向量在高中数学中的应用

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浅谈向量在高中数学解题中的应用

作者：潘延麒

来源：《课程教育研究》2018年第11期

【摘要】高中数学是高中课程的重要组成部分，高中数学的学习难度比较大，选择简便快捷的解题方法对高中生的数学学习具有重要意义。向量是高中数学课程中的重要基础内容，也是高中数学很多几何问题、不等式问题、三角函数问题的解题基础。本文笔者首先简要阐述了向量的基本内涵，就向量的发展历史进行了探究，并进一步分析了向量在数学解题中的应用，以此来提高高中学生解题技巧，促进高中学生对数学知识的学习。

【关键词】向量 高中数学 解题 应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）11-0164-02

随着我国新课程改革的不断推行和素质教育的深入推广，对高中学生的数学知识学习提出了新的要求。数学是高中课程的重要组成部分，是高中学生的学习难点和重点。要扎实的学好数学知识，高中生就必须准确掌握高中数学课程中的基础知识，只有这样才能解答具有高难度和强综合性的数学题目。向量是高中数学课程的重要基础内容，在一些综合性的数学题目解答上，利用向量，可以方便快捷的完成题目的解答。向量不仅是一种重要的数学解题方法，更是一种重要的数学思想，向量是高中学生解答复杂性比较高的综合题目的强大数学工具，向量在解决不等式问题、三角函数等的问题上具有化繁为简、化难为易的重要作用，在高中数学解题中得到了广泛的应用。

一、向量的基本内涵

向量也称作几何向量，是高中数学课程的重要知识。向量的基本内涵可以简单概括为具有大小和方向的量。其表示方式为带箭头的线段，箭头的方向就是向量的方向，箭头的长度就是向量的大小[1]。在现阶段的高中数学课程中，向量作为教材的基础内容，其学习难度相对比较低，但是向量在高中数学综合性和复杂性较高的题目解答中都能发挥重要作用。因此，作为高中生，要牢固扎实的掌握向量知识，为解答综合性较强的题目奠定知识基础。

