一次函数典型例题

一次函数典型例题——几何变换◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝，点A的坐标为（，）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x﹣2（1）将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于点E，求△ABE的面积．一次函数典型例题——几何变换（解析）◆一次函数的基本性质1．已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12．（1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y＝﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y＝﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小．【解答】解：（1）∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣3k2+12的图象经过原点，∴﹣3k2+12＝0，∴，∴k＝﹣2；（2）∵直线y＝﹣2x+9求出此直线与y轴的交点坐标为（0，9），∴﹣3k2+12＝9，∴k＝1或k＝﹣1；（3）∵一次函数的图象平行于y＝﹣2x的图象，∴k﹣2＝﹣2，∴k＝0；（4）∵一次函数为减函数，∴k﹣2＜0，∴k＜2．2．已知一次函数y＝（3m﹣7）x+m﹣1（1）当m为何值时，函数图象经过原点？（2）若图象不经过三象限，求m的取值范围．（3）不论m取何值，直线恒过一定点P，求定点P坐标．【解答】解：（1）∵函数的图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵图象不经过三象限，∴3m﹣7＜0，m﹣1≥0，解得：1≤m＜；（3）∵不论m取何值，直线恒过一定点P，∴当x＝﹣时，y＝﹣1＝，即不论m取何值，直线恒过一定点P，定点P坐标为：（﹣，）．3．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，当x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7．求y与x的函数解析式．【解答】解：∵y1与kx﹣2成正比例，y2﹣3与x成正比例，∴y1＝k1（x﹣2），y2﹣3＝k2x，∴y＝k1（x﹣2）+k2x+3，把x＝1时，y＝4；x＝2时，y＝7代入上式解得，解得：，则y与x的解析式为y＝3x+1．◆图形的平移、旋转、对称4．如图，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A、点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l，若C为直线l上一点，且S△AOC＝3，求点C的坐标．【解答】解：（1）当y＝0，则2x﹣2＝0，解得x＝1；当x＝0时，y＝﹣2，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣2）；（2）将直线AB向上平移3个单位得直线l：y＝2x+1，设C的坐标为（m，2m+1），∵S△AOC＝3，∴|2m+1|＝3，∴2m+1＝±6，解得m＝或﹣，∴C（，6）或（﹣，﹣6）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△P AB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4，令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．（2）∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C（8，0）．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴D（0，﹣6）．（3）存在，理由如下：∵S△P AB＝S△OCD，∴S△P AB＝××6×8＝12．∵点P在y轴上，S△P AB＝12，∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，在第一象限内将线段CA沿同一直线CG向下翻折得到线段CD，点D与点A对应且CD∥x轴，过点D作DE⊥x轴于E点，与GC交于F点．求点F的坐标．【解答】解：连接AF，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3，∴A（3，0），C（0，4），∴OA＝3，OC＝4，∴AC＝＝5，∵CD∥x轴，点D、点A关于直线CF对称，∴CD＝CA＝5．∠DCF＝∠ACF＝∠FGA，∴∠CAF＝∠D＝90°设EF＝x，则DF＝AF，DF＝4﹣x，AE＝2，∴（4﹣x）2﹣x2＝4．解得x＝．∴点F坐标为（5，）．7．如图，一次函数y＝（m+1）x+4的图象与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．（1）则m＝1，点A的坐标为（﹣2，0）．（2）过点B作直线BP与x轴的正半轴相交于点P，且OP＝4OA，求直线BP的解析式；（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的对应的函数表达式．【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵S△OAB＝4，∴×OA×OB＝4，解得OA＝2，∴A（﹣2，0），把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，故答案为：1；﹣2，0；（2）∵OP＝4OA，OA＝2，∴P（8，0），设直线BP的解析式为y＝kx+b，将（8，0），（0，4）代入得，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；（3）设直线AB绕点B顺时针旋转45°得到直线BE，如图，过点A作AF⊥AB交BE于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠F AH＝∠ABO，∴△AOB≌△FHA（AAS），∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴HO＝6，∴F（﹣6，2），设直线BE的解析式为y＝mx+n，则把点F和点B的坐标代入，可得，解得，∴直线BE的解析式为y＝x+4．8．如图，一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）填空：b＝1；（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），∴3＝2+b，解得b＝1，（2）∵一次函数y＝2x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．∴A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，∴OD＝OB﹣BD＝，∴C（1，），设直线l的解析式为y＝mx+n，把A（﹣，0），C（1，）代入得，解得，∴直线l的解析式为y＝x+．9．直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，将直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，（1）求直线CD的解析式；（2）若将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，求直线EF的解析式．【解答】解：∵直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣1；∴A（﹣1，0），B（0，2）．（1）∵直线AB绕点O按逆时针方向旋转90度得到直线CD，∴直线CD与x轴，y轴的交点坐标（﹣2，0），（0，﹣1），设直线CD的解析式是y＝k1x+b1，则，解得．故直线CD的解析式是y＝﹣x﹣1；（2）∵将直线AB绕原点按顺时针方向旋转90度得到直线EF，∴直线EF与x轴，y轴的交点坐标（2，0），（0，1），设直线EF的解析式是y＝k2x+b2，则，解得．故直线EF的解析式是y＝﹣x+1．◆交点问题求范围10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，将直线AB向右平移6个单位长度，得到直线CD，点A平移后的对应点为点D，点B平移后的对应点为点C．（1）求点C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）若点B关于原点的对称点为点E，设过点E的直线y＝kx+b，与四边形ABCD有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，∴B（0，4），A（﹣2，0），将直线AB向右平移6个单位长度，点B平移后的对应点为点C为（6，4）；（2）∵A（﹣2，0），∴D（4，0），解得：k＝2，b＝﹣8，∴直线CD的表达式为y＝2x﹣8．把C（6，4），D（4，0）代入y＝kx+b中得，（3）∵点B（0，4）关于原点的对称点为点E（0，﹣4），∴设过点E的直线y＝kx﹣4，把D（4，0）代入y＝kx﹣4中得4k﹣4＝0，∴k＝1，把A（﹣2，0）代入y＝kx﹣4中，∴k＝﹣2∴k≥1或k≤﹣2．11．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝2x﹣4上运动．（1）若点B的坐标是（1，﹣2），把直线AB向上平移m个单位后，与直线y＝2x﹣4的交点在第一象限，求m 的取值范围；（2）当线段AB最短时，求点B的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标是（1，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，把直线AB向上平移m个单位后得y＝﹣x+m﹣1．由，解得，即交点为（，）．由题意，得，解得m＞3；（2）AB最短时有AB⊥CD，设此时直线AB的解析式为y＝﹣x+n，将A（﹣1，0）代入，得0＝﹣×（﹣1）+n，解得n＝﹣．即直线AB的解析式为y＝﹣x﹣．由，解得，所以B点坐标为（，﹣）．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）求点A，B的坐标；（2）若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，结合函数的图象，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）是直线y＝﹣x+2上一点，∴m＝1+2＝3．∴点A的坐标为（﹣1，3）．∴点（﹣1，3）向右平移4个单位长度得到点B的坐标为（3，3）．（2）当直线l：y＝kx﹣2过点A（﹣1，3）时，得3＝﹣k﹣2，解得k＝﹣5．当直线l：y＝kx﹣2过点B（3，3）时，得3＝3k﹣2，解得k＝．如图，若直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与线段AB有公共点，则b的取值范围是k≤﹣5或k≥．练习1．如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出直线l向右平移2个单位得到的直线l1的解析式y＝2x；（2）直接写出直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的解析式y＝x+2；（3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标．【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x，（2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线ly＝2x+4上，这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2），设直线l1的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l1的解析式为：y＝x+2，故答案为y＝x+2；（3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B．∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，设P的坐标为（x，2x+4），∵S△OAP＝2S△OBP，∴OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|，解得x＝﹣或2，∴P（﹣，）或（2，8）．2．如图：一次函数y＝x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【解答】解：（1）由，解得，∴B（3，3）．（2）由题意A（0，2），C（2，0），∴S四边形ABCO＝S△OCB+S△AOB＝×2×3+×2×3＝6．（3）如图，将线段BC绕点B逆时针旋转90得到C′．∵△BCC′是等腰直角三角形，∠BCD＝45°，∴点C′在直线CD上，∵B（3，3），C（2，0），∴C′（6，2），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x﹣1．3．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，BC＝10，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知OC：OB'＝4：3．（1）求点B'的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵OC：OB'＝4：3，∴B′C：OB′＝5：3，∵B′C＝BC＝10，∴OB′＝6，∴B′点的坐标为：（6，0）；（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA，由OB′＝6，OC：OB'＝4：3，∴OC＝8，设AE＝a，则EB′＝EB＝8﹣a，AB′＝AO﹣OB′＝10﹣6＝4，由勾股定理，得a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点E的坐标为（10，3），点C的坐标为（0，8），设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得，∴CE所在直线的解析式为y＝﹣x+8．4．若一次函数y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，求m、n的取值范围．【解答】解：∵y＝（6﹣3m）x+（2n﹣4）不经过第三象限，∴6﹣3m＜0，2n﹣4≥0，故m＞2，n≥2．5．已知直线l1：y＝2x+3与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将直线l1向下平移1个长度单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D，（1）求△AOB的面积；（2）直线l2的表达式；（3）求△CBD的面积．【解答】解：（1）在y＝2x+3中，令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝，所以A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，3），∴S△ABC＝×|3|×＝；（2）把l1：y＝2x+3向下平移1个长度单位后得l2：y＝2x+2；（3）直线l2：y＝2x+2与x轴、y轴的交点C、D的坐标分别为：C（﹣1，0）、D（0，2），∴S△CBD＝×|1|×|3﹣2|＝．216．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 在第一象限内，AB ∥x 轴，点A 的坐标为（5，3），已知直线l ：y ＝x ﹣2（1）将直线l 向上平移m 个单位，使平移后的直线恰好经过点A ，求m 的值（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC 交于点E ，求△ABE 的面积．【解答】解：（1）设平移后的直线方程为y ＝x +b ，把点A 的坐标为（5，3）代入，得3＝×5+b ，解得 b ＝．则平移后的直线方程为：y ＝x +．则﹣2+m ＝，解得 m ＝；（2）∵正方形ABCD 的边长为2，且点A 的坐标为（5，3），∴B （3，3）．把x ＝3代入y ＝x +，得y ＝×3+＝2，即E （3，2）．∴BE ＝3﹣2＝1，∴△ABE 的面积＝×2×1＝1．22。

初中数学《一次函数应用—行程问题》典型例题及答案解析一、单选题1．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一个城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论：①摩托车比汽车晚到1h；②A，B两地的路程为20km；③摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为60km/h；④汽车出发1小时后与摩托车相遇，此时距B地40千米．其中正确结论的个数是()A．2个B．3个C．4个D．1个【答案】B【解析】试题解析：分析图象可知(1)4−3=1，摩托车比汽车晚到1h，正确；(2)因为汽车和摩托车分别从A，B两地去同一城市，从y轴上可看出A，B两地的路程为20km，正确；(3)摩托车的速度为(180−20)÷4=40km/h,汽车的速度为180÷3=60km/h,故(3)错误；(4)根据汽车出发1小时后行驶60km，摩托车1小时后行驶40km，加上20km，则两车行驶的距离相等，此时距B地40千米；故正确；故正确的有3个，故选B.2．小明的爷爷每天坚持锻炼身体，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路漫步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间关系的大致图象的是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】爷爷从家里到公园这一过程，y随着x的增大而增大；打太极这一过程，y保持不变；沿原路漫步回家这一过程，y随着x的增大而减小.故选D.点睛：此题主要根据函数的增减性进行判断.3．已知汽车油箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（）A．Q＝40B．Q＝40C．Q＝40D．Q＝40【答案】C【解析】汽车油箱内有油40L，每行驶100km耗油10L，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的函数表达式为: Q＝40故选: C.4．甲从P地前往Q地,乙从Q地前往P地.设甲离开P地的时间为t( 小时),两人距离Q地的路程为S( 千米),图中的线段分别表示S与t之间的函数关系.根据图象的信息,下列说法正确的序号是( )①甲的速度是每小时80千米；②乙的速度是每小时50千米；③乙比甲晚出发1小时；④甲比乙少用2.25小时到达目的地；⑤图中a的值等于A．①②③④⑤B．①③④⑤C．①③⑤D．①③【答案】C【解析】①由图甲走了300千米，耗时3.75/小时.正确.②由图知乙走了300千米，耗时5/小时.错误.③乙在前一个小时路程没变，所以乙比甲晚出发1小时，正确.④由图知，5-3.75=1.25小时.错误.⑤由题意得，上下两个三角形相似，解得a 正确. 所以①③⑤正确.点睛：本题也可以根据图象信息，在直角坐标系下，看懂横纵坐标所表示的意义及其关系，把两个一次函数解析式求出来，函数的k 就是速度（可解决①②），函数的交点问题，只需要联立一次函数解析式（可解决⑤）.5．目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水.据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升.小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x 分后，水龙头滴出y 毫升的水，请写出y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ． 0.05y x =B ． 5y x =C ． 100y x =D ． 0.05100y x =+【答案】B【解析】由题意得，一分钟滴水1000.055⨯=，所以5y x = 选B.6．在一条笔直的公路上，依次有A 、B 、C 三地．小军、小扬从A 地同时出发匀速运动，小军以2千米/分的速度到达B 地立即返回A 地，到达A 后小军原地休息，小扬途经B 地前往C 地．小军与小扬的距离s （单位：千米）和小扬所用的时间t （单位：分钟）之间的函数关系如图所示．下列说法：①小军用了4分钟到达B 地；②当t=4时，小军和小扬的距离为4千米；③C 地与A 地的距离为10千米；④小军、小扬在5分钟时相遇．其中正确的个数为（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【答案】C【解析】试题解析：由图可知，小军到达B 所用的时间为4分钟，故①正确；当小扬与小军相距8千米时，小军刚好返回A 地，则此时小军行驶的总的时间为8分钟，故小扬的速度为8÷8=1千米/分，∴当t=4时，小军和小扬的距离为：4×（2-1）=4千米，故②正确；∴C 地与A 地的距离为：1×10=10千米，故③正确；∴小军和小扬相遇的时间为：8×2÷（1+2）=分钟，故④错误；故选C ．7．甲乙两车分别从M 、N 两地相向而行，甲车出发1小时后，乙车出发，并以各自的速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的路程S （千米）与甲车所用时间t （小时）之间的函数图象，其中D 点表示甲车到达N 地停止运行，下列说法中正确的是（ ）A ． M 、N 两地的路程是1000千米；B ． 甲到N 地的时间为4.6小时；C ． 甲车的速度是120千米/小时；D ． 甲乙两车相遇时乙车行驶了440千米.【答案】C【解析】试题解析： 0t =时， 560,S = ,M N ∴两地的路程560千米.A 错误. 甲车的速度为()5604401120km/h.-÷= C 正确. 设乙车的速度为km/h v ， 则()()12031440.v +⨯-= 解得100.v =乙车行驶速度为100km/h. 甲车到达N 地的时间为.B 错误. ∵甲车出发1小时后乙车出发，∴乙车出发312-=小时后与甲车相遇. 甲乙两车相遇时乙车行驶了1002200⨯=千米.D 错误.故选：C.8．如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象．下列结论中，错误的是( )A ． 轮船的速度为20 km /hB ． 快艇的速度为40 km /hC ． 轮船比快艇先出发2 hD ． 快艇不能赶上轮船【答案】D【解析】试题解析：观察图象，该函数图象表示的是路程与之间的函数关系，可知轮船出发4小时后被快艇追上，在4小时时快艇和轮船行驶的路程相等，所以错误的是第四个结论．故选D ．9．汽车由A 地驶往相距120 km 的B 地，它的平均速度是30 km /h ，则汽车距B 地的路程s(km )与行驶时间t(h )的函数关系式及自变量t 的取值范围是( )A ． s ＝120－30t(0≤t≤4)B ． s ＝120－30t(t ＞0)C ． s ＝30t(0≤t≤4)D ． s ＝30t(t ＜4)【答案】A【解析】平均速度是30km/h ，∴t 小时行驶30tkm ，∴S=120-30t ，∵时间为非负数，汽车距B 地路程为非负数，∴t≥0，120-30t≥0，解得0≤t≤4．故选A ．10．小明和小亮在同一条笔直的道路上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y （米）与小亮出发的时间t （秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）．A ． 8a =B ． 92b =C ． 123c =D ． 当20t =时， 10y =【答案】D【解析】根据题意， 0t =时，小明出发2秒行驶的路程为8米， 所以，小明的速度824=÷=米/秒，∵先到终点的人原地休息，∴100秒时，小亮先到达终点， ∴小亮的速度5001005=÷=米/秒，∴a=8÷(5-4)=8(秒)，()51004100292b =⨯-⨯+=（米）， 100924123c =+÷=（秒）， ∴小明出发123秒时到达了终点，故A 、B 、C 均正确， 小亮出发20秒，小亮走了205100⨯=米，小明走了22488⨯=米，1008812-=米， ∴小亮在小明前方12米，故D 错误．故选D.【点睛】本题主要考查一次函数的应用，能正确地识图，明确图中的拐点的含义是解题的关键.11．甲乙两辆车分别从A 、B 二地相对开出，2）。

