黑龙江省哈三中2021届高三数学第五次模拟考试试题 理

数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数)3(2i a i z -+=）（是纯虚数，则实数=a A ．23-B ．23C ．3-D ．3 2．已知向量)3,2(-=，),3(x =，若//a b ，则实数=xA ．2-B ．2C ．29-D ．293．已知集合{}Z x x x A ∈≤≤-=,21，集合{}0|>=x x B ，则集合A B 的子集个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 4．设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5. 设公比为3的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若13=S ，则=++654a a a A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 6. 某几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图都是边长分别为1和2的矩形，俯视图为半径为1的 四分之一个圆，则该几何体的体积为A ．π31B ．π21C ．π32D ．π7. 若圆4221=+y x C ：与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则实数m = A ．24- B ．16- C ．24 D ．16 8. 设0,0>>b a ，则“1≥ab ”是“2≥+b a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就 是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母亲记录的孩子自 出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一， 根据图示可知，孩子已经出生的天数是A ．27B ．42C ．55D ．21010．已知函数x x x f cos sin )(+=，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…， 依此类推，2020()4f π=AB． C ．0 D．11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面E AC 1截该正方体所侧视图俯视图得的截面面积为A ．52B ．62C ．64D ．5 12．已知点P 在直线1-=x y 上，点Q 在曲线y x 22=上，则PQ 的最小值为A ．41 B ．81 C ．22 D ．42第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的离心率为2，则渐近线方程为 ．14．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若675=+a a ，则11S = ． 15．若在不等式122≤+y x 所表示的平面区域内随机投一点P ，则该点P 落在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-11y x y x 所表示的平面区域内的概率为 ． 16．函数()()f x x R ∈为奇函数，当0x >时，0)(ln )(<+⋅'xx f x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足A b a c cos 22+=． （1）求B ；（2）若3,5==+b c a ，求ABC ∆的面积．18．(本小题满分12分)如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，3=AB ，o ABC 90=∠，ADE ∆是等边三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，连接EB ，EC 得到如图②的几何体．（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；（2）若平面⊥ADE 平面ABCD ，求四棱锥ABCD E -的体积． 19．(本小题满分12分)为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在年龄为2060岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示： （1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人，求抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．(本小题满分12分)已知函数xaex x f -=2)(()a R ∈．（1）当1a =时，证明：0≥x 时，1-)(≤x f ；（2）若对任意0≥x ，均有0)(≤x f 成立，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13422=+y x 的一个焦点． （1）求抛物线C 的方程；（2）设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，)2,1(P ，且PM PN ⊥， 求证：直线MN 过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴上的截距相等时的直角坐标方程； （2）若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求PBPA 11-的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知函数b x a x x f ++-=)(，)0,0(>>b a ． （1）当3,1==b a 时，求不等式6)(<x f 的解集； （2）若)(x f 的最小值为2，求证：11111≥+++b a ．数学试卷（文史类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13.y = 14.33 15.π216. ）（0,∞- 三、解答题：17. （1）由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，……………………………………2分 则A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，则A B A sin cos sin 2=,在ABC ∆中,0sin ≠A ,所以21cos =B ,………………………4分 则3π=B ………………6分（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,从而得ac c a ac c a 3)(9222-+=-+=，……………………………………9分又5=+c a ，所以316=ac ，所以ABC ∆的面积为334.…………………………12分18.（1）取EA 中点N ,连接MN ,BN ,则MN 是EAD ∆的中位线, .//,,//,21且,//.21且,//ABE CM ABE BN ABE CM BNCM BCMN AD BC AD BC AD MN AD MN 平面平面平面又是平行四边形，四边形∴⊂⊄∴∴==∴ ………………6分（2）取AD 中点O ,连接OE OC ,,ADE ∆是等边三角形,得AD OE ⊥,因为平面⊥ADE 平面ABCD ，，平面ADE OE ⊂平面⋂ADE 平面AD ABCD = 所以平面⊥OE 平面ABCD ………………8分 直角梯形ABCD 的面积为6263322221==+OE ，）（ …………10分四棱锥ABCD E -的体积3-=VABCDE ………………12分19．（1）由统计数据填22⨯列联表如下:计算观测值20100(3554515)25 6.25 3.841505080204k ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，..................................4分所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分 （2）由题意可知不支持“房产限购”的人44岁以下有15人，44岁及以上有5人，按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用654321,,,,,a a a a a a 表示 44岁及以上抽取2人分别用21,b b 表示， ……………………..… 6分 设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A ……………………..…7分 从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：()21,a a ，()31,a a ，()41,a a ，()51,a a ，()61,a a ，()11,b a ，()21,b a ，()32,a a ，()42,a a ，()52,a a ，()62,a a ，()12,b a ，()22,b a ， ()43,a a ，()53,a a ，()63,a a ，()13,b a ，()23,b a ，()54,a a ，()64,a a ，()14,b a ，()24,b a ，()65,a a ，()15,b a ，()25,b a ， ()16,b a ，()26,b a ，()21,b b 共28种 ………………………………..…9分抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：()11,b a ，()21,b a ，()12,b a ，()22,b a ，()13,b a ，()23,b a ，()14,b a ，()24,b a ，()15,b a ，()25,b a ，()16,b a ，()26,b a ，共12种 ……………………..…11分所以73)(=A P ，抽取“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”的概率为 73… 12分20.（1）当1a =时，x e x x f x h -='=2)()(，x e x h -='2)( 由于x e x h -='2)(在),0[+∞上单调递减，存在唯一零点2ln 0=x 知()h x ：知),0[+∞∈x 时，022ln 2)2(ln )(<-=≤h x h ，即()0f x '<恒成立 所以()f x 为),0[+∞上的减函数，0≥x 时，1-)0()(=≤f x f ， 证毕 …………………………………………6分（2）等价于x e x a 2≥，设函数x ex x g 2)(=，),0[+∞∈xxx x x g )2()(-='，知()g x ：2max )2()(eg x g ==，2max ),(e a x g a ≥≥，实数a 的取值范围是）+∞,4[2e ………………………………………………12分 21.（1）依题意，2,12==p p ，所以x y C 4:2=………………………………4分（2）设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442=--n my y ，设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--⋅--y x y x ………6分 化简得0584622=+---m m n n ，…………………………8分 解得52+=m n 或12+-=m n （舍）…………………………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………12分 22.（1）θθρcos 4sin 2=，所以θρθρcos 4sin 22=，由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42=…………….…….3分当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α, 由,sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+=ααt y t x 得1tan 11-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分（2）当3πα=时，直线l的参数方程为112,12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数） 将直线l 的参数方程带入x y 42=，得211412t ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232)304t t +-=，12124(243t t t t +==-，………..……………...…….8分故12121211112||||3t t PA PB t t t t +-=-==…………………………………...…..10分 23.（1）依题意631<++-x x ，解集为)2,4(- ………………………………5分 （2）b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分1)11112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……………10分。

