高考冲刺2020年高考数学(理)全真模拟演练五(原卷word版)

2020高考全国卷数学（理）模拟卷（五）1、已知集合{|21,R}x A y y x ==+∈,1|02x B x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭,则(A ⋂∁)R B = ( )A. [)2,+∞ B. []1,2 C. (]1,2 D. (],1-∞ 2、已知复数31iz i-=+ (i 为虚数单位),则z 的共轭复数( ) A. 12i - B. 24i - C. 12i + D. 24i +3、已知直线l ⊥平面α,直线//m 平面β,则“//αβ”是“l m ⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4、已知等差数列{}n a 中,若14736939,27a a a a a a ++=++=,则数列{}n a 前9项的和为( )A.297B.144C.99D.665、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )A.18B.24C.30D.36 6、直线()01x my m m ++=≠±与圆()2211x y +-=的位置关系是( ) A.相离 B.相切C.相交D.根据 m 的值确定7、已知函数() f x 是定义在区间[]2,2-上的偶函数,当[]0,2x ∈时, () f x 是减函数,如果不等式()()1f m f m -<成立,则实数 m 的取值范围( )A. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. []1,2 C. (),0-∞ D. (),1-∞8、三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥外接球的体积为( )A.B.C.D.9、函数()2ln f x x x =的图象大致为( )A.B.C.D.10、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F ,2F ,点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ,则点M 到x 轴的距离为( ) A. 43 B. 53C.D.11、已知点()()1,2,1,3A B --,点P 在线段AB 的延长线上,且3APPB=u u u r u u u r ,则点P 的坐标为( ) A. 113,2⎛⎫-⎪⎝⎭B. 111,24⎛⎫-⎪⎝⎭C. 112,2⎛⎫-⎪⎝⎭D. 17,24⎛⎫-⎪⎝⎭12、设,,,A B C D 是半径为1的球面上的四个不同点,且满足0AB AC ⋅=u u u r u u u r ,0AC AD ⋅=u u u r u u u r,0AD AB ⋅=u u u r u u u r,用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积,则123S S S ++的最大值是( ) A.12B.2C.4D.813、函数31()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点的个数是__________14、已知 ,x y 满足约束条件20,{220,220,x y x y x y +-≤--≤-+≥则目标函数22(2)(1)z x y =-+-的最小值为___________.15、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线与 x 轴的交点为K ,点A 在抛物线C 上,且AK =,则AFK ∆的面积为__________16、如左图是第七届国际数学教育大会(简称7ICME -)的会徽图案,会徽的主体图案是由右图的一连串直角三角形演化而成的,其中11223781,OA A A A A A A =====L 如果把右图中的直角三角形继续作下去.记12,n OA OA OA L L 的长度构成数列{}n a ,则此数列的通项公式为n a =__________.17、已知向量)(),cos ,cos ,cos ,n x x n x x x R ==∈r r ,设()f x m n =⋅r r.1.求函数()f x 的解析式及单调递增区间;2.在ABC ∆中, ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,且()1,2,1a b c f A =+==,求ABC ∆的面积.18、如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直, 1,AB AF M ==是线段EF 的中点.1.求二面角A DF B --的大小.2.试在线段AC 上确定一点P ,使PF 与BC 所成的角是60o .19、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,与y 轴正半轴交于点B ,若12BF F ∆为等腰直角三角形,且直线1BF 被圆222x y b +=所截得的弦长为2.1.求椭圆的方程;2.直线l 与椭圆交于点,A C ,线段AC 的中点为M ,射线MO 与椭圆交于点P ,点O 为PAC ∆重心,探求PAC ∆面积S 是否为定值,若是求出这个值,若不是求S 的取值范围20、—个口袋中装有大小相同的n 个红球(5n ≥ 且)n N ∈和5个白球,每次从中任取两个球,当两个球的颜色不同时,则规定为中奖. 1.试用n 表示一次取球中奖的概率;2.记从口袋中三次取球(每次取球后全部放回)恰有一次中奖的概率为m ,求m 的最大值. 21、设函数221()ln (0)f x x a x a x x ⎛⎫=---> ⎪⎝⎭. 1.求函数f ()x 的单调区间;2.记函数f ()x 的最小值为()g a ,证明: ()1g a <.22、已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,直线l 的参数方程是32,5{45x t y t=-+= (t 为参数).1.将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;2.设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值. 23、[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()()120f x x a x a a=++-≠ 1.当 1a =时,解不等式()4f x <2.求函数()()()g x f x f x =+-的最小值答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：(1,),(,1](2,)A B =+∞=-∞-+∞U ,故选C2答案及解析： 答案：C解析：利用复数的除法运算,化简复数z ,从而得到z 的共轭复数.3答案及解析： 答案：A解析：根据已知题意,由于直线l ⊥平面α,直线//m 平面β,如果两个平面平行//αβ,则必然能满足l m ⊥,但是反之,如果l m ⊥,则对于平面可能是相交的,故条件能推出结论,但是结论不能推出条件,故选A考点:本试题主要是考查了立体几何中点线面的位置关系运用。

