相关与回归分析
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第七章相关与回归分析学习内容一、变量间的相关关系二、一元线性回归三、线性回归方程拟合优度的测定学习目标1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二3. 掌握回归方程的显著性检验4. 利用回归方程进行预测5. 了解可化为线性回归的曲线回归6. 用Excel 进行回归分析一、变量间的相关关系1. 变量间的关系(函数关系)1)是一一对应的确定关系。
2)设有两个变量x和y,变量y 随变量x一起变化,并完全依赖于x,当变量x 取某个数值时,y依确定的关系取相应的值,则称y 是x的函数,记为y = f (x),其中x 称为自变量,y 称为因变量。
3)各观测点落在一条线上。
4)函数关系的例子–某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。
–圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2。
–企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表示为y =x1 x2 x3。
单选题下面的函数关系是()A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系B、圆周的长度决定于它的半径C、家庭的收入和消费的关系D、数学成绩与统计学成绩的关系2. 变量间的关系(相关关系)1)变量间关系不能用函数关系精确表达。
2)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。
3)当变量 x 取某个值时,变量 y 的取值可能有几个。
4)各观测点分布在直线周围。
5)相关关系的例子–商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。
–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。
–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。
–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。
–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。
3. 相关图表1)相关表:将具有相关关系的原始数据,按某一顺序平行排列在一张表上,以观察它们之间的相互关系。
2)相关图:也称为分布图或散点图,它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用点描绘出来,通常以直角坐标轴的横轴代表自变量x,纵轴代表因变量y。
相关分析与回归分析的区别和联系
一、回归分析和相关分析主要区别是:
1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,而在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的;
2、相关分析中,x与y都是随机变量,而在回归分析中,y是随机变量,x 可以是随机变量,也可以是非随机的,通常在回归模型中,总是假定x是非随机的;
3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小,还可以由回归方程进行数量上的预测和控制.
二、回归分析与相关分析的联系:
1、回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
2、在专业上研究上:
有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题,需进行直线相关分析和回归分析。
3、从研究的目的来说:
若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向,宜选用线性相关分析;若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程,宜选用直线回归分析.
三、扩展资料:
1、相关分析是研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析方法。
例如,人的身高和体重之间;空气中的相对湿度与降雨量之间的相关关系都是相关分析研究的问题。
2、回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少,分为一元回归和多元回归分析;按照因变量的多少,可分为简单回归分析和多重回归分析;按照自变量和因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析和非线性回归分析。
回归分析与相关分析回归分析是通过建立一个数学模型来研究自变量对因变量的影响程度。
回归分析的基本思想是假设自变量和因变量之间存在一种函数关系,通过拟合数据来确定函数的参数。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系,非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系。
回归分析可用于预测、解释和控制因变量。
