安徽省安庆市高二下学期数学6月月考试卷

安徽省安庆市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设()*211111N 123n a n n n n n n=++∈+++，则2a 等于（）A ．14B ．1123+C ．111234++D ．11112345+++2．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．23．若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立，则有1n k =+时命题成立，现知命题对()*00n n n N=∈时命题成立，则有（）．A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于0n 的正整数不成立，对大于或等于0n 的正整数都成立C ．命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于0n 的正整数都成立D ．以上说法都不正确4．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为（）.A ．6B ．5C ．4D ．35．已知正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，若存在两项m a ，n a ，12a =，则14m n+的最小值为（）A ．9B ．73C ．94D ．1336．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，则实数λ的最大值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67．等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =A ．17B ．18C ．19D ．208．“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中，正确的是（）A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9832410⋅+C ．“提丢斯数列”前31项和为30321012110⋅+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项二、多选题9．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 可能的一个值是（）A ．52B ．32C ．34D ．1210．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（）A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n=-D ．24n S n n=+11．（多选题）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有（）A ．9100a a ⋅<B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意*N n ∈，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是()A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22022n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题13，…，则________项．14．已知数列{}n a 的前n 项和23nn S =-，则数列{}n a 的通项公式是______.15．如图，第n 个图形是由正2n +边形扩展而来的，则第2n -个图形中共有______个顶点.16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若376,28S S ==，则14nn a a S ++的最大值是__四、解答题17．在数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是等差数列，n S 为{}n b 前n 项和，若1123b a a a =++，33b a =，求n S .18．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N *=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅且1(1)2f =.（1）当*n N ∈时，求()f n 的表达式；（2）设*()n a n f n n N =⋅∈，，求证：1232n a a a a +++⋯+<；21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题).（1）求n a ﹔（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <.22．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．（15.7≈）（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．参考答案：1．C【分析】由已知通项公式，令2n =写出2a 即可.【详解】()*211111N 123n a n n n n n n=++++⋯+∈+++ ，2111234a ∴=++.故选：C.2．C【解析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．【详解】设正数的等比数列{an }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．3．C【详解】由已知可得00(*)n n n =∈N 时命题成立，则有01n n =+时命题成立，在01n n =+时命题成立的前提下，可推得0(1)1n n =++时命题也成立，以此类推可知命题对大于或等于0n 的正整数都成立，但命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定．本题选择C 选项.4．B【解析】将问题转化为等比数列求和问题，利用等比数列求和公式求得n S ，解不等式求得结果.【详解】由题意可知：数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，若6164n S >，则1611264n ->，即31642n >，6423n ∴>，又n N *∈，4642163=<，5642323=>，∴使得不等式6164n S >成立的正整数n 的最小值为5.故选：B.5．B【分析】利用等比数列的通项公式求出公比q 及m 与n 的关系式4m n +=，由于*,N m n ∈，所以采取逐一代入法求解最值即可.【详解】依题意，正项等比数列{an }满足6856846832a a a =+，所以6846836821112a qa q a q =+，即220q q --=，解得q ＝2或q ＝－1．因为数列{an }是正项等比数列，所以2q =，所以11·2n n a a -=.12a =，所以4m n +=，且*,N m n ∈，当m ＝1，n ＝3时，1473m n +=，当m ＝n ＝2时，1452m n +=，当m ＝3，n ＝1时，14133m n +=，则14m n +的最小值为73.故选：B ．6．C【解析】先由n S 求出n a ，根据24n n a S λ≤+得到24n nS a λ+≤，求出24nn S a +的最小值，即可得出结果.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，当2n ≥时，()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=；当1n =时，211222a S ==-=满足上式，所以2n n a =()*n N ∈，又*n ∀∈N ，24n n a S λ≤+恒成立，所以*n ∀∈N ，24nnS a λ+≤恒成立；令22121142222222224n n n n n n n n nS b a ++++-+====++，则211112212220222n n n n n n n n b b +++++⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n ∈N ，显然都成立，所以1222n n n b +=+单调递增，因此()21min 2252n b b ==+=，即24n n S a +的最小值为5，所以5λ≤，即实数λ的最大值是5.故选：C【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.7．C【解析】根据已知条件求得1,a d 的关系，由此求得n b 的表达式，根据判断n b 的符号，由此求得数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时n 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意10a >，31047a a =，则()()114279a d a d +=+，即1550,03a d d =-><.所以数列{}n a 的通项公式为()()155581133n a a n d d n d dn d =+-=-+-⋅=-.所以12n n n n b a a a ++=585552333dn d dn d dn d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3585552333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于30d <，所以当117n ≤≤时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当33185855528181818033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，331958555210191919033327b d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-=-⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当20n ≥时，35855520333d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于318192027b b d +=->，所以当19n =时，n S 取得最大值.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.8．C【分析】根据已知定义，结合等比数列的通项公式、前n 项和公式进行判断即可.【详解】记“提丢斯数列”为数列{}n a ，则当3n ≥时，310462n n a --=⋅，解得232410n n a -⋅+=，当2n =时，20.7a =，符合该式，当1n =时，10.550.4a =≠，故20.4,1324,2,10n n n a n n N -*=⎧⎪=⎨⋅+≥∈⎪⎩，故A 错误，而979932410a ⋅+=，故B 错误；“提丢斯数列”前31项和为()3002923232121223051051010⋅++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令23242010n -⋅+≤，则219623n -≤，故2,3,4,5,6,7,8n =，而120a <，故不超过20的有8项，故D 错误，故选：C 9．BC【分析】由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)，再对q 分类讨论，解不等式即得解.【详解】解：由题意可设三角形的三边分别为aq，a ，aq (aq ≠0)．因为三角形的两边之和大于第三边，①当q >1时，a q ＋a >aq ，即q 2－q －1<0，解得1<q；②当0<q <1时，a ＋aq >a q ，即q 2＋q －1>0，解得12-+<q <1．综上，q 的取值范围是1(2-+∪，则可能的值是32与34．故选：BC 10．AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n nS n n --==-.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.11．AD【分析】根据等比数列{}n a 的公比203q =-<，可知9100a a ⋅<，A 正确；由于不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系；根据题意可知等差数列{}nb 的公差为负，所以可判断出C 不正确，D 正确．【详解】对A ， 等比数列{}n a 的公比23q =-，9a ∴和10a 异号，9100a a ∴<，故A 正确；对B ，因为不确定9a 和10a 的正负，所以不能确定9a 和10a 的大小关系，故B 不正确；对C D ，9a 和10a 异号，且99a b >且1010a b >，9b ∴和10b 中至少有一个数是负数，又1120b => ，0d ∴<910b b ∴>，故D 正确，10b ∴一定是负数，即100b <，故C 不正确.故选：AD.12．BCD【分析】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则11(1)n kn k n a a a q q -+-=-，当10a <时，n k n a a +<，可判断A ；24()n kn n kn a a k n k n++--=⋅+，令24()f n n kn =+-，利用其单调性可判断B ；]21()[(1)1n k n k n a a k +-=-⋅+--，分n 为奇数、偶数两种情况讨论可判断C ；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则22)0(n k n a a k n t k +-=+->，*N n ∈成立，问题转化为对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立，求解可判断D ．【详解】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则111111()1n k n n k n k n a a a qa q a q q +---+-=-=-．因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故A 错误；244441()()n kn n kn a a n k n kk n k n n k n n k n +⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-=⋅⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，令24()f n n kn =+-，则()y f n =在*N n ∈上单调递增，令0(1)14f k =+->，解得3k >，此时0())1(f n f ≥>，n k n a a +>，故B 正确；()()[()]21212111]()[()n k n n k n k n a a n k n k ++-=++--+-⋅-=+--，当n 为奇数时，2()11kn k n a a k +-=--+，存在1k ≥，使0n k n a a +->成立；当n 为偶数时，2()11kn k n a a k +-=+--，存在2k ≥，使0n k n a a +->成立．综上{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C 正确；若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则2222()202202220()()()n k n a a n k t n k n tn k n t k +-=+-++--+=+->，*N n ∈成立，则对于22)2(2()0k n t k k t k +-≥+->，存在3k ≥使之成立，且对于20()2k t k +-≤，存在2k ≤使之成立．即对于(2)0k t +->，存在3k ≥使之成立，且对于0()2k t +-≤，存在2k ≤使之成立，所以23t -<，且22t -≥，解得45t ≤<，故D 正确．故选：BCD.13．7【分析】根据题中所给的数据，推出数列的通项公式，即可得出答案.【详解】解：∵1a =2a =3a =4a =n a =.=3n －1＝20⇒n ＝7，∴7项．故答案为：7.14．1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，【分析】根据21n n S =-求出首项、第二项，从而得出公比，从而求出数列{}n a 的通项公式.【详解】解：当1n =时，111231a S ==-=-，所以11a =-，当2n =时，2212231a a S +==-=，即得到22a =，因为23n n S =-①，所以当2n ≥时，1123n n S --=-②，①-②得()()11123232n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11121a -==不满足11a =-，所以1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，，故答案为：1112,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩，.【点睛】本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，注意验证1n =的情况，属于中档题.15．()1n n +【分析】由n 边形有n 个顶点及图形的生成规律确定．【详解】由题意第2n -个图形是由n 边形的每边中间向外扩展n 边形得到，顶点数为2(1)n n n n +=+．故答案为：(1)n n +．16．17【分析】根据题意求得n a n =及4(4)(5)2n n n S +++=，化简14212(1)71n n a a S n n ++=++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为376,28S S ==，可得1133672128a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,1a d ==，所以n a n =，所以4(4)(14)(4)(5)22n n n n n S ++++++==，则141221(4)(5)12127(1)747214n n a a n n n S n n +++==≤=++++++++，当且仅当3n =时，等号成立，所以14n n a a S ++的最大值是17.故答案为：17.17．（1）13n n a -=；（2）214n n -+.【分析】（1）由等比数列的定义可知数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，则{}n a 的通项公式易求；（2）由（1）得：1313,19b b ==，由此求得公差d ，代入等差数列前n 公式计算即可.【详解】（1）因为111,3n na a a +==所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n a -=.（2）由（1）得：1123313913,19b a a a b =++=++==，则3124,2b b d d -==-=-，，所以()()21132142n n n n S n S n n +=+⨯-⇒=-+.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的基本量计算，属基础题.18．（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯.【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c -=∑和21nk k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--==-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑ ①由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑ ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯-⨯=-⨯-，从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑.因此，2212111465421949n n n n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.19．(1)2nn a =(2)332n nn T +=-【分析】（1）根据11,1,2,N n nn S n a S S n n -=⎧=⎨-≥∈⎩，再结合等比数列的定义，即可求出结果；（2）由（1）可知12n nn b +=，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）解：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12(2)n n a a n -=≥.所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故1222n n n a -=⨯=.（2）解：由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，所以2323412222n n n T +=++++L ①231123122222n n n n n T ++=++++ ②，①-②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎝⎭L 21111112211212n n n -+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--1111133122222n n n n n ++++=+--=-.所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-20．（1）()*1()2n f n n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ；（2）详见解析.【分析】（1）令1y =，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.（2）将n a 表示出来，利用错位相减法得到前N 项和，最后证明不等式.【详解】（1）令1y =，得()()()11f x f x f +=⋅，∴()()()11f n f n f +=⋅，即()()()()*111,22n f n f n n N f n +⎛⎫=∴=∈ ⎪⎝⎭（2）12n n a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设121n a n n T a a a a a -=+++⋯++，则()23111111123122223n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，①()()23111111111221322322n n n n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，②来①-②得11122n n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23111111221111111112222222212n n n n n n T n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ()12222n n T n ⎛⎫∴=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数与数列的关系，错位相减法，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析.【解析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- -+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =；②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=；选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，故()13132n a n n =+-=-.（2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n nT b b b b =++++ 11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n nn a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.22．（1）公司从第3年开始获利；（2）在第8年时，每台充电桩年平均利润最大【分析】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，由此可得第n 年时累计利润的解析式()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L ，则()0f n >，解之即可；（2）每台充电桩年平均利润为()6420028f n n n n ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出最大值，注意等号成立的条件.【详解】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，设第n 年时累计利润为()f n ，()6400[10001400(400600)]12800f n n n =-++++-L 6400(200800)12800n n n =-+-2200560012800n n =-+-()22002864n n =--+，开始获利即()0f n >，∴()220028640n n --+>，即228640n n -+<，解得1414n -<<+5.7≈，∴2.625.4n <<，∴公司从第3年开始获利；（2）每台充电桩年平均利润为()642002828)2400f n n n n ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，当且仅当64n n=，即8n =时，等号成立．即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．【点睛】本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.。

