高中数学必修2.5.1

2.5.1直线与圆的位置关系
将月亮看作成一个圆， 海天交线看作一条直线，通 过月出的过程，你能感受到 直线与圆的位置关系吗？
直线与圆有两个（公共点）交点时， 叫做直线与圆相交； 直线叫做圆的割线
直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线与圆相切； 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
直线与圆没有公共点时， 叫做直线与圆相离；
代入直线方程，得两交点的坐标为 A2,3；B 2 3，0
求两点间的距离： AB 2 3 - 2 2 3 - 02 2 3
直线与圆的 位置关系
相交 相切 相离
两个交点 d<r ∆>0 一个 交 点 d=r ∆ =0 没有交点 d>r ∆ <0
弦长
AB 2 r2 d 2
AB xB xA 2 yB yA 2
3x y 2 3 3 0
①
x2 y2 4x 2y 1 0 ②
第二步：消元，消y，①式改写为 y 3x 2 3 3代入②式中；
化简得： x2 3 4 x 2 3 4 0
第三步：计算∆；
2
3 4 41 2 3 4 3 0
所以，直线与圆相交
解一元二次方程，得 x1 2；x2 2 3
点与圆的位置关系
(设|MA|=d，圆半径为r)
d=r 点在圆上
d<r 点在圆内
d>r 点在圆外
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
点到圆心的距离与半径 圆心到直线的距离与半径
探究：类比点与圆的位置关系，可得出直线与圆的位置关系 用d和r的大小关系来判断——几何法
回顾点到直线的距离公式： 点P(x0, y0)到直线l：Ax By C 0的
距离公式 d Ax0 By0 C A2 B2

【对点训练】❸ 设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可 用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表 示，则从村庄外围到小路的最短距离是_7_2__2－__2___．
[解析] 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线 x－y＋ 2＝0 的距离减去圆的半径 2，
即 |122＋＋3＋－21|2－2＝722－2．
易错警示
忽视隐含条件
典例 5 已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若
过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是
C
()
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[错解] 选A．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋ (－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2．答案：A
题型三
直线与圆相交
典例 3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0 截得的弦长．
[分析] 解法一求出直线与圆的交点坐标，解法二利用弦长公 式，解法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得 弦长．
[解析] 解法一：由3x2x＋＋yy2－－62＝y－0，4＝0，得交点 A(1,3)，B(2,0)，
当 Δ＜0，即－43＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法 2：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)， 半径 r＝2．圆心(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离 d＝|2m－11＋－mm2－1|＝ |m1＋－m2|2．
当 d＜2，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点，
题型探究

2 所以，所求直线方程为： x 2y 9 0 ，或 2x y 3 0 .
5、已知过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程；
【解析】圆心 C(0, 2) ，半径 r 5 .所以弦心距 d 52 42 3 ，
(2)SPACB 2S PAC PA r 2PA
2 PC2 4 4 7.
12.(1)已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则
x2＋y2 的最大值为__________．
【解析】x2＋y2＝[ （x－0）2＋（y－0）2]2， 它表示(0，0)和(x，y)两点间距离的平方， 最大距离为 3 2＋ 6， 则 x2＋y2 的最大值为(3 2＋ 6)2＝24＋12 3.
7、已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，
①当弦长|AB|最大时，求 m 的值； ②当弦长|AB|最小时，求 m 的值. 【分析】(1)直线 l：m(x－1)－y＋1＝0，过定点 P(1，1)， P 在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ，即 kx y 3k 3 0 ，
根据点到直线的距离公式， d | 3k 1| ， 1 k2
因此， | 3k 1| 3 ，即 | 3k 1| 3 1 k2 ，解得 k 4 ，
1 k2
3
直线方程为： 4x 3y 21 0 ，
经检验， x 3 0 适合题意， 所以，所求直线方程为： 4x 3y 21 0 或 x 3 0 .
(1) 2 b 2 2 (2) 2 b 2或b 2 2

学习目标
(1).理解直线与圆的位置关系; (2).掌握直线与圆的位置关系的几何判定; (3).利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
问题1：直线与圆有哪些位置关系？
图形
位置 交点个数
相交 2个
相切 1个
相离 0个
问题2：怎样判断直线与圆的位置关系？ 4
例1、如图，已知直线l : 3x y 6 0 和圆C：x2 y2 2 y 4 0 ， 如何判断直线l与圆C 的位置关系。
直线与圆相离
直线与圆相切 直线与圆相交
练习2：已知直线l：x y b 0和圆C：x2 y2 4, 当实数b取何值时，直线与圆相交？相切？相离？
-2 2 b 2 2; b 2 2; b 2 2或b -2 2
二、直线与圆相切问题：
例2：直线4x 3y 35 0 与圆心在原点的圆C 相切， 求圆C 的方程。
（2）当直线斜率存在时，
设直线方程为y 2 k(x 4),即kx y 2 4k 0， 由题意得：圆心C(3,1) ，半径r=1 ，
d | 3k 1 4k 2 | = | k 3 | =1,即k 2 6k 9 k 2 1,k 3
k2 1
k2 1
2
切线方程为y 2 3 (x 4),即3x 2 y 8 0. 2
港口
.
O
轮船
16
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴， 建立如图所示的直角坐标系， （其中，取１０km为单位长度） 这样，受台风影响的圆形区域所对应 的圆Ｏ方程为x2 y2 9 轮船航线所在直线l 的方程为
4x 7 y 28 0 ， 问题归结为圆Ｏ与直线l 有无公共点的问题。
.y 港口 O
解：设圆C 的方程为x2 y2 r 2