回归分析的应用非常广泛。
例如,在经济学中,回归分析可以用于研究收入与消费之间的关系;在医学研究中,回归分析可以用于研究生活方式与健康之间的关系。
回归分析的步骤包括确定自变量和因变量、选择合适的回归模型、拟合数据、检验模型的显著性和解释模型。
相关分析是一种用来衡量变量之间相关性的方法。
相关分析通过计算相关系数来度量变量之间的关系的强度和方向。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于连续变量,Spearman相关系数适用于顺序变量,判定系数用于解释变量之间的关系。
相关分析通常用于确定两个变量之间是否相关,以及它们之间的相关性强度和方向。
相关分析的应用也非常广泛。
例如,在市场研究中,相关分析可以用于研究产品价格与销量之间的关系;在心理学研究中,相关分析可以用于研究学习成绩与学习时间之间的关系。
相关分析的步骤包括确定变量、计算相关系数、检验相关系数的显著性和解释相关系数。
回归分析与相关分析的主要区别在于它们研究的对象不同。
回归分析研究自变量与因变量之间的关系,关注的是因变量的预测和解释;相关分析研究变量之间的关系,关注的是变量之间的相关性。
此外,回归分析通常是为了解释因变量的变化,而相关分析通常是为了量化变量之间的相关性。
综上所述,回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
回归分析用于确定自变量与因变量之间的关系,相关分析用于测量变量之间的相关性。
回归分析和相关分析在实践中有广泛的应用,并且它们的步骤和原理较为相似。
第七章 相关与回归分析一、本章学习要点(一)相关分析就是研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定函数来表达现象相互关系的方法。
现象之间的相互关系可以分为两种,一种是函数关系,一种是相关关系。
函数关系是一种完全确定性的依存关系,相关关系是一种不完全确定的依存关系。
相关关系是相关分析的研究对象,而函数关系则是相关分析的工具。
相关按其程度不同,可分为完全相关、不完全相关和不相关。
其中不完全相关关系是相关分析的主要对象;相关按方向不同,可分为正相关和负相关;相关按其形式不同,可分为线性相关和非线性相关;相关按影响因素多少不同,可分为单相关和复相关。
(二)判断现象之间是否存在相关关系及其程度,可以根据对客观现象的定性认识作出,也可以通过编制相关表、绘制相关图的方式来作出,而最精确的方式是计算相关系数。
相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。
相关系数用符号“γ”表示,其特点表现在:参与相关分析的两个变量是对等的,不分自变量和因变量,因此相关系数只有一个;相关系数有正负号反映相关系数的方向,正号反映正相关,负号反映负相关;计算相关系数的两个变量都是随机变量。
相关系数的取值区间是[-1,+1],不同取值有不同的含义。
当1||=γ时,x 与y 的变量为完全相关,即函数关系;当1||0<<γ时,表示x 与y 存在一定的线性相关,||γ的数值越大,越接近于1,表示相关程度越高;反之,越接近于0,相关程度越低,通常判别标准是:3.0||<γ称为微弱相关,5.0||3.0<<γ称为低度相关,8.0||5.0<<γ称为显著相关,1||8.0<<γ称为高度相关;当0||=γ时,表示y 的变化与x 无关,即不相关;当0>γ时,表示x 与y 为线性正相关,当0<γ时,表示x 与y 为线性负相关。
皮尔逊积距相关系数计算的基本公式是: ∑∑∑∑∑∑∑---==])(][)([22222y y n x x n y x xy n y x xy σσσγ 斯皮尔曼等级相关系数和肯特尔等级相关系数是测量两个等级变量(定序测度)之间相关密切程度的常用指标。
相关分析和回归分析相关分析和回归分析是统计学中最基础的两种分析方法,它们都用于研究数据变量之间的关系。
因为它们都是研究两个变量之间关系的,所以它们常常会被混淆起来,但它们其实在原理上是不同的,有不同的应用场景。
一、相关分析相关分析是一种简单的统计分析,用来检验不同变量之间是否存在相互关系。
它可以通过计算出变量之间的相关系数,来判断变量之间是线性关系还是非线性关系。
另外,它还可以度量两个变量的线性关系的相关程度,用来度量不同变量之间的关系强度。
相关分析的应用非常广泛,它可以帮助研究者了解数据之间的关系,也可以用来预测数据的变化趋势。
比如,可以用相关分析来研究一个地区的薪水水平和就业水平之间的关系,用来预测未来就业水平和薪资水平会有怎样的变化趋势。
二、回归分析回归分析是一种统计分析,用以研究两个变量之间的数量关系,并建立起变量之间的数量模型。
它用于预测和分析数据,从而探索数据之间的关系。
比如,从客户收入、购买频率等多个因素来建立一个回归模型,从而预测客户的未来购买意愿。
回归分析也是一种非常有用的统计方法,它可以用来研究数据之间的关系,并预测数据未来的变化趋势。
另外,它还可以用来预测特定变量的值,比如预测未来股市的涨跌情况。
总结以上就是相关分析和回归分析的基本内容介绍。
相关分析用于研究数据变量之间的关系,可以帮助研究者了解数据之间的关系,并预测数据的变化趋势;而回归分析是一种统计分析,用以研究两个变量之间的数量关系,可以用来预测特定变量的值,也可以研究数据之间的关系,并预测数据未来的变化趋势。
相关分析和回归分析可以说是统计学中最基础的两种分析方法,它们都具有重要的应用价值,广泛用于各种数据分析工作。
