《含高考13套》山西省朔州市怀仁一中2020-2021学年高三一轮摸底数学试题含解析

2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．[1，2]B．{﹣1，3}C．{1}D．{1，2}2．设复数z满足方程||•z+|z|＝4，其中为复数z的共轭复数，若z的实部为，则|z|为（）A．1B．C．2D．43．已知函数f（x）的局部图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝•sin x B．f（x）＝•cos xC．f（x）＝ln|x|•sin x D．f（x）＝ln|x|•cos x4．（2x﹣）6的展开式中，x4的系数是（）A．20B．﹣20C．160D．﹣1605．有四个幂函数：①f（x）＝x﹣1；②f（x）＝x﹣2；③f（x）＝x3；④．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在（﹣∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．①B．②C．③D．④6．空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”“良”“轻（中）度污染”“中度（重）污染”“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的有（）A．这14天中有4天空气质量指数为“良”B．这14天中空气质量中位数数是103C．从2日到5日空气质量越来越差D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日7．已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且|AF|＝2，点P是抛物线C的准线上的一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．B．2C．3D．28．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b n}满足．若对任意的n∈N*，都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣6，﹣5]B．（﹣6，﹣5）C．[﹣5，﹣4]D．（﹣5，﹣4）9．设F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使|OP|＝|OF1|（O为原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．在四面体ABCD中，AB＝AC＝2，BC＝6，AD⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为，若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．B．49πC．D．4π11．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a12．在△ABC中，已知•＝9，b＝c•cos A，△ABC的面积为6，若P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），且＝x•+y•，则+的最小值为（）A．9B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为．14．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[0，1]上，其定义为：当R（x）＝，若函数是f（x）定义在R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则＝．15．已知点P为椭圆上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2＝1的任意一条直径，则的最大值是．16．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作ver sinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作cover sinθ，则下列命题中正确的序号是．①函数y＝cover sin x﹣ver sin x在上是减函数；②若＝2，则cover sin2x﹣ver sin2x＝﹣；③函数f（x）＝ver sin（2020x﹣）+cover（2020x+），则f（x）的最大值2+；④ver sin（﹣θ）＝cover sinθ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}与正项等比数列{b n}满足a1＝b1＝3，且b3﹣a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）在①，②，③c n＝a n b n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若，求数列{c n}的前n项的和S n．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，平面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝2BC＝2CD＝4，PA＝PD＝2，AD，AB的中点分别是O，G．（1）求证：OG⊥平面POC；（2）二面角D﹣PG﹣O的正弦值．19．近年，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分．另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人．（1）求n的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X，求X的分布列及期望．附：，n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050.010.0050.001 k0 3.841 6.6357.87910.828 20．已知动圆P过定点A（﹣1，0），并且在定圆B：（x﹣1）2+y2＝16内部与其相内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l经过点B（1，0）且与C交于不同的两点M、N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣xlnx．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣ax﹣1，讨论当时，函数h（x）的零点个数．选作题：本小题满分10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程（θ为参数）．以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在线C上，直线L过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当时，求ρ0及L的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）若∀x0∈R，使得不等式f（x0）≥|k+3|﹣|k﹣2|成立，求k的取值范围；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．[1，2]B．{﹣1，3}C．{1}D．{1，2}解：∵集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．设复数z满足方程||•z+|z|＝4，其中为复数z的共轭复数，若z的实部为，则|z|为（）A．1B．C．2D．4解：因为为复数z的共轭复数，所以设z＝a+bi则有＝a﹣bi，其中a＝，所以|z|＝||＝，所以||•z+|z|＝（z+）＝|z|•2a＝＝4，所以|z|＝．故选：B．3．已知函数f（x）的局部图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）＝•sin x B．f（x）＝•cos xC．f（x）＝ln|x|•sin x D．f（x）＝ln|x|•cos x解：由图可知，函数f（x）为偶函数，可排除选项A和C；对于选项B和D，都有f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＝•cos x＞0，与函数图象不符；f（x）＝ln|x|•cos x ＜0，与函数图象符合，所以选项B错误．故选：D．4．（2x﹣）6的展开式中，x4的系数是（）A．20B．﹣20C．160D．﹣160解：（2x﹣）6的展开式中的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•，令6﹣＝4，求得r＝3，可得x4的系数为﹣•23＝﹣160，故选：D．5．有四个幂函数：①f（x）＝x﹣1；②f（x）＝x﹣2；③f（x）＝x3；④．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在（﹣∞，0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．①B．②C．③D．④解：对于①，f（x）＝x﹣1；是奇函数，不满足（1）偶函数；满足（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；不满足（3）在（﹣∞，0）上是增函数．所以①不正确；对于②，f（x）＝x﹣2；具有性质（1）是偶函数；不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y ≠0}．满足（3）在（﹣∞，0）上是增函数．所以②正确．对于③，f（x）＝x3；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y ≠0}．所以不正确；对于④，；不具有性质（1）偶函数；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y ≠0}．所以不正确；故选：B．6．空气质量指数大小分为五级．指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围在：[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分别对应“优”“良”“轻（中）度污染”“中度（重）污染”“重污染”五个等级，如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法错误的有（）A．这14天中有4天空气质量指数为“良”B．这14天中空气质量中位数数是103C．从2日到5日空气质量越来越差D．连续三天中空气质量指数方差最小的是9日到11日解：14天中有：1日，3日，12日，13日空气质量指数为良，共4天，故A正确；14天中的中位数为：＝103.5，故B错误，从2日到5日空气质量指数越来越高，故空气质量越来越差，故C正确，而答案D显然成立，故选：B．7．已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线C上，且|AF|＝2，点P是抛物线C的准线上的一动点，则|PA|+|PO|的最小值为（）A．B．2C．3D．2解：抛物线方程化为标准方程为：x2＝4y，p＝2，则焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，设A（x，y），所以|AF|＝y+1＝2，得y＝1，代入抛物线方程解得x＝2，（假设A在y 轴右侧），所以A（2，1），则点A关于准线方程y＝﹣1对称的点M为（2，﹣3），如图所示：由中垂线性质可得：（|PA|+|PO|）min＝|OM|＝＝，故选：A．8．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b n}满足．若对任意的n∈N*，都有b n≥b5成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣6，﹣5]B．（﹣6，﹣5）C．[﹣5，﹣4]D．（﹣5，﹣4）解：根据题意：数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，所以a n＝n+a﹣1，由于数列{b n}满足＝，所以对任意的n∈N都成立，故数列{a n}单调递增，且满足a5＜0，a6＞0，所以，解得﹣5＜a＜﹣4．故选：D．9．设F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使|OP|＝|OF1|（O为原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：∵|OF1|＝|OF2|＝|OP|，∴∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝t，则|F1P|＝t，a＝，t2+3t2＝4c2，则t＝c，∴e＝＝+1，故选：D．10．在四面体ABCD中，AB＝AC＝2，BC＝6，AD⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为，若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A．B．49πC．D．4π解：由余弦定理可得cos∠BAC＝＝﹣，∴∠BAC＝120°，∴V D﹣ABC＝＝，解得AD＝1，设△ABC的外接圆圆心为O1，则2O1A＝＝4，即O1A＝2，∵OO1⊥平面ABC，AD⊥平面ABC，∴OO1∥AD，OO1＝AD＝，∴球O的半径OA＝＝，∴球O的表面积为4π×OA2＝49π．故选：B．11．已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a＝f（logπ3），b＝f（log9），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：函数y＝f（x）的定义域为（﹣π，π），且函数y＝f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，∴函数f（x）为R上的偶函数．当x∈（0，π）时，f（x）＝πlnx﹣f′（）sin x（其中f′（x）是f（x）的导函数），f′（x）＝﹣f′（）cos x，令x＝，则f′（）＝2，∴f′（x）＝﹣2cos x，当x∈时，≥2，2cos x≤2．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．当x∈时，＞0，2cos x≤0．∴f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴x∈（0，π）时，f′（x）＝﹣2cos x＞0．∴函数f（x）在x∈（0，π）时单调递增．∵a＝f（logπ3），b＝f（log9）＝f（﹣2）＝f（2），c＝f（），∵0＜logπ3＜1＜＜2，∴a＜c＜b．即b＞c＞a．故选：D．12．在△ABC中，已知•＝9，b＝c•cos A，△ABC的面积为6，若P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），且＝x•+y•，则+的最小值为（）A．9B．C．D．解：由＝9可得bc•cos A＝9，又b＝c•cos A，∴b2＝9，即b＝3，又S△ABC＝bc sin A＝6，∴c sin A＝4，由c cos A＝b＝3，∴tan A＝，故sin A＝，cos A＝，∴c＝5，∴a＝＝4，∴＝+，又A，B，P三点共线，故＝1，∴4x+3y+2＝14，∴+＝（+）（4x+3y+2）＝（4+++1）≥（5+2）＝，当且仅当＝即2x＝3y+2＝时取等号，故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）＝x sin x+cos x+x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+1＝0．解：函数f（x）＝x sin x+cos x+x的导数为f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x+1＝x cos x+1，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝0cos0+1＝1，又f（0）＝1，可得所求切线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．14．黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[0，1]上，其定义为：当R（x）＝，若函数是f（x）定义在R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则＝﹣．解：∵R（x）＝，函数是f（x）定义在R上的奇函数，且f（x）+f（2﹣x）＝0，∴f（4﹣x）＝f（x﹣2）＝f（x），∴f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x﹣8）＝﹣f（x﹣4）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则＝﹣f（）+f（）＝﹣R（）+R（）＝﹣+0＝﹣．