《地图投影的变形》
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地图投影基础知识知识讲解
地图投影
一、地图投影的基本问题 二、常见地图投影 三、地图投影的选择与辨认
一、地图投影的基本问题
1 地图投影的概念
地图投影就是在球面与平面之间建立其 经纬度与直角坐标函数关系的数学方法
2 地图投影的变形 3 地图投影的分类 4 地图投影的命名 5 GIS中地图投影的选择与判别
1 地图投影的概念
• 数学上的投影 面1
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
横轴圆柱投影
x y
高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
高斯投影特征： 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 投影后无角度变形，即保角投影 中央经线无长度变形 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； 为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
长度变形、面积变形、角度变形
地图投影变形的图解示例 （摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
地图投影——地图投影的变形
地图投影的变形示意
3 地图投影的分类
按承影面的形状分为：方位投影（平面 投影）、圆锥投影Байду номын сангаас园柱投影
空间斜轴墨卡托(SOM)投影
• 该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描 图像的需要设计的一种近似等角性质的 投影。
一、地图投影的基本问题 二、常见地图投影 三、地图投影的选择与辨认
一、地图投影的基本问题
1 地图投影的概念
地图投影就是在球面与平面之间建立其 经纬度与直角坐标函数关系的数学方法
2 地图投影的变形 3 地图投影的分类 4 地图投影的命名 5 GIS中地图投影的选择与判别
1 地图投影的概念
• 数学上的投影 面1
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
横轴圆柱投影
x y
高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
高斯投影特征： 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 投影后无角度变形，即保角投影 中央经线无长度变形 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； 为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
长度变形、面积变形、角度变形
地图投影变形的图解示例 （摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
地图投影——地图投影的变形
地图投影的变形示意
3 地图投影的分类
按承影面的形状分为：方位投影（平面 投影）、圆锥投影Байду номын сангаас园柱投影
空间斜轴墨卡托(SOM)投影
• 该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描 图像的需要设计的一种近似等角性质的 投影。
(完整)2.2地图投影的变形
高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。
比较
二、主方向和变形椭圆
1、主方向
主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。
性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
b’
a o
c a’ Io\′
c’dBiblioteka d’2、变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响， 把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆， 通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这 种图解方法就叫变形椭圆。
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
四、面积比和面积变形 1、面积比
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相应 的微小面积dF之比。
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
面积比是变量，随位置的不同而变化。
2、面积变形
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相 应的微小面积dF之差值同这微分面积dF之比 。
地图投影变形的分布规律
任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点(或线)愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。
X ' m 为经线长度比； Y ' n
X
Y
X'm
X
Y'n Y
为纬线长度比
VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
五、角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相 应的两方向线的夹角之差，称为角度变形。
比较
二、主方向和变形椭圆
1、主方向
主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。
性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
b’
a o
c a’ Io\′
c’dBiblioteka d’2、变形椭圆取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响， 把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆， 通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这 种图解方法就叫变形椭圆。
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
四、面积比和面积变形 1、面积比
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相应 的微小面积dF之比。
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
面积比是变量，随位置的不同而变化。
2、面积变形
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相 应的微小面积dF之差值同这微分面积dF之比 。
地图投影变形的分布规律
任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点(或线)愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。
X ' m 为经线长度比； Y ' n
X
Y
X'm
X
Y'n Y
为纬线长度比
VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
五、角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相 应的两方向线的夹角之差，称为角度变形。
结合正轴方位投影,正轴圆锥投影和正轴圆柱投影的投影变形规律
结合正轴方位投影,正轴圆锥投影和正轴圆柱
投影的投影变形规律
投影变形规律是指在正轴方位投影、正轴圆锥投影和正轴圆柱投
影中，对象在投影过程中所产生的形状和尺寸的变化规律。
这三种投
影方法都是常见的地图制图投影方式，它们在保持地球表面特征的同时，将地球三维空间投影到二维平面上。
在正轴方位投影中，地球表面的形状在投影过程中基本保持不变，但尺寸存在变形。
距离地心越远的区域，其投影尺寸越小，而靠近地
心的区域其投影尺寸则越大。
在正轴圆锥投影中，地球表面被切割成锥形，然后在投影过程中
展开到一个平面上。
由于单个圆锥无法包含整个地球表面，使得南北
极附近的地区发生大幅度变形。
距离锥顶越远的地区，其投影尺寸越大，而靠近锥顶的地区则投影尺寸越小。
在正轴圆柱投影中，地球表面被展开成一个圆柱体，然后再将圆
柱体展开到一个平面上。
地球的纬度线和经度线在投影过程中形成平
行线和垂直线。
由于圆柱体不能完全包容整个地球表面，使得地球的
南北极地区有较大的变形，而赤道地区的变形相对较小。
综合来看，正轴圆锥投影在赤道地区变形最小，但在极地附近变
形较大。
正轴圆柱投影在赤道地区变形较小，但极地附近也存在变形。
而正轴方位投影对于小范围地图制作效果较好，但对于大范围地区存
在较大的投影变形。
因此，在选择投影方式时需要根据实际需求及地
图范围进行合理选择，以尽可能减小地图变形的影响。
地图投影分类与变换.