2024年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（答案在最后）命题：安庆市高考命题研究课题组考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.设集合{}213A x x =-≤，集合101x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.(1,2]B.[1,2]C.(1,1)- D.(1,2)-【答案】A 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后借助交集定义即可得.【详解】由213x -≤，可得12x -≤≤，故{}12A x x =-≤≤，由101x x +>-，可得()()110x x +->，即1x >或1x <-，故{1B x x =>或}1x <-，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.2.已知复数2z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A.14B.1C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，对给定复数化简，再利用共轭复数知识求解即可.【详解】221=+i 422z -+-，而1i 22z =--，可得1113(+i)(1222244z z ⋅=---=+=.故选：B.3.设F 是椭圆22:1259x y C +=的一个焦点，过椭圆C 中心的直线交椭圆于P ，Q 两点，则PQF △的周长的最小值为（）A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义求出10PF QF +=，再由min 26PQ b ==，即可求解.【详解】由椭圆的对称性可知P ，Q 两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为1F ，则四边形1PFQF 为平行四边形，由椭圆定义可知：11420PF PF QF QF a +++==，又1PF QF =，1PF QF =，所以10PF QF +=，又PQ 过原点，所以min 26PQ b ==，所以PQF △的周长的最小值为：10616+=.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按[40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80B.78C.76D.74【答案】B 【解析】【分析】借助百分位数的定义计算即可得.【详解】由0.005100.015100.020100.4⨯+⨯+⨯=，0.005100.015100.020100.030100.7⨯+⨯+⨯+⨯=，故这次调查数据的第64百分位数位于(70,80]之间，设这次调查数据的第64百分位数为x ，则有700.640.4100.70.4x --=-，解得78x =.故选：B .5.设{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等比数列基本量的计算以及正项等比数列的单调性、充要条件的定义即可得解.【详解】{}n a 是公比不为1的无穷正项等比数列，所以()*0,N n a n >∈，一方面：“{}n a 为递减数列”，等价于101n na q a +<=<，要使得()111,0nn a a q a =<>，只需11nq a <，即1lg lg n q a <-，从而1lg lg a n q>-，所以取10lg max 1,1lg n q a ⎧⎫⎡⎤=-+⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，其中[]x 是指不超过x 的最大整数，则当0n n >时，有1n a <，另一方面：我们假设1q >，且“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”，则当n 越来越大时，同理可得()111,0nn a a q a =>>，但这与“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”矛盾，综上所述，“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0n ，对任意的正整数0n n >，1n a <”的充要条件.故选：C.6.已知点(1,0)P，(C ，O 是坐标原点，点B 满足1BC = ，则OP 与PB夹角的最大值为（）A.56π B.23π C.2π D.3π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解.【详解】设点(,)B x y，可得()BC x y =--，因为1BC =，可得22(1x y +-=，即点B的轨迹是以C 为圆心，半径1r =的圆，如图所示，设过点P 与圆C 相切的直线PB 的方程为(1)y k x =-，即kx y k 0--=，1=，解得3k =-，设切线的倾斜角为(0π)αα≤<，则tan 3α=-，可得5π6α=，即OP 与PB 夹角的最大值为5π6.故选：A.7.已知函数2()2cos sin 21(0)f x x x ωωω=+->的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】B 【解析】【分析】先化简解析式，根据对称性可得12,2k k ω=-∈Z ，再结合最小值点即可求解.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以πππ0424f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故πππ,24k k ω+=∈Z ，即12,2k k ω=-∈Z ，当ππ22π42x k ω+=-+，即3ππ,8k x k ωω=-+∈Z 时，函数()f x 取得最小值，因为()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，所以5ππ83ω≥，即158ω≤，由115228k ω=-≤解得1918k ≤，故1k =，得32ω=.故选：B8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，点E 是棱AB 上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E ，使得1EC D E⊥B.空间中与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交的直线有且只有1条C.过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有1条D.过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条【答案】D 【解析】【分析】当E 为AB 的中点时判断A ；作图判断B ；利用角平分面的特征判断C ；建立空间直角坐标系，分析判断D.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AD AA ==，对于A ，当E 为AB 的中点时，连接DE ，则45AED BEC ∠=∠= ，即有EC DE ⊥，而1DD ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ，则1EC DD ⊥，又11,,DE DD D DE DD ⋂=⊂平面1DD E ，因此EC ⊥平面1DD E ，而1D E ⊂平面1DD E ，则1EC D E ⊥，A 错误；对于B ，连接11,BD B D ，设BD EC K ⋂=，111////BB CC DD ，则平面11BDD B 与直线EC 交于K ，点K 在线段BD 上，不含端点，则直线1D K 与直线1BB 相交，同理直线1A E 与直线1BB 相交,因此直线1D K 、1A E 分别与三条直线11A D ，EC ，1BB 都相交，B 错误；对于C ，AB ⊥平面11ADD A ，而1AD ⊂平面11ADD A ，则1AB AD ⊥，又AB AD ⊥，于是1DAD ∠是二面角1D AE D --的平面角，且1π4DAD ∠=，显然1DAD ∠的平分线与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8，过点E 与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面1D AE 与半平面DAEC 的反向延长面所成二面角的角平分面与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于3π8，在此角平分面内过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有2条，因此过点E 与平面1D AE 和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有3条，C 错误；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，直线1,,AB AD AA 的方向向量分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，设过点E 的直线l 方向向量为(,,)a x y z =，由直线l 分别与直线1,,AB AD AA 所成角都相等，==||||||x y z ==，不妨令||1x =，有(1,1,1)a =r 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- 或(1,1,1)a =- ，显然使得||||||1x y z ===成立的向量a有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E 与三条棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等的直线有且只有4条，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用线线夹角的求法是求解选项D 的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知定义在R 上的函数()f x ，满足对任意的实数x ，y ，均有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x <，则（）A.(0)1f = B.(1)(1)1f f +-=C.函数()f x 为减函数 D.函数()y f x =的图象关于点()0,1对称【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：借助赋值法令0x y ==计算即可得；对B ：借助赋值法令1x =，1y =-计算即可得；对C ：结合函数单调性的定义及赋值法令0y >计算即可得；对D ：结合函数对称性及赋值法令y x =-计算即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0001f f f =+-，故(0)1f =，故A 正确；对B ：令1x =，1y =-，则有()()()0111f f f =+--，故()()112f f +-=，故B 错误；对C ：令0y >，则有()()()1f x y f x f y +-=-，其中x y x +>，()10f y -<，令1x x y =+，2x x =，即有对1x ∀、2x ∈R ，当12x x >时，12())0(f x f x -<恒成立，即函数()f x 为减函数，故C 正确；对D ：令y x =-，则有()()()1f x x f x f x -=+--，又(0)1f =，故()()2f x f x +-=，故函数()y f x =的图象关于点()0,1对称，故D 正确.故选：ACD.10.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（）A.当16AB =时，π3α=B.AOB 面积的最大值为2C.点E 在一条定直线上D.设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值【答案】CD 【解析】【分析】由焦点为(0,1)F 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于x 的一元二次方程，即可得与x 有关韦达定理，对A ：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B ：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C ：借助导数的几何意义可得AE l 与BE l 的方程，即可得点E 坐标，即可得解；对D ：由tan tan 1αβ⋅=-，故可得2παβ-=.【详解】由抛物线的焦点为(0,1)F ，故2p =，即2:4C x y =，由题意可知，直线l 斜率存在，设():1tan AB l y kx k α=+=，()11,A x y ，()22,B x y ，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，有2440x kx --=，216160k ∆=+>，124x x k +=，124x x =-，对A：()241AB k ===+，当16AB =时，即有()24116k +=，故k =，即tan α=，即π3α=或2π3α=，故A 错误；对B：()2114122AOB S d AB k =⨯=+= ，故2AOB S ≥ ，故B 错误；对C ：由()11,A x y ，2:4C x y =，即24x y =，有2x y '=，故()111:2AE x l y x x y =-+，又2114x y =，故211:24AE x x l y x =-，同理可得222:24BE x x l y x =-，设点(),E m n ，则有2112222424x x n m x xn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，有22121212242x x x x m x x -+=⨯=-，21121122244x x x x x x n +=⨯-=，由124x x k +=，124x x =-，故2m k =，1n =-，故点E 在一条定直线上且该直线为1y =-，故C 正确；对D ：由()2,1E k -，(0,1)F ，则111tan 2k kβ+==--，故有1tan tan 1k k αβ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，即π2αβ-=，故αβ-为定值且该定值为π2，故D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.11.满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N 的数列{}na 称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等差数列B.存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列C.()*243n n n a a a n ++=+∈ND.()20242023113ii i a a =-=-∑【答案】BCD 【解析】【分析】对A 、B ：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C ：借助21n n n a a a ++=+代入即可得；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后借助该式裂项相消即可得.【详解】对A ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等差数列，则有211n n n n ad ta a ta +++-+=-，即()211n n n a t a ta d ++=-++，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()111n n n n a a t a ta d +++=-++恒成立，即有1110t t d -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，故不存在这样的实数t ，故A 错误；对B ：若数列{}()*1n n a ta n ++∈N为等比数列，则有211n n n na q ta a ta ++++=+，即()21n n n a q t a qta ++=-+，由()*21n n n a a a n ++=+∈N，故有()11n n n n a a q t a qta +++=-+恒成立，即有11q t qt -=⎧⎨=⎩，即210t t +-=，解得12t -±=，此时21110a ta +=-=≠，故存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++∈N 为等比数列，故B 正确；对C ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N，则32214223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++++=++=+++=，即有()*243n n n a a a n ++=+∈N，故C 正确；对D ：由()*21n n n a a a n ++=+∈N ，故()()()()()222121111111n n n n nn n n n n a a a a a +++++++-=-+-=--+-，故()()()()()20242320241232024111111ii i a a a a a =-=-+-+-+-=∑ ()()()()()()()()()()2232432023202221324320232022121111111111a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯+--+-+--+-+--+-++--+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()202312023202321113a a a ⎡⎤=-++---=-⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于由()*21n n n a a a n ++=+∈N，得到()()()2121111n n nn n n a a a ++++-=--+-，从而将()202411ii i a =-∑展开后可借助该式裂项相消.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式10的展开式中，常数项为__________．【答案】210【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对10，有10151536211010C C kkk k k k T x x x ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5506k -=，则6k =，则有655671010C C 210T x -===.故答案为：210.13.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为M ，底面直径2AB =．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，则该圆锥的全面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】画出圆锥的截面PAB ，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O ，可得PAB 为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O 为圆锥的内切球球心，则有BO 为PBA ∠的角平分线，由O 为圆锥的外接球球心，则OB OP =，故PBO OPB ∠=∠，故APB PBA ∠=∠，又PA PB =，故PAB 为等边三角形，故PM =，2PB =，则22πππ1π123πS r rl =+=⨯+⨯⨯=全.故答案为：3π.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为__________；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．【答案】①.2a②.a【解析】【分析】由曲线C 的方程可得，该曲线关于x 轴、原点对称，故只需研究第一象限即可，求出第一象限上的点到曲线C 的最短距离即可得其内切圆半径；当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可得该直线被坐标轴截得的线段长.【详解】设点(),P x y 在曲线222333(0)x y a a +=>上，则(),x y -、(),x y -、(),x y --亦在曲线222333(0)x y a a +=>上，故曲线222333(0)x y a a +=>关于x 轴、y 轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当0x >，0y >时，由(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，故有222333x y a +=，即有2211331x y a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3cos x a α=，3sin y a α=，则OP ======，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(]2sin 20,1α∈，则min2a OP ==，即曲线C 的内切圆半径为2a ；当0x >，0y >时，222333(0)x y a a +=>可化为322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11221122223333333223y a x x x a x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-='-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则曲线上的点()00,x y 的切线方程为：()3122122223333300y a x xa x x x -⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x =，则有()13122222233333000y xa x x a x -⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11222222222122333333333300a x x a x a a x a y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令0y =，则有1222133333000x x a x x a x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，则AB a ====.即曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于a .故答案为：2a；a .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助曲线的对称性，得出只需研究第一象限部分，若点(),P x y 曲线222333(0)x y a a +=>上，可设13cos x a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，13sin y a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而计算出点P 到曲线的最短距离即可得曲线C 的内切圆半径，当0x >，0y >时，曲线可为函数322233y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，结合导数的几何意义可得曲线上的点()00,x y 的切线方程，即可计算得该直线被坐标轴截得的线段长.