25题一次函数应用专题 一、近五年某某中考一次函数应用题 例1（09某某）某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一X 标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块数1 2 0 B 型板材块数 2 m n设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x X 、按裁法二裁yX 、按裁法三裁z X ，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用．（1）上表中，m =，n =；（2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；（3）若用Q 表示所购标准板材的X 数，求Q 与x 的函数关系式，并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少X ？解：（1）0 ，3．（2）由题意，得x+2y=240，∴y=120–12 x ．2x+3z=180，∴z=60–23x ．（3）由题意，得Q ＝x+y+z=x+120–12 x+60–23x .整理，得 ．Q=180–16x由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧120–12x ≥060–23≥0 解得 x ≤90．【注：事实上，0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当x =90时，Q 最小．此时按三种裁法分别裁90X 、75X 、0X ．例2（07某某）一手机经销商计划购进某品牌的A 型、B 型、C 型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A 型手机x 部，B 型手机y 部．三款手机的进价和预售价如下表：手机型号 A型 B 型 C 型（1）用含x ，y （2）求出y 与x 之间的函数关系式；（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．①求出预估利润P （元）与x （部）的函数关系式；（注：预估利润P ＝预售总额-购机款-各种费用）②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．25．解：（1）60-x-y ； …………………………………………………………………（2分）（2）由题意，得 900x+1200y+1100（60-x-y ）= 61000，整理得 y=2x-50． ………………………………………………………（5分）（3）①由题意，得 P= 1200x+1600y+1300（60-x-y ）- 61000-1500，整理得 P=500x+500． …………………………………………………（7分）②购进C 型手机部数为：60-x-y =110-3x ．根据题意列不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥82x-50≥8110–3x ≥8解得 29≤x ≤34．∴ xX 围为29≤x ≤34，且x 为整数．（注：不指出x 为整数不扣分） …（10分）∵P 是x 的一次函数，k=500＞0，∴P 随x 的增大而增大．∴当x 取最大值34时，P 有最大值，最大值为17500元． ………（11分）此时购进A 型手机34部，B 型手机18部，C 型手机8部． ………（12分）例3（06某某）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图11是反映所挖河渠长度y （米）与挖掘时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）乙队开挖到30米时，用了_____小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了______米； （2）请你求出： ①甲队在0≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式；②乙队在2≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式；③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？解：（1）2；10； ……………………………………………………………………（2分）（2）①设甲队在0≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x ，由图可知，函数图象过点（6，60），∴6 k 1=60，解得k 1=10，∴y =10x . …………………………………………………………………（4分）②设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 2x +b ，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），时)∴22230,650.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得25,20.k b =⎧⎨=⎩ ∴y =5x ＋20． …………………………………………………………（7分）③由题意，得10x ＞5x ＋20，解得x ＞4.所以，4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队. ………………（9分）（说明：通过观察图象并用方程来解决问题，正确的也给分）（3）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时）．设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z 米，依题意，得6050.1012z z --=…………………………………………………（11分） 解得 z =110．答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米． ……………………（12分）例4（05某某）在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y （厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图10所示. 请根据图象提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是______________________，从点燃到燃烧尽所用的时间分别是_______________________.；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？二、一次函数应用——方案设计例5（某某市2009年）某公司为了开发新产品，用A 、B 两种原料各360千克、290千克，试制甲、乙两种新型产品共50件，下表是试验每件新产品所需原料的相关数据： x 的取值X 围；（2）若甲种产品每件成本为70元，乙种产品每件成本为90元，设两种产品的成本总额为y 元，写出成本总额y （元）与甲种产品件数x （件）之间的函数关系式；当甲、乙两种产品各生产多少件时，产品的成本总额最少？并求出最少的成本总额．1．解：（1）依题意列不等式组得94(50)360310(50)290x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ······································· 3分 由不等式①得32x ≤ ························································································· 4分由不等式②得30x ≥ ························································································· 5分 x ∴的取值X 围为3032x ≤≤ ············································································ 6分（2）7090(50)y x x =+- ·············································································· 8分 化简得204500y x =-+200y -<∴，随x 的增大而减小． ··································································· 9分 而3032x ≤≤∴当32x =，5018x -=时，203245003860y =-⨯+=最小值（元） ··················· 11分 答：当甲种产品生产32件，乙种18件时，甲、乙两种产品的成本总额最少，最少的成本总额为3860元． ····························································································· 12分 迁移点拨：本题是一道表格信息题，既考查不等式，又考查一次函数解析式及一次函数最值问题，通常一次函数的最值问题首先油不等式找到x 的取值X 围，进而利用一次函数的增减性在前面X 围的前提下求出最值。

初中数学《一次函数、正比例函数》典型例题及答案解析1．如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是（）A．y=x﹣3. B．y=2x+3. C．y=﹣x+3. D．y=2x﹣3.【答案】C【解析】【分析】根据正比例函数图象确定B点坐标再根据图象确定A点的坐标，设出一次函数解析式，代入一次函数解析式，即可求出．【详解】∵B点在正比例函数y＝2x的图象上，横坐标为1，∴y＝2×1＝2，∴B(1,2)，设一次函数解析式为：y＝kx＋b，∵一次函数的图象过点A(0,3),与正比例函数y＝2x的图象相交于点B(1,2)，∴可得出方程组，解得，则这个一次函数的解析式为y＝−x＋3，故选：C.【点睛】本题主要考查一次函数的解析式和一次函数的图象与性质，熟悉掌握是关键.2．下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（）A．y=. B．y=x+2. C．y=x2. D．y=2x.根据正比例函数的定义条件:k为常数且,自变量次数为1,判断各选项,即可得出答案.【详解】A、,自变量次数不为1,故本选项错误;B、. y＝x＋2,是和的形式,故本选项错误;C、y＝x2,自变量次数不为1,故本选项错误;D、y＝2x ,符合正比例函数的含义,故本选项正确;所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了正比例函数的定义.解题关键是掌握正比例函数的定义条件:正比例函数的定义条件是:k为常数且,自变量次数为1.3．定义(p，q)为一次函数y＝px＋q的特征数．若特征数是(2，k－2)的一次函数为正比例函数，则k的值是()A．0 B．－2 C．2 D．任何数【答案】C【解析】【分析】根据新定义写出一次函数的表达式;由正比例函数的定义确定k的值.【详解】解:根据题意,特征数是(2，k－2)的一次函数表达式为:y=2x+(k-2).因为此一次函数为正比例函数,所以k-2=0,解得:k=2.故选C.【点睛】本题主要考查一次函数、正比例函数的定义,有新意,但难度不大.4．一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为A．y=-2x B．y=2x C．D．设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可．【详解】设该正比例函数的解析式为，正比例函数的图象经过点，，解得，这个正比例函数的表达式是．故选：．【点睛】考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5．在平面直角坐标系中，记直线与两坐标围成的面积为，则最接近( )A．B．C．D．【答案】C【解析】令x=0,y=,令y=0,x=,则直线（k为正整数）与x轴的交点坐标为（,0）,与y轴的交点坐标为（0,）,∴直线与两坐标轴所围成的图形的面积为S k=,当k为正整数时,S k=当k=1,S1=；当k=2,S2=,,=,=,=,故选C.6．已知等腰三角形周长为，则底边长关于腰长的函数图象是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意得y+2x=20,y=-2x+20,∵y＞0且2x＞y,∴-2x+20＞0且2x＞-2x+20,∴5＜x＜10,∴底边长y关于腰长x的函数关系为y=-2x+20（5＜x＜10）,∵k=-2＜0,∴y随x的增大而减小,故选D.7．如果是的正比例函数，是的一次函数，那么是的( )A．正比例函数B．一次函数C．正比例函数或一次函数D．不构成函数关系【答案】B【解析】由题意得:y=kx,x=k1z+b,则y=kk1z+kb,当b≠0时,y是z的一次函数,②当b=0时,y是z的正比例函数,综上所述,y是z的一次函数,故选B．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为一次函数y=-2x+4的图像与x轴交点坐标是(2,0)与y轴交点坐标是(0,4),故选A.9．若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点A（2,4）在函数y=kx的图象上,∴4=2k,解得k=2,∴一次函数的解析式为y=2x,A选项,∵当x=1时,y=2,∴此点在函数图象上,故A选项正确,B选项,∵当x=-2时,y=-4≠-1,∴此点不在函数图象上,故B选项错误,C选项,∵当x=-1时,y=-2≠2,∴此点不在函数图象上,故C选项错误,D选项,∵当x=2时,y=4≠-4,∴此点不在函数图象上,故D选项错误,故选A.10．一辆汽车以平均速度千米/时的速度在公路上行驶，则它所走的路程（千米）与所用的时间（时）的关系表达式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据路程=速度×时间得:汽车所走的路程s（千米）与所用的时间t（时）的关系表达式为:s=60t,故选D.11．正比例函数y=3x的大致图像是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】∵3>0,∴图像经过一、三象限.点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时，y=kx的图象经过一、三象限；当k＜0时，y=kx的图象经过二、四象限.12．已知函数y=k1x和，若常数k1，k2异号，且k1＞k2，则它们在同一坐标系内的图象大致是（如图所示）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先由已知条件常数k1，k2异号，且k1＞k2，得出k1，k2与0的关系，然后根据正比例函数及反比例函数的图象性质作答.解：因为k1，k2异号，且k1＞0，k2＜0，所以函数y=k1x的图象经过第一、三象限，函数的图象在第二、四象限，故选C.13．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿直线y＝－x平移后，点O′的纵坐标为6，则点B平移的距离为()A．4.5 B．6 C．8 D．10【答案】D【解析】根据题意得出O′点的纵坐标进而得出其横坐标，再得出O点到O′的距离，最后得出点B与其对应点B′之间的距离．解：∵点O的坐标为(0,0),△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′,点O的对应点O′在直线y=－x上，且O′点纵坐标为：6，故6=－x，解得：x=−8，即O到O′的距离为10，则点B与其对应点B′之间的距离为10.故选：D点睛：本题考查了函数图象上的点及平移的性质.根据函数解析式求出点的坐标是解题的关键.14．经过以下一组点可以画出函数y＝2x图象的是()A．(0，0)和(2，1) B．(0，0)和(1，2)C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2)【答案】B【解析】分别把各点坐标代入函数y=2x进行检验即可．解答：A. ∵当x=2时,y=4≠1,∴点(2,1)不符合，故本选项错误；B. ∵当x=1时，y=2；当x=0时，y=0，∴两组数据均符合，故本选项正确；C. ∵当x=2时,y=4≠1,∴点(2,1)不符合，故本选项错误；D. ∵当x=−1时，y=−2≠2；∴点(－1，2)不符合，故本选项错误.故选B.15．某正比例函数的图象如图所示，则此正比例函数的表达式为（）A．y=x B．y=x C．y=-2x D．y=2x【答案】A【解析】【分析】本题可设该正比例函数的解析式为y=kx，然后结合图象可知，该函数图象过点A（-2，1），由此可利用方程求出k的值，进而解决问题．【详解】正比例函数的图象过点M(−2,1)，∴将点(−2,1)代入y=kx，得：1=−2k，∴k=﹣，∴y=﹣x，故选：A.【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，牢牢掌握该法求函数解析式是解答本题的关键.16．已知在正比例函数y=（a-1）x的图像中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤1【答案】A【解析】∵y随x的增大而减小，∴a-1<0,∴a<1.故选A.点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时，y=kxb的图象经过一、三象限；当k＜0时，y=kx的图象经过二、四象限.17．正比例函数y=x的大致图像是（）A．A B．B C．C D．D【答案】C【解析】∵1>0,∴正比例函数y=x的大致图像经过一、三象限.故选C.点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时，y=kxb的图象经过一、三象限；当k＜0时，y=kx的图象经过二、四象限.18．已知函数y=（k-1）为正比例函数，则（）A．k≠±1 B．k=±1 C．k=-1 D．k=1【答案】C【解析】由题意得k2=1且k-1≠0,∴k=-1.故选C.19．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8000，13200 B．9000，10000 C．10000，13200 D．13200，15400【答案】C【解析】由题意可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是x、x、（18-2x）辆，派往E市的运输车的辆数为10-x，10-x，2x-10，则总运费W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200．依题意有0≤x≤10,0≤18-2x≤8,解得：5≤x≤9，当x=9时，W 最小 =10000元．故选C．点睛：选择方案问题的方法（1）从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系既可以用函数的图像表示，也可以用方程和不等式表示，构建不同的模型，用不同的方法解决问题．（2）在解决问题中，能适时调整思路，解决问题后，能对解决问题步骤、程序和方法进行总结提炼.20．若m<-1，有下列函数：①(x>0)；②y=-mx+1；③y=mx;④y=（m+1）x．其中y随x的增大而增大的是( )A．①②B．②③C．①③D．③④【答案】A【解析】对于反比例函数，当k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大，故①正确；根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，得出k>0，故④正确.故选A.21．已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则函数y=kx-k的图象大致是（）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】y=kx-k=k(x-1),恒过（1,0）；根据正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则k<0，易得D.故选D.22．如果通过平移直线得到的图象，那么直线必须（）．A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解析】根据“上加下减常数项”，=+.看做由直线向上平移个单位得到.故选C.23．已知一次函数与的图象都经过A（，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积为（）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】根据题意得：a=4，b=-2，所以B(0，4)，C(0，-2)，则△ABC的面积为故选C.24．在糖水中继续放入糖x（g）、水y（g），并使糖完全溶解，如果甜度保持不变，那么y与x的函数关系一定是（）A．正比例函数B．反比例函数C．图象不经过原点的一次函数D．二次函数【答案】A【解析】设原来溶液中有糖ag，水bg，则=，即y=x，为正比例函数.故选A.点睛：本题关键根据甜度不变列比例式求解.25．一次函数y=-x的图象平分（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、三象限D．第二、四象限【答案】D【解析】y=－x的图像平分第二、四象限.故选D.点睛：y=x的图像平分第一、三象限.26．已知正比例函数y=kx（k≠0），当x=–1时，y=–2，则它的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将x=－1，y=－2代入y= kx（k≠0）中得，k=2＞0，∴函数图像经过原点，且经过第一、三象限.故选C.27．已知正比例函数y=（m+1）x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜-1 B．m＞-1 C．m≥-1 D．m≤-1【答案】A【解析】∵y随着x的增大而减小，∴m+1＜0，即m＜－1.故选A.28．已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，–3）在函数上，则y随x的增大而（）A．增大B．减小C．不变D．不能确定【答案】B【解析】将（2，－3）代入函数解析式得：2k=－3，解得k=－＜0，∴y随着x的增大而减小.故选B.29．在正比例函数y=–3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵y随着x的增大而增大，∴－3m＞0，解得m＜0.∴P（m，5）在第二象限.故选B.点睛：正比例函数y=kx（k≠0），若y随着x的增大而增大，那么k＞0；若y随着x的增大而减小，那么k＜0.30．若正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，则k的取值可以是（）A．1 B．0或1C．±1 D．–1【答案】A【解析】∵函数图像经过一、三象限，∴k＞0.故选A.31．关于函数y=2x，下列结论中正确的是（）A．函数图象都经过点（2，1）B．函数图象都经过第二、四象限C．y随x的增大而增大D．不论x取何值，总有y＞0【答案】C【解析】A：当x=2时，y=4≠1，∴函数图像不经过（2，1），故错误；B：k=2＞0，∴函数图像经过一、三象限，故错误；C：k＞0，y随着x的增大而增大，故正确；D：当x＜0时，y＜0，故错误.故选C.点睛：掌握正比例函数图像的性质.32．若一个正比例函数的图象经过点（2，-3），则这个图象一定也经过点（）A．（-3，2）B．（，-1）C．（，-1）D．（-，1）【答案】C【解析】∵正比例函数y=kx经过点(2,−3)，∴−3=2k，解得k=−；∴正比例函数的解析式是y=−x；A. ∵当x=−3时，y≠2，∴点(−3,2)不在该函数图象上；故本选项错误；B. ∵当x=时，y≠−1，∴点(,−1)不在该函数图象上；故本选项错误；C. ∵当x=时，y=−1，∴点(,−1)在该函数图象上；故本选项正确；D. ∵当x=时，y≠1，∴点(1,−2)不在该函数图象上；故本选项错误。

