天津市静海县六校高一数学下学期期中联考试题

2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1.已知2{*|30}A x N x x =∈-+，12{|log 0}B x x =，则AB =( )A. [3，)+∞B. [0，1]C. [1，3]D. {1，2，3}2.设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.11164.函数()()cos x x f x e e x -=-⋅在[2-，2]上的图象大致为( )A. B.C. D..5.已知函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，则a ，b ，c 大小关系是( )A. a b c <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<6.直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是( ) A. 3B. 2C.D. 17.关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在5[0,]4π上单调递增；③函数()1y f x =-在[π-，]π上有3个零点；④函数()f x的最小值为.其中所有正确结论的编号为( ) A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②④8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，若△12MF F 的面积为24a ，则C 的渐近线方程为( ) A. y x =±B. y =C. 2y x =±D. 4y x =±9.已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A. 1(,1)2B. 1(2，2)C. (1,2)-D. (1,3)-二、填空题（每小题5分，共25分）10.若4212iz i i--=+，则复数z 的虚部为__. 11.二项式12(2x ，则该展开式中的常数项是__.12.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，120ABC ∠=︒，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__.13.已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则当a =__时，代数式2212a ab+-的最小值为__. 14.在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.若BE AD ⊥，垂足为E ，则BE AC ⋅的值为__.的三、解答题（共50分）15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-.（1）求sin B值；（2）求cos(2)6A π+的值.16.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区 （1）如果B 、C 、D 受到A 感染的概率分别为12，那么B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）.17.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ； （2）求二面角B EF D --的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为6若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A 的任意一点，APF ∆. （1）求椭圆C 的离心率；的.的（2）设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.19.已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235a a a +=，4124a b b =-，335b a a =+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；（3）若数列1{}n nna b a +的前n 项积为n T ，求n T . （4）数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kk n d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中*k N ∈，*n N ∈，求21ni i i a d =∑. （5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个. 20.设函数21(),()x ef x ax a lnxg x x e=--=-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，证明：函数()g x 无零点；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1. D2. B3. A4. C5. C6. B7. A8. D9. C二、填空题（每小题5分，共25分）10.【答案】1- 11.【答案】 12.【答案】32π13.【答案】 (1). (2). 14.【答案】三、解答题（共50分）15. （1）由1cos 4A =-，∴可得sin A =8a =，2b c -=，1cos 4A =-，∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=，可得：sin B =.（2）27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==∴71cos(2)cos2cos sin 2sin ()(66682A A A πππ+=-=-⨯16.（1）B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是1123113()()228P C =⋅⋅=.（2）B 一定被感染，∴主要考虑C 和D 的感染情况，∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，111(1)(1)(1)233P X ==-⨯-=，11111(2)(1)(1)23232P X ==⨯-+-⨯=，111(3)236P X ==⨯=， X ∴的分布列为∴数学期望11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=.17. （1）证明：四边形EDCF矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD .取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图，则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(m x =，y ，)z ， (1BE =-，2-，2)，(0AB =，2，0)，由22020m BE x y z m AB y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取1z =，得(2m =，0，1)，又(1DF =-，2，2)，∴0DF m =，∴DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（2）(0D ，0，0)，(0DE =，0，2)，(1DF =-，2，2)，(1BE =-，2-，2)，(2BF =-，0，2)， 设平面BEF 的法向量(n a =，b ，)c ，则220220n BE a b c n BF a c ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取1a =，得(1n =，12，1)，设平面DEF 的法向量(p m =，n ，)t ， 则20220p DE t p DF m n t ⎧⋅==⎨⋅=-++=⎩，取1n =，得(2p =，1，0)，设二面角B EF D --的平面角为θ，则5||2cos ||||954n p n p θ⋅===⋅ ∴二面角B EF D --的正弦值2sin3θ=.（3）假设在线段BE 上存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 设1(P x ，1y ，1)z ，BP BE λ=，则1(1x -，12y -，1)(1z λ=-，2-，2)， 解得11x λ=-，122y λ=-，12z λ=，(1P λ∴-，22λ-，2)λ， 平面BEF 的法向量(1n =，12，1)，(AP λ=-，22λ-，2)λ， 直线AP 与平面BEF∴||||||9n AP n AP ⋅==⋅，解得29λ=或23λ=， 3BE =，23BP ∴=或2BP =.18.（1）当点P 位于椭圆的上或下顶点时，APF ∆的面积最大，此时有1()2APFS b a c ∆=-=，即)b a c =-，222b a c =-，2223()a c a c ∴-=-，得2a c =或a c =（舍)，∴离心率12c e a ==. 故椭圆C 的离心率为12. （2）由题可知，直线l 的方程为3()4y x c =--，椭圆的方程为2222143x y c c+=，联立22223()4143y x c x y c c ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2276130x cx c --=，解得x c =-或137c ， 当x c =-时，32y c =；当137x c =时，9014cy =-<，∴点Q 的坐标为3(,)2c c -.点B 在直线4x =-上，∴可设点B 为(4,)m -， 又//OB AQ ，(,0)A a ，OBAQ k k ∴=即33122422c c m c a c c -===-----，2m ∴=，点(4,2)B -. 圆B 同时与x 轴和直线l 相切，2d ∴=3|(4)2|2c ----=，解得24c =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=.19.（1）235a a a +=，则11234a a +=+，解得11a =，故n a n =，4124a b b =-，即1144b q b =-，335218b b q a a =+==，解得2q 或4q =-（舍去），12b =，故2n n b =.（2）222222222222111()(1)(1)(21)(21)32121n n n n n n n n n b c b b +++===------- 故222221*********()()3315156321213321n nn n S ++=-+-+⋯+-=----. （3）1(1)2nn n n a b n a n++=， 故(1)22231222(1)212n n nn n T n n++=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+；（4）222111111(12)21412(21)2424221412n n nn n n nnnniiiii i i i i i i i a d i i ======+--=+-=+-=+---∑∑∑∑∑∑， 即21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑. 20.（1）2()f x ax a lnx =--，(0,)x∈+∞.2121()2ax f x ax x x-'=-=. 当0a 时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，由()f x '=∴函数()f x 在x ∈上单调递减，)+∞上单调递增.综上可得：当0a 时，函数()f x (0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在x ∈上单调递减，，)+∞上单调递增. （2）证明：当1x >时，要证明：函数()g x 无零点.即可证明：()0>g x ，即证明xe e x>.令()xe h x x=，(1,)x ∈+∞.2(1)()0x e x h x x -'=>，∴函数()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，()h x h ∴>（1）e =.∴当1x >时，()0>g x ，因此当1x >时，函数()g x 无零点.（3）解：()()f x g x >化为：2110xax a lnx e x----+>. 令211()xu x ax a lnx e x-=---+，(1,)x ∈+∞.可得0a >. u （1）0=，1122111()220x x x u x ax e ax e xxx---∴'=-+-=+-在(1,)x ∈+∞恒成立.令121()2xx v x ax e x --=+-， 11233122()22xx x v x a e a e x x x ---'=+-+=++， 当2x 时，()0v x '>. 令32()x x x ϕ-=，426()x x x ϕ-+'=. 函数()x ϕ在[1，2)上单调递增. ()v x ∴的最小值为v （1）21a =-. 10x e ->.12x ∴<<时，()0v x '>.综上可得：1x >时，()0v x '>.()v x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. ()u x u ∴'>'（1）0，即()u x 在(1,)x ∈+∞上单调递增.210a ∴-，解得12a. （4）变化①：12a时，证明()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立. 变化②：()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围.。