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平面凸四边形ABCD 中，2sin tan tan cos BADABD ADB ABD∠∠+∠=∠.（1）求ADB ∠；（2）若4AD BD ==，6ACB BDC π∠=∠=，求CD .【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.【小问1详解】由已知得：sin sin 2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠∠+=∠∠∠，故sin cos cos sin 2sin cos cos cos ABD ADB ABD ADB BADABD ADB ABD∠∠+∠∠∠=∠∠∠，所以sin()2sin cos cos cos ABD ADB BADABD ADB ABD∠+∠∠=∠∠∠．因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=-∠=∠≠，故1cos 2ADB ∠=，由三角形内角范围知π3ADB ∠=；【小问2详解】由4AD BD ==，π3ADB ∠=，故ABD △为边长为4的等边三角形，在ABC 中，π6ACB ∠=，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，故sin 8sin sin AB BACBC BAC ACB∠==∠∠，由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=，所以π2BAC CBD ∠+∠=，故8cos BC CBD =∠，在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BD BC BD BC CBD =+-⨯⨯∠，即22248cos 16CD BC BC CBD =+-⨯⨯∠=，得4CD =.16.已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ．（1）当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为(0,3)，递减区间为(3,)+∞（2）(,1]-∞【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助(1)0f ≤，得到1m £，在1m £的情况下，借助1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，从而构造函数1()2ln g x x x x=-+，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，通过研究2()2ln h x x x x =-得解.【小问1详解】当3m =-时，3()2ln f x x x x=--，其定义域为(0,)+∞，()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=，令()0f x '=，得3x =（=1x -舍去），当03x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当3x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(3,)+∞；【小问2详解】方法1：由条件可知(1)0f ≤，于是10m -≤，解得1m £．当1m £时，1()2ln 2ln m f x x x x x x x=-+≤-+，构造函数1()2ln g x x x x=-+，1x ≥，()222121()10x g x x x x-=---'=≤，所以函数()g x 在[1,)+∞上单调递减，于是()(1)0g x g ≤=，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．方法2：由条件可知22ln m x x x ≤-对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln h x x x x =-，1x ≥，只需min [()]m h x ≤即可．()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'，令()ln 1x x x μ=--，则()10x x xμ-'=≥，所以函数()h x '在[1,)+∞上单调递增，于是()()10h x h ''≥=，所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦，于是1m £，因此实数m 的取值范围是(,1]-∞．17.如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC 所在平面的两侧，且PA PD =．设E 是PA 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()3,2n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且3OA OP ==又因为6PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．【小问2详解】解：由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0),,(0,1,0)(0,1,0)3),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得3,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0223022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =()2n =，所以cos ,7m mm n m n ⋅===，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则sin 7θ==，故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为217．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值12.2ξ≥时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A ，B 两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标ξ服从正态分布(9,2.56)N ．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A 类试题，每次测试合格的概率为13，作答B 类试题，每次测试合格的概率为14，且每次测试相互独立．①在解答A 类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A 、B 两类试题测试合格的类数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）68（2）①34；②分布列见解析，115()144E X =.【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正态分布的性质求解即可.（2）进行分类讨论，求解出分布列，再求出期望即可.【小问1详解】10.9545(12.2)(2)0.022752P P ξξμσ-≥=≥+==．所以符合该项指标的学生人数为：30000.0227568.2568⨯=≈人．【小问2详解】①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格，1B ，2B 分别表示解答B 类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M ，则()113P A =，()()()1121213113313443444P A M P AB B P AB B =+=⨯⨯+⨯⨯=．()()()()()112112111134().143P A B B P A B B P A M P M A P A P A +====∣②设X 的取值为0，1，2，224(0)339P x ==⨯=，13321335(1)344334416P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，35(2)1(0)(1)144P x P x P x ==-=-==，所以X 的分布列为X12P4951635144数学期望4535115()012916144144E X =⨯+⨯+⨯=．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设x ∈R ，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，函数[]y x =称为取整函数．另外也称[]x 是x 的整数部分，称{}[]x x x =-为x 的小数部分．（1）直接写出[]ln π和34⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的值；（2）设a ，*b ∈N ，证明：a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，且01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a ，a 能唯一写为1212k aaak a p p p =⨯⨯⨯ ，其中i p 为质数，i a 为整数，且对任意的i j <，i j p p <，i ，{1,2,3,,}j k ∈⋯，称该式为a 的标准分解式，例如100的标准分解式为2210025=⨯．证明：在!n 的标准分解式中，质因数i p （i p n ≤，1n >，*n ∈N ）的指数231i r r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ．【答案】（1）1，0.25（2）证明见解析，a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义计算即可得；（2）由题意可得a a ab b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，即可得证a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，由a ，b 都为整数，结合定义可证得0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得证01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，可得a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，即有a a n b b ⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，即可得a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即可得解；（3）利用（2）中结论可得i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，依次进行下去，可得123r i r i i i i n n n n a p p p p ∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证.【小问1详解】由e π2e <<，故12ln π<<，故[]1ln π=，()3333110.2544444⎧⎫⎡⎤-=---=---==⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦；【小问2详解】因为a a a b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，等式两边同时乘b ，得a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为a ，b 都为整数，所以a a b a b b b⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数，又01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以0a b b b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以01a b b b ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭，即得证，假设b ，2b ，…，nb 都小于等于a ，*n ∈N ，因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a nb a b b b b ⎡⎤⎧⎫≤=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，所以a a n b b⎡⎤⎧⎫≤+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，因为01a b ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，所以a n b ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b⎡⎤⎢⎥⎣⎦个；【小问3详解】!123n n =⨯⨯⨯⨯ ，将2，3，…，n 每一个数都分解为质因数的乘积．对于质因数i p ，利用（2）中结论，i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为1n ，将这些数都提取i p 出来，此时p 的倍数中还有可以提取出i p 的数，注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为2n ，将这些数提取i p 出来；同理，3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为3i n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为3n ，依此这样进行下去，则质因数i p的指数112323ri ri i i in n n na n n np p p p∞=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=∑⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即得证．。

高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。

2023-2024学年安徽省蚌埠市高二下学期7月期末学业水平监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∀n ∈Z ，n ∈Q ”的否定为( )A. ∃n ∈Z ，n ∉QB. ∃n ∈Z ，n ∈QC. ∀n ∈Q ，n ∈ZD. ∀n ∈Z ，n ∉Q2.若a =lg π，b =ln π，c =lg e ，其中e 是自然对数的底数，则( )A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. c >a >b3.已知向量a =(1,2)，b =(4,3)，则向量b 在a 上的投影向量的坐标是( )A. (2,4)B. (25,45)C. (25,45)D. (2 55, 55)4.已知函数f(x)={2x −1,x ≤0x 12,x >0，若f(m)=3，则m 的值为( )A.3 B. 2 C. 9 D. 2或95.在(2x−1)5的展开式中，x 3的系数是( )A. −80B. −40C. 20D. 806.在△ABC 中，“A >B ”是“cos 2A <cos 2B ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数f(tan x)=sin 2x ，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=2x1−x 2(x ≠kπ+π2,k ∈Z) B. f(x)=2x1−x 2C. f(x)=2x1+x 2(x ≠kπ+π2,k ∈Z)D. f(x)=2x1+x 28.已知事件A ，B ，P(B)=13，P(B|A)=34，P(B |A )=12，则P(A)=( )A. 14B. 13C. 23D. 34二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知由样本数据点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x n ,y n )求得的回归直线方程为y =1.5x +0.5，且x =3，现发现两个数据点(1.3,2.1)和(4.7,7.9)的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则( )A. 变量x 和y 具有负相关关系B. 剔除后y 不变C. 剔除后的回归直线方程为y =1.2x +1.4D. 剔除后对应于样本数据点(2,3.75)的残差为0.0510.函数f(x)= 2sin (ωx +φ)(ω∈(0,2]，φ∈(−π2,π2))的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. f(x +π)=f(x)B. x =−π4是曲线y =f(x)的一条对称轴C. 函数f(x−3π8)是奇函数D. 若方程f(x)=1在(0,m)上有且仅有6个解，则m ∈(5π2,13π4]11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R.若函数f(2x−3)的图象关于点(2,1)对称，f(3+x)+f(3−x)=10且f(0)=−2，则( )A. f(x)的图象关于点(1,1)对称 B. f(x +4)=f(x)C. f′(1026)=f′(2)D. ∑50i =1f (i)=2501三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023-2024学年安徽省合肥六中高二（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知A2n=C n−3n，则n=( )A. 6B. 7C. 8D. 92.一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有( )种．A. 12B. 20C. 30D. 423.若(2x+3)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a8(x+1)8，则a0+a2+a4+a6+a8=( )A. 6562B. 3281C. 3280D. 65604.已知函数f(x)=2x−tlnx存在两个零点，则实数t的取值范围为( )A. (e2,+∞) B. (e,+∞) C. (2e,+∞) D. (3e,+∞)5.现在有9名学生，其中3人只会唱歌，4人只会跳舞，2人既会唱歌又会跳舞.现要选唱歌的3人、跳舞的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )A. 92种B. 68种C. 74种D. 56种6.春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有( )A. 180B. 240C. 360D. 4207.定义域为(−π2,π2)的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，其导函数为f′(x)，当0<x<π2时，有f′(x)cosx+f(x)sinx<0成立，则关于x的不等式f(x)<2f(π4)⋅cosx的解集为( )A. (−π2,−π4)∪(π4,π2) B. (π4,π2)C. (−π4,0)∪(0,π4) D. (−π4,0)∪(π4,π2)8.已知a=0.1e0.1，b=0.11，c=sin0.1，则a，b，c的大小顺序为( )A. c<b<aB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知数列的前4项为：l ，，，，则数列的通项公式可能为{}n a 12-1314-{}n a A ． B ．1n a n=1n a n=-C ．D ．(1)nn a n -=1(1)n n a n--=【答案】D【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用表示，∴．1(1)n --1(1)n n a n--=故选D ．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2．若为数列的前项和，且，则（ ）n S {}n a n 1n nS n =+51a =A ．B ．C ．D ．305665130【答案】D【分析】根据公式直接求出，进一步求出答案. 1n n n a S S -=-5a 【详解】∵ 5545454151416530=-=-=-=++a S S ∴. 5130a =故选：D.【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，属于基础题. n 3．已知数列满足，，则（ ）{}n a 13a =()111n n a a n n +=++n a =A ．B ．C ．D ．14n +14n -12n +12n-【答案】B【分析】由，利用累加法得出. 1111n n a a n n +-=-+n a 【详解】由题意可得，()111111n n a a n n n n +-==-++所以，，…，， 21112a a -=-321123a a -=-1111n n a a n n--=--上式累加可得()()()121321--=-+-++- n n n a a a a a a a a，111111112231=-+-++-=-- n n n 又，所以.13a =14=-n a n故选：B .4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则 n n a 3456719a a a a a a a ++++--=A ． B ． C ． D ．466992138【答案】B【详解】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以9111998(3)20735;2S a a =+⨯⨯⨯-=∴= 选B.3456719a a a a a a a ++++--=131269.a d +=5．已知在数列中，且，设为的前项和，若，则{}n a *11(n n a a n N -=+∈2)n ≥n S {}n a n 972S =9a =（ ） A ． B ． C ． D ．8121636【答案】B【分析】由题意得到数列是以公差为的等差数列，根据，求得的值，{}n a 1()9195992S a a a =+=5a 然后利用，即可求解．954a a d =+【详解】因为在数列中，且，{}n a *11(n n a a n N -=+∈2)n ≥可得且，所以数列是以为公差的等差数列，*11(n n a a n N --=∈2)n ≥{}n a 1d =又因为为的前项和，且， n S {}n a n 972S =所以，解得， ()919599722S a a a =+==58a =又由，所以． 9544a a d -==95412a a =+=故选：B ．6．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，{}n a n n S 212n n n a a a +++=113a =211a =n Sn =A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当{}n a {}n a 152n a n =-时，，当时，，即可得到答案. 17,n n N +≤≤∈0n a >8,n n N +≥∈0n a <【详解】由题意，数列满足，即， {}n a 212n n n a a a +++=211n n n n a a a a +++-=-所以数列为等差数列，{}n a 设等差数列的公差为，则，{}n a d 222d a a =-=-所以数列的通项公式为， {}n a 2(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+-=+-⨯-=-令，即，解得， 0n a ≥1520n -≥152n ≤所以当时，，当时，， 17,n n N +≤≤∈0n a >8,n n N +≥∈0n a <所以数列中前项的和最大，故选C.{}n a 77S 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n 项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．根据全球摩天大楼的统计，至2019年，安徽省合肥市的摩天大楼已经有95座在中国城市中排名第10位，全球排名第15位，目前合肥恒大中心建设中的最高楼，外形设计成了“竹节”的形态，既体现了力量超凡，又象征着向上生长的强烈意志，更预示了未来的繁荣和兴旺.