八年级数学因式分解1(1)

西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

因式分解-初中八年级下册数学教学导学案（北师版）一、背景初中数学教学中，因式分解是一个比较重要的知识点。

因式分解是将代数式分解成乘积的形式，帮助学生了解多项式的构成，掌握多项式的基本性质和运算方法，为后续的学习打下基础。

二、教学目的•掌握因式分解的方法和步骤。

•理解多项式的基本构成和性质。

•能够运用因式分解法简化运算。

•培养学生的推理思维能力，提高学生的数学综合素质。

三、教学内容1. 因式分解的基本思路因式分解的基本思路是将多项式进行拆分，得到可以拆分的因式，再将这些因式相乘得到原多项式。

例如，(x^2 + 3x + 2)可以分解为(x + 1)(x + 2)。

2. 因式分解的方法（1）提公因式法提公因式法是将多项式中的公因式提出来，然后再根据乘法分配律整理得到因式分解式。

例如，把 6x + 9y 写成 3(2x + 3y) 的形式，其中3就是公因式。

（2）配方法配方法是将多项式拆成两个部分，其中一个部分是二次的完全平方式，另一个部分是该完全平方式的“平方项系数”和零次项的乘积。

例如，将x^2 + 6x + 5分解成(x + 1)(x + 5)，其中(x + 1)是一个完全平方式，(x + 5)的平方项系数是1，零次项是5，它们的积是5。

（3）直接相除法直接相除法就是按照长除法的方法，求出多项式的一个因式和余数。

然后再对因式进行因式分解。

例如，对于x^2 - 1，可以先除以x - 1，得到x + 1，然后再将x + 1分解为(x + 1)(1)。

（4）公式法公式法是通过特定的公式来分解多项式。

例如，x^2 - a^2可以使用差平方公式(x-a)(x+a)进行分解。

3. 教学重点和难点（1）教学重点因式分解的基本思路、方法和步骤。

（2）教学难点运用因式分解法简化多项式的实际问题。

4. 教学方法综合使用讲授、演示、对话、自主学习等多种教学方法，重点强调提问、讲解和操练。

5. 教学时序（1）第一课时授课主题：因式分解的基本思路主要内容：•引入因式分解的概念和基本思路。

初二数学上册【因式分解】解题常用8种总结一.提取公因式法(一)公因式是单项式的因式分解1.分解因式确定公因式的方法①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式);③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂.注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.解:原式=一4m²n(m²一4m+7).(二)公因式是多项式的因式分解2.因式分解15b(2a一b)²+25(b一2a)²解:原式=15b(2a一b)²+25(2a一b)²=5(2a一b)²(3b+5)二.公式法(一)直接用公式法3.分解因式(1).(x²+y²)²一4x²y²(2).(x²十6x)²+18(x²+6x)十81解:(1)原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²一2xy)=(x十y)²(x一y)²(2)原式=(x²十6x+9)²=[(x+3)²]²=(二)先提再套法4.分解因式(三)先局部再整法5.分解因式9x²一16一(x十3)(3x+4)解:原式=(3x十4)(3x一4)一(x十3)(3x十4)=(3x+4)[(3x一4)一(x+3)]=(3x十4)(2x一7)(四)先展开再分解法6.分解因式4x(y一x)一y²解:原式=4xy一4x²一y²=一(4x²一4xy+y²)=一(2x一y)²三.分组分解法7.分解因式x²一2xy+y²一9解:原式=(x一y)²一9=(x一y十3)(x一y一3)四.拆、添项法8.分解因式五.整体法(一)"提"整体9.分解因式a(x+y一z)一b(z一x一y)一c(x一z+y)解:原式=a(x十y一z)十b(x十y一z)一c(x十y一z)=(x十y一z)(a+b一c)(二)"当"整体10.分解因式(x+y)²一4(x+y一1)解:原式=(x+y)²一4(x+y)+4=(x十y一2)²(三)"拆"整体11.分解因式ab(c²+d²)+cd(a²+b²)解:原式=abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc十ad)+bd(ad+bc)=(bc十ad)(ac+bd)(四)"凑"整体12.分解因式x²一y²一4x+6y一5解:原式=(x²一4x十4)一(y²一6y+9)=(x一2)²+(y一3)²=[(x一2)十(y一3)][(x 一2)一(y一3)]=(x+y一5)(x一y十1)六.换元法13.分解因式(a²十2a一2)(a²+2a+4)+9解:设a²+2a=m，则原式=(m一2)(m+4)十9=m²十4m一2m一8+9=m²+2m 十1=(m+1)²=(a²+2a十1)²=七.十字相乘法公式:x²十(a十b)x十ab=(x+a)(x十b)或对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得x²，中间右侧上下相乘得ab，中间上下斜对角相乘之和为(a+b)x，则能进行分解，如:14.x²一5x一14解:原式=(x一7)(x十2)十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.八.待定系数法15.分解因式x²+3xy+2y²十4x+5y+3解:因为x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)设原式=(x+y+m)(x+2y十n)=x²十3xy+2y²十(m+n)x+(2m+n)y+mn.∴m=1，n=3∴原式=(x+y+1)(x+2y+3)【总结】因式分解的知识在代数中有着重要的地位，同学们要多加强这方面的练习，为以后的学习奠定扎实的基础。

