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数学中的排列与组合在数学中，排列与组合是两个基本概念，它们在集合和计数问题中起到重要作用。
排列和组合有着不同的定义和用途，下面将详细讨论它们。
一、排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象或者将若干个对象进行一些操作的方式。
常用的排列方法有全排列和循环排列。
1. 全排列全排列是指将一个集合中的所有元素进行排列，并且每个元素都只能使用一次。
假设有n个元素，全排列的总数为n!，即n的阶乘。
例如，对于集合{1, 2, 3}，全排列的结果为{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3,1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}。
2. 循环排列循环排列是指将一个集合中的所有元素进行排列，并且每个元素可以使用多次。
对于包含n个元素的集合，循环排列的总数为n^n。
例如，对于集合{1, 2, 3}，循环排列的结果为{(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2,1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), ...}。
二、组合组合是指从一个集合中选择若干个元素形成子集的方式，与排列不同的是，组合中的元素是无序的，排列中的元素是有序的。
组合有两种常用的方法：选择法和递推法。
1. 选择法选择法是一种直接选择元素的方法。
假设有n个元素，选择其中m个元素进行组合，选择法的总数可以通过数学公式C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)计算得到。
例如，对于集合{1, 2, 3}，选择其中2个元素进行组合的结果为{(1, 2), (1, 3), (2, 3)}。
2. 递推法递推法是一种通过递推关系计算组合总数的方法。
假设有n个元素，选择其中m个元素进行组合，递推法的总数可以通过递推关系C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)计算得到。
例如，对于集合{1, 2, 3}，选择其中2个元素进行组合的结果也为{(1, 2), (1, 3), (2, 3)}。
排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．
【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．
（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？
【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．解：（1）①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）
（2）①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；
（3）①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；
（4）①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．
【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.。
排列与组合的基本概念排列与组合是组合数学中的基本概念，它们是用来描述对象排列顺序和选择方式的数学方法。
在数学和计算机科学领域中，排列与组合经常被应用于概率统计、密码学、信息理论等方面。
本文将介绍排列与组合的基本概念及其应用。
一、排列的概念和应用排列是指从N个不同元素中选取M个元素，按照一定的顺序进行排列，共有多少种不同的排列方式。
排列的计算公式为P(N,M)=N!/(N-M)!，其中N!表示N的阶乘，即N! = N*(N-1)*(N-2)*...*1。
排列的应用广泛，比如在密码学中用于生成密码，还可以用于组织活动时的座位安排等。
二、组合的概念和应用组合是指从N个不同元素中选取M个元素，不考虑其排列顺序的选择方式，共有多少种不同的组合方式。
组合的计算公式为C(N,M)=N!/(M!(N-M)!)。
组合也有广泛的应用，比如在概率统计中用于计算事件发生的可能性，还可用于开发适用于多个不同场景的算法等。
三、排列与组合的区别排列与组合的区别主要在于排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
以选取3个人从5个人中进行排列和组合为例：- 排列的结果为选取3个人从5个人中按照一定顺序进行排列，共有5*4*3=60种不同的排列方式。
- 组合的结果为选取3个人从5个人中进行组合，不考虑顺序，共有5*4*3/(3*2*1)=10种不同的组合方式。
四、排列与组合的应用举例1. 在概率统计中，排列与组合被广泛应用于计算事件发生的可能性。
比如在抽奖活动中，如果有10个人参与抽奖，每个人的中奖概率相同，那么中奖的排列数为P(10,1)=10，中奖的组合数为C(10,1)=10。
2. 在密码学中，排列与组合被用于生成密码。
通过将字符排列组合，可生成不同的密码，提高密码的复杂度，增加密码破解的难度。
3. 在信息理论中，排列与组合可以用于计算编码和压缩算法的效率。
通过组合不同的编码方式，可实现更高效的数据传输和存储。
综上所述，排列与组合是组合数学中的重要概念，它们用于描述对象排列顺序和选择方式的数学方法。
排列与组合的基本概念知识点总结在数学中，排列与组合是一种常见且重要的概念，用于解决计数问题。
它们在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行总结。
一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
常用的符号表示为P。
排列根据是否考虑顺序的不同又可分为两类：有重复排列和无重复排列。
1. 无重复排列无重复排列是指从不同的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个不同的对象，如果要选取r个对象进行排列，则无重复排列数记为P(n, r)。
其计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。
2. 有重复排列有重复排列是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，并按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个对象中，其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行排列的过程，有重复排列数记为P(n; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：P(n; p1, p2, ..., pk) = n! / (p1! × p2! × ... × pk!)二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分对象，不考虑顺序进行组合的过程。
常用的符号表示为C。
组合根据是否考虑选取对象的不同又可分为两类：有重复组合和无重复组合。
1. 无重复组合无重复组合是指从n个不同的对象中选取r个对象进行组合的过程。
无重复组合数记为C(n, r)。
其计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)2. 有重复组合有重复组合是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，不考虑顺序进行组合的过程。
