matlab数值计算(命令与示例)

实验五 MATLAB 数值计算一、实验目的1．掌握求数值导数和数值积分的方法。

2．掌握代数方程数值求解的方法。

3．掌握常微分方程数值求解的方法。

二、实验的设备及条件计算机一台（带有MATLAB7.0以上的软件环境）。

设计提示1．参考本节主要内容，学习并理解相关函数的含义及调用方法。

三、实验内容1．线性系统方程：分别使用左除（\）和求逆（inv ）求解下面系统方程的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++377251463c b b a c b a2. 数值积分：使用quad 和trapz 求解⎰-503/dx xe x 的数值积分，并与其解析解9243/5+--e 相比较；3. 请完成教材P154页中实验指导环节的实验内容第2题4. 请完成教材P155页中思考练习的第3题（1），并绘制解在该求解区间（即[0,5]）上的图像；。

5、请完成教材P164页实验指导环节的实验内容第5题。

（提示：该函数的符号导数，可以通过函数diff 求得。

首先定义符号变表达式，如求sin(x)的一阶符号导数，可以先定义f=’sin(x)’;df=diff(f);可求得df=cos(x)。

其中df 即为函数f 的一阶符号导数）。

四、实验报告要求（包含预习报告要求和最终报告要求）1.实验名称2.实验目的3.实验设备及条件4.实验内容及要求5.实验程序设计指程序代码。

6.实验结果及结果分析实验结果要求必须客观,现象。

结果分析是对实验结果的理论评判。

7.实验中出现的问题及解决方法8. 思考题的回答五、实验报告的提交方式Word文档，命名方式:实验号_你的学号_姓名例如本次实验：实验一_000000001_张三.doc（信息101提交报告邮箱）：E_mail: *******************(网络工程101提交作业邮箱)：E_mail: *******************（注意网络班的M是大写的)下一次课前提交,过期不收!六、参考文献参考教材和Matlab帮助文件。

1、求组合数C，则输入：求knnchoosek(n,k)例：nchoosek(4,2) = 6.2、求阶乘求n!.则输入：Factorial(n).例：factorial(5) = 120.3、求全排列perms(x).例：求x = [1,2,3];Perms(x)，输出结果为：ans =3 2 13 1 22 3 12 1 31 2 31 3 24、求指数求a^b：Power(a,b) ;例：求2^3 ;Ans = pow(2,3) ;5、求行列式求矩阵A的行列式：det(A);例：A=[1 2;3 4] ;则det(A) = -2 ;6、求矩阵的转置求矩阵A的转置矩阵：A’转置符号为单引号.7、求向量的指数求向量p=[1 2 3 4]'的三次方：p.^3 例：p=[1 2 3 4]'A=[p,p.^2,p.^3,p.^4]结果为：注意：在p 与符号”^”之间的”.”不可少.8、求自然对数求ln(x)：Log(x)例：log(2) = 0.69319、求矩阵的逆矩阵求矩阵A 的逆矩阵：inv(A)例：a= [1 2;3 4];则10、多项式的乘法运算函数conv(p1,p2)用于求多项式p1和p2的乘积。

这里，p1、p2是两个多项式系数向量。

例2-2 求多项式43810x x +-和223x x -+的乘积。

命令如下：p1=[1,8,0,0,-10];p2=[2,-1,3]; c=conv(p1,p2)11、多项式除法函数[q ，r]=deconv(p1，p2)用于多项式p1和p2作除法运算，其中q 返回多项式p1除以p2的商式，r 返回p1除以p2的余式。

这里，q 和r 仍是多项式系数向量。

例2-3 求多项式43810x x +-除以多项式223x x -+的结果。

命令如下：p1=[1,8,0,0,-10];p2=[2,-1,3]; [q,r]=deconv(p1,p2)12、求一个向量的最大值求一个向量x 的最大值的函数有两种调用格式，分别是：（1）max(x)：返回向量x 的最大值，如果x 中包含复数元素，则按模取最大值。