第十二章 相关与回归分析第一节 变量之间的相关关系相关程度与方向·因果关系与对称关系 第二节 定类变量的相关双变量交互分类(列联表)·削减误差比例(PRE )·λ系数与τ系数 第三节 定序变量的相关分析同序对、异序对和同分对·Gamma 系数·肯德尔等级相关系数(τa系数、τb 与τc 系数)·萨默斯系数(d 系数)·斯皮尔曼等级相关(ρ相关)·肯德尔和谐系数第四节 定距变量的相关分析相关表和相关图·积差系数的导出和计算·积差系数的性质 第五节 回归分析线性回归·积差系数的PRE 性质·相关指数R第六节 曲线相关与回归可线性化的非线性函数·实例分析(二次曲线指数曲线)一、填空1.对于表现为因果关系的相关关系来说,自变量一般都是确定性变量,因变量则一般是( )变量。
2.变量间的相关程度,可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的全部误差E 1,减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的联系误差E 2,再将其化为比例来度量,这就是( )。
3.依据数理统计原理,在样本容量较大的情况下,可以作出以下两个假定:(1)实际观察值Y 围绕每个估计值c Y 是服从( );(2)分布中围绕每个可能的c Y 值的( )是相同的。
4.在数量上表现为现象依存关系的两个变量,通常称为自变量和因变量。
自变量是作为( )的变量,因变量是随( )的变化而发生相应变化的变量。
5.根据资料,分析现象之间是否存在相关关系,其表现形式或类型如何,并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定,即建立一个相关的数学表达式,称为( ),并据以进行估计和预测。
这种分析方法,通常又称为( )。
6.积差系数r 是( )与X 和Y 的标准差的乘积之比。
二、单项选择1.当x 按一定数额增加时,y 也近似地按一定数额随之增加,那么可以说x 与y 之间 存在( )关系。
A 直线正相关B 直线负相关C 曲线正相关D 曲线负相关2.评价直线相关关系的密切程度,当r在0.5~0.8之间时,表示()。
A 无相关B 低度相关C 中等相关D 高度相关3.相关分析和回归分析相辅相成,又各有特点,下面正确的描述有()。
A在相关分析中,相关的两变量都不是随机的;B在回归分析中,自变量是随机的,因变量不是随机的;C在回归分析中,因变量和自变量都是随机的;D在相关分析中,相关的两变量都是随机的。
4.关于相关系数,下面不正确的描述是()。
≤r1时,表示两变量不完全相关;A当0≤B当r=0时,表示两变量间无相关;C两变量之间的相关关系是单相关;D如果自变量增长引起因变量的相应增长,就形成正相关关系。
5.欲以图形显示两变量X和Y的关系,最好创建()。
A 直方图B 圆形图C 柱形图D 散点图6.两变量X和Y的相关系数为0.8,则其回归直线的判定系数为()。
A 0.50B 0.80C 0.64D 0.907.在完成了构造与评价一个回归模型后,我们可以()。
A 估计未来所需样本的容量B 计算相关系数和判定系数C 以给定的因变量的值估计自变量的值D 以给定的自变量的值估计因变量的值8.两变量的线性相关系数为0,表明两变量之间()。
A 完全相关B 无关系C 不完全相关D 不存在线性相关9.身高和体重之间的关系是()。
A 函数关系B 无关系C 共变关系D 严格的依存关系10.在相关分析中,对两个变量的要求是()。
A 都是随机变量B 都不是随机变量C 其中一个是随机变量,一个是常数D 都是常数11.在回归分析中,两个变量()。
A 都是随机变量B 都不是随机变量C 自变量是随机变量D 因变量是随机变量12.一元线性回归模型和多元线性回归模型的区别在于只有一个()。
A 因变量B 自变量C 相关系数D 判定系数13.以下指标恒为正的是()。
A 相关系数rB 截距aC 斜率bD 复相关系数14.下列关系中,属于正相关关系得是()。
A 身高与体重B 产品与单位成本C 正常商品的价格和需求量D 商品的零售额和流通费率三、多项选择1.关于积差系数,下面正确的说法是()。
A 积差系数是线性相关系数B 积差系数具有PRE性质C 在积差系数的计算公式中,变量X和Y是对等关系D 在积差系数的计算公式中,变量X和Y都是随机的2.关于皮尔逊相关系数,下面正确的说法是()。
A 皮尔逊相关系数是线性相关系数B 积差系数能够解释两变量间的因果关系C r公式中的两个变量都是随机的D r的取值在1和0之间E 皮尔逊相关系数具有PRE性质,但这要通过r2加以反映3.简单线性回归分析的特点是()。
A 两个变量之间不是对等关系B 回归系数有正负号C 两个变量都是随机的D 利用一个回归方程,两个变量可以互相推算E 有可能求出两个回归方程4.反映某一线性回归方程y=a+bx好坏的指标有()。
A 相关系数B 判定系数C b的大小D 估计标准误E a的大小5.模拟回归方程进行分析适用于()。
A 变量之间存在一定程度的相关系数B 不存在任何关系的几个变量之间C 变量之间存在线性相关D 变量之间存在曲线相关E 时间序列变量和时间之间6.判定系数r2=80%和含义如下()。
A 自变量和因变量之间的相关关系的密切程度B 因变量y的总变化中有80%可以由回归直线来解释和说明C 总偏差中有80%可以由回归偏差来解释D 相关系数一定为0.64E 判定系数和相关系数无关7.回归分析和相关分析的关系是()。