《一次函数的图象》典型例题例1 某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，（1）分别求出2≤x 和2≥x 时，y 与x 的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？例2 已知一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点)0,6(-A ，与y 轴交于点B ，若AOB ∆的面积为12，且y 随x 增大而减小，求一次函数的解析式．例3 作出53-=x y 的图像．例4 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：(1)当x=-1时y 的值；(2)当y=2时x 的值；(3)图象与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（4）当x 为何制值时0,0,0y y y >=<；（5）当14x -<≤时y 的取值范围；（6）14y -<≤时x 的取值范围；（7）求AOB的面积；（8）方程1302x -+=的解例5 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k 、b 的情况：例 6 在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图像：（1）23-=xy.=（3）2y3=x3+y；（2）x例7 在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B(0，5)，与x轴交点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是(6，0)，点P的坐标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC的面积．参考答案例1 分析 （1）当2≤x 时，一次函数的图像过原点，因此这是正比例函数，它过点)6,2(，因此可求出这个函数的解析式，又当2≥x 时，直线过)6,2(，)3,10(两点，因此也可以求出一次函数的解析式．（2）当每毫升血液中药量在4微克或4微克以上时，就是指4≥y ，求出此时对应的x 的值就能确定药物有效的时间．解 （1）当2≤x 时，设x k y 1=.∵ 6,2==y x ，∴ x y 3=.当2≥x 时，设.2b x k y +=∵ 6,2==y x ，3,10==y x ，∴ ⎩⎨⎧=+=+.310,6222b k b k ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.427,832b k ∴ 当2≥x 时，一次函数的解析式为.42783+-=x y （2）4=y 时，两个函数对应的x 值分别为322,34，634322=-=t （小时），所以有效的时间是6个小时．例2 分析 一次函数的图像与y 轴交于B 点，则B 点坐标为),0(b ，OB 的长为b ，一次函数图像与x 轴交于点)0,6(-A ，则OA=6，由AOB ∆面积为12，则1221=⋅OB OA ，且A 在直线上，则可以求得k 、b 的值． 由又y 随x 增大而减小，则可确定0<k .解 ∵ 一次函数图像与x 轴交于B ，∴ ),0(b B .A 在一次函数图像上，则06=+-b k . ①AOB ∆面积为12，，则1221=⋅OB OA .即12621=⨯⨯b ，4±=b . 代入①式，可得32±=k .而y 随x 增大而减小，∴ 0<k ，则4,32-=-=b k .∴ 一次函数的解析式为.432--=x y例3 解 ∵ 当35=x 时，053=-x ，∴ 35≥x 时，5353-=-=x x y ； 当35<x 时，x x y 3553-=-=.图像如图所示．说明：找出绝对值为0时，自变量的值，以这个值为界，分别从自变量大于这个值及小于这个值两种情况来讨论，这是讨论与绝对值有关问题的常用方法．例4 分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题．解：设一次函数解析式为b kx y +=，∵ 函数图象过点(4，1)和点(-2，4)∴ ⎩⎨⎧=+-=+4214b k b k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=321b k 132y x ∴=-+ 列表：x 0 6132y x =-+ 3 0描点连线得图象（1） 当x=-1时，72y = （2） 当y=2时，x=2；（3） A(6，0)、B(0，3)；（4） x ＜6时，y ＞0；x=6时，y=0；x ＞6时，y ＜0（5） 当14x -<≤时，712y ≤< （6） 当-1≤y ＜4时，-2＜x≤8；（7） 1163922AOB S OA OB =⋅=⨯⨯= （8） 方程1302x -+=的解是x=6 说明：从图象上对应点的坐标来求(1)已知x 值可求y 的值；(2)已知y 的值可求x的值；(3)已知x 的变化范围可求y 的变化范围，反之也可求．函数方程132y x =-+当y 为零时x 的值就是方程方程1302x -+=的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的。

一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

解：由一次函数定义知，，故一次函数的解析式为y=-6x+3。

注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。

如本例中应保证m-3≠0。

二. 点斜型例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解：一次函数的图像过点(2, -1)，，即k=1。

故这个一次函数的解析式为y=x-3。

变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。

三. 两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得，故这个一次函数的解析式为y=2x+4四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2)有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2五. 斜截型例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线；。

当k1=k2，b1≠b2时，直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。

又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2六. 平移型例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

解析：设函数解析式为y=kx+b，直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行直线y=kx+b在y轴上的截距为b=1-2=-1，故图像解析式为七. 实际应用型例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20故所求函数的解析式为Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。