（完整版）初⼆数学因式分解技巧因式分解技巧⽅法第⼀部分：⽅法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有⼒⼯具．因式分解⽅法灵活，技巧性强，学习这些⽅法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，⽽且对于培养学⽣的解题技能，发展学⽣的思维能⼒，都有着⼗分独特的作⽤．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解法和⼗字相乘法．本讲及下⼀讲在中学数学教材基础上，对因式分解的⽅法、技巧和应⽤作进⼀步的介绍．⼀、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)⼆、运⽤公式法.在整式的乘、除中，我们学过若⼲个乘法公式，现将其反向使⽤，即为因式分解中常⽤的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下⾯再补充两个常⽤的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（）A.直⾓三⾓形 B 等腰三⾓形 C 等边三⾓形 D 等腰直⾓三⾓形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法.（⼀）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运⽤公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为⼀组，后两项分为⼀组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

数学因式分解是将一个数或多项式分解成乘积的过程。

这种技能在代数和数学中很重要，因为它可以简化复杂的表达式，使它们更容易处理和理解。

以下是一些常见的因式分解方法：
整数因式分解：将一个整数分解成它的质因数乘积的形式。

例如，72可以分解为2^3 \times 3^2。

多项式因式分解：将一个多项式分解成它的不可约因子的乘积。

例如，x^2 - 4可以分解为(x-2)(x+2)。

完全平方数差分公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

完全立方数差分公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。

公因式分解：找到多项式中的公共因子并将其提取。

例如，2x^3+4x^2可以分解为2x^2(x+2)。

分组分解：将多项式拆分为两个部分，并在每个部分中寻找公共因子，然后将这些因子提取出来。

例如，2x^3+3x^2+4x+6可以分解为(2x^3+3x^2)+(4x+6)=x^2(2x+3)+2(2x+3)=(x^2+2)(2x+3)。

以上是一些常见的因式分解方法，但还有许多其他技巧和公式可用于因式分解。

初二数学知识点归纳：因式分解初二数学知识点归纳：因式分解(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式(2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的(4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法()提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式(6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式(8)运用公式法：如果把乘法公式反过，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)(10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式①系数能平方，(指的系数是完全平方数)②字母指数要成双，(指的指数是偶数)③两项符号相反(指的两项一正号一负号)(11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2(13)完全平方公式的特点：①它是一个三项式②其中有两项是某两数的平方和③第三项是这两数积的正二倍或负二倍④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)(1)利用立方和与立方差分解因式的关键：能把这两项写成某两数立方的形式(16)具备什么条的多项式可以用分组分解法进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法分解因式(17)分组分解法的前提：熟练地掌握提公因式法和公式法，是学好分组分解法的前提(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式(19)在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解，合理选择分组方法是关键一、知识点总结：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