一、单选题1. 已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．B．C．D．2. 设全集，，，则（ ）A．B．C．D．3. 已知，为单位向量，则的最大值为（ ）A．B．C ．3D．4. 已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）A ．3B．C ．2D．5. 已知菱形ABCD 的边长为2，，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且，将沿EF折到的位置，则当五棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．6. 已知函数的部分图象如图所示.则函数f (x )的图象可由函数y =sin x 的图象经过下列哪种变换得到（）A ．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C ．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D ．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的表面积为A．B．黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第五次高考模拟考试文科数学试题黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第五次高考模拟考试文科数学试题二、多选题三、填空题四、解答题C．D．8. 直线与曲线交于两点，且这两个点关于直线对称，则A ．5B ．4C ．3D ．29. 已知，关于的方程有个不同的根，，且为最大的根，则（ ）A ．的值可能为100B ．当时，C ．当时，D ．当时，10. 为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）附：，其中.A ．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B ．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．若被调查的男女生均为人，则有的把握认为喜欢登山和性别有关D ．无论被调查的男女生人数为多少，都有的把握认为喜欢登山和性别有关11. 已知函数y =f (x )在R 上可导且f (0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是A ．函数g (x )在(1，+∞)上为单调递增函数B ．x =1是函数g (x )的极小值点C ．函数g (x )至多有两个零点D ．当x ≤0时，不等式 恒成立12. 已知事件，满足，且，则一定有（ ）A．B．C．D．13. 已知是常数，，若函数的最大值为10，则的最小值为__________．14.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______________.15.若对任意的，都有成立，则的最大值为___________.16. 已知函数．（1）求方程的解集；（2）如果△的三边满足，且边所对的角为，求角的取值范围及此时函数的值域．17. 如图，在正三棱柱中，、分别为，的中点．为线段延长线上一点，且，．（1）证明：平面；（2）证明：点在平面内；（3）求三棱锥的体积．18. 已知函数.（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围.19. 如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G,H，现以ME,NF为折痕将正方形折起，且BC,AD重合，记D,C重合后为P，记A,B重合后为Q．(1)求证：平面平面HGQ；(2)求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．20. 北京时间2021年7月25日，2020东京奥运会射箭女子团体决赛在梦之岛公园射箭场结束．决赛规则为每局比赛双方各派一名队员射击6次，6次总分高的一方获得2分，若总分持平，双方各得1分，先得6分的一方获得比赛的胜利．韩国队提前一局结束比赛，以6-0完胜俄罗斯奥委会队，自该项目1988年进入奥运会大家庭以来，韩国队包揽了全部9枚金牌．在本届赛事中，韩国代表团迄今收获的两金均来于射箭项目，其中20岁的安山有望在东京奥运会上成为三冠王，俄罗斯奥委会队连续两届摘得该项目银牌，德国队获得季军，决赛的成绩（单位：环）统计数据如图所示．(1)分别求韩国队、俄罗斯奥委会队第3局比赛成绩的中位数；(2)比较韩国队、俄罗斯奥委会队第2局比赛的平均水平和发挥的稳定性；(3)从韩国队三局比赛成绩（每一局的总得分）中随机抽取一个，记为x，从俄罗斯奥委会队三局比赛成绩（每一局的总得分）中随机抽取一个，记为y，设Z＝x-y，求Z的数学期望．21.如图，已知多面体，四边形为矩形，，，且，，，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.。

2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-，{|01000}B x lgx =<，{|}2aC x x =<，若(){|03}AB C x x =<，则(a = )A ．lB ．3C ．6D ．82．（5分）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f a -=，则f （7）(= ) A ．12B ．12-C ．2log 3D ．23．（5分）为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，某中学团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：)cm 的社会实践活动．利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值（同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替）．则估计的平均值为( )A ．21.75B ．22.25C ．23.75D ．20.754．（5分）《九章算术》是我国一部经典的数学著作，《九章算术⋅商功》有这样的载述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．“堑堵”就是底面为直角三角形的直三棱柱，“鳖臑”是四个面均为直角三角形的三棱锥，将底面为短形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知由某“堑堵”“阳马”“鳖臑”组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．5C ．4D ．35．（5分）有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：)mm 都服从正态分布2(20,)N σ，且2(1921)3P X <=，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为( ) A ．64243B ．80243C ．1681D ．402436．（5分）函数9()11x f x e x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1010[，)+∞ B ．(5-1010[，5) C ．(-∞，55[，)+∞ D ．[5-5]8．（5分）已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin(2)6f x x π=-，则此函数的“4LD π-”区间为( )A ．[6k ππ-，]()12k k Z ππ+∈ B ．[3k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈C ．[12k ππ+，]()3k k Z ππ+∈ D ．7[12k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈9．（5分）226(2)(1)x x +-的展开式中，5x 的系数为( ) A ．52-B ．88-C ．62-D ．110-10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点M 为此渐近线上的一点，O 为坐标原点．双曲线C 的左、右顶点为A 、B ，焦距为2||OM ，则AM B∠为( ) A ．2πB ．6π C ．3π D ．4π 11．（5分）已知复数z 的模为1，复数23w z z =+，则在复平面内，复数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是( )A ．6B ．254C．D．12．（5分）复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元．如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y 元，则y x -的值为( )（参考数据：121.015 1.2)≈ A ．170-B ．1200C ．1030D ．900二、填空题：本大愿共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+，则λ= ．14．（5分）已知变量x ，y 满足3303020x y x y x y m -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，若3z x y =+的最小值为5，则实数m = ．15．（5分）已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B ，E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），点F 到直线AE，则椭圆C 的离心率为 ．16．（5分）已知数列{}n a 满足：152a =，2*112()2n n n a a a n N +=-+∈，若取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，设1n n na b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021[]T = ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围．18．（12分）在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A 、B 两所同类学校的高三学年分别采用甲、乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A 、B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望； （2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．附：k 2.072 2.70 3.841 5.024 6.6357.87910.82822()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，11BB AB AB BC===，D为AC的中点，1AB B D⊥，190B BC∠=︒．（1）求证：平面11ABB A⊥平面ABC；（2）求二面角1D BB A--的余弦值．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，AOB∆（点O为坐标原点）的面积为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设不经过原点O的直线l与抛物线交于P、Q两点，设直线OP、OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝3（x﹣1）e x﹣ek有两个不同的零点（其中e为自然对数的底数）．（1）当x＜﹣1时，求证：（x﹣1）e x﹣1＞﹣；（2）求实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的两个零点为x1、x2，求证：＜e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，P为曲线122cos:(1sin2xCyααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+；求|||OA OB 的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()32f x x =-，()21g x x =-．（1）若()|()||()|h x f x g x =+，且()h x a 恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()x ϕ，求()x ϕ的最大值．2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =-，{|01000}B x lgx =<，{|}2aC x x =<，若(){|03}AB C x x =<，则(a = )A ．lB ．3C ．6D ．8【解答】解：220x x -，02x ∴，[0A ∴=，2]， 01000lgx <<，1000110x ∴<<，(1B ∴=，100010)，[0A B ∴=，100010)，()[0AB C =，3)，∴32a=，6a ∴=． 故选：C ．2．（5分）已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f a -=，则f （7）(= ) A ．12B ．12-C ．2log 3D ．2【解答】解：因为函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x ax =++，且(3)f f -=-（3）a =，所以f （3）a =-， 即23a a +=-， 所以12a =-，则f （7）2log 873 3.50.5a =+=-=-． 故选：B ．3．（5分）为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，某中学团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度（单位：)cm 的社会实践活动．利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图．现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的平均值（同一组数据用这组数据所在区间的中点的值代替）．则估计的平均值为()A．21.75B．22.25C．23.75D．20.75【解答】解：由频率分布直方图可得，平均值为(0.0112.50.0717.50.0822.50.0227.50.0232.5)521.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．故选：A．4．（5分）《九章算术》是我国一部经典的数学著作，《九章算术⋅商功》有这样的载述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．“堑堵”就是底面为直角三角形的直三棱柱，“鳖臑”是四个面均为直角三角形的三棱锥，将底面为短形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．已知由某“堑堵”“阳马”“鳖臑”组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．6B．5C．4D．3【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱锥和棱柱组成的组合体；如图所示：所以：111113223112313263223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=++=．故选：A ．5．（5分）有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：)mm 都服从正态分布2(20,)N σ，且2(1921)3P X <=，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为( ) A ．64243B ．80243C ．1681D ．40243【解答】解：2~(20,)X N σ，∴正态分布曲线的对称轴为20x μ==，又2(1921)3P X <=， 11(2021)(1921)23P X P X ∴<=<=， 故在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间(20，21]的概率为： 3235114140(1)()1033927243P C =⨯-⨯=⨯⨯=． 故选：D ．6．