它与传承千年的“微文化”相得益彰，建成后将跻身世界十大摩天大楼之列，若大楼由9节“竹节”组成，最上部分的4节高228米，最下部分3节高204米，且每一节高度变化均匀（即每节高度自上而下成等差数列），则该摩天大楼的总高度为（ ） A ．518米 B ．558米C ．588米D ．668米【答案】B【分析】根据题意，构造等差数列，求出数列的基本量，即可用公式求得其前项和. 9【详解】设大楼自上而下每一节高度构成等差数列， {}n a 设数列的首项为，公差为， 1a d 由题可知，496228,204S S S =-=，； 146228a d +=1321204a d +=联立方程组解得.154,2a d ==故可得. 91936549362558S a d =+=⨯+⨯=故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量的计算，属基础题；本题的难点是要根据题意提取信息.8．设是等比数列，且，，则（ ） {}n a 1231a a a ++=234+2a a a +=678a a a ++=A ．12 B ．24 C ．30 D ．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.q ()5678123a a a q a a a ++=++【详解】设等比数列的公比为，则， {}n a q ()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==因此，.()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．二、多选题9．数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）{}n a n n S 11a =121n n n a n a n a +⎧⎪=⎨⎪⎩，是奇数，是偶数A ． B ．是周期数列 C ．D ．42a ={}n a 20222a =1820S =【答案】BC【分析】根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，12345,,,,,a a a a a {}n a 11,2,,12逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列满足 {}n a 11211n n n a n a a n a +⎧⎪==⎨⎪⎩，为奇数，，，为偶数当时，； 1n =2122a a ==当时，； 2n =32112a a ==当时，；3n =4321a a ==当时，； 4n =5411a a ==当时，； 5n =6522a a ==当时，；， 6n =76112a a == 归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以A 不正确，B 正确；{}n a 11,2,,12又由，所以C 正确； 20225054222a a a ⨯+===因为，所以，所以D 错误．12341912122a a a a +++=+++=189412212S =⨯++=故选：BC ．10．已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ） {}n a n n S 110a =-13n n a a +=+A ．是递增数列B ．是数列中的项{}n a 10{}n a C ．数列中的最小项为 D ．数列是等差数列{}n S 4S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】ACD【分析】利用数列的单调性可判断A 选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B{}n a 10n a =选项；解不等式，可判断C 选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断0n a ≤n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D 选项.【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 110a =-13n n a a +-={}n a 10-3所以，.()1031313n a n n =-+-=-对于A 选项，因为，所以，是递增数列，A 对； 13n n a a +-={}n a 对于B 选项，令，可得，B 错； 31310n a n =-=233n *=∉N 对于C 选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C 对； 3130n a n =-≤133n ≤{}n S 4S 对于D 选项，，则， ()()2110313323222n n n a a n n n nS +-+--===3232n S n n -=所以，，()1312332331222n n n S Sn n n ++---=-=+故数列为等差数列，D 对.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：ACD.11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）{}n aA ．数列是等比数列 2{}n a B ．若则4123,27,a a ==89a =±C ．若则数列是递增数列 123,a a a <<{}n a D ．若数列的前n 和则r =-1 {}n a 13,n n S r -=+【答案】AC【解析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D.【详解】设等比数列公比为{}n a ,(0)q q ≠则，即数列是等比数列；即A 正确； 222112(n n n na a q a a ++==2{}n a 因为等比数列中同号，而 所以，即B 错误；{}n a 4812,,a a a 40,a >80a >若则或，即数列是递增数列，C 正确； 123,a a a <<1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩1001a q <⎧⎨<<⎩{}n a 若数列的前n 和则{}n a 13,n n S r -=+111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-=所以，即D 错误32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-故选：AC【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若为非零常数)，则是等比数列； 1(n na q q a +={}n a (2)等比中项法：在数列中，且，则数列是等比数列；{}n a 0n a ≠212n n a a a a ++={}n a (3)通项公式法：若数列通项公式可写成均是不为0的常数)，则是等比数列；(,nn a cq c q ={}n a (4)前项和公式法：若数列的前项和为非零常数)，则是等比数n {}n a n (0,1,nn S kq k q q k =-≠≠{}n a 列.12．已知有一段路共有米，有一人从第二天起每天走的路程减半，天恰好走完了这段路则下1865.列说法正确的是（ ）A ．第一天走的路程比后四天走的路程多米B ．第二天走了米648C ．第三天走了全程的D ．后三天共走了米18144【答案】AB【分析】设此人第天走米，根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，推出，即可依次n n a n n a 求解判断各项正误．【详解】设此人第天走米， n n a 则数列是首项为，公比为的等比数列， {}n a 1a 12q =因为，5186S =所以，解得，155112186112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-196a = ，11962n n a -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭对于A ，因为第一天走的路程为米， 96所以后四天走的路程为， 1869690-=因为，96906-=所以此人第一天走的路程比后四天走的路程多米，所以 A 正确； 6对于B ，由于，所以B 正确； 2196482a =⨯=对于C ，由于，，所以C 不正确； 3196244a =⨯=2411868>对于D ，由于，， 12144a a +=18614442-=所以后三天一共走了米，所以D 不正确． 42故选：AB ．三、填空题13．数列的前项和为，，则通项公式______．{}n a n n S 21nn S =+n a =【答案】 13122n n n -=⎧⎨≥⎩，，【分析】利用公式进行求解.1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，【详解】由题知，当时，，1n =111213a S ==+=当时， ①2n ≥1121n n S --=+又 ②21nn S =+由②减去①有：，12n n a -=当不满足上式，所以. 1n =13122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，，故答案为：. 13122n n n -=⎧⎨≥⎩，，14．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里． 【答案】1146【分析】由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.【详解】良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，则两马同时出发后第8日，良马日行里数里)， 871938131908 (2⨯⨯+⨯=而驽马日行里数(里)， ()879780.57622⨯⨯+⨯-=所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里． 故答案为：1146.【点睛】本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题，理解题意是解题的关键.15．设等比数列的公比为，其前项和为，若，，则{}n a q n n S 2232S a =+4432S a =+q =__________． 【答案】或1-32【分析】根据已知条件，由首项和公比列方程组求解．【详解】等比数列的公比为，若，，则， {}n a q 2232S a =+4432S a =+1q ≠则有，①，()11132a q a q +=+② 4311(1)32,1a q a q q-=+-②-①，化简可得：，解得或 2230q q --=1q =-32q =故答案为： 或1-3216．已知数列的前项积为，，，，，则___． {}n a n n T 0n a ≠212n n n a a a ++=213a =59a =5T =【答案】1【分析】由已知得数列为等比数列，利用通项即可求得首项和公比，从而求得. {}n a 5T 【详解】由已知可得数列为等比数列，设等比数列公比为q,212n n n a a a ++={}n a 即9=，解得q=3,则，352,a a q =313q 119a =前项积 5123451010511111151319T a a q a q a q a q a q =⨯⨯⨯⨯==⨯=故答案为1【点睛】本题考查等比数列通项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.四、解答题17．给出一个三角数阵： 第一行 1第二行 23第三行4567第四行 89101112131415若等差数列的前项和为，，比数阵第八行所有数的个数多．{}()*N n a n ∈n n S 23a =12S 16(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)； 21n a n =-(2). 21n n T n =+【分析】（1）由等比数列通项公式求数阵第八行的数的的个数，设的的公差为，由条件列方{}n a d程求，由此可得数列的通项公式；d {}n a （2）利用裂项相消法求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【详解】（1）由数阵可知各行数的个数构成一个首项为，公比为的等比数列， 12所以数阵第行所有数的个数为． 872128=因为比数阵第行所有数的个数多， 12S 816所以，即． 1212816S -=12144S =设的的公差为， {}n a d 则，1211266144S a d =+=，解得，， 213a a d =+=2d =11a =所以 ()1121n a a n d n =+-=-；（2）因为，()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+所以． 11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L 18．已知等差数列{an }的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50. (1)求数列{an }的项数； (2)求a 21+a 22+…+a 30的值. 【答案】(1)50 (2)30【分析】（1）推导出（a 1+an ）+（a 2+an ﹣1）+（a 3+an ﹣2）+…+（a 10+an ﹣9）＝60，由等差数列性质知，a 1+an ＝a 2+an ﹣1＝a 3+an ﹣2＝…＝a 10+an ﹣9，从而10（a 1+an ）＝60，由此能求出数列{an }的项数.（2）推导出，由此能求出，从而能求出结果.112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩()212223302130102a a a a a a ++++=+ 【详解】（1）据题意，得a 1+a 2+a 3+…+a 10＝10，an +an ﹣1+an ﹣2+…+an ﹣9＝50， ∴（a 1+an ）+（a 2+an ﹣1）+（a 3+an ﹣2）+…+（a 10+an ﹣9）＝60， 又据等差数列性质知，a 1+an ＝a 2+an ﹣1＝a 3+an ﹣2＝…＝a 10+an ﹣9， ∴10（a 1+an ）＝60，∴a 1+an ＝6， 又，()11502n n a a +=∴n ＝50，即数列{an }的项数为50.（2）据（1）求解知，， 1501610910102a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩即， 112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩∴， 11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴5（2a 1+49d ）30. ()212223302130102a a a a a a ++++=+= 11152492010⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭19．已知等比数列{an }中，an > 0，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{an }的通项公式；(2)设bn ＝log 2an ，求数列{bn }的前n 项和Sn .【答案】（1）an ＝．（2）Sn ＝．52n -()92n n -【分析】（1）利用等比数列通项公式、等比中项得到a 3a 5＝4，a 3+a 5＝5，从而a 3，a 5是方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，且a 3＞a 5，由此能求出数列{an }的通项公式．（2）推导出bn ＝log 2an 5﹣n ，由此能求出数列{bn }的前n 项和．52log 2n -==【详解】解：（1）∵在等比数列{an }中，，公比q ∈（0，1）， ()*0n a n N∈＞且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25，a 3与a 5的等比中项为2，∴(a 3+a 5)2＝25，， 2233552a a a a ++=23544a a a ==∴a 3a 5＝4，a 3+a 5＝5，即a 3，a 5是方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，且a 3＞a 5，解方程x 2﹣5x +4＝0，得a 3＝4，a 5＝1，,,, 25314a q a ==12q =31216a a q ==∴数列{an }的通项公式an ＝16×＝． 11()2n -52n -（2）∵bn ＝log 2an 5﹣n ，52log 2n -==∴数列{bn }的前n 项和：Sn ＝5n ﹣（1+2+3+…+n ）＝5n ． ()()1922n n n n +--=20．年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正20199125202011式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本6增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入注：前年的纯收入231{}n a n .(n =前年的总收入前年的总支出投资额n -n -)(1)试求年平均利润最大时的年份年份取正整数，并求出最大值；()(2)若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年纯收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小n n 13刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修？并求小刘计划装修的费用．【答案】(1)年，万元；202516(2)年，万元.203348【分析】（1）每年的运营成本构成一个等差数列，每年的销售额是一个常数列，根据题意，列出等式年平均利润为，之后应用基本不等式，结合求得结果； 2256n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭*N n ∈（2）由（1）知，利用二次函数的性质以及的条件，得到当时，22625n a n n =-+-*N n ∈13n =na 取得最大值，进而得到结果.144【详解】（1）由条件可知，每年的运营成本构成首项为，公差为的等差数列，62， ()2131622526252n n n a n n n n ⎡⎤-∴=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦()*N n ∈则年平均利润为， 2256n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由，当且仅当，即时取等号． 2510n n +≥25n n=5n =此时，取最大值． n a n 16到年，年平均利润最大，最大值为万元；∴202516（2）由Ⅰ可得， ()()()22*262513144N n a n n n n =-+-=--+∈当时，取得最大值．13n =n a 144万元144348(÷=).故小刘最早从年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为万元．20334821．Sn 为等比数列{an }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0.（1）求an 及Sn ；（2）是否存在常数λ，使得数列{Sn ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由.【答案】（1）an ＝3n －1，Sn ＝；（2）存在，. 312n -12【分析】（1）根据等比数列的通项公式前n 项和公式，通过解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求出通项公式和前n 项和；（2）运用假设法，结合等比数列的通项公式和等比数列的性质和定义进行求解即可.【详解】（1）由题意可得，解得a 1＝1，q ＝3， ()31131911310a q a q a q q q ⎧=⎪-⎪=⎨-⎪⎪>⎩所以an ＝3n －1，Sn ＝＝. 1313n--312n -（2）假设存在常数λ，使得数列{Sn ＋λ}是等比数列，因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn ＋＝×3n ，则＝3， 12121211212n n S S +++故存在常数λ＝，使得数列是等比数列. 1212n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查了等比数列的定义和性质的应用，考查了数学运算能力.22．已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设.{}n a n n A n B n n n b A B =+（1）若，求数列的通项公式；21n a n =-{}n b （2）若，求数列的前项和； 212n n n a -={}n b n n S （3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.{}n b {}n a 【答案】（1）；（2），当时，；2n n n b A B n =+=11,s =29,4s =372s =4n ≥19323842n n n n S +=+-（3）证明见解析【分析】（1）利用数列的通项公式判断其增减性，从而确定，的表达式，进而求出数列{}n a n A n B 的通项公式；{}n b（2）由计算，时，数列单调递减，所以当时，212n nn a -=11322n n n n a a ++--=2n ≥4n ≥32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列的公差为，则，讨论，三种情{}n b d 111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=0,d >0d <0d =况，分别证明数列为等差数列即可.{}n a 【详解】（1）由得是递增数列，21n a n =-{}n a 所以，21,n n A a n ==-11n B a ==所以.2n n n b A B n =+=（2）由得， 212n n n a -=111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=当，，即；1n =10n n a a +->12a a <当，，即.2n ≥10n n a a +-<2341a a a a >>>又， 11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<所以，当时，， 11,b =25,4b =354b =4n ≥32142n n n b -=+所以， 11,=S 29,4=S 372S =当时，令， 4n ≥13213(1)42422n n n n n k n b kn b b ---++=+=+-则，即. 2,k =3b =13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-所以 344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n . 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-综上所述，，当时，. 11,=S 29,4=S 372S =4n ≥19323842n n n n S +=+-（3）设数列的公差为，{}n b d 则，111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=由题意，11,n n n n A A B B ++≥≤①，对任意都成立，0,d >1n n A A +>*n ∈N 即，所以是递增数列.11++=>=n n n n A a A a {}n a所以，,n n A a =1n B a =所以，111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-所以数列是公差为的等差数列；{}n a d ②当时，对任意都成立，0d <1n n B B +<*n ∈N 进面，11n n n n B a B a ++=<=所以是递减数列.，{}n a 1,n A a =n n B a =所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-所以数列是公差为的等差数列；{}n a d ③当时，，0d =110n n n n A A B B ++-+-=因为与中至少有一个为0，1n n A A +-1n n B B +-所以二者都为0，进而可得数列为常数列，{}n a 综上所述，数列为等差数列.{}n a 【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.。

