自动控制原理 第三章 控制系统的时域分析

图 3.2(d)所示， δ (t) 函数的定义为
δ
(t)
=
⎧ ⎨
0
⎩∞
t≠0 t=0
(3.6)
∫ ∞ δ (t)dt = 1 −∞
显然， δ (t) 函数是一种理想脉冲信号，实际上它是不存在的。工程实践中常常用实际
脉冲近似地表示理想脉冲。如图 3.2(e)所示，当 ε 远小于被控对象的时间常数时，这种单位 窄脉冲信号常近似地当作 δ (t) 函数来处理。
第 3 章 控制系统的时域分析
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2. 稳态响应
如果一个线性系统是稳定的，那么从任何初始条件开始，经过一段时间就可以认为它 的过渡过程已经结束，进入了与初始条件无关而仅由外作用决定的状态，即稳态响应。所 以稳态响应是指当 t 趋于无穷大时系统的输出状态。稳态响应表征系统输出量最终复现输 入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。
的单位阶跃响应曲线。典型形状如图 3.1 所示。各项动态性能指标也示于图中。
(1) 延迟时间 td ：指响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间，记作 td ； (2) 上升时间 tr ：指响应曲线首次从稳态值的 10%过渡到 90%所需的时间；对于有振 荡的系统，亦可定义为响应曲线从零首次达到稳态值所需的时间，记作 tr 。上升时间是系
在分析和设计线性控制系统时，究竟采用哪一种典型输入信号取决于系统常见的工作
状态；同时，在所有可能的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。
这种处理方法在许多场合是可行的。在一般情况下，如果系统的实际输入信号大部分为一
个突变的量，则应取阶跃信号为实验信号；如果系统的输入大多是随时间逐渐增加的信号，
数代表匀加速度变化的信号，故抛物线函数又称为等加速度函数，如图 3.2(c)所示。单位抛
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自动控制原理
物线函数的拉氏变换为
R(s) = 1 s3
3.2.4 脉冲函数
脉冲函数的定义为
r(t) = Rδ (t)
(3.5)
其中，R 为脉冲函数的幅值， R = 1 的脉冲函数称为单位理想脉冲函数，并用 δ (t) 表示。如
此在大多数情况下，为了分析研究方便，最常采用的典型输入信号是单位阶跃函数，并在
零初始条件下进行研究。也就是说，在输入信号加上之前，系统的输出量及其对时间的各
阶导数均等于零。
描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间 t 的变化状况的指标称为动
态性能指标。线性控制系统在零初始条件和单位阶跃信号输入下的响应过程曲线称为系统
典型的试验信号一般应具备两个条件：信号的数学表达式要简单，以便于数学上的分 析和处理；这些信号易于在实验室中获得。基于上述的理由，在控制工程中通常采用表 3-1 所述的 5 种信号作为典型的试验信号。
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第 3 章 控制系统的时域分析
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名称 单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位加速度函数 理想单位脉冲函数 正弦函数
δ
ε
(t
)
=
⎧⎪0 ⎨1
⎪⎩ ε
t < 0和t > ε 0≤t ≤ε
(3.7)
其中， ε 为脉冲宽度或称脉冲持续时间， 1 为脉冲高度。它的积分面积为 ε
∫ δ ∞ −∞ ε
(t)dt
=
ε
×
1 ε
=1
显然，当 ε → 0 时，实际脉冲 δε (t) 的极限即为理想脉冲 δ (t) 。 根据定义， δ (t) 的拉氏变换为
第 3 章 控制系统的时域分析
第 2 章建立了控制系统的数学模型并在数学上解出了运动解。从理论上讲，只要知道了 系统的结构和各参数，就能算出它的各物理量的变化规律。但实际工程问题并不是简单地求 解一个给定控制系统的运动，而往往是要调整系统中某些参数，甚至要改变系统的结构， 以获得较好的动态性能。如果采用直接求解微分方程来研究这些问题，势必要解大量的微 分方程，从而大大增加了计算量。同时，只解微分方程也不容易区分影响系统运动规律的 主、次要因素。因此，能够设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微 分方程解出来，而且还可以借助一些图表和曲线直观地把运动特征表示出来则更为实用。 这样，就提出了从工程角度分析系统运动的任务。
一次微分为 δ (t) 。单位阶跃函数的拉氏变换为
R(s) = 1 s
3.2.2 斜坡函数
斜坡函数表示在 t = 0 时刻开始，以恒定速率 R 随时间而变化的函数，如图 3.2(b)所示。
它的数学表达式为
r(t)
=
⎧ ⎨ ⎩
0 Rt
t<0 t≥0
(3.3)
由于这种函数的一阶导数为常量 R，故斜坡函数又称为等速度函数。R = 1 的斜坡函数
