法”（1）转化：把根号下的带分数或小数化成假分数.（2）分解：被开方式是多项式的要进行分解因式.（3）化简：将被开方式中开得尽方的因数或因式，根据二次根式的性质，用它的算术平方根代替后移到根号外，并化去分母中的根号.（4）约分：约去可以约分的数或因式.【典型例题】例1.这个二次根式可以是（写出满足条件的一个即可）．=2例2. 最简二次根式的条件是（1）；（2）【答案】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【解析】根据最简二次根式的定义可知最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．例=【答案】9【解析】原式=|-9|=9．【误区警示】易错点1：最简二次根式1.当m=时，最简二次根式可以合并．【答案】1 4【解析】由题意，知：3m+1=2-m；解得14 m=易错点2：化简方法2.=【答案】7 11【解析】711原式【综合提升】针对训练1. 下列计算正确的是（）A ．2510a a =（） B ．257a a a +=CD ．2. 下列运算正确的是（ ）A ．326•x x x =B ．2a+3b=5abC ．22a 1a 1+=+（）D 63. (a≥0)的结果是1.【答案】A【解析】A ．2510a a =（）项正确，B ．257a a a +=，C ，D ．错误。

二次根式乘除练习题带答案二次根式乘除练习题带答案二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在学习代数时经常遇到的一个知识点。

在解决实际问题或进行数学推理时，我们经常需要对二次根式进行乘除运算。

为了帮助大家更好地理解和掌握二次根式的乘除运算，下面将给出一些练习题，并附带答案供大家参考。

练习题一：计算下列二次根式的乘积，并将结果化简为最简形式：1. √3 * √52. √6 * √83. √10 * √12答案：1. √3 * √5 = √(3 * 5) = √152. √6 * √8 = √(6 * 8) = √48 = √(16 * 3) = 4√33. √10 * √12 = √(10 * 12) = √120 = √(10 * 12) = √(4 * 3 * 10) = 2√30练习题二：计算下列二次根式的商，并将结果化简为最简形式：1. √20 / √42. √27 / √93. √50 / √10答案：1. √20 / √4 = √(20 / 4) = √52. √27 / √9 = √(27 / 9) = √33. √50 / √10 = √(50 / 10)= √5练习题三：计算下列二次根式的乘积或商，并将结果化简为最简形式：1. (√2 + √3) * (√2 - √3)2. (√5 - √7) * (√5 + √7)3. (√8 + √12) / (√2 + √3)答案：1. (√2 + √3) * (√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -12. (√5 - √7) * (√5 + √7) = (√5)^2 - (√7)^2 = 5 - 7 = -23. (√8 + √12) / (√2 + √3)= (√4 * 2 + √4 * 3) / (√2 + √3) = (2√2 + 2√3) / (√2 + √3) = 2通过以上练习题的解答，我们可以看到二次根式的乘除运算并不复杂。

二次根式的乘除课堂导入计算：（1）4× 25与4× 25；（2）16× 9与16× 9.思考：对于2× 3与2× 3呢？从计算的结果我们发现2× 3＝2× 3，这是什么道理呢？一、知识梳理：1、二次根式的乘法；2、二次根式的除法；3、二次根式乘除的应用、考点分类考点一：二次根式的乘法法则a·b＝ab（a≥ 0，b≥0）【例1】式子x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）成立的条件是（）A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1< x<2x＋1≥ 0，解析：根据题意得解得－1≤ x≤ 2.故选C.2－x≥0，方法总结：运用二次根式的乘法法则：a· b＝ab（a≥0，b≥0），必须注意被开方数均是非负数这一条件．变式训练】等式x 1 x 1 x21 成立的条件是（）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或 x ≤-1解析： 有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用， 计算时注意最后结果要化 为最简形式．(3) 6 27×(－3 3) ＝－ 18 27×3＝－ 18 81＝－ 18×9＝－ 162；34·a2· 18ab·6a b ＝－ 23a · 36×3b 3＝－ 23a ·b63b＝－ 9a b3b.方法总结： 在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时， 必须化成假分数， 如果被开 方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．变式训练】计算： （1） 2 5 ；（2） 3 12；（3）2 xy1考点二：二次根式的乘法的化简积的算术平方根的性质 ： ab ＝ a ·b （a ≥0， b ≥0） 【例 3】 化简：（1） （－ 36）× 16×（－ 9）； （2） 362＋482；（3） x 3＋6x 2y ＋9xy 2.解析： 主要运用公式 ab ＝ a · b （a ≥0，b ≥0）和 a 2＝ a （a ≥ 0）对二次根式进行化简． 解 ： （1） （－ 36）× 16×（－ 9） ＝ 36×16×9＝ 62× 42× 32＝ 62× 42× 32＝1196 2 4239例 2】 (1) 3× 5； 64； (3)6 27×(－ 3 3)；4) 288(5)1) 49 ( 144) ； (6) 46×4×3＝72；（2）362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122× 52＝12×5＝60；（3）x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2· x＝|x＋3y| x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．【变式训练】化简：（1）96x2y3z4（x 0,y 0）；（2）2.25a2b （a 0）；（3）x4x2y2（x>0）；（4）2323考点三：二次根式的乘法应用【例4】小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径（结果保留根号）．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π× 48π＝168π（cm2），所以πr2＝168π，r＝2 42cm（r＝－2 42舍去）．答：这个圆的半径是2 42cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．考点四：二次根式的除法二次根式的除法法则：0,b 0分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如 3 的有理化因式就是 3， 8 的有理化因式可以是8 也可以是 2 ， a b 的有理化因式就是a b .例 5】 计算：解析： 本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算， 若被开方数是分数， 则被开方数 相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．(2)－ 123÷ 554＝－132÷554＝－ 53×554＝－ 18＝－ 3 2；方法总结： 利用二次根式的除法法则进行计算时， 可以用 “ 除以一个不为零的数等于乘 这个数的倒数 ” 进行约分化简． 【变式训练】计算：考点五：二次根式除法的化简解： (1 )0.76 ＝ 0.76＝) 0.19 ＝ 0.19＝(3)(3) 62a ab b；(4) 5÷6a 2b 2abab商的算术平方根的性质：a aa 0,b 0bb例 6】若 2－a a ＝ 2－aa ，则 a 的取值范围是 （A ．a <2B ．a ≤2C ．0≤a <2D ．a ≥0a ≥0，解析： 根据题意得 解得 0≤ a <2.故选 C.2－a > 0，变式训练】1 x 1 x成立的条件是 （ ）．xx解析： 运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．方法总结： 被开方数中的带分数要化为假分数， 被开方数中的分母要化去， 即被开方数不含 分母，从而化为最简二次根式．考点六：最简二次根式1）被开方数不含分母； （ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．例 8】 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．解析： 根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．方法总结： 运用商的算术平方根的性质： 数且分母不等于零这一条件（a >0，b ≥0），必须注意被开方数是非负A ． x < 1 且 x ≠0B ． x >0 且 x ≠ 1C ．0<x ≤1D ．0<x < 1(2) 43a c4b 2(a >0，b > 0，c >0）．例 7】 化简：(3) 25； (4) 0.5；(5) 154.解： (1) 45＝3 5，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(3) 25，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简 二次根式； 因此不是最简二次根式；(5) 145＝ 95＝ 3 5 5，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结： 解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义， 最简二次根式必须满足两个条 件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．变式训练】把下列式子化成最简二次二次根式3) 4y (4) 16ab 2c 3(b 0,c 0)例 9】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期， 其中 T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长 (单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为 0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声， 那么在 1 分钟内， 该座钟大约发出了多少次滴答声( π≈ 3.14)?解析： 由给出的公式代入数据计算即可． 要先求出这个钟摆的周期， 然后利用时间除周 期得到次数．，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式1) 49 121 ( 2) 3005) 24 276) 18 20 75 7) 3243522，被开方数含有小数，其周期计算公式为方法总结： 解决本题的关键是正确运用公式． 用二次根式的除法进行运算， 解这类问题 时要注意代入数据的单位是否统一．变式训练】体积为 18 的长方体的宽为 1cm ，高为 =2 cm ，求这个长方体的长课后作业：2. 已知 x ， y 均为实数，且满足 =（ y -1 ） ，那么 x2013- y2013= _________3. y = 中实数 x 的取值范围是4. 已知 n 是一个正整数， 是整数，则 n 的最小值是 _______________________5. 有理数 m ，n 在数轴上的位置如图所示，那么化简 | m -n |-的结果是 __________6.. 已知长方形的宽是 3 ，它的面积是 18 ，则它的长是 _______________________7. 若 y = －2，则（x +y ）2=解： 滴答声．60T60≈42（次 ），∴在 1 分钟内，该座钟大约发出了 42 次1. 把二次根式 化成最简二次根式，则∵T ＝290..85≈1.42， 9.88.把根号外的因式移到根号内，结果为9.计算：×（a≥0）=10.若=2x-1 ，则x 的取值范围是9）(12)。

