向量思想在高中数学中的应用

再如双曲线的定义“平面内到两个定点 F1, F 2 的距离之差的绝对值等于常数( 小于ûF 1F2 û) 的点的轨迹叫做双曲线”中: ( 1) 将“小于ûF1F2 û” 换为“等于ûF1F 2û”其余不变, 点的轨迹是什 么? ( 分别以 F1F 2 为端点的射线) ; ( 2) 将“小于ûF1F2 û”换为“大于ûF1F2 û”, 其余不变, 点的轨迹是什 么? ( 轨迹不存 在) ; ( 3) 将定义中的“绝对值”去 掉, 其余 不变, 点 的轨迹是 什么? ( 线段 F1F2 垂 线) ; ( 5) 将“小于ûF 1F 2û”去掉, 其余不变, 应如何 讨论点的轨迹? ( 由以上分析, 可分三类讨论) 。
û→e û·ûA→5A 6 ûco s 67P+ û→e û·ûA→6A 7 ûcos 47P+ û
→e û·ûA→7A 1 ûcos 27P= 0
从 而 1+ 2( cos 27P+ cos 47P+ co s 67P) = 0,
即 co s 27P+ cos 47P+ cos 67P= -
1 2
2. 一题多解, 培养发散思维的变通性 所谓发散思维的变通性, 是指数学思维活动 的随机应变, 举一反三或触类旁通。在数学解题 教学中, 力求多角度、多变化、多层次, 勾 通知识 的纵横联系, 让学生大胆 联想、探讨、争论, 引导 学生寻求多种解法, 突破知识的固有范围。探求 一题多解, 能有助于发散思维的训练, 提高思维 的灵活性, 促使学生知识升华, 使 学生学得印象 深、兴趣浓, 从而能促进学生良好 思维品质的养 成。 例 1 从极点作圆 Q= 2aco sH的弦, 求各弦
所以, ûEF û= m2+ n2 + d2º2mnco sH
4. 向量在解析几何中的应用
例 6 ( 2000 年北京、安徽春季高校 招生试
题)
如图 5, 设点 A 和 B 为抛物线 y 2= 4p x ( p >
0) 上原点以 外的两动 点, 已 知 OA ⊥ OB, OM ⊥
A B , 求点 M 的轨迹方程, 并说明它表示什么曲
通过 上面 几道题 的向 量解 法, 我 们可 以看 出, 让学生在 掌握现 有知识 和常规 解法 的基础
上, 鼓励学生大胆设想, 积极创新, 寻找新的解题 途径, 从而提高了解题技能, 训练了创造思维。因 此向量一章入编新教科书使得中学 数学教学增 加了新的魅力和活力, 为广大中学师生开辟了广 阔的思维空间和创新机遇。
所以 →e ·A→1A 2 + →e ·A→2A 3 + →e ·A→3A 4 + →e ·A→4A 5+ →e ·A→5A 6+ →e ·A→6A 7+ →e ·A→7A 1=
→e ·→0
即û→e û·ûA→1A 2ûcos 0+
û→e û·ûA→2A 3ûcos
2P 7
+ û→e û·ûA→3A 4 ûcos 47P+ û→e û·ûA→4A 5ûcos 67P+
例 4. 求证: cos 27P+ cos 47P+ cos 67P= -
1 2
分析: 27P, 47P, 67P 构成公差为27P的等差数
列, 联想到正七边形每个外角为 27P, 于是可构造
正七边形求解。
解: 作 一 边 长 为 1 的 正 七 边 形
A
1A
2A
3A
4A
5A
6A
7,
则
与
→ A 1A
被这种体系本身所遮掩, 因此, 教师要钻研教材, 挖掘教材中“发散”因素。
例如, 把平面几何中与 立体几何的线线、线 面、面面之间类似的命题或证法进行比较, 找出 平面几何的结论哪些在立体几何中成立, 哪些结 论在立体几何中不成立, 从而克服思维定势。如 平行同一条直线的两条直线平行, 过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行, 若把平行改 为垂直, 结论如何? 等等, 从而加强空间概念的建 立。
因 yA ·y B ≠0 所以 y A ·y B = - 16p 2 ( 1)
又由已知O→M ⊥A→B , 得O→M ·A→B = 0, 而O→M
=
( x,
y ) A→B =
(
y
2 B
-
y
4p
A
2
,
y
B-
yA )
故
y
2 B
-y 4p
A
2
·
x
+
( yB-
yA) y=
0