其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行组合的过程，有重复组合数记为C(n + r -1; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：C(n + r -1; p1, p2, ..., pk) = (n + r -1)! / (r! × p1! × p2! × ... × pk!)三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有着广泛的应用。
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号表示.4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式（1）排列数公式（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（2）组合数公式（这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（3）组合数的两个性质规定：二、疑难知识导析1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。
从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.2．排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.3．排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考.③恰当分类，合理分步.④在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用.解排列应用题的基本思路：①基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.5．排列与组合的区别与联系：①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.③排列数与组合数的联系.求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，可以分为以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数；第二步，求每一个组合中ｍ个元素的全排列数.根据分步计数原理，得到＝.从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）.三、经典例题导讲[例1] 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？[例2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？[例3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？[例5]某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？[例6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？。
排列与组合的区别技巧排列和组合是数学中常见的概念，用于计算一定范围内的排列或组合的个数。
尽管这两个概念听起来很相似，但实际上它们有着本质的区别。
在本文中，我们将探讨排列和组合的区别以及如何应用它们。
1. 排列和组合的定义排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，其排列数用P(n,m)表示，公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
P(5,3)就表示从5个元素中取3个元素的排列数，它的计算式为5!/(5-3)! = 5 × 4 × 3 = 60。
C(5,3)表示从5个元素中选出3个元素组成的集合数，它的计算式为5!/(3! × 2!) = 10。
AB AC BA BC CA CB这是因为“AB”和“BA”被视为两种不同的排列方式，因为它们的元素顺序不同。
排列相对于元素的顺序是敏感的。
应用排列与组合的场景非常广泛，例如在密码学、计算机科学、统计学、经济学等多个领域都有着重要的应用。
在密码学中，排列和组合被用于计算密码中可能的排列组合，以及在密码破解时破译密码。
在计算机科学中，排列和组合被用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度，以及进行搜索和排序算法等操作。
在经济学中，排列和组合被用于计算市场需求和供应的排列组合，以及进行产业分析和商业决策等操作。
4. 总结与结论排列和组合是数学中常用的概念。
其最大的区别在于元素的顺序是否重要。
排列相对于元素的顺序是敏感的，而组合相对于元素的顺序是不敏感的。
我们可以应用排列和组合计算密码、算法复杂度、统计概率以及进行商业决策等多个领域。
在应用排列和组合时，我们需要根据不同情况选择适当的计算方式。
在实际应用中，我们需要了解排列和组合的特性，并选择适当的计算方式。
下面我们将深入探讨排列和组合的特性及其应用。
1. 排列的特性（1）重复元素：在排列的情况中，如果有重复的元素，其排列数可以用重复因子的方法进行计算。
高中数学中的排列与组合问题解析与技巧导言：在高中数学中，排列与组合是一个重要的数学概念和工具。
它们不仅在数学中具有重要的地位，还在现实生活中有广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行解析，并介绍一些解题技巧和实际应用。
一、排列与组合的基本概念1. 排列：排列是指从n个不同的元素中，取出r个元素进行排序的方法总数，用P(n, r)表示。
其中，n表示元素的总数，r表示要取出的元素个数。
排列问题中，元素的顺序是重要的。
2. 组合：组合是指从n个不同的元素中，取出r个元素的组合方式的总数，用C(n, r)表示。
与排列不同的是，组合问题中，元素的顺序并不重要。
二、排列与组合的关系和计算公式排列与组合之间有以下关系：P(n, r) = n! / (n - r)!C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)其中，"!"表示阶乘运算，即某个正整数n的阶乘为1*2*3*...*n。
三、排列与组合的应用举例1. 从一组人中选出一个委员会：假设有10个人，从中选出一个由3人组成的委员会。
这是一个组合问题，可以使用组合公式C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!)进行计算。
结果为C(10, 3) = 120种不同的选委员会方式。
2. 买彩票中奖的概率计算：假设彩票中有50个号码，要中3个号码的一等奖。
这是一个排列问题，可以使用排列公式P(50, 3) = 50! / (50 - 3)!进行计算。
结果为P(50, 3) = 19,600种不同的中奖号码排列方式。
四、排列与组合问题的解题技巧1. 理解题意：在解决排列与组合问题时，首先要准确理解题意。
明确元素的总数和要取出的个数，确定问题的类型是排列还是组合。
2. 熟练运用计算公式：排列与组合的计算公式是解决问题的基础，需要熟练掌握。
在计算过程中，可以利用阶乘的定义，将问题化简为简单的数学运算。
3. 注意特殊情况：有些排列与组合问题中存在特殊情况，需要注意。