2016-2017学年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高一下学期期中联考数学试题命题人：宝坻一中 芦台一中第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题（每小题5分共40分，每个小题只有一个正确答案）1.下列结论正确的是A ．若bc ac >，则b a >B ．若22b a >，则b a >C ．若0,<>c b a ，则 c b c a +<+D ．若b a <，则b a <2．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, 若ac b c a 3222=-+,则角B 的值为A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π3．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于A ．1B ．1-C ．3D ．74．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+10202y y x y x ， 则目标函数y x z 2+=的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．55.若不等式abb a x x 1622+<+对任意),0(,+∞∈b a 恒成立，则实数x 的取值范围是 A ．(－2，0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4，2) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)6.设n s 为等差数列}{n a 的前n 项和，若||,0454a a a ><，则使0>n s 成立的最小正整数n 为A ．B ．7C ．8D ．97.关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b a B c +=2cos 2，若ABC ∆的面积c S 123=，则ab 的最小值为（ ） A ．21 B ．31 C ．61D ．3第Ⅱ卷（非选择题）（将答案写在答题纸上）二、填空题、（每小题5分，共30分）9.不等式3|12|<-x 的解集是________．10.在等比数列}{n a 中，若12,183221=+=+a a a a ，则公比q 为_______． 11.数列{}n a 满足12a =，112n n n a a --=),2(*N n n ∈≥，则n a = ；12．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .13.n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 14.已知0,1>->y x 且满足12=+y x ，则yx 211++的最小值为________．三、解答题（共80分，解答时请写出必要的解题过程、演算步骤）15．(本题满分13分) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？16．(本题满分13分) 在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b． （I ）求sin sin CA的值；（II ）若cosB=14，b=2，求ABC ∆的面积S 。

2015-2016学年天津市静海县六校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0 2．（4分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．3．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．54．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=8，S8=20，则a9+a10+a11+a12=（）A．18B．17C．16D．155．（4分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则m的范围为（）A．（﹣4，0）B．（﹣4，0]C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）6．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2C．2D．37．（4分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．8．（4分）在等差数列{a n}中，a66＜0，a67＞0，且a67＞|a66|，S n为数列{a n}的前n项和，则使S n＞0的n的最小值为（）A．66B．67C．132D．133二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，若AB=4，AC=5，且cosC=，则sinB=．10．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值是．11．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为．12．（4分）在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），则a1000=．13．（4分）不等式≤1的解集为．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则sinA﹣cos（）的取值范围为．三、解答题（本题共5小题，共64分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．16．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=5且a n=2a n﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（14分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+2（a＞0）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；（2）若b=2a+1，①解关于x的不等式f（x）≤0；②若对任意a∈[1，2]，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．19．（14分）等比数列{a n}的前n项和S n=2n+6﹣a，数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（1）求a的值及{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）求数列的最小项的值．2015-2016学年天津市静海县六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选：A．2．（4分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．3．