二次根式运算专题：八年级下册1. 简介二次根式是数学中的一种基本表达形式，通常表示为√a，其中a是非负实数。

在八年级下册的数学课程中，我们将学习如何进行二次根式的运算，包括加减乘除以及指数幂的运算。

2. 二次根式的加减法2.1 同底数二次根式的加减法同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √a = 2√a√a - √a = 02.2 不同底数二次根式的加减法不同底数二次根式的加减法运算规则如下：√a + √b = √(a + b) （a ≥ b）√a - √b = √(a - b) （a ≥ b）3. 二次根式的乘除法3.1 同底数二次根式的乘除法同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √a = √a^2 = a√a / √a = 13.2 不同底数二次根式的乘除法不同底数二次根式的乘除法运算规则如下：√a * √b = √(a * b)√a / √b = √(a / b)4. 二次根式的指数幂二次根式的指数幂运算规则如下：(√a)^n = √(a^n) （n为正整数）(√a)^(-n) = 1 / (√(a^n)) （n为正整数）5. 综合练习以下是一些八年级下册数学课程中关于二次根式运算的综合练习题：1. 计算：(√2 + √3) * (√2 - √3)2. 计算：√8 / √23. 计算：(√3)^44. 计算：√(16 * 9)6. 总结通过本专题的学习，我们了解了二次根式的加减法、乘除法以及指数幂的运算规则，并通过综合练习题进行了巩固。