（5分）函数9()11x f x e x =+--的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，设()1x g x e x =--，其导数()1x g x e '=-， 在区间(,0)-∞上，()0g x '<，则()g x 为减函数， 在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则()g x 为增函数， 则()(0)0min g x g ==， 故9()11xf x e x =+--的定义域为{|0}x x ≠，且()1f x >恒成立，其图像在1y =上方，排除BCD ，故选：A ．7．（5分）已知直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1010[，)+∞ B ．(5-1010[，5) C ．(-∞，55[，)+∞ D ．[5-5]【解答】解：因为直线2y x m =+与圆221x y +=相交于不同的两点A 、B ， 所以圆心到直线的距离114d =<+，解得55m -<<，又0OA OB ⋅，所以2d，即25，解得10m 或10m -②， 由①②得(5m ∈-1010][，5)． 故选：B ．8．（5分）已知m 为常数，在某个相同的闭区间上，若()f x 为单调递增函数，()f x m +为单调递减函数，则称此区间为函数()f x 的“m LD -”区间．若函数()3sin(2)6f x x π=-，则此函数的“4LD π-”区间为( )A ．[6k ππ-，]()12k k Z ππ+∈ B ．[3k ππ+，7]()12k k Z ππ+∈C ．[12k ππ+，]()3k k Z ππ+∈ D ．7[12k ππ+，5]()6k k Z ππ+∈【解答】解：由题意可知，函数()f x 在“4LD π-”区间单调递增，函数()4f x π+在“4LD π-”区间单调递减，函数()3sin(2)6f x x π=-，则令222,262k x k k Z πππππ-+-+∈，解得,63k xk k Z ππππ-++∈，故()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈，又()3sin(2)3sin(2)4263f x x x ππππ+=+-=+，令3222,232k x k k Z πππππ+++∈， 解得7,1212k xk k Z ππππ++∈， 故()4f x π+的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈，两个单调区间的公共区间为[,],123k k k Z ππππ++∈，所以此函数的“4LD π-”区间为[,],123k k k Z ππππ++∈．故选：C ．9．（5分）226(2)(1)x x +-的展开式中，5x 的系数为( ) A ．52-B ．88-C ．62-D ．110-【解答】解：因为226426426(2)(1)(44)(1)(44)(1)x x x x x x x x +-=++-=++-，则6(1)x -的展开式的通项公式为166()(1)r r rr r r T C x C x +=⋅-=-， 所以原二项式的展开式中含5x 项为41123335555666(1)4(1)4(1)110x C x x C x C x x ⋅-+⋅-+⋅-=-， 所以5x 的系数为110-， 故选：D ．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点M 为此渐近线上的一点，O 为坐标原点．双曲线C 的左、右顶点为A 、B ，焦距为2||OM ，则AM B∠为( )A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π【解答】解：由题意可得渐近线by x a=，即有b a =， 设(,)M m n ，(,0)m n >，可得bn m a=，① 又||OM c =，即222m n c +=，②由①②可得m a =，n b =，即(,)M a b ， 又(,0)A a -，(,0)B a ，可得AB MB ⊥，直线AM 的斜率为tan 2b MAB a ∠== 可得6MAB π∠=， 所以263AMB πππ∠=-=．故选：C ．11．（5分）已知复数z 的模为1，复数23w z z =+，则在复平面内，复数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是( )A ．6B ．254C ．D ．【解答】解：设z x yi =+，(,)x y R ∈，因为||1z =，则221x y +=，22223()3()(3)(23)w z z x yi x yi x y x xy y i =+=+++=-+++，故复数w 对应的点为22(3x y x -+，23)xy y +， 设复数w 所对应的点与点(4,0)的距离为d ， 则22222(34)(23)d x y x xy y =-+-++2222(2134)(23)(1)x x x x =-+-++- 22(1)[(1)(25)(1)(23)]x x x x x =--+-++(1)(1634)x x =--- 2161834x x =--+，对称轴为916x =-，因为[1x ∈-，1]，所以当916x =-时，225625(25)1616max d =-⨯-=， 故254max d =， 所以数w 所对应的点与点(4,0)的距离的最大值是254． 故选：B ．12．（5分）复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利总的计息方法．单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法．小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x 元．如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样，把还款总额记为y 元，则y x -的值为( )（参考数据：121.015 1.2)≈ A ．170-B ．1200C ．1030D ．900【解答】解：由题意可得：121210000(1 1.5%)10000 1.01512000x =⨯+=⨯≈， 1000010000 1.525%1211830y =+⨯⨯=， 1183012000170y x ∴-=-=-，故选：A ．二、填空题：本大愿共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+，则λ=1- ．【解答】解：向量a ，b 的夹角为120︒，||2a =，||1b =，若(3)(2)a b a b λ+⊥+， 则22(3)(2)2(6)324(6)21cos12030a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=++⋅+=⨯++⨯⨯⨯︒+=， 1λ=-，故答案为：1-．14．（5分）已知变量x ，y 满足3303020x y x y x y m -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，若3z x y =+的最小值为5，则实数m = 0 ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立3020x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩，解得6(3m A -，3)3m +，由3z x y =+，化为33x z y =-+，由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为639533m m -++=，解得0m =． 故答案为：0．15．（5分）已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B ，E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），点F 到直线AE 2，则椭圆C 的离心率为102- ． 【解答】解：由题意可得(,0)A a -，设0(E x ，00)0y y >，由四边形OABE 为平行四边形可得1(B x ，0)y ，且OA EB =，所以(a -，100)(x x =-，0)， 所以10x x a =-，即0(B x a -，0)y ，由B ，E 在椭圆上，所以220022220022()11x a y a b x y a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得20220ax a a -=， 解得02ax =，代入可得03y =， 即(2aE 3)， 所以3322AEbb k a a ==+ 所以直线AE 的方程为：3)by x a =+，30ay -=，右焦点(,0)F c 到直线AE的距离d =， 整理可得：23420e e +-=，解得：e ==，由椭圆的离心率可得：e =． 16．（5分）已知数列{}n a 满足：152a =，2*112()2n n n a a a n N +=-+∈，若取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，设1n n na b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021[]T = 2023 ．【解答】解：数列{}n a 满足：152a =，21122n n n a a a +=-+， 整理得111122n n na a a +=---，所以111122n n n a a a +=---． 所以1220211202120211111112222a a a a a a ++⋯+=-=----， 由于2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=+-=->，所以数列{}n a 单调递增， 由于152a =，2218a =，3 2.82a ≈，4 3.16a ≈，故当4n 时，3n a >， 所以20213a >， 12202111112a a a <++⋯+<， 整理得122021111[]2a a a ++⋯+=． 111n n n na b a a +==+， 2021[]202122023T ∴=+=，故答案为：2023．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的取值范围． 【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， (2)cos cos 0b c A a C --=，(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C ∴--=，2sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin()2sin cos sin 0B A C A A C B A A C B A B ∴--=-+=-=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=， (0,)2A π∈，3A π∴=．（2）由（1）知，23B C π+=， 锐角ABC ∆，∴022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62B ππ<<，211cos cos cos cos()cos cos cos sin()3226B C B B B B B B B B ππ∴+=+-=-=+=+，62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，sin()6B π∴+∈，1]， 故cos cos B C+的取值范围为，1]． 18．（12分）在刚刚过去的寒假，由于新冠疫情的影响，哈尔滨市的A 、B 两所同类学校的高三学年分别采用甲、乙两种方案进行线上教学，为观测其教学效果，分别在两所学校的高三学年各随机抽取60名学生，对每名学生进行综合测试评分，记综合评分为80及以上的学生为优秀学生．经统计得到两所学校抽取的学生中共有72名优秀学生．（1）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A 、B 两个学校的高三学年随机抽取3名学生，求所抽取的学生中的优秀学生数的分布列和数学期望；（2）已知A 学校抽出的优秀学生占该校抽取总人数的23，填写列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关．附：2(()()()()n ad K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．【解答】解：（1）由已知，学生为优秀的概率为720.6120=， 记优质学生数为X ，由题意可孩子，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以033(0)(0.4)0.064P X C ===， 123(1)(0.4)0.60.288P X C ==⨯=，223(2)0.4(0.6)0.432P X C ==⋅=，333(3)(0.6)0.216P X C ===，所以X 的分布列为：故X 的数学期望()30.6 1.8E X =⨯=； （2）22⨯列联表如下：所以222()120(40282032) 2.22 2.706()()()()60607248n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关． 19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BB AB AB BC ===，D 为AC 的中点，1AB B D ⊥，190B BC ∠=︒．（1）求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ； （2）求二面角1D BB A --的余弦值．【解答】（1）证明：取AB 中点O ，连接OD 、1OB ，所以//OD BC ， 因为11BB AB =，所以1OB AB ⊥， 又因为1AB B D ⊥，111B DOB B =，所以AB ⊥平面1OB D ，又因为OD ⊂平面1OB D ，所以AB OD ⊥， 因为190B BC ∠=︒，//OD BC ，所以1OD B B ⊥， 又因为1B BAB B =，所以OD ⊥平面11ABB A ，又因为OD ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ， 于是平面11ABB A ⊥平面ABC ．（2）解：由（1）知OD 、OA 、1OB 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB =，1(0BB =，13)，(1BD =，1，0)， 设平面1BB D 的法向量为(m x =，y ，)z ，130BB m y z BD m x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3y =-(3m =，3-1)， 平面1BB A 的法向量为(1n =，0，0)， 所以二面角1D BB A --的余弦值为||321||||71m n m n ⋅==⋅⋅．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，AOB ∆（点O 为坐标原点）的面积为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于P 、Q 两点，设直线OP 、OQ 的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l 恒过定点．