已知三角函数值求角

5π 7π ，} o 6 6 40
2.答案为{
1 解析：应用诱导公式得sinX= ，所角X是第一，二象限角， 2 π π α0 = 求得锐角 ，故第一象限的角为 或第二象限 6 6π π 5π 5π 的角 = ，所以所求角的集合为{ ， } 6 6 6 6
π
本讲小结： 本讲小结：
已知角α的一个三角函数值求角α,要结合角所属范围和三角函 数在此区间上的单调性来确定。一般说来，所得的解不是唯一的， 而是有无数多个， 其解法步骤可概括为： （1） 由已知函数值的正、负确定所求角α所在的象限（定象限）； （2） 如函数值为正，若函数值是非特殊值，则用计算器，先求 出对应的锐角 α 0 ；如果函数值为负，则先求出与其绝对值 对应的锐角
o ⋅
反正弦
满足条件sinX= -0.3332 的锐角X =arcsin 0.3332 满足条件sinX= 0.65 的锐角X = arcsin 0.65 满足条件sinX= 0.5 的锐角X = arcsin 0.5 2 2 满足条件sinX= 的锐角X = arcsin 2 2 定义 一般的， 在闭区间[ − π ，π ]上，符合条件 sinX=a（-1 ≤ a
4 符合条件的角有且只有两个：第一象限的角 或 4 π π 3π 3π 第二象限的角π - 即 于是所求角X的集合是{ 4 ， } 4 4 4
π
π
]上
-1
π
π 3π =π − 4 4
π
已知三角函数值求角的步骤可概括为：
（1）定象限；（2）找锐角；（3）写形式
（4）sinX= 2 ， 且X ∈[ 2 0 ， 2π
2
π
4
-1
π
3π 4
π
π
2 2

【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。

方法三：利用数值逼近法求解
总结词
精度高、适用范围广、计算复杂
详细描述
数值逼近法是通过一系列近似计算来逼近真实的角度 值。这种方法精度高，适用范围广，但是由于计算过 程较为复杂，需要较高的计算能力才能实现。
05 已知正切值求角
方法一：利用反正切函数求解
总结词
计算简便，适用于已知正切值求锐角
详细描述
利用反正切函数求解是一种简便的方法。在 实数域内，正切函数的反函数是反正切函数 ，记作arctan(x)。已知一个锐角A的正切值 a，即$tan(A) = a$，那么可以通过反正切 函数求解角A，即$A = arctan(a)$。这个方
法适用于已知正切值求锐角的情况。
方法二：利用几何方法求解
要点一
方法三：利用数值逼近法求解
总结词
近似、计算、迭代方法
VS
详细描述
数值逼近法是一种通过迭代计算逼近精确 解的方法。在已知正弦值求角的问题中， 我们可以使用此方法。首先，我们选择一 个初始角，然后通过迭代计算，不断逼近 满足给定正弦值的角。此方法需要使用计 算机等计算工具进行数值计算。
04 已知余弦值求角
方法一：利用反余弦函数求解
总结词
准确、快捷、适用范围广
详细描述
反余弦函数是已知余弦值求角度的一种有效方法。通过使用 反余弦函数，可以直接求出角度的数值。这种方法计算过程 简单，适用范围广，能够满足大多数情况下的需求。
方法二：利用几何方法求解
总结词
直观、易懂、精度高
详细描述
几何方法是利用三角形的性质，通过已知 的余弦值和边长关系来求解角度。这种方 法不需要复杂的计算，通过简单的几何关 系即可得到结果，并且精度高，适合解决 各种实际问题。

研究问题和目标
研究问题
给定三角函数值，如何快速准确地确定对应的角度？
研究目标
通过研究算法和优化方法，提高已知三角函数值求角的速度和精度
论文组织和结构
主要内容
本文将介绍已知三角函数值求角的多种方法，并对各种方法 的性能进行比较分析
论文结构
本文将分为以下几个部分：引言、文献综述、方法介绍、实 验分析、结论与展望等
记为arctan(x)或tan⁻¹(x)，定义为满 足tan(y) = x的角y的集合。
三角函数和反三角函数的关系
反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别与相应的 三角函数互为逆函数，即
arccos(cos(x))tan(tan(x)) = x
03
02
预备知识
三角函数的定义
正弦函数(sine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值，记为sin(α)。
余弦函数(cosine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值，记为cos(α)。
正切函数(tangent function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，记为tan(α)。
余弦函数
余弦函数定义
cos(θ) = x / r，其中x是点在象限中横坐标的距离。
余弦函数性质
cos(0°) = 1，cos(90°) = 0，cos(180°) = -1，cos(-x) = cos(x)，cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
正切函数
正切函数定义
高求解精度的同时，拓展其应用范围。
建议后续研究者们进一步挖掘该方法的潜力，探索其在物理、