八年级上册数学第十四章：因式分解1. 基础概念因式分解是指一个多项式被分解成几个简单的因式相乘的形式。

在代数中，因式分解是一个基本的运算技能，它在解算术问题和简化数学表达式中起到至关重要的作用。

八年级上册数学的第十四章中，因式分解是一个重要的内容。

2. 因式分解的意义因式分解可以帮助我们简化复杂的表达式，使得问题变得更加直观和易于理解。

通过因式分解，我们可以将复杂的多项式分解成简单的因式相乘的形式，从而更好地理解其结构和特性。

因式分解也为我们解方程、求函数的性质等提供了有力的工具。

3. 因式分解的方法在八年级上册数学的第十四章中，主要介绍了以下几种因式分解的方法：a. 提公因式法：根据多项式的各项的公因式提出一个因式，然后用提出的公因式除原来的多项式。

b. 分组、差的平方和完全平方公式法：通过分组、差的平方和完全平方公式，将多项式分解成更简单的形式。

c. 换元法：通过变量代换的方法，将原多项式转化成更易于分解的形式。

4. 因式分解的应用因式分解在实际问题中有着广泛的应用。

在八年级上册数学的第十四章中，通过大量的例题和练习题，让学生们掌握因式分解的基本方法和技巧，并培养他们运用因式分解解决实际问题的能力。

在解方程、求函数的零点、化简复杂的表达式等方面，因式分解都能发挥重要作用。

5. 拓展与延伸除了基本的因式分解方法外，八年级上册数学第十四章还会进一步引入一元二次方程的因式分解等内容，从而帮助学生更好地理解因式分解的原理和方法，为学习高中数学打下坚实的基础。