希望同学们能够掌握这些运算方法，并在实际问题中灵活运用。

一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．93=±B ．382-=C ．2(7)5=D ．222=2．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4B ．21x +C ．12D ．40.53．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣14．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．下列计算正确的是（ ） A ．325+=B ．2222+=C ．2651-=D ．822-=6．下列运算正确的是 （ ） A ．3223÷= B ．235+= C ．233363⨯=D ．18126-=7．下列各式一定成立的是（ ） A ．2()a b a b +=+ B ．222(1)1a a +=+ C ．22(1)1a a -=- D ．2()ab ab =8．下列运算正确的是（ ） A ．x + 2x =3x B ．32﹣22=1C ．2+5=25D ．a x ﹣b x =（a ﹣b ）x9．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b 的结果是（ ）A ．1B ．b+1C ．2aD ．1﹣2a10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A 3x +B 13x - C 13x +D 3x -二、填空题11．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A()3-12．设a ﹣b=2b ﹣c=2a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．13．已知aa 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．14．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.15．10=，则222516x y +=______.16．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．17．若6x ，小数部分为y ，则(2x y 的值是___.18．下列各式：③4是最简二次根式的是:_____（填序号）19．n 为________． 20．(a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．若x ，y 为实数，且y12．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =14，此时y =12．即可代入求解． 【详解】解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1414x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12． 又∵x y y x ++2－x yy x +-2＝－| ∵x ＝14，y ＝12，∴ x y ＜y x．∴+当x ＝14，y ＝12时，原式＝．【点睛】（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．22．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式2222]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．解：设x222x =++2334x =+，x 2=10 ∴x =10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x两边平方得：x 2=2+2+即x 2=4+4+6， x 2=14∴x =．0，∴x ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．24．先化简，再求值：a+212a a-+，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（3）先化简，再求值：269a a-+a＝﹣2018．【答案】（1）小亮（22a（a＜0）（3）2013.【解析】试题分析：（12a，判断出小亮的计算是错误的；（22a的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.试题解析：（1）小亮（22a（a＜0）（3）原式＝()23a-a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.25．在一个边长为（35cm的正方形的内部挖去一个长为（310）cm，65cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】152【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（352﹣（31065）=（15）﹣（2﹣15152）=（152cm2）．考点：二次根式的应用26．先化简，再求值：2443(1)11m mmm m-+÷----，其中22m=.【答案】22mm-+ 1． 【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m --=221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+ =22m m-+当m ﹣2时，原式===﹣1+=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．27．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2-- 【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可； （2）利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．28．02020((1)π-．【答案】 【分析】本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】原式11=-= 【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的乘法逐项判断即可得． 【详解】A 3=，此项错误；B 2=-，此项错误；C 、27=≠D 2==，此项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的乘法，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键．2．B解析：B 【分析】可以根据最简二次根式的定义进行判断． 【详解】A ，原根式不是最简二次根式；BC 2=，原根式不是最简二次根式；D 、=4== 故选B ． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．3．A解析：A 【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小4．D解析：D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可． 【详解】∴被开方数x+2为非负数， ∴x+2≥0， 解得：x ≥-2. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.5．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：AC、D，正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．A解析：A【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】A、3=，故选项A正确；B B错误；C、18=，故选项C错误；D=D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．7．B解析：B【分析】分别利用二次根式的性质化简求出即可．【详解】解；A2=|a+b|，故此选项错误；B2+1，正确；C，无法化简，故此选项错误；D，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．8．D解析：D【解析】利用二次根式的加减法计算，可知：A、C 、2+5不能合并，此选项错误；D 、a x ﹣b x =（a ﹣b ）x ，此选项正确． 故选：D ．9．A解析：A 【解析】﹣+b=111a a b b a a b b ---+=-+-+= ，故选A.10．D解析：D 【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案. 【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．二、填空题11．(1)、；(2);(3) 【解析】 【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1) 54+11n n n n+=++；(2),,><<;(3),,<<< 【解析】 【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.12．15【解析】根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.故答案为：15. 解析：15【解析】根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=222(2(242++=15.故答案为：15.13．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.14．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a，b，c的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.15．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】 观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．3先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.【详解】因为,所以,因为6－的整数部分为x,小数部分为y,所以x=2,解析：3【分析】先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解.【详解】因为34<,所以263<-<,因为6x ,小数部分为y ,所以x =2, y=4-,所以(2x y =(4416133=-=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 18．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】② ③ 是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解析：②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．19．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。