2020届河北省衡水中学新高考原创冲刺模拟试卷（五）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

参考数据公式：①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 的值的计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{}2log (1)0M x x =->，集合{}2N x x =≥-，则=R NC MA ．{}2x x ≤-B ．{}22x x -<≤C ．{}23x x -≤≤D ．{}22x x -≤≤ 2．复数21iz i=+的共轭复数是 A ．1i - B ．1i + C ．i 2121+ D ．i 2121-3．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的户数估计约为【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.2P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=，(33)99.74%P μσξμσ-<<+=】 A ．17 B ．23C ．34D ．464．以下判断正确的是A ．函数()y f x =为R 上可导函数，则0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件B ．命题“存在2000,10x R x x ∈+-<”的否定是“任意2,10x R x x ∈+->” C ．命题“在锐角ABC ∆中，有sin cos A B >”为真命题D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π6．在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数 相同，则a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 7．两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-， 则它们的第7项之比为 A ．2 B ．3 C ．4513D ．70278．阅读如右所示的程序框图，若运行相应的程序， 则输出的S 的值是 A ．39 B ．21 C ． 81D ．1029．某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀。

绝密★启用前2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷1一、选择题1．已知R 为实数集，集合(){|lg 3}A x y x ==+， {|2}B x x =≥，则()R A B ⋃=ðA. B. {|3}x x <- C. {|23}x x ≤< D. {|3}x x ≤-2．复数z 满足()1i i z +=,则在复平面内复数z 所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥， m β⊂，下列命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒其中正确的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 已知向量()1,3a =v ， (),23b m m =-v ，平面上任意向量c v都可以唯一地表示为(),c a b R λμλμ=+∈v v v，则实数m 的取值范围是（ ）． A. ()(),00,-∞⋃+∞ B. (),3-∞ C. ()(),33,-∞-⋃-+∞ D. [)3,3-5. ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c .已知sin 20sin ab C B =， 2241a c +=，且8cos 1B =，则b =（ ） A. 6B.C. D. 76. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤7. 记不等式组2{22 20x y x y y +≤+≥+≥，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(),x y .有下面四个命题：1p ： P ∀∈Ω， x y -的最小值为6； 2p ： P ∀∈Ω， 224205x y ≤+≤；3p ： P ∀∈Ω， x y -的最大值为6； 4p ： P ∀∈Ω，22x y ≤+≤ 其中的真命题是（ ）A. 1p ， 4pB. 1p ， 2pC. 2p ， 3pD. 3p ， 4p 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 16+243πB. 16+163πC. 8+83πD. 16+83π9. 执行如图的程序框图，则输出的S 值为A. 1B. 32C. 12- D. 010. 已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<， 8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上单调.下列说法正确的是（ ）A. 12ω=B. 82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. 