Matlab命令大全A aabs 绝对值、模、字符的ASCII码值acos 反余弦acosh 反双曲余弦acot 反余切acoth 反双曲余切acsc 反余割acsch 反双曲余割align 启动图形对象几何位置排列工具all 所有元素非零为真angle 相角ans 表达式计算结果的缺省变量名any 所有元素非全零为真area 面域图argnames 函数M文件宗量名asec 反正割asech 反双曲正割asin 反正弦asinh 反双曲正弦assignin 向变量赋值atan 反正切atan2 四象限反正切atanh 反双曲正切autumn 红黄调秋色图阵axes 创建轴对象的低层指令axis 控制轴刻度和风格的高层指令B bbar 二维直方图bar3 三维直方图bar3h 三维水平直方图barh 二维水平直方图base2dec X进制转换为十进制bin2dec 二进制转换为十进制blanks 创建空格串bone 蓝色调黑白色图阵box 框状坐标轴break while 或for 环中断指令brighten 亮度控制C ccapture （3版以前）捕获当前图形cart2pol 直角坐标变为极或柱坐标cart2sph 直角坐标变为球坐标cat 串接成高维数组caxis 色标尺刻度cd 指定当前目录cdedit 启动用户菜单、控件回调函数设计工具cdf2rdf 复数特征值对角阵转为实数块对角阵ceil 向正无穷取整cell 创建元胞数组cell2struct 元胞数组转换为构架数组celldisp 显示元胞数组内容cellplot 元胞数组内部结构图示char 把数值、符号、内联类转换为字符对象chi2cdf 分布累计概率函数chi2inv 分布逆累计概率函数chi2pdf 分布概率密度函数chi2rnd 分布随机数发生器chol Cholesky分解clabel 等位线标识cla 清除当前轴class 获知对象类别或创建对象clc 清除指令窗clear 清除内存变量和函数clf 清除图对象clock 时钟colorcube 三浓淡多彩交叉色图矩阵colordef 设置色彩缺省值colormap 色图colspace 列空间的基close 关闭指定窗口colperm 列排序置换向量comet 彗星状轨迹图comet3 三维彗星轨迹图compass 射线图compose 求复合函数cond （逆）条件数condeig 计算特征值、特征向量同时给出条件数condest 范-1条件数估计conj 复数共轭contour 等位线contourf 填色等位线contour3 三维等位线contourslice 四维切片等位线图conv 多项式乘、卷积cool 青紫调冷色图copper 古铜调色图cos 余弦cosh 双曲余弦cot 余切coth 双曲余切cplxpair 复数共轭成对排列csc 余割csch 双曲余割cumsum 元素累计和cumtrapz 累计梯形积分cylinder 创建圆柱D ddblquad 二重数值积分deal 分配宗量deblank 删去串尾部的空格符dec2base 十进制转换为X进制dec2bin 十进制转换为二进制dec2hex 十进制转换为十六进制deconv 多项式除、解卷delaunay Delaunay 三角剖分del2 离散Laplacian差分demo Matlab演示det 行列式diag 矩阵对角元素提取、创建对角阵diary Matlab指令窗文本内容记录diff 数值差分、符号微分digits 符号计算中设置符号数值的精度dir 目录列表disp 显示数组display 显示对象内容的重载函数dlinmod 离散系统的线性化模型dmperm 矩阵Dulmage-Mendelsohn 分解dos 执行DOS 指令并返回结果double 把其他类型对象转换为双精度数值drawnow 更新事件队列强迫Matlab刷新屏幕dsolve 符号计算解微分方程E eecho M文件被执行指令的显示edit 启动M文件编辑器eig 求特征值和特征向量eigs 求指定的几个特征值end 控制流FOR等结构体的结尾元素下标eps 浮点相对精度error 显示出错信息并中断执行errortrap 错误发生后程序是否继续执行的控制erf 误差函数erfc 误差补函数erfcx 刻度误差补函数erfinv 逆误差函数errorbar 带误差限的曲线图etreeplot 画消去树eval 串演算指令evalin 跨空间串演算指令exist 检查变量或函数是否已定义exit 退出Matlab环境exp 指数函数expand 符号计算中的展开操作expint 指数积分函数expm 常用矩阵指数函数expm1 Pade法求矩阵指数expm2 Taylor法求矩阵指数expm3 特征值分解法求矩阵指数eye 单位阵ezcontour 画等位线的简捷指令ezcontourf 画填色等位线的简捷指令ezgraph3 画表面图的通用简捷指令ezmesh 画网线图的简捷指令ezmeshc 画带等位线的网线图的简捷指令ezplot 画二维曲线的简捷指令ezplot3 画三维曲线的简捷指令ezpolar 画极坐标图的简捷指令ezsurf 画表面图的简捷指令ezsurfc 画带等位线的表面图的简捷指令F ffactor 符号计算的因式分解feather 羽毛图feedback 反馈连接feval 执行由串指定的函数fft 离散Fourier变换fft2 二维离散Fourier变换fftn 高维离散Fourier变换fftshift 直流分量对中的谱fieldnames 构架域名figure 创建图形窗fill3 三维多边形填色图find 寻找非零元素下标findobj 寻找具有指定属性的对象图柄findstr 寻找短串的起始字符下标findsym 机器确定内存中的符号变量finverse 符号计算中求反函数fix 向零取整flag 红白蓝黑交错色图阵fliplr 矩阵的左右翻转flipud 矩阵的上下翻转flipdim 矩阵沿指定维翻转floor 向负无穷取整flops 浮点运算次数flow Matlab提供的演示数据fmin 求单变量非线性函数极小值点（旧版）fminbnd 求单变量非线性函数极小值点fmins 单纯形法求多变量函数极小值点（旧版）fminunc 拟牛顿法求多变量函数极小值点fminsearch 单纯形法求多变量函数极小值点fnder 对样条函数求导fnint 利用样条函数求积分fnval 计算样条函数区间内任意一点的值fnplt 绘制样条函数图形fopen 打开外部文件for 构成for环用format 设置输出格式fourier Fourier 变换fplot 返函绘图指令fprintf 设置显示格式fread 从文件读二进制数据fsolve 求多元函数的零点full 把稀疏矩阵转换为非稀疏阵funm 计算一般矩阵函数funtool 函数计算器图形用户界面fzero 求单变量非线性函数的零点G ggamma 函数gammainc 不完全函数gammaln 函数的对数gca 获得当前轴句柄gcbo 获得正执行"回调"的对象句柄gcf 获得当前图对象句柄gco 获得当前对象句柄geomean 几何平均值get 获知对象属性getfield 获知构架数组的域getframe 获取影片的帧画面ginput 从图形窗获取数据global 定义全局变量gplot 依图论法则画图gradient 近似梯度gray 黑白灰度grid 画分格线griddata 规则化数据和曲面拟合gtext 由鼠标放置注释文字guide 启动图形用户界面交互设计工具H hharmmean 调和平均值help 在线帮助helpwin 交互式在线帮助helpdesk 打开超文本形式用户指南hex2dec 十六进制转换为十进制hex2num 十六进制转换为浮点数hidden 透视和消隐开关hilb Hilbert矩阵hist 频数计算或频数直方图histc 端点定位频数直方图histfit 带正态拟合的频数直方图hold 当前图上重画的切换开关horner 分解成嵌套形式hot 黑红黄白色图hsv 饱和色图I iif-else-elseif 条件分支结构ifft 离散Fourier反变换ifft2 二维离散Fourier反变换ifftn 高维离散Fourier反变换ifftshift 直流分量对中的谱的反操作ifourier Fourier反变换i, j 缺省的"虚单元"变量ilaplace Laplace反变换imag 复数虚部image 显示图象imagesc 显示亮度图象imfinfo 获取图形文件信息imread 从文件读取图象imwrite 把imwrite 把图象写成文件ind2sub 单下标转变为多下标inf 无穷大info MathWorks公司网点地址inline 构造内联函数对象inmem 列出内存中的函数名input 提示用户输入inputname 输入宗量名int 符号积分int2str 把整数数组转换为串数组interp1 一维插值interp2 二维插值interp3 三维插值interpn N维插值interpft 利用FFT插值intro Matlab自带的入门引导inv 求矩阵逆invhilb Hilbert矩阵的准确逆ipermute 广义反转置isa 检测是否给定类的对象ischar 若是字符串则为真isequal 若两数组相同则为真isempty 若是空阵则为真isfinite 若全部元素都有限则为真isfield 若是构架域则为真isglobal 若是全局变量则为真ishandle 若是图形句柄则为真ishold 若当前图形处于保留状态则为真isieee 若计算机执行IEEE规则则为真isinf 若是无穷数据则为真isletter 若是英文字母则为真islogical 若是逻辑数组则为真ismember 检查是否属于指定集isnan 若是非数则为真isnumeric 若是数值数组则为真isobject 若是对象则为真isprime 若是质数则为真isreal 若是实数则为真isspace 若是空格则为真issparse 若是稀疏矩阵则为真isstruct 若是构架则为真isstudent 若是Matlab学生版则为真iztrans 符号计算Z反变换J j , K kjacobian 符号计算中求Jacobian 矩阵jet 蓝头红尾饱和色jordan 符号计算中获得Jordan标准型keyboard 键盘获得控制权kron Kronecker乘法规则产生的数组L llaplace Laplace变换lasterr 显示最新出错信息lastwarn 显示最新警告信息leastsq 解非线性最小二乘问题（旧版）legend 图形图例lighting 照明模式line 创建线对象lines 采用plot 画线色linmod 获连续系统的线性化模型linmod2 获连续系统的线性化精良模型linspace 线性等分向量ln 矩阵自然对数load 从MAT文件读取变量log 自然对数log10 常用对数log2 底为2的对数loglog 双对数刻度图形logm 矩阵对数logspace 对数分度向量lookfor 按关键字搜索M文件lower 转换为小写字母lsqnonlin 解非线性最小二乘问题lu LU分解M mmad 平均绝对值偏差magic 魔方阵maple &nb, sp; 运作Maple格式指令mat2str 把数值数组转换成输入形态串数组material 材料反射模式max 找向量中最大元素mbuild 产生EXE文件编译环境的预设置指令mcc 创建MEX或EXE文件的编译指令mean 求向量元素的平均值median 求中位数menuedit 启动设计用户菜单的交互式编辑工具mesh 网线图meshz 垂帘网线图meshgrid 产生"格点"矩阵methods 获知对指定类定义的所有方法函数mex 产生MEX文件编译环境的预设置指令mfunlis 能被mfun计算的MAPLE经典函数列表mhelp 引出Maple的在线帮助min 找向量中最小元素mkdir 创建目录mkpp 逐段多项式数据的明晰化mod 模运算more 指令窗中内容的分页显示movie 放映影片动画moviein 影片帧画面的内存预置mtaylor 符号计算多变量Taylor级数展开N nndims 求数组维数NaN 非数（预定义）变量nargchk 输入宗量数验证nargin 函数输入宗量数nargout 函数输出宗量数ndgrid 产生高维格点矩阵newplot 准备新的缺省图、轴nextpow2 取最接近的较大2次幂nnz 矩阵的非零元素总数nonzeros 矩阵的非零元素norm 矩阵或向量范数normcdf 正态分布累计概率密度函数normest 估计矩阵2范数norminv 正态分布逆累计概率密度函数normpdf 正态分布概率密度函数normrnd 正态随机数发生器notebook 启动Matlab和Word的集成环境null 零空间num2str 把非整数数组转换为串numden 获取最小公分母和相应的分子表达式nzmax 指定存放非零元素所需内存O oode1 非Stiff 微分方程变步长解算器ode15s Stiff 微分方程变步长解算器ode23t 适度Stiff 微分方程解算器ode23tb Stiff 微分方程解算器ode45 非Stiff 微分方程变步长解算器odefile ODE 文件模板odeget 获知ODE 选项设置参数odephas2 ODE 输出函数的二维相平面图odephas3 ODE 输出函数的三维相空间图odeplot ODE 输出函数的时间轨迹图odeprint 在Matlab指令窗显示结果odeset 创建或改写ODE选项构架参数值ones 全1数组optimset 创建或改写优化泛函指令的选项参数值orient 设定图形的排放方式orth 值空间正交化P ppack 收集Matlab内存碎块扩大内存pagedlg 调出图形排版对话框patch 创建块对象path 设置Matlab搜索路径的指令pathtool 搜索路径管理器pause 暂停pcode 创建预解译P码文件pcolor 伪彩图peaks Matlab提供的典型三维曲面permute 广义转置pi （预定义变量）圆周率pie 二维饼图pie3 三维饼图pink 粉红色图矩阵pinv 伪逆plot 平面线图plot3 三维线图plotmatrix 矩阵的散点图plotyy 双纵坐标图poissinv 泊松分布逆累计概率分布函数poissrnd 泊松分布随机数发生器pol2cart 极或柱坐标变为直角坐标polar 极坐标图poly 矩阵的特征多项式、根集对应的多项式poly2str 以习惯方式显示多项式poly2sym 双精度多项式系数转变为向量符号多项式polyder 多项式导数polyfit 数据的多项式拟合polyval 计算多项式的值polyvalm 计算矩阵多项式pow2 2的幂ppval 计算分段多项式pretty 以习惯方式显示符号表达式print 打印图形或SIMULINK模型printsys 以习惯方式显示有理分式prism 光谱色图矩阵procread 向MAPLE输送计算程序profile 函数文件性能评估器propedit 图形对象属性编辑器pwd 显示当前工作目录Q qquad 低阶法计算数值积分quad8 高阶法计算数值积分(QUADL)quit 推出Matlab 环境quiver 二维方向箭头图quiver3 三维方向箭头图R rrand 产生均匀分布随机数randn 产生正态分布随机数randperm 随机置换向量range 样本极差rank 矩阵的秩rats 有理输出rcond 矩阵倒条件数估计real 复数的实部reallog 在实数域内计算自然对数realpow 在实数域内计算乘方realsqrt 在实数域内计算平方根realmax 最大正浮点数realmin 最小正浮点数rectangle 画"长方框"rem 求余数repmat 铺放模块数组reshape 改变数组维数、大小residue 部分分式展开return 返回ribbon 把二维曲线画成三维彩带图rmfield 删去构架的域roots 求多项式的根rose 数扇形图rot90 矩阵旋转90度rotate 指定的原点和方向旋转rotate3d 启动三维图形视角的交互设置功能round 向最近整数圆整rref 简化矩阵为梯形形式rsf2csf 实数块对角阵转为复数特征值对角阵rsums Riemann和S ssave 把内存变量保存为文件scatter3 三维散点图sec 正割sech 双曲正割semilogx X轴对数刻度坐标图semilogy Y轴对数刻度坐标图series 串联连接set 设置图形对象属性setfield 设置构架数组的域setstr 将ASCII码转换为字符的旧版指令sign 根据符号取值函数signum 符号计算中的符号取值函数sim 运行SIMULINK模型simget 获取SIMULINK模型设置的仿真参数simple 寻找最短形式的符号解simplify 符号计算中进行简化操作simset 对SIMULINK模型的仿真参数进行设置simulink 启动SIMULINK模块库浏览器sin 正弦sinh 双曲正弦size 矩阵的大小slice 立体切片图solve 求代数方程的符号解spalloc 为非零元素配置内存sparse 创建稀疏矩阵spconvert 把外部数据转换为稀疏矩阵spdiags 稀疏对角阵spfun 求非零元素的函数值sph2cart 球坐标变为直角坐标sphere 产生球面spinmap 色图彩色的周期变化spline 样条插值spones 用1置换非零元素sprandsym 稀疏随机对称阵sprank 结构秩spring 紫黄调春色图sprintf 把格式数据写成串spy 画稀疏结构图sqrt 平方根sqrtm 方根矩阵squeeze 删去大小为1的"孤维"sscanf 按指定格式读串stairs 阶梯图std 标准差step 阶跃响应指令str2double 串转换为双精度值str2mat 创建多行串数组str2num 串转换为数strcat 接成长串strcmp 串比较strjust 串对齐strmatch 搜索指定串strncmp 串中前若干字符比较strrep 串替换strtok 寻找第一间隔符前的内容struct 创建构架数组struct2cell 把构架转换为元胞数组strvcat 创建多行串数组sub2ind 多下标转换为单下标subexpr 通过子表达式重写符号对象subplot 创建子图subs 符号计算中的符号变量置换subspace 两子空间夹角sum 元素和summer 绿黄调夏色图superiorto 设定优先级surf 三维着色表面图surface 创建面对象surfc 带等位线的表面图surfl 带光照的三维表面图surfnorm 空间表面的法线svd 奇异值分解svds 求指定的若干奇异值switch-case-otherwise 多分支结构sym2poly 符号多项式转变为双精度多项式系数向量symmmd 对称最小度排序symrcm 反向Cuthill-McKee排序syms 创建多个符号对象T ttan 正切tanh 双曲正切taylortool 进行Taylor逼近分析的交互界面text 文字注释tf 创建传递函数对象tic 启动计时器title 图名toc 关闭计时器trapz 梯形法数值积分treelayout 展开树、林treeplot 画树图tril 下三角阵trim 求系统平衡点trimesh 不规则格点网线图trisurf 不规则格点表面图triu 上三角阵try-catch 控制流中的Try-catch结构type 显示M 文件U uuicontextmenu 创建现场菜单uicontrol 创建用户控件uimenu 创建用户菜单unmkpp 逐段多项式数据的反明晰化unwrap 自然态相角upper 转换为大写字母V vvar 方差varargin 变长度输入宗量varargout 变长度输出宗量vectorize 使串表达式或内联函数适于数组运算ver 版本信息的获取view 三维图形的视角控制voronoi Voronoi多边形vpa 任意精度（符号类）数值W wwarning 显示警告信息what 列出当前目录上的文件whatsnew 显示Matlab中Readme文件的内容which 确定函数、文件的位置while 控制流中的While环结构white 全白色图矩阵whitebg 指定轴的背景色who 列出内存中的变量名whos 列出内存中变量的详细信息winter 蓝绿调冬色图workspace 启动内存浏览器X x , Y y , Z zxlabel X轴名xor 或非逻辑yesinput 智能输入指令ylabel Y轴名zeros 全零数组zlabel Z轴名zoom 图形的变焦放大和缩小ztrans 符号计算Z变换MATLAB命令大全Prod 计算数组元素的连乘积。