第02讲二次根式的性质与乘除运算(核心考点讲与练)一．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．二．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．三．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．四．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．一．二次根式的性质与化简（共11小题）1．（2020春•拱墅区期末）＝（）A．﹣4B．±4C．4D．2【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝4，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．2．（2021秋•海口期末）当x＜1时，＝1﹣x．【分析】利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解：∵x＜1，∴＝1﹣x．故答案为：1﹣x．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．3．（2021秋•义乌市月考）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的定义分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；B.＝﹣2，故此选项符合题意；C.＝4，故此选项不合题意；D.＝＝，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的定义，正确化简二次根式是解题关键．4．（2020秋•长春期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简﹣．【分析】直接利用二次根式的性质以及实数与数轴分别化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：1＜b＜2，则b﹣1＞0，a﹣b＜0，故原式＝b﹣1+a﹣b＝a﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．5．（2021•南湖区校级模拟）下列计算正确的是（）A．B．x2+x2＝2x4C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．（﹣2x2）3＝﹣8x6【分析】根据＝|a|判断A选项；根据合并同类项判断B选项；根据完全平方公式判断C选项；根据积的乘方和幂的乘方判断D选项．【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；B选项，原式＝2x2，故该选项不符合题意；C选项，原式＝x2﹣2xy+y2，故该选项不符合题意；D选项，原式＝﹣8x6，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，掌握＝|a|是解题的关键．6．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案．【解答】解：A、原式＝0.3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝﹣3，故C符合题意．D、原式＝﹣5，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题是基础题型．7．（2021秋•余杭区期中）下列计算正确的是（）A．＝±B．＝C．±＝D．±＝±【分析】A：算数平方根的结果不可能出现负值；B：被开方数不能为负；C：正数平方根结果有两个；D：正确．【解答】解：A：原式＝，∴不符合题意；B：原式不成立，∴不符合题意；C：原式＝±，∴不符合题意；D：原式＝±，∴符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、平方根，掌握二次根式的基本性质，平方根与算数平方根的区别是解题关键．8．（2021秋•麦积区期末）计算：＝﹣1．【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜，∴1﹣＜0，∴＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．9．（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．；；；；…根据上面的规律，解决问题：（1）＝＝21；（2）求（用含n的代数式表示）．【分析】（1）观察各个等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和与最右边的结果的关系即可得到结论；（2）利用（1）发现的规律解答即可．【解答】解：∵中，1+2＝3，＝6中，1+2+3＝6，＝10中，1+2+3+4＝10，∴等式中最左边的被开方数中各个幂的底数的和＝右边的结果．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴（1）＝＝21．故答案为：，21；（2）由（1）中发现的规律可得：＝＝1+2+3+•••+n＝．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，本题是规律型题目，发现数字间的变化的规律是解题的关键．10．先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有：．根据上述方法化简：（1）．（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝2+．【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．11．（2021春•永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n，化简：例如：∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．∴＝＝+．请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可．（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（﹣）2然后利用二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，∴＝＝1+；（2）＝＝＝﹣．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．二．最简二次根式（共5小题）12．（2021春•西湖区校级期末）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．13．（2021春•宁阳县期末）二次根式、、、、中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：最简二次根式有，，共2个，故选：B．【点评】本考查了最简二次根式的定义，注意：最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．14．（2021春•建邺区校级期末）我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如+1是型无理数，则是（）A．型无理数B．型无理数C．型无理数D．型无理数【分析】将代数式化简即可判断．【解答】解：（﹣）2＝3﹣2××+6＝9﹣2＝9﹣2×3＝9﹣6，故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键．15．（2021秋•济南期末）将二次根式化为最简二次根式2．【分析】根据二次根式的乘法，可化简二次根式．【解答】解：，故答案为：2．【点评】本题考查了最简二次根式，利用了二次根式的乘法化简二次根式．16．（2021秋•法库县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分别判断得出答案．【解答】解：A、＝，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；B、＝2，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、＝，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．三．二次根式的乘除法（共11小题）17．（2021•宁波模拟）（）3的计算结果是（）A．3B．3C．9D．27【分析】根据二次根式的乘方法则计算，得到答案．【解答】解：（）3＝3，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．18．（2019秋•萧山区月考）计算：（）2×．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×2＝．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．（2021春•江干区期末）下列计算中正确的是（）A．（﹣）2＝﹣3B．＝0.1C．＝1D．3＝【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝＝，故B不符合题意．C、原式＝＝，故C不符合题意．D、原式＝3×＝，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．20．（2021•杭州三模）﹣×＝（）A．5B．25C．﹣5D．﹣25【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算求解．【解答】解：﹣＝﹣5，故选：C．【点评】本题考查二次根式的乘法计算，掌握计算法则准确计算是解题关键．21．（2021春•永嘉县校级期中）若，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞2C．1≤x＜2D．x≥1且x≠2【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，∴x＞2，故选：B．【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题题型．22．（2020秋•耒阳市期末）计算：4×2÷．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝8÷＝8×3＝24．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．23．（2019春•慈溪市期中）计算：（1）（2）【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值；（2）原式利用二次根式的乘除法则计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝8＝8×3＝24；（2）原式＝2××＝．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：①要使二次根式有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；②化简：，则需计算1++，而1++＝＝＝＝＝，所以＝＝＝1+＝1+﹣．（1）根据二次根式的性质，要使＝成立，求a的取值范围；（2）利用①中的提示，请解答：如果b＝++1，求a+b的值；（3）利用②中的结论，计算：+++…+．【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；（3）利用②中的结论求解即可．【解答】解：（1）由题意得，，∴﹣2≤a＜3；（2）由题意得，，∴a＝2，∴b＝++1＝0+0+1＝1，∴a+b＝2+1＝3；（3）原式＝（1+﹣）+（1+﹣）+⋯+（1+﹣）＝1×2020+1﹣＝2020．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简及规律型，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．25．（2016春•抚顺县期中）小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程：＝＝是正确的．你认为他的化简对吗？说说理由．【分析】根据被开方数为非负数可得化简过程是错误的，然后进行二次根式的化简即可．【解答】解：错误，原因是被开方数应该为非负数．＝＝＝＝2．【点评】本题主要考查二次根式的除法法则运用的条件，注意被开方数应该为非负数．26．（2016秋•柯桥区校级月考）你能找出规律吗？（1）计算：×＝6，＝6．×＝20，＝20．（2）请按找到的规律计算：①×；②×．