通过八年级上册数学的第十四章因式分解的学习，不仅可以让学生掌握因式分解的基本原理和方法，更可以为其将来学习高中数学和应用数学打下坚实的基础。

因式分解作为八年级数学的重要内容，对于学生的数学素养和综合运算能力有着重要的意义。

6. 因式分解的综合运用在八年级上册数学第十四章中，因式分解不仅仅是简单的将多项式分解成简单因式的乘积，还涉及到更多的综合运用。

一. 教学内容：因式分解二. 教学重点：掌握常见的几种因式分解的方法：提公因式法，公式法，分组分解法三. 教学难点：十字相乘法因式分解【典型例题】[例1] 用适当的方法将下列多项式因式分解（1）2()3()()()m a x m a x y a m -+--+- （2）229(2)16()a b a b ---（3）322322()()a a b b a b -+- （4）222(2)2(2)1x x x x -+-+ 答案：（1）()(4)m a m a x y --++（2）)2)(107(b a b a +--（3）222()()()a b a b a ab b +--+ （4）4(1)x -解析：（1）用提公因式法，所以原式=()(3)()(4)m a m a x x y m a m a x y --+++=--++；（2）用平方差公式，所以原式22[3(2)][4()][3(2)4()]a b a b a b a b =---=-+-[3(2)4()]a b a b ⋅--- )4463)(4463(b a b a b a b a +---+-= )2)(107(b a b a ---= )2)(107(b a b a +--=（3）先用提公因式，再用平方差和立方和公式，所以原式2233()()a b a b =-+ 22()()()()a b a b a b a ab b =+-+-+222()()()a b a b a ab b =+--+；（4）用完全平方公式，所以原式224(21)(1)x x x =-+=-[例2] 用分组分解法将下列多项式分解因式（1）3223x x y xy y +--（2）3322222x y x xy y +-+-（3）322344x x y xy x y y +--+-（4）2222a b c bc a b c --+++-答案：（1）2()()x y x y +-（2）22()(2)x xy y x y -++-（3）()(2)(2)x y x y x y -+++-（4）()(1)a b c a b c +--++解析：（1）题分组的方法较多，可以选3种不同的分组方法，方法一：原式3223()()x x y xy y =+-+ 2222()()()()x x y y x y x y x y =+-+=+-2()()x y x y =+-方法二：原式32232222()()()()x xy x y y x x y y x y =-+-=-+- 22()()x y x y =-+2()()x y x y =+-方法三：原式3322()()x y x y xy =-+- 22()()()x y x xy y xy x y =-+++-=222()(2)()()x y x xy y x y x y -++=-+（2）原式3322()2()x y x xy y =+--+ 2222()()2()x y x xy y x xy y =+-+--+22()(2)x xy y x y =-++-（3）原式3223()()(44)x xy x y y x y =-+--- 222222()()4()()(4)x x y y x y x y x y x xy xy y =-+---=-+++- 222()(24)()[()4]x y x xy y x y x y =-++-=-+-()(2)(2)x y x y x y =-+++-；（4）原式22222(2)()()()a b bc c a b c a b c a b c =--+++-=--++- ()()()()(1)a b c a b c a b c a b c a b c =+--+++-=+--++[例3] 用十字相乘法将下列多项式分解因式（1）276x x -+（2）22235x xy y --（3）251015x x --答案：（1）(1)(6)x x --（2）()(25)x y x y +-（3）5(1)(3)x x +-解析：（1）是二次项系数为1的二次三项式，所以可以把二次项拆成11⨯，把常数项6拆成16⨯，于是可以写成1116--，交叉相乘就得到一次项系数7-，所以原式(1)(6)x x =--；（2）的系数可以拆成1215-，交叉相乘就得到一次项系数3-，所以原式()(25)x y x y =+-；（3）要先提公因式5，再十字相乘，所以原式25(23)x x =--5(1)(3)x x =+- [例4] 分解下列多项式（1）222(310)15506x x