用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 (1)【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 (5)【考点三一次函数的应用——行程问题】 (8)【考点四一次函数的应用——几何问题】 (12)【过关检测】 (16)【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】【答案】(1)() 504500010120y x x=+≤≤；(2)见解析【分析】（1）根据A市的120吨物资运往甲乡x吨，运往乙乡()120x−吨，B市的130吨物资运往甲乡()140x−吨，运往乙乡()110120x−+吨的费用求和，即可确定y与x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费．【详解】（1）解：由题意可得，()()()3001501202001401001101205045000y x x x x x =+−+−+−+=+， 0x ≥，1200x −≥，1400x −≥，1101200x −+≥，x ∴的取值范围是10120x ≤≤，y ∴与x 的函数解析式为()504500010120y x x =+≤≤；（2）500>，y ∴随着x 增大而增大，当10x =时，y 取得最小值，最小值为50104500045500(⨯+=元)，此时从A 市往甲乡运送10吨物资，从A 市往乙乡运送110吨物资，从B 市往甲乡运送130吨物资物资，从B 市往乙乡运送0吨物资，答：运费最低的运送方案是：从A 市往甲乡运送10吨物资，从A 市往乙乡运送110吨物资，从B 市往甲乡运送130吨物资物资，从B 市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键．【变式训练】【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析；(2)120.5,0.650y x y x ==+；(3)见解析．【分析】（1）当150x =时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；（3）根据y 关于x 的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．【详解】（1）解：当150x =时，方案一：1500.8120⨯=（元），方案二：501500.80.755090140+⨯⨯=+=（元），∵120140<，∴小明用方案一购书更划算；（2）解：由题意得：方案一：10.8y x =；方案二：2500.80.750.650y x x =+⨯=+；∴1y 与x 的函数关系式为10.8y x =；2y 与x 的函数关系式为20.650y x =+；（3）解：当12y y >时，即0.80.650x x >+，解得250x >；当12y y <时，即0.80.650x x <+，解得250x <；当12y y =时，即0.80.650x x =+，解得250x =．∴当250x <时，方案一更划算，当250x >时，方案二更划算，当250x =时，方案一和方案二一样划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．(1)求k 1和b 的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和2k 的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元(2)打折前的每次健身费用为25（元），220k =(3)选择方案一所需费用更少．理由见解析【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答；(2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2 ；(3)根据（1）（2）即可得到1122y k x b y k x =+=，，当12y y =时，解得：6x =．即可得到答案． 【详解】（1）解：11y k x b =＋的图象过点()030，和点()10180，，∴130,18010.b k b =⎧⎨=+⎩∴115,30.k b =⎧⎨=⎩．k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元．（2）打折前的每次健身费用为150.625÷=（元）2250.820k =⨯=．（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由（1）知11530k b ==，， ∴11530y x =+．由（2）知220k =，∴2．当12y y =时，153020x x +=，解得：6x =．结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键．【考点二 一次函数的应用——最大利润问题】【答案】(1)5500y x =+(2)当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元【分析】(1)设购进甲商品x 件，则购进乙商品()100x −件，根据题意即可列出y 与x 之间的函数关系式；(2)根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，可得当20x =时，y 取得最大值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得：()()()504015*********y x x x =+−−=+－，∴y 与x 之间的函数关系式为5500y x =+；（2）解：由题意，得1004x x −≥，解得20x ≤．∵5500y x =+，∴，∴y 随x 增大而增大，∴当20x =时，y 的值最大，520500600y =⨯+=，此时1002070−=，答：当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】(1)第一次小冬用550元购进了A ，B 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)A 款玩偶购进20个，B 10个(2)按照A 款玩偶购进15个、B 款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出利润与购进A 款玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半，可以得到A 款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析，即可得到答案．【详解】（1）解：设A 款玩偶购进x 个，B 款玩偶购进()30x −个， 由题意得：()201530550x x +−=，解得：20x =，30x ∴−=302010−=（个），答：A 款玩偶购进20个，B 款玩偶购进10个；（2）解：设A 款玩偶购进a 个，B 款玩偶购进()45a −个，获利y 元， 由题意得：()()()28202015453225y a a a =−+−−=+， A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．()1452a a ∴≤−，解得15a ≤，3225y a =+，由30k =>，可知y 随a 的增大而增大，∴当15a =时，315225270y =⨯+=最大（元），B ∴款玩偶为：451530−=（个），答：按照A 款玩偶购进15个、B 款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．【答案】(1)A 、B 两种模型每件分别需要25元，150元(2)800090w b =−，购进A 模型226件，B 模型29件利润最大为5390元【分析】（1）设购进A ，B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，列方程组求解即可．（2）设购买A 种模型a 件，购买B 种模型b 件，由题意列出方程组，求出b 的范围，再列出W 与b 的函数关系式，求最值即可．【详解】（1）设购进A 、B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，由题意得：105100043550x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得25150x y =⎧⎨=⎩答：A 、B 两种模型每件分别需要25元，150元．（2）设购买A 种模型a 件，B 种模型b 件，25150100008a b a b +=⎧⎨≤⎩， 解得2007b ≥则购买A 种模型为1000015025b−件，即(4006)b −件，则20(4006)30w b b −+⨯=，即800090w b =−∵900−<，∴当b 取最小值时总利润最大，由（2）得2007b ≥，b 为整数，∴当29b =时，800090295390w =−⨯=，∴购进A 模型226件，B 模型29件利润最大为5390元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出方程组，函数关系式，不等式组是解题的关键．【考点三 一次函数的应用——行程问题】 (1)求线段CD 对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【答案】(1)线段CD 对应的函数解析式为110195y x =−(2)货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米(3)轿车到达乙地后，货车距乙地30千米【分析】（1）设线段CD 对应的函数解析式为y kx b =+，由待定系数法求出其解即可；（2）设OA 的解析式为1y k x =货，由待定系数法求出解析式，由一次函数与一元一次方程的关系建立方程求出其解即可．（3）先由函数图象求出货车在轿车到达乙地是时需要的时间，由路程=速度⨯时间就可以求出结论．【详解】（1）解：设线段CD 对应的函数解析式为y kx b =+，由题意，得 80 2.5300 4.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：110195k b =⎧⎨=−⎩．则110195y x =−．答：线段CD 对应的函数解析式为110195y x =−；（2）设OA 的解析式为1y k x =货，由题意，得 13005k =，解得：160k =，60y x ∴=货．∴当y y =货时，11019560x x −=，解得： 3.9x =．离甲地的距离是：3.960234⨯=千米．答：货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米；（3）由题意，得()605 4.530⨯−=千米．答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式训练】 1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a 米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b 米，两架航模距离地面的高度y 米与时间x 分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．(1)直接写出a 、b 的值；(2)求出两架航模距离地面高度y 甲、y 乙（米）与飞行时间x （分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？【答案】(1)20a =，140b =；(2)2020y x =+甲，1550y x =+乙；(3)飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米【分析】（1（2）根据一次函数中一次项系数和常数项的实际意义直接列函数关系式即可．（3）令25y y −=乙甲，解方程得到x 的值，即可得到答案．【详解】（1）6分钟时，乙型航模距离地面高度为：50156140+⨯=（米)，140b ∴=．14020206a −∴==．20a ∴=，140b =．（2）由题意可得：1550y x =+乙，设20y kx =+甲，把(6,140)代入得，620140k +=，解得20k =，2020y x ∴=+甲．（3）()20201550530y y x x x −=+−+=−乙甲， 令25y y −=乙甲，则53025x −=，或53025x −=−，解得11x =，或1x =．答：飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解函数图象表示的意义是解题的关键．【答案】(1)80，6(2)120600y x =−+(3)甲车出发经过1.7h ，2.3h ，3.5h ，两车相距60千米．【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间；（2）找到甲车到达C 地和返回A 地时x 与y 的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；（3）分三种情况，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回A 地时，根据甲、乙两车相距60千米分情况讨论即可求解．【详解】（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间480806t =÷=（小时）；故答案为：80，6；（2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，∴结合函数图象可知，当52x=时，300y=；当5x=时，=0y；设甲车从C地按原路原速返回A地时，即552≤≤x，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y kx b=+，将5(,300),(5,0)2函数关系式得：5+=30025+=0k bk b⎧⎪⎨⎪⎩，解得：120600kb=−⎧⎨=⎩，故甲车从C地按原路原速返回A地时，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：120600y x=−+；（3）由题意可知甲车的速度为：6001205=（千米/时），设甲出发经过m小时两车相距60千米，有以下三种情况：①()12080160480m m+++=，解得 1.7m=②()12080148060m m++=+，解得 2.3m=③()()120 2.560 2.5100m m−+=−+，解得 3.5m=综上，甲车出发经过1.7h，2.3h，3.5h，两车相距60千米，【点睛】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，准确找到等量关系．【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是D C B A→→→，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据动点从点D 出发，首先向点C 运动，此时y 随x 的增加而增大，当点P 在DC 上运动时，y 不变，当点P 在AB 上运动时，y 随着x 的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】解：当点P 由点D 向点C 运动，即04x ≤≤时，114222y AD x x x ==⨯=； 当点P 在BC 上运动，即48x <≤时，14482y =⨯⨯=，是一个定值；当点P 在BA 上运动，即812x <≤时，y 随x 的增大而减小．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P 从B 点出发，以每秒2cm 的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按B C D E F A →→→→→的路线移动，相应的ABP 的面积()2cm S 与点P 的运动时间()t s 的图象如图②所示，且6cm AB =．当230cm S =时，t = ．【答案】7s 或11s【分析】从图象上分析可知，由于速度是2cm/s ，图中04~的过程为P 点在线段BC 上，故428cm BC =⨯=，46~为4CD =，69为6DE =，910~为2EF =，10到b 为FA ，14FA BC DE =+=，1014217b =+÷=，根据ABP ∆的面积为230cm ，底边6cm AB =可知高为10cm ，也就是P 点距离AB 的距离是10cm ，从数据上可知，P 在线段DE 上有一个符合条件的点，在线段AF 上有一个符合条件的点，求出对应的t 值．【详解】解：由图可知， P 点的运动速度为2cm/s ， ()428cm BC ∴=⨯=，()224cm CD =⨯=，()326cm DE =⨯=，()122cm EF =⨯=，()14cm FA BC DE =+=， 2cm 30S =，6cm AB =，∴点P 到AB 的距离为()302610cm ⨯÷=，故可知P 在线段DE 上和线段AF 上各有一个P 点满足条件，当1P 在线段DE 上时：110PD BC +=，()11082cm PD ∴=−=，1()27(s)t BC CD DP ∴=++÷=，当1P 在线段AF 上时：210P F AF =−， ()214104cm P F ∴=−=，2()211(s)t BC CD DE EF FP =++++÷=， 故答案为：7s 或11s ．【点睛】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式．2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形ABCD 中，8BC =，6CD =，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，随着点E 的运动，DCE △的面积也发生变化．(1)写出DCE △的面积y 与AE 的长()08x x <<之间的关系式；(2)当3x =时，求y 的值．【答案】(1)324y x =−+(2)15【分析】（1）可求8DE x =−，由12y CD DE =⋅即可求解；（2）将3x =代入解析式即可求解．【详解】（1）解：由题意得：8DE x =−，∴12y CD DE =⋅16(8)2x =⨯⨯−324x =−+．答：DCE △的面积y 与AE 的长()08x x <<之间的关系式为324y x =−+．（2）解：当3x =时，92415y =−+=， 答：当3x =时，15y =．【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）甲，乙两车在笔直的公路AB 上行驶，乙车从AB 之间的C 地出发，到达终点B 地停止行驶，甲车从起点A 地与乙车同时出发到达B 地休息半小时后立即以另一速度返回C 地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程(y 千米)与乙车行驶的时间(x 小时)之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（ ）①甲车行驶的速度为每小时20千米；②AB 两地之间的距离为420千米；③甲车返回C 地的速度为每小时80千米；④甲车返回C 地比乙车到B 地时间晚2小时．【答案】B【分析】根据第三段函数图象甲车到达B 地后休息半小时，求出乙车的速度，然后根据第一段函数图象，求出甲去B 地速度；求出甲车从A 到B 所用的时间，即可求出AB 的长度；根据返回时，两车在870.50.5−−=小时内行驶的路程为60千米，算出甲返回C 的速度，求出BC 间的长度，即可求出返回C 地时甲用的时间，算出乙到达目的地B 比甲到达B 地多用的时间，即可求出甲车返回C 地比乙车到B 地时间晚3小时．【详解】解：乙车速度80604012−=（千米/时）， 甲车去B 地的速度为：40360603⨯+=（千米/时），甲车去B 地时，两车速度差，60203=（千米/时），第一次相遇后甲车到达B 地时间，80420=（小时），∴甲车从A 地到B 地所用时间为347+=（小时），∴AB 两地之间的距离为607420⨯=（千米），故②正确； 甲车返回时速度，604080870.5−=−−（千米/时），故①错误，故③正确；∴A 、B 两地距离420千米，∴B 、C 两地相距，42060360−=（千米），甲车返回C 地用时，3609802=（小时），乙车比甲车晚到达B 地时间，80240=（小时）， 甲车比乙车晚到达目的地时间，192322+−=（小时），故④错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解决行程问题，解决问题的关键是熟练掌握甲、乙两车行驶路程与速度、时间的关系． AB DC ，B Ð，ABP 的面积为所示，则ACD 面积为 A ．10B ．16C ．18D ．20【答案】A 【分析】由题意知：49455BC DC AD ==−==，，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：根据图2可知当点P 在CD 上运动时，ABP 的面积不变，与ABC 面积相等；且不变的面积是在4x =，9x =之间；所以在直角梯形ABCD 中4BC =，5CD =，5AD =．连接AC ，∴ACD 面积为11541022CD BC ⨯=⨯⨯=故选：A ．【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．A ．第25天的销售量为200件B ．第6天销售一件产品的利润是19元C ．第20天和第30天的日销售利润相等D ．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润【答案】C【分析】根据函数图象分别求出当020t ≤≤，一件产品的销售利润w （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为25w t =−+，当025t ≤≤时，产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为4100y t =+，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．【详解】A 、根据图①可得第25天的销售量为200件，故此选项正确，不符合题意；B 、设当020t ≤≤，一件产品的销售利润w （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为w kt b =+，把025205（，），（，）代入得：252020b k b =⎧⎨+=⎩，解得：125k b =−⎧⎨=⎩，∴25w t =−+，当6t =时，62519w =−+=，故此选项正确，不符合题意；C 、当025t ≤≤时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为11y k t b =+， 把010025200（，），（，）代入得：11110025200b k b =⎧⎨+=⎩，解得：114100k b =⎧⎨=⎩，∴4100y x =+，当20t =时，日销售利润为5420100900wy =⨯⨯+（）=（元）；当30t =时，日销售利润为5150750⨯=（元），∴第20天和第30天销售利润不相等，故此选项错误，符合题意；D 、当18t =时，日销售利润为18254181001204wy =−+⨯+（）（）=（元），当25t =时，日销售利润为52001000⨯=（元）．∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，故此选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．二、填空题 4．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．【答案】6000【分析】设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m −箱，该公司获得利润为y 元，进而得到y 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m −箱，依题意得：0300m <≤，设该公司获得利润为y 元，依题意得：()106800y m m =+−，即44800y m =+，∵40>，y 随着m 的增大而增大，∴当300m =时，y 取最大值，此时430048006000y =⨯+=（元），答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．故答案为：6000．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．【答案】 2400 1248【分析】设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠，把()3060，代入得6030k =，解得2k =，则()2030y t t =<≤，再求出4w t b =+的b 值，然后把26t =代入算得48024w t =−=，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．【详解】解：由题图①知，当天数30t =天时，市场日销售量达到最大60件，由题图②知，当天数30t =天时，每件产品销售利润达到最大40元，所以当天数30t =天时，市场的日销售利润最大，最大利润为2400元；设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠， 把()3060，代入得6030k =，解得2k =，∴日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()2030y t t =<≤， 将点()3040，代人4w t b =+，解得80b =−，所以当2530t ≤≤时，单件产品的销售利润w 与t 之间的函数关系式为()4802530w t t =−≤≤， 当26t =时，48024w t =−=，将26t =时252y t ==，∴此时日销售利润为52241248⨯=（元）．故答案为：2400，1248．【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．【答案】 9,2,9 11680【分析】设x 辆汽车装运食品，y 辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为()20x y −−，根据三种物资共100吨列出等式，求出220y x =−+，再根据每种物资至少装运1辆车，求出x 的取值范围，最后列出总费用w 与x 的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题．【详解】解：设x 辆汽车装运食品，y 辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为()20x y −−， 由题意，得：()20651040x x y y −−=++，∴220y x =−+．∴()2020220x y x x x −−=−−−+=．∵每种物资至少装运1辆车，∴12201x x ≥⎧⎨−+≥⎩． 解得：1912x ≤≤，设总费用为w ，则()12061605220100448016000w x x x x =⨯+⨯−++⨯=−+，∵4800k =−<，∴w 随x 的增大而减小． ∵1912x ≤≤，且为整数， ∴当9x =时，总费最少，最少费用为48091600011680w =−⨯+=元．此时2202y x =−+=．故答案为：9,2,9；11680．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，三、应用题 7．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，2cm AB =，4cm BC =，点P从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着B →C →D →A 的方向移动到点A ，设移动过程中三角形PAB 的面积为S （2cm ），移动时间为t （s ）．(1)写出S 与t 之间的函数关系式；(2)①当 1.5s t =时，求三角形PAB 的面积；②当三角形PAB 的面积为23cm 时，求t 的值．【答案】(1)()()(),044,4610,610t t S t t t ⎧<≤⎪=<≤⎨⎪−+<≤⎩(2)①21.5cm ；②3t =或7t =【分析】（1）根据题意可分当点P 在BC 上，当点P 在DC 上，当点P 在DA 上，然后分别求出函数解析式即可；（2）①由（1）可进行求解；②根据（1）中函数解析式，然后把三角形PAB 的面积为23cm 代入进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：①当点P 在BC 上，即04t <≤， ∴11222S AB PB t t =⋅=⨯=；②当点P 在DC 上，即46t <≤，此时三角形PAB 的面积为长方形面积的一半，即为12442S =⨯⨯=； ③当点P 在DA 上，即610t <≤，此时10AP t =-， ∴()112101022S AB AP t t =⋅=⨯−=−+；综上所述：S 与t 之间的函数关系式为()()(),044,4610,610t t S t t t ⎧<≤⎪=<≤⎨⎪−+<≤⎩；（2）解：①当 1.5s t =时，则 1.5cm BP =， ∴21 1.5cm 2S AB BP =⋅=；②由（1）可知：当三角形PAB 的面积为23cm 时，则有：3t =或103t −+=，∴3t =或7t =．【点睛】本题主要是考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 8．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x （人），师生门票总金额为y （元）．(1)分别写出两种优惠方案中y 与x 的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？【答案】(1)方案一：1854y x =+；方案二：14.486.4y x =+(2)当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠(3)学生人数为14人【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）中函数关系式及一次函数的性质可进行求解；（3）由（2）可进行求解．【详解】（1）解：方案一：()133636318542y x x =⨯+⨯−=+；方案二：13363680%14.486.42y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由（1）可知：当两种方案的费用一样多时，则有：185414.486.4x x +=+，解得：9x =，∴当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠；（3）解：由（2）可知：当学生人数为9人时，方案一和方案二的费用一样多，费用即为18954216⨯+=（元）， ∵288216>，∴应选择方案二更优惠，∴14.486.4288x +=，解得：14x =；答：学生人数为14人．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x 张，费用为y 元）方案一：充值500元购买年卡，每张门票80元．方案二：每张门票的单价按图中的折线OAB 所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．(1)当购买15张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？(2)求方案二中y 关于x 的函数关系式，并写出折线OAB 所表示的实际意义．(3)该单位选择哪种购买方案更划算？【答案】(1)按方案一应花费1700元；按方案二应花费1500元(2)()10001590150(15)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩；折线OAB 所表示的实际意义见解析 (3)见解析【分析】（1）方案一：用每张门票的费用乘以购买的数量再加上年卡的费用计算即可，方案二：根据图象作答即可；（2）当015x ≤≤时，设y ax =；当15x >时，设y kx b =+．由待定系数法即可求解；（3）分类讨论当0x ≤15≤和15x >的情况，即可求解．【详解】（1）解：当购买15张门票时，按方案一应花费50080151700+⨯=（元）；按方案二应花费：1500元．（2）解：当015x ≤≤时，设y ax =．将(15,1500)代入，得150015a =．解得100a =．∴100y x =．当15x >时，设y kx b =+．将(15,1500)，(30,2850)代入，得151500302850k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得90150k b =⎧⎨=⎩．∴90150y x =+．∴方案二中y 关于x 的函数关系式为()10001590150(15)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩ 折线OAB 所表示的实际意义为若购买门票的张数不大于15时，则每张的价格是100元；若购买门票的张数大于15时，则每张的价格是90元．（3）解：方案一中:150080y x =+．当0x ≤15≤时，50080100x x +>．∴选择方案二划算．当15x >时，令500+8090150x x >+，解得35x <．∴1535x <<时，选择方案二更划算．令5008090150x x +=+，解得35x =．∴35x =时，选择两种购买方案一样划算．令50080x +<90150x +，解得35x >．∴35x >时，选择方案一更划算．∴当购买门票张数35x <时，该单位选择购买方案二更划算；当购买门票张数35x =时，该单位选择两种购买方案一样划算；当购买门票张数35x >时，该单位选择购买方案一更划算．10．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中）在A、B 两地之间有服务区C ，甲车由A 地驶往服务区C ，乙车由B 地驶往A 地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区C 的路程1y 、2y （单位：千米）与乙车行驶时间x （单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：(1)甲车的速度是________千米/时；。

