第八章 包含虚拟变量的回归模型

第八章 包含虚拟变量的回归模型一、虚拟变量的基本含义通常在回归分析中，因变量不仅受一些定量变量的影响，而且还受一些定性变量的影响，比如性别、种族、婚姻状况等等。

为了在模型中反映这些因素的影响，需要把定性因素进行“量化”。

通常是引进人工变量完成。

通过定性因素的属性类别，构造取值为0或者1的变量，如、 1代表男性， 0代表女性； 1代表某人是大学毕业， 0代表某人不是大学毕业，这类取值为0，1的变量称为虚拟变量(dummy variable )。

虚拟变量与定量变量一样可用于回归分析。

事实上，一个回归模型的解释变量可以仅仅是虚拟变量。

解释变量仅是虚拟变量的模型称为方差分析模型( analysis-of-variance models ) (ANOVA)。

例1：1i i Y D i βα=++ε，其中Y 表示职工工资,。

10i D ⎧=⎨⎩，本科学历，非本科学历这个模型与我们前面讨论过的双变量模型类似，但这里的解释变量是虚拟变量。

1(0)i E Y D β==，1(1)i E Y D βα==+显然，1β表示非大学毕业生的平均初职年薪，1βα+表示具有大学学历职工的平均工资，α代表二者之差。

回归模型中可以有同时有虚拟变量以及定量变量。

例2：考虑是否上过大学和工龄作为职工工资的模型：12i i i Y X D i ββαε=+++Y ，表示职工工资，X表示工龄，D同上。

含虚拟变量的模型只要扰动项符合古典假定，仍用OLS方法估计模型。

注意：虚拟变量系数显著性检验的意义：：0H 0α=；：1H 0α≠。

同学们思考：这个检验在上面两个例子中分别具有何实际意义？二、虚拟变量的引入模型的方式 1、加法方式上面考察的例子都是加法方式。

注意虚拟变量模型的几何意义：以上述例2考察。

例3：如果上述职工工资方程（例2）中，学历考虑三个层次：高中以下、高中、大学及以上。

该如何建模？引进两个虚拟变量：，1 1 0 D ⎧=⎨⎩高中其他2 1 0 D ⎧=⎨⎩大学及以上其他121222Y X D D ββαα=++++ε请同学们分析模型的含义。

第八章虚拟变量模型1. 回归模型中引入虚拟变量的作用是什么?答:在模型中引入虚拟变量，主要是为了寻找某(些)定性因素对解释变量的影响。

加法方式与乘法方式是最主要的引入方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。

除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量，这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。

2. 虚拟变量有哪几种基本的引入方式? 它们各适用于什么情况?答:在模型中引入虚拟变量的主要方式有加法方式与乘法方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。

除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量，这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。

3．什么是虚拟变量陷阱？答：根据虚拟变量的设置原则，一般情况下，如果定性变量有m个类别，则需在模型中引入m-1个变量。

如果引入了m个变量，就会导致模型解释变量出现完全的共线性问题，从而导致模型无法估计。

这种由于引入虚拟变量个数与类别个数相等导致的模型无法估计的问题，称为“虚拟变量陷阱”。

4．在一项对北京某大学学生月消费支出的研究中，认为学生的消费支出除受其家庭的每月收入水平外，还受在学校中是否得到奖学金，来自农村还是城市，是经济发达地区还是欠发达地区，以及性别等因素的影响。

试设定适当的模型，并导出如下情形下学生消费支出的平均水平：(1) 来自欠发达农村地区的女生，未得到奖学金；(2) 来自欠发达城市地区的男生，得到奖学金；(3) 来自发达地区的农村女生，得到奖学金；(4) 来自发达地区的城市男生，未得到奖学金。