（1）：恢复窗口：在Desktop 中下拉式菜单中的Desktop Layout,选择Default 来恢复。

（2）：在同一坐标系中，画出函数y=x^3-x-1和y=abs(x)*sin5x 的图像。

x=-1:0.1:2;y1=x.^3-x-1; y2=abs(x).*sin(5*x); plot(x,y1,'k',x,y2,':ro')legend('y1=x.^3-x-1','y2=abs(x).*sin(5*x)'),xlabel('x'),ylabel('y'),title('y1,y2画在同一坐标系中')-1-0.500.51 1.52xyy1,y2画在同一坐标系中（3）：根据数据建立一个人口增长模型。

（百万）的函数并绘制出这一函数图形。

根据数学相关理论，用3,4阶多项式拟合这一函数，拟合时不计2000年的数据对，而是将这对数据用来检验并确定模型。

最后用确定的模型预测2010年美国人口。

在Command window 中输入： t=1850:10:1990;p=[23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633]; %读取数据plot(t,p,’o ’);axis([1850 2020 0 400]); title(‘Population of the U.s.1850-1990’);ylabel(‘Millions ’);%绘制出数据的函数图形并加以修饰f1=polyfit(t,p,3);f2=polyfit(t,p,4);%对数据做3,4阶多项式拟合，结果分别为f1和f2 v=[polyval(f1,2000),polyval(f2,2000)];%计算当t=2000时多项式f1,f2的值 abs(v-251.422) %计算两个模型与2000年人口数的绝对误差。

matlab统计个数及求和代码摘要：1.MATLAB 简介2.统计个数及求和的代码示例3.代码的解释与应用正文：一、MATLAB 简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款广泛应用于科学计算、数据分析、可视化等领域的编程软件。

它基于矩阵计算，具有强大的数值计算和数据处理功能，使得用户可以方便地完成各种复杂的数学运算和分析任务。

在MATLAB 中，用户可以通过编写脚本或使用内置函数实现各种功能，如统计分析、数据建模、信号处理等。

二、统计个数及求和的代码示例在MATLAB 中，我们可以使用内置函数进行统计个数和求和操作。

以下是一个简单的示例：```matlab% 创建一个数组arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];% 统计数组中元素的个数um_elements = length(arr);% 求和sum = sum(arr);```在这个示例中，我们首先创建了一个包含9 个元素的数组`arr`，然后使用`length`函数统计数组中的元素个数，最后使用`sum`函数计算数组元素的总和。

三、代码的解释与应用1.`length`函数：用于计算数组或向量的长度，即其中元素的个数。

在示例中，`length(arr)`返回值为9，表示数组`arr`中包含9 个元素。

2.`sum`函数：用于计算数组或向量中所有元素的和。

在示例中，`sum(arr)`返回值为45，表示数组`arr`中元素的总和为45。

在实际应用中，我们可以使用这些代码对不同的数据进行统计个数和求和操作。

例如，对于一个表示销售额的数据矩阵，我们可以统计其中销售额大于100 的记录个数，以及这些记录的总销售额。

这有助于我们更好地了解销售额的分布情况，从而制定相应的营销策略。

总之，MATLAB 作为一种强大的科学计算工具，可以帮助我们轻松完成各种统计和计算任务。

实验五 数值微积分与方程数值求解一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。

2. 掌握代数方程数值求解的方法。

3. 掌握常微分方程数值求解的方法。

二、实验内容要求：命令手工 ( )输入1. 求函数在指定点的数值导数。

232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==2. 用数值方法求定积分。

(1) 210I π=⎰的近似值。

(2) 2220ln(1)1x I dt xπ+=+⎰3. 分别用三种不同的数值方法解线性方程组。

6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩4. 求非齐次线性方程组的通解。

1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解：先建立M 函数文件,然后命令窗口中写命令。

121/119/112/115/111/1110/11100010X k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 为任意常数。

5. 求代数方程的数值解。

(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。

(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。

23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ans =1289/6826. 求函数在指定区间的极值。

(1) 3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。

(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。

（以下选作题，是微分方程的数值解）7. 求微分方程的数值解。

x 在[1.0e-9,20]2250(0)0'(0)0xd y dy y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩解：M 文件：运行结果：8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线。