A 回归分析可用于估计和预测B 相关分析是研究变量之间的相互依存关系的密切程度C 回归分析中自变量和因变量可以互相推导并进行预测D 相关分析需区分自变量和因变量E 相关分析是回归分析的基础8.以下指标恒为正的是()。
A 相关系数B 判定系数C 复相关系数D 偏相关系数E 回归方程的斜率9.一元线性回归分析中的回归系数b可以表示为()。
A 两个变量之间相关关系的密切程度B 两个变量之间相关关系的方向C 当自变量增减一个单位时,因变量平均增减的量D 当因变量增减一个单位时,自变量平均增减的量E 回归模型的拟合优度10.关于回归系数b,下面正确的说法是()。
A b也可以反映X和Y之间的关系强度。
;B回归系数不解释两变量间的因果关系;C b公式中的两个变量都是随机的;D b的取值在1和-1之间;E b也有正负之分。
四、名词解释1.消减误差比例2.确定性关系3.非确定性关系4.因果关系5.单相关和复相关6.正相关与负相关7.散点图8.皮尔逊相关系数r9.同序对10.异序对11.同分对五、判断题1.由于削减误差比例的概念不涉及变量的测量层次,因此它的优点很明显,用它来定义相关程度可适用于变量的各测量层次。
()2.不管相关关系表现形式如何,当r=1时,变量X和变量Y都是完全相关。
()3.不管相关关系表现形式如何,当r=0时,变量X和变量Y都是完全不相关。
()4.通过列联表研究定类变量之间的关联性,这实际上是通过相对频数条件分布的比较进行的。
而如果两变量间是相关的话,必然存在着Y的相对频数条件分布相同,且和它的相对频数边际分布相同。
()5.如果众数频数集中在条件频数分布列联表的同一行中, 系数便会等于0,从而无法显示两变量之间的相关性。
()6.从分析层次上讲,相关分析更深刻一些。
因为相关分析具有推理的性质,而回归分析从本质上讲只是对客观事物的一种描述,知其然而不知其所以然。
()六、计算题1.对某市市民按老中青进行喜欢民族音乐情况的调查,样本容量为200人,调查结果示于下表,试把该频数列联表:①转化为相对频数的联合分布列联表②转化为相对频数的条件分布列联表;③指出对于民族音乐的态度与被调查者的年岁有无关系,并说明理由。
2.已知十名学生身高和体重资料如下表,(1)根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数;(2)根据下述资料求出两变量之间的回归方程(设身高为自变量,体重为因变量)。
3.某市有12所大专院校,现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价,结果如下,试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。
4.以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果,请计算婚姻美满与文化程度之Gamma5.以下为两位评判员对10名参赛人名次的打分。
试用斯皮尔曼等级相关系数来描述两评判员打分的接近程度。
6.某原始资料为:要求:(1)求回归方程;(2)这是正相关还是负相关;(3)求估计标准误差;(4)用积差法求相关系数。
7.根据下述假设资料求回归方程。
2)在95.46%把握下,当X=45时,写出Y的预测区间。
910.下面是对50名被调查者的英语成绩和法语成绩的抽样调查:求Gamma系数。
11.青年歌手大奖赛评委会对10名决赛选手的演唱水平(X)和综合素质(Y)进行打分,评价结果如下表(表中已先将选手按演唱水平作了次序排列)所示,试计算选手的演唱水平和综合素质间的斯皮尔曼等级相关系数。
(10分)七、问答题1.简述积差系数的特性。
2.简述回归分析和相关分析之间的密切联系。
参考答案一、填空1.随机性 2.削减误差比例 3. 4.变化根据 自变量 5. 回归方程 回归分析 6. 协方差二、单项选择1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.C 10.A 11.D 12.B 13.D 14. A三、多项选择1.ABCD 2.ACE 3.ABE 4.ABD 5.ACDE 6.ABC 7.ABE 8.BC 9.BC 10.AE四、名词解释1.消减误差比例变量间的相关程度,可以用不知Y 与X 有关系时预测Y 的误差0E ,减去知道Y 与X 有关系时预测Y 的误差1E ,再将其化为比例来度量。
将削减误差比例记为PRE 。
2. 确定性关系当一个变量值确定后,另一个变量值夜完全确定了。
确定性关系往往表现成函数形式。
3.非确定性关系在非确定性关系中,给定了一个变量值,另一个变量值还可以在一定范围内变化。
4.因果关系变量之间的关系满足三个条件,才能断定是因果关系。
1)连个变量有共变关系,即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化;2)两个变量之间的关系不是由其他因素形成的,即因变量的变化是由自变量的变化引起的;3)两个变量的产生和变化有明确的时间顺序,即一个在前,另一个在后,前者称为自变量,后者称为因变量。
5.单相关和复相关单相关只涉及到两个变量,所以又称为二元相关。
三个或三个以上的变量之间的相关关系则称为复相关,又称多元相关。
6.正相关与负相关正相关与负相关:正相关是指一个变量的值增加时,另一变量的值也增加;负相关是指一个变量的值增加时,另一变量的值却减少。
7.散点图 散点图:将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来,以直观地观察X 与Y 的相互关系,即得相关图,又称散点图。