函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11. 已知点1F 是抛物线24x y =的焦点，点2F 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线的切线，切点为A ，若点A 恰在以12,F F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ）A.B. 1C.D. 112. 不等式22420x x x x e e x ae ae ax -----++≥对于任意正实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 7B. 8C. 152D. 172二、填空题13. 已知两个单位向量,a b v v 的夹角为()60,1c ta t b =+-o v v v ,若0b c ⋅=v v ,则t = ______. 14. 设函数()212exf x x =-+，则使()()24f x f x ≤-成立的x 的取值范围是_________.15. 抛物线22(0)y ax a =>的焦点为F ，其准线与双曲线22149y x -=相交于,M N 两点，若0120MEN ∠=，则a =_______.16. 已知数列{a n }的前n 项之和为S n ，满足S n =−2a n +1−13n ，c n =(32)n a n ，则数列{c n }的通项公式为__________． 三、解答题17. 已知等差数列{}n a 的公差10,0d a ≠=，其前n 项和为n S ，且2362,,a S S +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()2121nn n b S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 122n T n -<. 18． 在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率； （2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）. 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2,AB AC AD PB PB AC ====⊥.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为3，若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知抛物线E 的顶点为平面直角坐标系xOy 的坐标原点O ，焦点为圆F:x 2+y 2−4x +3=0的圆心F .经过点F 的直线l 交抛物线E 于A ， D 两点，交圆F 于B ， C 两点，A ， B 在第一象限，C ， D 在第四象限.（1）求抛物线E 的方程；（2）是否存在直线l 使2|BC |是|AB |与|CD |的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()1ln f x a x a R x =+∈．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程．（2）如果函数()()2g x f x x =-在()0,+∞上单调递减，求a 的取值范围． （3）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为2{1x t y t=+=+（t 为参数），圆C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于,A B 两点，若P 点的直角坐标为()2,1，求PA PB -的值. 23.选修4-5：不等式选讲函数()12,f x x x x R =-++∈，其最小值为m . （1）求m 的值；（2）正实数,,a b c 满足3a b c ++=，求证： 11131112a b c ++≥+++.2020年全国高考数学（理科）仿真冲刺模拟试卷1答案1．D 【解析】由题意得303x x +>⇒>-，所以{}3A B x ⋃=>-， (){}3R A B x ⋃=≤-ð，故选D.2.A 【解析】由()1i i z +=得()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-,在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭,在第一象限,故选A .4.C 【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示为(),c a b R λμλμ=+∈r r r， 则向量， b r 不共线，由()1,3a =r， (),23b m m =-r 得233m m -≠， 解得3m ≠-，即实数m 的取值范围是()(),33,-∞-⋃-+∞． 故选C ．5.A 【解析】因为sin 20sin ab C B =，所以20,206,abc b ac b ==∴==选A. 6．B 【解析】用128,,,a a a L 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列128,,,a a a L 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．7.C 【解析】作可行域如图：则x y z -=过点（4，-2），z 取最大值6，22x y +最小值为O 到直线22x y +=距离的平方，即45；最大值为O 到点（4，-2）距离的平方，即为20；所以2p ， 3p 为真命题，选C.#网8.D 【解析】由三视图可知：该几何体由两部分构成，一部分侧放的四棱锥，一部分为四分之一球体,∴该几何体的体积是311416+824223433ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=故选：D10.C 【解析】由题意得函数()f x 的最小正周期为2T πω=，∵()f x 在()0,π上单调， ∴2T ππω=≥，解得01ω<≤．