故答案为：﹣．15．已知点P为椭圆上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2＝1的任意一条直径，则的最大值是19．解：因为EF为圆N的直径，所以|NE|＝|NF|＝1，且N（0，1），且＝﹣，则•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝2﹣2＝||2﹣1，设P（x0，y0），则有+＝1，所以x02＝16﹣y02，所以||2＝x02+（y0﹣1）2＝16﹣y02+（y0﹣1）2＝﹣（y0+3）2+20，由P在椭圆上，可得y0∈[﹣2，2]，所以当y0＝﹣3时，||2最大为20，所以||2﹣1的最大值为19，所以的最大值为19，故答案为：19．16．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1﹣cosθ为角θ的正矢，记作ver sinθ，定义1﹣sinθ为角θ的余矢，记作cover sinθ，则下列命题中正确的序号是②④．①函数y＝cover sin x﹣ver sin x在上是减函数；②若＝2，则cover sin2x﹣ver sin2x＝﹣；③函数f（x）＝ver sin（2020x﹣）+cover（2020x+），则f（x）的最大值2+；④ver sin（﹣θ）＝cover sinθ．解：对于①：函数y＝cover sin x﹣ver sin x＝1﹣sin x﹣（1﹣cos x）＝﹣（sin x﹣cos x）＝﹣，由于x∈，故（x﹣），所以函数在该区间上不单调，故①错误．对于②：，所以cover sin2x﹣ver sin2x＝﹣sin2x+cos2x＝，故②正确；对于③：函数f（x）＝ver sin（2020x﹣）+cover（2020x+）＝1﹣cos（2020x﹣）+1﹣sin（2020x+）＝﹣2sin（2020x+），函数的最大值为2，故③错误；对于④：ver sin（﹣θ）＝1﹣cos（﹣θ）＝1﹣sinθ＝cover sinθ，故④正确；故选：②④．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}与正项等比数列{b n}满足a1＝b1＝3，且b3﹣a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）在①，②，③c n＝a n b n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成求解．若，求数列{c n}的前n项的和S n．解：（1）设等差数列{a n}的公差d，等比数列{b n}的公比q（q＞0），由题意得20＝b3﹣a3＝a5+b2，即，解得d＝2，q＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，；（2）若选择①：+（﹣3）n＝（﹣）+（﹣3）n，则S n＝（﹣+﹣+…+﹣）+＝（﹣）+，所以；若选择②：，则S n＝n（3+2n+1）+＝n（n+2）+﹣，所以；若选择③：，，3S n＝3•32+5•33+…+（2n+1）•3n+1，两式相减可得﹣2S n＝9+2（32+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1＝9+2•﹣（2n+1）•3n+1，可得．18．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，平面PAD⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD＝2BC＝2CD＝4，PA＝PD＝2，AD，AB的中点分别是O，G．（1）求证：OG⊥平面POC；（2）二面角D﹣PG﹣O的正弦值．【解答】（1）证明：连接OB，BD，易证四边形OBCD为正方形，所以BD⊥OC，OG∥BD，所以OG⊥OC，PA＝PD，AD的中点是O，所以PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，又GO，OC⊂平面ABCD，∴PO⊥GO，PO⊥OC，∴GO⊥平面POC．（2）解：由（1）知OB，OD，OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．因为AD＝2BC＝2CD＝4，．则点P（0，0，2），D（0，2，0），O（0，0，0），C（2，2，0），G（1，﹣1，0），，，，由（1）知PO⊥OC，GO⊥OC，所以OC⊥平面PGO，所以为平面PGO的一个法向量；又设平面PGD的法向量为＝（x，y，z），得，取y＝1，得，所以cos＝＝，所以：二面角D﹣PG﹣O的正弦值是．19．近年，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分．另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查，其中，女生抽取45人．（1）求n的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的2×2列联表，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X，求X的分布列及期望．附：，n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：（1）由题意得，解得n＝100．（2）2×2列联表为：选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100故有99%的把握认为选择科目与性别有关．（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”．9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X可为0，1，2，3，4．设事件X发生的概率为P（X），则，，，，所以X的分布列为X01234P数学期望．20．已知动圆P过定点A（﹣1，0），并且在定圆B：（x﹣1）2+y2＝16内部与其相内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设直线l经过点B（1，0）且与C交于不同的两点M、N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）B（1，0），半径为4，设动圆圆心P（x，y），半径为r．则由题可知：，所以|PA|+|PB|＝4＞|AB|＝2，所以P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．2a＝4，2c＝2．所以a2＝4，b2＝3．所求椭圆方程为．（2）若存在满足条件的点Q（t，0），当直线l的斜率k存在时，设y＝k（x﹣1），联立，消y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∵＝＝＝＝＝，∴要使对任意实数k，k QM+k QN为定值，则只有t＝4，此时k QM+k QN＝0，当直线l与x轴垂直时，若t＝4，也有k QM+k QN＝0．故在x轴上存在点Q（4，0），使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0．21．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣xlnx．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设函数h（x）＝f（x）﹣ax﹣1，讨论当时，函数h（x）的零点个数．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1，，因为f''（x）在（0，+∞）上单调递增，且f''（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，f''（x）＜0，f'（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f''（x）＞0，f'（x）单调递增，从而当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥f'（1）＝0，f（x）单调递增，故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），f（x）无单调递减区间；（2）函数h（x）＝f（x）﹣ax﹣1＝e x﹣1﹣xlnx﹣ax﹣1，x＞0，令h（x）＝0，得，令，则函数h（x）在的零点个数问题即直线y＝a与函数g（x）的图象在上的交点个数，又，令g'（x）＝0，x＝1，x，g′（x）的变化如下：x1（1，+∞）g'（x）+0+所以g（x）在上单调递增，又因为当x→+∞时，g（x）→+∞，，①当时，直线y＝a与函数g（x）图象在上有1个交点，即h（x）在上零点个数为1个．②当时，直线y＝a与函数g（x）的图象在上没有交点，即h（x）在上零点个数为0个．综上，当时，h（x）在上零点个数为0个．当时，h（x）在上零点个数为1个．选作题：本小题满分10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程（θ为参数）．以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在线C上，直线L过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．（1）当时，求ρ0及L的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：（1）曲线C的方程（θ为参数）．消去参数，可得曲线C：x2+（y﹣2）2＝4，极坐标方程为ρ＝4sinθ，当时，，，设Q（ρ，θ）为L上除点P的任意一点，在Rt△OPQ中，，经检验，点在曲线上，所以L的极坐标方程为．（2）设P（ρ，θ），在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，ρ＝4cosθ，因为P在线段OM上，AP⊥OM，∴OP≤OM，∴4cosθ≤4sinθ，所以．所以P的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．（1）若∀x0∈R，使得不等式f（x0）≥|k+3|﹣|k﹣2|成立，求k的取值范围；（2）若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值．解：（1），可知，若∀x0∈R，使得不等式f（x0）≥|k+3|﹣|k﹣2|成立，∴f（x）min≥|k+3|﹣|k﹣2|，∴，即或或，即为k≤﹣3或﹣3＜k≤或k∈∅，∴；（2）由题意可知，∴，即，当且仅当m＝n时取“＝”号，∴，所以m+n的最小值．。

2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）{}28120,{14}A x x xB x x =-+<=∈<Z ∣∣ A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}3,4{}3∅2.已知，则的大小关系为（ ）121311log ,ln ,e 22a b c ===,,a b c A. B.a b c <<a c b <<C.D.b a c <<b c a<<3.函数的图象大致为（ ）()2cos e e x xx xf x -+=-A.B.C.D.4.函数的一个零点所在的区间是（ ）()()1ln 2f x x x =-A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,45.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，()f x R 0x ()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->则的取值范围为（ ）m A.B.C.D.(),0∞-()0,∞+(),1∞-()1,∞+6.已知条件，条件，若是的必要而不充分条件，则实()2:log 12p x +<()22:210q x a x a a -+++ p q 数的取值范围为（ ）a A.B.C.D.(),2∞-()1,∞-+()1,2-[]2,87.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足T t T 称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至()01,2t ha a T T T T h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25C a T =80C 大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：75C 75C 45C ）lg20.30,lg11 1.04≈≈A.8分钟 B.9分钟C.10分钟D.11分钟8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是()e x f x x ax a=-+1a >0x ()00f x <a （）A. B. C. D.(21,2e ⎤⎦33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ）A. B.()e xf x x =()ln f x x x=C.D.()e x f x x =-()cos 2f x x x=-10.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）,m n 1m n +=A.的最小值是411m n +B.的最大值是22m n +12+的最大值是1211.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()ln f x x x a=--A.若有两个零点，则()f x 1a >B.若无零点，则()f x 1a C.若有两个零点，则()f x 12,x x 121x x <D.若有两个零点，则()f x 12,x x 122x x +>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，其中是其导函数，则__________.()()421f x x f x '=--()f x '()()2222f f ='+-'13.若，则的最小值为__________.,,0a b ab ∈>R 442a b ab ++14.已知函数若存在实数满足，且()32log ,03,(4),3,x x f x x x ⎧<<=⎨-⎩ 1234,,,x x x x 1234x x x x <<<，则的取值范围是__________.()()()()1234f x f x f x f x ===()()341233x x x x --四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.()()232f x x a x b=--+（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；x ()0f x <()2,3-,a b （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭a 16.（本小题满分15分）已知命题：“”为假命题，实数的所有取值构成的集合为.p 2,10x x ax ∃∈-+=R a A （1）求集合；A （2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.{121}B xm x m =+<<+∣t A ∈t B ∈m17.（本小题满分15分）已知函数（为实常数）.()321x f x a =-+a （1）若函数为奇函数，求的值；()f x a （2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.[]1,6x ∈()2x uf xu 18.（本小题满分17分）已知函数.()ln 1a f x x x =+-（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数有两个零点，且.证明：.()f x 12,x x 12x x >12121x x a +>19.（本小题满分17分）已知函数.()33f x x x=-（1）求函数在区间上的值域；()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围.()y f x =()(),P m f m 24y x a =-a2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考·数学参考答案､提示及评分细则1.B 因为，所以.{}{}28120{26},{14}2,3,4A x x x x x B x x =-+<=<<=∈<=Z ∣∣∣ {}3,4A B ⋂=故选B.2.C 因为，所以.