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=8，S8=20，则a9+a10+a11+a12=（）A．18B．17C．16D．15【解答】解：∵设等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，即8，12，S12﹣S8成等差数列，故S12﹣S8=16，即a9+a10+a11+a12=16，故选：C．5．（4分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则m的范围为（）A．（﹣4，0）B．（﹣4，0]C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）【解答】解：当m=0时，代入得f（x）=﹣1＜0恒成立；当m≠0时，由f（x）＜0恒成立，得到m＜0，且△=（﹣m）2﹣4×m（﹣1）=m2+4m＜0，即m（m+4）＜0，可化为：或，解得：﹣4＜m＜0，综上，m的取值范围为（﹣4，0]．故选：B．6．（4分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2C．2D．3【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：B．7．（4分）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，所以f（n）==．故选：D．8．（4分）在等差数列{a n}中，a66＜0，a67＞0，且a67＞|a66|，S n为数列{a n}的前n项和，则使S n＞0的n的最小值为（）A．66B．67C．132D．133【解答】解：∵a66＜0，a67＞0，∴公差d=a67﹣a66＞0，又∵a67＞|a66|，∴a67+a66＞0，∴66（a67+a66）＞0，即S132＞0，又∵公差d＞0，∴使S n＞0的n的最小值为132，故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，若AB=4，AC=5，且cosC=，则sinB=．【解答】解：∵cosC=，∴sinC=，∵AB=4，AC=5，∴由正弦定理可得∴sinB=．故答案为：．10．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值是3+2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴+==3++≥3+2．（当且仅当，a=，b=时，等号成立）．故答案为：3+2．11．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为．【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==∵C∈（0，π），∴C=故答案为：12．（4分）在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），则a1000=﹣1．【解答】解：∵a1=1，a2=5，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），∴a3=a2﹣a1=5﹣1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1．=a n．∴a n+6则a1000=a6×166+4=a4=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4分）不等式≤1的解集为{x|x＞3或x≤} ．【解答】解：∵≤1，∴≥0，∴或，解得：x＞3或x≤，∴不等式的解集是{x|x＞3或x≤}．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，则sinA﹣cos（）的取值范围为（，2] ．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c且满足csinA=acosC，∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=cosC，∴C=，∴B=﹣A，0＜A＜，∴sinA﹣cos（B+）=sinA﹣cos（﹣A+）=sinA+cosA=2sin（A+），∵＜A+＜，可得：＜sin（A+）≤1，∴sinA﹣cos（）=2sin（A+）∈（，2]．故答案为：（，2]．三、解答题（本题共5小题，共64分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．16．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=5且a n=2a n﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列为等差数列设，===1，（6分）可知，数列为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）（2）由（1）知，，∴a n=（n+1）•2n+1．（8分）∴S n=（2•21+1）+（3•22+1）+…+（n•2n﹣1+1）+[（n+1）•2n+1]．即S n=2•21+3•22+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n+n．令T n=2•21+3•22+…+n•2n﹣1+（n+1）•2n，①则2T n=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1．②（12分）②﹣①，得T n=﹣2•21﹣（22+23++2n）+（n+1）•2n+1=n•2n+1．∴S n=n•2n+1+n=n•（2n+1+1）．（15分）18．（14分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+2（a＞0）（1）若不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；（2）若b=2a+1，①解关于x的不等式f（x）≤0；②若对任意a∈[1，2]，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}所以与之对应的二次方程ax2﹣bx+2=0的两个根为1，2由根与系数关系的a=1，b=3…（4分）（2）关于x的不等式f（x）≤0，ax2﹣（2a+1）x+2＜0，即（x﹣2）（x﹣）≤0，若a＞，解集是{x|1a≤x≤2}；若0＜a＜，解集是{x|2≤x≤}；若a=，解集是{x|x=2}…（10分）（3）二次函数f（x）=ax2﹣bx+2=ax2﹣（2a+1）x+2=a（x2﹣2x）﹣x+2，令，则…（14分）19．（14分）等比数列{a n}的前n项和S n=2n+6﹣a，数列{b n}满足b n=（n∈N*）．（1）求a的值及{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）求数列的最小项的值．【解答】解：（1）∵，∴，当n≥2时，，∴，∵数列{a n}是等比数列，∴，解得a=64．∴；（2）b n====，，∴=；（3）∵，b n=，∴，则==，∴在其定义域上单调递增．∴min==．。