【解答】（1）解：根据题意可得焦点(2p F ，0)，因此可得(,),(,)22p pA pB p -， 所以12222AOB pS p ∆=⋅⋅=，解之可得2p =，故可得抛物线的方程为：24y x =．（2）证明：根据题意，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，易知直线l 的斜率存在，假设直线l 的方程为y kx m =+，联立抛物线方程得，224404y kx mky y m y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩， 由韦达定理可得，121244,my y y y k k+==，则222121212122142[()2]444y y m x x y y y y k k +=+=+-=-，2221212244y y m x x k =⋅=， ∴121212164OP OQ y y kk k x x y y m ⋅=⋅==， 12121212122()4OP OQ y y kx x m x x k k x x x x m+++=+==， 又因为tan OP k α=，tan OQ k β=， 所以4tan tan m αβ+=，4tan tan kmαβ⋅=，所以当4παβ+=时，4tan tan tan()141tan tan 1m k m αβαβαβ++===-⋅-，解得44m k =+，所以直线l 的方程即为：444(4)y kx k y k x =++⇔-=+， 即得直线l 恒过定点(4,4)-．21．（12分）已知函数f （x ）＝3（x ﹣1）e x ﹣ek 有两个不同的零点（其中e 为自然对数的底数）．（1）当x ＜﹣1时，求证：（x ﹣1）e x ﹣1＞﹣；（2）求实数k 的取值范围；（3）若函数f （x ）的两个零点为x 1、x 2，求证：＜e ．【解答】证明：（1）当x ＜﹣1时，要证（x ﹣1）e x ﹣1＞﹣，只需证明（x ﹣1）e +1＞0，令x ﹣1＝t ，则t ＜﹣2，设g （t ）＝te +1，则g ′（t ）＝e（1+t ），当t ＜﹣2时，g ′（t ）＜0，在（﹣∞，﹣2）上，g （t ）为单调递减函数， 此时g （t ）＞g （﹣2）＝1﹣＞0，所以原不等式成立． 解：（2）∵f ′（x ）＝3xe x ，当x ＜0时，f ′（x ）＜0，当x ＜0时，当f ′（x ）＞0，可得函数f （x ）在（﹣∞，0）上为单调递减函数，在（0，+∞）上为单调递增函数， 所以f （x ）min ＝f （0）＝﹣3﹣ek ，（i ）当﹣ek ≥3时，f （x ）min ≥0，不合题意，（ii ）当﹣ek ≤0时，f （1）＝﹣ek ，若x ＜1，则f （x ）＜﹣ek ， 当x ≥1时，f （x ）≥ek ，又因为当x ＜﹣1时，由（1）可得f （x ）＞﹣﹣ek ，由﹣﹣ek＞0得x＜2ln（﹣ek）+1，取x0满足x0＜﹣1且x0＜2ln（﹣ek）+1，则f（x0）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）上有唯一的零点，综上所述，﹣＜k＜0．证明：（3）函数f（x）的两个零点为x1、x2，所以3（x1﹣1）e﹣ek＝0，同理3（x2﹣1）e﹣ek＝0，由（1）得（x1﹣1）e ＞﹣，（x2﹣1）e ＞﹣，所以，，所以＜﹣（+），因为x1＜1，所以＜0，所以＞﹣，同理＞﹣，所以＜1＜e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，P为曲线122cos:(1sin2xCyααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，将P点纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的一半得到点Q，记点的轨迹为2C，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+；求|||OA OB 的取值范围． 【解答】解：（1）P 为曲线122cos :(1sin 2x C y ααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点， 设(,)P x y ''，(,)Q x y ，则212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩， 消去x '和y '得到：22(1)1x y -+=．即222x y x +=，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．（2）A ，B 是曲线2C 上不同于O 的两点，且(A 1ρ，)θ、2(,)6B πρθ+； 由于(,)23ππθ∈-，故2(,)636πππθ-∈-，所以|||cos 2sin()[26A B OA OB πρθθθ=-=-∈-，1)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()32f x x =-，()21g x x =-．（1）若()|()||()|h x f x g x =+，且()h x a 恒成立，求实数a 的最大值；（2）若()x ϕ，求()x ϕ的最大值．【解答】解：（1）()32f x x =-，()21g x x =-，()|()||()||32||21||(21)(32)|2h x f x g x x x x x ∴=+=-+--+-=， 当且仅当1322x 时等号成立． ()2min h x ∴=，又()h x a 恒成立，∴实数a 的最大值为2；（2）()x ϕ由柯西不等式可得，()11x ϕ22(11)(22+=．=1x =时等号成立．()x ϕ∴的最大值为2．。

2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三五模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}4,5,6,7A =，{}49B x x =<<，则A B 的子集个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【分析】求出集合A B ，利用集合的子集个数公式可求得结果. 【详解】由已知可得{}5,6,7A B =，因此，A B 的子集个数为328=. 故选：B.2．已知1sin()3πα-=，那么cos2=α（ ）A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】D【分析】根据诱导公式得1sin 3α=，代入二倍角公式即可． 【详解】因()1sin sin 3παα-==，所以2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．故选：D ．3．已知双曲线C ：2221x y a-=的一个焦点为()2,0，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ）A ．0x +=B 0y +=C ．10x -=D 10y +-=【答案】A【分析】根据,,a b c 的关系求出a ，即可得到双曲线的一条渐近线方程．【详解】因为2c =，所以214a +=，所以a =C ：2213x y -=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x =． 故选：A ．4．设x ∈R ，则“230x x -<”是“12x <<”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由23003x x x -<⇒<<，由03x <<不一定能推出12x <<，但是由12x <<一定能推出03x <<， 所以“230x x -<”是“12x <<”的必要不充分条件， 故选：C5．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明.相传它是在商代由商高发现，故又人有称之为商高定理.我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”.西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数､弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……，如勾为21，则弦为（ ） A ．217 B ．219C ．221D ．223【答案】C【分析】根据“弦与股长相差为1”列方程，解方程求得弦. 【详解】设弦为x ，则股为1x -，()22222211211,2211,2212x x x x ++-==+==.故选：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．2D ．12【答案】B【分析】作出几何体的直观图，可知几何体为直三棱柱中截去一个三棱锥而形成，利用柱体和锥体的体积公式可计算出几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为直三棱柱111ABC A B C -中截去三棱锥111A A B C -所形成，结合三视图中的数据可知，几何体的体积为2211123234232V =⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键在于作出几何体的直观图，考查计算能力，属于较易题.7．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为n S ，满足4325a a =+，则9S =（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】∵4325a a =+， ∴()55225a d a d -=-+， ∴55a =， ∴()199********a a S a +===⨯=，故选：C ．8．在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，//CD AB ，222AB AD DC ===，E 为BC 边上中点，AC AE ⋅的值为（ ）A ．1B ．12C ．32D ．2【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出45BAC ∠=以及2AC =，然后根据E 为BC 边上中点得出1122AE AC AB =+，最后将AC AE ⋅转化为21122AC AB AC +⋅，通过计算即可得出结果.【详解】因为AD AB ⊥，//CD AB ，所以AD CD ⊥， 因为AD CD =，所以45DACBAC，2AC =因为E 为BC 边上中点，所以1122AE AC AB =+，则()211112222AC AE AC AC AB AC AB AC ⋅=⋅+=+⋅2221111cos 2+2222222AC AB AC BAC =+⋅⋅∠=⨯， 故选：D.9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(0,22M x 到焦点F 的距离032MF x =，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5【答案】B【分析】由抛物线的定义可知02pMF x =+，与已知条件结合得0x p =，把点M 的坐标代入抛物线方程即可得解.【详解】由抛物线的定义可知02pMF x =+， ∵032MF x =，∴00322p x x +=，即0x p =, ∵点(0,22M x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，282p ∴= 解得：2p =或2-（舍去）, 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线定义写出02pMF x =+，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题.10．下列说法正确的有（ ） ①回归直线一定过样本点中心(),x y ；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人．为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为5，则另一组数据11x +，21x +，…，1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：012(6)21006162678=⨯+⨯+⨯=．A ．①④B ．①②C ．③④D ．①③【答案】A【分析】根据回归直线定义，分层抽样公式，方差计算公式以及进制转换公式即可判断选项． 【详解】①回归直线一定过样本点中心(),x y ，正确； ②应从高三年级抽取2001200504800⨯=人，故错误； ③设1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，则数据11x +，21x +，…，1n x +的平均数为1x + 所以方差为()()()()()()2222221212111111115n n x x x x x x x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤+--++--+++--=-+-++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故错误；④012(6)21006162678=⨯+⨯+⨯=，正确；故选：A11．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面ABO 的下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，60BAC ∠=︒，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为30OAC ∠=︒，A 地测得最高点H 的仰角为45OAH ∠=︒，则该仪器的垂直弹射高度CH 为（ ）A ．210米 B．C．(210+米 D ．420米【答案】C【分析】在ABC 中利用余弦定理求出AC ，进而在AOC △中可求出,OA OC ，再在AOH △中求出OH ，即可得解．【详解】设BC x =，所以40AC x =+，在ABC 中，60BAC ∠=︒，100AB =，所以，()()22210040210040cos60x x x =++-⨯⨯+⨯，即380x =，40420AC x =+=．在Rt AOC △中，30OAC ∠=︒，所以210,OC OA ==Rt AOH 中，45OAH ∠=︒，所以OH OA ==210CH OC OH =+=+ 故答案为：C ．12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x +=-，当[]1,0x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间()1,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,75⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,7C ．