地图投影分类与变换1.地图投影的分类投影的种类很多，分类方法不尽相同，通常采用的分类方法有两种：一是按变形的性质进行分类：二是按承影面不同（或正轴投影的经纬网形状）进行分类。
（1）按变形性质分类按地图投影的变形性质地图投影一般分为：等角投影、等（面）积投影和任意投影三种。
等角投影：没有角度变形的投影叫等角投影。
等角投影地图上两微分线段的夹角与地面上的相应两线段的夹角相等，能保持无限小图形的相似，但面积变化很大。
要求角度正确的投影常采用此类投影。
这类投影又叫正形投影。
等积投影：是一种保持面积大小不变的投影，这种投影使梯形的经纬线网变成正方形、矩形、四边形等形状，虽然角度和形状变形较大，但都保持投影面积与实地相等，在该类型投影上便于进行面积的比较和量算。
因此自然地图和经济地图常用此类投影。
任意投影：是指长度、面积和角度都存在变形的投影，但角度变形小于等积投影，面积变形小于等角投影。
要求面积、角度变形都较小的地图，常采用任意投影。
（2）按承影面不同分类按承影面不同，地图投影分为圆柱投影、圆锥投影和方位投影等（图1）。
图1 方位投影、圆锥投影和圆柱投影示意图①圆柱投影它是以圆柱作为投影面，将经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面切开展成平面。
根据圆柱轴与地轴的位置关系，可分为正轴、横轴和斜轴三种不同的圆柱投影，圆柱面与地球椭球体面可以相切，也可以相割（图2a）。
其中，广泛使用的是正轴、横轴切或割圆柱投影。
正轴圆柱投影中，经线表现为等间隔的平行直线（与经差相应），纬线为垂直于经线的另一组平行直线（图2b）。
图2 圆柱投影的类型及其投影图形②圆锥投影它以圆锥面作为投影面，将圆锥面与地球相切或相割，将其经纬线投影到圆锥面上，然后把圆锥面展开成平面而成。
这时圆锥面又有正位、横位及斜位几种不同位置的区别，制图中广泛采用正轴圆锥投影（图3）。
在正轴圆锥投影中，纬线为同心圆圆弧，经线为相交于一点的直线束，经线间的夹角与经差成正比。
地图投影的基本原理(1)
2〕一组变形椭圆能揭示全制图区域变形规律
地图投影基本理论
地图投影基本理论
地图投影基本理论
四、地图投影变形计算
法截面：通过法线的平面所截成的截面. 主法截面：相互垂直的法截面.
地图投影基本理论
对椭球来说,要研究以下的两个主法截面,一个曲率半径 具有最大值,而另一个曲率半径具有最小值
M
a(1 e2)
以字母N表示：
地图投影基本理论
r
纬圈的半径,一般用r表示,即
rNcosB
acosB
1
(1e2sin2B)2
地图投影基本理论
d
s
α
m
ds
d sn
x
x' dy C'
D'
dx
ds'
dsm' Ψ
B'
dsn'
A'
O
y
为建立由曲面到平面的表象,先要建立地球表面上的各元 素,如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式,以便 于利用这些关系式导出地图投影的基本公式.
第3章 地图投影的基本原理
内容提要
地图投影基本概念 地图投影基本理论
地图投影基本概念
地球：人类生活的环境,科学研究的基础
地图投影基本概念
地球仪 近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的模拟地球的椭
球体 各点的几何关系的保持-距离、方位、各种特性曲
线及面积保持不变 难于制作,成本高,不便于量测及携带保管.
局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外, 其他部分的比例尺称为局部比例尺.
地图投影基本理论
三、主方向和变形椭圆
1.变形椭圆 取地面上一个微分圆〔小到可忽略地球曲面的影响,把
地图投影基本理论
地图投影基本理论
地图投影基本理论
四、地图投影变形计算
法截面：通过法线的平面所截成的截面. 主法截面：相互垂直的法截面.
地图投影基本理论
对椭球来说,要研究以下的两个主法截面,一个曲率半径 具有最大值,而另一个曲率半径具有最小值
M
a(1 e2)
以字母N表示：
地图投影基本理论
r
纬圈的半径,一般用r表示,即
rNcosB
acosB
1
(1e2sin2B)2
地图投影基本理论
d
s
α
m
ds
d sn
x
x' dy C'
D'
dx
ds'
dsm' Ψ
B'
dsn'
A'
O
y
为建立由曲面到平面的表象,先要建立地球表面上的各元 素,如线段、面积、角度与它们在平面上的对应关系式,以便 于利用这些关系式导出地图投影的基本公式.
第3章 地图投影的基本原理
内容提要
地图投影基本概念 地图投影基本理论
地图投影基本概念
地球：人类生活的环境,科学研究的基础
地图投影基本概念
地球仪 近似以椭圆短轴为旋转轴旋转而成的模拟地球的椭
球体 各点的几何关系的保持-距离、方位、各种特性曲
线及面积保持不变 难于制作,成本高,不便于量测及携带保管.
局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外, 其他部分的比例尺称为局部比例尺.