∵8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴384{ 2ωππϕωπϕπ+=+=，解得23{ 23ωπϕ==，∴()222sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 对于选项A ，显然不正确．对于选项B ，2272sin 2sin 838312f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 不正确． 对于选项C ，当2x ππ-≤≤-时， 220333x ππ≤+≤，所以函数()f x 单调递增，故C 正确． 对于选项D ， 323272sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 图象的对称中心，故D 不正确． 综上选C ．11.B 【解析】()()201200,1,0,1,,4x F F A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为22200001144,1224x x x y x k x x +∴='=∴=== 以12,F F 为焦点的双曲线可设为22221y x a b-= ，所以2222141,111a b a e a b -=+=∴=∴==，选B.13.2【解析】∵两个单位向量,a b v v 的夹角为()60,1c ta t b =+-o v v v ，且0b c ⋅=v v∴()()()21111cos6010b c b ta t b ta b t b t t ⎡⎤⋅=⋅+-=⋅+-=⋅⋅⋅︒+-=⎣⎦v v v v v v v v∴2t = 故答案为.14.44,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 因为函数()212xf x x e =-+满足()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数， 当0x ≥时， 2y x =为单调递增函数， 2x y e =+单调递减函数，则12xy e =-+单调递增，所以()212xf x x e=-+在[)0,+∞为单调递增函数，在(),0-∞单调递减， 又因为()()24f x f x ≤-，所以24x x ≤-，解得443x -≤≤.15.13【解析】可根据题干条件画出草图，得到角MFO 为60度角，根据三角函数值得到=解得13a =。

2020年高考数学(理科)终极冲刺卷 全国卷I （模拟五）1.已知复数z 满足 (12i)1z +=-，则z =( ) A.12i 55-+B.12i 55--C.12i 55+ D.12i 55-2.已知集合{}2|230A x x x =∈--Z ，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则AB =( ) A.(03]， B.[03]， C.{123}，，D.{0123}，，， 3.若实数a b ，满足00a b >>，，则“a b >”是“ln a b a +>+b ln ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C 的方程为( )A ．2213218x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=5.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为( ) A.12B.13C.14D.166.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．2237.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于(0d d <，那么下列结论中一定正确的是( ) A.6m ≠B.5m ≠C.4m ≠D.3m ≠8.函数()cos tan f x x x =的部分图象大致为( )A. B.C. D.9.已知a b ，均为单位向量，若23a b -=，则向量a 与b 的夹角为( ) A.6πB.3π C.23π D.56π 10.已知函数32120()2log (2)0a x x a x f x x a x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，，的最小值为2，则a 的值为 ( ) A.18B.0C.2D.-211.已知以圆()22:14C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线：22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为( ) A ．1B ．2C ．-1D ．812.若函数32()1f x x ax x =-++-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．()0-∞，B ．()1-∞，C ．(0)+∞，D ．(1)+∞，13.在()51x -的展开式中，2x 的系数为___________.14.已知直线2y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为_________.15.在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos 3sin cos 0C B B C +=，则角A 的取值范围为_________.16.的最大值为___________.17.已知n S 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >，2243nn n a a S +=+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前项n 和.18.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，58AB AC ==，，点E F ，分别在AD CD ，上，53AE CF ==，EF 交BD 于点H . 将DEF △沿EF 折到D EF '△的位置，D O '=（1）证明：D H '⊥平面ABCD ；（2）求二面角A BD O '--的余弦值.19.2019新型冠状病毒在2020年1月12日被世界卫生组织命名为2019-nCoV.