【精品讲义】七年级上册数学 角

角知识点一、角的概念由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角。

这两条射线叫做角的边，这个公共端点叫做角的顶点。

例1、写出下列角的名称（）（）（）（）（）角的符号时“∠”，有三种表示方法：①用角的两边和角的顶点的字母来表示，如∠AOB、∠O②用数字书写在角的内部来表示，如∠1、∠2③用希腊字母来表示，如∠α、∠β注意：∠AOB的顶点必须是点O若∠O的顶点有2个或以上的角，则不能用一个字母的方法∠O表示它例3、下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）例4、如图，下列说法错误的是（）A、∠DAE也可以表示为∠AB、∠1也可以表示为∠ABCC、∠BCE也可以表示为∠CD、∠ABD是一个平角知识点二、余角和补角总结：1、直角为90°，平角为180°，周角为360°2、若两个角相加等于90°，那么它们互为余角，简称“互余”3、若两个角相加等于180°，那么它们互为补角，简称“互补”例1、∠1和∠2互余，∠1=30°，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=90°，则∠2=______ 例2、∠1和∠2互余，∠1=x，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=x，则∠2=______，则这个角的度数是____________例3、一个角的余角是这个角的补角的13例4、一个角的补角比这个角的余角的3倍少16°，求这个角的度数1、∠α的余角等于30°，那么∠α的补角=_____；∠α的补角等于140°，那么∠α的余角=_____2、已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1=63°，则∠3=_____3、互补的两个角中，一个角的2倍比另一个角的3倍少10°，则这两个角分别是_________4、∠α的补角是它的余角的4倍，则∠α=_____5、一个角是它的余角的2倍，那么这个角是它补角的_____倍6、∠α=2∠β，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，则∠α=_____，∠β=_____7、如果∠A的补角与∠A的余角互补，那么2∠A=_____8、一个锐角的补角比它的余角大____________9、如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是________________10、两个角的大小之比是7：3，他们的差是72°，则这两个角的关系是_____________11、如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EG。

第十三讲角的初步认识（二）一、知识精讲1.角的定义角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。

4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例1】（2017洪山区期末）如图，点O位直线AB上一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE.（1）如图，若∠COF＝25°，则∠BOE=.若∠COF＝α，则∠BOE＝.（2）当射线OE绕点O旋转到如图所示的位置时其他条件不变①中的∠COF与∠B OE的数量关系是否仍然成立？请说明理由。

（3）如图3在（2）的条件下，在∠BOE的内部是否存在射线OD，使得∠BOD＝105°，且∠COF＝4∠DOE，若存在，求出∠AOC的度数，若不存在，请说明理由.【练1】如图l，已知∠AOC=m°，∠BOC=n°且m、n满足等式|3m－420|+(2n －40)=0，射线OP从OB处绕点0以4度／秒的速度逆时针旋转．（1）试求∠AOB的度数；54=∠+∠∠BOC DOE COE （2）如图l，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OQ 从OA 处以l 度／秒的速度绕点O 顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ =10°？（3）（2012，青山区）如图2，若射线OD 为∠AOC 的平分线，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OT 从射线OD 处以x 度／秒的速度绕点O 顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE 处（OE 在∠DOC 的内部）时，且试求x .【例2】（2017江汉区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.（1）将图1中的三角板点O旋转至图2所示位置，使OM恰好平分∠BOC，问：线段ON的反向延长线是否平分∠AOC？为什么？（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6度的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，ON恰好平分∠AOC，则t的值是.（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3所示位置，请探究：∠AOM与∠NOC之间有什么样的数量关系？并说明理由.【例3】（2017东西湖区期末）∠AOB＝80°，∠COD＝40°，OF为∠AOD的角平分线.（1）如图1，若∠COF＝10°，则∠BOD＝________；若∠COF＝m°，则∠BOD＝；猜想：∠BOD与∠COF的数量关系为_____________；（2）当∠COD绕点O按逆时针旋转至图2的位置时，(1)的数量关系是否仍然成立？请说明理由。

七年级上册角的知识点讲解角是数学中一个基本的概念，广泛应用于几何学、三角函数、图形运算等领域。

在初中数学中，学生们需要学习三种角度的度量方法，以及三角函数的基本概念和公式，下面我们将详细介绍七年级上册角的知识点。

一、度量角的方法1.弧度制度量角弧度制是一种计算角度的方法，它常用于数学和物理学中。

一个角的弧度数等于其对应弧长与圆周长之比，即弧度制公式为：$$θ = \frac{l}{r}$$其中，θ代表角度，l为对应的弧长，r为圆的半径。

在弧度制中，一个完整的圆对应的弧长为$2πr$，所以一个完整的角的弧度数为$2π$ 。

2.度制度量角度制度量角是广泛使用的角度计量方法，常用于日常生活和一些工程应用。

在度制中，一个完整的圆角对应 $360°$ 的角度。

因此，如果要将一个弧度转换为度数，我们只需将其乘以$180/π$ 即可。

二、三角函数三角函数是数学中一个重要的分支，它关注的是三角形中的关系。

在初中数学中，学生们需要掌握正弦、余弦和正切这三种基本三角函数的概念及其应用。

1. 正弦函数正弦函数（sin函数）表示直角三角形中，对于某个角度$\theta$, 直角对边与斜边的比值。

即：$$sin(\theta) = \frac{opposite}{hypotenuse}$$其中，opposite代表直角对边，hypotenuse代表斜边。

在计算角度度量时，我们通常使用度制。

例如，sin(30°) = 0.5。

2. 余弦函数余弦函数（cos函数）表示直角三角形中，对于某个角度θ, 直角毗邻边与斜边的比值。

即：$$cos(\theta) = \frac{adjacent}{hypotenuse}$$其中，adjacent代表直角毗邻边，hypotenuse代表斜边。

同样的，在计算角度度量时，我们使用度制。

例如，cos(60°) = 0.5。

3. 正切函数正切函数（tan函数）表示直角三角形中，对于某个角度θ, 直角对边与直角毗邻边的比值。

第9讲角知识点整合1.认识角定义：角是由两条有公共端点的射线组成的图形；角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形；射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

角度：1周角=360° 1平角=180° 1°=60′ 1′=60″2.角的比较和运算角的大小比较方法：1，直接根据角度大小比较； 2，使两个角一条边重合，根据另一条边的位置比较；角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