解答: 记学生月消费支出为Y，其家庭月收入水平为X，则在不考虑其他因素的影响时，有如下基本回归模型：Y i=β0+β1X i+μi有奖学金1 来自城市无奖学金0 来自农村来自发达地区 1 男性0 来自欠发达地区0 女性Y i=β0+β1X i+α1D1i+α2D2i+α3D3i+α4D4i+μi由此回归模型，可得如下各种情形下学生的平均消费支出：(1) 来自欠发达农村地区的女生，未得到奖学金时的月消费支出：E(Y i|= X i, D1i=D2i=D3i=D4i=0)=β0+β1X i(2) 来自欠发达城市地区的男生，得到奖学金时的月消费支出：E(Y i|= X i, D1i=D4i=1,D2i=D3i=0)=(β0+α1+α4)+β1X i(3) 来自发达地区的农村女生，得到奖学金时的月消费支出：E(Y i |= X i , D 1i =D 3i =1,D 2i =D 4i =0)=(β0+α1+α3)+β1X i (4) 来自发达地区的城市男生，未得到奖学金时的月消费支出： E(Y i |= X i ,D 2i =D 3i =D 4i =1, D 1i =0)= (β0+α2+α3+α4)+β1X i5. 研究进口消费品的数量Y 与国民收入X 的模型关系时，由数据散点图显示1979年前后Y 对X 的回归关系明显不同，进口消费函数发生了结构性变化：基本消费部分下降了，而边际消费倾向变大了。

§5.5 含有虚拟变量的回归模型 1．带虚变量的回归预测前述变量均是用某种意义明确的尺度加以定量的变数。

暂时性影响：经济行为受特定因素的影响，因而促使一期或数期变数与其他各期有明显的差异。

虚拟变量：用来表现暂时性影响的变量，或者说，表明某种“品质”或属性是否存在的的变量。

2．基本概念（1）水平：当自变量以虚拟变量的形式出现时，虚拟变量的出现形式称为“水平”。

（2）反应：用()k j i,δ表示第i 个样本第j 个自变量取第k 个水平的反应：()k j i ,δ=⎩⎨⎧否则个水平时个自变量取第个样本第当第01k j i（3）反应表：将各样本的资料排列得到的表格称为反应表。

（4）反应矩阵：把反应表中的反应()k j i,δ写成矩阵形式，称为反应矩阵。

记为X=（()k j i,δ）。

3．基本方法（1）建模原则：如果一个属性变数有m 个类型，只引入m —1个虚拟变量。

否则，会陷入所谓的虚拟变数陷阱之中，出现完全多重共线性的情况。

在解释采用虚拟变量的模型结果时，要弄清楚水平值是如何确定的。

指定取值为0的类型或组通常用来指明基础类型、控制类型、对比类型或被省略的类型。

附属于虚拟变量D 的系数α1称为不同的截距系数，它说明D 取值为1的那种类型的截距项与基础类型的截距系数的数值差异有多大。

（2）建立数学模型：将虚拟变量视为普通变量，建立回归模型。

（3）对参数作出估计。

（4）进行预测。

（5）一般情况：指模型自变量中同时含有虚拟变量和普通变量。

4．应用实例研究1958年第四季度到1971年第二季度期间英国的失业率和职务空缺率之间的关系。

原始作出散点图解释：1966年第四季度起，失业—职位空缺的关系发生变化，表示两者之间关系的曲线在该季度开始上移。

这种上移的含义是指对于一定的职位空缺率来说，1966年第四季度比以前有更多的失业者。

其原因是1966年10月（即第四季度），当时的英国政府通过以统一收费率和（以前的）有关救济金收入的混合制度，取代短期失业救济的统一收费率制度，从而放宽了国民保险条例，这明显地增加了失业救济金的水平。