第2讲 排列与组合一、知识梳理 1．排列、组合的定义排列的定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！C mn ＝A m n A m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！性质A n n ＝n ！，0！＝1 C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋11．“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．二、教材衍化1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72 D．24解析：选D.“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A．8 B．24C．48 D．120解析：选C.末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24C．30 D．36解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(4)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(5)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)分类不清导致出错；(2)相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有C26C35种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：3502．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：设这5件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法，再与产品D，E全排列有A33种摆法，最后把产品C插空有C13种摆法，所以共有A22A33 C13＝36(种)不同摆法．答案：36排列问题(师生共研)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法(2020·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种解析：选B.由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有A22A23＋A12A33＋A12A22＋C12C12A22A22＝44(种)，故选B.组合问题(师生共研)某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【解】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100种取法．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)法一(间接法)：选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．法二(直接法)：共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．两类有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，用间接法求解．1．(2020·沈阳模拟)某地区高考改革实行“3＋1＋2”模式，“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门科目，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门科目中任意选择两门科目，则一名学生的不同选科组合有()A．8种B．12种C．16种D．20种解析：选C.若一名学生只选物理和历史中的一门，则有C12C24＝12种组合；若一名学生物理和历史都选，则有C14＝4种组合，因此共有12＋4＝16种组合．故选C.2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选2门不同的选法种数为C24C24，又甲、乙两人所选的2门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(多维探究)角度一排列与组合应用题(1)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为() A．15 B．20C．30 D．42(2)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6【解析】(1)四个篮球中两个分到一组有C24种分法，三个篮球进行全排列有A33种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30种分法．(2)从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有A23＝6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位(或百位)，从1，3，5中选两个数字排在百位(或十位)、个位，共有A12·A23＝12种，故共有A23＋A12A23＝18种．故选B.【答案】(1)C(2)B解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．角度二定序问题某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．【解析】添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A77种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A1010种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有A1010＝720(种)．A77【答案】720定序问题可用直接法，也可用间接法．1．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选B.根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A 社区，此时将丙丁二人安排到B 、C 社区即可，有A 22＝2种情况，②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种．故选B.2．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：选C.根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法：②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C 12A 44＝ 24种情况，即此时有24种不同的着舰方法．则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法．故选C.3．6位机关干部被选调到4个贫困自然村进行精准扶贫，要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作，且每个自然村至少有1位机关干部扶贫，则不同的分配方案有________种．解析：先将6位机关干部分成四组，有(1，1，1，3)和(1，1，2，2)两种情况，所以不同的分配方案共有⎝⎛⎭⎫C 36＋C 26C 242·A 44＝65×24＝1 560(种)． 答案：1 560分组分配问题中的易错点分组问题是同学们学习中的难点问题，在考试中不容易得分，在解题过程中容易掉入陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意的是只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．一、整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．【解析】 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33A 33＝90种分配方法．【答案】 90对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数．