地图投影基本理论
三、主方向和变形椭圆
1.变形椭圆 取地面上一个微分圆〔小到可忽略地球曲面的影响,把
高斯—克吕格投影资料讲解
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线 网按照一定的数学法则转移到平面上。
地图投影变形
把地图上和地 球仪上的经纬 线网进行比较， 可以发现变形 表现在长度、 面积和角度三 个方面。
地图投影——地图投影的变形
这种变形使得地理要素的几何特性受到破坏： 长度变形：地球仪上，纬线长度不等；同一纬线 上，经差相同，纬线长度相同；同一经线上，纬差 相同而经线长度不同；所有经线长度相等。 面积变形：地球仪上，同一纬度带内，经差相同 的网格面积相等；同一经度带内，纬度越高，面积 越小。 角度变形：地球仪上，经线与纬线处处呈直角相 交。
•方位投影 •圆柱投影 •圆锥投影
几何投影的分类
⑴方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
⑵圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。
⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面 展为平面而成。
经投影后地图上所产生的长度变形、角度变形和面 积变形是相互联系相互影响的：等积与等角互斥；任 意投影不能保持等角和等积特性；等积投影角度变形 大，等角投影面积变形较大。
地图投影——地图投影的分类
按构成方法分类：几何投影和非几何投影
1. 几何投影：是把椭球面上的经纬线网投影到几何 面上，然后将几何面展为平面而得到的。分为:
（3）伪圆锥投影 纬线为同心圆弧，中央经线为直线，其余经线
均为对称于中央经线的曲线。
（4）多圆锥投影 纬线为同轴圆弧，其圆心均位于中央经线上，
中央经线为直线，其余的经线均为对称于中央经线的曲线。
《地图投影与变换》考试题(含答案)
《地图投影与变换》考试题（含答案）一．单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在题干前面的括号内。
答案选错或未选者，该题不得分。
每小题1分，共15分）（A）1．在球心投影中A．大圆投影为直线B．经线投影为圆C．小圆投影为圆D．等高圈投影为直线（B）2．在墨卡托投影中，满足A．n=1B．等角性质C．m=1D．经线为椭圆经线（A）3．在彭纳投影中，满足A．极点投影为点B．等距离C．经线为直线D．纬线投影为同心圆（B）4．在等面积圆柱投影中A．极点投影为圆弧B．经线投影为直线C．等角航行投影为直线D．纬线投影为圆（C）5．高斯-克吕格投影用于地图投影。
A．世界地图B．沿纬线延伸区域C．1:5千至1:50万地形图系列D．亚洲地图（D）6．在球面投影中，满足A．等高圈投影为直线B．大圆投影为直线C．大圆、小圆投影直线D．等角性质（D）7．伪方位投影存在性质的投影A．等距离B．等角C．等面积D．任意（A）8．爱凯特投影满足A．等面积B．纬线投影为圆C．经线投影为直线D．经线投影为椭圆（A）9．等角投影条件可以表示为A．a=bB．m某n=1C．m=nD．m=1（C）10．等距离投影条件可以表示为A．a=bB．θ=90°，m=nC．a=1或b=1D．n=1（B）11．墨卡托投影纬线线上的变形椭圆是A．大小形状均相同的微分圆B．大小不变、形状变化的微分椭圆C．大小变化、形状不变的微分圆D．m=1的圆或椭圆（B）12．高斯投影中央经线上的变形椭圆为A．大小形状均相同的微分圆B．大小不变、形状变化的微分椭圆C．n=1的圆或椭圆D．m=1的圆或椭圆（C）13．等角圆锥投影中央经线上变形椭圆是A．大小形状均相同的微分圆B．大小不变、形状变化的微分椭圆C．大小变化、形状不变的微分圆D．m=1的圆或椭圆（C）14．标准纬线上的变形椭圆是A．大小形状均相同的微分圆B．大小不变、形状变化的微分椭圆C．大小变化、形状不变的微分圆D．m=1的圆或椭圆（D）15．任意投影中的变形椭圆是A．大小形状均相同的微分圆B．大小不变、形状变化的微分椭圆C．大小变化、形状不变的微分圆D．大小形状均变化的微分椭圆二．多项选择题（从下列各题四个备选答案中选出二至四个正确答案，并将其代号写在空白内处。
地图投影的概念方法和变形及分类依据
地图投影的概念方法和变形及分类依据地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。
对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。
但制图时可做到:在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。
一、地图投影的概念地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。
然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。
要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。
这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。
球面上任何一点的位置取决于它的经纬度，所以实际投影时首先将一些经纬线交点展绘在平面上，并把经度相同的点连接而成为经线，纬度相同的点连接而成为纬线，构成经纬网。
然后将球面上的点按其经纬度转绘在平面上相应的位置。
由此可见，地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。
其数学公式表达为:χ=f1(λ，φ)y=f2(λ，φ)(2-1)根据地图投影的一般公式，只要知道地面点的经纬度(λ，φ)，便可以在投影平面上找到相对应的平面位置(χ，у)，这样就可按一定的制图需要，将一定间隔的经纬网交点的平面直角坐标计算出来，并展绘成经纬网，构成地图的"骨架"。
经纬网是制作地图的"基础"，是地图的主要数学要素。
二、地图投影的基本方法地图投影的方法，可归纳为几何透视法和数学解析法两种。
1.几何透视法几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面(借助的几何面)上的一种投影方法。
如假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体，在其球心或球面、球外安置一个光源，将球面上的经纬线投影到球外的一个投影平面上，即将球面经纬线转换成了平面上的经纬线。
几何透视法是一种比较原始的投影方法，有很大的局限性，难于纠正投影变形，精度较低。
3地图投影及其判别与变换
– 椭圆与圆的半径不等，且在 某一点附近随方向的改变而 变化，长度变形； – 椭圆面积与圆面积为不等面 积的变形； – A′与A位置不同，角度产生 了变形；由圆变为椭圆，形 状发生改变.