依题 意可 得 y A ≠y B 所以 y B - y A ≠ 0,
则:
co sH= →q 的夹角)
ax + by + cz
( H, 是 →p 与
x 2+ y 2+ z 2 a2+ b2+ c2
由已知条件得: cos2H= 1, 得 H= 0, 或 H= P, 即
→p ∥→q ,
所
以
x a
=
y b
=
z c
例 2 已知 a2+ b2 + c2= 1, x 2+ y 2+ z 2= 1, 求
1. 发掘教材中的“发散”素材, 培养发散思维 的流畅性
所谓发散思维的流畅性, 是指数学心智活动 的畅通少阻, 快速敏捷, 能在较短的时间内连接 到或表达出较多的信息。数学教材是采用综合演 绎方式编写的, 将数学知识归纳于严格的逻辑体 系, 这样的形式和体系对培养学生的收敛思维是 有益的。但是, 有些有利于发展发散思维的因素
培养学生发散思维能力的几种途径
张玉 明
( 山东省莒南县柳沟乡教委, 山东 莒南 276631)
培养学生的创新思维能力是数学素质教育 的核心内容之一, 而创新性思维不是一种单一性 的思维, 而是各种思维方式的辨证运用。其中发 散思维是数学创新思维的主要形式。
所谓发散思维即是 指一种沿着多种不同方 向、不同角度的思考, 从各个不同方面寻求问题 多样性答案的思维方式。在寻求多样性答案的过 程中即可表现出思维的创造性成分。正如徐利治 先生所说: 一般说来, 数学上的新思想、新概念和 新方法往往来源于发散思维, 所以按照现代心理 学家的见解, 数学家创造能力的大小应和他的发 散思维能力成正比。可见, 在数学教学中加强发 散思维的训练, 对于培养思维的创造性具有十分 重要的意义。
线。
例 5 已知两条异面直线 a, b 所成的角为 H, 它们的公垂线 A A ø 的长度为 d , 在 a, b 上分别取 点 E, F, 设 A ø E = m, A F = n, 求 E F( 异面直线两
点间的距离公式)
图 3
图 4 解: 设平面 A= b, 且 a∥A, 过 a 与 A A ø 作 平面 B, 设 A∩B= c , 则 a∥c , 所以 b 与 c 所成的锐 角或直角就等于 a, b 所成的角 H。 因 A A ø ⊥a, A A ø ⊥ b, 故 E→A ø A→ø A = 0, A→ø A ·A→F = 0 连接 E F, 则 A ø A FE A ø 成闭折线, 得E→A ø + A→ø A + A→F + F→E = →0 , 故 E→F = - F→E = E→A ø + A→ø A + A→F
y
B+ 4p
y
A
x
+
ห้องสมุดไป่ตู้
y=
0
即 yB+
yA =
-
4py x
( 2)
又由
A→M =
(
y2A 4p
,
y-
yA ) , M→B =
( x-
y
2 B
4p
-
x,
yB -
y ) , 且A→M 与 M→B 共线, 所以( x -
y 2A 4p
)
·(
y
B
-
y) -
(
y 2B 4p
-
x ) ·( y -
yA ) =
0
所以 x +
平面向量是高中数学试验教科书中新增的
一章内容, 以向量为背景, 一些传统的中学数学
内容和问题就有了新的内涵。在数学教学中引导
学生积极探索向量在高中数学中的应用, 不仅可
深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的
内部联系, 构造合理的数学 知识结构, 而且有利 于拓展学生的想象力, 激发创新活力。
1. 构造向量证明等式和不等式
3. 构造向量证明立体几何
→ EF
2
=
( E→A ø +
A→øA +
→ AF
)
2=
E→A ø 2+
A→ø A 2+
→2 AF
+ 2 E→A ø ·A→øA + 2 A→ø A ·A→F + 2 A→F ·E→A ø
= m2+ n2+ d2 º2mncosH
( 如图 3, E→A ø 与A→F 夹角为 P- H, 上式取“- ” 号, 如图 4, E→A ø与A→F夹角为 H, 上式取“+ ”号)
图 5
解: 因点 A , B 在抛物线 y 2= 4p x 上
设
A(
y
2 A
4p
,
yA)
B (
y
2 B
4p
,
y B)
M
(
x
,
y)
,
则:
O→A
=
(
y
2 A
4p
,
y
A
)
O→B