()1,5D ．()5,+∞【答案】B【分析】求得函数()f x 是周期函数，且周期2T =，依题意，只需使函数()y f x =的图象与函数log (2)a y x =+的图象在(1,6)-上有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出()y f x =与log (2)a y x =+的图象，数形结合可得结果.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，所以，对x R ∀∈，(2)()()f x f x f x +=-=， 所以函数()f x 是周期函数，且周期2T =. ()log (2)0()log (2)a a f x x f x x -+=⇔=+，依题意，只需使函数()y f x =的图象与函数log (2)a y x =+的图象在(1,6)-上有5个交点即可. 在同一坐标系中分别作出()y f x =与log (2)a y x =+的图象，由图可知，实数a 满足1log 51log 71a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得57a <<，即实数a 的取值范围是(5,7).故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：在同一坐标系中分别作出()y f x =与log (2)a y x =+的图象，数形结合得到a 满足1log 51log 71a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩.二、填空题13．若复数z 满足()122i z -=，则z 的模长为__________． 255【分析】由(12)2i z -=得212z i=-，两边取模可得结果. 【详解】由(12)2i z -=得212z i =-，所以222512125z i i ====--255. 14．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则ABC 的形状为_____________. 【答案】直角三角形【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状.【详解】cos cos sin a B b A c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=， 即()()sin sin sin sin sin A C A B C C π=+=-=，0C π<<，则sin 0C >，sin 1A ∴=，0A π<<，2A π∴=.因此，ABC 为直角三角形. 故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题. 15．已知直线230x y +-=与圆C ：()()22239x y -+-=相交于A ，B 两点，则ABC 面积为___________.【答案】【分析】计算出AB ，结合圆心到直线230x y +-=的距离求得三角形ABC 的面积. 【详解】圆C 的圆心为()2,3，半径3r =，圆心到直线230x y +-=的距离为d ==所以4AB ==，所以11422ABCSAB d =⨯⨯=⨯故答案为：16．对于正整数i ，设,2(1,2,3,)k i k a i k k =+⋅=，如65,6562a =+⋅对于正整数n 和m ，当2n ≥，2m ≥时，设,1,2,3,(,)i i i i n b i n a a a a =++++，(,)(1,)(2,)(,)S m n b n b n b m n =+++，则(10,9)S =__________．【答案】82435【分析】首先利用分组求和与错位相减法求出()11(,)22n ni n b i n +=+-⨯+，再计算(10,9)S 即可；【详解】解：,1,2,3,(,)i i i i n b i n a a a a =++++()1212222n ni n +⨯+⨯+=+⨯令1212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 则231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯两式相减得()12112121212122212n n n n n T n n ++--=⨯+⨯++⨯-⨯=-⨯-即()1122n n T n +=-⨯+，所以()11(,)22n ni n b i n +=+-⨯+所以()()91(10,9)912310109122S +⎡⎤=+++++⨯-⨯+⎣⎦()1011010910822495108194824352+⨯⎡⎤=⨯+⨯⨯+=+⨯=⎣⎦故答案为：82435 三、解答题17．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><图象经过点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【答案】（1）2()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）依题意可知其周期122T π=，即可求出ω，再根据函数过点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求出ϕ，即可求出函数解析式；（2）由x 的取值范围，求出223x π-的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）由题意知17212122T ππππω==-=，故2ω=， 又sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，262k ππϕπ+=-+，k Z ∈，即223k πϕπ=-+，k Z ∈， 因为ϕπ<，所以23ϕπ=-，所以2()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∵sin y x =在,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在4,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以23sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，222PD AB AD CD ====，E 为线段PA 上一点，且32PE PA =．（1）证明：平面EBC ⊥平面PAC ； （2）求二面角A BC E --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（242． 【分析】（1）由线面垂直的性质得到PA BC ⊥，再由勾股定理逆定理得到AC CB ⊥，即可得到BC ⊥平面PAC ，从而得证；（2）由（1）可知EC CB ⊥，所以ECA ∠即二面角A BC E --的平面角，在Rt EAC △利用锐角三角函数计算可得；【详解】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，∵AD DC ⊥，222PD AB AD CD ====，//AB CD ，如图过C 作CF AB ⊥交AB 于点F ， 所以222BC BF CF =+=，222AC AD CD =+=，所以222AC CB AB +=∴45ACD ∠=︒，AC CB ⊥，又,AC PA ⊂平面PAC ，AC PA A ⋂=，∴BC ⊥平面PAC ，∵BC ⊂平面BCE ，∴平面EBC ⊥平面PAC ． （2）由（1）知BC ⊥平面PAC ，CE ⊂平面BCE ，∴EC CB ⊥， 又有AC CB ⊥，故ECA ∠即二面角A BC E --的平面角，∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥，所以223PA PD AD =-=因为32PE PA =，所以()222232123CE AC AE ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭在Rt EAC △中，242cos 721ACECA EC∠==， 所以二面角A BC E --的余弦值为427． 19．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（1）13； （2）()1E X =.【分析】（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）由已知有1123432101()3C C C P A C ⋅+==， 所以事件A 的发生的概率为13；（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C ⋅+⋅===； 11342104(2)15C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：数学期望为4740121151515E X. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，若C 上一点M 满足43QP OM=，求线段OM 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 不与x 轴重合，可设直线l 的方程为x my =()11,P x y 、()22,Q x y ，将该直线方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由43QP OM =可得出点M 的坐标，将点M 的坐标代入椭圆方程，结合韦达定理可求得2m 的值，再利用弦长公式可求得OM . 【详解】（1）由已知条件可得22b ca c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 因此，椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）若直线l 与x 轴重合，则P 、Q 为椭圆C 的长轴端点，此时43QP OM =不成立.易知点)F，设直线l的方程为x my =()11,P x y 、()22,Q x y ，联立22330x y x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，消去x 得()22310m y ++-=，()()2228431210m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得1223y y m -+=+，12213y y m -=+， 由题意34OM QP =，所以()()121233,44M x x y y ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：1212133x x y y +=，即(1212133my my y y +=，即()()()222212122234331322333m m m m y y y y m m -+--+++=+=-=++，则235m =，所以)212213P m y m Q +-===+故34OM QP =21．已知函数()ln x f x xe ax a x =--．（1）若0a ≤，证明：()f x 在()0,∞+单调递增； （2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）0a e ≤≤．【分析】（1）首先求出函数的导函数，判断导函数的符号，即可得证；（2）求出导函数()(1)x a f x x e x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，再对参数a 分类讨论，说明其单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】（1）()(1)(1)xx a a f x x e a x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， ∵0a ≤，0x >，∴0xe ax->，'()0f x >恒成立．∴()f x 在()0,∞+单调递增． （2）()(1)x a f x x e x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭．1︒当0a ≤，()0f x '≥恒成立，∴()f x 在()0,∞+单调递增，()10f e a =->，0x →时，()f x →-∞，则函数()f x 在定义域内有且只有一个零点舍去．2︒0a =时，()xf x xe =，在()0,∞+单调递增，()()00f x f >=，成立．3︒0a >时，设()xa h x e x =-，2()0xa h x e x'=+>恒成立，∴()h x 在()0,∞+单调递增， 0x →，()h x →-∞，x →+∞，()h x →+∞，∴()h x 在()0,∞+有且仅有一个零点，设为0x ，满足()00000ln ln ln x x ae e x x x a x =⇒=+=， ∴()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，∴()0min 0000()ln ln (1ln )xf x f x x e ax a x a a a a a ==--=-=-，若()0f x ≥恒成立，故min ()0f x ≥， (1ln )01ln 0a a a -≥⇒-≥，a e ≤，综上：0a e ≤≤．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2240x y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）点P 为1C 上任意一点，若OP 的中点Q 的轨迹为曲线2C ，求2C 的极坐标方程； （2）若点M ，N 分别是曲线1C 和2C 上的点，且OM ON ⊥，证明：22OM ON +4为定值． 【答案】（1）()2cos 0ρθρ=≠；（2）证明见解析．【分析】（1）先求出1C 的极坐标方程，设出P ，Q 的极坐标，根据中点坐标公式以及P 在1C 上，即可求解；（2）设()11,M ρθ，()22,N ρθ，根据OM ON ⊥，得到122πθθ=+，分别代入曲线1C 和2C 的极坐标方程，再根据22221244OM ON ρρ+=+求出22OM ON +4，即可证明.【详解】解：（1）1C 的方程为2240x y x +-=， 将222,cos x y x ρρθ+==代入， 1C ∴极坐标方程：4cos ρθ=，设()',P ρθ，(),Q ρθ，则1'2ρρ=， Q 的轨迹方程：()2cos 0ρθρ=≠；（2）设()11,M ρθ，()22,N ρθ，114cos ρθ=，222cos ρθ=，122πθθ=+，2222122212222222224416cos 44cos 16cos 44cos 216sin 16cos 16OM ONρρθθπθθθθ+=+=+⨯⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭+== 故22OM ON +4为定值．23．已知函数()43f x x =-，()32g x x =-．（1）若()()()h x f x g x =-，且()h x a ≤恒成立，求实数a 的最小值． （2）若()x ϕ，求()ϕx 的最大值．【答案】（1）2；（2）2．【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()h x 的最大值，进而可得结果； （2）由柯西不等式可得结果.【详解】（1）()()()343232342h x x x x x =---≤---=，当且仅当2,3x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时成立，∴max ()2h x =，2a ≥，故a 的最小值为2． （2）()x ϕ=24,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由柯西不等式得：()22222411⎡⎤=++≥⎣⎦，当且仅当1x =时取等号.∴()2x ϕ≤，()ϕx 最大值为2．。