【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案；（2）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．【解答】解：（1）×＝6，＝6.×＝4×5＝20，＝20．故答案为：6，6，20，20；（2）①×＝10；②×＝＝＝4．【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．27．（2014春•巢湖市月考）已知x为奇数，且，求的值．【分析】本题要先根据已知的等式，求出x的取值范围，已知x为奇数，可求出x的值．然后将x 的值代入所求的式子中进行求解即可．【解答】解：∵，∴，解得6≤x＜9；又∵x为奇数，∴x＝7，∴＝+＝+＝8+2．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，根据二次根式成立的条件得出x的取值范围，进而求出x的值是解答本题的关键．四．分母有理化（共9小题）1．（2020秋•会宁县期末）下列各数中与相乘结果为有理数的是（）A．B．C．2D．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：A、（2﹣）×＝2﹣2，不合题意；B、×＝2，符合题意；C、2×＝2，不合题意；D、×＝，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2021春•饶平县校级期中）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，∴a2≠b2，故D选项错误；故选：C．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．3．（2020春•长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵＝，＝＝，；∴＜＜．故选：C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．4．（2021春•永嘉县校级期末）实数的整数部分a＝2，小数部分b＝．【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．【解答】解：＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴＜＜3，即实数的整数部分a＝2，则小数部分为﹣2＝．故答案为：2；．【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．5．（2021•武进区校级自主招生）已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k＝8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k＝8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．6．（2021春•饶平县校级期末）与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵＝，∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．7．（2021春•思明区校级月考）计算：3﹣1+|1﹣|﹣．【分析】按照实数的运算法则、负整数指数幂计算方法、二次根式乘除法则计算即可；【解答】解：（1）原式＝+﹣＝+2﹣2＝．8．（2021春•永嘉县校级期末）【知识链接】（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：＝＝﹣1，＝＝﹣．【知识理解】（1）填空：2的有理化因式是；（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：①＝﹣；②＝3﹣．【启发运用】（3）计算：+++…+．【分析】（1）由2×＝2x，即可找出2的有理化因式；（2）①分式中分子、分母同时×（﹣），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3﹣），即可得出结论；（3）利用分母有理化将原式变形为﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，合并同类项即可得出结论．【解答】解：（1）∵2×＝2x，∴2的有理化因式是．故答案为：．（2）①＝＝﹣；②＝＝3﹣．故答案为：①﹣；②3﹣．（3）原式＝+++…+，＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，＝﹣1．【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由2×＝2x，找出2的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为﹣1+﹣+2﹣+…+﹣．9．（2021春•寻乌县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：．【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．【解答】解：（1）．（2）原式＝＝．【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共11小题）1．（2021•海阳市一模）式子成立的条件是（）A．x＜1且x≠0B．x＞0且x≠1C．0＜x≤1D．0＜x＜1【分析】利用二次根式的除法法则及负数没有平方根求出x的范围即可．【解答】解：根据题意得：，解得：0＜x≤1，故选：C．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2019秋•乐亭县期末）已知a＝，b＝2﹣，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不确定【分析】把a＝的分母有理化即可．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a＝b．故选：B．【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．3．（2020春•长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（）A．B．＜＜C．＜＜D．＜＜【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：∵＝，＝＝，；∴＜＜．故选：C．【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化，然后再比较它们的大小．在分母有理化的过程中，找出分母的有理化因式是解题的关键．4．（2021春•浦江县期末）（）2＝（）A．5B．C．10D．【分析】根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：（）2＝5，故选：A．【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的性质：（）2＝a（a≥0）是解题的关键．5．（2021•上海）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A.＝,不是有理数，不合题意；B.＝,不是有理数，不合题意；C.＝,是有理数，符合题意；D.＝,不是有理数，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．6．（2021春•上城区期末）下列各式中，为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝a，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．7．（2021•黑山县一模）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．＝2，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．＝6，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．8．（2021春•永嘉县校级期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、＝|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；D、，是最简二次根式；故选：D．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．9．（2021•江干区模拟）＝（）A．B．C．3D．5【分析】直接利用二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0），即可得出答案．【解答】解：×＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的乘法法则是解题关键．10．（2021春•长兴县月考）根据二次根式的性质，若＝•，则a的取值范围是（）A．a≤5B．a≥0C．0≤a≤5D．a≥5【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式乘除法法则解答即可．【解答】解：由题意得，a≥0，5﹣a≥0，解得，0≤a≤5，故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则、二次根式有意义的条件是解题的关键．11．（2021•萧山区开学）下列各式中正确的是（）A．＝±6B．＝﹣2C．＝D．（﹣）2＝﹣7【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、＝6，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、＝，正确；D、（﹣）2＝7，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．二．填空题（共14小题）12．（2021秋•通州区期末）化简：＝π﹣3．【分析】二次根式的性质：＝a（a≥0），根据性质可以对上式化简．【解答】解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．13．（2021春•余杭区校级月考）化简的结果是．【分析】利用的化简方法进行化简即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的化简方法，正确运用进行化简是解答问题的关键．14．（2015•江干区一模）在，，，﹣，中，是最简二次根式的是．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．15．（2012春•潍坊期中）将化成最简二次根式的是10．【分析】先将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式，然后开方即可．【解答】解：＝＝×＝10．故答案为：10．【点评】本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的知识，解题的关键是将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式．16．（2021春•长兴县月考）计算：×÷＝12．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解．【解答】解：原式＝＝＝＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键．17．（2021春•爱辉区期末）计算×（a≥0）的结果是4a．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：×（a≥0）＝4a．故答案为：4a．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2019春•虹口区期末）计算：×÷＝3．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：×÷＝15÷＝＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．19．（2021春•饶平县校级期末）与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵＝，∴的关系是相等．【点评】正确理解分母有理化的概念是解决本题的关键．20．（2020•天台县一模）已知a＝，b＝，那么ab＝．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：∵a＝，b＝，∴ab＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了分母有理化，正确掌握二次根式的性质是解题关键．。