24
• （2）等变形线
• 等变形线 投影面上变形值相等的点的连线。用来 显示地图投影变形的大小和分布状况。不同投影 有不同形状的等变形线
s i n ( ' ) a b t a n 将两式相除，得： c o s c o s ' a
sin( ') ab sin( ') ab
显然当（ + ′ ）= 90°时，右 a b s i n ( ' ) s i n ( ' )端取最大值，则最大方向变形： a b
11
极值长度比和主方向
– 极值长度比 投影后,保持正 交的一对直径即构成变形椭 圆的长短轴。称为极大和极 小长度比。 – 通常用ａ和ｂ表示，是个变 量，在不同点上其值不等； 在同一点上也随方向不同而 变化。
12
– 经纬线为正交，经线长度比（ｍ）和纬 线长度比（ｎ）即为极大和极小长度比。 – 经纬线投影后不正交，其交角为θ，则 ｍ、ｎ和ａ、ｂ之间具有下列关系： m2＋n2＝ａ2＋ｂ2 mnsinθ＝ａｂ （ａ＋ｂ）2＝m2＋n2＋2mnsinθ （ａ－ｂ）2＝m2＋n2－2 mnsinθ
• P102 常用投影的等变形线分布
d F' π a b P 2 ab d F π l
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变化。
24
• （2）等变形线
• 等变形线 投影面上变形值相等的点的连线。用来 显示地图投影变形的大小和分布状况。不同投影 有不同形状的等变形线
s i n ( ' ) a b t a n 将两式相除，得： c o s c o s ' a
sin( ') ab sin( ') ab
显然当（ + ′ ）= 90°时，右 a b s i n ( ' ) s i n ( ' )端取最大值，则最大方向变形： a b
11
极值长度比和主方向
– 极值长度比 投影后,保持正 交的一对直径即构成变形椭 圆的长短轴。称为极大和极 小长度比。 – 通常用ａ和ｂ表示，是个变 量，在不同点上其值不等； 在同一点上也随方向不同而 变化。
12
– 经纬线为正交，经线长度比（ｍ）和纬 线长度比（ｎ）即为极大和极小长度比。 – 经纬线投影后不正交，其交角为θ，则 ｍ、ｎ和ａ、ｂ之间具有下列关系： m2＋n2＝ａ2＋ｂ2 mnsinθ＝ａｂ （ａ＋ｂ）2＝m2＋n2＋2mnsinθ （ａ－ｂ）2＝m2＋n2－2 mnsinθ
• P102 常用投影的等变形线分布
d F' π a b P 2 ab d F π l
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变化。
第四章 地图投影4.2
后仍是一个圆，只是大小有变化
在等角投影的地图上，量测方向和距离都比较方便，但其面
积变形一般较大
一、等角投影_主要用途
等角投影在小范围内没有方向变形，因而便于在图上量测方
向和距离，适用于编制风向、洋流、航海、航空等地图和各种 比例尺地形图
正轴等角圆柱投影
正轴等角圆柱投影
二、等积投影_概念
4.3.5 变形椭圆
知识回顾
地图投影：建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）
与地球椭球面上点（用纬度B和经度L表示）之间的函数关系
地图投影过程中，由于不可展曲面与平面间的矛盾，使得投影
变形不可避免。地图投影变形表现在长度、面积、角度三方面
4.3.1 长度比与长度变形
长度比公式μ= dS'/dS
第四章
地图投影
4.1 地球椭球的数学特性 4.2 地图投影的概念 4.3 地图投影的变形
4.4 地图投影的分类
4.5 圆锥投影 4.6 方位投影 4.7 圆柱投影 4.8 地图投影的识别与选择
4.3 地图投影的变形
4.3.1 长度比与长度变形 4.3.2 面积比与面积变形 4.3.3 角度变形
4.3.4 标准纬线
3、斜轴投影
它是辅助投影平面、圆锥面
和圆柱面的轴与地轴相斜交的 投影
（三）按辅助投影面与地球椭球面的关系分类
ห้องสมุดไป่ตู้
切投影
割投影
1、切投影
它是辅助投影面与地球椭球面相切的投影
2、割投影
它是辅助投影面与地球椭球面相割的投影
二、条件投影
条件投影不借助于辅助投影面，而是按数学法则构成的投影，
《地图投影》课件
动态地图投影
随着实时数据处理技术的发展，动态地图投影将 成为未来的重要趋势，能够实时反映地理信息的 动态变化。
跨学科融合
地图投影将与计算机科学、物理学、数学等学科 进一步融合，推动地图投影技术的创新发展。
地图投影的挑战与机遇
数据处理和计算能力
01
随着地图投影的数据量不断增加，对数据处理和计算能力提出
02
地图投影在导航系统中的应用需 要考虑到地球的椭球形状和地球 的自转效应，以保证导航的准确 性和可靠性。
地图投影在城市规划中的应用
城市规划中需要使用地图投影来将地理坐标转换为城市平面坐标，以便进行城市 布局和规划设计。
城市规划中使用的地图投影需要考虑到城市规模、地形地貌和规划要求等因素， 以确保城市规划的科学性和合理性。
亚尔勃斯投影
总结词
等面积正圆锥投影
详细描述
亚尔勃斯投影是一种等面积正圆锥投影，它将地球视为一个正圆锥体，并沿经线 方向展开，保持面积不变。这种投影在制作世界地图时特别有用，因为它可以较 好地表现各大陆的面积比例。
兰勃特等面积投影
总结词
等面积方位投影
详细描述
兰勃特等面积投影是一种等面积方位投影，它将地球投影到一个椭球体上，并保持各方向上的面积相 等。这种投影在制作各种比例尺地图时非常有用，因为它可以较好地表现各区域的面积比例和相对位 置。
01
坐标系
介绍地理坐标系、投影坐标系等 概念，以及它们在地图投影中的 作用。
几何基础
02
03
坐标变换
阐述投影几何的基本原理，如平 行线、相似形等，以及它们在地 图投影中的应用。
介绍如何将地理坐标转换为投影 坐标，以及投影坐标与平面直角 坐标之间的关系。
随着实时数据处理技术的发展，动态地图投影将 成为未来的重要趋势，能够实时反映地理信息的 动态变化。
跨学科融合
地图投影将与计算机科学、物理学、数学等学科 进一步融合，推动地图投影技术的创新发展。
地图投影的挑战与机遇
数据处理和计算能力
01
随着地图投影的数据量不断增加，对数据处理和计算能力提出
02
地图投影在导航系统中的应用需 要考虑到地球的椭球形状和地球 的自转效应，以保证导航的准确 性和可靠性。
地图投影在城市规划中的应用
城市规划中需要使用地图投影来将地理坐标转换为城市平面坐标，以便进行城市 布局和规划设计。
城市规划中使用的地图投影需要考虑到城市规模、地形地貌和规划要求等因素， 以确保城市规划的科学性和合理性。
亚尔勃斯投影
总结词
等面积正圆锥投影
详细描述
亚尔勃斯投影是一种等面积正圆锥投影，它将地球视为一个正圆锥体，并沿经线 方向展开，保持面积不变。这种投影在制作世界地图时特别有用，因为它可以较 好地表现各大陆的面积比例。
兰勃特等面积投影
总结词
等面积方位投影
详细描述
兰勃特等面积投影是一种等面积方位投影，它将地球投影到一个椭球体上，并保持各方向上的面积相 等。这种投影在制作各种比例尺地图时非常有用，因为它可以较好地表现各区域的面积比例和相对位 置。
01
坐标系
介绍地理坐标系、投影坐标系等 概念，以及它们在地图投影中的 作用。
几何基础