故选C.1213311log log 2,01,ln ln20,e 122a a b c ==<<==-<=>c a b >>3.A 由，可知函数为奇函数，又由时，，有()()2cos e e x x x xf x f x -+==--()f x 01x < cos 0x >，可得；当时，，有，故当时，，可2cos 0x x +>()0f x >1x >21x >2cos 0x x +>0x >()0f x >知选项A 正确.4.B 因为，在上是连续函数，且，即在上()()1ln 2f x x x =-()0,∞+()2110f x x x =+>'()f x ()0,∞+单调递增，，所以，所以在上存在一()()11ln210,2ln402f f =-<=->()()120f f ⋅<()f x ()1,2个零点.故选B.5.D 当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又0x ()f x 1x =-()f x [)0,∞+0x =是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由()f x R ()f x R ()()f x f x -=-，可得，又因为在上单调递增，所以()()3370f m f m ++->()()373f m f m +>-()f x R ，解得.故选D.373m m +>-1m >6.C 由，得，所以，()2log 12x +<13x -<<:13p x -<<由，得，所以，()22210x a x a a -+++ 1a x a + :1q a x a + 因为是的必要而不充分条件，p q 所以⫋，解得，故选C.{}1x a x a +∣ {13}x x -<<∣12a -<<7.C 根据题意得，则，所以()11111075258025,2211hh ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1452575252t h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以，两边取常用对数得1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦102115t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.2lg102lg2lg52lg2120.315lg lg ,10101151lg111lg111 1.04lg 11t t --⨯-====≈=---8.D 令，显然直线恒过点，()()e ,,1x g x x h x ax a a ==->()h x ax a=-()1,0A 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线0x ()00f x <0x ()()00,x g x 下方”，，当时，，当时，，即()h x ax a =-()()1e xg x x =+'1x <-()0g x '<1x >-()0g x '>在上递减，在上递增，()g x (),1∞--()1,∞-+则当时，，当时，，1x =-()min 1()1e g x g =-=-0x ()1,0e g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦而，()()01h x h a =-<- 即当时，不存在整数使得点在直线下方，0x 0x ()()00,x g x ()h x ax a =-当时，过点作函数图象的切线，设切点为，0x >()1,0A ()e xg x x =(),e ,0t P t t t >则切线方程为，()()e 1e t t y t t x t -=+-而切线过点，即有，整理得，而，()1,0A ()()e 1e 1t tt t t -=+-210t t --=0t >解得，因，()1,2t =()()1e 01g h =>=又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，0x ()()00,x g x ()h x ax a =-即存在唯一整数2使得点在直线下方，()()2,2g ()h x ax a =-因此有解得，()()()()23222e ,333e 2,g h a g h a ⎧<⎧<⎪⇔⎨⎨⎪⎩⎩ 323e 2e 2a < 所以的取值范围是.故选D.a 323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦9.ABC 对于选项D ，因为，所以在定义域内恒成立，所以选项D 不合题意；()sin 2f x x =--'()0f x '<其它选项的导函数在各自的定义域内不恒小于（大于）或等于0.10.ACD 正实数满足，当且仅,m n ()11111,224n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++=+++= ⎪⎝⎭ 当时等号成立，故选项A 正确；12m n ==，故的最小值是，故选项B 错误；222()122mn m n ++= 22mn +12，故选项C正确；212m n =++=+，当且仅当时等号成立，故选项D 正确.1m n += 1212m n ==11.ACD 由可得，令，其中，()0f x =ln a x x =-()lng x x x=-0x >所以直线与曲线的图象有两个交点，y a =()y g x =在上单调递减，在上单调递增，()()111,x g x y g x x x -=-=='()0,1()1,∞+图象如图所示.当时，函数与的图象有两个交点，选项A 正确；1a >y a =()y g x =当时，函数与的图象有一个交点，选项B 错误；1a =y a =()y g x =由已知可得两式作差可得，所以，由对数平均不等式1122ln ,ln ,x xa x x a -=⎧⎨-=⎩1212ln ln x x x x -=-12121lnln x x x x -=-，则，选项C正确；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-1<121x x <，则，选项D 正确.1212x x +<122x x +>12.0 因为，显然导函数为奇函数，所以.()()3412fx x f x'=--'()()22220f f -'+='13.4 因为，所以，0ab >44332222224a b a b ab ab b a ab ab ab ++=++=+⨯=当且仅当，即时等号成立.331,a b ab ba ab ==221a b ==14.因为.()0,1()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<由图可知，，即，且，3132log log x x -=3412431,4,82x x x x x x +===-334x <<所以.()()()()()()342343434333312333339815815x x x x x x x x x x x x x x --=--=-++=--=-+-在上单调递增，的取值范围是.233815y x x =-+- ()3,4()()3433x x ∴--()0,115.解：（1）由关于的不等式的解集为，x ()0f x <()2,3-可得关于的一元二次方程的两根为和3，x ()0f x =2-有解得3223,23,a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩1,6,a b =⎧⎨=-⎩当时，，符合题意，1,6a b ==-()()()2632f x x x x x =--=-+故实数的值为的值为；a 1,b 6-（2）二次函数的对称轴为，()y f x =322a x -=可得函数的减区间为，增区间为，()f x 32,2a ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦32,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭若函数在上单调递增，必有，解得，()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭321023a -- 149a - 故实数的取值范围为.a 14,9∞⎛⎤--⎥⎝⎦16.解：（1）由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，p x 210x ax -+=可得，解得，22Δ()440a a =--=-<22a -<<故集合；()2,2A =-（2）由若是的必要不充分条件，可知⫋，t A ∈t B ∈B A ①当时，可得，满足⫋；121m m ++ 0,m B =∅ B A②当时，可得，若满足⫋，必有（等号不可能同时成立），121m m +<+0m >B A 12,212,0,m m m +-⎧⎪+⎨⎪>⎩解得，102m <由①②可知，实数的取值范围为.m 1,2∞⎛⎤-⎥⎝⎦17.解：（1）因为函数是奇函数，，()f x ()3322121x x xf x a a -⋅-=-=-++，解得()()33222302121xx x f x f x a a ⋅+-=--=-=++3;2a =（2）因为，由不等式，得，()33221x f x =-+()2x u f x 3322221xx xu ⋅⋅-+ 令（因为，故，[]213,65xt +=∈[]1,6x ∈()()3133291222t u t t tt -⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭由于函数在上单调递增，所以.()32922t t t ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭[]3,65()min ()31t ϕϕ==因此，当不等式在上恒成立时，.()2x uf x[]1,6x ∈max 1u =18.解：（1）的定义域为，()f x ()()2210,,a x a f x x x x ∞'-+=-=当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，0a ()2x af x x -='()0,∞+()f x ()0,∞+当时，，0a >()20,x af x x a x -==='当时，，当时，.0x a <<()0f x '<x a >()0f x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增；()f x ()0,a (),a ∞+（2）由题可得，两式相减可得，，1212ln 10,ln 10a ax x x x +-=+-=()121212ln ln x x x x a x x -=-要证，即证，12121x x a +>()1212121212ln ln x x x x x x x x -+>-即证，即证，1212122ln ln x x x x x x -+>-112122121ln x x xx x x -+>令，则，即证，121x t x =>12ln 0x x >1ln 21t t t ->+令，则，()()1ln 121t g t t t t -=->+()22213410(21)(21)t t g t t t t t ++='-=>++所以在上单调递增，所以，所以，故原命题成立.()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 21t t t ->+19.解：（1），令，可得，可得函数的增区间为()233f x x =-'()0f x '<11x -<<()f x ()(),1,1,,∞∞--+可得函数在区间上单调递增，在上单调递减，()f x []32,1,1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()1,1-由，()()()3333912,12,22,32228f f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=-=-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由曲线在点处的切线方程为，整理为()y f x =P ()()()32333y m m m x m --=--()22332y m x m =--联立方程消去后整理为，()232332,4,y m x m y x a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩y ()22343320x m x m a --+-=可得()()223Δ331620,m m a =---=整理为，43216932189a m m m -=--+令，有，()432932189g x x x x =--+()()()3236963612313g x x x x x x x '=--=+-令，可得或，()0g x '>103x -<<3x >可得函数的增区间为，减区间为，()g x ()1,0,3,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,,0,33∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭由，可得，()12243288,327g g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭min ()288g x =-有，可得16288a -- 18a。

2025届山西省朔州市怀仁一中高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．5B ．3C ．2D ．22．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 23．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．2154．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．406．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．627．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．132- B 312i + C ．132+ D 312i - 9．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 10．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)123n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．156012．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届山西省怀仁市第一中学校高三年级下学期一模理科数学试题评卷人得分一、选择题(共12小题,共60分)1.(5分)已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( )A. {0}B. {1}C. {2}D. {1,2}2.(5分)设z＝1−i＋2i，则|z|等于( )1+iA. 0B. 12C. 1D. √23.(5分)已知a＝π0.2，b＝logπ2，c＝cos 2，则( )A. c<b<aB. b<c<aC. c<a<bD. a<c<b)个单位长度后，得到函4.(5分)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(0≤φ<π2)的图象，则φ等于( )数y＝cos(2x+π6A. π12B. π6C. π3D. 5π35.(5分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )A. √3B. 5√3C. 6√3D. 7√36.(5分)释迦塔全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔，是中国现存最高最古老且唯一一座木构塔式建筑，全国重点文物保护单位．与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为(参考数据：tan 22.5°＝√2－1)( )A. √63B. √32C. √3+16D. √6+√367.(5分)第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为( )A. 8991B. 291C. 98125 D. 19278.(5分) 已知O 为坐标原点，双曲线C ：x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A (点A 在第一象限)，点B 在双曲线C 的渐近线上，且BF ∥OA ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，则双曲线C 的离心率为( ) A.2√33B. √2C. √3D. 29.