第一类超Cartan域上的几何性质
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第24卷第2期2006年6月徐州师范大学学报(自然科学版)J.ofXuzhouNormalUniv.(NaturalScienceEdition)Vol.24,No.2Jun.,2006
收稿日期:2005210218
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471097)作者简介:徐宁(1981-),女,江苏宿迁人,硕士生,主要从事多复变函数论方面的研究.
第一类超Cartan域上的几何性质徐 宁1,2,李庆宾3(1.徐州师范大学数学系,江苏徐州 221116;2.淮海工学院数理科学系,江苏连云港 222005;
3.首都师范大学数学系,北京 100037)
摘要:给出了第一类超Cartan域上在Bergman度量下的Ricci曲率和纯量曲率及其边界性质.
关键词:Bergman度量;Ricci曲率;纯量曲率中图分类号:O174.56 文献标识码:A 文章编号:100726573(2006)0220018204
曲率对难以捉摸的“空间弯曲”性质给出了一个精确的度量,从而区分了几何学与拓扑学.比如,从拓扑学的眼光来看,截面曲率K≤-C
2
<0的完备流形和截面曲率K≤0的完备流形没有什么不同,因
为它们的通用覆盖流形都与欧氏空间同胚.但在几何上两者有很大区别,因为它们的测地线的整体结构截然相异.因此研究完备流形的曲率是有意义的.
1999年,殷慰萍引入了如下相应于第一类Cartan域的域,称之为第一类超Cartan域:
YI(N,m,n;K)={w∈CN,Z∈RI(m,n):|w|2K0},这里RI(m,n)表示华罗庚意义下的第一类Cartan域,ZT表示Z的共轭转置,N,m,n是自然数.并且给出了它的Bergman核函数显式表达[1].文献[2]已给出YI的全纯截曲率ω,利用Bergman度量的完备
性构造一个不比Bergman度量小的完备的不变Khler度量,并证明了在此Khler度量下的全纯截曲率有一个负上界,即ω≤-C
2
<0,从而给出了YI的Bergman度量与Kobayashi度量的比较定理.文献
[3]给出了CEI的全纯截曲率.但对于Ricci曲率R≤0或R≤-C2<0的完备流形以及非正纯量曲率
的研究一直所知甚少.本文给出了YI的Ricci曲率和纯量曲率,讨论了其边界性质,即当(Z,w)趋于Y
I
的边界时,Ricci曲率趋于-1,纯量曲率趋于-(N+mn).
1 准备知识引理1[1] 下列变换组成YI的全纯自同构群,记为Aut(
Y
I)
:
w3=eiθwdet(I-Z0Z0T)12Kdet(I-ZZ0T)1K,Z3=A(Z-Z0)(I-Z0TZ)-1D-1,其中A
TA=(I-Z0Z0T)-1,DTD=(I-Z0T
Z0)-1,Z0,Z∈RI(m,n),θ∈R.
引理2[1] 令X=X(z,w)=|w|
2
det(I-ZZT)1K,则X在Aut(YI)下不变,即X(z3,w3)=
X(z,w),其中z是由Z中元素按行的次序排成的向量,即z=(z11,z12,…,z1n,z21,…,z2n,…,zmn). 引理3[1] YI的Bergman核函数为:
KYI=K-mnπ-(mn+N)G(X)det(I-ZZT)-(m+n+NK),其中
G(X)=∑mn+1j=0bjΓ(N+j)(1-X)-(N+j), bj=P(-j-1)-∑j-1k=0bk(-1)kΓ(k+1)Γ(j-k+1)(-1)jΓ(j+1). 引理4[1] YI的Bergman度量方阵为:
T=T[(z,w),(z,w)]=JT[(0,w3),(0,w3)]JT,其中(0
,w
3)=F(z,w),F∈Aut(YI),
T[(0,w3),(0,w3)]=1KM′X+m+n+NKImn00M′IN+M″w3Tw3, J=J11J12J21J22,这里M=logG(X),M′=5M5X,M″=52M5X2,J11=AT・×D
T,J12=1Keiθdet(I-ZZT
)-1KE(Z)Tw,
J21=0,J22=eiθdet(I-ZZT)-12KIN,E(Z)=(tr[(I-ZZT)-1I11ZT],tr[(I-ZZT)-1I12ZT],…,tr[(I-ZZT)-1IαβZT],…,tr[(I-ZZT)-1ImnZT])为1×mn矩阵,Iαβ为m×n矩阵,其第α行β列交叉处元素为1,其余元素均为0.符号・×见文献[4].