3.余角和补角余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。

补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。

重点讲解重点1：认识角下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D ；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，错误；②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，错误；③角的边是射线，不能延长，错误；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．所以只有④正确．故选A.方法总结：本题主要是对角的定义的考查，正确理解角的定义是解题的关键：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个角的图形是( )A BC D解析：在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的．所以A 、C 、D 错误，故选B.方法总结：角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法．用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间．重点2：角的比较和运算如图，射线OC ，OD 分别在∠AOB 的内部，外部，下列各式错误的是( )A ．∠AOB <∠AOD B ．∠BOC <∠AOBC ．∠COD <∠AOD D ．∠AOB <∠AOC解析：A.∠AOB 与∠AOD 的边OA 重合，OB 在∠AOD 内，所以∠AOB <∠AOD ，A 正确；同理B 、C 正确；D.∠AOB 和∠AOC 的边AO 重合，OC 在∠AOB 内，所以∠AOB >∠AOC .D 错误，故选D.方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法． 探究点二：角度的有关计算如图，∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC . (1)求∠EOD 的度数；(2)若∠BOC ＝90°，求∠AOE 的度数．解析：(1)根据OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论． 解：(1)∵∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，∴∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ＝12×120°＝60°；(2)∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°.方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠DOB＝()A．120° B．180° C．150° D．135°解析：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．重点3：余角和补角如果α与β互为余角，则( )A．α＋β＝180° B．α－β＝180°C．α－β＝90° D．α＋β＝90°解析：如果α与β互为余角，则α＋β＝90°.故选D.方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．解析：根据补角的性质，可得∠AOB ＋∠COM ＝180°，根据角的和差，可得∠AOB ＋∠BOM ＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM ＝12∠AOB ，根据解方程，可得∠AOB 的度数，根据角的和差，可得答案．解：由∠AOB 与∠COM 互补，得∠AOB ＋∠COM ＝180°.由角的和差，得∠AOB ＋∠BOM ＋∠COB ＝180°，∠AOB ＋∠BOM ＝90°. 由OM 是∠AOB 的平分线，得∠BOM ＝12∠AOB ，即∠AOB ＋12∠AOB ＝90°.解得∠AOB ＝60°.由角的和差，得∠AOC ＝∠BOC ＋∠AOB ＝90°＋60°＝150°.由ON 平分∠AOC 得∠AON ＝12∠AOC ＝错误!×150°＝75°.由角的和差，得∠BON ＝∠AON－∠AOB ＝75°－60°＝15°.方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．探究点二：方位角巩固练习1， 如图所示，在∠AOB 的内部有3条射线，则图中角的个数为( )A ．10B ．15C ．5D ．20解析：可以根据图形依次数出组成角的个数；或者根据公式求图中角的个数是：12×5×(5－1)＝10.故选A.方法总结：若从一点发出n 条射线，则构成12n (n －1)个角．2， (1)用度、分、秒表示48.26°； (2)用度表示37°24′36″.解析：(1)度、分、秒是常用的角的度量单位．根据1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″把大单位化成小单位乘以60即可；(2)根据度分秒之间60进制的关系计算．解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°15′＋0.6×60″＝48°15′36″； (2)根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′，24.6′÷60＝0.41°，所以37°24′36″用度来表示为37.41°.3， 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′，D 点落在D ′处．若∠EFC ＝119°，则∠BFC ′为( )A ．58°B ．45°C ．60°D ．42°解析：∵将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′，D 点落在D ′处，∠EFC ＝119°，∴∠EFC ′＝∠EFC ＝119°，∠EFB ＝180°－∠EFC ＝61°，∴∠BFC ′＝∠EFC ′－∠EFB ＝119°－61°＝58°，故选A.方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变．4， 计算：(1)153°29′42″＋26°40′32″； (2)110°36′－90°37′28″； (3)62°24′17″×4； (4)102°43′21″÷3.解析：(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解．解：(1)153°29′42″＋26°40′32″＝179°69′74″＝180°10′14″； (2)110°36′－90°37′28″＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″； (3)62°24′17″×4＝248°96′68″＝249°37′8″； (4)102°43′21″÷3＝102°42′81″÷3＝34°14′27″.方法总结：角度的运算规律为：(1)加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入．5， M 地是海上观测站，从M 地发现两艘船A 、B 的方位如图所示，下列说法中正确的是( )A ．船A 在M 的南偏东30°方向B ．船A 在M 的南偏西30°方向C ．船B 在M 的北偏东40°方向D ．船B 在M 的北偏东50°方向解析：船A 在M 的南偏西90°－30°＝60°方向，故A 、B 选项错误；船B 在M的北偏东90°－50°＝40°方向，故C正确，D错误．故选C.方法总结：用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．6，如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A、B、C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向．(1)求∠BOC的度数；(2)求∠AOB的度数．解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度数，根据角的和差，可得答案；(2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度数，根据角的和差，可得答案．解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°；(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°.方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算．提升练习1.下列说法正确的是( )A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形D．角可以看成是由一条线段绕着它的端点旋转而成的图形答案：选c本题考查角2.下列说法正确的是( )A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．平角的两条边在同一条直线上D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°。