２０１７年１０月　（总第２８１期）　文理导航　Ｎｏ．１０，２０１７　ＳｅｒｉａＩ　Ｎ０．２８１　■理科研生／数学　向量在解决高中数学问题中的应用　张丽　（如皋市第二中学，江苏如皋２２６５００）　【摘　要】作为高中数学学科的重要内容，向量不仅具有“数”的量化特性，也具有“形”的方向特性，其在高中生解决高中数　学综合题目中常常可以起到化繁为简的作用，尤其适用于三角函数、解析几何和立体几何等部分数学问题的求解。本文基于高　中生视角，就向量在解决高中数学问题中的应用进行了深入探究。　【关键词】高中数学；向量；应用方法　向量是数学领域内非常重要的一个概念和工具。其几乎　涵盖于高中数学学科的全部内容．可以为高中生解决某些复　杂的数学问题提供新的思路和方法．尤其是有助于简化解题　过程．避免大量重复性计算，同时也可以提高解题的准确率　和效率。因此，如何才能有效地深化我们高中生对于向量的　理解和认识。提高我们运用向量来解决高中实际问题的能力　值得深入探讨。　１．在平面几何题求解中的应用　向量不仅是拥有大小的“量化”指标．也是具有方向的　“抽象化”指标。这决定了其不仅可以反映点或线段之间的长　度大小．也可以对其位置关系进行直观反映。根据性质的不　同。可以将向量分成零向量、共线向量和平行ｒＮ量。通过分析　向量的性质，我们很容易发现其和平面几何中点和线段之间　的大小和位置关系具有很强的相似性．所以如果可以在平面　几何问题求解过程中可以引入向量观念，那么往往可以使我　们高中生更快地找到解决有关数学问题的突破口，有助于提　高我们解题的准确度与效率。　例１：已知某三角形ＡＢＣ的三个顶点坐标分别为Ａ（０，　－２）、Ｂ（２，０）、Ｃ（一３，１），线段ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的重点分比为Ｍ、Ｎ　和０．试求直线ＭＮ、ＭＱ和ＯＮ的方程。　解析：如果采用传统的求解方法，那么求解过程比较复　杂．此时如果我们可以巧妙的引入向量知识，那么可以快速　明确解题思路和方法。　解：通过题目所给已知条件．可求出Ｍ、Ｎ和０三点的坐　标为（一Ｏ．５，Ｏ．５）、（一１．５，一Ｏ．５）和（一３，１）。之后可求出　ＭＮ直线方程，具体就是假设ＭＮ上某点Ｏ的坐标为（ｘ，Ｙ），　那么通过列出向量ＭＮ和Ｎ０平行且共线的关系来进行求　解。同理可以按照这种求解思路来依次求解出直线ＨＱ和Ｎ０　的直线方程。　由此可见，通过将题目中的线段关系转化为向量，借助　向量的性质，可以快速达到求解有关数学题目的问题。但是　在将向量知识应用于平面几何数学问题求解过程中时。我们　高中生必须要搞清楚点和线之间的对应关系，否则容易因线　段与向量的转换错误而导致最终解题出错。　２．在不等式证明题求解中的应用　不等式证明题也是我们高中生解题过程中常见的一类　数学问题，其主要是考察我们能否采用科学、合理的解题方　法来证明不等式或条件不等式，具体需要我们采用一些恰当　的解题技巧来对题目所给出的不等式等已知条件进行变形　处理，否则实际的处理难度相对较大。而如果此时在解题期　间可以合理引入向量知识。那么往往可以快速简化问题，提　高不等式证明的准确度与效率。　例２：已知等式（ａ　＋ｂ　）（ｎｌ　＋ｒｌ　）＝（ａｍ＋ｂｍ）　，且ｍｎ≠　０．试求证ａＩｍ＝ｂ／ｉ＂ｉ。　解析：该道题目是一道典型的证明题。通过对题干所给　信息进行仔细阅读即可发现．已知道等式括号内部的部分基　本上和ｒａ量中数量积保持一致．所以可以假定向量Ｈ＝（ａ。　ｂ）。向量Ｎ一（ｍ，ｎ），这时候通过题干信息可以知道Ｍ与Ｎ之　砸文理导航２０１７／１０　间关系为平行关系，所以结合平行向量的特征与性质可以得　出：ａ　ｒｌ－ｂｍ＝Ｏ，之后通过对该式子进行适当变形即可得出ａ／　由此可见，在证明不等式等相关数学类型题的过程中．　可以尝试将抽象的数字关系转换为向量关系，通过向量关系　来更好地明确有关的不等式关系。这样可以显著简化有关不　等式证明的思路，提高我们高中生解题的准确度与效率。但　是需要注意的是，要在将向量应用于证明不等式成立类型题　目的时候，必须要对所证明不等式的特征进行仔细观察．密　切联系向量的性质与特征，确保转化的准确性，否则同样可　能会因转化问题而导致解题出错。　３．在方程题求解中的应用　在高中数学学科常见的类型题中，方程解析题是比较普　遍的一种类型题，尤其是其中有部分方程题目很难通过直接　变形来进行求解，否则可能会陷入解题的重复计算中。而如　果可以尝试在方程解析过程中引入和应用ｒａ量方面的知识．　那么可以在快速解决有关问题的同时。提高其实际解题的准　确度和效率。　例３：已知参数ｘ．ｙ和ｚ均为实数值。且满足如下两个　方程：２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝ｌ３。４ｘ　＋９ｙ　＋ｚ　－２ｘ＋１　５ｙ＋３ｚ＝８２．试求　参数ｘ．ｙ和Ｚ的值。　解析：如果直接采用方程解析的一般方法和思路来求解　该种题目，那么计算程序复杂．计算量大，最终结果不一定准　确．此时如果我们高中生可以尝试引入向量方面知识．那么　可以达到快速简化求解问题的目的。　解：先将题目已知道的两个方程进行相加后．配方可得　（２ｘ）　＋（３ｙ＋３）。＋（ｚ＋２）　＝１Ｏ８．通过对该式子两端进行仔　细观察，可知其和向量模的表述形式非常类似．此时可以假　定向量　＝（２ｘ，３ｙ＋３。ｚ＋２）：Ｎ＝（１，１，１），经过求解计算可　以明确Ｍ和Ｎ的向量模值分别为６Ｖ　和、／丁．向量ＭＮ＝　１８；又因为ＭＮ≤Ｊ　Ｍ　１　１　Ｎ　ｌ＝１８，且当且仅当２ｘ＝３ｙ＋３＝ｚ＋２＞　Ｏ时，相应的不等式成立，此时即可求得快速出参数ｘ＝３，ｙ一　１，ｚ－－４。　综上所述，向量在平面几何题、解析方程题以及不等式　证明题等高中数学类型题求解中的合理应用。可以显著优化　我们高中生求解相关数学问题的思路。有助于我们快速找到　解题突破口，但是需要注意的是要注意结合实际的数学题　目。综合向量的特征和性质来对有关题目已知条件进行合理　转化，从而借此来不断提升我们高中生的数学解题能力。