02
03
坐标变换
阐述投影几何的基本原理，如平 行线、相似形等，以及它们在地 图投影中的应用。
介绍如何将地理坐标转换为投影 坐标，以及投影坐标与平面直角 坐标之间的关系。
地图投影的变形
来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，
可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向 的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度 比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为 b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变 形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两 方向线夹角之差为角度变形。 3)面积比与面积变形
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就 是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积 变形为负，表示投影后面积缩. 小。
4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线
.
（二）变形椭圆
为更好地说明地图投影的变形特征，特引 入变形椭圆的概念。
变形椭圆——取地面上一个微分圆（微分圆
的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影 响，即可将它作为平面看待），将这样一个微 分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面 上的变化，作为地图投影变形的几何解释。
.
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度
夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每 两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上 之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成 的角度产生的变形一般也不一样。
[公式 验证]:
见教 材。
.
5)等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同
点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制 区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之 比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积 dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例， 以P表示面积比，则: .
可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向 的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度 比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为 b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变 形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两 方向线夹角之差为角度变形。 3)面积比与面积变形
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就 是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积 变形为负，表示投影后面积缩. 小。
4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线
.
（二）变形椭圆
为更好地说明地图投影的变形特征，特引 入变形椭圆的概念。
变形椭圆——取地面上一个微分圆（微分圆
的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影 响，即可将它作为平面看待），将这样一个微 分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面 上的变化，作为地图投影变形的几何解释。
.
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度
夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每 两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上 之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成 的角度产生的变形一般也不一样。
[公式 验证]:
见教 材。
.
5)等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同
点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制 区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之 比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积 dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例， 以P表示面积比，则: .
第四、五章地图投影1
第四章 地图投影的基本理论
地图投影的变形 投影的种类
1
一、地图投影变形的概念
地图测制的最初过程，概略地分为两步：
选择一个非常近似于地球自然形状的规则几何 体来代替它，然后将地球面上的点位按一定法 则转移到此规则几何体上； 再将此规则几何体面（不可展曲面）按一定数 学法则转换为地图平面。
2
3
一、地图投影变形的概念
地球仪上的经纬线的长度的特点：
第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
4
一、地图投影变形的概念 地球仪上的经纬线网格面积的特点： •在同一纬度带内，经差相同的球面网格面积相等
•在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小
地球仪上的经纬线角度的特点： 经线和纬线处处都呈直角相交。
sin / 2