x x -+-+（2）22(2)(22)1x x x x --++（3）(21)(23)(2)63x x x x +---答案：（1）)13)(3)(2103(2--+-x x x x（2）4(1)x -（3）2(237)(3)(23)x x x x -+-+ 解析：（1）要先分组因式分解，再用十字相乘法，所以原式222(310)5(310)6x x x x =-+-+)3103)(2103(6)103(5)103(22222+-+-=+-+-=x x x x x x x x)13)(3)(2103(2--+-=x x x x（2）要先乘，再用十字相乘法，所以原式22222(2)2(2)1(21)x x x x x x =-+-+=-+=4(1)x -（3）要用适当的方法相乘，再用十字相乘，所以原式22(23)(232)63x x x x =---- 22222(23)2(23)63(237)(239)x x x x x x x x =----=-+--=2(237)(3)(23)x x x x -+-+[例5] 已知6,2x y xy -==，求：（1）22x y +；（2）3344x y -答案：（1）40 （2）1008解析：（1）利用完全平方公式，所以原式=2222()262240x y x y xy +=-+=+⨯=（2）利用提公因式和立方差公式，所以原式33224()4()()x y x y x xy y =-=-++，再把已知和第一问的结论代入46(402)1008=⨯⨯+=46(402)1008=⨯⨯+=[例6] 已知2144y ky ++是完全平方式，求k 的值 答案：2±解析：因为2144y ky ++是完全平方式，所以可以写成2211(2)2()22y k y +⋅⋅+，所以k 的值可以为2±[例7] 已知42434x x x +++有一个因式21x ax ++，求a 的值及另一个因式 答案：1a =；24x x -+解析：设42434x x x +++22422(1)(4)(5)34x ax x ax x a x ax =++-+=+-++，所以25433a a ⎧-=⎨=⎩，所以1a =，所以另一个因式为24x x -+[例8] 因式分解2262562320x x xy y y +--+-答案：(234)(325)x y x y -++-解析：此题需要用双十字相乘，所以适当分组，原式 22(656)(223)20x xy y x y =--++- (23)(32)(223)20x y x y x y =-+++-(234)(325)x y x y =-++-【模拟试题】一. 选择题：1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A. 21234a b a ab =⋅ B . 2(2)(2)4x x x +-=- C. 24814(2)1x x x x --=-- D . 111()222ax ay a x y -=-2. 多项式2n n a a -提取公因式后，另一个因式是（） A. 1n a - B. n a C. 211n a-- D. 21a - 3. 若32212x x x k +-+有一个因式为21x +，则k 的值应当是（）A. 0B. 1-C. 6D. 6-4. 在多项式2222x xy y z +-+、2221x y x --+、224441x y x -++、 2221x xy y -++-中，能用分组分解法分解因式的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. 如果多项式216x kx ++能分解成两个系数的整数的一次因式的积，那么整数k 可取的值有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个二. 填空题：1. 若2212x y x y ++=+，则x =，y =2.2232453(3)()x xy y x y x my x y n +++++=++++，则m =，n = 3. 把22axy ax y axz --+提公因式ax -后，另一个因式是4. 已知12x x +=，求331x x += 5. 若x y a -=，求22221(26)x y ax ay xy a a +-+--=三. 解答题：1. 分解因式222()()()ab a b a b a ac a b --+---2. 2211n n n n a x abx acx adx ++-+--（n ＞1）3. 已知10,24x y xy +==，求2255x y +的值试题答案一.1. D2. A3. D4. B5. C二. 1. 11;22 2. 2；1 3.2y xy z +- 4. 2 5. 6-三.1. 2()(1)a a b b c ---+2.132()n ax ax bx cx d -+-- 3. 260。