二、部分均分问题将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】 先将5人分成三组(1，1，3或2，2，1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有⎝⎛⎭⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900种． 【答案】 900本题属于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．三、不等分组问题将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C16种选法；再从余下的5本中选2本，有C25种选法；最后余下3本全选，有C33种选法．故共有C16·C25·C33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A33＝360种分配方法．【答案】360对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时，任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．总之，在解答分组问题时，一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏，抓住了以上关键点，就能避免掉进陷阱．[基础题组练]1．(2020·河南开封一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》；现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有()A．18种B．24种C．36种D．54种解析：选D.(1)若甲选《春秋》，则有C13A33＝18种情况；(2)若甲不选《春秋》，则有A23A33＝36种情况．所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种．故选D.2．(2020·湖南长郡中学模拟)某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有()A．72种B．48种C．36种D．24种解析：选C.根据题意，分2步分析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有A33＝6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，有A23＝6种排法，则后六场开场诗词的排法有6×6＝36种，故选C.3．(2020·云南昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有() A．30 B．40C．60 D．90解析：选B.根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，相互调整座位，有C36＝20种选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，A，B，C相互调整座位有2种情况．则不同的调整方案有20×2＝40种，故选B.4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．(2020·四川广安、眉山、内江、遂宁一诊)某地环保部门召集6家企业的负责人参加座谈会，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A．15 B．30C．35 D．42解析：选B.根据题意，分两类情况讨论：选出的3人中没有人来自甲企业，在其他5个企业中任选3个即可，有C 35＝10种情况；选出的3人中有人来自甲企业，则甲企业只能有1人参与，在其他5个企业中任选2个即可，有2×C 25＝20种情况．则不同的情况共有10＋20＝30种，故选B.7．(2020·河南南阳模拟)把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中 ，不允许有空盒子的放法有( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中， 且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有C 24＝6种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A 33＝6种放法．则不允许有空盒子的放法有6×6＝36种．8．(2020·陕西汉中调研)某中学元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在节目乙的前面，节目丙不能排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A ．720种B ．360种C ．300种D ．600种解析：选C.先安排好除节目丙之外的5个节目，有A 55A 22＝60种可能，再安排节目丙，有5种可能，共60×5＝300种方案．故选C.9．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A 22A 33，A 22A 33，C 12A 22A 33，C 13A 22A 33，C 13A 22A 33，故总编排方案有A 22A 33＋A 22A 33＋C 12A 22A 33＋C 13A 22A 33＋C 13A 22A 33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C 14A 22A 33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C 13A 22A 33＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．10．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22A 23＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.12．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 解析：选C.甲所设密码共有C 34C 14C 13＝48种不同设法，乙所设密码共有C 24A 242！＝36种不同设法，丙所设密码共有C 24C 14A 23＝144种不同设法，丁所设密码共有A 44＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C.13．(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共________种．解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有A22种方法，然后插入1名男演员，有A13种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有A33种方法．再根据分步乘法计数原理，可得不同的出场顺序有A22·A13·A33＝36种．答案：3614．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)解析：由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C36＝20种不同的选法．答案：2015．(2020·江西上饶联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A3n－2种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有A23A2n－2种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A3n－2＝A23A2n－2，解得n＝10.