2)角度变形 ab 最大角度变形： 一个角度由两个方向组成，最大角度变形可用最大方向 变形来计算，且是最大方向变形的两倍。最大角度变形 在 ' 90o 或270o处。
a b ab a b u u u ' 2arcsin
25
最大角度变形可用极值长度比a,b表示
27
关于地图投影的几点结论：
实现等角、等面积、等距离同时做到的投影 不存在 投影方式有多种多样，一个国家或地区依据 自己所处在的经纬度、幅员大小以及图件用途选 择投影方式 在大于1：10万的大比例尺图件中，各种投影 带来的误差可以忽略。
28
四、地图投影的分类
分类依据 外在的特征----经纬线投影的形状， 直观性；
•椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积变形。
•椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的 夹角的比较，可说明角度变形。
地图投影的变形 投影的种类
1
一、地图投影变形的概念
地图测制的最初过程，概略地分为两步：
选择一个非常近似于地球自然形状的规则几何 体来代替它，然后将地球面上的点位按一定法 则转移到此规则几何体上； 再将此规则几何体面（不可展曲面）按一定数 学法则转换为地图平面。
2
3
一、地图投影变形的概念
地球仪上的经纬线的长度的特点：
第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
4
一、地图投影变形的概念 地球仪上的经纬线网格面积的特点： •在同一纬度带内，经差相同的球面网格面积相等
•在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小
地球仪上的经纬线角度的特点： 经线和纬线处处都呈直角相交。
sin / 2
2)角度变形 ab 最大角度变形： 一个角度由两个方向组成，最大角度变形可用最大方向 变形来计算，且是最大方向变形的两倍。最大角度变形 在 ' 90o 或270o处。
a b ab a b u u u ' 2arcsin
25
最大角度变形可用极值长度比a,b表示
27
关于地图投影的几点结论：
实现等角、等面积、等距离同时做到的投影 不存在 投影方式有多种多样，一个国家或地区依据 自己所处在的经纬度、幅员大小以及图件用途选 择投影方式 在大于1：10万的大比例尺图件中，各种投影 带来的误差可以忽略。
28
四、地图投影的分类
分类依据 外在的特征----经纬线投影的形状， 直观性；
•椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积变形。
•椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的 夹角的比较，可说明角度变形。
测绘技术中常见的地图投影变形分析
测绘技术中常见的地图投影变形分析一、引言地图作为人类的重要工具，可以帮助我们理解和掌握地球上的各种地理信息。
然而，地球是一个球体，而地图通常是以平面的形式呈现出来。
为了将球面上的地理信息转化为平面上的图像，地图投影技术被广泛应用。
然而，由于球面到平面的转换必然会引起投影变形，地图上的各种形状、方位和距离都会产生不同程度的失真。
因此，地图投影变形分析成为了测绘技术中的一个重要课题。
二、地图投影的基本概念地图投影是将地球上的三维地理信息投影到二维平面上的过程。
它通常采用数学模型来描述，通过将球体的表面点映射到平面上，形成一个二维坐标系。
地图投影可以分为等角和等距两类。
等角投影保持角度的相对大小，但会引起形状和面积的变形；而等距投影保持距离的比例关系，但会引起角度和形状的变形。
三、地图投影的常见变形类型1. 面积变形地球的表面是一个光滑的球体，但在地图上，由于需要将三维空间转化为二维平面，地球上的面积会发生变形。
通常情况下，地球的高纬度地区在平面上会比实际大，而低纬度地区则相对较小。
2. 方向变形地图投影也会引起方向的变形。
在等距投影中，方向会被保留，但等角投影中方向通常会发生变化。
这意味着地图上显示的方向和实际地球上的方向可能存在差异。
3. 形状变形球面到平面的投影过程会导致地图上的形状发生变形。
通常情况下，越靠近地图的中心地区，形状变形越小，而远离中心地区的地方形状变形越大。
4. 距离变形地图投影还会引起距离的变形。
在等角投影中，中心地区的距离会被保留，但远离中心地区的距离会被拉伸或压缩。
而在等距投影中，中心地区的距离会被拉伸或压缩，但远离中心地区的距离会被保留。
四、地图投影变形的影响地图投影变形对于地理信息的理解和分析具有一定程度的影响。
首先，地图投影的面积变形对于地理数据的统计和比较具有重要意义。
在进行面积比较时，需要注意不同地图投影所引起的面积变形，避免得出错误的结论。
其次，方向变形对于导航和测量等应用也有一定的影响。
如何解决测绘技术中的地图投影变形问题
如何解决测绘技术中的地图投影变形问题地图投影变形在测绘技术中是一个常见且重要的问题。
由于地球的形状是一个椭球体，为了将地球上的三维空间投影到二维平面上，必然会引发各种投影变形。
这种变形可能导致地图上的距离、面积和形状的失真，对于测绘工作者来说是一个严峻的挑战。
那么，如何解决地图投影变形问题呢？本文将从合理选择投影方法、采用差值方法和使用变形网格等角度进行探讨。
首先，为了解决地图投影变形问题，合理选择投影方法是非常关键的。
目前，常用的地图投影方法有等距柱面投影、圆锥投影和平面投影等多种。
这些方法各自适用于不同的地理区域和测绘需求。
在选择投影方法时，需要根据实际情况考虑地理区域的大小、纬度范围以及需要表达的地理特征等因素。
例如，在极地地区使用极圆投影可以减小南北方向的变形，而在大范围区域测绘时，兰勃特投影可以保持面积的相对准确性。
因此，通过合理选择投影方法可以有效减小地图投影变形。
其次，采用差值方法也是解决地图投影变形问题的一种有效手段。
差值方法基于地图上的变形检测点和真实坐标点之间的坐标差值，通过差值计算来获得真实且准确的坐标。
这种方法可以根据不同投影变形的特点进行调整，能够满足不同区域、不同比例尺和不同目的的测绘需求。
在实际操作中，通常会使用大量的变形检测点进行差值计算，以提高测绘精度和减小投影变形。
通过采用差值方法，可以有效解决地图投影变形问题。
最后，使用变形网格是另一种应对地图投影变形问题的方式。
变形网格是在地图上引入一种网格结构，通过对网格节点的调整来消除地图上的投影变形。
在这种方法中，首先需要通过反投影计算将地图上的点返回到椭球面上，然后根据地图的实际变形情况，调整网格节点的坐标，最终通过新的节点坐标重新生成地图。
这样，就可以实现地图上各个点的等角或等距布置，从而消除或减小地图投影变形。
尽管使用变形网格会增加计算的复杂度和工作量，但它可以提供更为准确和真实的测绘结果。
总结起来，解决地图投影变形问题需要综合考虑选择合适的投影方法、采用差值方法和使用变形网格等多种手段。
地球投影变形的实验报告
一、实验目的本次实验旨在了解地球球面投影到平面时产生的变形，掌握地图投影的变形特征，分析不同投影方式对地图变形的影响，提高对地图投影变形的认识。
二、实验原理地球椭球面是一个不可展的曲面，而地图是一个平面。
在将地球椭球面上的经纬线网描绘成平面图形的过程中，必然会发生各种变形。