讲义【知识梳理】1．角的定义：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．2．角的表示方法：角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB∠，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．(2)在一个顶点处只有．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示O∠，如图①所示．(3)用小写希腊字母表示，记作α∠，如图①所示．(4)用数学表示单独的一个角，记作1∠，如图①所示．【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示．【注意】(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：角的大小比较一般有两种方法：(1) 度量法：用量角器量出角的度数（量法与小学学习方法相同）．通过比较度数的大 小来确定角的大小．若用量角器测得130∠=︒，245∠=︒，3045︒<︒，12∴∠<∠(2)叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小．如下图所示，先让顶点O 与E 重合，再让OA 边与EC 边重合，并且使另一边OB 、ED 在OA 的同侧；如果OB 与OD 重合，则表示这两个角相等，如图①，记作AOB COD ∠=∠．如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的外部，则表示AOB ∠小于AOD ∠，记作AOB AOD ∠<∠． 如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的内部，则表示AOB ∠大于AOD ∠，记作AOB AOD ∠>∠【例题精讲】例1. 如图，图中共有多少个角？【考点】角的概念与表示．【解析】以OA 为始边的角有AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠，共4个，以OB 为始边的角有BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠，共3个，以OC 为始边的角有COD ∠、COE ∠共2 个，以OD 为始边的角有DOE ∠，共1个，所以共有432110+++=（个）． 【答案】10个．【教学建议】找角的个数与找线段方法一样，都按一定的方法分类，找角的个数可按顺时针方向数．也可按逆时针方向数．本题也可看作过点O 引出5条射线共54102⨯=个角，若过点O 引出n 条射，则共有()12n n -个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）.例2. 画出表示下列方向的射线：(1)南偏东25︒方向；(2)北偏西60︒方向；(3)东南方向；(4)南偏西80︒方向． 【考点】角的概念与表示，方位角．【解析】(1)以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (3)以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45︒，所成角的终边即为所求的射线，如隔①所示． (4)以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示．【答案】略．【教学建议】教师需引导学生回顾角的表示和方位角的概念，在进行本题的解答，并且通过本题进一步正确理解方位角的概念，正确表示方位角．【巩固测试】1. 观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？【考点】角的大比较．【解析】估计1∠最大，2∠与3∠相等，测量：1150∠=︒，2330∠=∠=︒，460∠=︒． 由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同． 【答案】1∠最大，2∠与3∠相等．【教学建议】用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定．角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较．2. 已知40AOB ∠>︒，用量角器画出AOC ∠,使40AOC ∠=︒，然后比较AOB ∠和BOC ∠的大小． 【考点】角的大比较．【解析】如图所示，当1AOC ∠在AOB ∠的内部时，1BOC AOB ∠<∠；当2AOC ∠在AOB ∠的外部时，2BOC AOB ∠>∠.【答案】略．【教学建议】因为40AOB ∠>︒，要画出40AOC ∠=︒，所以AOB AOC ∠>∠，又因为OA 是两个角的一条公共边，所以可能在AOB ∠的内部也可能在AOB ∠的外部.二、尺规作图 【知识梳理】 5．画相等的角： （1）度量法．①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合； ①对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合；①读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数．（2）尺规法．6．角的和、差、倍的画法：（1）度量法：用量角器分别量出两个角的度数，根据角的和、差、倍的意义可以画出角度等于两个角和（或差）的角．（2）尺规作图法．利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧”．作两个角的差的要领是“二合同侧”． 7．角平分线的概念及画法（作法）（1）概念：以一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，这时，12AOC BOCAOB ∠=∠∠或2AOB AOC A BOC ∠=∠=∠. （2）画法．①利用量角器画图：量→算→画． ①利用直尺和圆规作图．8．余角、补角的定义．(1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角．(2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角． 9．余角、补角性质．(1)余角的性质：同角（或等角）的余角相等．(2)补角的性质：同角（或等角）的补角相等．【注意】(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关． (2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法． 10．角的度量单位、角的换算及角的分类 (1)角的度量单位是：度、分、秒． 1度的160为1分，记作1'，即160'︒=．1分的160为1秒，记作1''，即160'''=． 【注意】①角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式；②1︒的角是指将一个周角分成360等份，每一份就是1︒的角．1周角＝360︒，1平角＝180︒ (2)角的分类：小于90︒的角叫做锐角、等于90︒的角叫做直角、大于90︒小于180︒的角叫做钝角．【例题精讲】例1. 如图，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使COD β∠=∠.【考点】画相等的角． 【解析】(1)作射线OC ；(2)以β∠的顶点为圆心、取定的长a 半径作弧，分别交β∠的两边于点E 、F （如图①）；① ①(3)以点O 为圆心、a 的长为半径作弧，交OC 于点M ； (4)以点M 为圆心、EF 的长为半径作弧，交前弧于点N ；(5)经过点N 作射线OD （如图①）．COD ∠就是所求作的角．【教学建议】教师需先引导学生回顾画相等的角的基本方法和过程，并通过本题进一步熟悉画相等的角的过程．例2. 已知α∠、β∠ (如图所示)，作一个角2AOB αβ∠=∠-∠【考点】画角的和、差、倍．【解析】2AOD ααα∠=∠+∠=∠（二合异侧），2AOB αβ∠=∠-∠ (二合同侧)． 保留作图痕迹线，了解作图的基本语句．结果如图所示．【教学建议】两个角的和、差、倍类同于有理数的和、差、倍，如2αβ∠-∠的度数，等于两个α∠的度数和再减去β∠的度数．例3. 如图已知α∠，β∠，用直尺和圆规求作一个γ∠，使得12γαβ∠=∠-∠（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】画角的和、差、倍．【解析】如图所示，BCD ∠即为所求作的γ∠．【教学建议】本题先画出12β∠，再画12αβ∠-∠． 例4. 一个角的补角比它的余角的2倍多5︒，求这个角．【考点】余角与补角． 【解析】设这个角为α，则它的补角为180α︒-，余角为90α︒-，依题意得180α︒-＝2(90α︒-)＋5︒，18018025,5ααα︒-=︒-+︒=︒．所以这个角的度数为5︒． 【答案】5︒．【教学建议】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设定这个角入手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可．例5.如图所示，已知：OC 是AOB ∠的角平分线，OD 是AOC ∠内的一条射线，已知AOD ∠比BOD ∠小30︒，求COD ∠的大小．【考点】余角与补角．【解析】因为OC 是AOB ∠的平分线（已知）．所以AOC BOC ∠=∠ (角平分线的意义) 设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=,根据题意，得BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-， 所以()()30αβαβ+--=︒．解方程，得15β=︒，即15COD ∠=︒．【答案】15COD ∠=︒．【教学建议】根据已知可设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=．则有BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，利用等量关系，30BOD AOD ∠-∠=︒列出式子，即可解出β的度数．例6.如图所示，射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，已知BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒，试用含有m ，n 的式子表示AOF ∠的度数．【考点】余角与补角．【解析】因为射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线(已知)． 所以AOB BOC ∠=∠，DOE EOF ∠=∠（角平分线的意义）． 又因为AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠．所以222()AOF BOC DOE COD BOC DOE COD ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠. 又因为BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒ (已知)． 所以BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．所以()()222AOF BOC DOE COD m n n m n ∠=∠+∠+∠=-+=-． 【答案】2AOF m n ∠=-．【教学建议】AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠，而射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，因此2AOB BOC BOC ∠+∠=∠，2DOE EOF DOE ∠+∠=∠，那么22AOF BOC DOE COD ∠=∠=∠+∠．由于BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．然后把相关角的式子分别代入，问题就解决了．【巩固测试】1. 如图所示，已知90AOC BOD ∠=∠=︒． (1)AOD ∠与BOC ∠有什么关系？为什么？ (2)若35DOC ∠=︒，则AOB ∠等于多少度？ (3)若150AOB ∠=︒，则DOC ∠等于多少度？【考点】余角与补角．【解析】(1) AOD ∠＝BOC ∠.理由如下：由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，90AOD DOC ∠+∠=︒，90BOC DOC ∠+∠=︒所以AOD ∠＝BOC ∠ (同角的余角相等)． (2)由已知35DOC ∠=︒，所以903555AOD BOC ∠=∠=︒-︒=︒，所以553555145AOB AOD DOC BOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒． (3)由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，150AOB ∠=︒． 所以1509060AOD AOB BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 所以906030DOC AOC AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.【答案】（1）AOD ∠＝BOC ∠；（2）145AOB ∠=；（3）30DOC ∠=︒．【教学建议】此类题比较常见，这个图形可以作为一个基本图形去记忆．第(3)小题也可以这样解：把DOC ∠看作是两个直角AOC ∠和BOD ∠的重叠部分，那么()18015030DOC AOC BOD AOB ∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒.课堂练习一、选择题1. 如图，能用∠1，∠ACB ，∠C 三种方法表示同一个角的是（ ）2. 学校M 在小明家N 的北偏东30°的方向，那么小明上学要走的路线可能是（ ）ABCDMMNN MM NN3. 如图所示，已知①AOB ＝64°，OA 1平分①AOB ，OA 2平分①AOA 1，OA 3平分①AOA 2，OA 4平分①AOA 3，则①AOA 4的大小为（ ）AB C 1A B DCAB CAB CD111A BCD课后作业1、如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=1400，则∠DOC的度数是（）A、300B、400C、500D、6002、一副三角尺可拼成很多角，如下图是由一副三角尺拼成的2个图形，请你计算：在第一个图中：∠ACD= °，∠ABD= °；在第二个图中：∠BAG= °，∠AGC= °。