高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题π:,tan 03p x x x $>->，则命题p 的否定是（ ）A. π,tan 03x x x "£-> B. π,tan 03x x x ">-£C. π,tan 03x x x $£-> D. π,tan 03x x x $>-£2.曲线sin cos y x x =+在π2x =处切线倾斜角为（ ）A.0B.π4C.π2D.3π43.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）A 57斗 B.56斗 C. 107斗 D.53斗4.()6(2)x y x y +-的展开式中52x y 的系数是（）A 48 B.-48C.72D.-725.小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.A.48B.72C.216D.432的..6. 已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .内角,,A B C 为等差数列，若AC边上的中线长为ABC Vb 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知点P 在函数()2ln 2f x x x =-+图象上，点Q 在直线:30l x y -+=上，记2||M PQ =，则（ ）A. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为1-B. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为1C. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为12D. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为12-8. 已知()232ln3ln41,,e 4ea b c -===，则（ ）A. a b c << B. a c b <<C. b a c<< D. b c a<<二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 设已知随机变量,X Y 满足()31,5Y X E Y =-=，则()2E X =B. 若110,5X B æö~ç÷èø，则()2D X =C. 若()22,X N s:，设()10.6P X ³=，则()30.4P X ³=D. 若事件,A B 相互独立且()01P B <<，则()()()P A B P A B P A ==∣∣10. 已知函数()e ln xf x a x =+，下列说法中正确的是（ ）A. 对于任意0a >，函数()f x 在定义域上是单调递减函数B. 对于任意0a <，函数()f x 存在最小值C. 存在0a >，使得对于任意()0,x Î+¥都有()0f x >恒成立D. 存在0a <，使得()f x 在定义域上有两个零点的11. 已知,A B 为两个随机事件，,A B 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）A. 若()()11,34P A P B ==，则()712P A B È=B. 若()()()121,,|552P A P B P B A ===，则()3|8P B A =C. 若()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，则()14P B =D. 若()()()133,|,|248P A P A B P A B ===，则()13P B =第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用X 表示选到男生的人数，则1X ³的概率是__________.13. 若10121001210(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++L ，则13579a a a a a ++++=______.（用数字作答）14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()6235e ,22e xf f x f x =--¢<，则不等式()22ln 2ln f x x x x £-的解集为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，O 是ABC V 的重心，1111,60,C CA C CB C CO AA ÐÐÐ===o .（1）证明：1C O ^平面ABC ；（2）求二面角1A CC B --的正弦值.17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩x 近似服从正态分布()277,N s，且()77800.3P x ££=.（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.18. 已知圆：22430x y x +-+=的圆心为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，且椭圆C 的离心.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 为坐标原点，分别过,A B 作椭圆C 的切线，两切线相交于点M .（i ）求证：,,O M N 三点共线；（ii ）当l 不与x 轴垂直时，求AB FMFN×的最小值.19. 设()f x ¢是函数()f x 的导函数，若()f x ¢可导，则称函数()f x ¢的导函数为()f x 的二阶导函数，记为()f x ¢¢.若()f x ¢¢有变号零点0x x =，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的“拐点”.（1）研究发现，任意三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++¹，曲线()y f x =都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.已知函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，求函数()f x 的解析式，并讨论()f x的单调性；的（2）已知函数()132221112e1(0)623mx g x mx x x m m m m -=+-+-->.（i ）求曲线()y g x =的“拐点”；（ii ）若()()()12122g x g x x x +=-¹，求证：122x x m+<.高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知命题π:,tan 03p x x x $>->，则命题p 的否定是（ ）A. π,tan 03x x x "£-> B. π,tan 03x x x ">-£C. π,tan 03x x x $£-> D. π,tan 03x x x $>-£【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题π:,tan 03p x x x $>->的否定是π,tan 03x x x ">-£.故选：B.2. 曲线sin cos y x x =+在π2x =处切线的倾斜角为（ ）A. 0B.π4C.π2D.3π4【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】解：因为cos sin y x x -¢=，所以曲线在π2x =处的切线的斜率为1k =-，结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为3π4，故选：D.3. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）A.57斗 B.56斗 C.107斗 D.53斗【答案】C 【解析】【分析】设羊主人应赔偿1a 斗，则马主人应赔偿12a 斗，牛主人应赔偿14a 斗，根据题意，列出方程，即可求解.【详解】设羊主人应赔偿1a 斗，则马主人应赔偿12a 斗，牛主人应赔偿14a 斗，由题意得11112475a a a a ++==，所以157a =，所以马主人应赔偿11027a =斗.故选：C.4. ()6(2)x y x y +-的展开式中52x y 的系数是（ ）A. 48B. -48C. 72D. -72【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解.【详解】由题意，多项式()6(2)x y x y +-的展开式中，52x y 的系数等于221166C (2)C (2)48-+-=.故选：A.5. 小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.A. 48 B. 72 C. 216 D. 432【答案】D 【解析】【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.【详解】先将3个将军俑捆在一起当一个元素使用，有33A 6=种捆法，将3个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有33A 6=种捆法，将2个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有22A 2=种捆法，再将所得3个元素作全排，有33A 6=种排法，所以不同的排法共有33233323A A A A 432=种.故选：D.6. 已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .内角,,A B C 为等差数列，若AC 边上的中线长为ABC V b 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】首先求出B ，根据平行四边形法则得2BM BA BC =+uuuu r uuu r uuu r，两边平方得到一个关于a ，c 的方程，再根据面积公式得到a ，c 的另一个方程，最后由余弦定理计算出b .【详解】因为内角,,A B C 成等差数列，所以3πA B C B ++==,即π3B =，设AC 中点为M ，所以2BM BA BC =+uuuu r uuu r uuu r，由题意，BM =，所以22()4||12BA BC BM +==uuu r uuu r uuuu r ，即2212a c ac ++=，又因为1sin 2ABC S ac B ===△4ac =，228a c +=，由余弦定理，2222cos 4b a c ac B =+-=，所以2b =.故选：A.7. 已知点P 在函数()2ln 2f x x x =-+的图象上，点Q 在直线:30l x y -+=上，记2||M PQ =，则（ ）A. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为1-B. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为1C. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为12D. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为12-【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性，作出函数的图象，然后利用数形结合知函数()2ln 2f x x x =-+在P 点处的切线平行于直线l ，然后利用导数的几何意义求得切点坐标，再利用垂直关系求得直线PQ 方程，与直线:30l x y -+=联立求解交点即可.【详解】()2ln 2f x x x =-+，则()221x f x x x-=-=¢，令()0f x ¢>得02x <<，令()0f x ¢<得2x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,¥+上单调递减，作出函数函数()2ln 2f x x x =-+的图象，如图：由题意，当M 最小时，函数()2ln 2f x x x =-+在P 点处的切线平行于直线l ，过P 点作直线l 的垂线，垂足即为点Q .设P 的坐标为()000,2ln 2x x x -+，因为()21f x x¢=-，所以()00211f x x -¢==，解得01x =，即P 点的坐标为()1,1，所以过P 点，且与直线l 垂直的直线方程为20x y +-=，联立方程20,30,x y x y +-=ìí-+=î解得Q 的坐标为15,22æö-ç÷èø.故选：D.8. 已知()232ln3ln41,,e 4ea b c -===，则（ ）A. a b c << B. a c b <<C. b a c << D. b c a<<【答案】C 【解析】【分析】令函数()ln xf x x=，利用导数求得函数()f x 在()0,e 上单调递增，结合对数的运算性质和函数的单调性，即可求解.【详解】令函数()ln xf x x =，可得()21ln (0)x f x x x -=>¢，所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，又因为()()222e ln e ln4ln21lne 3,2,e e 342e e 3a fb fc f æö========ç÷èø，因为2e 2e 3<<，所以()()2e 2(e 3f f f <<，即b a c <<.故选：C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 设已知随机变量,X Y 满足()31,5Y X E Y =-=，则()2E X =B. 若110,5X B æö~ç÷èø，则()2D X =C. 若()22,X N s:，设()10.6P X ³=，则()30.4P X ³=D. 若事件,A B 相互独立且()01P B <<，则()()()P A B P A B P A ==∣∣【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望的性质，可判定A 正确；结合二项分布方差的公式，可判定B 错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C 正确；根据条件概率的计算公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由()()31E Y E X =-，所以()()123E Y E X +==，所以A 正确；对于B 中，由110,5X B æö~ç÷èø，所以()14810555D X =´´=，所以B 错误；对于C 中，由()22,X N s:，所以()()()31110.4P X P X P X ³=£=-³=，所以C 正确；对于D 中，因为,A B 相互独立，所以()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，且()()()()()()(|()()()1()P AB P A P AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====-，所以D 正确.故选：ACD.10. 已知函数()e ln xf x a x =+，下列说法中正确的是（ ）A. 对于任意0a >，函数()f x 在定义域上是单调递减函数B. 对于任意0a <，函数()f x 存在最小值C. 存在0a >，使得对于任意()0,x Î+¥都有()0f x >恒成立D. 存在0a <，使得()f x 在定义域上有两个零点【答案】BD 【解析】【分析】A.利用导数法判断；C.由0,0a x >®时，()f x ¥®-判断；B.利用导数法判断；D.利用导数法判断.【详解】因为()e ln xf x a x =+，所以()e (0)xaf x x x+¢=>.当0a >时，()e 0xaf x x=¢+>，函数()f x 在()0,¥+上单调递增，A 错误；又因为当0,0a x >®时，()f x ¥®-，C 错误；当0a <时，显然()e xaf x x=¢+在()0,¥+上单调递增，且当0x ®时，()f x ¥¢®-，当x ®+¥时，()f x ¥¢®+，所以存在()00,x ¥Î+，使得函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ¥+上单调递增，所以函数()f x 有最小值，B 正确；又因为当0a <时，当0x ®时，()f x ¥®+，当x ®+¥时，()f x ¥®+，所以只需函数()f x 的最小值小于0，函数()f x 就有两个零点，D 正确，故选：BD.11. 已知,A B 为两个随机事件，,A B 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）A. 若()()11,34P A P B ==，则()712P A B È=B. 若()()()121,,|552P A P B P B A ===，则()3|8P B A =C. 若()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，则()14P B =D. 若()()()133,|,|248P A P A B P A B ===，则()13P B =【答案】BCD 【解析】【分析】根据事件和概率加法公式，全概率，条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可．【详解】对于A ，()()()()P A B P A P B P AB =+-U ，故A 错误；对于B ，因为()()11,|52P A P B A ==，所以()()()1|10P AB P A P B A =×=，所以()()()()()()213510|11815P AB P B P AB P B A P A P A --====--，故B 正确；对于C ，因为()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，所以()()()()()()()37|,|448P AB P B P A B P B P AB P A P B A ====，所以()()()P AB P AB P A +=，解得()14P B =，故C 正确；对于D ，因为()12P A =，所以()12P A =，又因为()()()()()()()()()333|,|1488P AB P B P A B P B P AB P B P A B P B P B =====-éùëû，所以()()()()()()333314888P AB P AB P B P B P B P A +=+-=+=éùëû，解得()13P B =，故D 正确.故选：BCD.第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用X 表示选到男生的人数，则1X ³的概率是__________.【答案】3435【解析】【分析】根据题意，得到随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，结合()()110P X P X ³=-=，即可求解.【详解】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，随机变量男生人数X 的可能取值为0,1,2,3，则()()3337C 341101C 35P X P X ³=-==-=.故答案为：3435.13. 若10121001210(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++L ，则13579a a a a a ++++=______.（用数字作答）【答案】512-【解析】【分析】利用赋值法，分别令0x =，令2x =-，代入求解即可.【详解】令0x =，可得012100a a a a ++++=L ；令2x =-，可得01239101024a a a a a a -+--+=L ；两式相减除以2，得13579512a a a a a ++++=-.故答案为：512-14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()6235e ,22e xf f x f x =--¢<，则不等式()22ln 2ln f x x x x £-的解集为__________.【答案】(30,e ùû【解析】【分析】令()()22e x f x g x x =+，利用导数求得()g x 为增函数，把不等式转化为()ln ln 2ln 1exf x x +£，得到()()ln 3g x g £，列出不等式组，即可求解.【详解】令()()22e x f x g x x =+，则()()()2222e 0exxf x f xg x -+¢=>¢，所以()g x 增函数，不等式()22ln 2ln f x x x x £-可变形为()2ln ln 2ln 1exf x x +£，因为()()6336561ef g =+=-+=，所以不等式()2ln ln 2ln 1e x f x x +£等价于()()ln 3g x g £，所以ln 30x x £ìí>î，解得30e x <£，所以不等式()22ln 2ln f x x x x £-的解集为(30,e ùû.故答案为：(30,e ùû.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.【答案】（1）27（2）37（3）23【解析】【分析】（1）法一：结合排列组合数运算利用古典概型概率公式求解即可；法二：利用条件概率公式求解即可.（2）利用全概率概率公式求解即可.（3）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记“选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题”为事件A ，“选手甲第2次抽到“函数与导数”试题”为事件B ，法一：()114327C C 432A 767P AB ´===´.是法二：由概率乘法公式可得()()()432767P AB P A P B A ==´=.【小问2详解】由全概率公式可得()()()()()4332376767P B P A P BA P A PB A =+=´+´=∣∣.【小问3详解】由条件概率公式可得()()()227337P AB P A B P B ===.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6正三角形，O 是ABC V的重心，1111,60,C CA C CB C CO AA ÐÐÐ===o .（1）证明：1C O ^平面ABC ；（2）求二面角1A CC B --的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1213.【解析】【分析】（1）利用全等思想来证明等腰，然后可得中线就是垂线，从而可证明线面垂直到线线垂直，再证明线面垂直即可；（2）利用空间向量法来求解二面角的余弦值，再求出正弦值即可.【小问1详解】证明：如图，连接CO 并延长交AB 于点D ，连接111,,C A CBC D ，的在1C CA △与1C CB △中，111,,CA CB C CA C CB C C ÐÐ==为公共边，11C CA C CB \@V V ，11C A C B \=，1AB C D \^，又1,CD C D D CD Ç=Ì平面11,C CD C D Ì平面1C CD ，AB \^平面1C CD ，又1C O Ì平面1C CD ，1AB C O \^.正ABC V 的边长为6，CD \=，CO \=又11160CC AA C CO ==Ð=o ，在1C CO △中，由余弦定理可得，16C O ==，22211||C O CO CC \+=，1C O CO \^.又,AB CO D AB Ç=Ì平面,ABC CO Ì平面ABC ，1C O \^平面ABC .【小问2详解】如图，过D 作Dz ^面ABC ，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()13,0,0,3,0,0,,A B C C -，故()()1,0,AC CC ==-uuu r uuuu r，()BC =-uuu r设平面1ACC 的法向量()1,,n x y z =ur ，则306z ì=ïí-+=ïî，令3x =，解得1y z ==-，则()13,1n =-ur.设平面1BCC 的法向量()2,,n x y z =uu r ，则060z ì-=ïí-+=ïî，令3x =，解得1y z ==，则O 是V ABC 的重心，\D 是AB 的中点，又底面ABC 是正三角形，\AB ^CD .()2n =uu r.设二面角1A CC B --的大小为q93151313--==，()0,q p ÎQ ,12sin 13q \==，即二面角1A CC B --的正弦值为1213.17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩x 近似服从正态分布()277,N s，且()77800.3P x ££=.（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）200人. （2）分布列见解析，0.6【解析】【分析】（1）由变量x 近似服从正态分布()277,N s ，求得(80)0.2P x >=，进而得到问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）根据题意，得到随机变变量()3,0.2X B :，结合对立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望.【小问1详解】解：因为随机变量x 近似服从正态分布()277,N s，且()77800.3P x ££=，所以()(80)0.577800.2P P x x >=-££=，所以10000.2200´=，所以估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人.