八年级数学一次函数32道典型题（含答案和解析）1、下列函数中：① y=2πx ；② y=－2x+6；③ y=34x ；④ y=x2+3；⑤ y=32x ；⑥ y=√x ，其中是一次函数的有（ ）个．A.1B.2C.3D.4 答案： C ．解析： ①②③满足自变量次数为1，系数不为零，且自变量不在分母上，故为一次函数．④自变量次数不为1，故不是一次函数． ⑤自变量在分母上，不是一次函数． ⑥自变量次数为12，不是一次函数．考点：函数——一次函数——一次函数的基础．2、 当m= 时，y=（m －4）x 2m+1－4x －5 是一次函数． 答案： 4或0.解析：y=（m －4）x 2m+1－4x －5是一次函数．则 m －4=0或2m+1=1． 解得 m=4或m=0.考点：函数——一次函数——一次函数的基础．3、一次函数y=kx+b 的图象不经过第二象限，则k ，b 的取值范围是（ ）．A. k ＜0，b≥0B. k ＞0，b≤0C. k ＜0，b ＜0D. k ＞0，b ＞0 答案： B ．解析： ① k ＞0时，直线必经过一、三象限，故k ＞0.② 再由图象过三、四象限或者原点，所以b≤0 ．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．4、一次函数y=kx －k 的图象一定经过（ ）．A. 一、二象限B. 二、三象限C. 三、四象限D. 一、四象限 答案： D ． 解析： 解法一：当k ＞0时，函数为增函数，且与y 轴交点在x 轴下方，此时函数经过一、三、四象限．当k ＜0时，函数为减函数，且与y 轴交点在x 轴上方，此时函数经过一、二、四象限．∴一次函数y=kx －k 的图象一定经过一、四象限． 解法二：一次函数y=kx －k=k （x －1）的图象一定过（1,0），即该图象一定经过一、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的性质．5、如果ab ＞0，ac ＜0，则直线y=−ab x+cb 不通过（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 答案： A ．解析：ab ＞0 ，ac ＜0．则a ，b 同号；a ，c 异号；b ，c 异号． ∴−ab ＜0，cb ＜0.∴直线y=−abx+cb 过第二、三、四象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．6、如图，一次函数y=kx+b 和正比例函数y=kbx 在同一坐标系内的大致图象是（ ）．解析：A 、∵一次函数的图象经过一、三、四象限．∴k＞0，b＜0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项错误．B、∵一次函数的图象经过一、二、四象限．∴k＜0，b＞0．∴kb＜0.∴正比例函数y=kbx应该经过第二、四象限．故本选项正确．C、∵一次函数的图象经过二、三、四象限.∴k＜0，b＜0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．D、∵一次函数的图象经过一、二、三象限.∴k＞0，b＞0．∴kb＞0.∴正比例函数y=kbx应该经过第一、三象限．故本选项错误．故选B．考点：函数——一次函数——正比例函数的图象——一次函数的图象．7、下列图象中，不可能是关于的一次函数y=mx－（m－3）的图象的是（）．解析：将解析式变为y=mx+（3－m）较易判断．考点：函数——一次函数——一次函数的图象．8、若一次函数y=－2x+3的图象经过点P1（－5，m）和点P2（1，n），则m n．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．答案：＞．解析：在y=－2x+3中，k=－2＜0.∴在一次函数y=－2x+3中，y随x的增大而减小.∵－5＜1.∴m＞n．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．9、一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A．解析：∵一次函数y=kx+b中，y随着x的增大而减小．∴k＜0.又∵b＜0.∴这个函数的图象不经过第一象限．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k、b的关系．10、已知一次函数y=kx+b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）．A. k＞1，b＜0B. k＞1，b＞0C. k＞0，b＞0D. k＞0，b＜0答案：A．解析：一次函数y=kx+b－x即为y=（k－1）x+b．∵函数值y随x的增大而增大．∴k－1＞0，解得k＞1.∵图象与x轴的正半轴相交，∴b ＜0.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．11、已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为 ． 答案：－1.解析： 由已知得：{ 2k +3＞0k ＜0.解得：−32＜k ＜0. ∵k 为整数． ∴k=－1.考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象与k 、b 的关系．12、在直角坐标系x0y 中，一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）． （1） 求一次函数的表达式．（2） 求一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标．答案：（1） 一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2） 一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）． 解析：（1） ∵一次函数y=kx+6的图象经过点A （2,2）．∴2=2k+6． ∴k=－2.∴一次函数的表达式为：y=－2x+6.（2） 在y=－2x+6中，令x=0，则y=6，令y=0，则x=3.∴一次函数图象与x 轴、y 轴交点的坐标分别为（3,0），（0,6）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．13、设一次函数y=kx+b 的图象经过点P （1,2），它与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，坐标原点为O ，若OA+OB=6，则此函数的解析式是 或 ． 答案： 1．y=－x+3.2．y=－2x+4.解析：因为一次函数y=kx+b的图象经过点P（1,2）．所以k+b=2，即k=2－b．令y=0，则x=−bk =bb−2．所以点A（bb−2，0），点B（0，b）．又因为A，B位于x轴，y轴的正半轴，并且OA+OB=6．所以bb−2+b=6，其中b＞2．解得b=3或b=4.此时k=－1或－2.所以函数的解析式是y=－x+3或y=－2x+4.考点：函数——一次函数——一次函数综合题．14、一次函数y=（m2－1）x+（1－m）和y=（m+2）x+（2m－3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是（）．A. 2B.2或－1C. 1或－1D.－1答案：A．解析：一次函数y=（m2－1）x+（1－m）的图象与y轴的交点P为（0,1－m）．一次函数y=（m+2）x+（2m－3）的图象与y轴的交点Q为（0,2m－3）．因为P和Q关于x轴对称．所以1－m+2m－3=0.解得m=2.考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数图象与几何变换．15、已知直线y=2x－1．（1）求此直线与x轴的交点坐标．（2）若直线y=k1x+b1与已知直线平行，且过原点，求k1、b1的值．（3）若直线y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称，求k2、b2的值．答案：（1）（12，0）．（2）k1=2，b1=0．（3）k2=－2，b2=－1．解析：（1）令y=0，则0=2x－1.∴x=12.∴与x轴的交点坐标为（12，0）．（2）∵y=k1x+b1与y=2x－1平行．∴k1=2.又∵y=k1x+b1过原点．∴b1=0．（3）在直线y=2x－1上任取一点（1,1）．则（1,1）关于y轴的对称点为（－1,1）．又∵y=k2x+b2与已知直线关于y轴对称．则b2=－1．点（－1,1）在直线y=k2x－1上.∴1=－k2－1.∴k2=－2.考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——一次函数图象与几何变换——两条直线相交或平行问题．16、如图所示，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值．（2）解关于x，y的方程组{y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解．（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．答案：（1）b=2．（2）{x=1y=2．（3）直线l3：y=nx+m经过点P．解析：（1）将P（1，b）代入y=x+1，得b=1+1=2．（2）由于P点坐标为（1,2），所以{x=1y=2．（3）将P（1,2）代入解析式y=mx+n得，m+n=2．将x=1代入y=nx+m得y=m+n．由于m+n=2.所以y=2.故P（1,2）也在y=nx+m上．考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数与二元一次方程．17、如图，直线y=kx+b经过A（－1,1）和B（－√7,0）两点，则关于x的不等式组0＜kx+b＜－x的解集为．答案：－√7＜x＜－1.解析：∵直线y=kx+b经过B（－√7,0）点．∴0＜kx+b，就是y＞0，y＞0的范围在x轴的上方．此时：－√7＜x．∵直线y=－x经过A（－1,1）．那么就是A点左侧kx+b＜－x．得：x＜－1.故解集为：－√7＜x＜－1.考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．18、阅读理解：在数轴上，x=1表示一个点，在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线（如图（a）所示），在数轴上，x≥1表示一条射线；在平面直角坐标系中，x≥1表示的是直线x=1右侧的区域；在平面直角坐标系中，x+y－2=0表示经过（2，0），（0,2）两点的一条直线，在平面直角坐标系中，x+y－2≤0表示的是直线x+y－2=0及其下方的区域（如图（b）所示），如果x，y满足{x+2y−2≥03x+2y−6≤0x≥0y≥0，请在图（c）中用阴影描出点（x，y）所在的区域．答案：解析：略．考点：函数——一次函数——一次函数与一元一次不等式．19、甲、乙两人从顺义少年宫出发，沿相同的线路跑向顺义公园，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度跑向顺义公园，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象，请根据题意解答下列问题．（1）在跑步的全过程中，甲共跑了米，甲的速度为米/秒．（2）求乙跑步的速度及乙在途中等候甲的时间．（3）求乙出发多长时间第一次与甲相遇？答案：（1）1．900.2．1.5．（2）乙在途中等候甲的时间是100秒.（3）乙出发150秒时第一次与甲相遇．解析：（1）解：根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒.∴甲的速度为900÷600=1.5米/秒．（2）甲跑500秒的路程是500×1.5=750米.甲跑600米的时间是（750－150）÷1.5=400秒.乙跑步的速度是750÷（400－100）=2.5米/秒.乙在途中等候甲的时间是500－400=100秒．（3）∵D（600,900），A（100,0），B（400,750）．∴OD的函数关系式为y=1.5x，AB的函数关系式为y=2.5x－250.根据题意得{y=1.5xy=2.5x−250．解得x=250.∴乙出发150秒时第一次与甲相遇．考点：函数——一次函数——一次函数的应用．20、如图1是某公共汽车线路收支差额y（单位：万元）（票价总收人减去运营成本）与乘客量x（单位：万人）的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图1分别改画成图2和图3.（1）说明图1中点A和点B的实际意义．（2）你认为图2和图3两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是．（3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图4 中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象．答案：（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）1．图3.2．图2.（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．解析:（1）点A表示这条线路的运营成本为1万元．点B表示乘客数达1.5万人时，这条线路的收支达到平衡．（2）反映乘客意见的是图3.反映公交公司意见的是图2．（3）将图4中的射线AB绕点A逆时针适当旋转且向上平移．考点：函数——一次函数——一次函数的图象——一次函数的应用．x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于点B，连接OA．21、如图，已知一次函数y=−12（1） 求一次函数的解析式．（2） 设点P 为y=−12x+b 上的一点，且在第一象限内，经过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．若△POQ 的面积等于54倍的△AOB 的面积，求点P 的坐标．答案：（1） y=−12x+4．（2） （3，52）或（5，32）.解析：（1） ∵一次函数y=−12x+b 的图象经过点A （2，3）．∴3=（−12）×2+b ．解得b=4.故此一次函数的解析式为：y=−12x+4.（2） 设P （p ，d ），p ＞0．∵点P 在直线y=−12x+4的图象上．∴ d=−12p+4①．∵ S △POQ =54S △AOB =54×12×2×3． ∴ 12pd=154②.①②联立得，{ d =−12p +412pd =154．解得{ p =3d =52或{p =5d =32．∴ 点坐标为：（3，52）或（5，32）.考点：函数——一次函数——求一次函数解析式——一次函数的应用．22、已知：一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．（1） 求a 的值及正比例函数y=kx 的解析式．（2） 点P 在坐标轴上（不与原点O 重合），若PA=OA ，直接写出P 点的坐标．（3） 直线x=m （m ＜0且m≠－4 ）与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式．答案：（1） a=－4，正比例函数的解析式为y=−14x ． （2） P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．解析：（1） ∵一次函数y=12x+3的图象与正比例函数y=kx 的图象相交于点A （a ，1）．∴ 12a+3=1. 解得a=－4. ∴ A （－4,1）． ∴ 1=K×（－4）． 解得k=−14．∴正比例函数的解析式为y=−14x ．（2） 如图1，P 1（－8,0）或P 2（0,2）．（3） 依题意得，点B 坐标为（m ，12m+3），点C 的坐标为（m ，−m4）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 分两种情况： ① 当m ＜－4时．BC=−14m －（12m+3）=−34m －3.AH=－4－m ．则S △ABC =12BC×AH=12（−34m －3）（－4－m ）=38m 2+3m+6.② 当m ＞－4时．BC=（12m+3）+m 4=34m+3.AH=m+4．则S △ABC =12BC×AH=12（34m+3）（m+4）=38m 2+3m+6.综上所述，S △ABC=38m2+3m+6（m≠－4）．考点：函数——平面直角坐标系——坐标与距离——坐标与面积．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征——两条直线相交或平行问题——一次函数综合题．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换．23、已知y 1=x+1，y 2=－2x+4，当－5≤x≤5时，点A （x ，y 1）与点B （x ，y 2）之间距离的最大值是 ． 答案：18.解析： 当x=5时，y 1=6，y 2=－6．当x=－5时，y 1=－4，y 2=14．∴ A （5,6），B （5，－6）或A （－5，－4），B （－5,14）. ∴ AB=6－（－6）=12或AB=14－（－4）=18. ∴ 线段AB 的最大值是18．考点：函数——一次函数——一次函数的性质．24、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−4x+8与x轴，y轴分别交于点A，点B，点3D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C 处．（1）求AB的长和点C的坐标．（2）求直线CD的解析式．答案: （1）AB=√62+82=10，点C的坐标为C（16，0）．（2）直线CD的解析式为y=3x－12．4解析：（1）根据题意得A（6,0），B（0,8）．在RT△OAB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8．∴AB=√62+82=10．∵△DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC．∴AC=AB=10．∴OC=OA+AC=OA+AB=16．∵点C在x轴的正半轴上．∴点C的坐标为C（16,0）．（2）设点D的坐标为D（0，y）（y＜0）．由题意可知CD=BD，CD2=BD2．由勾股定理得162+y2=（8－y）2．解得y=－12．∴点D的坐标为D（0，－12）．可设直线CD的解析式为y=kx－12（k≠0）．∵点C（16,0）在直线y=kx－12上．∴16k－12=0．．解得k=34∴直线CD的解析式为y=3x－12．4考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．25、直线AB：y=－x+b分别与x、y轴交于A、B两点，点A的坐标为（3,0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB:OC=3:1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式．（2）在x轴上方存在点D，使以点A、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并请直接写出点D的坐标．（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．答案：（1）B（0,3），直线BC的解析式为y=3x+3．（2）画图见解析，D1（4,3），D2（3,4）．（3）证明见解析．解析：（1）把A（3,0）代入y=－x+b，得b=3．∴B（0,3）．∴OB=3.∵OB:OC=3:1.∴OC=1．∵点C在x轴负半轴上．∴C（－1,0）．设直线BC 的解析式为y=mx+n ． 把B （0，3）及C （－1,0）代入，得{n =3−m +n =0．解得{m =3n =3．∴直线BC 的解析式为：y=3x+3．（2） 如图所示，D 1（4,3），D 2（3,4）．（3） 由题意，PB=PC ．设PB=PC=X ，则OP=3－x ． 在RT △POC 中，∠POC=90°． ∴ OP 2+OC 2=PC 2． ∴ （3－x ）2+12=x 2． 解得，x=53．∴ OP=3－x=43．∴点P 的坐标（0，43）．考点：函数——平面直角坐标系——特殊点的坐标．一次函数——求一次函数解析式．三角形——全等三角形——全等三角形的性质．26、一次函数y=kx+b （k≠0），当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）． （1） 求此函数的解析式．（2） 若函数的图象与x 轴y 轴分别相交于点A 、B ，求△AOB 的面积．（3） 若点P 为x 轴正半轴上的点，△ABP 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．答案：（1）y=−34x+3.（2）6.（3）（78，0）或（9,0）．解析：（1）当x=－4时，y=6，且此函数的图象经过点（0,3）．代入y=kx+b 有，{−4k +b =6b =3，解得：{k =−34b =3．∴此函数的解析式为y=−34x+3.（2）当y=0时，x=4．∴点A （4,0），B （0,3）． ∴ S △AOB=12×3×4=6.（3）AB=√42+32=5．当点P 为P 1时，BP 1=AP 1.∴在RT △OBP 1中，32+OP 12=（4－OP 1）2． 解得：OP 1=78. ∴ P1（78，0）．当点P 为P 2时，AB=AP 2，∴P 2（9,0）． 故点P 的坐标为（78，0）或（9,0）．考点：函数——一次函数——一次函数与坐标轴交点——求一次函数解析式．三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换． 等腰三角形——等腰三角形的性质．27、已知点A （-4,0），B （2,0）．若点C 在一次函数y=12x+2的图象上，且△ABC 是直角三角形，则点C 的个数是（ ）．A.1B. 2C. 3D.4 答案： B ．解析： 如图所示，当AB 为直角边时，存在C 1满足要求．当AB 为斜边时，存在C 2满足要求．故点C的个数是2．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．28、在平面直角坐标系xOy中，点A（－3,2），点B是x轴正半轴上一动点，连结AB，以AB为腰在x轴的上方作等腰直角△ABC，使AB=BC．（1）请你画出△ABC．（2）若点C（x，y），求y与x的函数关系式．答案：（1）画图见解析．（2）y=x+1.解析：（1）（2）作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F.∴∠AEB=∠BFC=90°．∵A（－3,2）．∴ AE=2，EO=3. ∵ AB=BC ，∠ABC=90°． ∴ ∠ABE+∠CBF=90°． ∵ ∠BCF+∠CBF=90°． ∴ ∠ABE=∠BCF. ∴ △ABE ≌△BCF ． ∴ EB=CF ，AE=BF. ∵ OF=x ，CF=y ． ∴ EB=y=3+（x+2）． ∴ y=x+1．考点：函数——一次函数——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．29、如图，直线l 1：y=12x 与直线l 2：y=－x+6交于点A ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点E 是线段OA 上一动点（E 不与O 、A 重合），过点E 作 EF ∥x 轴，交直线l 2于点F ．（1） 求点A 的坐标．（2） 设点E 的横坐标为t ，线段EF 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3） 在x 轴上是否存在一点P ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请你说明理由．答案:（1） （4,2）．（2） d=6－32t ，其中0＜t ＜4．（3） 存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形．解析：（1）联立{ y =12y =−x +6，解得{x =4y =2．∴点A 的坐标为（4,2）．（2）点E 在直线l 1：y=12x ．∵点E 的横坐标为t ． ∴点E 的纵坐标为12t ．∵ EF ∥x 轴，点F 在直线l 2：y=－x+6上． ∴点F 的纵坐标为12t ．由12t=－x+6，得点F 的横坐标为6－12t ．∴ EF 的长d=6−12t －t=6−32t ． ∵ 点E 在线段OA 上． ∴ 0＜t ＜4．（3） 若∠PEF=90°，PE=EF ．则6−32t=t2，解得t=3.∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（3,0）． 若∠PFE=90°，PF=EF ． 则6−32t=t2，解得t=3. ∵ 0＜t ＜4.∴ P 点坐标为（92，0）．若 ∠EPF=90°． ∴6−32t=2×t2，解得t=125. 此时点P 的坐标为（185，0）．综上，存在点P （3,0），P （92，0），P （185，0），使△PEF 为等腰直角三角形． 考点：函数——一次函数——两条直线相交或平行问题——一次函数的应用——一次函数综合题．三角形——直角三角形——等腰直角三角形．30、规定：把一次函数y=kx+b 的一次项系数和常数项互换得y=bx+k ，我们称y=kx+b 和y=bx+k （其中k.b≠0，且|k|≠|b |）为互助一次函数，例如y=−23x+2和y=2x −23就是互助一次函数．如图，一次函数y=kx+b 和它的互助一次函数的图象l 1，l 2交于P 点，l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点．（1） 如图（1），当k=－1，b=3时． ① 直接写出P 点坐标 ．② Q 是射线CP 上一点（与C 点不重合），其横坐标为m ，求四边形OCQB 的面积S 与m 之间的函数关系式，并求当△BCQ 与△ACP 面积相等时m 的值．（2） 如图（2），已知点M （－1,2），N （-2,0）．试探究随着k ，b 值的变化，MP+NP 的值是否发生变化？若不变，求出MP+NP 的值；若变化，求出使MP+NP 取最小值时的P 点坐标．答案: （1）① （1,2）．② S=2m −16（m ＞13），m=53.（2）随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化．使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．解析：（1）① P （1,2）．② 如图，连接OQ ．∵ y=－X+3与y=3x －1的图象l 1，l 2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 点和C ，D 点． ∴ A （3,0），B （0,3），C （13，0），D （0，－1）．∵ Q （m ，3m －1）（m ＞13）．∴ S=S △OBQ +S △OCQ =12×3×m+12×13×（3m －1）=2m −16（m ＞13）．∴ S △BCQ =S －S △BOC =2m −16−12×3×13=2m −23. 而S △ACP =12×（3−13）×2=83．由S △BCQ=S △ACP ，得2m −23=83，解得m=53．（2） 由{ y =kx +b y =bx +k，解得{ x =1y =k +b ，即P （1，k+b ）．∴随着k ，b 值的变化，点P 在直线x=1上运动，MP+NP 的值随之发生变化． 如图，作点N （-2,0）关于直线x=1的对称点N(4,0)，连接MN 交直线x=1于点P ，则此时MP+NP 取得最小值．设直线MN 的解析式为y=cx+d ，依题意{−c +d =24c +d =0.解得{c =−25y =85.∴直线MN 的解析式为y=−25x+85．令x=1，则y=65，∴P （1，65）．即使MP+NP 取最小值时的P 点坐标为（1，65）．考点：函数——函数基础知识——函数过定点问题.一次函数——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题. 几何初步——直线、射线、线段——线段的性质：两点之间线段最短. 三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.31、新定义：对于关于x 的一次函数y=kx+b （k≠0），我们称函数{y =kx +b （x ≤m ）y =−kx −b （x ＞m ）为一次函数y=kx+b （k≠0）的m 变函数（其中m 为常数）．例如：对于关于x 的一次函数y=x+4的3变函数为{y =x +4（x ≤3）y =−x −4（x ＞3）．（1） 关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为y ，则当x=4时，y=__________． （2） 关于x 的一次函数y=x+2的1变函数为y 1,关于x 的一次函数y=−12x －2的－1变函数为y 2，求函数y 1和函数y 2的交点坐标．（3） 关于x 的一次函数y=2x+2的1变函数为y 1，关于x 的一次函数y=−12x －1的m变函数为y 2．① 当－3≤x≤3时，函数y 1的取值范围是__________（直接写出答案）．② 若函数y 1和函数y 2有且仅有两个交点，则m 的取值范围是__________（直接写出答案）．答案： （1）3.（2）（−83，−23）和（0,2）．（3）①－8≤y 1≤4.②−65≤m ＜−23．解析： （1） 根据m 变函数定义，关于x 的一次函数y=－x+1的2变函数为： {y =−x +1（x ≤2）y =x −1（x ＞2）.∴ x=4时，y 1=4－1=3．∴ y 1=3．（2） 根据定义得：y 1={y =x +2（x ≤1）y =−x −2（x ＞1），y 2={y =−12x −2（x ≤−1）y =12x +2（x ＞−1）． 求交点坐标：① {y =x +2（x ≤1）y =−12x −2（x ≤−1） ，解得{x =−83y =−23． ② {y =x +2（x ≤1）y =12x +2（x ＞−1） ，解得{x =0y =2． ③ {y =−x −2（x ＞1）y =−12x −2（x ≤−1），无解． ④ {y =−x −2（x ＞1）y =12x +2（x ＞−1），无解． 综上所述函数y 1和函数y 2的交点坐标为（−83，−23）和（0,2）．（3）略．考点：函数——一次函数——一次函数的性质——一次函数图象上点的坐标特征——一次函数与二元一次方程——一次函数综合题．32、在平面直角坐标系xOy 中，对于点M （m ，n ）和点N （m ，n’，给出如下定义：若n’={n （m ≥2）−n （m ＜2），则称点N 为点M 的变换点．例如：点（2,4）的变换点的坐标是（2,4），点（－1,3）的变换点的坐标是（－1，－3）．（1） 回答下列问题：① 点（√5，1）的变换点的坐标是 ．② 在点A （－1,2），B （4，－8）中有一个点是函数y=2x 图象上某一点的变换点，这个点是 （填“A”或“B”）．（2） 若点M 在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是 ．（3） 若点M 在函数y=－x+4（－1≤x≤a ，a ＞－1）的图象上，其变换点N 的纵坐标n’的取值范围是－5≤n’≤2，则a 的取值范围是 ．答案: （1）①（√5，1）.② A.（2）－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）6≤a≤9.解析：（1）① 由定义可知，由于√5＞2，所以点（√5，1）的变换点的坐标是（√5，1）．②若点A（－1,2）是变换点，则变换前的点为（－1，－2），－2=－1×2，在函数y=2x上．若点B（4，－8）是变换点，则变换前的点为（4，－8），－8≠4×2，不在函数y=2x上．所以这个点是A．（2）若点M在函数y=x+2（－4≤x≤3）的图象上，设M（x，x+2）．当2≤x≤3时，4≤n’=x+2≤5．当－4≤x＜2时，－4＜n’=－（x+2）≤2．综上，纵坐标n’的取值范围是－4＜n’≤2或4≤n’≤5.（3）当a＞2时，2≤x＜a时，4－a≤n’=－x+4≤2．－1≤x＜2时，－5≤n’=－（－x+4）≤—2．∴只需－5≤4－a≤－2，此时6≤a≤9.当a＜2时，－1≤x≤a，－5≤n’=－（－x+4）≤a－4.此时不满足－5≤n’≤2，故舍去．综上，的取值范围是6≤a≤9．考点：式——探究规律——定义新运算．函数——平面直角坐标系——点的位置与坐标．一次函数——一次函数图象上点的坐标特征．。