计量经济学：第⼋章虚拟变量回归第⼋章虚拟变量回归第⼀节虚拟变量的概念⼀、问题的提出计量经济学模型对变量的要求——可观测、可计量。

但在现实经济问题中，存在定性影响因素，⽐如1、属性（品质）因素的表达。

在经济活动中，有的经济变量的变动要受到属性因素（或品质因素）的影响。

如收⼊在形成过程中，不同的性别所得到的收⼊是不⼀样的；在城乡、不同地区等收⼊存在差距；再⽐如，在我国，经济的发展⽔平对于不同的区域有不同的表现。

2、异常值现象。

当经济运⾏过程中，可能会受到突发事件的影响，那么，其值有可能出现异常，偏离正常轨迹很远，对这类现象需要加以修正。

3、季节因素的影响。

有的经济现象存在明显的季节特征，如啤酒的消费。

那么，在建模过程中，季节变动这⼀因素怎样考虑？4、离散选择现象的描述。

如公共交通与私⼈交通的选择、商品购买与否的决策、求职者对职业的选择等。

第1、2、3种情况属于解释变量为定性变量，第4情况为被解释变量属于定性变量。

称前⼀种情况为虚拟解释变量，后⼀种为虚拟被解释变量。

本章主要介绍虚拟解释变量的内容。

⼆、虚拟变量的定义1、定义。

设变量D 表⽰某种属性，该属性有两种类型，即当属性存在时D 取值为1；当属性不存在时D 取值为0。

记为=不具有该属性具有某种属性01D2、虚拟变量引⼊的规则。

（1）在模型⾥存在截距项的条件下，如果⼀个属性存在m 个相互排斥类型（⾮此即彼），则在模型⾥引⼊m-1个虚拟变量。

否则，会出现完全的多重共线性。

但要注意，在模型⽆截距项的情况下，如果⼀个属性存在m 个类型，即便引⼊m 个变量，不会出现多重共线性问题。

（请思考为什么？）（2）虚拟变量取值为0，意味着所对应的类型是基础类型。

⽽虚拟变量取值为1，代表与基础类型相⽐较的类型，称为⽐较类型。

例如“有学历”D 为1，“⽆学历”D 为0，则“⽆学历”就是基础类型，“有学历”为⽐较类型。

（3）当属性有m 个类型时，不能把虚拟变量的取值设成如下情况D=0，第⼀个类型；D=1，第⼆个类型；……D=m-1，第m 个类型。

第八章虚拟变量回归第一节虚拟变量一、虚拟变量的基本概念在前面的分析中，被解释变量主要受到一些可以直接度量的变量影响，如收入、产出、商品需求量、价格、成本、资金、人数等。

但现实经济生活中，影响被解释变量变动的因素，除了这些可以直接获得实际观测数据的定量变量外，还包括一些本质上为定性因素（或称属性因素）的影响，例如性别、种族、肤色、职业、季节、文化程度、战争、自然灾害、政府经济政策的变动等因素。

在实际经济分析中，这些定性变量有时具有不可忽视的重要影响。

例如，研究某个企业的销售水平，产业部门（制造业、零售业）、所有制（私营、非私营）、地理位置（东、中、西部）、管理者素质的高低等是值得经常考虑的影响因素，这些因素有共同的特征，即都是表示某种属性的，不能直接用数据精确描述的因素。

因此，被解释变量的变动经常是定量因素和属性因素共同作用的结果。

在计量经济模型中，应当同时包含定量和属性两种因素对被解释变量的影响作用。

定量因素是指那些可直接测度的数值型因素，如GDP、M2等。

定性因素，或称为属性因素，是不能直接测度的、说明某种属性或状态存在与否的非数值型因素，如男性或女性、城市居民或非城市居民、气候条件正常或异常、政府经济政策不变与改革等。

在计量经济学的建模中应当将定量因素和定性因素同时纳入模型之内。

为了在模型中反映定性因素，可以将定性因素转化为虚拟变量去表现。

虚拟变量（或称为属性变量、双值变量、类型变量、定性变量、二元型变量等），是人工构造的取值为0和1的作为属性变量代表的变量，一般用字母D（或DUM，英文dummy的缩写）表示。

属性因素通常具有若干类型或水平，通常虚拟变量的取值为0和1，当虚拟变量取值为0，即D=0时，表示某种属性或状态不出现或不存在，即不是某种类型；当虚拟变量取值为1，即D=1时，表示某种属性或状态出现或存在，即是某种类型。

例如，构造政府经济政策人工变量，当经济政策不变时，虚拟变量取值为0，当经济政策改变时，虚拟变量取值为1。