分类:VC MatlabA aabs 绝对值、模、字符的ASCII码值acos 反余弦acosh 反双曲余弦acot 反余切acoth 反双曲余切acsc 反余割acsch 反双曲余割align 启动图形对象几何位置排列工具all 所有元素非零为真angle 相角ans 表达式计算结果的缺省变量名any 所有元素非全零为真area 面域图argnames 函数M文件宗量名asec 反正割asech 反双曲正割asin 反正弦asinh 反双曲正弦assignin 向变量赋值atan 反正切atan2 四象限反正切atanh 反双曲正切autumn 红黄调秋色图阵axes 创建轴对象的低层指令axis 控制轴刻度和风格的高层指令B bbar 二维直方图bar3 三维直方图bar3h 三维水平直方图barh 二维水平直方图base2dec X进制转换为十进制bin2dec 二进制转换为十进制blanks 创建空格串bone 蓝色调黑白色图阵box 框状坐标轴break while 或for 环中断指令brighten 亮度控制C ccapture （3版以前）捕获当前图形cart2pol 直角坐标变为极或柱坐标cart2sph 直角坐标变为球坐标cat 串接成高维数组caxis 色标尺刻度cd 指定当前目录cdedit 启动用户菜单、控件回调函数设计工具cdf2rdf 复数特征值对角阵转为实数块对角阵ceil 向正无穷取整cell 创建元胞数组cell2struct 元胞数组转换为构架数组celldisp 显示元胞数组内容cellplot 元胞数组内部结构图示char 把数值、符号、内联类转换为字符对象chi2cdf 分布累计概率函数chi2inv 分布逆累计概率函数chi2pdf 分布概率密度函数chi2rnd 分布随机数发生器chol Cholesky分解clabel 等位线标识cla 清除当前轴class 获知对象类别或创建对象clc 清除指令窗clear 清除内存变量和函数clf 清除图对象clock 时钟colorcube 三浓淡多彩交叉色图矩阵colordef 设置色彩缺省值colormap 色图colspace 列空间的基close 关闭指定窗口colperm 列排序置换向量comet 彗星状轨迹图comet3 三维彗星轨迹图compass 射线图compose 求复合函数cond （逆）条件数condeig 计算特征值、特征向量同时给出条件数condest 范-1条件数估计conj 复数共轭contour 等位线contourf 填色等位线contour3 三维等位线contourslice 四维切片等位线图conv 多项式乘、卷积cool 青紫调冷色图copper 古铜调色图cos 余弦cosh 双曲余弦cot 余切coth 双曲余切cplxpair 复数共轭成对排列csc 余割csch 双曲余割cumsum 元素累计和cumtrapz 累计梯形积分cylinder 创建圆柱D ddblquad 二重数值积分deal 分配宗量deblank 删去串尾部的空格符dec2base 十进制转换为X进制dec2bin 十进制转换为二进制dec2hex 十进制转换为十六进制deconv 多项式除、解卷delaunay Delaunay 三角剖分del2 离散Laplacian差分demo Matlab演示det 行列式diag 矩阵对角元素提取、创建对角阵diary Matlab指令窗文本内容记录diff 数值差分、符号微分digits 符号计算中设置符号数值的精度dir 目录列表disp 显示数组display 显示对象内容的重载函数dlinmod 离散系统的线性化模型dmperm 矩阵Dulmage-Mendelsohn 分解dos 执行DOS 指令并返回结果double 把其他类型对象转换为双精度数值drawnow 更新事件队列强迫Matlab刷新屏幕dsolve 符号计算解微分方程E eecho M文件被执行指令的显示edit 启动M文件编辑器eig 求特征值和特征向量eigs 求指定的几个特征值end 控制流FOR等结构体的结尾元素下标eps 浮点相对精度error 显示出错信息并中断执行errortrap 错误发生后程序是否继续执行的控制erf 误差函数erfc 误差补函数erfcx 刻度误差补函数erfinv 逆误差函数errorbar 带误差限的曲线图etreeplot 画消去树eval 串演算指令evalin 跨空间串演算指令exist 检查变量或函数是否已定义exit 退出Matlab环境exp 指数函数expand 符号计算中的展开操作expint 指数积分函数expm 常用矩阵指数函数expm1 Pade法求矩阵指数expm2 Taylor法求矩阵指数expm3 特征值分解法求矩阵指数eye 单位阵ezcontour 画等位线的简捷指令ezcontourf 画填色等位线的简捷指令ezgraph3 画表面图的通用简捷指令ezmesh 画网线图的简捷指令ezmeshc 画带等位线的网线图的简捷指令ezplot 画二维曲线的简捷指令ezplot3 画三维曲线的简捷指令ezpolar 画极坐标图的简捷指令ezsurf 画表面图的简捷指令ezsurfc 画带等位线的表面图的简捷指令F ffactor 符号计算的因式分解feather 羽毛图feedback 反馈连接feval 执行由串指定的函数fft 离散Fourier变换fft2 二维离散Fourier变换fftn 高维离散Fourier变换fftshift 直流分量对中的谱fieldnames 构架域名figure 创建图形窗fill3 三维多边形填色图find 寻找非零元素下标findobj 寻找具有指定属性的对象图柄findstr 寻找短串的起始字符下标findsym 机器确定内存中的符号变量finverse 符号计算中求反函数fix 向零取整flag 红白蓝黑交错色图阵fliplr 矩阵的左右翻转flipud 矩阵的上下翻转flipdim 矩阵沿指定维翻转floor 向负无穷取整flops 浮点运算次数flow Matlab提供的演示数据fmin 求单变量非线性函数极小值点（旧版）fminbnd 求单变量非线性函数极小值点fmins 单纯形法求多变量函数极小值点（旧版）fminunc 拟牛顿法求多变量函数极小值点fminsearch 单纯形法求多变量函数极小值点fnder 对样条函数求导fnint 利用样条函数求积分fnval 计算样条函数区间内任意一点的值fnplt 绘制样条函数图形fopen 打开外部文件for 构成for环用format 设置输出格式fourier Fourier 变换fplot 返函绘图指令fprintf 设置显示格式fread 从文件读二进制数据fsolve 求多元函数的零点full 把稀疏矩阵转换为非稀疏阵funm 计算一般矩阵函数funtool 函数计算器图形用户界面fzero 求单变量非线性函数的零点G ggamma 函数gammainc 不完全函数gammaln 函数的对数gca 获得当前轴句柄gcbo 获得正执行"回调"的对象句柄gcf 获得当前图对象句柄gco 获得当前对象句柄geomean 几何平均值get 获知对象属性getfield 获知构架数组的域getframe 获取影片的帧画面ginput 从图形窗获取数据global 定义全局变量gplot 依图论法则画图gradient 近似梯度gray 黑白灰度grid 画分格线griddata 规则化数据和曲面拟合gtext 由鼠标放置注释文字guide 启动图形用户界面交互设计工具H hharmmean 调和平均值help 在线帮助helpwin 交互式在线帮助helpdesk 打开超文本形式用户指南hex2dec 十六进制转换为十进制hex2num 十六进制转换为浮点数hidden 透视和消隐开关hilb Hilbert矩阵hist 频数计算或频数直方图histc 端点定位频数直方图histfit 带正态拟合的频数直方图hold 当前图上重画的切换开关horner 分解成嵌套形式hot 黑红黄白色图hsv 饱和色图I iif-else-elseif 条件分支结构ifft 离散Fourier反变换ifft2 二维离散Fourier反变换ifftn 高维离散Fourier反变换ifftshift 直流分量对中的谱的反操作ifourier Fourier反变换i, j 缺省的"虚单元"变量ilaplace Laplace反变换imag 复数虚部image 显示图象imagesc 显示亮度图象imfinfo 获取图形文件信息imread 从文件读取图象imwrite 把imwrite 把图象写成文件ind2sub 单下标转变为多下标inf 无穷大info MathWorks公司网点地址inline 构造内联函数对象inmem 列出内存中的函数名input 提示用户输入inputname 输入宗量名int 符号积分int2str 把整数数组转换为串数组interp1 一维插值interp2 二维插值interp3 三维插值interpn N维插值interpft 利用FFT插值intro Matlab自带的入门引导inv 求矩阵逆invhilb Hilbert矩阵的准确逆ipermute 广义反转置isa 检测是否给定类的对象ischar 若是字符串则为真isequal 若两数组相同则为真isempty 若是空阵则为真isfinite 若全部元素都有限则为真isfield 若是构架域则为真isglobal 若是全局变量则为真ishandle 若是图形句柄则为真ishold 若当前图形处于保留状态则为真isieee 若计算机执行IEEE规则则为真isinf 若是无穷数据则为真isletter 若是英文字母则为真islogical 若是逻辑数组则为真ismember 检查是否属于指定集isnan 若是非数则为真isnumeric 若是数值数组则为真isobject 若是对象则为真isprime 若是质数则为真isreal 若是实数则为真isspace 若是空格则为真issparse 若是稀疏矩阵则为真isstruct 若是构架则为真isstudent 若是Matlab学生版则为真iztrans 符号计算Z反变换J j , K kjacobian 符号计算中求Jacobian 矩阵jet 蓝头红尾饱和色jordan 符号计算中获得Jordan标准型keyboard 键盘获得控制权kron Kronecker乘法规则产生的数组L llaplace