这些变形主要包括长度变形、角度变形和面积变形。
地图投影就是研究如何将地球椭球面上的经纬线网准确地描绘到平面上的方法。
三、实验材料与工具1. 地球仪2. 白纸3. 铅笔4. 剪刀5. 比例尺6. 地图投影软件（如Google Earth）四、实验步骤1. 将地球仪放置在桌面上，用铅笔在白纸上画出地球仪的大致轮廓。
2. 使用剪刀将白纸沿地球仪轮廓剪下，得到一个近似球面的平面。
3. 在地球仪上选取一个经纬度点，用铅笔在白纸上标记出该点的位置。
4. 将地球仪上的经纬线网描绘到白纸上，注意保持经纬线之间的相对位置。
5. 使用比例尺测量白纸上的经纬线长度，并与地球仪上的实际长度进行比较，分析长度变形。
6. 在白纸上选择一个点，测量该点所在经线的角度，并与地球仪上的实际角度进行比较，分析角度变形。
7. 使用地图投影软件，将地球仪上的经纬线网投影到平面地图上，比较不同投影方式下的地图变形。
五、实验结果与分析1. 长度变形在实验过程中，我们发现白纸上的经纬线长度与地球仪上的实际长度存在差异。
这是因为地球椭球面是不可展的曲面，而白纸是一个平面。
在将地球椭球面上的经纬线网描绘到白纸上时，必然会发生长度变形。
根据实验结果，我们可以发现，在地球仪的赤道附近，长度变形较小；而在两极附近，长度变形较大。
2. 角度变形实验结果表明，白纸上的经纬线角度与地球仪上的实际角度存在差异。
这是由于地球椭球面是不可展的曲面，而在将地球椭球面上的经纬线网描绘到白纸上时，角度变形不可避免。
根据实验结果，我们可以发现，在地球仪的赤道附近，角度变形较小；而在两极附近，角度变形较大。
罗宾逊投影变形特征
罗宾逊投影变形特征
罗宾逊投影是一种常见的地图投影方式，其变形特征主要包括以下几个方面：1.等面积变形：罗宾逊投影可以保持地图上各区域的面积比例不变，这使得该投影在
表示地区分布和面积对比方面具有优势。
2.低纬度地区变形较大：在低纬度地区，罗宾逊投影的变形较大，这可能导致地图上
的形状和方向出现较大的误差。
随着纬度的升高，变形逐渐减小。
3.保持赤道和经线真实：在赤道和中央经线附近，罗宾逊投影能够保持形状和方向的
准确性，因此对于表示赤道附近地区的地图非常适用。
4.连续性强：罗宾逊投影的连续性强，特别是在高纬度地区，这使得地图上的轮廓线
更加平滑，便于阅读和使用。
总的来说，罗宾逊投影在保持等面积、保持赤道和经线真实以及连续性强等方面具有显著的优势，因此在地图制作中得到了广泛应用。
然而，它也存在一定的局限性，尤其是在低纬度地区，变形较大可能会影响地图的准确性和可靠性。
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布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根
据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的， 如面积等变形线。
等变形线在不同的投影
图上，具有不同的形状，
在方位投影中，因投影中
心点无变形，从投影中心
向外变形逐渐增大，等变
形线成同心圆状分布。
等变形线通常是用点虚
线来表示的。
.
◆ 地图投影的方法 1.几何投影（透视投影） 假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬
.
（二）变形椭圆
为更好地说明地图投影的变形特征，特引 入变形椭圆的概念。
变形椭圆——取地面上一个微分圆（微分圆
的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影 响，即可将它作为平面看待），将这样一个微 分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面 上的变化，作为地图投影变形的几何解释。
.
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度
小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，
过o作两条垂线ac和 bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面
Hale Waihona Puke 上角aob和角boc为直角，投影后分别为钝角a’o’b’和锐角
b’o’c’。
b
b’
a
c
a’
c’
o
o’
d
d’
.
设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋
转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的钝角
网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地 图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光
源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象 这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何 投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平
面这一对矛盾的一种方法。
m2+n2=a2+b2 m·n·sinθ=a·b
用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度 比（μ）与1之差，用v表示长度变形则：vμ=μ-1
由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表 示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短； 长度变形为零，则长度无变形。
.
2)主方向
由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之 比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积 dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例， 以P表示面积比，则: .
P=dF’/dF=abπ/π12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线 方向就是主方向时：
P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比:
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就 是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积 变形为负，表示投影后面积缩. 小。
4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线
.