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

哈三中2021届高三数学第五次模拟考试试题 理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考试说明：本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试时间是是120分钟．1．在答题之前，考生先将本人的姓名、准考证号码填写上清楚．2．选择题必须使需要用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 〔选择题，一共60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1． 复数i i z i a z (2,321+=-=为虚数单位)，假设21z z 是纯虚数，那么实数=aA ．23-B ．23C ．3-D ．3 2． 集合2{|230,}A x x x x Z =--≤∈，集合{|0}B x x =>，那么集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3． 向量(2,3)=-a ，b (3,)x =，假设a //b ，那么实数=xA ．2-B ．2C ．29-D ．294． 设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，那么,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5． 将函数x y 2sin =的图象向左平移6π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，那么2C 的解析式为 A ．)3sin(π+=x y B ．)6sin(π+=x y C ．)3sin(π-=x y D ．)34sin(π+=x y 6． 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数〞，就是如今我们熟悉的“进位制〞，右图所示的是一位母 亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同 绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天 数是A ．27B ．42C ．55D ．210 7． 设公比为3的等比数列}{n a 前n 项和为n S ，且313S =，那么567a a a ++= A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 8． 某几何体的三视图如下图，其中正视图和侧视图都是上底为1，下底为2，高为1的直角梯形，俯视图为四 分之一个圆，那么该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．43π9．函数())4f x x π=+，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…，依此类推，2020()4f π=正视图侧视图A ．．0 D ．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，那么平面1AD E 截该正方体所得的截面面积为A ．B ．．4 D ．9211．给出以下命题，其中真命题为① 用数学归纳法证明不等式111112...(2,)23422n n n n N --++++>≥∈时，当1(2,)n k k k N =+≥∈时，不等式左边应在(2,)n k k k N =≥∈的根底上加上12k ；② 假设命题p ：2000,220x R x x ∃∈-+<，那么2:,220p x R x x ⌝∀∈-+≥；③ 假设0,0,4a b a b >>+=，那么112ab ≥； ④ 随机变量2~(,)X N μσ，假设(2)(0)P X P X >=<，那么1μ=． A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．②③12．R b a ∈,，那么222)21()(b a b a --+-的最小值为A ．42B ．81C ．22D ．41第二卷 〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为 ．14．数列}{n a 的前n 项和为n S ，2,3211=+=++a n a a n n ，那么11S = ． 15．2021年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放HY 医疗队于除夕夜飞抵，各医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者〞的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导〞活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，一共有种辅导方案．16．设'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导数，当0x >时，()'()ln 0f x f x x x +⋅<，那么不等式(1)()0x f x ->的解集为 ．三、解答题：一共70分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：一共60分． 17．(本小题满分是12分)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．满足A b a c cos 22+=．〔1〕求B ；〔2〕假设3,5==+b c a ，求ABC ∆的面积．18．(本小题满分是12分)为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应HY 号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某拟定出台“房产限购的年龄政策〞．为理解人们对“房产限购年龄政策〞的20 28 36 44 5260年龄态度，在年龄为2060岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购〞的人数与年龄的统计结果如下图：〔1〕由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策〞的支持度有差异？〔2〕假设以44岁为分界点，从不支持“房产限购〞的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人．记抽到44岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．(本小题满分是12分)如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，3=AB ，90∠=︒ABC ，ADE ∆是等边三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，连接EB ，EC 得如图②的几何体．〔1〕假设点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；〔2〕假设3=EC ，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322假设存在，求EBEF的值；假设不存在，请说明理由．20．(本小题满分是12分)抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13422=+y x 的一个焦点． 〔1〕 求抛物线C 的方程；〔2〕 设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，点(1,2)P ，且PM PN ⊥．求证：直线MN 过定点．21．(本小题满分是12分)函数()2ln f x x ax =-()a R ∈．〔1〕 当1a =时，求证：当1x ≥时，()1f x ≤-； 〔2〕 假设函数()f x 有两个零点，求a 的值．〔二〕选考题：一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题．假如多做，那么按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分是10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x 〔t 为参数，0απ≤<〕，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 8)2cos 1(=-．〔1〕 求曲线C 的直角坐标方程及直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时的直角坐标方程； 〔2〕 假设3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求PB PA 11-的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分是10分)函数)0,0()(>>++-=b a b x a x x f ，．〔1〕 当3,1==b a 时，求不等式6)(<x f 的解集； 〔2〕 假设)(x f 的最小值为2，求证：11111≥+++b a ．数学试卷〔理工类〕答案及评分HY一、选择题：二、填空题：13.y = 14.77 15.36 16.(0,1) 三、解答题：17. 〔1〕由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，………………………………….……2分 那么A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，那么A B A sin cos sin 2=,在ABC ∆中,0sin ≠A ,所以21cos =B ,…………………………4分 那么3π=B (6)分（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,从而得ac c a ac c a 3)(9222-+=-+=，…………………………….…………………9分又5=+c a ，所以316=ac ，所以ABC ∆的面积为334.……………….……………12分18.〔1〕由统计数据填22⨯列联表如下:计算观测值20100(3554515)25 6.25 3.841505080204k ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，..................................4分所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策〞的支持度有差异； ..............................................................................................5分〔2〕由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，..........6分根据题意，X 的可能取值是0，1，2,..................................................................................7分计算()262815028C P X C ===，()116228317C C P X C ⋅===，()22281228C P X C ===，.....................................................................................................10分 可得随机变量X 的分布列为：故数学期望为15311012287282E X =⨯+⨯+⨯=（）．......................................................12分19.〔1〕取EA 中点N ,连接MN ,BN ,那么MN 是EAD ∆的中位线,1//,.21//,,//.2,,//.MN AD MN AD BC AD BC AD BCMN CM BN CM ABE BN ABE CM ABE ∴==∴∴⊄⊂∴且且四边形是平行四边形，又平面平面平面.................................................................................................................................................5分 〔2〕取AD 中点O ,连接OE OC ,,易得AD OE ⊥,AD OC ⊥.在COE ∆中，由62223,3,3=⨯====OE AB OC CE . .,222OE OC CE OE OC ⊥∴=+以O 为原点，分别以射线OE OA OC ,,为z y x ,,轴正半轴建立如下图空间直角坐标系， 那么).6,0,0(),0,2,0(),0,2,3(),0,2,0(E D B A -...................................................7分那么).0,22,0(),6,2,0(),6,2,3(-=-=-= 假设在棱EB 上存在点F 满足题意，设)10(≤≤=λλ,那么(EF λ=，)66,2,2,3(λλλ--=+=EF AE AF . 设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =，那么0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即⎩⎨⎧=-=-+-+,022,0)66()22(3λλλλz y x令1=z ，得平面ADF的一个法向量).1,0,)1(2(λλ--=m .......................................9分又平面EAD的一个法向量)0,0,1(=n ，.........................................................................10分由322,cos =n m ，3221)1(2)1(22=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∴λλλλ， 整理得01232=-+λλ，解得)1(31舍去-==λλ， ∴在棱EB 上存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322，且31=EB EF ...12分 20.