角知识导图基础知识点1角：有公共端点的两条射线组成的图形．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（）．A BC D2把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分得角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．2．计算：（1）902339'︒-︒=；（2）17652'3︒÷=．3角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线．3．已知30°ABC∠=，BD是ABC∠的平分线，则ABD∠＝______度．4如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其4．已知26α∠=，则α∠的补角是度．B1AOCBA1OOCBA1BA1O几何图形点、线、面、体立体图形平面图形从不同方向看立体图形展开立体图形直线、射线、线段平面图形线段的大小比较两点确定一条直线两点之间、线段最短角的度量角角的比较与运算余角和补角角的平分线等角的余角相等等角的补角相等重点题型1【互余、互补】5．下列叙述正确的是（ ）．A ．90︒的角是余角B ．110︒和90︒的角互为补角C ．15︒、25︒、50︒的角互为余角D ．120︒和60︒的角互为补角6．若90αβ∠+∠=︒，90βγ∠+∠=︒，则α∠与γ∠的关系是（ ）．A ．互余B ．互补C ．相等D ．90αγ∠=︒+∠ 7．如果一个角的余角是50︒，那么这个角的补角的度数是（ ）．A ．130︒B ．40︒C ．90︒D ．140︒8．一个角的补角加上10︒后，等于这个角的余角的5倍，求这个角的度数．9．两个角的大小之比是7:3，他们的差是72°，求这两个角的度数．ABCDEF123 O ABCDE重点题型2【角度计算】10．如图所示，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．11．如图，从∠AOB 内部引出一条射线OC ，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，若∠AOB ＝80°，求∠DOE 的度数．12．如图，BD 平分∠ABC ，BE 分∠ABC 为2:5两部分，∠DBE ＝21°，求∠ABC 的度数．两步一回头13．下列关于角的说法正确的是（ ）．A ．两条射线组成的图形叫做角B ．延长一个角的两边C ．角的两边是射线，所以角不可以度量D ．角的大小与这个角的两边长短无关 14．下列各角中，是钝角的是（ ）．A ．14周角 B ．23周角 C ．23平角 D ．14平角能用一副三角板画出来的角都是______的倍数． 15．下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（ ）．①15︒的角；②65︒的角；③75︒的角；④135︒的角；⑤145︒的角． A ．①③④B ．①③⑤C ．①②④D ．②④⑤16．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为 度． 17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°， 则∠2的度数是（ ）．A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°问题探究【角的几何推理】18．如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．求： （1）∠MON ＝ °；（2）如果（1）中的∠BOC ＝β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）如果（1）中的∠AOB ＝α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中能看出什么规律？19．已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．（本题所指的角均是小于平角的角）MONC B ACAO D EB图12拓展延伸20．如图，表示南偏东40°的方向线是射线（ ）．A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD21．学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25︒方向，那么平面图上的∠CAB 等于（ ）． A ．115︒ B ．155︒ C ．25︒ D ．65︒22．如图12，AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，则∠AOC 的度数是 ．23．如图13所示，∠AOB 是平角，∠AOC ＝40°，∠BOD ＝70°，OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∠MON 等于_________．24．一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为 ． 25．观察时针，回答问题：（1）分针多长时间转一圈？它的转速是多少度/分？ （2）从1时开始到6时整，时针转动了多少度？（3）从中午12时整开始，经过多少时间，时针与分针再次重合？26．如图，东西方向的海岸线上有A 、B 两个观测站，在A 地发现它的北偏东30︒方向上有一条渔船，同一时刻，在B 地发现这条渔船在它的北偏西60︒方向上，试画图说明这条渔船的位置．ABCMA DNB O图1327．如下图1，将面积为a 2的小正方形BFED 与面积为b 2的大正方形AECM 放在一起（b ＞a ＞0），试用a 、b 表示三角形ABC 的面积．28．在抗日战争时期，一组游击队员奉命把A 村的一批文物送往一个安全地带，在A 村的南偏东50°距离3千米处有一B 村，他们从A 村出发，以北偏东80°方向行军，不知道走了多远以后，他们发现B 村出现了烟火，于是决定先把文物就地埋藏起来，然后调转方向走了7千米的路程，直接赶到B 村消灭了敌人，结束战斗后，这组游击队员应到哪里去取文物呢？假如你在场，凭以上信息，你能估计文物藏在什么地方吗？（画图说明）课堂加油站天气要降温了，如果怕冷你可以去墙角取暖，因为墙角有90度．不过躺在地下会更暖，因为地面有180度．如果还是怕冷你可以自转一周，因为有360度．但是，如果还是怕冷，可以众里寻她（他）……课堂小结A B C D MFECB这一讲我们主要学习了什么？一、互余、互补二、角的平分线，如图： 因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝∠______＝12∠____．三、几何定值问题有什么技巧？西南北东30° OAa b1 2 O课后练习29．下列说法正确的是（ ）．A ．角的两边都是线段B ．一条射线是一个周角C ．平角是一条线段D ．角的大小与它的两边的长短无关30．如图，OA 是表示北偏东30︒方向的一条射线， 仿照这条射线画出表示下列方向的射线： （1）南偏东30︒；（2）北偏西60︒．31．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE ＝90°．（1）请你数一数，图中有 个小于平角的角； （2）求出∠COE 的度数．课堂小测32．把一个圆形的蛋糕等分成12份，每份中的角是 °．33．如图，直线a ，b 相交于点O ，若1∠等于40︒，则2∠等于（ ）．A ．50︒B ．60︒C ．140︒D ．160︒34．已知∠α的余角是4251'16''︒，则α∠的度数是___________． 35．已知∠α与∠β是互为补角，∠α＝100°30'，那么∠β的度数是（ ）．A ．80°30'B ．100°30'C ．179°30'D ．79°30'36．点B 在点A 的南偏东40°，则点A 在点B 的____________． 37．已知∠AOB ＝3∠BOC ，若∠BOC ＝30°，则∠AOC 等于（ ）．A ．120°B ．120°或60°C ．30°D ．30°或90°38．已知OC 是∠AOB 的平分线，则下列各式：①12AOC AOB ∠=∠；②∠AOC ＝ ∠COB ；③∠AOB ＝2∠AOC ，其中正确的是（ ）．A ．只有①B ．只有①②C ．只有②③D ．①②③39．小明从A 处向北偏东72°38'方向走10m 到达B 处，小亮也从A 处出发向南偏西15°38'方向走15m 到达C 处，则∠BAC 的度数为 度．40．若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，根据_____________________，可得∠2＝∠4． 41．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示角的式子中：①90°－∠β；3cm7cm 62° 80°西南东CMA BN 50°北②∠α－90°；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．能表示∠β的余角的是_______（填序号）．参考答案 1．B2．（1）6621'︒；（2）5857'20''︒． 3．15 4．1545．D 6．C 7．D8．解：设这个角的度数为x ，180105(90)x x -+=-，65=x ．9．解：设两个角的度数为7x 、3x ，7372x x -=，18x =，两个角的度数是126、54． 10．解：∠2=70°，∠3=50°．11．解：因为OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，所以∠COD ＝12∠AOC ，∠COE ＝12∠BOC ，因为∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝80°，所以∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝40°． 12．98°13．D14．C15．A16．12017．B18．（1）45°；（2）45°；（3）2α；（4）∠MON 只与∠AOC 有关，与∠BOC 无关． 19．当OC 在∠AOB 内部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝30°；当OC 在∠AOB 外部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝60°．20．C 21．A 22．30° 23．125︒ 24．28°25．（1）60分钟；6度/分； （2）150°； （3）72011分钟．26．北偏东30︒方向和北偏西60︒方向两射线的交点即为渔船的位置 27．212b28．解：由题意作答图，作法如下：（1）在平面上任找一点为A （村） （2）作出A 村的南偏东50°的方向线AM ，在AM 上截取AB ＝3cm （以1cm 表示1千米）（3）作出A 村的北偏东80°的方向线AN （4）以B 点为圆心，以7cm 为半径作圆弧交AN 于C（5）连结BC ，量出C 点在B 点处的方向为北偏东62°，BC ＝7cm ，则从B 处以北偏东62°的方向出发走7千米到达C 处，则C 处附近就为藏文物地点．29．D 30．略 31．（1）9； （2）65°． 32．30 33．C 34．478'44''︒ 35．D36．北偏西40°37．B38．D39．12340．等角的余角相等41．①②④。

七年级数学角知识点讲解在初中数学中，角是一个比较重要的概念，也是很多数学知识点的基础。

本文将为大家详细讲解七年级数学中的角知识点。

1. 角的基础概念角是由两条射线共同固定一个端点而形成的图形。

其中，这个端点称为顶点，两条射线分别为角的两条边。

2. 角的分类按角的大小可以将角分为：（1）锐角：其度数在0度到90度之间。

（2）直角：其度数为90度。

（3）钝角：其度数在90度到180度之间。

（4）平角：其度数为180度。

按角的位置可以将角分为：（1）内角：位于图形内部的角，其两条边位于图形的两边。

（2）外角：位于图形外部的角，其两条边中的一条与图形的一边共线。

3. 角的度数计算角的度数计算有两种方式，一种是通过测量器测量，另一种是通过计算公式计算。

计算公式如下：（1）一周的度数是360度。

（2）一个直角角度是90度。

（3）一个平角角度是180度。

（4）一个钝角度数是180度减去这个角度的补角。

（5）一个锐角度数是90度减去这个角度的余角。

4. 角图形的性质（1）共线定理：如果一条直线上有两个角，那么这两个角的度数之和等于180度。

（2）垂直定理：如果两条直线相交，且形成了四个角，如果其中两个角是相互垂直的，那么这两个角中必有一个是直角。

（3）同旁内角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相等于。

（4）同旁外角定理：如果两条平行线被一条横线交叉，那么这两条平行线上同旁的内角互相补角。

通过以上的角知识点讲解，相信大家已经对初中数学中的角有了一定的了解。

在学习角的过程中，要注意理论和实践相结合，多做练习题，加深对角的理解和掌握。

初中数学认识余角、补角、对顶角精讲精练【考点精讲】1. 互为余角与互为补角（1）概念：若，则称、互为余角；若则称、互为补角。

（2）记法的余角记作；的补角记作。

2. 余角（补角）的性质同角或等角的余（补）角相等。

3. 对顶角：如下图中，我们把叫做对顶角，也是对顶角。

OADBC4. 对顶角的性质：对顶角相等。

【典例精析】例题1 如图所示，O是直线AB上的一点，，平分，平分，则图中互为补角的对数有（）A. 6对B. 7对C. 8对D. 9对思路导航：是直线AB上的一点，，又，，平分，，，，。

答案：互补的角有：，，，，，共8对。

答案选C。

点评：本题涉及互补的角较多，根据题意计算有关角的度数，再根据互为补角的定义，按照一定的顺序来写，做到既不重复又不遗漏。

例题2 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，请你求出这个角的度数。

思路导航：可以直接设元（题中问什么就设什么，直接求出结果），也可以间接设元（先求出这个角，再求出它的余角），然后列方程求解。

答案：设这个角的度数为，则它的补角、余角分别为，（），根据题意得，解得，所以这个角的度数为60度。

点评：有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程求解。

所设的未知数不同，所得到的方程也不同。

例题3 如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线。

D（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？思路导航：（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；（2）根据OF分得∠AOD的两部分角的度数即可说明。