答案：1016．(2020·浙江嘉兴一中、湖州中学联考)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C15＝5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有A25＝5×4＝20种方法，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A45＝5×4×3×2＝120种；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C14＝4种方法，而后确定其他三个数位上的数有A34＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计算原理，可得共有120＋96＝216个数．答案：100216[综合题组练]1．(2020·江西临川一中等九校联考)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为()A．12 B．24C．36 D．48解析：选D.设6种产品分别为a，b，c，d，e，f，如图，根据题意，安全的分组方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8种，每一种分组安排到3个仓库，有A33种方法，故总的方法有8×A33＝48种．故选D.2．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有()A．12种B．16种C．18种D．36种解析：选C.先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C24·C222！·A22＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)．3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方。
排列与组合课上讲解： 1．排列(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示． (3)排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)． (4)全排列数公式A nn ＝n (n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)． 2．组合(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示． (3)组合数公式 C m n＝A mn A m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C mn ＝C n －mn ；②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n . 3.排列与组合的区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 4.处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
题型一：排列问题有条件的排列问题分四种类型：(1)某元素不在某个位置上问题：（特殊元素优先考虑）①直接法：可从位置考虑用其它元素占上该位置；②间接法：间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．1.六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数2.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。
第一讲 排列与组合【基础知识】1）排列：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序(或不同的位置)排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．注意：排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素（不重复取）”；二是“选出的元素与顺序有关”2）从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数． 3) 排列数公式： 4) 全排列5）一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．6）排列与组合的共同点与不同点共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．排列与元素的顺序有关，而 7）组合数公式8）组合数的性质【典型例题】一、两个基本原理例1．由数字1,2,3,4（1） 可以组成多少个3位数；（2） 可组成多少个没有重复数字的三位数；（3） 可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字。
例2.用5种不同的颜色给途中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？),(,*N n m n m A m n ∈≤、记为：)!(!)1()2)(1(n m n m m n n n n A m -=+---= 12)1(n ⋅-= n n A n m n n m n C C -=11-++=m nm n m n C C C 10=n C变式训练1：1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方式的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有多少种？2. 将3种作物种植在如右图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方式有多少种？3. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方式有多少种？4. 如图，一个环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为多少种？5. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144二．排列与组合例3.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排列种数.(1) 甲不排在头、乙不在排尾；(2) 甲不在第一位，乙不在第二位，丙不在第三位，丁不在第四位；(3) 甲一定在乙的右端（可以不邻）.例4. 由数字0,1,2,3,4,5可组成（各位上的数字不允许重复）（1）多少个6位数；（2）多少个6位偶数；（3）多少个被5整除的五位数.变式训练2：1. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览。
概率问题中的排列与组合在概率统计学中，排列与组合是常用的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列和组合是概率问题中重要的概念，在实际应用中被广泛使用。
一、排列排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序不同即可形成不同的排列方式。
常用的计算排列的方法有全排列和部分排列两种。
1. 全排列全排列是指从n个元素中选出m个进行排列，其中n≥m。
全排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，那么全排列的结果就是 P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 种。
2. 部分排列部分排列是指从n个元素中选出m个进行排列，但是不要求完全排列。