《一次函数》典型例题例1已知，当是什么数值时，为正比例函数？例2下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）；（2）；（3）；（4）.例3 判断下列函数关系中，哪些是关于的一次函数（以下各题中的且为常数）？（是一次函数的打√，若不是打×）⑴（）⑵（）(3)（）(4)（）(5)（）(6)（）.例4已知函数，m为何值时，函数是正比例函数？例5已知与成正比例（其中，是常数）（1）求证：是的一次函数；（2）如果时，，时，，求这个一次函数的解析式.参考答案例1 分析：解答此题，只要依据正比例函数的定义，即自变量的系数不为零，自变量的次数为1，列出方程和不等式，就可解出m的值．解：设正比例函数为y=kx(k≠0)，∵正比例函数k≠0，x的指数为1．∴m2+2m≠0，解得m1≠0，m2≠-2，且m2+m-1=1，=-2，m4=1．解得m3∴当m=1时，为正比例函数．说明：一个函数要符合正比例函数的定义，不能只考虑m2+m-1=1而且要考虑m2+2m≠0，所以m=-2时虽然能使x的指数为1，但系数变为零就不是一次函数了．例2 解：（1）即为，其中，，所以是一次函数，也是正比例函数.（2），因为不是整式，所以不能化为的形式，所以不是一次函数，当然也就不能是正比例函数了.（3）经过恒等变形，转化为，其中，.所以是一次函数，也是正比例函数.（4），即为，其中，.所以，是一次函数，但不是正比例函数.说明：判断函数是一次函数、正比例函数，首先看每个函数解析式能否通过恒等变形，转化为的形式，如果的次数是1，且，则是一次函数，否则就不是一次函数；在一次函数中，如果常数项，那么它就是正比例函数.例3 答案: √√╳√√╳.说明：本题考查一次函数的概念，要理解一次函数的概念。