答案：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°，∴∠2=180°－80°=100°；∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠1=40°。

∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠3=180°－∠1－∠2=180°－40°－100°=40°。

初一数学上册角类讲解
初一数学上册角类讲解：
1、角的定义：角是由两条不同的直线构成的图形，它们的交点称为角的顶点，而这两条直线称为角的边。

2、角的分类：根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。

3、锐角：锐角的角度小于90°，它们的夹角小于90°，可以用角度来表示，
如30°、45°、60°等。

4、直角：直角的角度等于90°，它们的夹角等于90°，可以用角度来表示，
如90°。

5、钝角：钝角的角度大于90°，它们的夹角大于90°，可以用角度来表示，
如120°、135°、150°等。

6、角的度量：角的度量是指用来衡量角的大小的单位，一般用角度来表示，1°=1/360圆，1′=1/60°，1″=1/60′。

7、角的运算：角的运算是指对角进行加减乘除等运算，如角的和、角的差、
角的积、角的商等。

8、角的平分：角的平分是指将一个角分成几个相等的角，如将一个角平分成
两个相等的角，称为角的二等分；将一个角平分成三个相等的角，称为角的三等分；将一个角平分成四个相等的角，称为角的四等分等。

9、角的延长：角的延长是指将一个角的边延长，使其角度变大，如将一个角
的边延长一定的距离，使其角度变为2倍，称为角的延长2倍。

10、角的旋转：角的旋转是指将一个角的边旋转一定的角度，使其角度发生变化，如将一个角的边旋转90°，使其角度变为180°，称为角的旋转180°。

初一上册数学角知识点讲解除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初一上册数学角知识点讲解，希望对大家的学习有一定帮助。

1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.2、角的表示法(四种)：3、角的度量单位及换算4、角的分类锐角直角钝角平角周角范围 090=90 90 =180=3605、角的比较方法(1)度量法(2)叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画出15的倍数的角，在0～180之间共能画出11个角.(2)借助量角器能画出给定度数的角.(3)用尺规作图法.8、角的平线线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.图形：符号：9、互余、互补(1)若2=90，则1与2互为余角.其中1是2的余角，2是1的余角.(2)若2=180，则1与2互为补角.其中1是2的补角，2是1的补角.(3)余(补)角的性质：等角的补(余)角相等.10、方向角(1)正方向(2)北(南)偏东(西)方向(3)东(西)北(南)方向课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