第五章二次根式知识网络知识点一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式;注：在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式;知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可;2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义;知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根,也就是说,是一个非负数,即0;注：因为二次根式表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数的算术平方根是非负数,即0,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似;这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0;知识点四：二次根式的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数;注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论;上面的公式也可以反过来应用：若,则,如：,.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值;注：1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即；若a是负数,则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义；3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简;知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中a可以是正实数,0,负实数;但与都是非负数,即,;因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而.知识点七：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算1运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.2注意知道每一步运算的算理；3乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算1对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的；2二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.1加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.例如进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,43+=+=+通过约分达到化简目的；2多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221+-=-=,利用了平方差公式.所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：2a a +-互为有理化因式；一般地a a +--互为有理化因式；一般地+-式.专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题专题解读涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 取何值时,3的值最小最小值是多少分析 00,因为3是常数,3的最小值为3.0，33≥,∴当9x +1=0,即19x =-时,3有最小值,最小值为3.解题策略解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,0a ≥0. 专题2 二次根式的化简及混合运算专题解读对于二次根式的化简问题,可根据定义,也可以利用||a =这一性质,但应用性质时,要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是 分析 根据具体选项,应先进行化简,再计算. A 选项中,==B 选若可化为=,C 选项逆用平方差公式可求得2（=4-5=-1,而D 得22=.故选A.例3 计算2006200721)21)的结果是 分析 本题可逆用公式ab m=a m b m及平方差公式,将原式化为2006[(21)(21)]21)2 1.=故选D.例4 书知2228442142x x y x x x y y x x++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值,但要注意所得x 的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质,得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠解题策略 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例5 223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）.解题策略 本题应根据条件直接进行化简,2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例6 已知实数,a ,b ,c 在数轴上的位置如图21-8所示,化简222||()().a a c c a b -+-解：由a ,b ,c 在数轴上的位置可知：解题策略 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简.规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤：首先,求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点,把数轴划分为若干部分,即把实数集划分为若干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“零点分区间法”.例8 已知3,12,.a ba b ab ba b a+=-=求的值 图21-8分析 这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要注意a ,b 的符号,本题中没明确告诉,a ,b 的符号,但可从a +b =-3,ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3,ab =12,∴a ＜0,b ＜0.解题策略 本题最容易出现的错误就是不考虑a ,b 的符号,把所求的式子化简,直接代入.专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9 的运算结果应在 A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果,原式4==+,由于即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知m 是,n ,求m nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16,即3 43,即m =3,3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题专题4 配方法专题解读 把被开方数配方,a |化简.例11 化简规律·方法一般地,对于a±型的根式,可采用观察法进行配方,即找出x,yx＞y＞0,使得xy=b,x+y=a,则2a±=,于是==,.例12 若a,b为实数,且b15,值.分析本题中根据b15可以求出a,b,对.解：由二次根式的性质得3503350..5305aa aa-⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，当3215.55a b====，时，原式解题策略对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式,当它们作为被开方式进行化简时,要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法专题解读通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13计算解：令x两边同时平方得：∴x2=33专题6 代入法专题解读通过代入求代数式的值.例14 已知22==a b ab2400,5760,.专题7 约分法专题解读通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15 化简例16 化简).≠x y三、思想方法专题专题8 类比思想专题解读类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,若被开方数相同,则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.解：1原式2原式=3+2.解题策略对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想专题解读当问题比较复杂难于解决时,一般应采取转化思想,化繁为简,化难为易,本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y 24x -中,自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易,主要考查函数自变量的取值范围的求法,24x -是二次根式,所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序,若输入x 3,则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易,根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为21x -,3-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想专题解读 当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论.本意在运用公式2||a a =进行化简时,若字母的取值范围不确定,应进行分类讨论.例20 若化简2|1|816x x x ---+25x -,则x 的取值范围是 A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-,由此可知|1|1x x -=-,且|4|4x x -=-,由绝对值的意义可知10x -≥,且40x -≥,所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.解题策略 2a |a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm,5cm 和3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少分析 这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最佳方案.解：沿前、右两个面爬,=cm. 沿前、上两个面爬,=cm. 沿左、上两个面爬,=cm.所以它要爬行的最短路径长为规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.二次根式单元测试题一判断题：每小题1分,共5分1．ab 2)2(-＝－2ab ．………………… 2．3－2的倒数是3＋2． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．… 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．… 5．x 8,31,29x +都不是最简二次根式． 二填空题：每小题2分,共20分 6．当x __________时,式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时,|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2x －1＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：7－522000·－7－522001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0,则x －12＋y ＋32＝____________．15．x ,y 分别为8－11的整数部分和小数部分,则2xy －y 2＝____________． 三选择题：每小题3分,共15分16．已知233x x +＝－x 3+x ,则………………A x ≤0B x ≤－3C x ≥－3D －3≤x ≤017．若x ＜y ＜0,则222y xy x +-＋222y xy x ++＝……………………… A2x B2y C －2x D －2y18．若0＜x ＜1,则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于……………………… A x2 B －x2 C －2x D2x19．化简aa 3-(a ＜0)得……………………………………………………………… A a - B －a C －a - D a20．当a ＜0,b ＜0时,－a ＋2ab －b 可变形为……………………………………… A 2)(b a + B －2)(b a - C 2)(b a -+- D 2)(b a ---四计算题：每小题6分,共24分 21．235+-235--；22．1145-－7114-－732+；23．a 2m n －m ab mn ＋m n n m ÷a 2b 2mn ； 24．a ＋ba abb +-÷b ab a +＋a ab b -－ab b a +a ≠b ．五求值：每小题7分,共14分25．已知x ＝2323-+,y ＝2323+-,求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 26.当x ＝1－2时,求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、 解答题：每小题8分,共16分 27.计算25＋1211+＋321+＋431+＋…＋100991+． 28. 若x ,y 为实数,且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值． 一判断题：每小题1分,共5分 1、提示2)2(-＝|－2|＝2．答案×． 2、提示231-＝4323-+＝－3＋2．答案×．3、提示2)1(-x ＝|x －1|,2)1(-x ＝x －1x ≥1．两式相等,必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．答案×． 4、提示31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．答案√．5、29x +是最简二次根式．答案×． 二填空题：每小题2分,共20分6、提示x 何时有意义x ≥0．分式何时有意义分母不等于零．答案x ≥0且x ≠9．7、答案－2a a ．点评注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、提示a －12-a ________＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．答案a ＋12-a ． 9、提示x 2－2x ＋1＝ 2,x －1．当1＜x ＜4时,x －4,x －1是正数还是负数 x －4是负数,x －1是正数．答案3．10、提示把方程整理成ax ＝b 的形式后,a 、b 分别是多少12-,12+．答案x ＝3＋22．11、提示22d c ＝|cd |＝－cd ．答案ab ＋cd ．点评∵ ab ＝2)(ab ab ＞0,∴ ab －c 2d 2＝cd ab +cd ab -．12、提示27＝28,43＝48．答案＜．点评先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较－281与－481的大小． 13、提示－7－522001＝－7－522000·_________－7－52．7－52·－7－52＝1．答案－7－52．点评注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、答案40．点评1+x ≥0,3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时,x ＋1＝0,y －3＝0． 15、提示∵ 3＜11＜4,∴ _______＜8－11＜__________．4,5．由于8－11介于4与5之间,则其整数部分x ＝小数部分y ＝x ＝4,y ＝4－11答案5．点评求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了． 三选择题：每小题3分,共15分 16、答案D ．点评本题考查积的算术平方根性质成立的条件,A 、C 不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、提示∵ x ＜y ＜0,∴ x －y ＜0,x ＋y ＜0． ∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ． 222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．答案C ．点评本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、提示x －x 12＋4＝x ＋x 12,x ＋x 12－4＝x －x 12．又∵ 0＜x ＜1, ∴ x ＋x 1＞0,x －x1＜0．答案D ．点评本题考查完全平方公式和二次根式的性质．A 不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时,x －x1＜0．19、提示3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．答案C ． 20、提示∵ a ＜0,b ＜0,∴ －a ＞0,－b ＞0．并且－a ＝2)(a -,－b ＝2)(b -,ab ＝))((b a --． 答案C ．点评本题考查逆向运用公式2)(a ＝aa ≥0和完全平方公式．注意A 、B 不正确是因为a ＜0,b ＜0时,a 、b 都没有意义． 四计算题：每小题6分,共24分21、提示将35-看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式． 解原式＝35-2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、提示先分别分母有理化,再合并同类二次根式． 解原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、提示先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式． 解原式＝a 2m n －m ab mn ＋m n n m ·221b a n m＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅ ＝21b－ab 1＋221ba ＝2221b a ab a +-．24、提示本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分． 解原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +． 点评本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐． 五求值：每小题7分,共14分25、提示先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值． 解∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26, y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26． ∴ x ＋y ＝10,x －y ＝46,xy ＝52－262＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 点评本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、提示注意：x 2＋a 2＝222)(a x +, ∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +22a x +－x ,x 2－x 22a x +＝－x 22a x +－x ．解原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x-++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时,原式＝211-＝－1－2．点评本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1． 六、解答题：每小题8分,共16分27、提示先将每个部分分母有理化后,再计算．解原式＝25＋11212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--＝25＋112-＋23-＋34-＋…＋99100- ＝25＋11100- ＝925＋1．点评本题第二个括号内有99个不同分母,不可能通分．这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、提示要使y 有意义,必须满足什么条件].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 解要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时,y ＝21．又∵ xy y x ++2－xy y x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x -＝|xy yx+|－|xy y x-|∵ x ＝41,y ＝21,∴y x ＜x y ． ∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41,y ＝21时,原式＝22141＝2．点评解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y的值．。