(5分) 2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m /s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m /s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)( )A. 4B. 5C. 6D. 710.(5分) 已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝0，且f (1－x )＝f (1＋x )，则下列结论一定正确的是( ) A. f (x ＋2)＝f (x )B. 函数y ＝f (x )的图象关于点(2,0)对称C. 函数y ＝f (x ＋1)是奇函数D. f(2－x)＝f(x－1)11.(5分)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M －P AD的外接球的表面积为( )A. 12πB. 34πC. 68πD. 126π12.(5分)已知函数f(x)＝{0,x<1,ln x,x≥1,若不等式f(x)≤|x－k|对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是( )A. (－∞，1]B. [1，＋∞)C. [0,1)D. (－1,0]评卷人得分二、填空题(共1小题,共20分)13.(20分)13.(1－2x)5展开式中x3的系数为________．14. 已知a，b为单位向量，c＝2a－b，且〈a，b〉＝π3，则〈a，c〉＝________.15. 曲线f(x)＝(x3－mx)e x－1在点(1，f(1))处的切线与直线x－4y－1＝0垂直，则该切线的方程为_____________________________．16. 声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋12sin 2x，则下列结论正确的是________．(填序号)①2π是f(x)的一个周期；②f(x)在[0,2π]上有3个零点；③f(x)的最大值为3√34；]上是增函数．④f(x)在[0,π2评卷人得分三、解答题(共7小题,共80分)14.(12分)已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，且a2＝3，a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；，求数列{b n}的前n项和T n.(2)设S n为数列{a n＋2}的前n项和，b n＝1S n15.(12分)如图，平面ABCD⊥平面DBNM，且菱形ABCD与菱形DBNM全等，且∠MDB＝∠DAB，G为MC的中点．(1)求证：平面GBD∥平面AMN；(2)求直线AD与平面AMN所成角的正弦值．16.(12分)5G网络(5G Network)是第五代移动通信网络，与之前的四代移动网络相比较而言，5G网络在实际应用过程中表现出更加强大的功能．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质(UHD)节目的时代正向我们走来．某机构调查了某营业厅30位用户的性别与升级5G套餐情况，得到的数据如下表所示：(1)请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为用户升级5G 套餐与性别有关；(2)若从这30名用户的男性用户中随机抽取2人参加优惠活动，记其中升级5G 套餐用户的人数为X，求X的分布列和均值．附：K2＝n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .17.(12分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知F (1,0)，动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2.动点P 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)已知A (2,0)，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2，求S 1＋S 2的最大值． 18.(12分) 已知函数f (x )＝1x ＋a ln x ，g (x )＝e xx . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：当a ＝1时，f (x )＋g (x )－(1+ex 2)ln x >e.19.(10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =6−√22t,y =√22t (t 是参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos (θ−π4). (1)写出直线l 的普通方程、曲线C 的参数方程；(2)过曲线C 上任意一点A 作与直线l 的夹角为45°的直线，设该直线与直线l 交于点B ，求|AB |的最值．20.(10分) [选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －n |. (1)若m ＋n ＝0，且不等式f (x )>6的解集为{x |x >1或x <－5}，求mn 的值； (2)若m ，n 均为正实数，且1m ＋14n ＝1，求证：f (x )≥94.1.C【解析】A ＝{x |x ≥2}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝{2}． 2.C【解析】z ＝1−i1+i ＋2i ＝(1−i )(1−i )(1+i )(1−i )＋2i ＝－i ＋2i ＝i， 所以|z |＝1. 3.A【解析】a ＝π0.2>π0＝1，∵1<2<π，∴b ＝log π2∈(0,1)，∵π2<2<π， ∴c ＝cos 2<0， ∴c <b <a . 4.C【解析】y ＝sin 2x ＝cos (π2−2x)＝cos (2x −π2).将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y ＝cos [2(x +φ)−π2]＝cos [2x +(2φ−π2)]的图象，由题意知2φ－π2＝2k π＋π6(k ∈Z )，则φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又0≤φ<π2，所以φ＝π3. 5.B【解析】如图，连接BD ，在△BCD 中，由于BC ＝CD ＝2，∠C ＝120°， ∴∠CBD ＝180°−120°2＝30°，∴∠ABD ＝90°.在△BCD 中，由余弦定理知，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝2√3，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×2√3＋12×2×2×sin 120°＝5√3.6.D【解析】如图所示，点P 是正八棱锥的顶点，点O 是底面的中心，AB 是底面的一条边，M 是AB 的中点，根据题意知∠BOM ＝22.5°， 因为tan 22.5°＝√2－1， 设AB ＝a ，则OM ＝BMtan 22.5°＝√2+12a ， 又因为二面角P －AB －O 的大小为30°， 即∠PMO ＝30°， 所以OP ＝OM tan 30°＝√6+√36a ， 即正八棱锥的高和底面边长之比为√6+√36. 7.D【解析】根据题意可知，1名学生从15项成果中任选1项成果，其选择“芯片领域”的概率为515＝13，故没有选择“芯片领域”的概率为23，则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为23×23×23＝827，因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－827＝1927. 8.A【解析】如图，易知A (c,bca )，直线BF 的方程为y ＝ba (x －c )，① 直线OB 的方程为y ＝－ba x ，② 联立①②得B (c 2,−bc2a )， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，∴AB ⊥OB ，∴bc a +bc2ac−c 2＝a b ⇒a 2＝3b 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝43a 2，∴e 2＝c 2a ＝43，∴e ＝2√33. 9.C【解析】设石片第n 次“打水漂”时的速率为v n ， 则v n ＝100×0.90n －1.由100×0.90n －1<60，得0.90n －1<0.6， 则(n －1)ln 0.90<ln 0.6，即n －1>ln 0.6ln 0.9≈−0.511−0.105≈4.87，则n >5.87， 故至少需要“打水漂”的次数为6. 10.B【解析】在f (1－x )＝f (1＋x )中，把x 换成1＋x ，得f (1－(1＋x ))＝f (1＋(1＋x ))，即f (x ＋2)＝f (－x )；把x 换成1－x ，得f (1－(1－x ))＝f (1＋(1－x ))，即f (x )＝f (2－x )．根据f (－x )＋f (x )＝0，得f (x ＋2)＋f (2－x )＝0，在y ＝f (x )的图象上任取一点P (2＋x ，y )，则y ＝f (x ＋2)＝－f (2－x )，即点P ′(2－x ，－y )在y ＝f (x )的图象上，而点P (2＋x ，y )和点P ′(2－x ，－y )关于点(2,0)对称，所以由点P 的任意性，知函数y ＝f (x )的图象关于点(2,0)对称． 11.C【解析】由题意可知，MP ⊥P A ，MP ⊥PD .且P A ∩PD ＝P ，P A ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以MP ⊥平面P AD . 设△ADP 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得ADsin∠APD ＝2r ， 即4sin 150°＝2r ，所以r ＝4.设三棱锥M －P AD 的外接球的半径为R ， 则R 2＝(PM 2)2＋r 2＝1＋16＝17，所以外接球的表面积为4πR 2＝68π. 12.A【解析】当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x ，得f ′(1)＝1，所以函数f (x )在(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，令g (x )＝|x －k |，它与横轴的交点坐标为(k ,0)． 在同一直角坐标系内画出函数f (x )＝{0,x <1,ln x ,x ≥1和g (x )＝|x －k |的图象如图所示，利用数形结合思想可知，不等式f (x )≤|x －k |对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是k ≤1. 13. 13.－80 14.π615. 4x ＋y －1＝0 16. ①②③13.(1－2x )5的展开式的通项为T k ＋1＝C 5k (－2x )k ＝C 5k (－2)k x k， 令k ＝3，所以x 3的系数为C 53(－2)3＝－80. 14. a ·c ＝2a 2－a ·b ＝2－1×1×12＝32， c 2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×1×1×12＋1＝3，∴|c |＝√3，∴cos 〈a ，c 〉＝a·c |a ||c |＝321×√3＝√32.又0≤〈a ，c 〉≤π，∴〈a ，c 〉＝π6.15. 由题意得f ′(x )＝(x 3＋3x 2－mx －m )e x －1，则f ′(1)＝4－2m ，所以切线的斜率k 1＝4－2m ，直线x －4y －1＝0的斜率k 2＝14.因为两直线相互垂直，所以k 1k 2＝14(4－2m )＝－1，解得m ＝4，则k 1＝f ′(1)＝－4，所以f (x )＝(x 3－4x )e x －1，则f (1)＝－3，故该切线的方程为y ＋3＝－4(x －1)，即4x ＋y －1＝0. 16. y ＝sin x 的最小正周期是2π，y ＝12sin 2x 的最小正周期是2π2＝π， 所以f (x )＝sin x ＋12sin 2x 的最小正周期是2π，故①正确； 当f (x )＝sin x ＋12sin 2x ＝0，x ∈[0,2π]时， sin x ＋sin x cos x ＝0，即sin x (1＋cos x )＝0，即sin x ＝0或1＋cos x ＝0，解得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，所以f (x )在[0,2π]上有3个零点，故②正确； f (x )＝sin x ＋12sin 2x ＝sin x ＋sin x cos x ， f ′(x )＝cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x ＋cos x －1， 令f ′(x )＝0，解得cos x ＝12或cos x ＝－1，当x ∈(0,π3)或x ∈(5π3,2π)时，12<cos x <1，此时f ′(x )>0，则f (x )在(0,π3)，(5π3,2π)上单调递增， 当x ∈(π3,5π3)时，－1≤cos x <12，此时f ′(x )≤0但不恒为0，则f (x )在(π3,5π3)上单调递减，则当x ＝π3时，函数f (x )取得最大值，为f (π3)＝sin π3＋12sin 2π3＝√32＋√34＝3√34，故③正确，④错误． 14.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 由题意知{a 1+d =3,(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ),(2分)解得{a 1=1,d =2.所以a n ＝2n －1.(5分)(2)由(1)可得，a n ＋2＝2n ＋1，S n ＝(a 1＋2)＋(a 2＋2)＋(a 3＋2)＋…＋(a n －1＋2)＋(a n ＋2) ＝3＋5＋7＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1) ＝(2n+1+3)n2＝n 2＋2n .(8分)所以b n ＝12(1n −1n+2)，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n＝12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)] ＝12(1+12−1n+1−1n+2) ＝34－2n+32(n+1)(n+2).(12分)15.(1)证明 连接AC 交DB 于E ，连接GE ，在△AMC 中，G ，E 分别是CM ，CA 的中点， 所以GE ∥AM .因为GE ⊄平面AMN ，AM ⊂平面AMN ， 所以GE ∥平面AMN .又菱形DBNM 中，MN ∥BD ，同理可证BD ∥平面AMN .又因为BD ∩GE ＝E ，BD ，GE ⊂平面GBD ，所以平面GBD ∥平面AMN . (5分) (2)解 连接ME ，由菱形ABCD 与菱形DBNM 全等且∠MDB ＝∠DAB ， 可得出AD ＝AB ＝BD ，DM ＝BD ＝MB .所以ME ⊥BD ，又平面ABCD ⊥平面MNBD 且平面ABCD ∩平面MNBD ＝BD ，所以ME ⊥平面ABCD . (7分)则以E 为坐标原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EM 为z 轴，建立空间直角坐标系，令AB ＝2，则A (√3，0,0)，D (0，－1,0)，M (0,0，√3)，N (0,2，√3)， 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3，0，√3)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3，2，√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3，－1,0)， 设平面AMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{−√3x +√3z =0,−√3x +2y +√3z =0,则可令x ＝1，得y ＝0，z ＝1，平面AMN 的一个法向量n ＝(1,0,1)，(10分) 设直线AD 与平面AMN 所成的角为θ， sin θ＝|cos 〈AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉|＝√3√2×√4＝√64， 则直线AD 与平面AMN 所成角的正弦值为√64. (12分)16.解 (1)依题意，完善表格如下：(2分)K 2＝30×(14×7−6×3)220×10×13×17≈4.344>3.841，(4分)故有95%的把握认为用户升级5G 套餐与性别有关．(6分) (2)依题意知X 的可能取值为0,1,2， P (X ＝0)＝C 62C 70C 132＝526，P (X ＝1)＝C 61C 71C 132＝713，P (X ＝2)＝C 60C 72C 132＝726，(8分)所以X 的分布列为(10分)所以E (X )＝0×526＋1×713＋2×726＝1413.