一、角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角.这个公共端点是角的顶点.这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关.而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.处于初始位置的那条射线叫做角的始边.终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到.这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到.这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线.是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部.平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发.把这个角分成相等的两个角的射线.叫做这个角的平分线.二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示.如图1.1．∠AOB图1.1注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠.但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示.如图1.2．角、角平分线∠A图1.2A注意： 用一个大写字母来表示角的时候.这个大写字母一定要表示角的顶点.而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角.如图2.1．∠1图2.11③ 用希腊字母来表示角.如图2.2．∠α图2.2α三、单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）.重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）.读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度.分.秒．把平角分成180等份.每一份就是一度的角.记做1︒．把一度的角60等分.每一份叫做1分的角.记做1'．把一分的角60等分.每一份叫做1秒的角.记做1''． 角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒）.直角α（90α=︒）.钝角α（90180α︒<<︒）．五、两角的和.差.倍.分（1）两角的和.差.倍.分的度数等于它们的度数的和.差.倍.分.（2）从一个角的顶点出发.把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角.记为∠PQR .折线使射线QR 与射线QP 重合.把纸展开.以Q 为端点.沿折痕画一条射线.这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心.以任意长为半径.交角的两边于A B 、两点；（2）分别以A .B 两点为圆心.以大于12AB 长为半径画弧.画弧交于C 点；（3）过C 点作射线OC . 所以.射线OC 就是所求作的.OCBA七、余角.补角（1）如果两个角的和是一个平角.那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角.那么这两个角叫做互为余角.简称“互余”. （3）补角.余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.八、 方位角方位角一般以正北.正南为基准.描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”.“北偏西⨯⨯度”.“南偏东⨯⨯度”.“南偏西⨯⨯度”.方位角α的取值范围0900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向.“北偏西45度”西北方向.“南偏东45度”为东南方向.“南偏西45度”为西南方向.九、 钟表角度问题时针12小时转动360度.每小时转动30度； 分针60分钟转动360度.每分钟转动6度. 秒针60秒钟转动360度.每秒钟转动6度.角的概念及表示【例1】角是由有 的两条射线组成的图形.两条射线的 是这个角的顶点.角也可以看成是由一条射线 ． 【解题思路】略【题目答案】公共端点 公共端点 绕端点旋转而得到的图形【例2】下列语句正确的是（ ）①角的大小与边的长短无关.②如果一个角能用一个大写字母A 表示.那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠.那么以1∠顶点为顶点的角只有一个. ④两条射线组成的图形叫做角A ①.②B ①.③C ①.④D ②.③ 【解题思路】略【题目答案】A【例3】如图.角的顶点是 .边是 .用三种方法表示该角分别为 ．αBAO【解题思路】略【题目答案】O ；OA .OB ；AOB ∠.α∠.O ∠．【巩固】 在右图中.角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【解题思路】本题考查用一个大写英文字母表示角.本题选B ．【题目答案】B【巩固】 如图.以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来.以D 为顶点的角呢?D CEBA【解题思路】略【题目答案】以B 为顶点的角有3个：ABE ∠.ABC ∠.EBC ∠以D 为顶点的角有4个：ADE ∠.ADB ∠.BDC ∠.CDE ∠【例4】下图中.以A 为顶点的角是_________.有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个.HGFEDCB A【解题思路】按照约定.我们讨论的角都是小于平角的角. 【题目答案】以A 为顶点的角有：BAE BAD EAD ∠∠∠，，；一边与射线FD 在同一条直线上的角有10个【例5】判断（ ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角． （ ）用2倍的放大镜看30︒的角.这个角就变成了60︒． （ ）由两条射线组成的图形叫做角． （ ）延长一个角的两边．（ ）平角就是一条直线；周角就是一条射线． 【解题思路】略【题目答案】×；×；×；×；×．角的分类【例6】下列语句正确的是（）A.平角就是一条直线B.周角就是一条射线C.小于平角的角是钝角D.一周角等于四个直角【解题思路】答题时首先理解角的概念.然后对各选项进行判断．【题目答案】平角是一个点和两条射线组成.故A错误.角度和射线不是同一个概念.故B错误.小于平角的角不一定是钝角.故C错误.一周角等于360°.一直角等于90°.故D正确.故选D．【考点难点】本题主要考查角的概念.不是很难．【例7】如图.图中包含小于平角的角的个数有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【解题思路】根据三角形的性质及平角的概念结合图形解答．【题目答案】图中角除∠BDC为平角外.∠B.∠C.∠BAD.∠BAC.∠DAC.∠BDA.∠CDA均为小于180°的角．共七个．故选D．【考点难点】先利用三角形的性质.确定三角形的每个内角都小于180°.再根据角的定义数出角的个数即可．但要注意顶点为A的角有3个．【例8】如图.∠AOB是平角.则图中小于平角的角共有（）A.4个B.7个C.9个D.10个【解题思路】当AO为角的一边时.有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角.依次类推得到所有小于平角的角．【题目答案】小于平角的角为：∠AOC.∠AOD.∠AOE.∠COD.∠COE.∠COB.∠DOE.∠DOB.∠EOB共9个.故选C．【考点难点】应有规律去寻找角的个数.注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．【例9】如图.必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A.10个B.15个C.20个D.25个【解题思路】找到以每一个字母为顶点的角.若该顶点处有多个角.则必须用三个大写字母表示．【题目答案】在该题中.以A.B.C.D.E为顶点的角有五个.且该顶点处只有一个小于180度的角.可用一个大写字母表示；以F.G.H.M.N为顶点的角各有四个.共计4×5=20个.而该顶点处只有三个小于180度角.只能用三个大写字母表示．故选C．【考点难点】此题不仅考查了对角的概念的掌握.还考查了数角的方法：找准角的顶点.统计出该顶点处的所有角.做到不漏数.不多数．【例10】如图.∠CAE=90°.锐角有（）个.钝角至少有（）个．A.4.3B.3.2C.6.3D.4.2【解题思路】根据直角.锐角.钝角的概念来解．∠CAE=90°.通过角的运算.得出结果．【题目答案】∵∠CAE=90°.∴∠FAB+∠BAC=90°.∠CAD+∠DAE=90°.∴∠FAB＜90°.∠BAC＜90°.∠CAD＜90°.∠DAE＜90°.锐角有四个.∴∠FAD＞90°.∠BAE＞90°.故钝角至少有两个.∠BAD不能确定．故选D．【考点难点】本题关键是要做到不重复不遗漏的数出角的数量.同时一定要注意∠BAD不能确定.故不能计算在内．角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【解题思路】（1）首先在第一个空上填上32.然后计算(32.4332)0.43︒-︒=︒.0.430.436025.8''︒=⨯=.25.8250.8'''-=.0.86048''''⨯=32.43322548'''︒=︒（2）这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式.12600.2'''÷=.430.243.2'''+=.43.2600.72'÷=︒.65431265.72'''︒=︒．【题目答案】（1）322548'''︒；（2）65.72︒【巩固】 （1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【解题思路】（1）5149242175707610''''︒+︒=︒=︒；（2）394124453810124451456'''''︒-︒=︒-︒=︒；（3）231342369416''''''︒⨯=︒； （4）121343315''''︒÷=︒ 【题目答案】（1）7610'︒；（2）1456'︒；（3）69416'''︒；（4）3315'''︒【例12】（1）2020'4______︒⨯=.（2）4437'3______︒÷= 【解题思路】（1）原式8080'8120'=︒=︒（2）先将度.分.秒的量数都化成3的倍数：4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''︒=︒+︒=︒++=︒++=︒【题目答案】（1）8120'︒；（2）1452'20''︒【巩固】 （1）77423445______''︒+︒=； （2）108185623_______''︒-︒=；（3） 180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=； （6） 135********______''︒⨯+︒÷= （7）57.32_________'''︒=︒； （8） 122342_______'''︒=︒ 【解题思路】（1）7742344511227'''︒+︒=︒； （2）1081856235155'''︒-︒=︒；（3）180(34542133)12333'''︒-︒+︒=︒；（4）23295837812937''''''︒+︒=︒；（5）513932532193328'''''''︒-︒=︒； （6）13533157435731136'''''︒⨯+︒÷=︒； （7） 57.3257 19 12'''︒=︒； （8）12234212.395'''︒=︒【题目答案】（1）11227'︒；（2）5155'︒；（3）12333'︒；（4）812937'''︒；（5）193328'''︒；（6）731136'''︒；（7）57 19 12'''︒（8）12.395︒【例13】在小于平角的范围内.用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个A ．4个B ．7个C ．11个D ．16个【解题思路】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515︒-︒=︒.而其它角都是15︒的倍数．所以在小于平角的范围内.能画出确定度数的角有153045607590105120135150165︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒，，，，，，，，，，共11个.故选C ．【题目答案】C【例14】如右图.AOB 是直线.1:2:31:3:2∠∠∠=.求DOB ∠的度数．123ABC D O【解题思路】设1x ∠=.23x ∠=.32x ∠=.根据题意有32180x x x ++=︒.30x =︒.120DOB ∠=︒． 【题目答案】120︒一、余角和补角【例15】如图.OE AB ⊥于O .OF OD ⊥.OB 平分DOC ∠.则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【解题思路】3；2由题意可知90AOF FOE ∠+∠=︒.所以与AOF ∠互余的角必与FOE ∠相等. 由题中条件可知FOE ∠=BOD BOC ∠=∠.所以余角有3个；AOF ∠的补角为,EOB ∠所以与AOF ∠互补的角必与EOB ∠相等.【题目答案】3；2【巩固】 如图.O 是直线AB 上的一点.120AOD ∠=︒.90AOC ∠=︒.OE 平分BOD ∠.则图中彼此互补的角共有______对．ABC DEO【解题思路】根据题意可得：30BOE EOD DOC ∠=∠=∠=︒.60BOD EOC ∠=∠=︒等.互补的角只满足和为180︒这个数量关系即可.与位置无关．所以共有6对：AOE ∠与BOE ∠.AOE ∠与EOD ∠.AOE ∠与DOC ∠. AOD ∠与BOD ∠.AOD ∠与EOC ∠.AOC ∠与BOC ∠．【题目答案】6【例16】如下图.A .O .B 在一条直线上.AOC ∠是锐角.则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A BCO【解题思路】选C ．11190()()222AOC AOB AOC AOC BOC AOC BOC AOC ︒-∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠-∠【题目答案】C【例17】一个角和它的余角的比是5:4.则这个角的补角是【解题思路】设这个角为α.则根据题意可知有5904αα=︒-，解得50α=︒. 所以它的补角为18050130︒-︒=︒. 【题目答案】130︒【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角.求这个锐角的度数．【解题思路】设这个锐角为x 度.根据题意可列方程：1(90)(180)1802x x x +︒-+︒-=︒.得60x =︒．【题目答案】60︒【例19】如果一个角的补角与余角的和.比它的补角与余角的差大60︒.求这个角的余角度数． 【解题思路】设这个角为x .则它的补角和余角分别为180x ︒-和90x ︒-.(180)(90)[(180)(90)]60x x x x ︒-+︒--︒--︒-=︒.所以60x =︒.所以这个角的余角的度数为30︒【题目答案】30︒【巩固】 一个角a 与50︒角之和的17等于65︒角的余角.求a ． 【解题思路】1(50)90657a +︒=︒-︒.125a =︒．【题目答案】125︒【巩固】 已知α的余角是β的补角的13.并且32βα=.试求αβ+的度数．【解题思路】根据题意可得：190(180)3αβ-=⨯-.1303αβ-=.且32βα=.60,90,150αβαβ==+=（度）．【题目答案】150︒【例20】已知两角互补.试说明：较小角的余角等于两角差的一半. 【解题思路】略【题目答案】设两角分别为()αβαβ<，.则180αβ+=︒． ∴较小角的余角()()11190180222αααβαβα︒-=⨯︒-=+-=-∴原结论成立.角平分线【例21】从一个角的顶点出发.把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线． （填“正确”或“错误”） 【解题思路】根据角平分线的定义可知.此话是错误的．【题目答案】根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发.把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线.答案为错误．【考点难点】主要考查了角平分线的定义．定义：从一个角的顶点出发.把它分成相等两个角的射线叫做这个角的平分线．【例22】如图.已知直线AB.CD 相交于点O.OE 平分∠COB.若∠EOB=55°.则∠BOD 的度数是（ ）A.35°B.55°C.70°D.110°【解题思路】利用角平分线的定义和补角的定义求解．【题目答案】OE 平分∠COB.若∠EOB=55°.∴∠BOC=55+55=110°.∴∠BOD=180﹣110=70°．