〔1〕依题意，2,12==p p，所以x y C 4:2=………………………..……………4分 〔2〕设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442=--n my y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--⋅--y x y x ………6分 化简得0584622=+---m m n n ，………………………………………….…………8分 解得52+=m n 或者12+-=m n 〔舍〕…………………………………….……………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………..……………12分 21.〔1〕当1a =时，()()2ln 2ln 1h x x x x f x x x x-'=-==………..………….…….1分 那么()221x h x x x-+'=-=，由于2y x =-+在()1,+∞上单调递减，存在唯一零点2x = 知()h x ：..................................................................................................................................................3分知()1,x ∈+∞时，()()()22ln 210h x h ≤=-<，即()0f x '<恒成立 知()f x 为()1,+∞上的减函数，即()()11f x f ≤=-，证毕；....................................5分〔2〕等价于2ln xa x=有两个零点，设函数()2ln xg x x =..............................................6分()()22ln ln 0x x g x x-'=≥，解得()ln 2ln 0x x -≤，即0ln 2x ≤≤知()g x ：..................................................................................................................................................9分 当0x →时，()g x →+∞；极小值为()10g =；极大值为()224g ee =；()g x 在()2,e +∞上单调递减，由于()0g x >，当x →+∞时，()0g x →，故()g x 在()2,e +∞上的值域为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭综上，()g x a =有两个零点，有24a e =，即当24a e =时，()f x 有两个零点…….12分22.〔1〕由θθρcos 8)2cos 1(=-得θθρcos 4sin 2=，所以θρθρcos 4sin 22=，由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42=…………….…….3分当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α,由,sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+=ααt y t x 得1tan 11-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分〔2〕当3πα=时，直线l的参数方程为112,1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数〕 将直线l 的参数方程带入x y 42=，得2114122t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232)304t t +-=，12124(243t t t t +=-=-，………..……………...…….8分故12121211112||||3t t PA PB t t t t +--=-==…………………………………...…..10分 23.〔1〕依题意631<++-x x ，解集为)2,4(-……………………………...………5分 〔2〕b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分1)11112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……….……10分制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021届黑龙江省哈三中高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题, 共60分）一.选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设集合，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】对于集合,,对于集合，，故.选.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是A. B. C. D.【答案】B【解析】和为非奇非偶函数，而在内递增，故选.3. 设是等差数列的前n项和,若,那么等于A. 4B. 5C. 9D. 18【答案】B【解析】设等差数列的公差为d,则=,=,所以d=2,a1=,则故选B.4. 已知，则=A. 2B.C.D. 1【答案】D【解析】.故选.5. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】，即。

依题意可得，直线方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆所截得的弦长为，故选D6. 设l,m是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出∥的是A.∥，⊥，⊥B.⊥，⊥，∥C.∥，∥，∥D.∥，∥，⊥【答案】B【解析】由，，可推出与平行、相交或异面，由可推出∥.故选B7. 函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意有，代入直线得，所以，故选.8. 设是数列的前n项和，若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，解得.当时，，，则，即.∴数列是首项为，公比为的等比数列∴故选C.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为A. B.C. D.【答案】D【解析】由三视图的俯视图可知，三棱锥的底面为等腰直角三角形，故体积为.故选. 10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份（届）2014 2015 2016 2017学科竞赛获省级一等奖及以上51 49 55 57学生人数被清华、北大等世界名校录取的103 96 108 107学生人数根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，即，将代入上式，求得，所以选.【点睛】本小题主要考查变量间的相关关系，考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程过样本中心点这个性质，并用哦个回归直线方程进行预测. 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．11. 已知、为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】设与圆相切于点，则因为，所以为等腰三角形，设的中点为，由为的中点，所以，又因为在直角中，，所以①又②，③故由①②③得，，故本题选C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到，由双曲线定义有，列方程即可求离心率的值..12. 设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为，，依题意有，所以，若，则，函数在递增，在递减，在处取得极大值，符合题意，故排除两个选项.当时，，无极值点，排除选项，故选. 【点睛】本小题主要考查的数学知识是：函数与导数，导数与单调性、极值的关系，考查分类讨论的数学思想方法和选择题的解法.涉及函数导数的问题，首先要求函数的定义域，然后对函数求导，将作为消去的条件，然后将函数的导数因式分解，利用选项找特殊值来选择答案.第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知正方形边长为2, 是的中点,则=_________.【答案】2【解析】根据题意.故正确答案为.14. 若实数满足，则的最大值为_________.【答案】5【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 直线与抛物线相交于不同两点,若是中点，则直线的斜率_________.【答案】【解析】设，∵直线与抛物线相交于不同两点∴，，则两式相减得∵是中点∴∴故答案为.16. 已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.【答案】【解析】由于，且为钝角，故，由正弦定理得，故.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 已知函数.（1）当时，求的值域；（2）已知的内角的对边分别为,，求的面积.【答案】(1) (2).【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合，即可求得的值域；（2）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面积.试题解析：（1）由题意知，由.∵∴∴∴（2）∵∴∵∴∵，∴由余弦定理可得∴∴18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟总人数20 36 44 50 40 10将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；课外体育不达标课外体育达标合计男女20 110合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”性别有关？参考公式,其中0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0011.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】【试题分析】（1）根据题目所给数据可填写好表格.（2）通过公式计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.【试题解析】(1)课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200(2)所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.19. 如图，直三棱柱中，且，是棱上的动点，是的中点. （1）当是中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】（1）取中点，连结，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点，以点为原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.【试题解析】（1）取中点，连结，则∥且.因为当为中点时，∥且，所以∥且.所以四边形为平行四边形，∥，又因为，，所以平面；（2）假设存在满足条件的点，设.以为原点，向量方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，平面的法向量，平面的法向量，，解得，所以存在满足条件的点，此时.20. 已知是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点.（1）若，求弦长；（2）为坐标原点,,满足，求直线的方程.【答案】(1) ;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得关于的一元二次方程，由及韦达定理可得的值，从而求出弦长；（2）由可得，即，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出的值，从而求出直线的方程.试题解析：(1)由题意可知过的直线斜率存在，设直线的方程为联立，得∵∴，则∴(2)∵∴∴，即设直线的方程为，联立，得∴，∴，即∴或∴直线的方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】【试题分析】（1）当时，利用导数可求得函数在上递减，在上递增，故最小值为.（2）根据函数的定义域为非负数，得到，由于导函数是否有零点由的正负还确定，故将分成三种情况，讨论函数的单调区间和最小值，由此求得实数的取值范围.【试题解析】（1）当时,.（2）①时, 不成立②时, ,在递增, 成立③时, 在递减, 递增设,,所以在递减,又所以综上: .【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用导数和不等式恒成立来求参数的取值范围.由于函数的导数是个分式的形式，故要将导函数进行通分，通分之后由于分母为正数，故只需要考虑分子的正负，结合一元二次函数的图象与性质，将分类讨论后利用最小值可求得的范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意利用转化公式可得曲线的参数方程和曲线的普通方程；（2）将原问题转化为三角函数问题可得曲线上的点到曲线的距离的最大值.试题解析：（1）由，得，则，即∴曲线的参数方程为（为参数）由（为参数）消去参数，整理得曲线的普通方程为.（2）设曲线上任意一点，点到的距离∵∴∴曲线上的点到曲线的距离的最大值为23. 选修4-5:不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，，求的最小值.【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）当时，不等式等价于，两边平方即可求得解集；（2）对分类讨论，去掉绝对值符号得函数的解析式，可得函数的最小值为，再结合基本不等式即可求出的最小值.试题解析：（1）当时，不等式为两边平方得，解得或∴的解集为（2）当时，，可得，∴∴，当且仅当，即，时取等号.。