Laplace变换lasterr 显示最新出错信息lastwarn 显示最新警告信息leastsq 解非线性最小二乘问题（旧版）legend 图形图例lighting 照明模式line 创建线对象lines 采用plot 画线色linmod 获连续系统的线性化模型linmod2 获连续系统的线性化精良模型linspace 线性等分向量ln 矩阵自然对数load 从MAT文件读取变量log 自然对数log10 常用对数log2 底为2的对数loglog 双对数刻度图形logm 矩阵对数logspace 对数分度向量lookfor 按关键字搜索M文件lower 转换为小写字母lsqnonlin 解非线性最小二乘问题lu LU分解M mmad 平均绝对值偏差magic 魔方阵maple &nb, sp; 运作Maple格式指令mat2str 把数值数组转换成输入形态串数组material 材料反射模式max 找向量中最大元素mbuild 产生EXE文件编译环境的预设置指令mcc 创建MEX或EXE文件的编译指令mean 求向量元素的平均值median 求中位数menuedit 启动设计用户菜单的交互式编辑工具mesh 网线图meshz 垂帘网线图meshgrid 产生"格点"矩阵methods 获知对指定类定义的所有方法函数mex 产生MEX文件编译环境的预设置指令mfunlis 能被mfun计算的MAPLE经典函数列表mhelp 引出Maple的在线帮助min 找向量中最小元素mkdir 创建目录mkpp 逐段多项式数据的明晰化mod 模运算more 指令窗中内容的分页显示movie 放映影片动画moviein 影片帧画面的内存预置mtaylor 符号计算多变量Taylor级数展开N nndims 求数组维数NaN 非数（预定义）变量nargchk 输入宗量数验证nargin 函数输入宗量数nargout 函数输出宗量数ndgrid 产生高维格点矩阵newplot 准备新的缺省图、轴nextpow2 取最接近的较大2次幂nnz 矩阵的非零元素总数nonzeros 矩阵的非零元素norm 矩阵或向量范数normcdf 正态分布累计概率密度函数normest 估计矩阵2范数norminv 正态分布逆累计概率密度函数normpdf 正态分布概率密度函数normrnd 正态随机数发生器notebook 启动Matlab和Word的集成环境null 零空间num2str 把非整数数组转换为串numden 获取最小公分母和相应的分子表达式nzmax 指定存放非零元素所需内存O oode1 非Stiff 微分方程变步长解算器ode15s Stiff 微分方程变步长解算器ode23t 适度Stiff 微分方程解算器ode23tb Stiff 微分方程解算器ode45 非Stiff 微分方程变步长解算器odefile ODE 文件模板odeget 获知ODE 选项设置参数odephas2 ODE 输出函数的二维相平面图odephas3 ODE 输出函数的三维相空间图odeplot ODE 输出函数的时间轨迹图odeprint 在Matlab指令窗显示结果odeset 创建或改写ODE选项构架参数值ones 全1数组optimset 创建或改写优化泛函指令的选项参数值orient 设定图形的排放方式orth 值空间正交化P ppack 收集Matlab内存碎块扩大内存pagedlg 调出图形排版对话框patch 创建块对象path 设置Matlab搜索路径的指令pathtool 搜索路径管理器pause 暂停pcode 创建预解译P码文件pcolor 伪彩图peaks Matlab提供的典型三维曲面permute 广义转置pi （预定义变量）圆周率pie 二维饼图pie3 三维饼图pink 粉红色图矩阵pinv 伪逆plot 平面线图plot3 三维线图plotmatrix 矩阵的散点图plotyy 双纵坐标图poissinv 泊松分布逆累计概率分布函数poissrnd 泊松分布随机数发生器pol2cart 极或柱坐标变为直角坐标polar 极坐标图poly 矩阵的特征多项式、根集对应的多项式poly2str 以习惯方式显示多项式poly2sym 双精度多项式系数转变为向量符号多项式polyder 多项式导数polyfit 数据的多项式拟合polyval 计算多项式的值polyvalm 计算矩阵多项式pow2 2的幂ppval 计算分段多项式pretty 以习惯方式显示符号表达式print 打印图形或SIMULINK模型printsys 以习惯方式显示有理分式prism 光谱色图矩阵procread 向MAPLE输送计算程序profile 函数文件性能评估器propedit 图形对象属性编辑器pwd 显示当前工作目录Q qquad 低阶法计算数值积分quad8 高阶法计算数值积分(QUADL)quit 推出Matlab 环境quiver 二维方向箭头图quiver3 三维方向箭头图R rrand 产生均匀分布随机数randn 产生正态分布随机数randperm 随机置换向量range 样本极差rank 矩阵的秩rats 有理输出rcond 矩阵倒条件数估计real 复数的实部reallog 在实数域内计算自然对数realpow 在实数域内计算乘方realsqrt 在实数域内计算平方根realmax 最大正浮点数realmin 最小正浮点数rectangle 画"长方框"rem 求余数repmat 铺放模块数组reshape 改变数组维数、大小residue 部分分式展开return 返回ribbon 把二维曲线画成三维彩带图rmfield 删去构架的域roots 求多项式的根rose 数扇形图rot90 矩阵旋转90度rotate 指定的原点和方向旋转rotate3d 启动三维图形视角的交互设置功能round 向最近整数圆整rref 简化矩阵为梯形形式rsf2csf 实数块对角阵转为复数特征值对角阵rsums Riemann和S ssave 把内存变量保存为文件scatter 散点图scatter3 三维散点图sec 正割sech 双曲正割semilogx X轴对数刻度坐标图semilogy Y轴对数刻度坐标图series 串联连接set 设置图形对象属性setfield 设置构架数组的域setstr 将ASCII码转换为字符的旧版指令sign 根据符号取值函数signum 符号计算中的符号取值函数sim 运行SIMULINK模型simget 获取SIMULINK模型设置的仿真参数simple 寻找最短形式的符号解simplify 符号计算中进行简化操作simset 对SIMULINK模型的仿真参数进行设置simulink 启动SIMULINK模块库浏览器sin 正弦sinh 双曲正弦size 矩阵的大小slice 立体切片图solve 求代数方程的符号解spalloc 为非零元素配置内存sparse 创建稀疏矩阵spconvert 把外部数据转换为稀疏矩阵spdiags 稀疏对角阵spfun 求非零元素的函数值sph2cart 球坐标变为直角坐标sphere 产生球面spinmap 色图彩色的周期变化spline 样条插值spones 用1置换非零元素sprandsym 稀疏随机对称阵sprank 结构秩spring 紫黄调春色图sprintf 把格式数据写成串spy 画稀疏结构图sqrt 平方根sqrtm 方根矩阵squeeze 删去大小为1的"孤维"sscanf 按指定格式读串stairs 阶梯图std 标准差stem 二维杆图step 阶跃响应指令str2double 串转换为双精度值str2mat 创建多行串数组str2num 串转换为数strcat 接成长串strcmp 串比较strjust 串对齐strmatch 搜索指定串strncmp 串中前若干字符比较strrep 串替换strtok 寻找第一间隔符前的内容struct 创建构架数组struct2cell 把构架转换为元胞数组strvcat 创建多行串数组sub2ind 多下标转换为单下标subexpr 通过子表达式重写符号对象subplot 创建子图subs 符号计算中的符号变量置换subspace 两子空间夹角sum 元素和summer 绿黄调夏色图superiorto 设定优先级surf 三维着色表面图surface 创建面对象surfc 带等位线的表面图surfl 带光照的三维表面图surfnorm 空间表面的法线svd 奇异值分解svds 求指定的若干奇异值switch-case-otherwise 多分支结构sym2poly 符号多项式转变为双精度多项式系数向量symmmd 对称最小度排序symrcm 反向Cuthill-McKee排序syms 创建多个符号对象T ttan 正切tanh 双曲正切taylortool 进行Taylor逼近分析的交互界面text 文字注释tf 创建传递函数对象tic 启动计时器title 图名toc 关闭计时器trapz 梯形法数值积分treelayout 展开树、林treeplot 画树图tril 下三角阵trim 求系统平衡点trimesh 不规则格点网线图trisurf 不规则格点表面图triu 上三角阵try-catch 控制流中的Try-catch结构type 显示M 文件U uuicontextmenu 创建现场菜单uicontrol 创建用户控件uimenu 创建用户菜单unmkpp 逐段多项式数据的反明晰化unwrap 自然态相角upper 转换为大写字母V vvar 方差varargin 变长度输入宗量varargout 变长度输出宗量vectorize 使串表达式或内联函数适于数组运算ver 版本信息的获取view 三维图形的视角控制voronoi Voronoi多边形vpa 任意精度（符号类）数值W wwarning 显示警告信息what 列出当前目录上的文件whatsnew 显示Matlab中Readme文件的内容which 确定函数、文件的位置while 控制流中的While环结构white 全白色图矩阵whitebg 指定轴的背景色who 列出内存中的变量名whos 列出内存中变量的详细信息winter 蓝绿调冬色图workspace 启动内存浏览器X x , Y y , Z zxlabel X轴名xor 或非逻辑yesinput 智能输入指令ylabel Y轴名zeros 全零数组zlabel Z轴名zoom 图形的变焦放大和缩小ztrans 符号计算Z变换MATLAB命令大全Prod 计算数组元素的连乘积。