向量在高中数学中的应用

在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。距离如下：

1、利用向量证明等式

材料一：已知 、 是任意角，求证： 。

证明：在单位圆上，以 轴为始边作角 ，终边交单位圆于A，以 轴为始边作角 ，终边交单位圆于B，有 ，所以有：

又

即

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有 或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。

2、利用向量证明不等式

材料二： 是正数。求证：

证明：设

由数量积的坐标运算可得：

又因为 ， 所以 成立。

点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

， ，构造向量解之。

3、利用向量求值

材料三：已知 ，求锐角 。 解析：由条件得

设 ， ，

则 ， ， ，

由 ，得 ，即 ，

则 ，即 ，同理 （因为 、 为锐角）

点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。

4、利用向量求函数值域

材料四：若 ，求 的最小值。

解析：构造向量 ，

由 ，得

即 ，

当且仅当 时， 有最小值

点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。

5、利用向量解决析几何问题

材料五：过点 ，作直线 交双曲线 于A、B不同两点，已知

。

（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）、是否存在这样的直线，使 若存在，求出 的方程；若不存在说明理由。

曩蓬　ｉ嗣ｓＨ　】！△ＱＹ　一————　———●●———一　向量在高中数学中的应用　囊东北大学秦皇岛分校李红　河北省秦皇岛市第一中学李丽霞　摘要：本文以高考试题（理科）为例说　明向量在研究数学问题时的广泛应用，初　步探讨了向量在构建数学知识网络中的　优势和重要性．　关键词：高考试题向量应用　网络　向量是近代数学中重要和基本的数　学概念之一，它是沟通代数、几何与三角　函数的一种工具，有着极其丰富的实际背　景，是高考关注的知识“交汇点”．下面举　例说明向量的几种应用及应对策略．　一、单纯考查向量的运算与性质　例１（２００９年全国Ｉ卷第６题）设ａ、　ｂ、ｃ是单位向量，且ｎ・ｂ＝０，则（ｎ—ｃ）・　（ｂ—Ｃ）的最小值为（　）．　解本题综合考查了向量的加减法、　数量积的运算以及向量垂直的充要条件．　・．‘ａ・ｂ＝０　．ａ上ｂ，口、ｂ、Ｃ是单位向量，因　此　＋６Ｉ＝、／　，［ｃｔ＝１，又设　＋６，ｃ＞＝　，所　以（ａ—ｃ）・（ｂ—ｃ）＝口・ｂ一（口＋６）・Ｃ＋Ｃ　＝１一　ｋ￣＋ｂ　ｒ・ｌｃｌｃｏｓＯ＝ｌ一＼／２　ｃｏｓ０，　故（ａ—ｃ）・（ｂ－ｃ）的最小值为ｉ—　．　２０１　１年高考辽宁卷第ｌ０题、２０１　１　年高考广州卷第３题、２０１０年高考天津　卷第ｌ　５题、２０１　１年高考湖南卷第１４题　均涉及向量的内积、模等基本运算及向量　平行、垂直的充要条件．这类题型只要熟　练掌握向量的运算与性质，一般不会出现　丢分问题．　二、借助函数、解析几何、线性规划等　知识求解向量运算问题　例２（２０１０年全国ｌ卷第ｌ１题）已知　圆Ｏ的半径为１，刖，ＰＢ为该圆的两条切　线，Ａ，Ｂ为两切点，则　・雨的最小值为　（　）．　