14.3 因式分解专题训练（附答案）1．因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．2．因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．3．分解因式：（1）mn﹣2n；（2）4x2﹣36；（3）（a2+b2）2﹣4a2b2．4．分解因式：（1）8m2n+2mn；（2）2a2﹣4a+2；（3）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；（4）x4﹣2x2+1．5．因式分解：（1）9x2﹣81．（2）m3﹣8m2+16m．6．分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．7．计算与因式分解：（1）a3﹣4a2+4a；（2）x4﹣16．8．把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．（1）2m2﹣2n2；（2）a3b﹣4a2b+4ab．10．分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．11．分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．12．在实数范围内因式分解：（1）4y2+4y﹣2；（2）3x2﹣5xy﹣y2．13．分解因式：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）．14．因式分解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2．（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）．15．分解因式：（1）16x2﹣8xy+y2；（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．16．分解因式：（1）（x+3）2﹣25；（2）﹣x3y+6x2y﹣9xy．17．分解因式：（1）8a﹣2a3；（2）（x2+1）2﹣4x2．（1）（x﹣y）m﹣（y﹣x）．（2）2x3y﹣4x2y2+2xy3．19．分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．20．把下面各式分解因式（1）x2﹣4xy+4y2；（2）4x2（x﹣y）+（y﹣x）．21．因式分解：（1）x3y﹣2x2y2+xy3；（2）2a3﹣18a．22．因式分解：（1）x2﹣4；（2）6ab2﹣9a2b﹣b3．23．因式分解：（1）12m3n﹣3mn；（2）（x+y）2﹣2（x+y）+1．24．把下列各式分解因式：（1）a2b﹣4ab+4b；（2）x4﹣8x2y2+16y4．25．把下列多项式因式分解．（1）m（m﹣2）﹣3（2﹣m）；（2）n4﹣2n2+1．26．分解因式：（1）m3（x﹣2）+m（2﹣x）；（2）4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）．27．因式分解：（1）2（x+2）2+8（x+2）+8；（2）﹣2m4+32m²．28．因式分解：（1）﹣a2+2a3﹣a4；（2）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16．29．分解因式：（1）a3﹣2a2+a；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．30．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3；（2）（x²+y2）2﹣4x2y2．参考答案1．解：（1）原式＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．2．解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]＝2x（a﹣b），（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．3．解：（1）mn﹣2n＝n（m﹣2）；（2）4x2﹣36＝4（x2﹣9）＝4（x+3）（x﹣3）；（3）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）＝（a+b）2（a﹣b）2．4．解：①原式＝2mn（4m+1）；②原式＝2（a2﹣2a+1）＝2（a﹣1）2；③原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；④原式＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．5．解：（1）9x2﹣81＝9（x2﹣9）＝9（x+3）（x﹣3）；（2）m3﹣8m2+16m＝m（m2﹣8m+16）＝m（m﹣4）2．6．解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（2）3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．7．解：（1）原式＝（x+y）2﹣12＝x2+2xy+y2﹣1；（2）原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2；（3）原式＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）．8．解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）﹣x2+8x﹣15＝﹣（x2﹣8x+15）＝﹣（x﹣5）（x﹣3）；（3）8m3n+40m2n2+50mn3＝2mn（4m2+20mn+25n2）＝2mn（2m+5n）2；（4）a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．9．解：（1）2m2﹣2n2＝2（m2﹣n2）＝2（m+n）（m﹣n）；（2）a3b﹣4a2b+4ab＝ab（a2﹣4a+4）＝ab（a﹣2）2．10．解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）；（2）a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2；（3）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．11．解：（1）原式＝（2x）2﹣（x2+1）2＝（2x+x2+1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）2（x﹣1）2；（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]＝3[（x﹣1）﹣3]2＝3（x﹣4）2．12．解：（1）原式＝（2y）2+2•2y•1+12﹣3＝（2y+1）2﹣（）2＝（2y+1+）（2y+1﹣）；（2）＝3（x﹣y）（x﹣y）．13．解：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b＝3ab（b2﹣10ab+25a2）＝3ab（b﹣5a）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣16）＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．14．解：（1）9abc﹣6a2b2+12abc2＝3ab（3c﹣2ab+4c2）；（2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）＝3x2（x﹣y）﹣6x（x﹣y）＝3x（x﹣y）（x﹣2）．15．解：（1）原式＝（4x﹣y）2；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（a+b）（a﹣b）（x﹣y）．16．解：（1）原式＝（x+3﹣5）（x+3+5）＝（x+8）（x﹣2）；（2）原式＝﹣xy（x2﹣6x+9）＝﹣xy（x﹣3）2．17．解：（1）原式＝2a（4﹣a2）＝2a（2+a）（2﹣a）；（2）原式＝（x2+1﹣2x）（x2+1+2x）＝（x﹣1）2（x+1）2．18．解：（1）原式＝（x﹣y）m+（x﹣y）＝（x﹣y）（m+1）；（2）原式＝2xy（x2﹣2xy+y2）＝2xy（x﹣y）2．19．解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2；（2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2；（4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．20．解：（1）原式＝x2﹣2×x×2y+（2y）2＝（x﹣2y）2；（2）原式＝4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（4x2﹣1）＝（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）．21．解：（1）原式＝xy（x2﹣2xy+y2）＝xy（x﹣y）2；（2）原式＝2a（a2﹣9）＝2a（a+3）（a﹣3）．22．解：（1）x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；（2）6ab2﹣9a2b﹣b3＝﹣b（9a2﹣6ab+b2）＝﹣b（3a﹣b）2．23．解：（1）12m3n﹣3mn＝3mn（4m2﹣1）＝3mn（2m﹣1）（2m+1）；（2）（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．24．解：（1）原式＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2；（2）原式＝（x2﹣4y2）2＝[（x+2y）（x﹣2y）]2＝（x+2y）2（x﹣2y）2．25．解：（1）原式＝m（m﹣2）+3（m﹣2）＝（m﹣2）（m+3）；（2）原式＝（n2﹣1）2＝（n+1）2（n﹣1）2．26．解：（1）m3（x﹣2）+m（2﹣x）＝m3（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝m（x﹣2）（m2﹣1）＝m（m+1）（m﹣1）（x﹣2）；（2）4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）＝[2（a﹣b）+1]2＝（2a﹣2b+1）2．27．解：（1）2（x+2）2+8（x+2）+8＝2[（x+2）2+4（x+2）+4]＝2（x+2+2）2＝2（x+4）2；（2）﹣2m4+32m2＝﹣2m2（m2﹣16）＝﹣2m2（m+4）（m﹣4）．28．解：（1）原式＝﹣a2（1﹣2a+a2）＝﹣a2（1﹣a）2；（2）原式＝[（m2﹣5）+4]2＝（m2﹣1）2＝（m+1）2（m﹣1）2．29．（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2；（2）原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）＝（3x+3y）（x﹣y）＝3（x+y）（x﹣y）．30．解：（1）原式＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2；（2）原式＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2．。

