考前复习理科2015.6.1

学案24 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l ＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．自我检测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.5．(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sinB ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .探究点一与距离有关的问题例1(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD 为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？探究点二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中最值问题例3(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．1．解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )A.518B.34C.32D.782．(2011·揭阳模拟)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m 3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928 D ．9 24．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．三、解答题(共38分)9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(12分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？答案 自我检测1．B 2.B 3.A4.40035．解 由cos ∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513＝3365.由正弦定理得，AD sin B ＝BD sin ∠BAD， 所以AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD＝33×5133365＝25. 课堂活动区例1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105° ＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)． 又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．变式迁移1解如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331， 所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)，所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD， 所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)， 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·tan θsin βsin (α＋β). 变式迁移2解由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理得，CD sin ∠DBC＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°.在Rt △BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)． 故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)． 因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h d .所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h 2H (H －h )， 当且仅当d ＝H (H －h )d， 即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解 设∠POB ＝θ，四边形面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ.∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.所以四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区1．D 2.A 3.C 4.C 5.C6．30 2 km 7.0.68.7043解析如图所示：设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE cos 60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.∴当t＝7043时，DE最小．9．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.……………………………………………………………………………(6分)在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝AC·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)所以BD＝32＋620≈0.33(km)．故B、D的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10．解如图，连接A 1B 2，由题意知，A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102(海里)．…………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(10分)因此乙船的速度大小为10220×60＝302(海里/小时)．…………………………………………………………(12分)11．解方法一 (1)依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .(3分)当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分)(2)如图，连接MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin (60°－θ)， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，…………………………………………(8分)∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ) ＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)方法二 (1)同方法一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos ∠MNP ＝MP 2.………………………………(8分)即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22， ……………………………………………………………………………………………(10分)从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033.当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)。

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第六章
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[思维流程] 第一步：抓信息关键点 (1)B 到达悬点 O 的正下方并与 A 在同一水平线上； (2)A 处于受力平衡时 第二步：建立物理模型 对 A 受力分析 第三步：找解题突破口 A 处于平衡状态 第四步：形成解题思路 (1)对两种情况分别受力分析； (2)对两种情况分别列平衡方程
对应学生用书 第112页 电荷和电荷守恒定律、库仑定律
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(3)带电实质:物体带电的实质是得失电子. (4)电荷的分配原则:两个形状、大小相同的导体,接触后再分开, 中和 二者带______ 相同 电荷;若两导体原来带异种电荷,则电荷先______, 余下的电荷再_______. 平分 3.库仑定律 真空 中两个静止点电荷之间的相互作用力,与它们的 (1)内容:______ 距离的二次方 成反比,作用 _______________ 电荷量的乘积 成正比,与它们的______________ 它们的连线上 力的方向在_______________.
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[例 2] (2013 年新课标Ⅰ卷)如图，一半径为 R 的圆盘上均匀分布 着电荷量为 Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心 c 的轴线上有 a、 b、d 三个点，a 和 b、b 和 c、c 和 d 间的距离均为 R，在 a 点处 有一电荷量为 q(q>0)的固定点电荷．已知 b 点处的场强为零，则 d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)( ) 3q 10q A．k 2 B．k 2 R 9R Q＋q 9Q＋q C．k 2 D．k R 9R2
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静电场人教版物理源自第六章静电场人教版物理
第六章
静电场

第2讲古典概型一、填空题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．解析分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝315＝1 5.答案1 52．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率为________．解析试验是连续掷两次骰子，故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件点P 在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P＝636＝1 6.答案1 63．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为________．解析要及格必须答对2道或3道题，共C23C12＋C33＝7(种)情形，故P＝7C35＝7 10.答案7 104．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有一人是女生的概率是3435，则n＝________．解析三人中没有女生的概率为C33C3n＋3，∴三人中至少有一人是女生的概率为1－C 33C 3n ＋3. 由题意得1－C 33C 3n ＋3＝3435，解得n ＝4.答案 n ＝45．下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二位走的是男同学的概率是________．解析 每个同学均可能在第二位走，故共有4种情况，而男同学有2个，故所求概率为P ＝24＝12. 答案 126．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________． 解析：从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 357．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．解析 正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件．两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本事件，所以概率等于518. 答案 5188． 一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．解析 基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364. 答案 3649．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，向量a ＝(m ，n )，若b ＝(－1,1)，△ABC 中AB→与a 同向，CB →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________． 解析 ∵∠ABC 是钝角，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)夹角为锐角，∴n －m >0，m <n ，∴包含15个基本事件，又共有36个基本事件，∴∠ABC 是钝角的概率是512. 答案 51210．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析 6节课共有A 66种排法，按要求共有三类排法，一类是三门文化课排列，有两个空，插入2节艺术课，有A 33A 23×2种排法；第二类，三门文化课排列有两个空，插入1节艺术课，有A 33·A 13·2A 33种排法；第三类，三门文化课相邻排列，有A 33A 44种排法．则满足条件的概率为 2A 33A 23＋A 33A 13·2A 33＋A 33A 44A 66＝35.答案 35 二、解答题11．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．解将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－936＝3 4；即两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)基本事件总数为36，点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C包含8个事件，所以P(C)＝836＝2 9.即点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率为29.12．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．解(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝3570＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为：故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率P2＝915＝3 5.13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66s；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．解(1)∵这6位同学的平均成绩为75分，∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，这6位同学成绩的方差s2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4. 14．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝1 6，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝1 6.故ξ的分布列为：所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.。