2 Ricci曲率显表达式由文献[5]知,若一紧致Khler流形M的Khler度量为g=∑ijgijdzidzj,
其中gij=g55zi,55zj为其度量张量,令G=(g
ij)
,
则它的Ricci曲率张量为
Rij=-52logdetG5zi5zj,从而YI的Ricci曲率张量为Rij=-52logdetT5ζi5ζj,其中ζ=(ζ1,ζ2,…,ζmn+N
)=(z,w).
由此可推出YI的Ricci曲率有如下形式:
R[(z,w),d(z,w)]=-ddlogdetT[(z,w),(z,w)]ddlogK[(z,w),(z,w)],易知R在全纯自同构变换下是不变的.而对任意(z,w)∈YI,存在F∈Aut(
Y
I),使得F(z,w)=
(0,w3),所以,只须计算R[(z,w),d(z,w)]在(0,w3)点的值即可.由于logdetT=logdetT[(0,w3),(0,w3)]+log|detJ|
2
ddlogdetT=∑52logdetT5zαβ5zστdzαβdzστ+∑52logdetT5zαβ5wqdzαβdwq
+∑52logdetT5wq5wqdwqdwq+∑52logdetT5wq5zστdwqdzστ,经计算得ddlogdetT[(0,w3),(0,w3)]=XK|dz|2+P|dw|2+P′|wdwT|2,其中 P=
mn(M′+M″X)M′X+KM1+2M″+MXM′+M″X+(N-1)M″M′,P′=5P5X,M1=m+n+N
K,
ddlog|detJ|2=M1|dz|2.因此有
ddlogdetT=M1+NKP|dz|2+P|dw|2+P′|wdwT|2.又
ddlogK[(z,w),(z,w)]|Z=0=d(z,w)T[(z,w),(z,w)]|Z=0d(z,w)
T
=(K-1M′X+M1)|dz|2+M′|dw|2+M″|wdwT|2,最后有
91第2期徐 宁等:第一类超Cartan域上的几何性质 R[(z,w),(z,w)]=-M1+XKP|dz|2+P|dw|2+P′|wdwT|2(K-1M′X+M1)|dz|2+M′|dw|2+M|wdwT|2.3 纯量曲率的显表达式由文献[6]知纯量曲率是Ricci曲率的迹,由此推出YI的纯量曲率有如下形式:
S[(z,w),(z,w)]=-tr[T-1[(z,w),(z,w)]H[(z,w),(z,w)]]
其中 H[(z,w),(z,w)]=
52logdetT[(z,w),(z,w)]
5zαβ5z
στ
0
052logdetT
5wp5w
q
.
显然,纯量曲率在全纯自同构变换下也是不变的.而对任意(z,w)∈YI,存在F∈Aut(
Y
I),使得F(z,w)
=(0,w3).所以只须计算S[(z,w),(z,w)]在(0,w3)点的值即可.
由上节知:
H[(z,w),(z,w)]|Z=0=M1+XKPImn00PIN+P′w3Tw3,由于T-1[(z,w),(z,w)]=(JT)-1T-1[(0,w3),(0,w3)]J-1,
其中T
-1
[(0,w3),(0,w3)]=M1+1KM′X-1Imn00(M′)-1[IN-(M′+M″X)-1w3Tw3M″],
J-1=(AT・×DT)-1-1K(AT・×DT)-1E(Z)Tω0e-iθdet(I-ZZT)12KIN,所以T
-1
[(z,w),(z,w)]|Z=0=M1+1KM′X-1Imn00(M′)-1[IN-(M′+M″X)-1w3Tw3M″].
最后有S[(z,w),(z,w)]=-mn(KM1+PX)KM1+M′X+P′XM′+M″X+NPM″-PM″XM′(M′+M″X).
4 Ricci曲率和纯量曲率的边界性质YI的边界记作5YI:5YI={(Z0,w
0):w0∈CN,Z0∈RI(m,n),|w0|2K=det(I-Z0Z0T),K>0}
∪{(Z0,0):0∈C
N
,Z0∈5RI(m,n)}.
记
Gl(X)=∑mn+1j=0bjΓ(N+j+l)(1-X)mn+1-j, l=0,1,2,3,4,Sl=Gl(X)G0(X), l=1,2,3,4.则 M′=
S1
1-X
,
M″=
1
(1-X)2(S2-S21),
02 徐州师范大学学报(自然科学版)第24卷