14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。

平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。

二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。

（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。

知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。

达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。

三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。

学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。

因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。

四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。

本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．1、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．内容分析知识结构模块一：二次三项式因式分解知识精讲二次三项式的因式分解 及一元二次方程的应用2 / 15【例1】 若方程24210y y --=的两个根是1154y +=，2154y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例2】 将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【答案】4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1122x +=，2122x -=， 所以2441x x --=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例3】 将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ） A ．2(1)()3x x ++ B ．2(1)()3x x --例题解析C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．【例4】 若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________． 【答案】2211+=x ，2122-=x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．【例5】 在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【答案】（1）(28x x x -=-+； （2）(35x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法． 【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解． 【例6】 在实数范围内分解因式：（1）426x x --；（2）42341x x -+．【答案】（1）()(42262x x x x x --=+；4 / 15（2）()()4233341311x x x x x x ⎛-+=+--+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解． 【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．【例7】 在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【答案】（1）(2412323x x x x ++=++；（2）(2422626x x x x --=--+．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例8】 在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-； （2）2423x x +-； （3）2361x x -+；（4）2633x x -．【答案】（1）23173172312x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（2）21131134234x x x x ⎛+-+-=+ ⎝⎭⎝⎭； （3）236363613x x x x ⎛+--+=- ⎝⎭⎝⎭；（4）2336336x x x x ⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例9】 在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【答案】（1）26216x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（2）244114x x x x ⎛-++=-- ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例10】在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【答案】（1）()()222x ax a x a x a --=--；（2）22312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）22414x y xy xy xy ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（4）222852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．6 / 15【例11】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫⎝⎛-x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ． 此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；知识精讲一元二次方程应用：利率问题本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【例12】某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？ 【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【例13】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税， 1.07744 1.038=）． 【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：()44.107795110002=+x ％，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．【例14】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本例题解析8 / 15利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税） 【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：()[]()53090150011000=+-+x x ％．【解析】注意年利率的变化．【例15】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率． 【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ， 则可列方程为()[]()1308143511500=+-+x x ，化简可得：0818555002=-+x x ， 分解可得：()()0910095=-+x x ，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【习题1】 一元二次方程20x px q ++=的两根为34，，那么二次三项式2x px q ++可分解为（ ）A 、(3)(4)x x +-B 、(3)(4)x x -+C 、(3)(4)x x --D 、(3)(4)x x ++【答案】C ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题2】 若二次三项式21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为（ ）随堂检测A 、1-B 、1C 、2-D 、2【答案】A【解析】∵()()()2222x x b x b x b -+=+--，又21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，∴⎩⎨⎧-=-=-122b a b ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=2123b a ， ∴1a b +=-． 