《数值计算方法》实验指导（Matlab版）肇庆学院数学与统计学学院计算方法课程组《数值计算方法》实验1报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验1 算法设计原则验证（之相近数相减、大数吃小数和简化计算步骤） 2. 实验题目(1) 取1610=z ，计算z z -+1和)1/(1z z ++，验证两个相近的数相减会造成有效数字的损失．(2) 按不同顺序求一个较大的数（123）与1000个较小的数（15310-⨯）的和，验证大数吃小数的现象．(3) 分别用直接法和秦九韶算法计算多项式n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)(在x =1.00037处的值．验证简化计算步骤能减少运算时间．对于第(3)题中的多项式P (x )，直接逐项计算需要2112)1(+=+++-+n n n 次乘法和n 次加法，使用秦九韶算法n n a x a x a x a x a x P ++++=-)))((()(1210则只需要n 次乘法和n 次加法． 3. 实验目的验证数值算法需遵循的若干规则． 4. 基础理论设计数值算法时，应避免两个相近的数相减、防止大数吃小数、简化计算步骤减少运算次数以减少运算时间并降低舍入误差的积累．两相近的数相减会损失有效数字的个数，用一个大数依次加小数，小数会被大数吃掉，乘法运算次数太多会增加运算时间． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab6. 实验过程(1) 直接计算并比较；(2) 法1：大数逐个加1000个小数，法2：先把1000个小数相加再与大数加； (3) 将由高次项到低次项的系数保存到数组A[n]中，其中n 为多项式次数．7. 结果与分析(1) 计算的z z -+1= ，)1/(1z z ++ ．分析：(2) 123逐次加1000个6310-⨯的和是 ，先将1000个6310-⨯相加，再用这个和与123相加得．分析：(3) 计算次的多项式：直接计算的结果是，用时；用秦九韶算法计算的结果是，用时．分析：8. 附录：程序清单(1) 两个相近的数相减．%*************************************************************%* 程序名：ex1_1.m *%* 程序功能：验证两个相近的数相减会损失有效数字个数*%*************************************************************z=1e16;x,y======================================================================(2) 大数吃小数%*************************************************************%* 程序名：ex1_2.m *%* 程序功能：验证大数吃小数的现象. *%*************************************************************clc; % 清屏clear all; % 释放所有内存变量format long; % 按双精度显示浮点数z=123; % 大数t=3e-15; % 小数x=z; % 大数依次加小数% 重复1000次给x中加上ty=0; % 先累加小数% 重复1000次给y中加上ty=z + y; % 再加到大数x,y======================================================================(3) 秦九韶算法%*************************************************************%* 程序名：ex1_3.m *%* 程序功能：验证秦九韶算法可节省运行时间. *%*************************************************************clc; % 清屏clear all; % 释放所有内存变量format long; % 按双精度显示浮点数A=[8,4,-1,-3,6,5,3,2,1,3,2,-1,4,3,1,-2,4,6,8,9,50,-80,12,35,7,-6,42,5,6,23,74,65,55,80,78,77,98,56]; A(10001)=0; % 扩展到10001项，后面的都是分量0% A为多项式系数,从高次项到低次项x=1.00037;n=9000; % n为多项式次数% 直接计算begintime=clock; % 开始执行的时间% 求x的i次幂% 累加多项式的i次项endtime=clock; % 结束执行的时间time1=etime(endtime,begintime); % 运行时间disp('直接计算');disp(['p(',num2str(x),')=',num2str(p)]);disp([' 运行时间: ',num2str(time1),'秒']);% 秦九韶算法计算begintime=clock; % 开始执行的时间% 累加秦九韶算法中的一项endtime=clock; % 结束执行的时间time2=etime(endtime,begintime); % 运行时间disp(' ');disp('秦九韶算法计算');disp(['p(',num2str(x),')=',num2str(p)]);disp([' 运行时间: ',num2str(time2),'秒']);《数值计算方法》实验1报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验1 算法设计原则验证（之数值稳定性） 2. 实验题目 计算定积分⎰==-1110,1,0,d n x e xI x nn ，分别用教材例1-7推导出的算法A 和B ，其中：算法A ：⎩⎨⎧≈-=-6321.0101I nI I n n 算法B ：⎪⎩⎪⎨⎧≈-=-0)1(1101I I nI n n 验证算法不稳定时误差会扩大．3. 实验目的验证数值算法需遵循的若干规则． 4. 基础理论设计数值算法时，应采用数值稳定性好的算法．数值稳定的算法，误差不会放大，甚至会缩小；而数值不稳定的算法会放大误差． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab6. 实验过程分别用数组IA[ ]和IB[ ]保存两种算法计算的结果． 7. 结果与分析8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：ex1_4.m *%* 程序功能：验证数值稳定性算法可控制误差. *%*************************************************************clc; % 清屏clear all; % 释放所有内存变量format long; % 按双精度显示浮点数I=[0.63212055882856, 0.36787944117144, 0.26424111765712, 0.20727664702865, ...0.17089341188538, 0.14553294057308, 0.12680235656154, 0.11238350406938, ... 0.10093196744492, 0.09161229300662, 0.08387707010843];% 保留14位小数的精确值, …是Matlab中的续行符% 算法AIA(1) = 0.6321; % Matlab下标从1开始，所以要用IA(n+1)表示原问题中的I(n）% 算法Bdisp('n 算法A 算法B 精确值');for n=1:11fprintf('%2d %14.6f %14.6f %14.6f\n',n-1,IA(n),IB(n),I(n));end% n显示为2位整数, 其它显示为14位其中小数点后显示6位的小数《数值计算方法》实验1报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验1 算法设计原则（除数绝对值不能太小） 2. 实验题目将线性方程组增广矩阵利用初等行变换可化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛→-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''0'0''02221112'12221121112222211121122121121b a b a r r b a b a a r r b a a b a a a a a a 由此可解得'/',/'22221111a b x a b x ==．分别解增广矩阵为161011212-⎛⎫ ⎪⎝⎭和162121011-⎛⎫⎪⎝⎭的方程组，验证除数绝对值远小于被除数绝对值的除法会导致结果失真． 3. 实验目的验证数值算法需遵循的若干规则． 4. 基础理论设计数值算法时，应避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法，否则绝对误差会被放大，使结果失真． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab6. 实验过程用二维数组A 和B 存放方程组的增广矩阵，利用题目所给初等行变换求解方程组． 7. 结果与分析第1种顺序的方程组的解为x = ，y = ；第2种顺序的方程组的解为x = ，y = ． 分析：8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程 序 名：ex1_5.m * %* 程序功能：验证除数的绝对值太小可能会放大误差. * %*************************************************************clc;A=[1e-16, 1, 1; 2, 1, 2];B=[2, 1, 2; 1e-16, 1, 1]; % 增广矩阵% 方程组A% m = - a_{21}/a_{11} 是第2行加第1行的倍数% 消去a_{21}% m = - a_{12}/a_{22} 是第1行加第2行的倍数% 消去a_{12}, 系数矩阵成对角线% 未知数x1的值% 未知数x2的值disp(['方程组A的解: x1=',num2str(A(1,3)),', x2=',num2str(A(2,3))]);disp(' ');% 方程组B% m = - b_{21}/b_{11} 是第2行加第1行的倍数% 消去b_{21}% m = - b_{12}/b_{22} 是第1行加第2行的倍数% 消去b_{12}, 系数矩阵成对角线% 未知数x1的值% 未知数x2的值disp(['方程组B的解: x1=',num2str(B(1,3)),', x2=',num2str(B(2,3))]);《数值计算方法》实验2报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之简单迭代法) 2. 实验题目用简单迭代法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的掌握非线性方程的简单迭代法． 4. 基础理论简单迭代法：将方程0)(=x f 改写成等价形式)(x x ϕ=，从初值0x 开始，使用迭代公式)(1k k x x ϕ=+可以得到一个数列，若该数列收敛，则其极限即为原方程的解．取数列中适当的项可作为近似解． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之Newton 迭代法) 2. 实验题目用Newton 迭代法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的掌握求解非线性方程的Newton 迭代法． 4. 基础理论Newton 迭代法：解方程0)(=x f 的Newton 迭代公式为)(')(1k k k k x f x f x x -=+．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之对分区间法) 2. 实验题目用对分区间法求方程310x x --=在区间[1, 1.5]内的一个实根，取绝对误差限为410-． 3. 实验目的掌握求解非线性方程的对分区间法． 4. 基础理论对分区间法：取[a ，b ]的中点p ，若f (p ) ≈ 0或b – a < ε，则p 为方程0)(=x f 的近似解； 若f (a ) f (p ) < 0，则说明根在区间取[a ，p ]中；否则，根在区间取[p ，b ]中．将新的有根区间记为 [a 1，b 1]，对该区间不断重复上述步骤，即可得到方程的近似根． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程用宏定义函数f (x )；为了循环方便，得到的新的有根区间始终用[a ，b ]表示； 由于新的有根区间可能仍以a 为左端点，这样会反复使用函数值f (a )，为减少运算次数，将这个函数值保存在一个变量fa 中；同样在判断新的有根区间时用到函数值f (p )，若新的有根区间以p 为左端点，则下一次用到的f (a )实际上就是现在的f (p )，为减少运算次数，将这个函数值保存在一个变量fp 中．算法的伪代码描述：Input ：区间端点a ，b ；精度要求（即误差限）ε；函数f （x ）；最大对分次数N7. 结果与分析8. 附录：程序清单说明: 源程序中带有数字的空行，对应着算法描述中的行号%**********************************************************%* 程序名：Bisection.m *%* 程序功能：使用二分法求解非线性方程. *%**********************************************************f=inline('x^3-x-1'); % 定义函数f(x)a=input('有根区间左端点: a=');b=input('右端点:b=');epsilon=input('误差限:epsilona=');N=input('最大对分次数: N=');1 % 对分次数计数器n置12 % 左端点的函数值给变量fafprintf('\n k p f(p) a(k) f(a(k))');fprintf(' b(k) b-a\n');% 显示表头fprintf('%2d%36.6f%12.6f%12.6f%12.6f\n',0,a,fa,b,b-a);% 占2位其中0位小数显示步数0, 共12位其中小数6位显示各值3 % while n≤ N4 % 取区间中点p5 % 求p点函数值给变量fpfprintf('%2d%12.6f%12.6f',n,p,fp); % 输出迭代过程中的中点信息p和f(p)6 % 如果f(p)=0或b-a的一半小于误差限εfprintf('\n\n近似解为:%f\n',p); % 则输出近似根p (7)return; % 并结束程序(7)89 % 计数器加110 % 若f(a)与f(p)同号11 % 则取右半区间为新的求根区间, 即a取作p12 % 保存新区间左端点的函数值13 % 否则14 % 左半区间为新的求根区间, 即b取作p15fprintf('%12.6f%12.6f%12.6f%12.6f\n',a,fa,b,b-a);% 显示新区间端点及左端函数值、区间长度16fprintf('\n\n经过%d次迭代后未达到精度要求.\n',N); % 输出错误信息(行17)《数值计算方法》实验2报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法(之Aitken-Steffensen 加速法) 2. 实验题目用Aitken-Steffensen 加速法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的熟悉求解非线性方程的Aitken-Steffensen 加速法． 4. 基础理论将方程0)(=x f 改写成等价形式)(x x ϕ=，得到从初值0x 开始的迭代公式)(1k k x x ϕ=+后，基于迭代公式)(1k k x x ϕ=+的Aitken-Steffensen 加速法是通过“迭代-再迭代-加速”完成迭代的，具体过程为kk k k k k k k k k k x y z z y x x y z x y +---===+2)(),(),(21ϕϕ． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程为了验证Aitken-Steffensen 加速法可以把一些不收敛的迭代加速成迭代收敛，我们使用将方程组变形为31021x x -=，取迭代函数31021)(x x -=ϕ，并利用宏定义出迭代函数．由于不用保存迭代过程，所以用x0表示初值同时也存放前一步迭代的值，y 和z 是迭代过程中产生的y k 和z k ，x 存放新迭代的结果．算法的伪代码描述：Input ：初值x 0；精度要求（即误差限）ε；迭代函数φ（x ）；最大迭代次数N7. 结果与分析8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：Aitken_Steffensen.m *%* 程序功能：用Aitken-Steffensen加速法求方程. *%*************************************************************clc;clear all;phi=inline('0.5 * sqrt( 10 - x^3)'); % 迭代函数x0=input('初值: x0 = ');epsilon=input('误差限: epsilon=');N=input('最大迭代次数: N=');disp(' n 迭代中间值y(n-1) 再迭代结构z(n-1) 加速后的近似值x(n)');fprintf('%2d%54.6f\n',0,x0);% 占2位整数显示步数0, 为了对齐, 占54位小数6位显示x01 % n是计数器2 % while n<=Ny= 3 ; % 迭代z= 3 ; % 再迭代x= 3 ; % 加速% x0初值及前一步的近似值, y和z是中间变量, x是下一步的近似值fprintf('%2d%18.6f%18.6f%18.6f\n',n,y,z,x);% 显示中间值和迭代近似值6 % 如果与上一步近似解差的绝对值不超过误差限fprintf('\n\n 近似解x≈x(%d)≈%f\n',n,x);% 则输出近似根(7)，可简略为: fprintf('\n\n近似解x=%f',x);return; % 并结束程序(7)8 % 相当于endif9 % 计数器加110 % 新近似值x作为下一次迭代的初值11fprintf('\n 迭代%d次还不满足误差要求.\n\n',N); %输出错误信息(12)《数值计算方法》实验2报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法（之Newton 下山法） 2. 实验题目用Newton 下山法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为410-．3. 实验目的熟悉非线性方程的Newton 下山法． 4. 基础理论Newton 下山法：Newton 下山法公式为)(')(1k k kk k x f x f x x λ-=+，使|)(||)(|1k k x f x f <+，其中10≤<k λ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程定义函数f(x)和df(x)，其中df(x)是f(x)的导函数．每步迭代时先取下山因子为1，尝试迭代，判断尝试结果是否满足下山因子，若满足则作为这步的迭代结果；否则将下山因子减半，然后再尝试．为防止当前的x k 是极小值点，附近不会有满足下述条件的其它点，使尝试陷入死循环，同时计算机中能表示出的浮点数也有下界，因此我们设置了最大尝试次数．当超过最大尝试次数时，不再进行下山尝试．由于反复尝试迭代且要判断下山条件，所以f (x 0)和f ‘(x 0)会反复使用，为避免重复计算浪费运行时间，将这两个值分别保存在变量fx0和dfx0．而尝试产生的节点，判断下山条件时要用到它的函数值，若尝试成功，这个点会作为下一步的初值再使用，所以把该点的函数值也保存在变量fx 中．算法的伪代码描述：Input ：初值x 0；精度要求（即误差限）ε；函数及其导函数f （x ）和f’(x)；最大迭代次数N ；K 下山尝试最大次数7. 结果与分析8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程序名：NewtonDownhill.m * %* 程序功能：用Newton下山法求解非线性方程. * %*************************************************************clc;clear all;f=inline('x^3-x-1'); % 函数f(x)df=inline('3*x^2-1'); % 函数f(x)的导函数x0=input('初值: x0 = ');epsilon=input('误差限: epsilon=');N=input('最大迭代次数: N=');K=input('最大下山尝试次数: K=');1 % 迭代次数计数器2 % 存x0点函数值fprintf('\n\n n x(n) f(x(n))\n'); % 显示表头fprintf('%2d%14.6f%14.6f\n',0,x0,fx0); % 2位整数显示0, 共14位小数6位显示x0和fx03 % while n ≤ Ndisp(''); % 换行显示下山尝试过程的表头disp(' 下山因子尝试x(n) 对应f(x(n)) 满足下山条件');disp('');4 % 存x0点导数值, 每次下山尝试不用重新计算if dfx0==0 % 导数为0不能迭代disp(‘无法进行Newton迭代’);return;endlambda=1.0; % 下山因子从1开始尝试k=1; % k下山尝试次数计数器while k<=K % 下山最多尝试K次% 下山公式fx=f(x); % 函数值fprintf('%22.6f%14.6f%14.6f',lambda,x,fx); % 显示尝试结果if (abs(fx)<abs(fx0)) % 判断是否满足下山条件fprintf(' 满足\n');break; % 是, 则退出下山尝试的循环elsefprintf(' 不满足\n');endlambda=lambda/2; % 不是, 则下山因子减半k=k+1; % 计数器加1endif k>Kfprintf('\n 下山条件无法满足, 迭代失败.\n\n');return;endfprintf('%2d%14.6f%14.6f\n',n,x,fx);% 2位整数显示步数n, 共14位小数6位显示下步迭代结果22 % 达到精度要求否fprintf('\n\n 方程的近似解为: x≈%f\n\n',x); % (23)return; % 达到, 则显示结果并结束程序(23) end % (24)% 用x0,fx0存放前一步的近似值和它的函数值, 进行循环迭代25262728fprintf('\n 迭代%d次还不满足误差要求.\n\n',N);《数值计算方法》实验2报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验2 非线性方程的迭代解法（之弦截法） 2. 实验题目用弦截法求方程010423=-+x x 在区间[1,2]内的一个实根，取绝对误差限为410-． 3. 实验目的熟悉非线性方程的弦截法． 4. 基础理论将Newton 迭代法中的导数用差商代替，得到弦截法(或叫正割法)公式)()()(111k k k k k k k x f x f x f x x x x --+---=．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程不保存迭代过程，所以始终以x 0和x 1分别存放x k -1和x k ，而x 存放新产生的迭代值x k +1，这样，下一次迭代时需要把上一步的x 1（即x k ）赋值于x 0（做新的x k -1）．这些点的函数值会重复用到，在迭代公式中也要用到，上一步的x 1作为下一步的x 0也会再一次用它的函数值，为减少重新计算该点函数值的运行时间，将x 1点的函数值保存在变量fx1中．算法的伪代码描述：Input ：初值x 0，x 1；精度要求（即误差限）ε；函数f （x ）；最大迭代次数N7. 结果与分析8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：SecantMethod.m *%* 程序功能：用弦截法求解非线性方程. *%*************************************************************clc;clear all;f=inline('2*x^3-5*x-1'); % 函数f(x)x0=input('第一初值: x0 = ');x1=input('第二初值: x1 = ');epsilon=input('误差限: epsilon=');N=input('最大迭代次数: N=');fprintf('\n n x(n)\n'); % 显示表头fprintf('%2d%14.6f\n', 0, x0); % 占2位显示步数0, 共14位其中小数6位显示x0 fprintf('%2d%14.6f\n', 1, x1); % 占2位显示步数1, 共14位其中小数6位显示x11 % 存x0点函数值2 % 存x1点函数值3 % 迭代计数器4 % while n ≤ N% 弦截法公式fprintf('%2d%14.6f\n', n, x); % 显示迭代过程6 % 达到精度要求否fprintf('\n\n 方程的近似解为: x≈%f\n\n', x);return; % 达到, 则显示结果并结束程序89 % 原x1做x0为前两步的近似值10 % 现x做x1为一两步的近似值11 % x0点函数值12 % 计算x1点函数值, 为下一次循环13 % 计数器加114fprintf('\n 迭代%d次还不满足误差要求.\n\n',N);《数值计算方法》实验3报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Gauss 消去法) 2. 实验题目用Gauss 消去法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000.3000.2000.1643.5072.1000.2623.4712.3000.1000.3000.2001.0321x x x ． 3. 实验目的掌握解线性方程组的Gauss 消去法． 4. 基础理论Gauss 消去法是通过对增广矩阵的初等行变换，将方程组变成上三角方程组，然后通过回代，从后到前依次求出各未知数．Gauss 消去法的第k 步(1≤k≤n -1)消元：若0≠kk a ，则依次将增广矩阵第k 行的kkik a a /-倍加到第i 行（k+1≤i≤n ），将第k 列对角线下的元素都化成0． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Gauss 列主元消去法) 2. 实验题目用Gauss 列主元消去法求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000.3000.2000.1643.5072.1000.2623.4712.3000.1000.3000.2001.0321x x x ． 3. 实验目的掌握解线性方程组的Gauss 列主元消去法． 4. 基础理论Gauss 列主元消去法也是通过对增广矩阵的初等行变换，将方程组变成上三角方程组，然后通过回代，从后到前依次求出各未知数．Gauss 列主元消去法的第k 步(1≤k≤n -1)消元：先在nk k k kk a a a ,,,,1 +中找绝对值最大的，将它所在的行与第k 行交换，然后将第k 行的kk ik a a /-倍加到第i 行（k+1≤i≤n ），将第k 列对角线下的元素都化成0． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Doolittle 分解) 2. 实验题目对矩阵A 进行Doolittle 分解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3101141101421126A ．3. 实验目的掌握矩阵的Doolittle 分解． 4. 基础理论矩阵的Doolittle 分解是指将矩阵n n ij a A ⨯=)(可以分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积．若设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n n u u u u u u u u u u U l l ll l l L000000,1010010001333223221131211321323121则可依如下顺序公式计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=+=-=∑∑-=-=1111,,2,1,/)(,,1,,k t kk tk it ik ik k r rj kr kj kj nk k i u u l a l nk k j u l a u其中k = 1，2，…，n ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程（1）按计算公式依次计算一行u 同时计算一列l ；（2）因为计算完u ij （或l ij ）后，a ij 就不再使用，为节省存储空间，将计算的u ij （和l ij ）仍存放在矩阵A 中的相应位置；（3）使用L 矩阵和U 矩阵时需要根据元素所在位置取固定值或A 中相应位置的值．L 对角线上的元素为1，上三角部分为0，下三角部分为A 中对应的元素；U 的下三角部分为0，上三角部分为A 中对应的元素．算法的伪代码描述：Input：阶数n；矩阵A7. 结果与分析8. 附录：程序清单%****************************************************% 程序名: Doolittle.m *% 程序功能: 矩阵LU分解中的Doolittle分解. *%****************************************************clc;clear all;n=4; % 矩阵阶数A=[6 2 1 -1;2 4 1 0; 1 1 4 -1; -1 0 -1 3]disp('A=');disp(A);% LU分解(Doolittle分解)for k=1:n% 计算矩阵U的元素u_{kj}% (可参照下面l_{ik}的公式填写)% 计算矩阵L的元素l_{ik}% L在A下三角, U在上三角(对角线为1) enddisp('分解结果：');disp('L=');for i=1:nfor j=1:nif i>j % 在下三角部分, 则取A对于的元素显示fprintf(' %8.4f',A(i,j));elseif i==j % 在对角线上, 则显示1fprintf(' %8d',1);else % 在上三角部分, 则显示0fprintf(' %8d',0);endendfprintf('\n'); % 换行enddisp('U=');for i=1:nfor j=1:nif i<=j % 在上三角部分或对角线上, 则取A对于的元素显示fprintf(' %8.4f',A(i,j));else % 在下三角部分, 则显示0fprintf(' %8d',0);endendfprintf('\n'); % 换行end《数值计算方法》实验3报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之LU 分解法) 2. 实验题目用LU 分解(Doolittle 分解)法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++104615631552162321321321x x x x x x x x x 3. 实验目的熟悉解线性方程组LU 分解法． 4. 基础理论若将矩阵A 进行了Doolittle 分解，A = LU ，则解方程组b x A=可以分解求解两个三角方程组b y L =和y x U=．它们都可直接代入求解，其中b y L =的代入公式为∑-==-=11,,2,1,k j j kj k k n k y l b y而y x U=的代入公式为∑+=-=-=nk j kk j kjk k n n k u x uy x 11,,1,,/)( ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程（1）Doolittle 分解过程依次计算一行u 同时计算一列l 完成，并将计算的u ij （和l ij ）仍存放在矩阵A 中的相应位置；（2）求解方程组的代入公式中用到的u ij 和l ij 都直接在A 的相应位置取值即可． 