冠状病毒是一个大型病毒家族，它可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.从这次的新型冠状病毒确诊病例来看，这次新型冠状病毒感染人后的潜伏期在7天左右，一般不超过14天，受感染者在没有明显症状的潜伏期也有传染性.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下22⨯列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取5人，从这5人中抽取2人完成访谈问卷，求这2人中恰有1人潜伏期超过6天的概率. 附：22()(n ad bc K -=，其中n a b c d =+++.2.07220.已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈. （1）若()f x 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设1a e m n e<+，，分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围.21.已知对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点分别为120()0)F F ，，点1M ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线(:0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q ，两点，且直线OP PQ OQ ，，的斜率依次成等比数列，则当OPQ △时，求直线PQ 的方程.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的方程为1x y +=.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程. （2）已知射线OM 的极坐标方程是π3θ=，且与曲线C 和直线l 在第一象限的交点分别为P Q ，，求PQ 的长.23.已知函数1()(0)f x x m x m m=-++> （1）若1m =，求不等式()5f x <的解集；（2）当函数()f x 的最小值取得最小值时，求m 的值.参考答案及解析1.答案：B解析：因为 (12i)1z +=-，所以11(12i)12i 12i 12i (12i)(12i)555z --⨯--+====-+++-，所以12i 55z =--.故选B.2.答案：D解析：因为{}{}2230{|13}1,0,1,2,3A x x x x x =∈--=∈-=-Z |Z ，{|{|0}B x y x x ===，所以{0,1,2,3}A B =.故选D.3.答案：C解析：设()ln f x x x =+，显然()f x 在(0,)+∞上单调递增. ∵a b >，∴()()f a f b >，即ln ln a a b b +>+，故充分性成立. ∵ln ln a a b b +>+，∴()()f a f b >，∴a b >，故必要性成立. 故“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的充要条件，故选C. 4.答案：D 解析：焦距为10，5c =，∴曲线的焦点坐标为()50±，， 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为34，223,254b a b a ==+∴，解得4,3a b ==，所求的双曲线方程为：221169x y -= 5.答案：B解析：4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P ==，故选B. 6.答案：D解析：执行程序框图，可得02S n ==，，满足条件，12S =，4n =，满足条件，113244S =+=，6n =，满足条件，1111124612S =++=，8n =，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=，故选D ．7.答案：B解析：如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d ，所以本题答案为选项B.8.答案：B解析：显然sin ,tan 0()cos tan sin ,tan 0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩，其定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .结合选项可知选B. 9.答案：B解析：由23a b -=，得2(2)3a b -=，即22443a b a b +-⋅=，设单位向量a 与b 的夹角为θ，则有144cos 3θ+-=，解得1cos 2θ=. 又[]0,θ∈π，所以3θπ=. 10.答案：A解析：由题意可知，0a >且1a ≠，若01a <<，则0x ≤时，2()2log (2)a f x x a =+单调递增，()(,log (2)]a f x a ∈-∞，易知此时()f x 在定义域内没有最小值，所以1a >，当0x >时，3()12f x x x a =-+，2'()312f x x =-令'()0f x =得2x =，当(0,2)x ∈时，'()0f x < 当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在2x =处取得极小值，也是最小值，为3(2)212216f a a =-⨯+=-，当0x ≤时，2()2log (2)a f x x a =+在(,0]-∞单调递减所以2()2log (2)a f x x a =+在0x =处取得最小值，为(0)2log (2)a f a =，若162log (2)a a a ->则2log (2)2a a =，则2a a =，得0a =与1a >矛盾；若162log (2)2a a a -==，易知无解；若162log (2)a a a -<，则162a -=，得18a =，综上18a = 11.