部分排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，但不要求完全排列，那么部分排列的结果就是 A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! =60 种。
二、组合组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不同不会形成不同的组合方式。
常用的计算组合的方法有普通组合和重复组合两种。
1. 普通组合普通组合是指从n个元素中选出m个进行组合，其中n≥m。
普通组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行组合，那么普通组合的结果就是 C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 种。
2. 重复组合重复组合是指从n个元素中选出m个进行组合，允许重复选取，其中n≥m。
重复组合的计算公式为：H(n,m) = C(n+m-1,m) = (n+m-1)! / (m! * (n-1)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，可以重复选取，要选出3个进行组合，那么重复组合的结果就是 H(5, 3) = C(5+3-1, 3) = (5+3-1)! / (3! * (5-1)!) = 35 种。
小学数学认识排列和组合在小学数学学习中，排列和组合是重要的概念。
通过学习排列和组合，学生可以培养逻辑思维能力，提高问题解决能力。
接下来，我们将详细介绍排列和组合的概念以及它们在数学中的应用。
一、排列的概念及应用排列是指从给定元素中取出若干个元素进行排序的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
以小学生选取三个班委为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过排列确定选取班委的不同方式。
排列的表示方法通常使用P表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行排列。
排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!例如，在上述小学生选取三个班委的例子中，可以计算出排列的数目：P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60。
排列的应用非常广泛，例如在密码学中，排列可以用来生成密码；在比赛中，排列可以用来确定选手的名次等等。
二、组合的概念及应用组合是指从给定元素中取出若干个元素的方式，与排列不同的是，组合中元素的顺序不重要。
以小学生选取三个同学合作为例，假设有5个候选人，那么小学生可以通过组合确定合作的不同方式。
组合的表示方法通常使用C表示，例如，表示从n个元素中取出m个元素进行组合。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)例如，在上述小学生选取三个同学合作的例子中，可以计算出组合的数目：C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
组合的应用也非常广泛，例如在概率统计中，组合可以用来计算事件的可能性；在数学建模中，组合可以用来确定问题的解空间等等。
三、排列和组合的区别与联系排列和组合都是数学中的基本概念，它们在计算方式上有所不同。
排列强调元素的顺序，而组合不强调元素的顺序。
排列和组合的联系在于它们都可以用于确定从给定元素中取出若干个元素的方式，它们都是离散数学中的重要分支。
四、小学数学中排列和组合的教学应用在小学数学教学中，可以通过生活实例向学生介绍排列和组合的概念，并结合具体问题进行实际计算。
德阳市第一小学2011秋期汇报课教案
数学广角——排列和组合
教学内容：义务教育课程标准实验教科书二年级上册第99页数学广角中的排列和组合。
教学目标：
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。
2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。
4、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学数学的信心。
教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程
教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同
教具准备：教学课件
学具准备：每生准备3张数字卡片，记录表，学具袋
教学过程：
一、开门见山引入新课：
师：今天老师带小朋友去数字宫玩数字游戏，想玩吗？
1、用1、2两张卡片摆两位数
（1）贴在黑板上，师：你能用这两
张数字卡片1、2摆出几个不同的两位数？想想怎么摆的。
（2）、抽生上台边摆边汇报摆的方法。
（3）、师再根据生说的进行总结：（先把1放在十位，2放在个位，组成12，再调换位置组成21，能排成两个不同的两位数）并写出12、21
（4）、通过刚才摆卡片，你有什么发现？（发现排列的顺序不一样，数不一样，大小不一样。
）
（5）揭示课题：排列（好，这节课我们来研究有关排列知识）。
二、自主探究，感知排列
1、摆一摆（用1、
2、3摆两位数，分组摆）
师：再添上一张数字卡片3（用数字1、2、3能摆出几个两位数呢？）
(1) 小组合作探究
师：请同学们小组合作，一个人摆，其余人仔细观察，再完成记录表，开始合作。
学生活动教师巡视。
（学生所写的个数可能不一样，有多有少，找几份重复的或个数少的展示。
）
（2）、小组汇报展示结果
①抽记录员汇报所写数及个数并出示各组摆的数。
可能出现以下几种情况：
十位个位十位个位十位个位
1 2 1 2
2 1 1 3
2 3 2 1
3 2 2 3
1 3 3 1
3 1 3 2
（6个）（6个）重复或缺少
②指派各组代表说摆法。
③评价方法优劣（听了各组的摆法，你认为哪种方
法好，好在哪里?）小组讨论讨论并作汇报。
④指出问题有的重复写了，有的漏写了。
（3）、解决问题
师：怎样才能像这些组的孩子很快写出用1、2、3组
成的所有两位数，不重复不遗漏呢？
（4）、汇报总结：为了不重复不遗漏，要有序排列。
2、根据有序排列用1、2、0摆两位数
（1）摆两位数（个人动手摆）
师：刚才同学们用3个数字摆了6个两位数，老师把数字3换成0，这3个数字也能摆6个两位数吗？同学们摆摆看，摆的时候为了不重复不遗漏请有序排列
①让学生有序摆，再按要求填写记录表。
②出示汇报结果
十位个位
1 2
1 0
2 0
2 1
（4个）
③根据摆的结果得出结论：不是用三个数都能摆出6
个两位数，0不能在高位。
三、来源生活，学习组合
1、情境引入，感知组合。
师：数字宫的游戏真好玩，来这里玩的小朋友真不少，瞧，有三位小朋友碰面了，（出示握手课件）他们在干什么？想想两个人握一次手，3个人握几次?
（1）、三人小组合作握手，再让生上台表演。
（再次交换握手的顺序体会组合）
（2）、让学生用自己喜欢的符号表示握手的次数画在本子上
（3）、展示生的作品（师根据生的汇报展
（4）、引导学生体会组合与顺序无关。
师指着画的图问：分别抽几个说图上表示握手次数是几次？根据这些图中表示的方法你发现什么？
（5）、小结;不管谁和谁先握手，但最后握手的次数都一样。
与握的顺序无关，这就是我们这节课学习的组合知识，揭示课题——组合
2、拓展应用，深化组合。
（1）、我们生活中有许多地方都要用组合知识来解决问题。
瞧，小狗要参加学校的时装表演，妈妈为它准备了4件衣服（出示2件上衣、2件裤子的图片），请
你帮小狗设计一下共有多少种穿法。
（2）、出示打电话课件：4个人，每两个人打电话，要打几次？
三、对比练习
①用△○□摆成一排，有几种摆法?请画在本子上，抽生汇报。
（摆成6种排法，例如：□○△）
②数字2、3、4、5、能写出几个两位数？写完交流。
③举生活中例子：还有哪些是组合知识？
四、全课总结：。