(12分)17.解 (1)设点P (x ，y )，则|x －6|＝2√(x −1)2+y 2＋2(x <6)，(1分) 整理得3x 2＋4y 2＝12， 即x 24＋y 23＝1.(3分)故曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分) (2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 联立{x =my +1,x 24+y 23=1,整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，(6分)Δ>0显然成立．所以y 1＋y 2＝－6m 3m 2+4，y 1y 2＝－93m 2+4， 所以|y 1－y 2|＝√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝√(−6m 3m +4)2+363m +4＝12√m 2+13m +4，(8分)故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y 2|＝12√m 2+13m 2+4.设t ＝2+1，t ≥1，则m 2＝t 2－1， 则S 1＋S 2＝12t3t 2+1＝123t+1t.(10分)因为t ≥1，所以3t ＋1t ≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．(11分) 故S 1＋S 2＝123t+1t≤3，即S 1＋S 2的最大值为3.(12分)18.(1)解 f (x )＝1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)． f ′(x )＝－1x2＋ax ＝ax−1x 2.(2分)当a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当a >0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ， 由f ′(x )>0，得x >1a ，所以函数f (x )在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增．(4分) (2)证明 当a ＝1时，要证f (x )＋g (x )－(1+ex )ln x >e， 即证1x ＋e xx －ex 2ln x －e >0⇔e x －e x ＋1>elnx x.(6分)令F (x )＝e x －e x ＋1，x ∈(0，＋∞)，则F ′(x )＝e x －e，当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，此时函数F (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，此时函数F (x )单调递增． 所以当x ＝1时，函数F (x )取得最小值，为1.(8分) 令G (x )＝elnx x，则G ′(x )＝e (1−ln x )x 2，当0<x <e 时，G ′(x )>0，此时函数G (x )单调递增； 当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )单调递减，所以当x ＝e 时，函数G (x )取得最大值，为1.(10分)因为F (x )的最小值在x ＝1时取得，G (x )的最大值在x ＝e 时取得， 所以F (x )>G (x )，即e x －e x ＋1>elnx x .故当a ＝1时，f (x )＋g (x )－(1+ex 2)ln x >e.(12分)19.解 (1)由{x =6−√22t,y =√22t (t 是参数)消去参数t ，可得直线l 的普通方程为x ＋y－6＝0.由ρ＝2√2cos (θ−π4)得ρ＝2cos θ＋2sin θ， 则有ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 可得x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2，可知曲线C 是以(1,1)为圆心，√2为半径的圆， 则曲线C 的参数方程为{x =1+√2cos α,y =1+√2sin α(α是参数)．(5分)(2)如图，过点A 作AH ⊥l 于点H ，则|AB |＝√2|AH |，所以求|AB |的最值转化为求|AH |的最值，即转化为求圆上的点到直线l 的距离的最值．易知圆心(1,1)到直线l 的距离为2√2，所以可知|AH |的最大值为3√2，最小值为√2， 故|AB |的最大值为6，最小值为2.(10分)20.(1)解 因为m ＋n ＝0，所以f (x )＝2|x ＋m |.(1分) 不等式f (x )>6即|x ＋m |>3，解得x >3－m 或x <－3－m ， 因此3－m ＝1且－3－m ＝－5，解得m ＝2.(3分)故m ＝2，n ＝－2，从而mn ＝－4.(5分)(2)证明 由于m ，n 均为正实数，所以f (x )＝|x ＋m |＋|x －n |≥|(x ＋m )－(x －n )|＝m ＋n ，(7分) 而m ＋n ＝(1m +14n )(m ＋n ) ＝54＋nm ＋m4n ≥54＋2√nm ·m4n ＝94，当且仅当nm ＝m4n ，即m ＝2n 时取等号．(9分) 故f (x )≥94.(10分。

2020-2021学年山西省朔州市第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知复数，则的虚部是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B试题分析：由，则复数z的虚部是，故选B.考点：复数代数形式的乘法运算.2. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．3. 若双曲线y2=4(m>0)的焦距为8，则它的离心率为A． B．2 C． D．参考答案：C略4. 复数满足，则（）A．B．C．D．参考答案：B，∴，故选B.5. 已知命题p: ,则为A. B.C. D.参考答案：B略6. 右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图, 其俯视图是面积为8的矩形, 则该几何体的表面积是（）A．2 0+8 B．2 4+8C．8 D．16参考答案：A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．7. 如图,直角坐标平面内的正六边形ABCDEF，中心在原点，边长为a，AB平行于x轴，直线（k为常数）与正六边形交于M、N两点，记的面积为S，则关于函数的奇偶性的判断正确的是（）A．一定是奇函数B．—定是偶函数C．既不是奇函数，也不是偶函数D．奇偶性与k有关参考答案：B略8. 中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：A略9. 若，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：C∵，，，∴．故选C．10. 集合M={x|0x2}，N={x|x2-2x-3<0}，则M和N的交集为（）A.{x|0x2}B.{x|0<x<2}C.{x|-1<x<3}D.{x|0<x}参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，, 若// , 则实数等于______________.参考答案：略12. 过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的射影，由区域内的点在直线上的射影构成线段记为，则的长度的最大为.参考答案：本题主要考查二元一次不等式组与线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.由,所以直线l 过定点,画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，三角形ABC 的最大边长|AB|=5,当AB//l 时，|MN|的长度最大是5.13. （13）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且，，面积，则b 等于 ．参考答案：514. 设满足约束条件，则的最大值为 ．参考答案：由约束条件作出可行域如图：由图可知，在点与两点之间的斜率最大.把代入可得.故答案为：.15. 过点的直线与抛物线交于两点，且则此直线的方程为_________。

山西省怀仁市第一中学校2022届上学期高三年级8月摸底（第一次月考）数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）＝{，y|，y ∈N ，y ≥}，B ＝{，y|＋y ＝10}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）.5 C2 已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A 312i --B 312i -+ C 32i -+ D 32i -- 3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A ．B ．C ．．4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图，则下面结论中不正确的是建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例A 新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ：y 2＝2.3 C 5lg L V=+ 1.259≈ A. 1.51.2 2y x.10 C 231313252345,1AC BC AC BC ⊥==O ABC-121241a ，使得a i ＋m ＝a i i ＝1，2，…成立，则称其为0－1周期数列，并称满足a i ＋m ＝a i i ＝1，2，…的最小正整数m 为这个序列的周期。

对于周期为m 的0－1序列a 1a 2…a n …，C ＝11(1,2,,1)mi i k i a a k m m +==⋅⋅⋅-∑是描述其性质的重要指标。

下列周期为P ABCDEF AP AB(6,2)-(2,6)-(2,4)-(4,6)-5的0－1序列中，满足C ≤15＝1，2，3，4的序列是 A ．11010B ．11011C ．11001D ． 10001二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13 曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为________． 14 将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．15已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为16 已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数为________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0．5，[0．5，1，…，[4，4．5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I ）求直方图中a 的值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值． 18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若c ABC =ABC 的周长． 19．如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=AA 1，∠BAA 1=60°．（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．20．已知椭圆()222:10525x y C m m+=<<,A B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且,BP BQ BP BQ =⊥，求△APQ 的面积．21 已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足2AP AM =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．23．已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．参考答案一、选择题1-5 CBDAD 6-10 CCABC 11-12 AD 二、填空题13520x y -+=； 14n 23n 2- ； 15 22188x y -= ； 16 2三、解答题17【解析】（I ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1．∵频率=频率/组距*组距，∴()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ⨯+++++++=，得0.3a =． 3分（II ）由图，不低于3吨人数所占百分比为()0.50.120.080.04=12%⨯++， ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6⨯万． 7分 （Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2．5吨的居民人数所占百分比为：()0.50.080.160.30.40.520.73⨯++++=，即73%的居民月均用水量小于2．5吨， 同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.53x <<， 假设月均用水量平均分布，则()85%73%0.52.50.5 2.90.3x -÷=+⨯=（吨）． 12分 18（I ）由正弦定理及2cos (cos cos ).C a B+b A c =得，C A B B A C sin )cos sin cos (sin cos 2=+，即C B A C sin )sin(cos 2=+，即C C C sin sin cos 2=，因为π<<C 0，所以0sin ≠C ，所以21cos =C ，所以3π=C ． 6分（II ）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅==∴6ab = ∴()2187a b +-=，5a b +=，∴ABC △周长为5a b c ++=+分 19【解析】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB=1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ∆是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ⋂=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1A C ； ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，有题设知A1，0，0，1A 00，C0，0B －1，0，0，则BC =（1，0），1BB =1AA =－1，0，1AC =0， 设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量，则100BC BB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n，即00x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可取n =1，-1）， ∴1cos ,AC n =11|AC AC •n|n || ∴直线A 1C 与平面BB 1C1C ……12分 20（1）由c e a =，得2221b e a =-，即21511625m =-，∴22516m =，故C 的方程为221612525x y +=．4分（2）设点P 的坐标为(,)s t ，点Q 的坐标为(6,)n ，根据对称性，只需考虑0n >的情形，此时55s -<<，504t <．∵||||BP BQ =，∴有222(5)1s t n -+=+ ①．又∵BP BQ ⊥，∴50s nt -+= ②．又221612525s t +=③．联立①、②、③，可得，312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩或318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩．当312s t n =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，(8,1)AP =，(11,2)AQ =， ∴22215()|82111|22APQ S AP AQ AP AQ =⋅-⋅=⨯-⨯=△． 同理可得，当318s t n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，52APQ S =△．综上所述，可得APQ △的面积为52． 12分21【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x '--===, 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； 4分 （2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10aa e<<,这即是()()0ga g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,e e ⋃+∞ 12分22【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y +=，即曲线C的直角坐标方程为(222x y-+=； 5分（2）设(),P x y，设)Mθθ2AP AM =，())()1,22cos xy θθθθ∴-=-=+，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3-，3222-<，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点 10分23【解析】1如图所示：5分2，．当，，解得或，； 当，，解得或，或； 当，，解得或，或．综上，或或，，解集为．10分()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >1x -≤41x ->5x >3x <1x -∴≤312x -<<321x ->1x >13x <113x -<<∴312x <<32x ≥41x ->5x >3x <332x <∴≤5x >13x <13x <<5x >()1f x >∴()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。