故选C ． 【考点难点】本题考查了角平分线和补角的定义．【例23】如图.直线AB.CD 相交于点O.OE 平分∠AOD.若∠BOC=80°.则∠AOE 的度数是（ ）A.40°B.50°C.80°D.100°【解题思路】根据角平分线的定义计算．【题目答案】∵∠BOC=80°.∴∠AOD=∠BOC=80度．∵OE平分∠AOD.∴∠AOE=∠AOD=°×80°=40度．故填A．【考点难点】角的平分线是中考命题的热点.常与其他几何知识综合考查．【例24】如图所示.将一张长方形纸的一角斜折过去.使顶点A落在A′处.BC为折痕.如果BD为∠ABE的平分线.则∠CBD=（）A.80°B.90°C.100°D.70°【解题思路】利用角平分线的性质和平角的定义计算．【题目答案】因为将顶点A折叠落在A′处.所以∠ABC=∠A′BC.又因为BD为∠ABE的平分线.所以∠ABD=∠DBE.因为∠ABC+∠A′BC+∠ABD+∠DBE=180°.所以∠CBD=90°．故选B．【考点难点】本题是角平分线性质及平角的性质的应用．【例25】如图.BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.∠A=44°.那么∠BDC的度数为（）A.68°B.112°C.121°D.136°【解题思路】BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.且∠A=44°.根据三角形内角和定理结合角平分线定义.即可得出∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）.在△BDC中.根据三角形内角和定理即可得出∠BDC．【题目答案】根据题意.BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的角平分线.∠A=44°.所以有∠CAD+∠DCA=（∠ABC+∠ACB）=68°.在△BCD中.即有∠CAD+∠DCA=68°.所以∠BDC=180°﹣68°=112°．故选B．【考点难点】本题主要考查的是三角形的内角和定理和三角形的角平分线定理．【例26】下列说法正确的是（）A.两点之间直线最短B.用一个放大镜能够把一个图形放大.也能够把一个角的度数放大C.将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D.直线l 经过点A.那么点A 在直线l 上【解题思路】分别判断每个选项的正确性.注意直线是没有长度的． 【题目答案】（1）对于A 选项.直线没长度.故A 错误．（2）放大镜能够把一个图形放大.不能够把一个角的度数放大.故B 错误． （3）对于C 选项.没有提到所分角的相等.故C 错误． （4）直线过A 点.则A 一定在直线上． 综上可得只有D 正确．故选D ．【考点难点】本题考查线段和直线的知识.属于基础题.关键在于掌握直线和线段的定义．方位角【例27】下面图形中.表示北偏东60︒的是（ ）60︒A东西北南B西北南60︒C东西北南60︒D东西北南【解题思路】略【题目答案】C【巩固】 下列说法不正确的是（ ）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向东【解题思路】略【题目答案】A ．【例28】如图.平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BA【解题思路】略【题目答案】（1）如图.射线AC 表示点A 处北偏东70︒的方向.射线BD 表示点B 处北偏西40︒方向.（2）如图.连接AB .测得34α∠≈︒.所以点A 位于点B 南偏西45︒方向．【例29】如图.A .B .C .D 是北京奥运会场馆分布图.请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置.以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图.直线CO DE 相交于O .90COD ∠=︒.请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =.54mm OB =.36BOC AOE ∠=∠=︒.则可知场馆B 的位置是北偏西36︒.据中心54mm .可简记为（54mm .北偏西36︒）．据此方法.场馆A 的位置可简记为（_________.________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母）.AOD ∠与_____________是互补的角．东西北【解题思路】略【题目答案】①20mm .北偏东54︒；②90︒；③AOE ∠.BOC ∠．共定点角的相关计算【例30】如图.在直线AB 上取一点O .在AB 同侧引射线OC .OD .OE .OF 使COE ∠和BOE ∠互余.射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠.求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【解题思路】略【题目答案】COE ∠和BOE ∠互余.所以90AOC BOC ∠=∠=︒111222DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠AOF BOD AOC EOF BOD ∠+∠=∠+∠+∠3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠【巩固】 如图.直线AB .CD 相交于点O .作DOE BOD ∠=∠.OF 平分AOE ∠.若28AOC ∠=︒.求EOF ∠．A BCDE FO【解题思路】28AOC DOE BOD ∠=∠=∠=︒.(1802828)262EOF ∠=︒-︒-︒÷=︒．【题目答案】62︒【例31】如图所示.80AOB ∠=︒.OC 是AOB ∠内部的任意一条射线.若OD 平分BOC ∠.OE 平分AOC ∠.试求DOE ∠的度数．EDC BAO【解题思路】因为OD 是BOC ∠的平分线.所以12DOC BOC ∠=∠.同理可得12COE COA ∠=∠所以DOE DOC COE ∠=∠+∠1122BOC COA =∠+∠11()22BOC COA AOB =∠+∠=∠180402=⨯︒=︒． 【题目答案】040【例32】如图.ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒.求GCB ∠的度数．GA B C DE 图2F【解题思路】设ACD x ∠=.则有：10DCE x ∠=+︒.20ECF x ∠=+︒.30FCG x ∠=+︒.40GCB x ∠=+︒．所以5100180x +︒=︒.16x =︒.56GCB ∠=︒【题目答案】56︒【例33】已知：如图.OC 是AOB ∠外的一条射线.OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒.40BOC ∠=︒. 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=︒.求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA【解题思路】略【题目答案】①∵OE 平分AOC ∠.OF 平分BOC ∠（已知）∴12EOC AOC ∠=∠. 12FOC BOC ∠=∠（角平分线定义）∵100AOC ∠=︒.40BOC ∠=︒（已知）∴1100502EOC ∠=⨯︒=︒. 140202FOC ∠=⨯︒=︒（等量代换）∵502030EOF EOC FOC ∠=∠-∠=︒-︒︒＝（等量代换）②∵OE 平分AOC ∠（已知） ∴AOE EOC ∠=∠（角平分线定义） ∵EOC EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠∴AOE EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠（等量代换） ∵OF 平分BOC ∠（已知） ∴BOF FOC ∠=∠（角平分线定义） ∵AOB AOE EOB ∠=∠+∠∴2AOB EOB BOF EOB ∠=∠+∠+∠ 2AOB BOF EOB ∠=∠+∠（）（等量代换） ∵EOB BOF EOF ∠+∠=∠.AOB n ∠=︒（已知）∴1122EOF AOB n ∠=∠=︒（等量代换）即：12EOF n ∠=︒【例34】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角.射线OM .ON 分别平分AOC ∠.BOC ∠．（1）90AOB ∠=°.30BOC ∠=°.求MON ∠的度数； （2）AOB α∠=.30BOC ∠=°.求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°.BOC β∠=.还能否求出MON ∠的度数吗？若能.求出其值.若不能.说明理由． （4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【解题思路】略【题目答案】（1）900602MON ∠==°+3?°；（2）302MON α+∠=； （3）902MON β+∠=；（4）2AOB BOCMON ∠+∠∠=.【例35】已知：OA .OB .OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒.4136'BOC ∠=︒.求AOC ∠. 【解题思路】注意分情况讨论.容易的到答案：4324'︒或12636'︒.【题目答案】4324'︒或12636'︒【巩固】 已知一条射线OA .若从点O 再引两条射线OB 与OC .使60AOB ∠=︒.20BOC ∠=︒.求AOC ∠的度数. 【解题思路】 注意分类讨论.为80︒或40︒. 【题目答案】80︒或40︒【例36】已知αβ，都是钝角.计算()16αβ+.正确的结果只可能是（ ） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒【解题思路】根据题意9018090180αβ︒<<︒︒<<︒，.∴180360αβ︒<+<︒∴()130606αβ︒<+<︒.∴选B【题目答案】B【巩固练习】α.β.γ中有两个锐角和一个钝角.其数值已经给出.在计算1()15αβγ++的值时.有三位同学分别算出了23︒.24︒.25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案.求αβγ++的值．【解题思路】00909090180αβγ++<++<++ 16()2415αβγ<++<所以23︒答案正确．【题目答案】23︒【例37】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠.AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒.10AOD ∠=︒.求AOC ∠的度数. 【解题思路】因为AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒.所以AOC ∠小于AOB ∠；（1）射线OC 在AOB ∠的外部.如图（1）.设 ,AOC x AOB y ∠=∠=.根据题意有 3251()102x y x y x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩. 解得：4565x y =⎧⎨=⎩.即45AOC ∠=︒（2）射线OC 在AOB ∠的内部.如图（2）.设AOC x AOB y ∠=∠=，.根据题意有 3251()102x y x y x -=⎧⎪⎨++=⎪⎩.解得：911x y =⎧⎨=⎩.即9AOC ∠=︒图（1）D CBAO图（2）D CBAO【题目答案】45︒或9︒【例38】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC .使得:5:4AOC BOC ∠∠=.且AOC ∠.BOC ∠均小于180︒.若30AOB ∠=︒.求AOC ∠的度数.【解题思路】如图（1）.5230(16)1640'93AOC ∠=⨯︒=︒=︒；如图（2）.530150AOC ∠=⨯︒=︒如图（3）.51(36030)(183)18320'18093AOC ∠=⨯︒-︒=︒=︒>︒.舍去图（1）CB AO图（2）CBAO图（3）CB AO【题目答案】1640'︒或150︒钟表角度问题【例39】从3时到6时.钟表的时针旋转角的度数是（ ）A.30B.60°C.90°D.120° 【解题思路】时针1小时走1大格.1大格为30°．【题目答案】从3时到6时.钟表的时针旋转角的度数是（6﹣3）×30°=90°.故选C ． 【考点难点】解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数．【例40】下午2点30分时（如图）.时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）A.90°B.105°C.120°D.135°【解题思路】钟表12个数字.每相邻两个数字之间的夹角为30度．【题目答案】∵1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°.∴3.5个小时的角度为30°×3.5=105°．故选B ． 【考点难点】本题主要考查角度的基本概念．在钟表问题中.常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°.并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．【例41】由2点15分到2点30分.时钟的分针转过的角度是（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 【解题思路】出图形.利用钟表表盘的特征解答． 【题目答案】点15分.分针指在数字3上.分针水平.当2点30分时.分针指在数字6上.分针垂直于水平时的分针.故分针转的角度是90°； 解法2：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份.每一份是30°. 从2点15分到2点30分分针转过了三份.转过的角度为3×30°=90°．故选D ．【考点难点】所转过的角度计算．在钟表问题中.常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°.并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？ 【解题思路】共有4次时针与分针夹成60︒的角.（1）第一次正好为2点整.（2）第二次设为2点x 分时.则101012x x =++.解得92111x =. （3）第三次设为3点y 分时.则101512y y +=+.解得5511y =.（4）第四次设为3点z 分时.则151012z z =++.解得32711z =【题目答案】4次成60︒角.分别是：2点整；2点92111分；3点5511分；3点32711分．【例43】钟表在12点钟时三针重合.经过x 分钟后.秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分.则x 的值是多少?【解题思路】因为秒针.分针.时针的速度分别是360度/分.6度/分.0.5度/分.显然x 的值大于1而小于2.则有6360(1)360(1)0.5,x x x x --=--解得:1440.1427x =故x 的值是14401427分钟.【题目答案】144014271.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112.求这个角． 【解题思路】设这个角为x .则11(180)3(90)36012x x ︒-+︒-=︒⨯解得30x =︒.即这个角为30︒． 【题目答案】30︒2.下列图形中.表示南偏西60︒的是（ ）课后练习60︒A东西北南60︒B东西北南60︒C东西北南 60︒D东西北南【解题思路】略 【题目答案】D3.下列说法中.正确的是（ ）A.一条射线把一个角分成两个角.这条射线叫做这个角的平分线B.两个锐角的和为钝角C.相等的角互为余角D.钝角的补角一定是锐角【解题思路】根据锐角.钝角.角平线的概念.分析各选项后判断.排除错误答案．【题目答案】A.应为分成两个相等的角.故错误；B.反例：10°+20°=30°＜90°.故错误；C.两个角之和为90°时才互余.故错误；D.钝角的补角一定是锐角.故正确． 故选D ．【考点难点】正确理解锐角.钝角的概念才能正确作出判断．4.一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角.求这个角的度数． 【解题思路】设这个角的度数为x .则它的余角为90x ︒-.补角为180x ︒-.由题意.得：12(90)(180)1802x x ︒-+︒-=︒.解得：36x =︒．【题目答案】36︒5.已知一个角的补角等于这个角余角的6倍.那么这个角等于多少？【解题思路】设这个锐角为x 度.根据题意可列方程：(180)6(90)x x -=⨯-.72x =． 【题目答案】72︒6.如图.OM 平分AOB ∠.ON 平分COD ∠.若50MON ∠=︒.10BOC ∠=︒.求AOD ∠的小．NMAB C DOAD E图1F【解题思路】22501090∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒；AOD MON BOC【题目答案】90︒.。