表 3-1 典型输入信号
时域表达式 1(t) t ≥ 0
t t≥0 1t2 t≥0 2 δ (t) t ≥ 0 Asinω t t ≥ 0
1 s 1 s2 1 s3
1 Aω
s2 +ω2
复域表达式
3.2.1 阶跃函数
阶跃函数的数学表达式为
r
(t
)
=
⎧ ⎨ ⎩
0, R0 ,
t<0 t≥0
(3.2)
式中，R0 为一常量(见图 3.2(a))。R0=1 的阶跃函数称为单位阶跃函数，记作 r(t) = 1(t) ，其
3.3.1 一阶系统数学模型
图 3.3 所示 RC 滤波电路是最常见的一阶系统，其运动方程可由下列微分方程描述。
RC
duo (t) dt
+
uo
(t)
=
ui
(t)
图 3.3 RC 滤波电路
直流电动机系统空载时的运动方程为
TM
dω (t ) dt
+
ω (t )
=
K MU a
(t)
因此，它也是一个一阶系统。
1. 动态响应
动态响应又称瞬态响应或过渡过程，指系统在输入信号作用下，系统从初始状态到最 终状态的响应过程。根据系统结构和参数选择情况，动态响应表现为衰减、发散或等幅振 荡几种形式。显然，一个实际运行的控制系统，其动态响应必须是衰减的，也就是说，系 统必须是稳定的。动态响应除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应速度及阻尼情况 等运动信息，这些运动信息用动态性能来描述。
由此可见，线性控制系统在输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性能 两部分组成。
3.1.2 稳态性能指标
稳态性能指标是表征控制系统准确性的性能指标，是一项重要的技术指标，通常用稳 态下输出量的期望值与实际值之间的差来衡量，称为稳态误差。如果这个差是常数，则称 为静态误差，简称静误差或静差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。在 本章控制系统的稳态误差一节将详细讨论。
应当指出，上述各动态指标之间是有联系的。因此对于一个系统常没有必要列出所有 动态指标。另一方面，正是由于这些指标存在联系，也不可能对各项指标都提出要求，因 为这些要求之间可能会发生矛盾，以致在调整系统参数以改善系统的动态性能时，会发生 顾此失彼的现象。同时，除简单的一、二阶系统外，要精确确定这些动态性能指标的解析 表达式是很困难的。
对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。本 章研究时间域分析方法，包括简单系统的动态性能以及高阶系统运动特性的近似分析、稳 定性分析、稳态误差分析等。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控 制系统的输出响应对系统的性能进行分析。由于系统的输出变量一般是时间 t 的函数，故 称这种响应为时域响应，这种分析方法为时域分析法。当然，不同的方法有不同的特点和 适用范围，但是比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具 有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。单位斜坡函数的拉氏变换为
R(s)
=
1 s2
3.2.3 抛物线函数
抛物线函数的数学表达式为
r
(t
)
=
⎧⎪⎨ ⎪⎩
0 1 2
Rt
2
t<0 t≥0
(3.4)
式中， R 为常数。当 R = 1 时，r(t) = t2 / 2 为单位抛物线函数。因为 d2r = R ，所以抛物线函 dt 2
统响应速度的一种度量。上升时间越短，响应速度越快；
(3) 峰值时间 tp ：指响应曲线第一次达到峰点的时间，记作 tp ；
(4) 调节时间 ts ：指响应曲线最后进入偏离稳态值的误差为±5%(也有取±2%)的范围 并且不再越出这个范围的时间，记作 ts ；
(5) 超调量σ %：对于图 3.1 所示的振荡性的响应过程，响应曲线第一次越过稳态值达
3.1.3 动态性能指标
一个控制系统除了稳态控制精度要满足一定的要求以外，对控制信号的响应过程也要
满足一定的要求，这些要求表现为动态性能指标。
不稳定系统没有实用价值，因此不需要研究其动态性能指标。
一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果系统在阶跃函数作用下的
动态性能满足要求，那么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令人满意的。因
到峰值时，越过部分的幅度与稳态值之比称为超调量，记作σ % ，即
σ % = cmax − c(∞) ×100% c(∞)
(3.1)
式中 c(∞) 表示响应曲线的稳态值， cmax = c(tp ) 表示峰值。
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自动控制原理
图 3.1 单位阶跃响应及动态性能指标
上述五个动态性能指标，基本上可以体现系统动态过程的特征。在实际应用中，常用 的动态性能指标多为上升时间、调节时间和超调量。通常用上升时间或峰值时间来评价系 统的响应速度；用超调量评价系统的阻尼程度；而调节时间是同时反映响应速度和阻尼程 度的综合性指标。