山西省朔州市怀仁市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．已知全集{}2U x x =<，集合{}2log 1P x x =<，则UP =（ ）A ．(]2,0-B ．(]2,1-C ．(]0,1D ．[)1,22．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是单调递增的是（ ） A ．cos y x =B ．||x y e-= C ．ln ||y x = D ．3y x =3．对于非空数集{}()*123,,,,n A a a a a n =∈N ，其所有元素的算术平均数记为()E A ，即123()na a a a E A n++++=．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆；②()()E B E A =．则称B 为A 的一个“保均值子集”．据此，集合{}1,2,3,4,5的“保均值子集”有（ ） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个4．以下四个命题中，正确的是（ ）A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B ．πππ,π,66k k k k ααββ⎧⎫⎧⎫=+∈≠=-+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z ZC ．若α是第二象限的角，则sin 20α<D ．第四象限的角可表示为3π2π2π,2k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z 5．已知实数,a b 满足23n =，32b=，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2 6．若π1sin 33α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．23-B ．23C ．79-D ．797．函数3()ln x f x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上单调递增，设()4log 5a f =，21log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.50.2c f =，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<9．已知25cos2cos αα+=，4cos(2)5αβ+=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π,2π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos β=（ ） A ．45-B ．45 C ．44125-D ．4412510．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，π||2ϕ<），的部分图象如图所示，为得到π()cos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()f x 的图象（ ）A ．向左平移π6个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度 11．已知函数22π()2sin cos sin (0)24x f x x x ωωωω⎛⎫=⋅-->⎪⎝⎭在区间5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间(0,π)上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦ B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,5⎛⎤⎥⎝⎦12．已知函数31()log (1)13xf x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，有2个不同的零点1x 、2x ，则（ ）A ．121x x ⋅<B ．1212x x x x ⋅=+C ．1212x x x x ⋅>+D ．1212x x x x ⋅<+二．填空题13．已知1sin cos 5αα+=-，(0,π)α∈，则sin2α=______．14．已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若 ()f x 的最小值为 (2)f ，则实数a 的取值范围是______．15．设1x 满足2ln 3x x +=，2x 满足ln(1)21x x --=，则12x x +______．16．设函数ln |,02()(4),24x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩，方程()f x m =有四个不相等的实根(1,2,3,4)i x i =，则22221234x x x x +++的取值范围为______．三．解答题17．已知函数()21()51m f x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数． （1）求m 的值．（2）求函数()()g x f x =11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.18、（1）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(P -求πtan()sin 2tan 2tan cos(π)sin(3π)2αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭++---的值（2）求3113log 049321732log 2log (1)3ln 927-⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭值19．已知函数ππ()4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的定义域与最小正周期及对称轴； （2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（3）讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性．20．（1）已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，点A又在函数())f x x a =+的图像上，求不等式()3g x >的解集； （2）已知121log 1x -≤≤，求函数1114242x xy -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值．21．已知函数131()log (1)1x f x a ax +=≠+是奇函数，（1）若函数2()()21x g x f x =++，(1,1)x ∈-，求1122g g ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）在条件（1）下，若()()g m g n >，其中,(1,1)m n ∈-，试比较,m n 的大小． （3）当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式2()42xf x t t +>+恒成立，求t 的取值范围．22．某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，BC =拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且90EOF ∠=︒（1）设BOE α∠=，试求OEF △的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题 1～5．ACDCB 6～10．CDBDD 11～12．AD二．填空题13．2425-14．1,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 15．116．4120,2⎛⎫ ⎪⎝⎭三．解答题 17．解：（1）()21()51m f x m m x +=-+为幂函数2511m m ∴-+=，解得0m =或5m = 又()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-0m ∴=（2）由（1）可知()f x x =，()g x x ∴=令t =212t x -=11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，t ∴∈22111()(1)1222g t t t t =-++=--+，t ∈由二次函数的性质可知函数()g t 在上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦g()x ∴在11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦18．解：（1）由题意得：1sin 2α=，cos 2α=-，tan α=，πtan()sin tan cos 22cos(π)sin(3π)(cos )sin 3αααααααα⎛⎫-++-⎪-+⎝⎭∴===-----⋅22tan tan 21tan ααα==-1sin tan 221cos ααα===+tan 2tan22αα∴+=πtan()sin 42tan 2tan cos(π)sin(3π)23αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭∴++=--- （2）3113log 049321732log 2log (1)3ln 927-⎛⎫+-+-+-+ ⎪⎝⎭ ()3313log 2log 221444=+--+++=19．解：（1）ππ()4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ2x k ∴≠+，即函数的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则11()4tan cos cos 4sin cos 22f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 2cos 2)x x x x x =+=+--πsin 22sin 23x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则函数的周期2ππ2T == 对称轴为5k ππ,()122x k =+∈Z（2）π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦πsin 23x ⎡⎤⎛⎫∴-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦（3）由πππ2π22π,232k x k k -<-<+∈Z 得π5πππ,1212k x k k -<<+∈Z ， 即函数的增区间为π5ππ,π,1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ， 当0k =时，增区间为π5π,,1212k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴此时ππ,124x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，由ππ3π2π22π,232k x k k +<-<+∈Z ， 得5π11πππ,1212k x k k +<<+∈Z ， 即函数的减区间为5π11ππ,π,1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ， 当1k =-时，减区间为7ππ,,1212k ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z ， ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴此时ππ,412x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数的减区间为ππ,412⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，增区间为ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦20．『解析』（1）由题意知定点A 的坐标为()2,22)a ∴=+解得1a =． 2()21x g x -∴=+∴由()3g x >得，2213x -+>222x -∴>，21x ∴->，3x ∴>∴不等式()3g x >的解集为()3,+∞（2）由121log 1x -≤≤得122x ≤≤ 令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则142t ≤≤221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭∴当12t =，即1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，1x =时，min 1y =当14t =，即1124x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x =时，max 54y =21解析．（1）．()f x 为奇函数，()()0f x f x ∴-+=，113311log log 011x xax ax -+∴+=-+， (1)(1)1(1)(1)x x ax ax -+∴=-+，()2210x a -=在给定定义域上恒成立，21a ∴=，11a a ≠∴=-13121()1log 121x xx g x x +--=--+奇函数，1111022g g ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11222g g ⎛⎫⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）1312()log ,(1,1)121x x g x x x +=+∈--+，下面考察函数的单调性．对于12(1)21111x x x x x +--==-----在(1,1)-单增，故131log 1x x +-在(1,1)-单减； 对于221x +，设112,22x t t ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21t +在11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单减，故221x +在(1,1)-单减， 所以1312()log 121x x g x x +=+-+，在(1,1)x ∈-单减， 因为()()g m g n >，,(1,1)m n ∈-，所以m n <（3）、不等式2()42x f x t t +>+恒成立2min ()42x f x t t ⎡⎤⎣⎦->-()()4x h x f x =-，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调递减， min 1()32h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，232t t ∴->-， 3t ∴>或1t <-22（1）由题意，在Rt BOE △中，60OB =，π2B ∠=，BOE α∠=， 60cos OE α∴=， Rt AOF △中，60OA =，π2AFO ∠=， 60sin OF α∴=，又π2EOF ∠=，60cos sin EF αα∴===， 所以606060cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++， 即60(cos sin 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时π6α=； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时π3α=． 故此函数的定义域为ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF △的周长l 的最小值即可． 由（1）得60(cos sin 1)cos sin l αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 21sin cos 2t αα-∴⋅=， 则260(cos sin 1)60(1)120 1cos sin 12t l t t αααα+++===--， 由ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5ππ7π12412α≤+≤，12t ≤≤，则1112t ≤-≤，1111t ≤≤-， 当π4α=，即当60BE =时，min 1)l =， 答：当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元。