【小问2详解】解：由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为0.2，且()3,0.2X B :，所以随机变量X 的分布列为()33C 0.20.8,0,1,2,3kkkP X k k -==´=，所以随机变量X 的分布列为：X 0123P 0.5120.38400960.008所以随机变量X 的均值为()30.20.6E X =´=.18. 已知圆：22430x y x +-+=的圆心为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，且椭圆C 的离心.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 为坐标原点，分别过,A B 作椭圆C 的切线，两切线相交于点M .（i ）求证：,,O M N 三点共线；（ii ）当l 不与x 轴垂直时，求AB FMFN×的最小值.【答案】（1）2215x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii 【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得2c =，2c =，即可求解椭圆方程；（2）（i ）分l 斜率不存在和存在两种情况讨论，当l 斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，韦达定理求出N 的坐标，利用判别式法求出切线方程，进而求得M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y æö--ç÷--èø，即可证明三点共线；（ii ）利用距离公式和弦长公式分别求出,,AB FM FN ，即可求解.【小问1详解】由圆：22430x y x +-+=即()2221x y -+=可得：圆心()2,0F ，所以2c =，ca=，所以a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为2215x y +=..【小问2详解】（i ）①当l 斜率不存在时，l x ^轴，由椭圆的对称性可知，,M N 均在x 轴上，所以,,O M N 三点共线.②当l 斜率存在时，设l 的方程为()()20y k x k =-¹，且()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组()222,1,5y k x x y ì=-ïí+=ïî可得：()()222251202050k x k x k +-+-=，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，点N 的坐标为222102,5151k k k k æö-ç÷++èø，所以ON 所在的直线的方程为15y x k=-，先证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，当切线斜率存在时，设过点()00,x y 的切线方程为y kx m =+，联立方程22221x y a by kx m ì+=ïíï=+î，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，由Δ0=可得()()()222222222240kma b a k a ma b -+-=，所以22220a k mb -+=由韦达定理可知2202222kma b x a k -+=，即20x m ka =-，把20x m ka =-代入y kx m =+中，得2b m y =，所以220200b x b y kx m a y y =+=-+，化简得00221x x y ya b+=．当切线斜率不存在时，过()00,x y 的切线方程为x a =±，满足上式．综上，椭圆上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.所以椭圆C 在,A B 处的切线方程为12121,155x x x xy y y y +=+=，联立方程组11221,51,5x xy y x x y y ì+=ïïíï+=ïî解得点M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y æö--ç÷--èø，()()12122112212112211555OMON x x x y x y x x k k y y y y k x y x y ---===-=---，故,,O M N 三点共线.（ii ）由（i）可知，2AB x =-=，又,,F A B 三点共线，所以21210022y y x x --=--，所以()1221212x y x y y y -=-，即点M 化简得51,22k æö-ç÷，=，即1k =时，等号成立.所以AB FM FN×的最小值为【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，属较难题.19. 设()f x ¢是函数()f x 的导函数，若()f x ¢可导，则称函数()f x ¢的导函数为()f x 的二阶导函数，记为()f x ¢¢.若()f x ¢¢有变号零点0x x =，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的“拐点”.（1）研究发现，任意三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++¹，曲线()y f x =都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.已知函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，求函数()f x 的解析式，并讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()132221112e1(0)623mx g x mx x x m m m m -=+-+-->.（i ）求曲线()y g x =的“拐点”；（ii ）若()()()12122g x g x x x +=-¹，求证：122x x m +<【答案】（1）()3232429f x x x x =--+，函数()f x 在(),2-¥-上单调递增，在()2,4-上单调递减，在()4,+¥上单调递增.（2）（i ）1,1m æö-ç÷èø；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“拐点”的定义，对函数()y f x =求导列式求解3,29b d =-=，利用导数研究函数()f x 的单调性即可求解，（2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数()g x 求导，利用二阶导函数的异号零点得出结果；（ⅱ）由（i ）可得函数()g x 在R 上单调递增，将要证的不等式转化为()1122g x g x m æö+->-ç÷èø，构造函数()()2h x g x g x m æö=+-ç÷èø，利用导数研究函数的单调性，再根据函数()h x 的单调性得到关于12,x x 的不等式，即可证明.【小问1详解】()3224f x x bx x d =+-+Q ，()23224f x x bx \=+-¢，()62f x x b \=+¢¢，又函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，即拐点为()1,3，()()11243,1620,f b d f b ¢¢ì=+-+=ï\í=+=ïî解得3,29b d =-=，()3232429f x x x x \=--+，()()()23624342f x x x x x \=--=-+¢，.Q 函数()f x ¢在(),2¥--上为正，在()2,4-上为负，在()4,¥+上为正，\函数()f x 在(),2¥--上单调递增，在()2,4-上单调递减，在()4,¥+上单调递增.【小问2详解】（i ）()132221112e 1623mx g x mx x x m m m -=+-+--Q ，()12111e 222mx g x mx x m m-\=+-+¢，()1e 2mx g x mx -¢¢\=+-.显然，()1e 2mx g x mx -=+¢-¢在R 上单调递增，且011e 20g m m m æö=+´-=ç¢÷èø¢，1x m\=是()g x ¢¢的变号零点，又0232211111112e 11623g m m mm m m m m æö=+´-+´--=-ç÷èø，\曲线()y g x =的拐点是1,1m æö-ç÷èø.（ii ）由（i ）可得，当1,x m ¥æöÎ-ç÷èø时，()()0,g x g x ¢¢¢<单调递减；当1,x m ¥æöÎ+ç÷èø时，()()0,g x g x ¢¢¢>单调递增；()02111111e 2022g x g m m mm m m æö\³=+´-´+÷¢=çèø¢，\函数()g x 在R 上单调递增，不妨设121x x m <<.要证122x x m +<，即证212x x m <-，即证()212g x g x m æö<-ç÷èø，又()()122g x g x +=-，即证()1122g x g x m æö--<-ç÷èø，即证()1122g x g x m æö+->-ç÷èø令()()2h x g x g x m æö=+-ç÷èø，则()()2h x g x g x m ¢æö=--ç÷è¢ø¢，()()()21122e 2e 2m x mx m h x g x g x mx m x m m æö-ç÷-èøéùæöæö\=+-=+-++--êúç÷ç÷èøèøêú뢢¢¢û¢¢.11111e e 2e 20e mx mx mx mx ----=+-=+-³，\函数()()2h x g x g x m ¢æö=--ç÷è¢ø¢在R 上单调递增，又11210h g g m m m m æöæöæö=--¢=ç÷ç÷ç÷èøèøèø¢¢，\函数()()2h x g x g x m æö=+-ç÷èø在1,m ¥æö-ç÷èø上单调递减，在1,m ¥æö+ç÷èø上单调递增.()()111211212h x g x g x h g g m m m m m æöæöæöæö\=+->=+-=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø得证，即122x x m +<成立.【点睛】方法点睛：处理此类双变量问题有两个策略：一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.。

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

安徽省十校联盟高二6月联考数学一、单选题（每小题5分，共40分）1. ，A. B. C. D.2. ( )A. 1B. D. e3. 通用技术结业课程上，老师带领大家设计一个圆台状的器皿材料的厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为18cm( )A. B. C. D.4.是由法国数学家棣莫佛发现的.( )A. B. C.5.，则的一个必要不充分条件是( )A. B. l，m共面 C. D. l，m无交点6. 音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦.已知某和弦可表示为函数在上的图象大致为( )A. B.C. D.7. 正多边形具有对称美的特点，很多建筑设计都围绕着这一特点展开.已知某公园的平面设计图2的等边三角形，四边形ABDE，AGFC，BCHI都是正方形，则( )A. B. C. D.8. 18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当n常数，a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.二、多选题（每小题5分，共20分）9. 将函数2倍后，个单位长度，得到函数的图象，则( )A. 的周期为B.C. D. 上单调递减10. 某中学共有1000名学生，其中初中生600人，身高的平均数为160，方差为100，高中生400人，身高的平均数为170，方差为200，则下列说法正确的是( )A. 该中学所有学生身高的平均数为164B. 该中学所有学生身高的平均数为162C. 该中学所有学生身高的方差为162D. 该中学所有学生身高的方差为16411. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点F到其准线的距离为4，过点F作直线l交C于M，N两点，则( )B.A. CC. 的最小值为8D.12. 在正方体中，点M，N分别是棱BC，的中点，，则( )A. 存在AMPB. 存在平面DMPC. 时，平面AMP截正方体所得的截面形状是五边形D. 时，异面直线AP与BC三、填空题（每小题5分，共20分）13. 公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本德本是古埃及的重量单位的食物分成10德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是__________德本.14. 已知圆，，若以线段MN为直径的圆与圆C有公共点，则r的值可能为__________写出一个即可15. 某商场在过道上设有两排座位每排4座供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有__________种;若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有__________种用数字作答16. 已知椭圆的左焦点为F，点A在C上，O为坐标原点，且C的离心率是__________.四、解答题（共70分）17. A，B，C的对边分别是a，b，c求角B的大小;D为线段AC的中点，.18.设数列的前n项和为，.求及求数列的前20项和19. 为了检查新机器的生产情况，某公司对该机器生产的部分产品的质量指标进行检测，所得数据统计如图所示.求a的值以及被抽查产品的质量指标的平均值;以频率估计概率，若从所有产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数量为X，求X的分布列以及数学期望20.若点E是线段SC上靠近S的三等分点，求直线DE与平面SAB所成角的正弦值.21. 过定点A，双曲线过点A，且C的一条渐近线方程为求点A的坐标和C的方程;若直线C交于M，N两点，试探究：直线AM，AN的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由.22. 已知函数若上的单调性;若关于x的不等式上恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵AA={xx|xx2+16<10xx}={xx|2<xx<8}，BB={xx|xx>5}，∴AA∪BB={xx|xx>2}.故选AA.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.设出切点横坐标，求导，通过斜率得出横坐标方程，可得结果.【解答】解：设切点的横坐标为x，则yy′=2xx−1xx=−1，则xx=12(xx=−1舍去).故选BB.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆台的体积，是基础题.根据圆台的体积计算可得圆台的高.【解答】解：由题意得，13(9ππ+182ππ+54ππ)⋅ℎ=1935√ 3ππ，解得ℎ=15√ 3.故选CC.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的运算和诱导公式，考查学生应用公式的能力，属于基础题.根据棣莫佛公式化简[[√ 22(cos5ππ12+ii s in5ππ12)]4,即可求解.【解答】解：由题意得，zz=[√ 22(cos5ππ12+ii s in5ππ12)]4=14(cos5ππ3+ii s in5ππ3)=−cos2ππ34−sin2ππ34ii=18−√ 38ii，故所求虚部为−√ 38.故选CC.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了必要不充分条件的应用，线面平行的判定，属于基础题;根据线面平行的判定及必要不充分条件的定义判断即可.【解答】解：若“ll//ββ”，则“l，m无交点”，反之不成立;选项A是充分不必要条件;选项B，C是既不充分也不必要条件.故选DD.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性，单调性，零点得出函数图像，属于基础题.根据题意可知ff(xx)是奇函数，可排除选项C；根据函数的取值排除选项B，根据函数零点的个数可排除选项D，进而可得答案.【解答】解：易知函数ff(xx)为奇函数，图象关于原点中心对称，排除CC;当x从正方向趋于0时，ff(xx)<0，排除BB;令ff(xx)=0，可知该方程有5个解，排除DD.故选AA.7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.利用建系将向量坐标化求数量积即可.【解答】解：以I为原点，IH所在直线为x轴，IB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则II (0,0)，AA (1,2+√ 3)，HH (2,0)，FF (2+√ 3,3)， 则AAHH ������⃗=(1,−2−√ 3)，II FF ����⃗=(2+√ 3,3)， 则AAHH ������⃗⋅II FF����⃗=−4−2√ 3. 故选BB .8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查利用导数比较大小，属于一般题.由题意得aa =ln 43−43，bb =ln 65−65，cc =ln 97−97，构造函数ff (xx )=ln xx −xx ，利用导数即可比较大小. 【解答】解：由题意得，aa =∑1ii 40000ii=30001−43=∑1ii40000ii=1−∑1ii 3000ii=1−43=ln 43−43， 同理可得，bb =ln 65−65，cc =ln 97−97; 令ff (xx )=ln xx −xx ，则ff′(xx )=1xx −1，故当xx >1时，ff′(xx )<0，即函数()在(1,+∞)上单调递减，而43>97>65， ∴bb >cc >aa .故选DD .9.【答案】BC【解析】 【分析】本题主要考查函数yy =AA sin(ωωxx +φφ)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．利用函数yy =AA sin(ωωxx +φφ)的图象变换规律得到gg (xx )的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论． 【解答】解：由题意得，gg (xx )=2sin[32(xx +ππ3)−ππ4]=2sin(32xx +ππ4)，则TT=2ππ32=4ππ3，故A 错误;gg (ππ)=2sin(32ππ+ππ4)=−2sin ππ4=−√ 2，故B 正确;∵gg (ππ6)=2sin(ππ4+ππ4)=2，∴xx =ππ6是gg (xx )图象的一条对称轴，故C 正确;∵xx∈[−ππ3,0]，∴32xx+ππ4∈[−ππ4,ππ4]，∴gg(xx)在[−ππ3,0]上单调递增，故D错误.故选BBCC.10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查了平均数和方差的概念，属于基础题；根据平均数和方差的概念求得结果即可.【解答】解：由题意得，所求平均数为160×600+170×4001000=164，故A正确，B错误;ss2=11000{600×[100+(160−164)2]+400×[200+(170−164)2]}=116×600+236×4001000=164，故D正确，C错误.故选AADD.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查抛物线抛物线的焦点、准线，抛物线的几何性质，向量数量积的坐标运算，抛物线的定义，属于基础题.根据题意，利用抛物线的相关知识进行判断即可.【解答】解：由题意得，pp=4，则C的准线为xx=−2，故A正确;OOOO�������⃗⋅OOOO������⃗=xx MM xx NN+yy MM yy NN=pp24−pp2−34pp2<0，故B错误;|OOOO|=2pp sin2θθ=8sin2θθ≥8，故C正确;∵1|OOFF|+1|OOFF|=2pp=12，∴|OOFF||OOFF|=2(|OOFF|+|OOFF|)，故D正确.故选AACCDD.12.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的性质定理，考查线面平行的判定定理，考查异面直线所成的角，属于中档题.根据题意逐一判断选项即可.【解答】解：若OOOO⊥平面AMP，AAOO⊂平面AAOOAA，则OOOO⊥AAOO，即∠OOOOAA=90∘，而AAOO=AAOO，则∠OOOOAA=∠AAOOOO=90∘，显然不成立，故A错误;当λλ=12时，AAOO//AADD，AADD⊂平面DMP，AAOO⊄平面DMP，所以AAOO//平面DMP，故B正确; 作出图形如图所示，延长DDDD1至E，使得DD1EE=AACC1，连接AE交AA1DD1于点F，取线段CC1DD1的中点G，连接FG，PG，则五边形AMPGF为所求截面图形，故C正确;连接DP，则∠AAAADD即为异面直线AP与BC所成角，设正方体的棱长为2，则在RRRR△AADDAA中，AADD=2，DDAA=√ 5，AAAA=3，∴cos∠AAAADD=23，故D错误.故选BBCC.13-16.【答案】(1)254(2)1(2,3也可)(3)1680672(4)√ 3−1【解析】(1)【分析】本题主要考查了等差数列求和公式.由已知利用等差数列求和公式进行求解即可.【解答】由题意得，各份大小构成等差数列{aa nn}，且nn=10，dd=−56，SS10=100，∴10aa10+10×92×56=100，解得aa10=254.(2)【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系.由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【解答】由题意得，圆xx2+yy2=1与圆CC:(xx−3)2+(yy−4)2=rr2+25有公共点，∴√rr2+25−1≤√ 32+42≤√rr2+25+1，∴{√rr2+25⩾4√rr2+25⩽6,解得0<rr⩽√11,rr>0.故rr=1，2，3均可.(3)【分析】本题主要考查了排列的运用.由已知利用排列公式进行求解.【解答】不同的坐法有AA84=1680种;若其他两个人在同一排，则不同的坐法有AA21(AA42AA42)=288种;若其他两个人不在同一排，则不同的坐法有AA21AA21(AA43AA41)=384种，故所有不同的坐法有288+384=672种.(4)【分析】本题主要考查了椭圆的定义及性质.由已知利用椭圆的定义及性质即可求解.【解答】设右焦点为FF′，连接AAFF′，由∠OOAAFF=∠OOFFAA=ππ6，知|OOAA|=12|FFFF′|，易得∠FFAAFF′=ππ2.在RRRR△AAFFFF′中，|AAFF|=2cc⋅cos∠AAFFOO=2cc⋅√ 32=√ 3cc，|AAFF′|=2cc⋅sin∠AAFFOO=2cc⋅12=cc.由椭圆的定义可得，|AAFF|+|AAFF′|=2aa，∴2aa=(√ 3+1)cc，故离心率ee=cc aa=2√ 3+1=√ 3−1.17.【答案】解：(1)由正弦定理得2sin BB cos CC=2sin AA+sin CC，又sin AA=sin(BB+CC)=sin BB cos CC+cos BB sin CC，代入上式可得2cos BB sin CC+sin CC=0，又CC∈(0,ππ)，∴sin CC≠0，∴cos BB=−12，又BB∈(0,ππ)，∴BB=2ππ3.(2)由题意得，BBDD������⃗=12(BBAA�����⃗+BBCC�����⃗)，BBDD������⃗2=14(BBAA�����⃗+BBCC�����⃗)2=14(BBAA�����⃗2+2BBAA�����⃗⋅BBCC�����⃗+BBCC�����⃗2)，即4=14(cc2+2aacc cos2ππ3+aa2)，整理得aa2+cc2−aacc=16.在△AABBCC中，由余弦定理得bb2=aa2+cc2−2aacc cos2ππ3，即aa2+cc2+aacc=48，联立�aa2+cc2−aacc=16aa2+cc2+aacc=48解得aacc=16，∴SS△AAAAAA=12aacc sin2ππ3=12×16×√ 32=4√ 3【解析】本题考查正弦定理，内角和定理，余弦定理，中线的向量公式，三角形面积公式.(1)利用正弦定理边化角，求出角BB.(2)利用中线的向量公式和余弦定理分别得出a，c的等量关系，解方程组得aacc=16，代入面积公式即可.18.【答案】解：(1)由点(aa nn+1,SS nn)在直线yy=xx−1，得SS nn=aa nn+1−1.当nn=1时，aa1=SS1=aa2−1，即aa2=2，当nn≥2时，由SS nn=aa nn+1−1得SS nn−1=aa nn−1，两式相减得aa nn=aa nn+1−aa nn，即aa nn+1aa nn=2，又aa2aa1=2，∴数列{aa nn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴aa nn=2nn−1；(2)由(1)知，aa nn=2nn−1，∴bb nn={2nn2−1,nn为偶数,nn,nn为奇数,∴TT20=(bb1+bb3+⋯+bb19)+(bb2+bb4+⋯+bb20)=(1+3+⋯+19)+(aa1+aa2+⋯+aa10)=(1+3+⋯+19)+(1+2+⋯+29)=10×(1+19)2+�1−210�1−2=1123.