答案：A解析：因为()22:14C x y -+=的圆心()1,0所以，可得以()1,0为焦点的抛物线方程为24y x =，由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得()1,2A ， 抛物线22:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-， 即有1BM AB BF AB AF -=-≤=，当且仅当,,(A B F A 在,B F 之间)三点共线，可得最大值1. 12.答案：B解析：函数32()1f x x ax x =-++-有且只有一个零点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+有且只有一个实根．显然0x ≠，∴方程211a x x x =-+有且只有一个实根． 设函数211()g x x x x =-+，则3233122'()1x x g x x x x +-=+-=．设32()2,()310h x x x h x x '=+-=+＞，()h x 为增函数， 又()10h =．∴当0x <时，()0g x '>，()g x 为增函数； 当01x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当1x >时，()0g x '>，()g x 为增函数；∴()g x 在1x =时取极小值1． 当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷大；当x 趋向于负无穷大时，()g x 趋向于负无穷大；又当x 趋向于正无穷大时， ()g x 趋向于正无穷大．∴()g x 图象大致如图所示：∴方程211a x x x=-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞，故选B ． 13.答案：10 解析：()51x -展开式通项为()15r r r T C x +=-，令2x =，所以2x 的系数为()225110C -=．故答案为：10． 14.答案：3解析：依题意得1y x a '=+，因此曲线()ln y x a =+在切点处的切线的斜率等于1x a+， ∴11x a=+，∴1x a =-. 此时，0y = ，即切点坐标为()1,0a - 相应的切线方程是()11y x a =⨯-+， 即直线2y x =+，∴12a -=，3a = 15.答案：π0,6⎛⎤⎥⎝⎦解析：sin cos 3sin cos 0C B B C +=可以化为2222223022a c b a b c c b ac ab +-+-⋅+⋅=， 整理得2222c a b =+，所以22222323cos 24b c a b c bc A bc bc+-+===c =时取等号， 故π0,6A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.16.解析：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O '，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上.正四面体棱长为31,,122BM O M BO ''∴===，AO '∴，的设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<.由三角形相似得12r =h =，圆柱的体积22π(12)V r h r r ==-，32121(12)327r r r r r ++-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-，即13r =时取等号， ∴.17.答案：（1）当1n =时，2111124343a a S a +=+=+，因为0n a >，所以13a =.当2n ≥时，221112243434n n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=. 所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+； （2）由（1）知，()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以数列{}n b 前n 项和为： 12111111111235572123646n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18.答案：（1）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF . 因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥ 由5AB =，8, 4AC AO ==，得3DO BO =. 由//EF AC 得13OH AE DO AD ==.所以1OH =，'2D H DH ==. 于是22222'215'D H OH D O +=+==，故'D H OH ⊥. 又'D H EF ⊥，而OHEF H =，所以'D H ⊥平面ABCD .（2）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()4,1,0A --， ()0,4,0B -，()4,1,0C -，()'0,0,2D ，(4,3,0)BA =-，()'0,4,2BD =.设()111,,m x y z =是平面'ABD 的法向量，则0'0m BA m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111430420x y y z -+=⎧⎨+=⎩，所以可以取()3,4,8m =-因菱形ABCD 中有BO OC ⊥，又由（1）知',D H OC ⊥'OC BD O ∴⊥平面所以()4,0,0n OC ==是平面'BOD 的法向量， - 设二面角'A BD O --为θ，由于θ为锐角， 于是cos θ=cos ,||||89m n m n m n ⋅<>===.因此二面角'A BD O --19.答案：（1）1(18532055310725091000x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1301115135) 5.4+⨯+⨯=. （2）根据题意可得潜伏期不超过6天的应抽取的人数为852053102001201000++⨯=，潜伏期超过6天的应抽取的人数为250130155200801000+++⨯=，补充完整的列联表如下：22200(65455535)25 2.083 3.8411208010010012K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关. （3）由题可知这5人中潜伏期不超过6天的人数为85205310531000++⨯=，潜伏期超过6天的人数为250130155521000+++⨯=.