16.2 二次根式的乘除知识点解读知识点1：二次根式的乘除法法则1.二次根式的乘法法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a将上面的公式逆向运用可得：)0,0(≥≥•=b a b a ab积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。

2.二次根式的除法法则baba =).0,0(>≥b a 3. 乘除法对比列表记忆要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时,可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则,如=. （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.. 知识点2：分母有理化1.定义：把分母中的根号化去,叫做分母有理化。

2.关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子,化去分母中的根号。

3.最简二次根式（1）被开方数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。

对点例题解析【例题1】（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ） A ．√13 B ．√12C ．√a 3D ．√53【答案】A【解析】A 、√13是最简二次根式,符合题意；B 、√12=2√3,不是最简二次根式,不符合题意；C 、√a 3=|a |√a ,不是最简二次根式,不符合题意；D 、√53=√153,不是最简二次根式,不符合题意． 【点拨】利用最简二次根式定义判断即可．【例题2】（2020•聊城）计算√45÷3√3×√35的结果正确的是（ ） A ．1 B ．53C ．5D ．9【答案】A【解析】原式=3√5÷3√3×√155=3√5×√39×√155=√5×3×1515=1515＝1．【点拨】根据二次根式的性质化简二次根式后,再根据二次根式的乘除法法则计算即可．【例题3】计算32123212++-+-【答案】见解析。

【解析】先通分,找准分子公因数。

原式22)2()31(3213212-+-+-++⨯=26)13(21322-=-=+=达标训练题 一、选择题1．（2020•济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ） A ．√13 B ．√12C ．√a 3D ．√53【答案】A【解析】A 、√13是最简二次根式,符合题意；B 、√12=2√3,不是最简二次根式,不符合题意；C 、√a 3=|a |√a ,不是最简二次根式,不符合题意；D 、√53=√153,不是最简二次根式,不符合题意． 【点拨】利用最简二次根式定义判断即可． 2.（2019•湖北省荆门市）﹣的倒数的平方是（ ）A ．2B ．C ．﹣2D ．﹣【答案】B ．【解析】根据倒数,平方的定义以及二次根式的性质化简即可． ﹣的倒数的平方为：．3.下列等式不一定成立的是（ ） A ．=（b ≠0） B ． a 3•a ﹣5=（a ≠0）C ． a 2﹣4b 2=（a+2b ）（a ﹣2b ） D ． （﹣2a 3）2=4a 6【答案】A【解析】分别利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质和平方差公式以及积的乘方运算法则化简求出即可． A ．=（a ≥0,b ＞0）,故此选项错误,符合题意；B．a3•a﹣5=（a≠0）,正确,不合题意；C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）,正确,不合题意；D．（﹣2a3）2=4a6,正确,不合题意．4.下列二次根式中的最简二次根式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是．A．符合最简二次根式的定义,故本选项正确；B．原式=,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项错误；C．原式=,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项错误；D．被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误。

二次根式的乘法三、学习过程 1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______ （2）16 ×25 =_______ 2516⨯=_______ （3）100 ×36 =_______ 36100⨯=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯ （2）16×25____2516⨯ （3） 100×36__36100⨯ 3、计算（1）9×27 （2）25×32（3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 314、化简：①54 ②2212b a③4925⨯ ④64100⨯【总结】1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

【拓展延伸】1、判断下列各式是否正确并说明理由。

（1）)9()4(-⨯-＝94-⨯-（2）323b a =ab b 3（3）×（）=68)2(6⨯-⨯=4812-（4）161694⨯ =161694⨯⨯＝34⨯＝122、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(1) -332 (2) aa 212-【练习】 1、选择题 （1）等式1112-=-∙+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．A ．45×25=85B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206 （3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）A ．26B ．-26C ．6D ．12 （4）若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ∙∙2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．12、化简： （1）360； （2）432x ；3、计算：（1）3018⨯； （2）7523⨯；（3 （4）68×（-26）；二次根式的除法1、计算： （1）38×（-46） （2）3612ab ab ⨯2、填空： （1（2（33、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：4、计算：（1（25、化简：（1（2【总结】1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。