【解析】本题考查由数列的递推关系以及等比数列求通项公式，等差数列和等比数列的前n项和，数列的求和方法：分组求和法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由递推关系可得数列{aa nn}为等差数列，即可得到答案；(2)由分组求和，结合利用等差数列、等比数列的求和公式即可得出答案．19.【答案】解：(1)由题意得，(0.02×2+0.03+0.05+0.06+aa+0.18)×2=1，解得aa=0.14;所求质量指标的平均值为2×0.04+4×0.12+6×0.28+8×0.36+10×0.1+12×0.06+ 14×0.04=7.4;(2)由题意得，X∽BB(4,25)，则AA(XX=0)=CC40(35)4=81625，AA(XX=1)=CC41(35)3(25)=216625，AA(XX=2)=CC42(35)2(25)2=216625，AA(XX=3)=CC43(35)(25)3=96625，AA (XX =4)=CC 44(25)4=16625; 故X 的分布列为： X 01 2 3 4 P 81625 216625 216625 96625 16625 ∴EE (XX )=4×25=85.【解析】本题考查了频率分布直方图、平均数、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题. (1)由频率和为1，可得a 的值；再根据频率分布直方图求解平均数即可； (2)由题意得，X ∽BB (4,25)，得出对应概率，可得X 的分布列以及数学期望EE (XX ).20.【答案】(1)证明：设点M 为BC 的中点，连接SM ，OOAA .不妨设BBCC =2，则BBOO =1， ∵∠CCBBAA =12∠BBAADD =43∠SSBBCC =60∘，∴∠SSBBCC =45∘，OOCC //AADD . 在△SSBBOO 中，由余弦定理得，SSOO =1，∴SSOO ⊥BBCC .在△AABBOO 中，由余弦定理得，OOAA =√ 3，易得OOAA ⊥BBCC ，又OOCC //AADD ，且OOCC =AADD =1，∴四边形AMCD 为矩形，∴AAOO //CCDD ，在△SSAAOO 中，∵SSAA 2=AAOO 2+SSOO 2，∴SSOO ⊥OOAA ，即SSOO ⊥CCDD .又BBCC ⊥CCDD ，SSOO ∩BBCC =OO ，SM 、BBCC ⊂平面SBC ，∴CCDD ⊥平面SSBBCC . 而CCDD ⊂平面SCD ，∴平面SSBBCC ⊥平面SSCCDD .(2)以M 为坐标原点，分别以MA ，MC ，MS 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系OOxxyyzz . 由题意得，AA (√ 3,0,0)，SS (0,0,1)，BB (0,−1,0)，DD (√ 3,1,0)，EE (0,13,23)， ∴SSAA �����⃗=(√ 3,0,−1)，SSBB �����⃗=(0,−1,−1)，DDEE ������⃗=(−√ 3,−23,23). 设平面SAB 的法向量为nn�⃗=(xx ,yy ,zz )， 则�nn �⃗⋅SSAA �����⃗=0nn �⃗⋅SSBB �����⃗=0，即�√ 3xx −zz =0−yy −zz =0， 令xx =1，则yy =−√ 3，zz =√ 3，∴nn �⃗=(1,−√ 3,√ 3).∴直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值sin θθ=|cos <DDEE ������⃗，nn �⃗>|=|DDEE ������⃗⋅nn �⃗|DDEE ������⃗|⋅|nn �⃗||=√ 1535.【解析】本题考查了面面垂直的判定和直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.(1)设点M 为BC 的中点，连接SM ，MA ，再证明CCDD ⊥平面SBC ，由面面垂直的判定即可得证； (2)建立空间直角坐标系，得出平面SAB 的法向量，由空间向量求解即可.21.【答案】解：(1)由直线ll :mmxx +yy −2mm −3=0知，ll :mm (xx −2)+(yy −3)=0，得定点AA (2,3).则�4aa 2−9bb 2=1bb aa =√ 3，解得�aa 2=1bb 2=3， 故C 的方程为xx 2−yy 23=1. (2)由(1)知，AA (2,3)，设OO (xx 1,yy 1)(xx 2,yy 2). 联立�xx 2−yy 23=1yy =kkxx +1，整理得(3−kk 2xx −2kkxx −4=0， 则3−kk 2≠0，且ΔΔ=48−12kk 2>0，∴kk 2<4且kk 2≠3，∴xx 1+xx 2=2kk 3−kk 2，xx 1xx 2=−43−kk 2， ∴kk AAMM +kk AANN =yy 1−3xx 1−2+yy 2−3xx 2−2=kkxx 1−2xx 1−2+kkxx 2−2xx 2−2=2kk +(2kk −2)(1xx 1−2+1xx 2−2) =2kk +(2kk −2)(xx 1+xx 2−4)xx 1xx 2−2(xx 1+xx 2)+4=2kk +(2kk −2)(2kk 3−kk 2−4)−43−kk 2−2⋅2kk 3−kk 2+4 =2kk +(2kk−2)×2(2kk−3)(kk +2)−4(kk−1)(kk +2)=3.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系以及圆锥曲线中的定值问题，属于较难题.(1)根据题意可直接算出a ，b 的值，进而可得出双曲线的标准方程； (2)设出交点坐标，将直线与双曲线方程联立方程组，再利用韦达定理并结合题意可得出结论.22.【答案】(1)ff′(xx)=ee1−xx(1−xx)+xx2−1=(1−xx)(ee1−xx−xx−1)，∵xx∈(−∞,0],∴1−xx>0,ee1−xx>1,∴ee1−xx−xx−1>0,∴当xx∈(−∞,0]时，ff′(xx)>0，∴函数ff(xx)在(−∞,0]上单调递增.(2)由题意得，xxee1−xx−xx ln xx+aaxx3−aa−xx≥0，xx≥1，则ee1−xx−ln xx+aaxx2−aa xx−1≥0.令FF(xx)=ee1−xx−ln xx+aaxx2−aa xx−1(xx≥1)，则FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2，∴FF(1)=0，FF′(1)=3aa−2.(ii)当3aa−2≥0，即aa≥23时，令gg(xx)=FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2gg′(xx)=ee1−xx+1xx2+2aa(1−1xx3)>0，∴FF′(xx)在[1,+∞)上单调递增，则FF′(xx)≥FF′(1)≥0，∴FF(xx)在[1,+∞)上单调递增，∴FF(xx)≥FF(1)=0，∴aa≥23符合题意;(ii ii)当3aa−2<0，即aa<23时，①当aa≤0时，FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2=−(ee1−xx+1xx)+aa(2xx+1xx2)<0，故FF(xx)在区间[1,+∞)上单调递减，∴FF(xx)≤FF(1)=0，这与题设矛盾;②当0<aa<23时，有FF′(1)<0，又xx→+∞，FF′(xx)→+∞，令gg(xx)=FF′(xx)=−ee1−xx−1xx+2aaxx+aa xx2gg′(xx)=ee1−xx+1xx2+2aa(1−1xx3)>0，∴FF′(xx)在[1,+∞)上单调递增，由零点存在性定理，知FF′(xx)在(1,+∞)上存在唯一零点xx0，∴当xx∈(1,xx0)时，FF′(xx)<0，此时FF(xx)<FF(1)=0，故与题设矛盾.综上所述，a的取值范围是[23,+∞).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中的恒成立问题，属于较难题.(1)求出函数的导数，判段(1−xx)与(ee1−xx−xx−1)的正负，即可判定函数单调性；(2)求得FF(1)=0，FF′(1)=3aa−2，再分3aa−2≥0，3aa−2<0两种情况讨论求解即可.。

安徽省十校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知,则若,则( )A.2B.3C.4D.52．已知数列等比数列,且则的值为( )A.1B.2C.3D.43．如图,可导函数在点处的切线为,设,则下列说法正确的是( )A.,B.,C.,是的极大值点D.,是的极小值点4．某公司收集了某商品销售收入y （万元）与相应的广告支出x （万元）共10组数据（，2，3，…，10），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉A 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )A.决定系数变小 B.残差平方和变小C.相关系数r 的值变小D.解释变量x 与预报变量y 相关性变弱5．已知( )321()3f x x x ax =++(1)6f '=a ={}n a 12341,64a a a a ==25log a ()y f x =()()00,P x f x :()l y g x =()()()h x f x g x =-x ∃∈R ()0h x >x ∀∈R ()0h x '<()00h x '=0x x =()h x ()00h x '=0x x =()h x (),i i x y 1i =2R ()P A =()P B A =∣()P B A =∣()B =6．有3对双胞胎站成一排拍照，恰有一对双胞胎相邻的站法有( ) A.144种 B.240种 C.288种 D.336种7．已知正项数列的前n项和为,,且恒成立,则实数M的最小值为( )D.38．已知正实数x,y满足的最大值为( )A.0B.1C.2D.e二、多项选择题9．某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关,调查了400人,得到如图所示的列联表,其中,则( )D.依据小概率值独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子的{}nanS1a=3nnaa+=13242111n nMa a a a a a++++<n lne lx y x y y=+ln y22⨯12b a=0.001α=所排列的形状,把数分成许多类,如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,…称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,…称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则下列说法正确的是( )B.1225既是三角形数,又是正方形数D.,,总存在p ,,使得成立11．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i 项为,则下列说法正确的是( )A.若,,则这样的数列共有360个B.若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,则这样的数列共有288个C.若该数列恰好先减后增,则这样的数列共有50个D.若,,则这样的数列共有71个三、填空题12．已知随机变量,且,则的展开式中常数项为___________.13．小张一次买了三串冰糖葫芦,其中一串有两颗冰糖葫芦,一串有三颗冰糖葫芦,一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗,每一串只能从上往下吃,那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）{}n a {}n b 231111n n a a a n ++++=+ 231113320n b b b +++< *m ∀∈N 2m ≥*q ∈N m p q b a a =+()i i 1,2,,7a = 47a =123567a a a a a a ++<++123a a a <<345a a a >>567a a a <<()22,X N σ～()()1P X a P X ≤=≥6x ⎛ ⎝14．已知关于x 的不等式对任意均成立，则实数k 的取值范围为_________.四、解答题15．我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额y （单位：百万元）的影响,对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究,得到相关数据如下：;（2）求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元,估计年收入的附加额．参考数据：,,．参考公式：在经验回归方程中,16．已知数列满足,且．（1）求证：是等比数列;（2）设,求数列的前n 项和.17．某大学为了研究某个生物成立了甲、乙两个小组,两个小组分别独立开展对该生物()()2ln 340x kx x k x ⎡⎤--++≤⎣⎦()0,x ∈+∞x i x i y 222i i 1nx nx ==-∑y x 8i i i 1334.1x y ==∑8i i 148.6y ==∑821i i 356x ==∑ y bxa =+b = y =-{}n a 1220n n a a +--=13a ={}2n a -n n b na ={}n b n S,乙则称该次试验失败．（1）甲组做了4次试验,求至少1次试验成功的概率;（2）若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为X ,求X 的分布列及数学期望．18．已知函数．（1）求函数的极值;（2）当时,讨论函数零点的个数．19．已知函数（1）若恒成立,求a 的值;（2）求证：．()()e x f x ax a =-∈R ()f x 0a >()f x ()()ln 22a af x x a x =-+∈R ()0f x ≥()*111sinsin sin ln 2122n n n n+++<∈++N参考答案1．答案：B解析：因为,所以,又,即,解得.故选：B 2．答案：D解析：由等比中项性质可知,又,.故选：D.3．答案：C解析：因函数在点处的切线为,即,则,于是,,由图知,当时,,此时,当时,,此时.对于B 项,由上分析,B 项显然错误;对于C,D 项,由上分析,当时,单调递增;当时,单调递减,即当时,取得极大值,且,故C 项正确,D 项错误;对于A 项,由上分析时,取得极大值,也是最大值,则有,,故A 项错误.故选：C.4．答案：B解析：从图中可以看出A 点较其他点，偏离直线远，故去掉A 点后，回归效果更好，故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，1，即相关系数r 的值变大，解释变量x 与预报变量y 相关性变强，321()3f x x x ax =++2()2f x x x a '=++(1)6f '=()211216f a '=+⨯+=3a =323433644a a a a a ==⇒=231551616a a a a ==⇒=2log 164∴=()y f x =()()00,P x f x 000()()()y f x f x x x '-=-0000()()()()g x f x x x f x f x ''=-+0000()()()()()()()h x f x g x f x f x x x f x f x ''=-=-+-0()()()h x f x f x '''=-0x x <0()()f x f x ''>()0h x '>0x x >0()()f x f x ''<()0h x '<0x x <()h x 0x x >()h x 0x x =()h x ()00h x '=0x x =()h x 0()0h x =x ∀∈R ()0h x ≤2R故A 、C 、D 错误，B 正确.故选：B.5．答案：C解析：由题知,又则故选：C.6．答案：C解析：将位置从左往右依次编号为1，2，3，4，5，6.当恰有一对双胞胎站在1，2号，则再选一对双胞胎站在3，5号，另外一对双胞胎站在4，6号即可，且每对双胞胎中的两人可以交换位置，从而有种站法；当恰有一对双胞胎站在2，3号、4，5号或5，6号时，情况同前面一样，从而共有种站法；当恰有一对双胞胎站在3，4号，则从余下的两对双胞胎中各任选一人站在1，2号即可，从而有种站法.综上可知，总站法有（种）.故选C.7．答案：B所以,即,即,则,与上式作差后可得,因为正项数列,所以,,()()1P A P A =-=()()()11()()22P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣()2133)(()P A BA P B P A =-==-()()()11()44()P B A P B A PB A P A P A ==⇒=⨯=∣()()115312()12P B A P B P BA ===++1212232222C A C A A 12122322223C A C A A 121122322222C A C C A A 12122121122322223222224C A C A A C A C C A A 288+==()133n n n n n n n a S a S a S S +=+=+()13n n n n a S S S +-=13n n n a a S +=1213n n n a a S +++=()()211133n n n n n n a S a a S a ++++-=-={}n a 23n n a a +-=222111133n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为,,,故选：B.8．答案：A解析：正实数x ,y 满足,,且,构造函数,则,,时,,函数在上单调递增,,,令,,令,,,,函数在上单调递减,又,则上,上,时函数取得极大值,即最大值0.故选：A.9．答案：ACD11a =11212333n n n a a a a S a a +=⇒=⇒=2421324352111111111113n n n n a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫++=-+-+-+- ⎪⎝⎭1212121111111111333n n n n a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=⨯+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭124119n n a a ++⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭ ()e ln ln ln x y x y y y xy =+=()()ln e e ln xy x x xy ∴=⋅()ln 0xy >()e x f x x =()(ln())f x f xy =()()1e x f x x +'=∴0x >()0f x '>()f x (0,)+∞()(ln())ln()f x f xy x xy ∴=⇔=ln ln y x ∴=-ln 1ln ln x y x x x+-=-+()ln 1ln x g x x x x +=-+,()0x ∈+∞()g x '=()2ln h x x x x =--()0,x ∈+∞()10h =()2217212148120x x x h x x x x x⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭=--==-<'∴()h x (0,)+∞()10g '=()0,1()0g x '>()1,+∞()0g x '<∴1x =()g x解析：由已知得,又,所以.,所以A正确;,所以C正确;对于D,列联表如下:,由于,依据小概率值的独立性检验,认为过量饮酒与患疾病A有关,所以D正确.故选:ACD10．答案：BCD解析：三角形数构成数列：1,3,6,10,…,则有,,,利用累加法,得时也成立;正方形数构成数列：1,4,9,16,…,则有,,,利用累加法,得,时也成立.,利用裂项求和法：43400a b+=12b a=10,120a b==0.9==2425=22⨯8026.673≈26.6710.828>0.001α={}na212a a-=323a a-= ()12n na a n n--=≥1na a-=n=1={}nb213b b-=325b b-= ()1212n nb b n n--=-≥1nb b-=2nn=1n=2112()(1)1n n n n==-++∴对于B,令,解得;令,解得;故B 正确;,,对于D,取,且,则令则有,故,总存在p ,,使得成立,故D 正确.故选：BCD.11．答案：AD解析：对于A ：由于为奇数,根据对称性可知这样的数列有个,故A 正确;对于B ：若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”,则有个,故B 错误;对于C ：从1,2,3,4,5,6中选出1个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从1,2,3,4,5,6中选出2个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增数列有个;从1,2,3,4,5,6中选出3个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从1,2,3,4,5,6中选出4个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;的123111112(11n a a a a n ++++=-=+ 212252n n n a +==49n =21225n b n ==35n =2214112()412121n n n n =<=---+222311111151111111(2(43457792121n b b b n n n ++++=++++<+-+-+--+ 231115113312(45212021n b b b n n +++<+-=-<++ m p q ==*m ∈N 2(1)2m m m +=+1m m m b a a -=+*m ∀∈N 2m ≥*q ∈N m p q b a a =+12345621+++++=333633C A A 3602⋅⋅=4343A A 144⋅=16C 26C 36C 46C从1,2,3,4,5,6中选出5个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;故满足条件的总个数为：个,故C 错误．对于D ：若则这样的数列有个,若则这样的数列有个,若则这样的数列有个,所以满足条件的这样的数列共有个,故D 正确;故选：AD.12．答案：1215解析：,,,.展开式第项：,.故答案为：1215.13．答案：2520解析：由题,记三串冰糖葫芦从上往下依次为,,,,,,,,,则因为每一串只能从上往下吃,所以在前被吃,在前而在前被吃,即它们被吃的相对位置是已定的,同理,,,,被吃的相对位置也是已定的,种.故答案为：2520.14．答案：56C 1234566666C C C C C 62++++=51a =2263C C 45=52a =2152C C 20=53a =24C 6=4520671++=()22,X N σ~()(1)P X a P X ≤=≥122a +∴=3a ∴=6x ⎛- ⎝1r +13666221666C C (3)C (3)rr r r r r r r r r r T x x x x----+⎛==-=- ⎝4r =446C (3)15811215-=⨯=1A 2A 1B 2B 3B 1C 2C 3C 4C 5C 1A 2A 1B 2B 2B 3B 1C 2C 3C 4C 5C 10252023!==!!5!1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：因为关于x 的不等式对任意均成立，①当对任意均成立时，可得均成立，令，可得当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以又由对任意均成立，可得对任意均成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以.②当且对于任意均成立时，结合①可知，此时k 无解.综上可得，实数k 的取值范围为.故答案为：.15．答案：（1）证明见解析（2）;10.45百万元解析：（1）证明：由()()2ln 340x kx x k x ⎡⎤--++≤⎣⎦()0,x ∈+∞ln 0x kx -≤()0,x ∈+∞k ≥()0,∈+∞()f x =0x >()f x '=(0,e)x ∈()0f x '>()f x (e,)x ∈+∞()0f x '<()f x ()()max e f x f ==≥()2340x k x -++≥()0,x ∈+∞43k x x≤+-()0,x ∈+∞4331x x +-≥-=x =2x =k ≤1k ≤≤ln 0x kx -≥()2340x k x -++≤()0,x ∈+∞k ≤1≥1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦0.625 2.325y x =+()()()()()()()()ii1122i 1nn nx x y y x x yy x xyy x xyy=--=--+--++--∑ 11221212()()()n n n n x y x y x y y x x x x y y y nx y=+++-+++-++++ 11221()ni i i n n x y x y x y y nx x x n y nx y y ==+++-⋅-⋅=-+∑又由.,,所以,又因为,所以年收入的附加额y 与投入额x 的线性回归方程为,当时,可得百万元.16．