例4解：因为是的正比例函数，所以解得所以当时，是的正比例函数，解析式为.说明：正比例函数应满足自变量指数为1、自变量的系数不为零.例5 分析：要证明是的一次函数，只需证明与的关系式满足的形式，其中为常数，且解：（1）证明：因为与成正比例，所以=（）(是不为零的常数).因为、、是常数，且，所以，所以也是常数，所以是一次函数，即是的一次函数.（2）因为是的一次函数，所以设函数解析式为.因为当时，，当时，，得所以所以所求函数的解析式为.说明：在教学中应强调“谁是谁的函数”.。

一次函数典型例题例1.判断下列函数中，哪些y是x的一次函数？哪些y是x的正比例函数？⑴y＝－x＋1；⑵；⑶；⑷；⑸2x＋3y＝5；⑹xy＝4；⑺.分析：根据一次函数和正比例函数的定义来解答此题．解：⑴y＝x＋1 ，⑶，⑸2x＋3y＝5中y都是x的一次函数，其中，又是正比例函数．例2. 在同一坐标系中画下列函数的图象：⑴y＝2x＋4；⑵y＝2x．并回答：①两直线有何位置关系？②直线y＝2x＋4是由y＝2x经怎样平移而得？分析：函数y＝2x＋4与y＝2x的图象都可用描点法描两个点而画出来．解：⑴由y＝2x＋4知直线过（0，4）和（－2，0）两点；（2）由y＝2x 知直线过原点和（1，2）两点，这两个函数的图象如下图：由图象可知：①直线y＝2x＋4与y＝2x互相平行．②直线y＝2x＋4可由直线y＝2x沿y轴向上平移4个单位长度而得．例3. （2006·新疆）如下图，把直线l向上平移2个单位得到直线l’，则l’的表达式为（）A. y＝x ＋l C. y＝x—lB. y＝－x一1 D. y＝一x ＋1分析：两直线平行则k的值相同，向上平移2个单位，只需将原解析式常数项加2即可．解：选D．例4. 等腰三角形的周长为20cm，求底边长y cm与腰长x cm的函数关系式，并画出图象．分析：求实际问题的函数关系式，就是列y与x的方程，再加以变形整理．因为实际问题的自变量取值有一定的限制，所以画出的图象只能是其中的一部分．解：根据题意，得y＝20－2x（5＜x＜10）其图象是过（5，10）和（10，0）两点的线段，如下图所示．例5. 已知y＋m与x＋n成正比例（m、n为常数）：⑴试说明y是x的一次函数；⑵若x＝－3时，y＝5；x＝2时，y＝2．求函数关系式．分析：（1）要说明y是x的—次函数，就要说明y与x满足形如y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数）的关系式．而题目中已知y＋m与x＋n成正比例，便可以设y＋m＝k（x＋n）（k≠0，k为常数），加以变形整理，便可得到y＝kx＋kn－m的形式，其中是k≠0，k、n、m为常数，从而说明y是x的一次函数⑵由⑴可知，y是x的一次函数，我们就可以设解析式为y＝px＋q（p≠0，p、q为常数）代入已知条件，得p、q的方程，从而求出p、q，进而求出解析式．解：⑴设y＋m＝k（x＋n）（k≠0，k为常数），则y＝kx＋kn－m因为其中是k≠0，k、m、n为常数，所以y是x的一次函数．⑵因为y是x的一次函数，故设y＝px＋q（p≠0，p、q为常数）．根据题意，得解得之所以函数关系式为．例6. 一次函数的图象过（3，0），且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式．分析：题目已知了一个点的坐标，要求解析式还需根据另一条件“图象与两坐标轴所围成的三角形面积为9”去求出另一个点的坐标，注意另一个点的坐标的两种情况．解：设一次函数的图象与x轴交于A（3，0），与y轴交于B（0，b），则OA＝3，OB＝｜b｜又因为，所以，即：，解得：b＝±6所以B的坐标为（0，6）或（0，－6）设一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数），则或解之得或所以一次函数的解析式是y＝－2x＋6或y＝2x－6．例7. 如图，一次函数y＝kx＋b与y＝kbx的图象在同一平面直角坐标系里，正确的是（）分析：解这类题的关键是从能确定每个待定系数的符号的函数入手．可以根据正比例函数确定k、b的正负情况再看一次函数的图象是否符合．解：选B．例8. 已知：点（2，m）和（－3，n）都在直线y＝－3x＋1上，试比较m和n的大小，你能想出几种判断的方法？分析：思路一：分别求出m和n的值．思路二：根据一次函数的增减性比较．思路三：画出图象草图，把（2，m）、（－3，n）描出来再比较．解：方法一：根据题意，得m＝－3×2＋1＝－5n＝－3×（－3）＋1＝10所以m<n方法二：在y＝－3x＋1中，因为是k＝－3<0所以y随x增大而减小，而2>－3所以m<n方法三：如下图所示是直线y＝－3x＋1的示意图，由图象可知：m<n．例9. 已知点A（2，2）、B（－4，3）：⑴在y轴上求一点P，使PA＋PB最短；⑵在X轴上求一点Q，使QA＋QB最短．分析：⑴如图1所示，连结AB交y轴于点P，由几何知识可知点P就是使PA＋PB最短的点，因此，我们可先求出直线AB的解析式，再求出它与y轴的交点．⑵如图2所示，画点B关于x轴的对称点B＇，连结AB＇交x轴于Q，由几何知识可知，点Q就是使QA＋QB最短的点．要求这一点的坐标，就是要求直线AB，与x轴的交点坐标，可先求出直线AB＇的解析式，已知A的坐标，只需再求出B＇，而B＇与B关于x轴对称，且B（－4，3），所以B＇（－4，－3）．图1 图2解：（1）连结AB交y轴于P，设直线AB解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数），根据题意得所以直线AB 的解析式为．由x＝0，得，所以．（2）如图2，画B关于x 轴的对称点，则点为（－4，－3），连交x轴于Q ．设直线的解析式为y＝mx＋n（m≠0，m、n为常数），则所以直线的解析式为令y＝0，则所以Q 的坐标为（，0）．。