角各位老师，大家好。

我为大家说课的内容是新人教版七年级上册第四章第三节第一课时角。

在“以学生发展”为本的前提下，为提高学生的学习兴趣，并为学生今后的学习打下坚实的基础，结合新课程标准, 我对本节作如下说课。

一、说教材1、地位作用：本节知识建立在射线、线段等相关知识的基础上，同时也是进一步学习角的度量、比较、画法，以及深入研究平面几何图形的基础．2、教学目标：*1．知识与技能（1）在现实情境中，认识角是一种基本的几何图形，理解角的概念，?学会角的表示方法．（2）使学生用运动的观点理解角、平角、周角的定义（3）认识角的度量单位度、分、秒，会进行角度制单位换算．*2．过程与方法提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题．*3．情感态度经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲．3、重、难点1．重点：角的定义，角的表示方法，会进行角度的简单换算2．难点：会用不同的方法表示一个角，角度的换算二、说教法、学法1.教法：启发诱导、讨论法、练习法、2.学法：自主探究、合作交流、练习法三、说教学设计（一）引入新课观察下面的图形，你发现什么共同的特点吗?（多媒体出示:吊扇、时钟、飞机、剪刀、圆规等图案）（1）提出问题：通过以上在学生回答的基础上，给予纠正和补充，最后给出角的静态定义举例和小学时你对角的认识，你会画一个角吗？（教师演示角的画法）同学们请观察，角的两边是前面我们学过的什么图形？它们的位置关系如何？你能否根据自己的理解和刚才老师的提问，描述一下怎样的几何图形叫做角？．角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫角的两边．（2）提出问题：角的大小与角两边的长短有关系吗？学生讨论并演示：拿大小不同的两副三角板或学生的三角板与教师的三角板对比演示．总结：角的两边既然是射线，则可以向一方无限延伸，所以角的大小与所画角的两边长短无关，仅与角的两边张开的程度有关．练习1:判断：下面的图形那些是角？（二）角的表示方法像直线、射线、线段一样，可以用字母表示．阅读课本第136页,总结角的表示方法有几种. 学生活动：学生看书，可以相互讨论，然后归纳出角的几种表示方法．学生阅读后，多找几个学生回答．最后通过不断补充、完善，归纳整理得出角的表示方法，角有以下几种表示方法(如图)【说明】总结以上方法时，对前两种表示方法，应注意的问题要加以强调．第一种表示方法必须注意：顶点字母在中间．第二种表示方法只限于顶点只有一个角．另外，让学生区分角的符号与小于号．注：在不做特别说明的情况下，我们说的角都指不大于平角的角。

七年级上册角的初步认识重点
一、角的基本概念
1. 角的概念：角是由两条射线或线段在一个平面内相交而形成的几何图形。

2. 角的性质：角的大小与边的长短无关，只与两条射线或线段间的夹角有关。

二、角的度量单位
1. 度量单位：度是常用的角量度单位，此外还有弧度和角度等。

2. 度量方法：使用量角器或直接利用直角三角板进行度量。

三、角的表示方法
1. 几何符号：用∠表示一个角，用∠1、∠2等表示两个不同的角。

2. 数字符号：用数字或字母表示一个具体的角。

四、角的画法
1. 使用量角器画角：定度数、定点、连线。

2. 使用直角三角板画角：定第一条边、定第二条边、画直角。

五、角的分类
1. 锐角：小于90度的角。

2. 直角：等于90度的角。

3. 钝角：大于90度但小于180度的角。

4. 平角：等于180度的角。

5. 优角：大于180度但小于360度的角。

6. 周角：等于360度的角。

六、角的应用
1. 在几何学中，角是重要的几何图形之一，其在各种几何图形中的应用广泛。

2. 在日常生活中，角的应用也非常广泛，如角度测量、建筑设计、机械制造等。

七、角的变化
1. 角的大小可以变化，可以通过移动射线或线段来改变角的大小。

2. 通过旋转，一个角可以围绕其顶点旋转任意角度，从而形成不同的角。