第七八讲全等三角形测距离、综合运用
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第七讲：全等三角形的实际运用
课题引入：
一、无法测量的距离：
例1：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。
他叔叔帮他出了一个这样的主意：
先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度；
（1） DE=AB吗？请说明理由
（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？
例2：如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明理由。
例3：如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．
二、破碎的玻璃：
例1：如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带哪一块去配？
③
①②
例2：某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）
三、神奇的工具
例1：（2006•临沂）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是什么？
例2：如图，把一个三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论．
例3：如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O 旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F．通过观察或测量OE，OF的长度，你发现了什么？试说明理由．
巩固训练(七):
1.（2009•峨边县模拟）将一个45°角的直角三角板ABC和一把直尺按图示的位置放在一起，其中直角的顶点C在直尺上，如果分别过A、B两点向直尺作两条垂线段AM和BN．试探索线段AM、BN、MN 之间的关系，并说明理由．
2.把一根系在旗杆上的钢丝牵绳，尽可能地向外拉紧，第一次拉到B点，第二次换个方向拉到C点，那么C，B两点离开旗杆底部的距离OC和OB的大小关系怎么样？请说明理由．
3.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来，并加以证明．
4.小华用四根竹棒扎成如图的风筝的框架，已知AE=DE，BE=CE，你认为小华的风筝两脚的大小相等（即∠B=∠C）吗？请说明理由
第八讲：全等三角形综合训练
第一：“眼看心猜”目标全等三角形；
第二：找到已有条件，发掘欠缺条件（三角形全等的五种方法“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”都有边，所以养成先找对应边相等的习惯）
第三：若是直角三角形，莫忘还有“HL”
典型例题一：找准隐藏的全等三角形，莫要走弯路
例1：（2012•广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．
例2：（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．
典型例题2：中线倍长法：
图1：△ABC中，AD是BC边中线
图2：方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE
图3：方式2：间接倍长，在AB上取点M，延长MD到N，使DN=MD，连接CD
图4：方式3：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE
典型例题
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．
求证：∠C=∠BAE．
典型例题3：截长补短法：
截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。
所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。
例1：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD
请用两种方法证明：
典型例题4：全等与勾股定理
例1：已知如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的点，且满足EA=CF．求证：DE=DF．
例2：如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）请说明：DE=DF；
（2）请说明：BE2+CF2=EF2；
（3）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积.
例3：（2013•沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE 交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
例4：（2013•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD 有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．。