典型例题例1 判断下列函数关系中，哪些是关于的一次函数（以下各题中的且为常数）？（是一次函数的打√，若不是打×）（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）例2 已知函数，m为何值时，函数是正比例函数？．说明正比例函数应满足自变量指数为1、自变量的系数不为零．例3 已知与成正比例（其中，是常数）（1）求证：是的一次函数；（2）如果时，，时，，求这个一次函数的解析式．分析要证明是的一次函数，只需证明与的关系式满足的形式，其中为常数，且说明在教学中应强调“谁是谁的函数”．例4 某地长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，其图像如图所示．求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李多少公斤．分析由所给的图像可知和时，所对应的y值分别是6和10，通过方程组可求出y与x之间的函数关系式．得到关系式后，由．求得的x值即是最多可免费携带行李的公斤数．说明在实际问题中，求得关系式后应注明自变量的取值范围．例5 （1）如图，分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和t分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（）A．2．5m B．2m C．1．5m D．1m（2002年重庆市中考试题）（2）两个物体A、B所受压强分别为（Pa）与（Pa）（、为常数），它们所受压力F（N）与受力面积s（）的函数关系图像分别是射线，如图所示，则（）A． B． C． D．（2002年辽宁省中考试题）答案：（1）用直接法．由题图所反映出快者和慢者所用的时间均为8秒，快者走了64m，慢者走了64－12＝52（m），所以快者的速度比慢者的速度每秒快（m），故本题应选C．点评本题考查路程、时间、速度之间的变化规律与函数图像的关系．（2）用直接法．由，又图中图像为射线，所以F、S成的是正比例函数，p是定值，如图中虚线所示，∴，故本题应选A．点评本题是物理中压强、压力、受力面积三者之间关系与函数图像结合的一道小型综合题，这样的题很好地考查了学生的综合能力，是今后中考题型发展的方向．习题精选一、选择题（1）当自变量x增大时，下列函数值反而减小的是（）A．B．C．D．（2）对于正比例函数，下列结论正确的是（）A．B．y随x的增大而增大C．D．y随x的增大而减小（3）如果函数的图像经过（－1，8）、（2，－1）两点，那么它也必经过点（）A．（1，－2）B．（3，4）C．（1，2）D．（－3，4）（4）对于一次函数，若，则函数图像不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（5）直线与y轴交点在x轴下方，则b的取值为（）A．B． C． D．（6）如图所示，函数的图像可能是（）（7）已知一次函数的图像经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积是8，则这个函数的解析式是（）A．B．C．或D．或（8）已知直线如图所示，要使y的值为正，自变量x必须满足（）A． B． C． D．（9）下列图像中（如图所示），不可能是关于x的一次函数的图像的是（）（10）对于直线，若b减少一个单位，则它的位置将（）A．向左平移一个单位B．向右平移一个单位C．向下平移一个单位D．向上平移一个单位二、填空题（1）一次函数中，k、b都是_______，且，自变量x的取值范围是_________，当，b__________时，它是正比例函数．（2）若，当时，，则．（3）直线与x轴的交点是_________，与y轴的交点是__________．（4）若函数的图像过第一、二、三象限，则，这时，y随x的增大而________．（5）直线与x轴、y轴交于A、B两点，则的面积为_________．（6）直线若经过原点，则，若直线与x轴交于点（－1，0），则．（7）直线与直线的交点为__________．（8）已知一次函数的图像如图所示，则这个一次函数的解析式为_________．（9）已知函数，当时，有．（10）已知直线上两点和，且，当时，与的大小关系式为___________．三、解答题1．已知与成正比例（其中a、b都是常数）．（1）试说明y是x的一次函数；（2）如果时，；时，，求这个一次函数的解析式．2．已知三点．试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由．四、应用题1．将长为30cm，宽为10cm的长方形的白纸，按图所示方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm．（1）求5张白纸粘合后的长度；（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，写出y与x之间的函数关系式，并求时，y的值．2．对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计的刻度上可以看出，摄氏（℃）温度x与华氏（℉）温度y有如下的对应关系：（1）通过①描点连线；②猜测y与x之间的函数关系；③求解；④验证等几个步骤，试确定y与x之间的函数关系式；（2）某天，A市的最高气温是8℃，澳大利亚悉尼的最高气温是91℉，问这一天悉尼的最高气温比A市的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？3．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内原有60元，2个月后盒内有钱80元．（1）求盒内钱数y（元）与存钱月数x之间的函数关系式；（2）按上述方法，该同学几个月能存够300元？参考答案一、（1）C （2）D （3）C （4）C （5）C（6）D （7）C （8）C （9）C （10）C二、（1）常数，，全体实数，，；（2）－4；（3），（0，－2）；（4），增大；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（1）因为与成正比例，所以（k是不等于0的常数），即．三、1．因为k是不等于0的常数，a、b都是常数，所以也是常数，所以y是x的一次函数；（2）因为时，；时，，所以有解得所以这个一次函数的解析式为．2．在同一条直线上，理由如下：设经过A、B两点的直线为，由，得解得所以经过A、B两点的直线为．当时，．所以在这条直线上．所以三点在同一条直线上．1．（1）5张白纸粘合后的长度为（cm）；（2）（x为大于1的整数）．当时，（cm）．2．（1）①描点连线（略）②通过观察可猜测y是x的一次函数，③设，现将两对数值分别代入，得解得所以．④验证：将其余三对数值分别代入，得；；．结果等式均成立．所以y与x的函数关系式为：．（2）当时，，所以．而（℃），所以这一天悉尼的最高气温比A市的最高气温约高25℃．3．（1）设．因为当时，；当时，，所以解得所以；（2）当时，，所以．所以该同学24个月能存够300元．一次函数习题精选一、选择题（1）当自变量x增大时，下列函数值反而减小的是（）A．B．C．D．（2）对于正比例函数，下列结论正确的是（）A．B．y随x的增大而增大C．D．y随x的增大而减小（3）如果函数的图像经过（－1，8）、（2，－1）两点，那么它也必经过点（）A．（1，－2）B．（3，4）C．（1，2）D．（－3，4）（4）对于一次函数，若，则函数图像不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（5）直线与y轴交点在x轴下方，则b的取值为（）A．B． C． D．（6）如图所示，函数的图像可能是（）（7）已知一次函数的图像经过点，且与两坐标轴围成的三角形面积是8，则这个函数的解析式是（）A．B．C．或D．或（8）已知直线如图所示，要使y的值为正，自变量x必须满足（）A． B． C． D．（9）下列图像中（如图所示），不可能是关于x的一次函数的图像的是（）（10）对于直线，若b减少一个单位，则它的位置将（）A．向左平移一个单位B．向右平移一个单位C．向下平移一个单位D．向上平移一个单位二、填空题（1）一次函数中，k、b都是_______，且，自变量x的取值范围是_________，当，b__________时，它是正比例函数．（2）若，当时，，则．（3）直线与x轴的交点是_________，与y轴的交点是__________．（4）若函数的图像过第一、二、三象限，则，这时，y随x的增大而________．（5）直线与x轴、y轴交于A、B两点，则的面积为_________．（6）直线若经过原点，则，若直线与x轴交于点（－1，0），则．（7）直线与直线的交点为__________．（8）已知一次函数的图像如图所示，则这个一次函数的解析式为_________．（9）已知函数，当时，有．（10）已知直线上两点和，且，当时，与的大小关系式为___________．三、解答题1．已知与成正比例（其中a、b都是常数）．（1）试说明y是x的一次函数；（2）如果时，；时，，求这个一次函数的解析式．2．已知三点．试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由．四、应用题1．将长为30cm，宽为10cm的长方形的白纸，按图所示方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm．（1）求5张白纸粘合后的长度；（2）设x张白纸粘合后的总长度为y cm，写出y与x之间的函数关系式，并求时，y的值．2．对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计的刻度上可以看出，摄氏（℃）温度x与华氏（℉）温度y有如下的对应关系：（1）通过①描点连线；②猜测y与x之间的函数关系；③求解；④验证等几个步骤，试确定y与x之间的函数关系式；（2）某天，A市的最高气温是8℃，澳大利亚悉尼的最高气温是91℉，问这一天悉尼的最高气温比A市的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？3．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内原有60元，2个月后盒内有钱80元．（1）求盒内钱数y（元）与存钱月数x之间的函数关系式；（2）按上述方法，该同学几个月能存够300元？参考答案一、（1）C （2）D （3）C （4）C （5）C（6）D （7）C （8）C （9）C （10）C二、（1）常数，，全体实数，，；（2）－4；（3），（0，－2）；（4），增大；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．（1）因为与成正比例，所以（k是不等于0的常数），即．三、1．因为k是不等于0的常数，a、b都是常数，所以也是常数，所以y是x的一次函数；（2）因为时，；时，，所以有解得所以这个一次函数的解析式为．2．在同一条直线上，理由如下：设经过A、B两点的直线为，由，得解得所以经过A、B两点的直线为．当时，．所以在这条直线上．所以三点在同一条直线上．1．（1）5张白纸粘合后的长度为（cm）；（2）（x为大于1的整数）．当时，（cm）．2．（1）①描点连线（略）②通过观察可猜测y是x的一次函数，③设，现将两对数值分别代入，得解得所以．④验证：将其余三对数值分别代入，得；；．结果等式均成立．所以y与x的函数关系式为：．（2）当时，，所以．而（℃），所以这一天悉尼的最高气温比A市的最高气温约高25℃．3．（1）设．因为当时，；当时，，所以解得所以；（2）当时，，所以．所以该同学24个月能存够300元．。

一次函数典型例题题型一：求解析式例1.已知一次函数y=ax+b的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的解析式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数y的值在-4≤y≤4范围内，求相应的y的值在什么范围内．解：（1）由题意得：202 44a b ab b+==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得∴这个一镒函数的解析式为：y=-2x+4（•函数图象略）．（2）∵y=-2x+4，-4≤y≤4，∴-4≤-2x+4≤4，∴0≤x≤4．练习：已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．题型二：分段函数例2.为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．•小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：（1（不要求写出x的取值范围）；（2）小明回家后，•测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．解：（1）设一次函数为y=kx+b，将表中的数据任取两取，不防取（37.0，70.0）和（42.0，78.0）代入，得21 31 k pk p+=⎧⎨+=-⎩∴一次函数关系式为y=1.6x+10.8．（2）当x=43.5时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．∵77≠80.4，∴不配套．练习：已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，•现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.•1米，B 种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.•9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？解：．①y=50x+45（80-x）=5x+3600．∵两种型号的时装共用A种布料[1.1x+0.•6（80-x）]米，共用B种布料[0.4x+0.9（80-x）]米，∴解之得40≤x≤44，而x为整数，∴x=40，41，42，43，44，∴y与x的函数关系式是y=5x+3600（x=40，41，42，43，44）；②∵y随x的增大而增大，∴当x=44时，y最大=3820，即生产M型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．题型三：图像题例3.小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）•求小明出发多长时间距家12千米？4．（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米．（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1，由C（2，15）、D（3，30），代入得：y=15x-15，（2≤x≤3）．当x=2.5时，y=22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家22.5千米．（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，由E（4，30），F（6，0），代入得y=-15x+90，（4≤x≤6）过A、B两点的直线解析式为y=k3x，∵B（1，15），∴y=15x．（0≤x≤1），•分别令y=12，得x=265（小时），x=45（小时）．答：小明出发小时265或45小时距家12千米．练习：1.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？2.如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系的图象（1）写出y与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？题型四：图像面积、坐标问题例4.已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B•在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．练习：1.如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线的长．2.已知：如图一次函数y=12x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标．一次函数测试题一、选择（每小题3分，共30分）1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y=2x - B ．y=2x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x - 2．下面哪个点在函数y=12x+1的图象上（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，0） D ．（-2，0） 3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3xC ．y=2x 2D ．y=-2x+1 4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A ．一、二、三 B ．二、三、四 C ．一、二、四 D ．一、三、四6．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k>3 B ．0<k ≤3 C ．0≤k<3 D ．0<k<3 7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ） A ．y=-x-2 B ．y=-x-6 C ．y=-x+10 D ．y=-x-18．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）10．一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为（ ）A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=12x-3二、填空（每小题3分，共30分）11．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．12．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．13．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，3）和B（-1，-1），则此函数的解析式为_________．14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+•2•上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．15．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．16．若一次函数y=kx+b交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，•则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”）17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30220x yx y--=⎧⎨-+=⎩的解是________．18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a，1）和点（-2，b），则a=________，b=______．19．如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k的值为_____．20．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，与x轴交于点C，则此一次函数的解析式为__________，△AOC的面积为_________．。

⎩b = 4⎩b = 4⎧一次函数解析式典型题型一. 定义型（一次函数即 X 和 Y 的次数为 1）例 1. 已知函数 y = (m - 3) x m 2-8 + 3 是一次函数，求其解析式。

⎧m 2 - 8 = 1解：由一次函数定义知 ⎨⎩m - 3 ≠ 0∴⎨m = ±3⎩m ≠ 3∴ m = -3 ，故一次函数的解析式为 y = -3x + 3注意：利用定义求一次函数 y = kx + b 解析式时，要保证 k ≠ 0 。

如本例中应保证 m - 3 ≠ 0二. 点斜型（已知斜率和经过的一点）例 2. 已知一次函数 y = kx - 3 的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

解： 一次函数 y = kx - 3 的图像过点（2，－1）∴ -1 = 2k - 3 ，即 k = 1故这个一次函数的解析式为 y = x - 3变式问法：已知一次函数 y = kx - 3 ，当 x = 2 时，y ＝－1，求这个函数的解析式。

三. 两点型（已知图像经过的两点）已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为解：设一次函数解析式为 y = kx + b⎧0 = -2k + b⎧k = 2由题意得 ⎨ ∴⎨ 故这个一次函数的解析式为 y = 2 x + 4四. 图像型例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为 y=-2x+2。

y2O1 x解：设一次函数解析式为 y = kx + b由图可知一次函数 y = kx + b 的图像过点（1，0）、（0，2）∴有⎨⎧k=-2⎩2=0+b⎩b=2解：易求得直线与x轴交点为（4⎧0=k+b∴⎨故这个一次函数的解析式为y=-2x+2五.斜截型（已知斜率k和截距b）两直线平行，则k1=k2；两直线垂直，则k1=-1/k2例5.已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为解析：两条直线l：y=k x+b；l：y=k x+b。

《一次函数》典型例题例 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数。

(1)正方形周长p 和一边的长a 。

(2)圆的面积A 与半径R 。

(3)长a 一定时矩形面积y 与宽x 。

(4)15斤梨售价20元。

售价y 与斤数x 。

(5)定期存100元本金，月利率1.8％，本息y 与所存月数x 。

(6)水库原存水Q 立方米，现以每小时a 立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b 立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M 与时间t 的函数关系。

分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函数的概念进行判别。

解：(1)∵p=4a 。

自变量a 为一次且其系数为4(不为零)。

∴p 为a 的一次函数。

又∵不含常数项所以也是正比例函数。

(2)2A R π=，自变量R 的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数。

(3)y=ax ，自变量x 为一次且系数a 为长度(不为零)。

∴y 是x 的一次函数。

∵不含常数项。

∴y 也是x 的正比例函数。

(5)y=100+100×1.8%x ，自变量x 的次数为一次，又含有常数项。

∴y 是x的一次函数但不是正比例函数。

(6)M=Q+(b-a)t ，因为自变量t 的次数为一次，当a ≠b 时，M 是t 的一次函数。

若Q=0时，M 是t 的正比例函数；若a=b 时，M 是常量函数，不是t 的一次函数。

说明：在实际问题中要注意自变量的取值范围.（限于学生的认识水平，教师可酌情处理取值范围问题）(1)中正方形边长a ＞0。

(3)中矩形的宽0＜x＜a。

(4)中梨的斤数x≥0。

(5)所存月数x≥0。

一次函数与不等式的典型例题一、例题例1：已知一次函数y = 2x - 3。

（1）当x取何值时，y>0？（2）当x取何值时，y≤slant1？二、解析1. 对于（1）- 已知y = 2x - 3，当y>0时，即2x - 3>0。

- 解这个不等式：- 首先将-3移到右边，得到2x>3。

- 然后两边同时除以2，解得x > (3)/(2)。

2. 对于（2）- 当y≤slant1时，也就是2x - 3≤slant1。

- 解这个不等式：- 先把-3移到右边，得到2x≤slant1 + 3，即2x≤slant4。

- 两边同时除以2，解得x≤slant2。

例2：一次函数y=-3x + 5，若y = kx + b的图象在y=-3x + 5的图象上方时x<2，求k，b满足的关系。

解析1. 因为y = kx + b的图象在y=-3x + 5的图象上方时x < 2，这意味着当x = 2时，y=kx + b和y=-3x + 5的值相等。

2. 把x = 2代入y=-3x + 5，可得y=-3×2 + 5=-1。

3. 把(2,-1)代入y = kx + b，得到-1 = 2k + b，移项可得b=-1 - 2k。

例3：已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图象经过点(1,1)和( - 1, - 3)。

（1）求这个一次函数的表达式。

（2）若y>0，求x的取值范围。

解析1. 对于（1）- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,1)和( - 1, - 3)，将这两点代入函数表达式可得方程组k + b = 1 -k + b=-3。

- 用第一个方程k + b = 1减去第二个方程-k + b=-3，得到(k + b)-(-k + b)=1-(-3)。

- 展开括号得k + b + k - b = 4，即2k = 4，解得k = 2。

- 把k = 2代入k + b = 1，得2 + b = 1，解得b=-1。