算法的伪代码描述：Input ：阶数n ；矩阵A ；常数项向量b5 for k ← 1 to n6 ∑+=-=-=nkjkkjkjk knnkuxuyx11,,1,,/)( 回代求解Ux=y7 endfor8 return x1,…,x n7. 结果与分析8. 附录：程序清单%****************************************************% 程序名: LinearSystemByLU.m *% 程序功能: 利用LU分解(Doolittle分解)解方程组. *%****************************************************clc;clear all;n=3; % 矩阵阶数A=[1 2 6; 2 5 15; 6 15 46];b=[1;3;10];% LU分解(Doolittle分解)for k=1:n% 计算矩阵U的元素u_{kj}% (可参照下面l_{ik}的公式填写)% 计算矩阵L的元素l_{ik}% L在A下三角, U在上三角(对角线为1)endfor k=1:n % 用代入法求解下三角方程组Ly=by(k)=b(k);3%∑-==-=11,,2,1,k j j kjk k n k y lb y3 3enddisp('方程组Ly=b 的解：y='); disp(y');for k=n:-1:1 % 回代求解上三角方程组Ux=y x(k)=y(k);6%∑+=-=-=nk j j kjk k n n k x uy x 11,,1,,66 6enddisp('原方程组的解：x='); disp(x');《数值计算方法》实验3报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之Cholesky 分解) 2. 实验题目对矩阵A 进行Cholesky 分解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3101141101421126A ．3. 实验目的理解矩阵的Cholesky 分解． 4. 基础理论矩阵的Cholesky 分解是指将矩阵n n ij a A ⨯=)(可以分解为一个下三角矩阵L 和L 转置的乘积，即A =LL T ，其中L 各元素可依如下顺序公式计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-=∑∑-=-=11112,,2,1,/)(k t kktk it ik ik k r kr kk kk nk k i l l l a l l a l其中k = 1，2，…，n ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：VC++ 6. 实验过程（1）按计算公式依次先计算一列对角线上的元素l kk ，再计算这列其他元素l ik ，且对称位置的元素也取同一个值；（2）因为计算完l ij 后，a ij 就不再使用，为节省存储空间，将计算的l ij 仍存放在矩阵A 中的相应位置；（3）使用L 矩阵时需要根据元素所在位置取固定值或A 中相应位置的值．L 上三角部分为0，对角线和下三角部分为A 中对应的元素．算法的伪代码描述： Input ：阶数n ；矩阵AOutput ：矩阵L (合并存储在数组A 中)2∑-=-=112k r kr kk kk l a l3 for i ← k to n4 ∑-=-=11/)(k t kk tk it ik ik l l l a l计算结果存放在a ij 5 endfor 6 endfor 7return L输出L7. 结果与分析8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程 序 名：Cholesky.m * %* 程序功能：对称正定矩阵的Cholesky 分解. * %*************************************************************n=4; % 矩阵阶数 A=[6,2,1,-1; 2,4,1,0; 1,1,4,-1; -1,0,-1,3];disp('A ='); for i=1:n for j=1:nfprintf('%10.4f',A(i,j)); % 共占14位end fprintf('\n');% 一行结束换行end% Cholesky 分解for k=1:n% 计算对角线上的l _{kk}% 计算其他的l _{ik} % 和l _{ki}end % L在A下三角, L^T在上三角disp('分解结果：');disp('L=');for i=1:nfor j=1:nif i>=j % 在下三角部分或对角线上, 则取A对于的元素显示fprintf('%10.4f',A(i,j));else % 在上三角部分, 则显示0fprintf('%10d',0);endendfprintf('\n'); % 换行end《数值计算方法》实验3报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之改进的Cholesky 分解) 2. 实验题目对矩阵A 进行改进的Cholesky 分解，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3101141101421126A ．3. 实验目的理解矩阵改进的Cholesky 分解． 4. 基础理论矩阵的改进的Cholesky 分解是指将矩阵n n ij a A ⨯=)(可以分解为一个单位下三角矩阵L 和对角矩阵D 及L 转置的乘积，即A =LDL T ，其中L 和D 各元素可依如下顺序公式计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=-=∑∑-=-=11112,,2,1,/)(k t k kt it t ik ik k r kr r kk k nk k i d l l d a l l d a d其中k = 1，2，…，n ．5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：VC++ 6. 实验过程（1）按计算公式依次先计算D 的一个元素d k ，再计算L 中这列的元素l ik ，且对称位置的元素也取同一个值；（2）因为计算完d k 和l ij 后，a kk 或a ij 就不再使用，为节省存储空间，将计算的a kk 或l ij仍存放在矩阵A 中的相应位置；（3）使用L 矩阵时需要根据元素所在位置取固定值或A 中相应位置的值．L 对角线和上三角部分为0，下三角部分为A 中对应的元素；D 对角线为A 中对应的元素，其余都是0．算法的伪代码描述： Input ：阶数n ；矩阵AOutput ：矩阵L (合并存储在数组A 中)2 ∑-=-=112k r kr r kk k l d a d3 for i ← k to n4 ∑-=-=11/)(k t k kt it t ik ik d l l d a l计算结果存放在a ij 5 endfor 6 endfor7return L, D输出L 和D7. 结果与分析8. 附录：程序清单%************************************************************* %* 程 序 名：ImprovedCholesky.m * %* 程序功能：对称正定矩阵的改进的Cholesky 分解. * %*************************************************************n=4; % 矩阵阶数 A=[6,2,1,-1; 2,4,1,0; 1,1,4,-1; -1,0,-1,3];disp('A ='); for i=1:n for j=1:nfprintf('%10.4f',A(i,j)); % 共占14位end fprintf('\n');% 一行结束换行end% Cholesky 分解 for k=1:n% 计算D 对角线上的u _{kk}% 计算L 的元素l _{ik} % 和L 转置的元素l _{ki}end % L在A下三角, D在对角线disp('分解结果：');disp('L=');for i=1:nfor j=1:nif i>j % 在下三角部分, 则取A对于的元素显示fprintf('%10.4f',A(i,j));elseif i==j % 在对角线上, 则显示1fprintf('%10d',1);else % 在上三角部分, 则显示0fprintf('%10d',0);endendfprintf('\n'); % 换行enddisp('D=');for i=1:nfor j=1:nif i==j % 在对角线上, 则取A对于的元素显示fprintf('%10.4f',A(i,j));else % 其余显示0fprintf('%10d',0);endendfprintf('\n'); % 换行end《数值计算方法》实验3报告班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验3 解线性方程组的直接法(之追赶法) 2. 实验题目用追赶法求解线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----101053001210023100124321x x x x 3. 实验目的熟悉解线性方程组的追赶法． 4. 基础理论对于系数矩阵为三对角矩阵的方程组，其Crout 分解可分解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------11111211122111122211n n nn n n n n n n t t t s a s a s a s b a c b a c b a c b A这样，解方程组可以由如下2步完成：“追”：,,,3,2,/)(,,/,/,1111111111n i s y a f y t a b s s c t s f y b s i i i i i i i i i i i i =-=-====-----其中：Tn f f ),,(1 为方程组的常数项，n t 没用；“赶”：.1,,2,1,,1 --=-==+n n i x t y x y x i i i i n n5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程在“追”的过程中，向量s 和y 都有n 个元素，t 只有n -1个元素，又1s 和1y 的计算公式与其它i s 和i y 不同，所以先单独计算1s 和1y ，然后在一个n -1次循环中，求其它i s 和i y 以及i t ．由于在“追”的过程中，i b ，i c 和i f 在分别计算完对应的i s ，i t 和i y 后就不再使用，所以借用数组b ，c 和f 存储向量s ，t 和y ；同样在“赶”的过程中，i y 在计算完对应的i x 后就不再使用，所以再一次借用数组f 存储向量x ．追赶法算法的伪代码描述：Input ：阶数n ；三对角矩阵的三条对角线向量a ，b ，c ，常数项向量f Output ：方程组的解x改进的追赶法算法的伪代码描述：Input ：阶数n ；三对角矩阵的三条对角线向量a ，b ，c ，常数项向量f Output ：方程组的解x7. 结果与分析8. 附录：程序清单%*************************************************************%* 程序名：ChaseAfter.m *%* 程序功能：用追赶法求解三对角线性方程组. *%*************************************************************clc;clear all;n=4;a=[0,-1,-1,-3];b=[2, 3, 2, 5];c=[-1, -2, -1, 0];f=[0, 1, 0, 1];% "追"s(1) = b(1);y(1) = f(1); % 先单独求s_1和y_1for k = 1 : n-1% 再求t_i(i=1,2,…,n-1)% s_i(i=2,3,…,n)% y_i(i=2,3,…,n)end% "赶"x(n) = y(n); % 先单独求x_nfor k = n-1 : -1 : 1% 再求x_i(i=n-1,n-2, (1)endx=x' % 输出解向量------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 改进的程序:%*************************************************************%* 程序名：ChaseAfter.m *%* 程序功能：用追赶法求解三对角线性方程组. *%*************************************************************clc;clear all;n=4;a=[0,-1,-1,-3];b=[2, 3, 2, 5];c=[-1, -2, -1, 0];f=[0, 1, 0, 1];% "追"% b(1)=b(1); % s_1仍在b_1中，不用重新计算y(1)=f(1)/b(1); % 先单独y_1for k=1:n-1% 再求t_i(i=1,2,…,n-1)% s_i(i=2,3,…,n)% y_i(i=2,3,…,n)end% "赶"% f(n)=f(n); % x_n等于y_n仍在f_n中for k=n-1:-1:1% 再求x_i(i=n-1,n-2, (1)endx=f' % 输出解向量班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验4 解线性方程组的迭代法(之Jacobi 迭代) 2. 实验题目用Jacobi 迭代法求解线性方程组1231231232251223x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪⎩任取3. 实验目的掌握解线性方程组的Jacobi 迭代法． 4. 基础理论将第i （n i ≤≤1）个方程i n in i i b x a x a x a =+++ 2211移项后得到等价方程ii n in i i i i i i i i i a x a x a x a x a b x /)(11,11,11------=++--便可构造出Jacobi 迭代公式,1,0,/)()()(11,)(11,)(11)1(=------=++--+k a x a x a x a x a b x ii k n in k i i i k i i i k i i k i ． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单班级： 20xx 级XXXXx 班 学号： 20xx2409xxxx 姓名： XXX 成绩：1. 实验名称实验4 解线性方程组的迭代法(之Gauss-Seidel 迭代) 2. 实验题目用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=+-+-=+-15831110225311621043243214321321x x x x x x x x x x x x x x3. 实验目的掌握解线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法． 4. 基础理论将第i （n i ≤≤1）个方程i n in i i b x a x a x a =+++ 2211移项后得到等价方程ii n in i i i i i i i i i a x a x a x a x a b x /)(11,11,11------=++--便可构造出Jacobi 迭代公式,1,0,/)()()(11,)(11,)(11)1(=-----=++--+k a x a x x a x a b x ii k n in k i i i k i i i k i i k i 和Gauss-Seidel 迭代公式,1,0,/)()()(11,)1(11,)1(11)1(=-----=+++--++k a x a x a x x a b x ii k n in k i i i k i i i k i i k i ． 5. 实验环境操作系统：Windows xp ； 程序设计语言：Matlab 6. 实验过程7. 结果与分析8. 附录：程序清单。