Ａ．－４＋－，／２　Ｂ．－３＋＼／２　Ｃ．－４＋２、／２　Ｄ．－３＋２Ｖ　２　解：由圆的切线的｝生质，设　＝圃　，　／＿，４ＰＢ　０，则ｔａｎ　０　＝　，　［　ＣＯＳＯ＝　，　十Ｉ　・雨＝Ｉ　ｌｌ菌１．ｃ０ｓ　＝　Ｘ４－丁＃ｇ￣＝　（ｘ￣　＋　ｌ）２－——３（ｘｅ＋　１　）＋２¨＋１　一Ｘ２＋ｌ＋—　＿＿一３≥２、／２—３，　Ｘ　十上　当且仅当　＋１＝、／２，即　＝、ｖ／２—１　时取“＝”，故　＿・　的最小值为２、／　一３．　２０１　１年高考全国大纲卷第１２题借　助单位圆数形结合、通过余弦定理和正弦　定理与内积相结合求得向量模的最大值：　２０１１年高考广东卷第５题、２０１１年高考　福建卷第８题利用线性规划方法求向量内　积的最大值、最小值．这类题在知识交汇处　出题，难点在于向量的运算转化．因此学生　在熟练掌握课本基础知识的同时，一定得　会灵活使用．　三、向量在解析几何中的应用　向量的坐标是代数与几何联系的纽　带，它与解析几何联系比较紧密，许多解　析几何问题（如求长度、角度、点的坐标、　轨迹等）都可以用平面向量知识来求解．　解法简捷明快，易于理解．　例３（２０１１年全国大纲卷第１０题）　已知抛物线Ｃ：ｙ　＝４ｘ的焦点为Ｆ，直线　ｙ＝２ｘ一４与Ｃ交于‘４，　两点，则ＣＯＳ　Ｚ＿ＡＦＢ＝（　）．　解联立方程组｛　，解得交点　【ｙ＝Ｌｘ－ｑ－　Ａ，Ｂ分别为（１，一２），（４，，４），又依题可知　１，０），　所以　：（０，一２），Ｆ－￣＝（３，４）所以　ｃ。ｓ／ＡＦＢ＝一　．　２０１０年高考全国Ｉ卷第ｌ６题、２０１０　年高考全国Ⅱ卷第１　５题、２００９年高考全　国Ⅱ卷第２１题、２０１　１年高考课标全国卷　第２Ｏ题、２０１１年高考天津卷第１８题、　２０１　１年高考安徽卷第２ｌ题均为向量与　解析几何的融合题，题型分两类，一类是　自己找向量关系，借助向量运算求解ｉ一　类是题中给出满足的向量关系，学生首先　将向量运算坐标化，再根据圆锥曲线的几　何性质求解．　２０１２－１３　四、向量在立体几何中的应用　例４（２０１　１年课标全国卷第１８题）　如图，四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ为　平行四边形，／－ＤＡＢ＝６０。，ＡＢ＝　Ｄ，　ＰＤ　Ｊ＿底面ＡＢＣＤ，　（１）证明：ＰＡ　ｊ＿ＢＤ：　（２）若ＰＤ＝ＡＤ，求二面角Ａ—ＰＢ－Ｃ的　余弦值．　Ｃ　解：（１）略　（２）如图，以Ｄ为坐标原　点，ＡＤ的长为单位长，射线ＤＡ为　轴的　正半轴建立空间直角坐标系Ｄ—　，则　Ａ（１，０，Ｏ），曰（Ｏ，、／３，０），ｃ（一１，、／３，　０），Ｐ（０，０，１），　＝（一ｌ，　丁，０），　＝（Ｏ，、／丁，　～１），　＝（一１，０，０）．　设平面　的法向量为ｎ＝（　，Ｙ，　），　…　・布－－－～ｆ　＋、／丁ｙ＝Ｏｒｅ［１￣－－ｕ　则ｉ　．　：０　ｏ’　因此可取，ｌ一（、／３，１，、／３）．　设平面ＰＢＣ的法向量为ｍ，则　ｆ　．　：０　｛　，可取ｍ＝（０，～１，一、／３）．　【ｍ・　＝０　ｃ。ｓ＜ｍ，ｎ＞　：一　，故二　２、／７　／　面角Ａ－ＰＢ—Ｃ的余弦值为一　．　这种类型的题几乎出现在所有的高　考数学试卷中，通常有立体几何与向量两　种方法处理，前一种方法逻辑性较强，学　生处理会有一定困难，向量方法的难点是　空间直角坐标系的建立以及已知点坐标　的确定，然后借助平面的法向量和直线的　方向向量解决二面角或直线与平面所成　角的问题即可．