2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）强化训练数学试卷（文科）（二）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知＝（）A．﹣B．﹣3C．D．32．（5分）下列说法中正确的是（）A．若数列{a n}为常数列，则{a n}既是等差数列又是等比数列B．若函数f（x）为奇函数，则f（0）＝0C．在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件D．若两个变量x，y的相关系数为r，则r越大，x与y之间的相关性越强3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）x﹣1，则＝（）A．0B．1C．﹣1D．4．（5分）已知平面向量与的夹角为，且，则＝（）A．2B．1C．D．5．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示（x）的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D内是单调函数；（2）存在，使得f（x）在上的值域为[m，那么就称函数f（x）为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在封闭的鳖臑P ABC内有一个体积为V的球，若P A⊥平面ABC，P A＝AB＝BC＝1，则V的最大值是（）A．πB．C．πD．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n（n∈N*），数列{b n}的通项公式为b n＝3n﹣1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n}，令x n＝，则的最小值为（）A．1B．C．2D．e二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9．（5分）已知函数f（x）＝x2+x+a（a＜0）的区间（0，1）上有零点．10．（5分）记S n为正项数列{a n}的前n项和，且a n+1＝2，则S2020＝．11．（5分）已知f（x）＝log2x，x∈[2，16]（x）值域内的任意实数m，使x2+mx+4＞2m+4x 恒成立的实数x的取值范围为．12．（5分）若函数f（x）＝2sin（2x+）在区间[0，0，]上都单调递增，则实数x0的取值范围为．三．解答题13．（10分）已知△ABC的面积为，且内角A、B、C依次成等差数列．（1）若sin C＝3sin A，求边AC的长；（2）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．14．（10分）已知函数f（x）＝lnx﹣4ax，g（x）＝xf（x）．（1）若，求g（x）的单调区间；（2）若a＞0，求证：．2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）强化训练数学试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知＝（）A．﹣B．﹣3C．D．3【解答】解：已知cos（+α）＝2cos（π﹣α），tanα＝7，则tan＝＝＝﹣3．故选：B．2．（5分）下列说法中正确的是（）A．若数列{a n}为常数列，则{a n}既是等差数列又是等比数列B．若函数f（x）为奇函数，则f（0）＝0C．在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件D．若两个变量x，y的相关系数为r，则r越大，x与y之间的相关性越强【解答】解：对于A：若数列{a n}为常数列，例如：a n＝0，则数列{a n}是等差数列，但不是等比数列；对于B：若函数f（x）为奇函数，在原点处有意义，故B错误；对于C：在△ABC中，当A＞B时，故sin A＞sin B，利用正弦定理：2R sin A＞6R sin B，所以：A＞B是sin A＞sin B的充要条件；对于D：若两个变量x，y的相关系数为r，x与y之间的相关性越强；故选：C．3．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x）（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）x﹣1，则＝（）A．0B．1C．﹣1D．【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴f（）．又f（x）＝f（4﹣x），∴f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（4+x）＝﹣f（7+x）＝f（x），∴f（x）是周期为4的函数，∴f（）＝f（4﹣）＝﹣f（）．∵当x∈[0，1]时x﹣2，∴f（）＝﹣f（）＝﹣6．故选：C．4．（5分）已知平面向量与的夹角为，且，则＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：∵向量与的夹角为，且；∴；∴＝；∴；∴或0（舍去）；∴．故选：A．5．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，最后单调递增，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．6．（5分）函数f（x）的定义域为D，若满足：（1）f（x）在D内是单调函数；（2）存在，使得f（x）在上的值域为[m，那么就称函数f（x）为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，y＝log a（a x+t），设u（x）＝a x+t，则y＝log a u，当a＞1时，u（x）＝a x+t为增函数，y＝log a u也是增函数，则y＝log a（a x+t）为增函数，当0＜a＜2时，同理可得y＝log a（a x+t）为增函数，综合可得：y＝log a（a x+t）为增函数，若f（x）＝log a（a x+t）为“梦想函数”，则有+t＝a x有两个不同的正数解，变形可得（）2﹣﹣t＝8有两个不同的正数解，则有，解可得﹣，即t的取值范围为（﹣，4），故选：A．7．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在封闭的鳖臑P ABC内有一个体积为V的球，若P A⊥平面ABC，P A＝AB＝BC＝1，则V的最大值是（）A．πB．C．πD．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC的表面积为S＝S△P AB+S△P AC+S△PBC+S△ABC＝+++＝8+，设三棱锥内切球的半径为r，由等体积法可得＝×r，解得r＝．故三棱锥内切球的体积积V＝πR3＝π．故选：C．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n（n∈N*），数列{b n}的通项公式为b n＝3n﹣1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n}，令x n＝，则的最小值为（）A．1B．C．2D．e【解答】解：由题意可知数列{a n}，{b n}的共同项为2，8，32，…，故c n＝52n﹣1，由x n＝，得＝1+，所以＝（1+）…（5+），令F n＝，则当n≥2时，＝，故数列{F n}为递增数列，所以≥，故选：B．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）9．（5分）已知函数f（x）＝x2+x+a（a＜0）的区间（0，1）上有零点（﹣2，0）．【解答】解：由x2+x+a＝0，移项得a＝﹣x5﹣x，根据题意可知：函数f（x）＝x2+x+a（a＜0）的区间（7，1）上有零点，即a＝﹣x2﹣x在x∈（2，1）上成立2﹣x在x∈（6，1）上值域由于a＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，由于x∈（0，5）∴﹣2＜a＜0，则a的取值范围（﹣6，0）．故答案为：（﹣2，8）．10．（5分）记S n为正项数列{a n}的前n项和，且a n+1＝2，则S2020＝20202．【解答】解：依题意，由a n+1＝2，可得2S n＝（a n+1）2，当n＝8时，4a1＝2S1＝（a1+3）2，整理，得（a1﹣6）2＝0，解得a4＝1，当n≥2时，由6S n＝（a n+1）2，可得8S n﹣1＝（a n﹣1+7）2，两式相减，可得4a n＝5S n﹣4S n﹣1＝（a n+3）2﹣（a n﹣1+2）2，化简整理，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣4﹣2）＝0，∵a n+a n﹣3＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即a n﹣a n﹣1＝5，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S2020＝2020×8+×2＝20204．故答案为：20202．11．（5分）已知f（x）＝log2x，x∈[2，16]（x）值域内的任意实数m，使x2+mx+4＞2m+4x 恒成立的实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：∵x∈[2，16]2x∈[7，4]，4]，满足题意时：m（x﹣3）+（x﹣2）2＞8恒成立，设g（m）＝（x﹣2）m+（x﹣2）8，则此函数在[1，4]上恒大于8，∴，即，解得x＜﹣5或x＞2．则实数a的取值范围是（﹣∞，2）∪（2．故答案为：（﹣∞，2）∪（2．12．（5分）若函数f（x）＝2sin（2x+）在区间[0，0，]上都单调递增，则实数x0的取值范围为[，]．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+）在区间[0，0，]上都单调递增，令2kπ﹣≤8x+，求得kπ﹣，k∈Z，令k＝0，可得函数的增区间为[﹣，]，再k＝1，可得函数的增区间为[，]，∴，求得5≤，则实数x0的取值范围为[，]，故答案为：[，]．三．解答题13．（10分）已知△ABC的面积为，且内角A、B、C依次成等差数列．（1）若sin C＝3sin A，求边AC的长；（2）设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，三个内角A，B，∴2B＝A+C，∵A+B+C＝180°，∴B＝60°，∵△ABC的面积为＝ac sin B＝，∴ac＝12，∵sin C＝3sin A，由正弦定理可得：c＝2a，∴解得：a＝2，c＝6，∴由余弦定理得AC＝b＝＝＝6．（2）因为D为AC边的中点，所以：＝（+），两边平方，可得：2＝（2+2+7•），可得：||2＝（c2+a2+4a•c•cos B）＝（c8+a2+a•c）≥（2ac+ac）＝，解得BD ≥3，可得BD的最小值为3．14．（10分）已知函数f（x）＝lnx﹣4ax，g（x）＝xf（x）．（1）若，求g（x）的单调区间；（2）若a＞0，求证：．【解答】（1）解：当a＝时，g（x）＝xlnx﹣x2，g′（x）＝lnx﹣x+2，∴g″（x）＝﹣1，2）时，当x∈（1，g″（x）＜0，∴g′（x）在（4，1）上单调递增，+∞）上单调递减，∴g′（x）≤g′（1）＝0，∴g（x）在（5，+∞）上单调递减，故g（x）的单调递减区间为（0，+∞）．（2）证明：f′（x）＝﹣7a＞8，∴当0＜x＜时，f′（x）＞0时，f′（x）＜0，∴当x＝时，f（x）取得最大值f（﹣1，∴f（x）≤ln﹣1，令＝t，则h′（t ）＝，∴当0＜t＜1时，h′（t）＞3，h′（t）＜0，∴当t＝1时，h（t）取得最大值h（1）＝8，∴h（t）≤0恒成立，故lnt≤t﹣1恒成立，∴ln﹣1≤，∴f（x ）≤﹣2．第11页（共11页）。

山西省怀仁市第一中学2022届上学期高三年级第一次月考数学试卷（理科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1 设集合{}10M x x =+≥，{}210x N x =->，则()R M C N 等于（ ）A {}0x x >B {}1x x ≥-C {}10x x -≤< D {}10x x -≤≤2 已知集合{}4,7,8M ，且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）A 3个B 4个C 5个D 6个3 “2a =”是“函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件4 已知p ，q 是两个命题，若()p q ⌝∨是假命题，那么（ ） A p 是真命题且q 是假命题 B p 真命题且q 是真命题 C p 是假命题且q 是真命题D p 是假命题且q 是假命题5 已知函数()2log 31,0()2,0xx f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()()3f f -等于（ ）A 1B 2C 3D 46 设0.73a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.7log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A a b c <<B b a c <<C b c a <<D c a b <<7 定义在R 上的函数()f x x x =，则()f x （ ） A 既是奇函数，又是增函数 B 既是奇函数，又是减函数 C 既是偶函数，又是增函数D 既是偶函数，又是减函数8 函数2()xx e f x x=的图象大致为（ ）A BCD9 已知函数()ln4xf x x=-，则（ ） A ()y f x =的图象关于点()2,0对称 B ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C ()f x 在()0,4上单调递减D ()f x 在()0,2上单调递减，在()2,4上单调递增10 已知()2()ln (,)f x x ax b x a b R =++⋅∈，当0x >时，()0f x ≥，则实数a 的取值范围为（ ） A 20a -≤<B 1a ≥-C 10a -<≤D 01a <≤11 已知函数(),0()lg ,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实数根，则t 的取值范围为（ ）A (],2-∞-B [)1,+∞C []2,1-D (][),21,-∞-+∞12 已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,+∞上单调递减，函数()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,+∞上单调递减，设函数1()()()()()2F x f x g x f x g x =⎡++-⎤⎣⎦，则对任意x R ∈，均有（ ）A ()()11F x F x -≥+B ()()11F x F x -≤+C ()()2211F x F x -≥+D ()()2211F