专题01 二次根式及其乘除运算知识网络重难突破一、二次根式的定义及二次根式有意义的条件1．次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．典例1．（2018春•怀远县期末）在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：在所列式子中一定是二次根式的是，（x≤0）这2个，故选：B．【点睛】理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．典例2．（2018春•莱城区期末）使代数式有意义的x的取值范围是_________．【答案】x且x≠0．【解析】解：代数式有意义：则3x+4＞0且x≠0，解得：x且x≠0．故x的取值范围是：x且x≠0．故答案为：x且x≠0．二. 二次根式的性质与化简二次根式的性质：①2=a（a≥0）；②=| a |=a aa a0⎧⎨-⎩（≥0）（＜）；③；④（a≥0，b＞0）.总结：①由定义可知，二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于0；②二次根式具有双重非负性（即被开方数大于等于0，二次根式的值大于等于0）.典例1.（2017秋•宝丰县期末）把式子m中根号外的m移到根号内得（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：∵0，∴m＜0，则原式，故选：C．【点睛】由0知m＜0，据此知原式，进一步化简可得．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．典例 2 ．（2016秋•成都期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值|b+c|____________．【答案】﹣b【解析】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，∴原式＝|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b＝﹣a﹣c+a﹣b+b+c﹣b＝﹣b，故答案为：﹣b．【点睛】根据数轴得出＜b＜0＜c，|c|＞|a|＞|b|，根据二次根式的性质得出|a|﹣|c﹣a+b|+|b+c|﹣b，去掉绝对值符号后合并即可．本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴的应用，主要考查学生的计算和化简能力．典例3．（2017秋•崇川区期末）若式子的值为2，那么a的取值范围是（）A．a≤4 B．a≥2 C．a＝2或a＝4 D．2≤a≤4【答案】D【解析】解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|由题意可知：|a﹣2|+|a﹣4|＝2，当a＜2时，∴原式＝﹣（a﹣2）﹣（a﹣4）＝﹣a+2﹣a+4＝﹣2a+6，∴﹣2a+6＝2，∴a＝2，不符合条件，舍去，当a＞4时，∴原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝﹣a﹣2﹣a﹣4＝2a﹣6，∴2a﹣6＝2，∴a＝4，不符合条件，舍去，当2≤a≤4时，∴a﹣2≥0，a﹣4≤0，∴原式＝a﹣2﹣（a﹣4）＝2，满足条件，故选：D．【点睛】本题考查二次根式与绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式与绝对值的性质，本题属于基础题型．典例4．（2018春•抚顺期末）观察下列各式：①2，②3；③4，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：_____________；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：______________________；（3）请证明（2）中的结论．【答案】（1）5；（2）（n+1）【解析】解：（1）5；（2）（n+1）；（3）＝（n+1）．故答案为：（1）5；（2）（n+1）．【点睛】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．三. 最简二次根式最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.典例1．（2018春•天津期末）下列二次根式；5；；；；．其中，是最简二次根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】解：，，2∴5、、是最简二次根式，故选：B．【点睛】解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．典例2．（2018春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式:（1）；（2）；（3）.【答案】见解析【解析】解：（1）；（2）4；（3）．【点睛】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．四. 二次根式的乘除积的算术平方根性质：=·.二次根式的乘法法则：·=.商的算术平方根的性质：=.二次根式的除法法则：=.典例1．（2018春•全椒县期末）计算：2．【答案】见解析【解析】解：原式＝（2），．【点睛】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变．五. 分母有理化1．分母有理化是指把分母中的根号化去． 2．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化简成最简二次根式或有理式． 3．分母有理化的2种常见方式：①==；②==（==）.典例1．（2018春•全椒县期末）在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：1．还可以用以下方法化简：1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．分别用上述两种方法化简：．【答案】见解析【解析】解：；或：．【点睛】本题考查的是分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．典例2．（2018春•张家港市期末）已知a，b．（1）求a2﹣b2的值；（2）求的值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵a，b，∴a+b2，a﹣b2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝224；（2）∵a，b，∴ab＝（）×（）＝3﹣2＝1，则原式＝10．【点睛】（1）先计算出a+b、a﹣b的值，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得；（2）先计算ab的值，再代入原式计算可得．解题的关键是掌握分式与二次根式的运算法则及完全平方公式、平方差公式．巩固练习1．（2018春•阆中市期末）下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a 的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．2．（2017秋•遂平县期末）式子有意义的x的取值范围是（）A．x B．x≠﹣1 C．x且x≠﹣1 D．x且x≠﹣1【答案】C【解析】解：由题意得，﹣2x+1≥0且x+1≠0，解得x且x≠﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．（2018秋•南开区期末）若a，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣3【答案】A【解析】解：由题意得，a≤0，a+3≥0，解得，a≤0，a≥﹣3，则a的取值范围是﹣3≤a≤0，故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4．（2016春•文安县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、．故选：C．【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．5．（2018春•岑溪市期末）计算结果为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】解：原式4，故选：B．【点睛】本题主要考查对二次根式的乘除法，二次根式的性质，最简二次根式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算和化简是解此题的关键．6．（2018春•梁子湖区期末）在日常生活中，取款、上网都要密码．为了保密，有人发明了“二次根式法”来产生密码，如对于二次根式，计算结果为13，中间加一个数字0，于是就得到一个六位数的密码“169013”，对于二次根式，用上述方法产生的六位数密码是_________．【答案】025005【解析】解：∵0.5，∴产生的六位数密码是025005．故答案为：025005．【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的意义是解答此题的关键．7．（2018春•静安区期末）化简．【答案】 1【解析】解：1，故答案为：1．【点睛】本题考查了分母有理化，利用二次根式的乘法．8．（2018春•罗平县期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|．【答案】见解析【解析】解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b＝a﹣b．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键．9．（2018春•岱岳区期末）已知x2，y 2（1）求代数式的值；（2）求x2+y2+7的平方根．【答案】见解析【解析】解：（1）=∴原式；（2）原式＝（x+y）2﹣2xy+7∵x2，y 2∴原式＝（22）2﹣2（）（）+7＝（2）2﹣2（5﹣4）+7＝25，∴x2+y2+7的平方根为±5．【点睛】本题考查了分式的化简求值、代数式的变形和平方根及二次根式的混合运算．先约分再代入能使（1）简便，恒等变形后代入求值能使（2）简便．。