2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷（1）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|20A x x x =+-<，{}|23B x x =-<<，则B C A 等于A ．{}|13x x ≤<B ．{}|23x x ≤<C ．{}|21x x -<<D ．{}|2123x x x -<≤≤<或 2．已知复数z 的共轭复数是31ii -+，则复数z 等于 A ．12i -B ．12i +C ．12i --D ．2i -3．抛物线22(0)y px p =->的准线经过，则p =ABC．D．4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像如图所示，为了得到函数π需要将()y f x =的图像A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3πC ．向右平移6π个单位D ．向右平移3π5．设,,l m n 表示不同的直线，,,αβγ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；正(主)视图2③若l αβ=，m βγ=，n γα=，则l ∥m ∥n ； ④若m αβ=，l βγ=，n γα=，且n ∥β，则l ∥m ．其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．当实数,x y 满足不等式0,0,22,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有3ax y +≤成立，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤B ．0a ≥C ．02a ≤≤D ．a 7．运行右图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为A ．49B ．25C ．13D ．78．如图，水平放置的几何体的三视图，形、侧（左）视图为长为3A ．30+B ．6+C ．D ．429．已知(1)f x +是偶函数，且()f x 在区间(1,)+∞上 单调递减，(2)a f =，3(log 2)b f =，1()2c f =，则有A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a c b <<10．有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机调整到上层，若其它书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为A ．35B ．310C ．12D ．2511．如图，已知双曲线的中心在坐标原点O ，左焦点为F ，C 是双曲线虚轴的下顶点，双曲线的一条渐近线OD 与直线FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则ODF ∠的余弦值是A ．7B ．7C D12．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x =(1,3)-内，关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根，则k 的取值范围为A ．104k <≤或k = B ．104k <≤C ．104k <<或k =D ．104k <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 的否定形式为 ．14．已知数列{}n a 满足11a =，*11()4nn n a a n N +⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，21123444n n n S a a a a -=+⋅+⋅++⋅，类比课本推导等数列前n 项和公式的方法，可求得54n n n S a -＝ ．15．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+＝ ．16．已知函数22()1x f x x =+，函数()sin()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在[]10,1x ∈，对任意[]20,1x ∈，都有12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2cos()4sin sin 1B C B C -=-．（1）求A ； （2）若13,sin23B a ==，求b ． 18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，2BC =，1BC1CC =△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，平面ABC ⊥平面11BCC B ，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点．（1）求证：EF ∥平面1A BC ；（2）若三角形ABC 中，BC 边上的高为整数，且EF 与平面11ACC A所成的角的正弦值为3，求二面角1C AA B --的余弦值．19．（本小题满分12分）高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是12，这1名女生报此所大学的概率是13．且这4人报此所大学互不影响． （1）求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；（2）在报考某所大学的上述4名学生中，记ξ为报这所大学的男生和女生人数的和，试求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆C的焦点为1(F，2F ，且椭圆C 的下顶点到直线20x y +-=的距离为2（1）求椭圆C 的方程；（2）若一直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B （A 、B 不是椭圆C 的顶点）两点，以AB 为直径的圆过椭圆C 的上顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-（a 为实数）．（1）求()f x 在区间[],2(0)t t t +>上的最小值；（2）若存在两个不等实根121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使方程()2()xg x e f x =成立，求实数a 的取值范围．A BCA 1C 1B 1E F请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（1）若13EC EB =，12ED EA =，求DCAB的值； （2）若2EF FA FB =⋅，证明：EF ∥CD23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为4cos ρθ=，直线l的方程为2,21,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T ． （1）求点T 的极坐标；（2）过点T 作直线l '，l '被曲线C 截得的线段长为2，求直线l '的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设()||2||(0)f x x x a a =+->． （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤； （2若()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2015年普通高校招生全国统一考试冲刺信息全国卷（1）数学（理科）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。