【总结】本题一方面考查多项式的乘法，另一方面考查待定系数法的应用．【习题3】 关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则2x mx n -+可分解为（ ）A 、12()()x a x a --B 、12()()x a x a ++C 、12()()x a x a -+D 、12()()x a x a +-【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的两根为12a a -，-．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题4】 已知方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，那么二次三项式225x x k -++分解因式得（ ）A 、1(3)()2x x -+B 、12(3)()2x x -+- C 、(3)(1)x x --+ D 、(3)(21)x x --+【答案】D【解析】∵方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，∴方程2250x x k -++=的两个根是12132x x ==-，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题5】 在实数范围内分解因式22285x xy y -+等于（ ）A、2x x （ B、)()x y x y （ C、2)()x y x y （D、(24)(24)x y x y --+10 / 15【答案】C【解析】∵方程222850x xy y -+=的解为：y x 2641+=，y x 2642-=，∴22285x xy y -+可分解为46462)()x y x y +--（． 【总结】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【习题6】 二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，那么a 的取值范围是______．【答案】31-≥a 且0≠a ．【解析】要使二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式， 则要使一元二次方程2230ax x +-=有实数根，则01222≥+=∆a 且0≠a ，解得：31-≥a 且0≠a ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题7】 多项式4243x x -+在有理数范围内能分解因式得___________， 在实数范围内能分解因式得_______________． 【答案】()()()3112--+x x x ；()()()()3311+--+x x x x ． 【解析】注意分解范围．【习题8】 当m ______________时，二次三项式222x x m +在实数范围内能分解因式． 【答案】41≤m ． 【解析】要使二次三项式222x x m +在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程2220x x m +=有实数根，则()0822≥-=∆m ，解得：41≤m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题9】 在实数范围内分解因式：（1）276x x --； （2）2297x x ++； （3）2241y y -+； （4）2112x x --．【答案】（1）276x x x x ⎛--= ⎝⎭⎝⎭； （2）()()2297271x x x x ++=++；（3）22412y y y y ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭；（4）(21111122x x x x --=--． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题10】 在实数范围内分解因式：（1）22285x xy y -+； （2）227236x xy y -+-；（3）2253a x ax -+； （4）24)x x +-12 / 15【答案】（1）2246462852x xy y x x y ⎛⎫⎛⎫+--+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()2227236737x xy y x y x y ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭； （3）2251351353a x ax ax ax ⎛+--+=- ⎝⎭⎝⎭； （4）()(2(24)4242x x x x +-=-． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，注意方法的选择，如（4）可以用十字相乘法进行分解．【作业1】 已知方程23410x x +-=的两个根为122727,33x x -+--==，则二次三项式2341x x +-分解因式的结果为_______________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3723723x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业2】 在实数范围内分解因式2236x x --+=_____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-457345732x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业3】 如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，那么k 的值为___________．课后作业14 / 15【答案】10．【解析】如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，则一元二次方程25(5)0x kx k ++-=有两个相等的实数解，即()05202=--=∆k k ，解得：10=k ．【总结】本题主要考查对完成平方与多项式之间的关系的理解．【作业4】 把222(1)(1)2x x -+--分解因式的结果是（ ）A 、22(1)(2)x x -+B 、22(1)(2)x x +-C 、2(1)(1(2)x x x +-+） D 、2(1)(2)(2)x x x +- 【答案】D【解析】注意将代数式中的12-x 看做一个整体进行分解．【总结】本题注意在分解的时候要分解彻底，要在实数范围内分解．【作业5】 下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）A 、2615x x +-B 、2373y y ++C 、2224x xy y -- D 、22245x xy y -+ 【答案】D 【解析】判定二次三项式对应的一元二次方程的判别式，如果判别式小于0，则不能分解．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有在实数范围内无解．【作业6】 若0ac <，则二次三项式2ax bx c ++一定（ ）A 、能分解成两个不同的一次二项式的积B 、不能分解成两个一次二项式的积C 、能分解成两个相同的一次二项式的积D 、不能确定能否分解成两个一次二项式的积【答案】A【解析】二次三项式2ax bx c ++对应的一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式042>-=∆ac b ，则方程一定有两个不相等的实数根，则二次三项式2ax bx c ++一定能分解成两个不同的一次二项式的积．【总结】本题主要考查二次三项式的分解结果与所对应的方程的根的关系．【作业7】 若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，求m 的取值范围． 【答案】81<m ． 【解析】若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，则一元二次方程22310x x m -++=有实数根， 即()()01832>+--=∆m ，解得：81<m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【作业8】 在实数范围内分解因式：（1）264x x -+；（2）2371x x --+； （3）2525x x -++．【答案】（1）(26433x x x x -+=--；（2）23713x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（3）2525x x x x ⎛-++=-+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．。