2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知，，则A. B. C. D. 2，2.设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.4.函数在上的图象大致为A.B.C.D.5.已知函数，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.6.直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是A. 3B. 2C.D. 17.关于函数有下述四个结论：的周期为；在上单调递增；函数在上有3个零点；函数的最小值为其中所有正确结论的编号为A. B. C. D.8.已知双曲线的左右焦点分别为、，过作C的一条渐近线l的垂线，垂足为M，若的面积为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.9.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）10.若，则复数z的虚部为______．11.二项式，则该展开式中的常数项是______．12.在三棱锥中，平面ABC，是等腰三角形，其中，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．13.已知a，b均为正数，且，则当______时，代数式的最小值为______．14.在中，已知，，，D为边BC的中点．若，垂足为E，则的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，．求sin B的值；求的值．16.某地有A、B、C、D四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A到过疫区．如果B、C、D受到A感染的概率分别为，那么B、C、D三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？若B肯定受A感染，对于C，因为难以判断他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是，在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量，求随机变量X的分布列和均值数学期望．17.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．求证：平面ABE；求二面角的正弦值；在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．18.已知椭圆的右焦点，右顶点为A，点P是椭圆上异于点A的任意一点，的面积的最大值为．求椭圆C的离心率；设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为Q，圆B同时与x轴和直线l 相切，圆心B在直线上，且，求椭圆C的方程．19.已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且，，．求和的通项公式；设，数列的前n项和，求；若数列的前n项积为，求．数列满足，，其中，，求．解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决．通过对上面问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个．20.设函数，其中，为自然对数的底数．讨论的单调性；当时，证明：函数无零点；确定a的所有可能取值，使得在区间内恒成立．数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决．因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一．下面你将问题中的条件“在区间内恒成立”变化为两种新形式不作解答．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：2，，，2，．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：设公比为q，若，则，即，则或，当时，数列为摆动数列，则“数列为递增数列”不成立，即充分性不成立，若“数列为递增数列”，则，，，则“”成立，即必要性成立，则“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，故选：B．根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的定义和性质是解决本题的关键．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率．故选A．4.答案：C解析：解：，故函数为奇函数，可排除BD；又，可排除A．故选：C．先判断函数的奇偶性，利用奇偶性的对称性可排除BD；再由可排除A，进而得到正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．解析：解：根据题意，函数，区间上，为减函数，且，区间上，，为减函数，且，故在R上为减函数；又由，则有；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得在R上为减函数，由指数、对数的运算性质可得，分析可得答案．本题考查函数单调性的判断以及应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．6.答案：B解析：解：根据题意，圆即，圆心为，半径；若l：被圆所截弦长为4，则直线l经过圆心，则有，即，则，即的最小值是2；故选：B．根据题意，由圆的方程分析圆心坐标以及半径，进而可得直线l经过圆心，则有，即，据此可得，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，注意分析直线经过圆心，属于基础题．7.答案：A解析：解：函数，所以函数的周期为：，所以正确；函数的单调增区间为：，所以不正确；化为函数的周期是，最大值为，所以函数在上有2个零点，所以不正确；函数的最小值为所以正确；化简函数的解析式，然后求解函数的周期，单调区间，判断函数的零点，以及求解函数的最值即可得到结论．本题考查命题的真假的判断，三角函数的图象与性质的判断，是基本知识的考查，基础题．8.答案：D解析：解：由题得，不妨设l：，则也可记住结论，，，，，双曲线的渐近线方程为：．故选：D．求出焦点坐标，设出直线方程转化求解三角形的面积，推出a，b的关系，然后求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9.答案：C解析：解：设函数任意一点关于直线对称的点为，则，，所以，而P在函数上，所以，即，所以函数关于直线对称的函数为，因为直线恒过定点，当时，设直线与相切于，，整理可得，解得，所以；当时，，设直线与函数相切于B点，，整理可得，，解得，所以，故，即时，在时，函数与的图象相交有两个交点，在时，函数与有两个交点，故函数与有4个交点时的k的范围为．故选：C．