2021年高三数学5月综合测试（三模）试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题（40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数：A ．2B ．或2C ．或D ．2．已知命题p ：∃α∈R ，cos (π－α) = cos α；命题q : ∀x ∈R ，x 2+ 1 > 0. 则下面结论正确的是：A. p ∨q 是真命题B. p ∧q 是假命题C. ¬ q 是真命题D. p 是假命题3．若 x 、y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x + 2y ≥1 x ≥y 2x －y ≤1 且向量 a = (3,2)，b = (x ,y )，则 a ·b 的取值范围是：A. [54 ,4]B. [72 ,5]C. [54 ,5]D. [72,4]4. 同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是：A ．B ．C ．D ． 5. 函数f (x )＝|log 2(x ＋1)| 的图象大致是：6. 已知点 F 是抛物线 y 2= 4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN 中点的横坐标为： A. 32B. 2C. 52D. 37. 设函数在R 上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”若给定函数，则下列结论不．成立的是： A. B. C. D.8. 若直角坐标平面内两相异点A 、B 两点满足：① 点A 、B 都在函数 f (x ) 的图象上；② 点A 、B 关于原点对称， 则点对 (A ，B ) 是函数 f (x ) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A ，B ) 与 (B ，A ) 可看作是同一个“姊妹点对”. 已知函数 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+ 2x ，x < 0 x + 1ex ，x ≥0 ，则 f (x ) 的“姊妹点对”有：A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个第二部分 非选择题（110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 不等式的解集为 *** .10. 的展开式的常数项是 *** （用数字作答）.11. 图一是一个算法的流程图，则最后输出的S 是 *** ．12．某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 *** .13. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5组成的无重复数字且大于xx 的“如意四位数”有 *** 个.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14 . （坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为(是参数，)，直线的极坐标方程为，若曲线与直线只有一个公共点，则实数的值是 *** ． 15. （几何证明选做题）如图，⊙O 上一点在直径上的射影为，且，，则⊙O 的半径等于*** .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）已知分别是的角所对的边，且，。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2π C ．76π D ．π 2．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．13．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π4．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．33B ．233C ．3D ．235．已知1011M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 26．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ） A ．724- B ．524- C ．524 D ．7249．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ） A ．5 B ．10 C ．15D ．20 10．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7 C ．5 D ．5或8 11．函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．函数1()ln ||1x f x x +=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年哈三中高三学年第三次模拟考试答案数学试卷（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.C2.B3.A4.A5.D6.A7.B8.C9.D10.C11.B12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.1-14.15.3210-16.2023三、解答题：17．(本小题满分12分)（1）由(2)cos cos 0b c A a C --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=,∴()2sin cos sin 0B A A C -+=，2sin cos sin 0B A B -=10,sin 0,cos ,023B B A A A πππ<<≠=<<∴= ……………………..6分（2）2cos cos cos cos()3B C B B π+=+-22cos cos cos sin sin 33B B B ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1sin cos 22B B =+sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为ABC 为锐角三角形，所以0,022B C ππ<<<<，且3A π=所以632,263B B πππππ<<<+<，所以sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故cos cos B C +的取值范围为,12⎛⎤ ⎥⎝⎦……………………………..12分18．(本小题满分12分)（1）由已知，学生为优秀的概率为720.6120=，记优质学生数为X ，由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3.则033(0)(0.4)0.064P X C ===，123(1)(0.4)0.60.288P X C ===，223(2)0.4(0.6)0.432P X C ===，333(3)(0.6)0.216P X C ===.故X 的分布列为所以X 的数学期望为()30.6 1.8E X =⨯=.………………………………..6分（2）填写列联表如下.计算22120(40282032) 2.22 2.70660607248k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为学生综合测试评分优秀与教学方案有关..……………………………...12分X0123P0.0640.2880.4320.216优秀学生非优秀学生合计甲方案402060乙方案322860合计7248120。

2021届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集I=｛x|x是小于9的正整数｝，集合M=｛1，2，3｝，集合N=｛3，4，5，6｝，则( I M)∩N等于A. ｛3｝B. ｛7，8｝C. ｛4，5，6｝D. {4,5，6，7，8}2. 6.已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，>0，则的值A. 恒为正数B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负3.为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为()A. 240B. 210C. 180D. 604.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为()A. √5B. 2√2C. 2√3D. √135.某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82,16)，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为()参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.683，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.954，P(μ−3σ<X≤μ+ 3σ)=0.997A. 2300B. 3170C. 3415D. 4606. 函数y =−1x+1+1的大致图象是( ) A. B.C. D.7. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的中位线长是( )．A.B. C. D. 8. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)，则函数f(x)在区间[0,π2]的取值范围是( )A. [−√32,1]B. [−12,√32]C. [−√32,√32]D. [−12,1] 9. (x −ax )5的展开式中x 3的系数为10，则实数a 为( ) A. −2B. −1C. 1D. 2 10. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =√3x 有交点，则其离心率的取值范围是( ) A. (1,2)B. (1.2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)11. |101+3i |=( ) A. 103 B. √103 C. 10 D. √1012. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y =10x 2−10x(0<x <8,x ∈N ∗)，若每台产品的售价为70万元，则该产品的生产者可获得的最大利润为( )A. 100万元B. 140万元C. 150万元D. 160万元二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，若BC =6，CD =5，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______．14.设变量x、y满足约束条件{x+y≤3x−y≥−1y≥1，则目标函数z=2x+y的最大值为______．15.已知F是椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆x2+y2=b2相切于点Q，且=，则椭圆C的离心率为．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，A=π3，b−a=1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)sin(A+B)的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：c=5；条件②：cosB=−17．18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：(3)研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907060岁以下140合计300附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图．已知正方体ABCD−A1B1C1D1．(1)平面A1ABB1与平面ABCD是否垂直？为什么？(2)平面ABC1D1与平面BCC1B1是否垂直？为什么？(3)平面ABC1D1与平面A1B1CD是否垂直？为什么？(4)平面ABC1D1与平面ABB1A1是否垂直？为什么？20.已知抛物线y2=2px(p>0)，直线y=x+2是它的一条切线．(1)求p的值；(2)若A(2,4)，过点p(m,0)作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为常数，求实数m的值．21.已知函数f(x)=a(x2−1)−xlnx(Ⅰ)若F(x)=f′(x)，当a=1时，求F(x)的单调区间；2(Ⅱ)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知．曲线C的极坐标方程为ρ=21−cosθ(1)试将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；(2)直线l过点M(m,0)，交曲线C于A、B两点，若1|MA|2+1|MB|2的定值为14，求实数m的值．23.设函数f(x)=2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f(a)=m．(Ⅰ)求m及a的值；(Ⅱ)若实数p，q，r满足p2+2q2+r2=m，证明：q(p+r)≤2．。

2021 年哈三中高三学年第五次模拟考试理科综合试题物理（考试时间：150 分钟试卷满分：300 分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H -1 C-12 O-16 Zn-65 As-75 Cd-112 Sn-119第Ⅰ卷（选择题共126 分）二、选择题：本题共8 小题，每小题 6 分，共48 分。

在每小题给出的四个选项中，第14～18 题只有一项符合题目要求，第19～21 题有多项符合题目要求。

全部选对得6 分，选对但不全得 3 分，有选错的得0 分。

14．许多科学家在物理学发展过程中做出了重大贡献，同时在物理学的重大发现中科学家们总结出了许多物理学方法，下列说法正确的是A．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法是假设法B．汤姆孙发现电子，并通过油滴实验精确测定了元电荷e 的电荷量C．在实验探究加速度与力、质量的关系时，运用了等效替代法D．卢瑟福通过对α 粒子散射实验的研究建立了原子核式结构模型15．公路上行驶的甲乙两辆汽车的位移x-时间t 图像如图中直线 a 和曲线b 所示，t 时刻直线 a 和曲线b 刚好相切，下列说法正确的是A．甲车做匀变速直线运动B．乙车做曲线运动C．t 时刻，甲乙两车速度相等D．前t 秒内，甲乙两车的位移相等16．如图所示，轻弹簧一端系在墙上的O 点，自由伸长到B 点。

现将小物体靠着弹簧（不拴接）并将弹簧压缩到A 点，然后由静止释放，小物体在粗糙水平面上运动到 C 点静止，则A．小物体从A 到B 过程速度一直增加B．小物体从A 到B 过程加速度一直减小C．小物体从B 到C 过程中动能变化量大小小于克服摩擦力做功D．小物体从A 到C 过程中弹簧的弹性势能变化量大小等于小物体克服摩擦力做功17．如图所示，真空中有一正四面体ABCD，P、M、N 分别是AB、CD 和BC 的中点。