①当视点（光源）位于地 球球心时，即视点距投影 面距离为R时，称为中心射 方位投影或球心投影。 ②当视点或光源位于地球 表面时，即视点到投影面 距离为2R时，称为平射方 位投影或球面投影。 ③当视点或光源位于无限 远时，投影线（光线）成 为平行线，称为正射投影。
夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每 两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上 之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成 的角度产生的变形一般也不一样。
[公式 验证]:
见教 材。
.
5)等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同
点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制 区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分
（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为
x2+y2=1
o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）
的投影，令主方向长度比为a和b，则:
x’/x= a,
y’/y= b
则:x =x’/a,
y =y’/b
(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得
(x/a)2+(y/b)2=1
μ=ds’/ds
长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还
随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之
比。
.
通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，
而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a） 和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。
投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长 度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：
来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，
可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向 的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度 比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为 b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变 形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两 方向线夹角之差为角度变形。 3)面积比与面积变形
这是一个椭圆方
程，这表明该微小
圆投影后为长半径
M
M
为a短半径为b的
椭圆，这种椭圆可
以用来表示投影后
的变形，故叫做变
形椭圆。
.
（三）投影变形的相关概念 1)长度比和长度变形
设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如图 所示。
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。
用公式表示为：
转变成锐角；同样的，直角boc转到了cob的位置，它的投影由原
来的锐角变为钝角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影
有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变
化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二
直交直线方向，称之为主方向。
a’
a
d
b d’
b’
o
o’
c
c’
.
在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，
二、地图投影的变形 （一）投影变形的性质
由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无 论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上 的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发 生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地 面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须 了解投影后产生的变形，所以投影变形问题是地图投 影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布 规律，具有重大的实际应用价值。
据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的， 如面积等变形线。
等变形线在不同的投影
图上，具有不同的形状，
在方位投影中，因投影中
心点无变形，从投影中心
向外变形逐渐增大，等变
形线成同心圆状分布。
等变形线通常是用点虚
线来表示的。
.
◆ 地图投影的方法 1.几何投影（透视投影） 假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬
.
（二）变形椭圆
为更好地说明地图投影的变形特征，特引 入变形椭圆的概念。
变形椭圆——取地面上一个微分圆（微分圆
的面积要足够小，小到可以忽视地球曲面的影 响，即可将它作为平面看待），将这样一个微 分圆投影后变为椭圆，通过研究其在投影平面 上的变化，作为地图投影变形的几何解释。
.
设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度
小线段投影后一般不一定正交，例如设o是球面上一点，
过o作两条垂线ac和 bd，投影后为a’c’和b’d’。即地球面
Hale Waihona Puke 上角aob和角boc为直角，投影后分别为钝角a’o’b’和锐角
b’o’c’。
b
b’
a
c
a’
c’
o
o’
d
d’
.
设想ac、bd二垂线相对位置保持不变，并绕o点顺时针旋转，当旋
转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的钝角
网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地 图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光
源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象 这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何 投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平
面这一对矛盾的一种方法。
m2+n2=a2+b2 m·n·sinθ=a·b
用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度 比（μ）与1之差，用v表示长度变形则：vμ=μ-1
由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表 示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短； 长度变形为零，则长度无变形。
.
2)主方向
由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微
投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之 比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积 dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=π12为例， 以P表示面积比，则: .
P=dF’/dF=abπ/π12=ab 上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线 方向就是主方向时：
P=mn 若经纬线方向不是主方向时，则面积比:
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就 是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积 变形为负，表示投影后面积缩. 小。
4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线
.
①当视点（光源）位于地 球球心时，即视点距投影 面距离为R时，称为中心射 方位投影或球心投影。 ②当视点或光源位于地球 表面时，即视点到投影面 距离为2R时，称为平射方 位投影或球面投影。 ③当视点或光源位于无限 远时，投影线（光线）成 为平行线，称为正射投影。
夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每 两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上 之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成 的角度产生的变形一般也不一样。
[公式 验证]:
见教 材。
.
5)等变形线 在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同
点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制 区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分
（为1），M(x,y)是微小圆周上一点，圆心曲线方程为
x2+y2=1
o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）
的投影，令主方向长度比为a和b，则:
x’/x= a,
y’/y= b
则:x =x’/a,
y =y’/b
(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得
(x/a)2+(y/b)2=1
μ=ds’/ds
长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还
随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之
比。
.
通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，
而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a） 和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。
投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长 度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：
来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，
可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向 的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度 比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为 b<μ<a;椭圆面积与小圆面积之比，可以说明面积变 形;椭圆上任意两条方向线的夹角与小圆上相应的两 方向线夹角之差为角度变形。 3)面积比与面积变形
这是一个椭圆方
程，这表明该微小
圆投影后为长半径
M
M
为a短半径为b的
椭圆，这种椭圆可
以用来表示投影后
的变形，故叫做变
形椭圆。
.
（三）投影变形的相关概念 1)长度比和长度变形
设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如图 所示。
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。
用公式表示为：
转变成锐角；同样的，直角boc转到了cob的位置，它的投影由原
来的锐角变为钝角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影
有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。那么在变
化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二
直交直线方向，称之为主方向。
a’
a
d
b d’
b’
o
o’
c
c’
.
在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，
二、地图投影的变形 （一）投影变形的性质
由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无 论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上 的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发 生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地 面事物也必然发生了变形。为了正确使用地图，必须 了解投影后产生的变形，所以投影变形问题是地图投 影的重要组成部分。研究各种投影变形的大小和分布 规律，具有重大的实际应用价值。