先求出直线关于对称的直线方程，然后求函数在，时的单调性及极值，求出与直线相切时的斜率的范围，进而求出k的取值范围．本题考查直线关于直线的对称直线，及直线与曲线相切的斜率，函数与方程的关系，属于中档题．10.答案：解析：解：由，得．复数z的虚部为．故答案为：．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11.答案：解析：解：由题意得：，，1，2，，12．令，得．所以常数项为．故答案为：．先求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0即可．本题考查二项式定理及其应用，同时考查学生的运算能力，属于基础题．12.答案：解析：解：将此三棱锥放在直三棱柱中，三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设底面外接圆的半径为r，则，而是等腰三角形，其中，，所以，所以，所以，设外接球的半径R，则，所以三棱锥的外接球的表面积，故答案为：．将此三棱锥放在直三棱柱中，三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，由题意可得底面外接圆的半径，再由外接球的半径与底面外接圆的半径和高的一半构成直角三角形可得外接球的半径，进而求出外接圆的表面积．本题考查将三棱锥放在直三棱柱中，三棱柱的外接球等于三棱锥的外接球，由两边及夹角求外接圆的半径，及球的表面积公式，属于中档题．13.答案：解析：解：a，b均为正数，且，代数式，当且仅当，即，时取等号．故答案为：，．把1代入代数式，变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：在中，由余弦定理可得，则，则，再由余弦定理，，在中，，则所以，则在中，，，，则，故答案为：．在中，由余弦定理即可求出，从而得出，并求出，这样在中，由余弦定理即可求出AD的值，从而求出，这样在中即可求出DE、BE、的值，而，从而可求出数量积的的值．本题考查余弦定理的应用，直角三角形的边角关系，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及数量积的运算．15.答案：解：由，可得，，，，由，可得：，由，可得：．，．解析：由，利用同角三角函数基本关系式可得，进而根据余弦定理及已知可求b，c的值，根据正弦定理即可解得sin B的值．由利用二倍角公式可求cos2A，sin2A的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.答案：解：、C、D三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是．一定被感染，主要考虑C和D的感染情况，随机变量X的可能取值为1，2，3，，，，的分布列为X 1 2 3P数学期望．解析：根据独立重复事件求概率的方式进行运算即可；随机变量X的可能取值为1，2，3，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．17.答案：解：证明：四边形EDCF为矩形，，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD．取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则0，，2，，2，，0，，2，，设平面ABE的法向量y，，，2，，由，取，得0，，又2，，，，又平面ABE，平面ABE；0，，0，，2，，，0，，设平面BEF的法向量b，，则，取，得，设平面DEF的法向量n，，则，取，得1，，设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值．假设在线段BE上存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，设，，则，解得，，，，平面BEF的法向量，，直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，，解得或，，或．解析：由四边形EDCF为矩形，可得，由面面垂直的性质可得平面取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ABE；求出平面BEF的法向量和平面DEF的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值．设，，则，求出平面BEF的法向量，由直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值、满足线面角的正弦值的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：当点P位于椭圆的上或下顶点时，的面积最大，此时有，即，，，得或舍，离心率．故椭圆C的离心率为．由题可知，直线l的方程为，椭圆的方程为，联立，得，解得或，当时，；当时，，点Q的坐标为．点B在直线上，可设点B为，又，，即，，点．圆B同时与x轴和直线l相切，即，解得，故椭圆C的方程为．解析：分析易知，当点P位于椭圆的上或下顶点时，的面积最大，然后用含a、b、c的代数式表示其面积，并与已知条件建立等式关系，再结合和即可得解；先用只含c的式子表示直线l和椭圆的方程，再联立这两个方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，解之可得点Q的坐标，然后设点B为，通过，两直线的斜率相等可求出，最后利用圆B同时与x轴和直线l相切，并结合点到直线的距离公式即可求出c的值，从而得解．本题考查求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，还涉及点到直线的距离公式，考查学生转化与回归的能力和运算能力，属于中档题．19.答案：解：，则，解得，故，，即，，解得或舍去，，故．故，故，，即．根据题意：中应用了裂项相消求和法，裂项相消求和法是将数列分解为一个数列的前后项，方便计算；中应用了分组求和法，分组求和法是将有规律的某一部分集中起来计算，易于计算．解析：直接利用等差数列等比数列公式计算得出答案．，用裂项求和法计算得出答案．，利用累乘法得到答案．，代入公式计算得到答案．介绍裂项求和分组求和法，根据方法特点得到答案．本题考查数列求和常见的方法，属于中档题．20.答案：解：，．当时，，函数在上单调递减．当时，由，函数在上单调递减，上单调递增．综上可得：当时，函数在上单调递减．当时，函数在上单调递减，上单调递增．证明：当时，要证明：函数无零点．即可证明：，即证明．令，．，函数在上单调递增，．当时，，因此当时，函数无零点．解：化为：．令，可得．，在恒成立．令，，当时，．令，．函数在上单调递增．的最小值为．．时，．综上可得：时，在上单调递增．，即在上单调递增．，解得．变化：时，证明在区间内恒成立．变化：在区间内恒成立，求实数a的取值范围．解析：，对a分类讨论即可得出函数的单调性．当时，要证明：函数无零点．即可证明：，即证明令，利用导数研究函数的单调性即可得出．化为：令，，可得在恒成立．令，利用导数研究函数的单调性即可得出．根据，可以得出变化的两种新形式．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。