记这5人中潜伏期不超过6天的人为123,,B B B ，潜伏期超过6天的人为12,G G ， 则样本空间()()()(){12131112,,,,,,,B B B B B G B G Ω=，()()()()()()}232122313212,,,,,,,,,,,B B B G B G B G B G G G ，共包含10个样本点.记“2人中恰有1人潜伏期超过6天”为事件A ，则()()()()(){1112212231,,,,,,,,,A B G B G B G B G B G =，()}32,B G ，事件A 共包含6个样本点，所以63()105P A ==. 20.答案：（1）由已知1'()(0,R)f x x a x a x=+->∈， ①若()f x 在定义域上单调递增，则'()0f x ≥，即1a x x≤+在(0,)+∞上恒成立， 而1[2,)x x+∈+∞，所以2a ≤；②若()f x 在定义域上单调递减，则'()0f x ≤，即1+a x x≥在(0,)+∞上恒成立，而1+[2,)x x∈+∞，所以a ∈∅.因为()f x 在定义域上不单调，所以2a >，即(2,)a ∈+∞.（2）由（1）知，欲使()f x 在(0,)+∞有极大值和极小值，必须2a >. 又1e e a <+，所以12e ea <<+. 令211'()0x ax f x x a x x -+=+-==的两根分别为12,x x ， 即210x ax -+=的两根分别为12,x x ，于是12121x x ax x +=⎧⎨=⎩. 不妨设1201x x <<<，则()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12[,]x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以12(),()m f x n f x ==，所以221211122211()()(ln )(ln )22S m x f x f x x ax x x ax x =-=-=++-++221212121()()ln(ln )2x x a x x x x =---+- 22221121121122122212111()ln ln ()ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x -=--+=-⨯+=-⨯-+令12(0,1)x t x =∈，于是11()ln 2S t t t=--+. 2222212121221212()2112(2,e )ex x x x x x t a t x x x x ++-+===-∈+， 由2211e +e t t +<，得211et <<.因为2211111'(1+)+(1)022S t t t =-=--<，所以11()ln 2S t t t =--+在21(,1)e上为减函数.所以422e 4e 1(0,)2e S --∈. 21.答案：(1)设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>.由题意可得2223c c a b ===-①.又由点M ⎛ ⎝⎭在椭圆上，得221314a b +=②.结合①②解得221,4b a ==，因此椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)设1122(),,,()P x y Q x y ，得()222148440k x kmx m +++-=，()()222264414440k m k m ∴∆=-+->，化简得2241m k <+③，2121222844,1414km m x x x x k k -+=-=++. 直线OP PQ OQ ,,的斜率依次成等比数列，21212y y k x x ∴=⋅. ()()21212kx m kx m k x x ∴++=，化简得()2120mk x x m ++=，22228014k m m k-∴+=+，241k ∴=. 又0k >，12k =.由③知22m <，PQ ∴()()22241214k m k+-+=.又原点O 到直线PQ的距离d =，12OPQS PQ d ∴=⋅△==解得12m =或m =. ∴直线PQ 的方程为1122y x =+或12y x =22.答案：(1)曲线2214x y +=，化为极坐标方程为：22413sin ρθ=+，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=.(2)设点()11,P ρθ，则有21211413sin π3ρθθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩，解得11π3ρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即π3P ⎫⎪⎪⎝⎭. 设点()22,Q ρθ，则有()2222sin cos 1π3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得221π3ρθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即π1,3Q ⎫⎪⎭.所以121PQ ρρ=-=+. 23.答案：(1)当1m =时，不等式()5f x <即为115x x -++<.当1x <-时，原不等式即为25x -<，解得512x -<<-；当11x -≤≤时，原不等式即为25<(恒成立)，故11x -≤≤； 当1x >时，原不等式即为25x <，解得52x <，故512x <<. 综上所述，不等式()5f x <的解集55|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.(2)因为0m >，所以112,11(),12,x m x m m f x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，易得min 1()(0)f x m m m=+>， 因为0m >，所以12m m +≥=， 当且仅当1m m =，即1m =时等号成立.。