x F x -≤+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）13 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，则BA 的一个充分不必要条件是__________14 若函数()()2af x m x =+是幂函数，且其图象过点()2,4，则函数()()log a g x x m =+的单调递增区间为__________15 已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________16 如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①函数3()1f x x =+是圆O ：()2211x y +-=的一个太极函数；②函数11()2x x f x ee --=-+是圆O ：()()22121x y -+-=的一个太极函数；③函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是圆O ：221x y +=的一个太极函数﹔④函数()2()ln1f x x x =++是圆O ：221x y +=的一个太极函数所有正确的是__________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17 已知集合{}22940A x x x =-+>，集合{}22,R B y y x x x C A ==-+∈，集合{}121C x m x m =+<≤-（1）求集合B ； （2）若AC A =，求实数m 的取值范围18 设命题p ：函数()2()lg 16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对任意x R ∈恒成立（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围 19 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =-+ （1）求函数()f x 在R 上的解析式； （2）解关于x 的不等式()3f x <20 设函数()2(),f x x bx c b c R =++∈，已知()0f x <的解集为()1,3-（1）求b ，c 的值；（2）若函数()()g x f x ax =-在区间[]0,2上的最小值为－4，求实数a 的值21 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择（1）试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）22 若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121f x f x ⋅=成立，则称该函数为“依赖函数”（1）判断函数()sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数1()2x f x -=在定义域[](),0m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；（3）已知函数24()()3h x x a a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”，若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式2()()4h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值【试题答案】1 D {}1M x x =≥-{}{}210x N x x x =>=>{}0R C N x x =≤(){}10R M C N x x =-≤≤2 D {}4,7,8MM M ∅{}4{}7{}8{}4,7{}7,83 A [当2a =时，()2f x x a x =-=-在[)2,+∞上为增函数，故充分性成立； 当函数()f x x a =-在区间[)2,+∞上为增函数时，2a ≤，故必要性不成立]4 A ()p q ⌝∨p ⌝q p q5 B()31f -=()()()()231log 312f f f -==+=0.731a =>0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=1c a b <<<7 A [∵函数()f x 的定义域为R ， 且()()f x x x f x -=-=-， ∴函数为奇函数，又∵当0x ≥时，2()f x x =为增函数， ∴()f x 在R 上为增函数]8 A [函数的定义域为{}0x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x==，当0x →时，()0f x →，排除B] 9 A [由04x x >-，得函数()f x 的定义域为()0,4，2(2)ln2x f x x++=-，定义域为()2,2-，()2f x +为奇函数且单调递增，∴()f x 为()2f x +向右平移两个单位长度得到，则函数在()0,4上单调递增，关于点()2,0对称] 10 B [当0x >时，()2()ln 0f x x ax b x =++⋅≥， ∵当01x <<时，ln 0x <，即需20x ax b ++≤成立；当1x =时，ln 0x =，()0f x ≥恒成立﹔当1x >时，ln 0x >，即需20x ax b ++≥成立；∴对于函数2()g x x ax b =++，在()0,1上()0g x ≤，在()1,+∞上()0g x ≥，∴2(1)1040(0)0g a b a b g b =++=⎧⎪∆=->⎨⎪=≤⎩，解得1a ≥-]11 A [作出()f x 的图象，如图所示，令()f x m =，当1m <时，()y f x =与y m =的图象有1个交点，即()f x m =有1个根，当1m ≥时，()y f x =与y m =的图象有2个交点，即()f x m =有2个根，则关于x 的方程2()()0f x f x t ++=转化为20m m t ++=， 由题意得2140t ∆=->，解得14t <， 方程20m m t ++=的两根为11142t m --=，21142tm -+-=，因为关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实数根，则11411141tt---<-+-≥，解得2t ≤-，满足题意] 12 C [易知()f x 为偶函数，()g x 关于1x =对称， 又()f x 在[)0,+∞上单调递减， ∴()f x 在(],0-∞上单调递增，()g x 在()1,+∞上单调递减，∴()g x 在(),1-∞上单调递增， 当()()f x g x ≥时，[]1()()()()()()2F x f x g x f x g x f x =++-=， 当()()f x g x ≤时，[]1()()()()()()2F x f x g x g x f x g x =++-= ①若()()f x g x ≤恒成立，则()()F x g x =，可知()F x 关于1x =对称， 又1x -与1x +关于1x =对称；21x -与21x +关于1x =对称， ∴(1)(1)F x F x -=+，()()2211F x F x -=+；②若()()f x g x ≥恒成立，则()()F x f x =，可知()F x 关于y 轴对称， 当11x x -≥+时，()()11F x F x -≤+；当11x x -≤+时，()()11F x F x -≥+， 可排除A ，B ；当210x -≥，即201x ≤≤时，22011x x ≤-≤+， ∴()()2211F x F x -≥+，当210x -≤，即21x ≥时，()()()222111F x F x F x -=-≥+， ∴若()()F x f x =，则()()2211F x F x -≥+，可排除D] 13 12m =-（或13m =或0m =） 解析 集合{}{}2603,2A x x x =+-==-， 若BA ，则B =∅或{}3-或{}2；当B =∅时，0m =，当{}3B =-时，有310m -+=，解得13m =， 当{}2B =时，有210m +=，解得12m =-， 故BA 的一个充分不必要条件是12m =-（或13m =或0m =） 14 ()1,+∞解析 ∵函数()()2af x m x =+是幂函数，且其图象过点()2,4，∴21m +=，且24a=，求得1m =-，2a =，可得2()f x x =，则函数2()log ()log (1)a g x x m x =+=-的单调递增区间为()1,+∞ 15 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析 因为(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以31001314log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1173a ≤<，所以a 的取值范围为11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭16 ①②③④解析 ①两曲线的对称中心均为点()0,1，且两曲线交于两点，所以()1f x =能把圆()2211x y +-=一分为二，如图，故正确； ②函数11()2x x f x ee --=-+关于点()1,2对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：所以函数11()2x x f x ee --=-+是圆O ：()()22121x y -+-=的一个太极函数，故正确；③函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩为奇函数，如图：所以函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩是圆O ：221x y +=的一个太极函数，故正确；④函数()2()ln1f x x x =++为奇函数，且单调递增，如图，所以函数)2()ln1f x x x =+是圆O ：221x y +=的一个太极函数，故正确17 解 （1）∵22940x x -+>，∴12x <或4x >，∴()1,4,2A ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭，1,42R C A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦于是，222(1)1y x x x =-+=--+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得[]8,1y ∈-，∴[]8,1B =- （2）∵AC A =，∴C A ⊆若C =∅，则211m m -≤+，即2m ≤；若C ≠∅，则21212m m >⎧⎪⎨-<⎪⎩或214m m >⎧⎨+≥⎩， 解得3m ≥，综上，实数m 的取值范围是2m ≤或3m ≥18 解 （1）命题p 是真命题，则2160ax x a -+>恒成立， 得201640a a >⎧⎨∆=-<⎩，即18a >， 所以a 的取值范围为18a >（2）若命题q 是真命题，则不等式39x x a -<对一切x R ∈均成立， 设39xxy =-，令30x t =>，则2y t t =-，0t >， 当12t =时，max 111244y =-=，所以14a > 若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题， 则p ，q 一真一假 即有1184a <≤或a ∈∅， 综上，实数a 的取值范围为1184a <≤ 19 解 （1）由题意，得当0x <时，0x ->， 则22()()2()2f x x x x x -=--+-=--， 由()f x 是定义在R 上的奇函数，得()2()2f x f x x x =--=+，且()00f =，综上，222,0()0,0,2,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩（2）①当0x >时，2223230x x x x -+<⇒-+>，解得x R ∈，所以0x >；②当0x =时，03<显然成立，所以0x =成立﹔ ③当0x <时，223x x +<，解得30x -<< 综上，不等式的解集为()3,-+∞20 解 （1）由()0f x <的解集为()1,3-可得20x bx c ++=的解为1,3x =-， 则()13b -+=-，()13c -⨯=，则2b =-，3c =-， 此时()0f x <即为2230x x --<，满足题意 ∴2b =-，3c =-（2）2()()(2)3g x f x ax x a x =-=-+-， 二次函数()g x 在,12a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 当212a≤+，即2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递减， ()g x 的最小值为()232g a =--，则324a --=-，解得12a =，不满足2a ≥； 当0122a<+<，即22a -<<时，()g x 在[]0,2上先递减后递增， ()g x 的最小值为212(2)124a a g --+⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则212(2)44a --+=-，解得0a =或－4， 由22a -<<，可得0a =； 当102a+≤，即2a ≤-时，()g x 在[]0,2上单调递增， ()g x 的最小值为()03g =-，不满足最小值为－4综上可知，0a =21 解 （1）函数(0,1)xy ka k a =>>与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,+∞上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)xy ka k a =>>的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于凤明莲在湖中的蔓延速度越来越快， 因此选择模型(0,1)xy ka k a =>>符合要求 根据题意可知当2x =时，24y =； 当3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 112x ≤≤，*x N ∈（2）当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3， 由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭， 得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， ∴32lg101log 10 5.73lg3lg 2lg 2x >==≈-， ∵*x N ∈，∴6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份 22 解 （1）对于函数()sin g x x =的定文域R 内存在16x π=，则()22g x =无解， 故()sin g x x =不是“依赖函数”（2）因为1()2x f x -=在[],m n 上单调递增，故()()1f m f n =，即11221m n --=，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈（3）①若443a ≤≤，故()2()h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为0，此时不存在2x ，舍去； ②若4a >，故2()()h x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 从而4(4)13h h ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =（舍）或133a =， 从而存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，有不等式2213()43x t s t x ≥⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭都成立， 即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 得2265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭ 由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故当43x =时，max532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 从而26145433s ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，解得4112s ≤， 综上，实数s 的最大值为4112。