2020年江苏高考数学全真模拟试卷（五）（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合A ={1,a },B ={－1,0,3},A U B ={－1,0,1,2,3},则实数a 的值为 ▲ ．2.若复数z =(1＋2i )(3－i),其中i 为虚数单位,则z 的模是 ▲ ． 3.执行如图所示的伪代码,则输出的T 的值为 ▲ ．4.某盒子中装有绿色小球3个、红色小球4个、橙色小球5个,从中随 机抽取1个小球,则未抽到橙色小球的概率是 ▲ ．5.某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知抽到的最小编号为5号,则抽到的最大编号 为 ▲ 号．6.函数y =ln(x －x 2)的定义域是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲C : x 2a 2－y 2b 2=1 (a >0,b>0)的右焦点F 与左顶点A 的连线段的中点落在双曲线C 的准线上,则双曲线C 的离心率为 ▲ ．8.若函数f (x ) = sin （2x+φ） (0＜φ＜π2 )图象的一条对称轴方程为x=π6 ，则φ的值为 ▲ ．9.已知数列{a n }是等比数列,S n 是其前n 项和．若a 3=12,4a 2+a 4=48,则S 4的值是 ▲ ．（第3题图）10.若长方体的三个面的面积分别为 2 , 3 , 6 , 则该长方体的体积为 ▲ ． 11.如图,在圆内接四边形ABCD 中,AB =2,BC =6,AD =CD =4, 则AB → ・AC → 的值是 ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，过直线l ：y =－x ＋5上一点P 作 直线,与圆C :x 2+(y +1) 2=2交于点M ，N .若M 是线段PN 的中点,则线段OP 的长是 ▲ ． 13.在△ABC 中,已知如sin B= 2 sin A ,则sin A 2 cos A ＋cos B的最大值是 ▲ ．14.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax －3a ， x ≥a ，－x 2＋ax －3a ，x ＜a ， 的图象与直线y =－2x 有3个交点,则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)α，β均为锐角，且cos α=526 26 , sin β=21313 .(1)求α＋β的值; (2)求tan （α－2β）的值.16.(本小题满分14分)如图,在四校锥P -ABCD 中,四边形ABCD 为平行四边形,E 为侧棱PD 的中点，O 为AC 与BD 的交点.(1) 求证: OE ∥平面PBC ;(2) 若平面P AD ⊥平面ABCD ,AC =4,AB =5,sin ∠ABC =45,求证: AC ⊥PD .（第11题）（第16题）OACDBEP17.(本小题满分14分)为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面，围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: x2a2＋y2b2=1 (a>b>0)的右焦点、右顶点分别为F,A,过原点的直线与椭圆C交于点P,Q(点P在第一象限内),连结PA,QF.若AF=2,△OAP的面积是△OFQ面积的3倍.(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 已知M为线段P A的中点,连结QA,QM.①求证: Q,F,M三点共线;②记直线QP,QM,QA的斜率分别为k1,k2,k3,若k1＋k3＝52k2,求△PQM的面积.ACA1BB1（第17题）（第18题）19.(本小题满分16分)在等差数列{a n}中为其前n项和,且a2＋a3＝1,S10＝145.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 若a1＋a2＋a22＋…＋a2n,求T n ;(3) 若(2)中T n满足1T n＋1T n＋1≥415,求n的值.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e x－ax,其中e是自然对数的底数(1) 若g(x)=f(x)+f(－x),求g(x)的最小值;(2) 记f(x)的图象在x=t处的切线的纵截距为h(t),求h(t)的极值;(3) 若f(x)有2个零点x1,x2(x1<x2),求证:1x1＋1x2＞2.2020年江苏高考数学全真模拟试卷(五)（南通教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,点P (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 3对应的变换作用下得到点P'(3,3),求矩阵M 的特征值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12 (t ＋1t )，y ＝ 2 2 (t －1t)， (t 为参数).若曲线C 与直线l :y =x 相交于点A ,B ,求线段AB 的长.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知x ≥－1,y ≥－1,且x 3＋y 3≤1,，求证x ＋y ＋x 2＋y 2≤3.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C :y 2=2px 的准线方程为x =－1. (1) 求p 的值;(2) 过抛物线C 的焦点的直线l 交抛物线C 于点A ,B ,交抛物线C 的准线于点P ,若A 为线段PB 的中点,求线段AB 的长.23.(本小题满分10分)已知集合A ={1,2,3,…,m },数列{a n }(n ≥3)满足a n ∈A ,S n 为数列{a n }的前n 项和,记满足 S n =t 的数列{a n }的个数为f (n ,t ) (1)若m =2,求f (4,5), f (5,7);(2)若m =3,求f (n ,2n －2),f (n ,2n ＋2).（第22题）。