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）因为,且,所以所以是以（2）由（1）得,故所以,所以()()()()2222i 12i 1nn x xx x xx x x=-=-+-++-∑ 2222222212112ii 11()2()2nnn ii x x x x x x x nx x x nx nx x nx ===+++-++-=-=++⋅+∑∑ 23456891168+++++++==8i i 1148.6 6.07588y y ====∑()()()iii ii 1i 1222i i i 1i 1334.186 6.0750.625356836n nnnx x y y x y nx ybx xx nx ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑ ay =- 6.0750.6256 2.325=-⨯= 0.625 2.325y x =+13x = 0.62513 2.32510.45y =⨯+=()12412n n S nn n -+=+-+1220n n a a +--=13a =()122n n a a +-=-={}2n a -12a -=11112122n n n a --⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222n n n n n b na n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⎣⋅⎦==1231...n nn S b b b b b -=+++++()()0122111111...212...222221231n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⋅⋅⋅⋅⋅-()()01221111111 (22)222212312n n n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝=⋅⋅⋅⋅⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝⎭⋅,令①,②,所以由①,故,所以解析：（1）记甲组做了4次实验,至少1次试验成功的概率为事件A,则事件A 的对立事件为:甲组做了4次实验均失败,所以（2）由题意得,X 可能的取值为0,1,2,3,4,则()()0122111111.1231..122222n n n n n n --⎛⋅⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()01221111111...22223122n n n n H n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅⋅⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()12311211111...2231222n nn H n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⋅⋅⋅⋅-⎭⋅⎝01231111111...222222n nn H n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝=+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅11111122122212nn n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅⋅2111422n n n H n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅()()()21411122114n n n n n n n n S n n n H --⎛⎫⎛=+=⋅+=++++⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭421()111381P A ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭2221(0)1132P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221122221211(1)C 111C 1332322P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-⋅-+-⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222112221221121(2)1C 1C 1132332232P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+⋅⋅-⋅⋅⋅-+-⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221122211221(3)C 1C 1322332P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅-+⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故X 的分布列为18．答案：（1）答案见解析（2）答案见解析解析：（1）由题函数定义域为R ,为增函数,所以当时,恒成立,此时为R 上的增函数,无极大值也无极小值;当时,令,故当时,,在上的单调递减,当,,在上的单调递增,所以存在极小值为,无极大值.综上,当时,无极大值也无极小值;当时,存在极小值为,无极大值.（2）当时,由（1）知在上的单调递减,在上的单调递增,有最小值为,所以当时,,无零点;当时,,有1个零点;当时,,又,故有2个零点;22211(4),329P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()e x f x a '=-0a ≤()0f x '>()f x 0a >()0ln f x x a '=⇒=(),ln x a ∈-∞()0f x '<()f x (),ln a -∞()ln ,x a ∈+∞()0f x '>()f x ()ln ,a +∞()f x ()ln ln e ln ln a f a a a a a a =-=-0a ≤()f x 0a >()f x ln a a a -0a >()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞()f x ()()min ln 1ln f x a a a a a =-=-0e a <<()min 0f x >()f x e a =()min 0f x =()f x e a >()()min ln 0f x f a =<()11e 0,f a --+=>()()2ln 2e 2ln e2ln ln 02ln aaf a a a a a a a a=-==->()f x综上,当时,无零点;当时,有1个零点;当时,有2个零点.19．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）因为,所以,当时,因为,所以恒成立,则在上单调递增,且,所以恒大于等于零不成立;当时,由得,当,当,所以在上单调递减,在上单调递增,则若恒成立,则,令,则,当时,,当时,,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以,所以当时,,综上,若恒成立,则;（2）由（1）得,当时,恒成立,0e a <<()f x e a =()f x e a >()f x 2a =-()()ln 022a af x x x x =-+>()()221202a x a f x x x x x+=+=>'0a ≥0x >()0f x '>()y f x =()0,+∞()10f =()f x 0a <()0f x '=x =x >()0f x '>0x <<()0f x '<()y f x =0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()min ln 122a a f x f ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x ≥ln 1022a a ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭()ln 1(0)22x x h x x ⎛⎫=-++< ⎪⎝⎭112()(0)22x h x x x x +'=+=<<2x -()0h x '<20x -<<()0h x '>()h x (),2-∞-()2,0-()()max 20h x f =-=ln 1022a a ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭2a =-()0f x ≥2a =-2a =-()1ln 10f x x x=+-≥即时等号成立,令,,,,,令,则恒成立,所以函数在上单调递增,故当时,,即,所以,,,所以.ln 1x ≥1x =x =1n k n k +>+-{}1,2,,n ∈ *n ∈N ()()ln ln ln 11n kn k n k n k +<=+-+-+-{}1,2,,k n ∈ *n ∈N ()()sin 0g x x x x =-≥()1cos 0g x x '=-≥()g x [)0,+∞0x >()()00g x g >=sin x x <()()11sin ln ln 1n k n k n k n k<<+-+-++{}1,2,,k n ∈ *n ∈N 111sinsin sin 122n n n+++++ ()()()()()ln 1ln ln 2ln 1ln 2ln 21n n n n n n <+-++-+++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2ln 2ln lnln 2nn n n=-==。

2023学年第二学期高二数学学科测试卷（五）1.已知集合一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分(){}{}2ln 1,11M y y x N x x ==−=−<<，则（）A.M N =B.[]1,0M N ∩=−C.()1,0M N =− D.()()1,RM N =−+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得()22110ln 10x x≥−>⇒−≤，即(],0M =−∞，所以M N ≠，(]1,0M N ∩=−，()()R 1,M N ∞∪=−+ ，即A 、B 、C 三选项错误，D 正确.故选：D2.已知角α的终边上一点()4,3A ，且()tan 2αβ+=，则()tan 3πβ−=（ ）A.12B.12−C.52D.52−【答案】B 【解析】【分析】先通过三角函数的定义求出tan α，代入()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=−求出tan β，继而求出()tan 3πβ−的值.【详解】 角α的终边上一点()4,3A ∴3tan 4α=()3tan tan tan 4tan 231tan tan 1tan 4βαβαβαββ+++===−−，解得1tan 2β=.∴()1tan 3tan 2πββ−=−=−.故选：B.3. 函数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为（ ） A. (),1∞−− B. ()1,∞−+ C. ()1,1− D. ()1,∞+【答案】C 【解析】【分析】先求出定义域，再利用复合函数同增异减求出函数的单调递减区间. 【详解】令2230x x −−+>得31x −<<， 故()2ln 23y x x =−−+的定义域为()3,1−，ln y t =在()0,t ∞∈+上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得，只需求出223t x x =−−+在()3,1−上的单调递减区间，()222314t x x x =−−+=−++在()1,1−上单调递减，故数()2ln 23y x x =−−+的单调递减区间为()1,1−.故选：C4. 下列图像中，不可能成为函数()3mx x x=−的图像的是（ ）．A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用导数讨论函数的单调性和讨论函数值的正负得到答案. 【详解】因为()3m f x x x =−，{}|0x x ≠，所以()223mf x x x′=+ 当0m =时()30mf x x x=−=，{}|0x x ≠无解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，D 选项符合此种情况.当0m >时()430m x m f x x x x−=−==有两个解，且()2230m f x x x ′=+>此时()f x 在(),0∞−，()0,∞+单调递增，B 选项符合此种情况.当0m <时()43m x mf x x x x−=−=当0x <时易知()0f x <，0x >时()0f x >所以函数图像不可能是C. 故选：C5. 已知向量a ，b 满足1a = ，()1,1b = ，a b +=a 在b 上的投影向量的坐标为（ ） A. 11,22B.C. ()1,1D. 【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义以及向量的坐标运算求解即可.【详解】因为(1,1)=b ，所以222||112b =+= ，又||1,a =把||a b +两边平方得22||||25a b a b ++⋅= ，即125a b +⋅= ，解得1a b ⋅= ，所以a 在b 的投影向量坐标为2111(1,1),222||a b b b ⋅⋅==， 故选：A.6. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数()4sin 0,2y x πωϕωϕ=+><的图象上，且图象过点,224π，相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，则是函数的单调递增区间的是（ ）A. ,34ππ−−B. 75,2424ππ−C. 53,248ππD. 53,84ππ【答案】B 【解析】【分析】由题意求出最小正周期，从而求出ω，再利用特殊点求出ϕ的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果． 【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为2π，所以函数的周期为22ππ×=，所以22πωπ==，又图象过点(224)π，，所以4sin 2224πϕ×+＝，可得1sin 122πϕ += ，则有2126k ππϕπ+=+或52,126k k Z ππϕπ+=+∈， 即212k πϕπ=+或32,4k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以12πϕ=，所以4sin 212yx π+，令2222122k x k πππππ−+≤+≤+，解得75,2424k x k k Z ππππ−+≤≤+∈， 所以函数的单调区间为75,,2424k k k Z ππππ−++∈，当0k =时，函数的单调递增区间为75,2424ππ−，故选项B 正确． 故选：B ．7. 已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>= −+≤，，，若()()g x f x m =−有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 71,4B. (]1,2C. 41,3D. []1,3【答案】C 【解析】【分析】由题可知1x >时，函数()()g x f x m =−至多有一个零点，进而可得1x ≤时，要使得()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】当1x >时，()ln f x x x =+单调递增且()ln 1f x x x =+>，此时()()g x f x m =−至多有一个零点，若()()g x f x m =−有三个零点，则1x ≤时，函数有两个零点；当1x >时，()ln 1f x x x =+>，故1m >； 当1x ≤时，要使()()222mg x f x m x mx =−=−−有两个零点， 则2Δ80214202m m mm m =−−><−−≥， 所以403m <≤，又1m >， 所以实数m 的取值范围是41,3.故选：C.8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形ABCD中，AB BD ==， 将ABD △沿BD 进行翻折，使得AC =． 按张衡的结论， 三棱锥A BCD −外接球的表面积约为（ ） A. 72B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】由球的性质确定三棱锥A BCD −外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积. 【详解】如图1，取BD 的中点M ，连接AM CM ，．由AB AD BD ===ABD △为正三角形，且3AM CM ===，所以1cos 3AMC ∠=−，则sin AMC ∠==， 以M 为原点，MC 为x 轴，MD 为y 轴，过点M 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图2，则(3,0,0)C ， (10A −，．设O 为三棱锥A BCD −的外接球球心，则O 在平面BCD 的投影必为BCD △的外心，则设(10)O h ，，．由222||||R OA OC ==可得22222220)20h h ++−=++，解得h =，所以22||6R OC ==．由张衡的结论，2π5168≈，所以π≈则三棱锥A BCD −的外接球表面积为24πR ≈ 故选：B ．二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足12AD DC =，若P 为边BD 上的一点，且满足()0,0AP mAB nAC m n =+>>，则下列结论正确的是（ ）A. 21m n +=B. mn 的最大值为112C.41m n+的最小值为6+ D. 229m n +的最小值为12【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理可知A 错误；根据()133mnm n =⋅，利用基本不等式可求得最大值，知B 正确； 由()41413m n m n m n+=++，利用基本不等式可求得最小值，知C 错误； 利用基本不等式可得()222392m n m n++≥，知D 正确.【详解】对于A ，3AP mAB nAC mAB nAD =+=+，,,B P D 三点共线，31m n ∴+=，A 错误；对于B ，31m n += ，()21131333212m n mn m n + ∴=⋅≤×=（当且仅当3m n =时取等号），B 正确；对于C ，(414112777n m m n m n m n m n +=++=++≥+=+ （当且仅当12n m m n =，即m =时取等号），C 错误； 对于D ，()22231922m n m n ++≥=（当且仅当3m n =时取等号），D 正确. 故选：BD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 是无界的.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ）A. 若1n a n=，则数列{}n a 是无界的B. 若1sin 2nn a n =，则数列{}n S 是有界的 C. 若()1nn a =−，则数列{}n S 是有界的D. 若212n a n =+，则数列{}n S 是有界的 【答案】BC 【解析】【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】对于A ，111n a n n==≤ 恒成立， ∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立， ∴数列{}n a 是有界的，A 错误；对于B ，1sin 1n −≤≤ ，111sin 222n n nn a n∴−≤=⋅≤，212111221111111222212nn nn n S a a a− ∴=+++<+++==−<− ， 2121111112222n nn n S a a a=+++>−+++=−+>−，所以存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴则数列{}n S 是有界的，B 正确；对于C ，因为()1nn a =−，所以当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =−；1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是有界的，C 正确；对于D ，()()22144114421212121n n n n n n =<=− −+−+，2221111111121241233352121nS n n n n n ∴=++++⋅⋅⋅≤+−+−+⋅⋅⋅+− −+182241222212121n n n n n n n=+−=+=−++++； 221y x x =−+ 在()0,∞+上单调递增，21,213n n∴−∈+∞ +， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立， ∴数列{}n S 是无界的，D 错误.故选：BC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =−≠，且对任意x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ′′+=+，则（ ）A. ()112f ′=B. ()90f =C.()2011k f k ==∑D.()2011k f k =′=−∑【答案】BD 【解析】【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】令1xy ==，得()()()2211f f f =′，因为()()210f f =−≠， 所以()112f ′=−，所以A 错误； 令1y =，得()()()()()111f x f x f f x f +=′′+①，所以()()()()()111f x f x f f x f −=′−′−+， 因为()f x 是奇函数，所以()f x ′是偶函数，所以()()()()()111f x f x f f x f −′′=−+②，由①②， 得()()()()()()12111f x f x f f x f x f x +==−−′+−−， 即()()()21f x f x f x +=−+−， 所以()()()()()()()32111f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=， 所以()f x ，()f x ′是周期为3的函数，所以()()900f f ==，()()()()()()2011236120k f k f f f f f = =++×++= ∑，所以B 正确，C 错误； 因为()()()12112f f f =−=′=−′′，在①中令0x =得()()()()()10101f f f f f ′=+′，所以()01f ′=，()()()()()()2011236121k f k f f f f f =′ =++×++′=− ′′′′∑，所以D 正确． 故选：BD ．【点睛】对于可导函数()f x 有： 奇函数的导数为偶函数 偶函数的导数为奇函数若定义在R 上的函数()f x 是可导函数，且周期为T ，则其导函数()f x ′是周期函数，且周期也为T三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()12i 1i z =++（其中i 为虚数单位），则z =_____________.【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数z ，即可求得答案. 【详解】由题意得()()12i 1i 13i z =++=−+，故z =，13. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【答案】：35【解析】【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ×，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A = ， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故答案为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14. 已知()221:21O x y +−= ，()()222:369O x y −+−= ，过x 轴上一点P 分别作两圆切线，切点分别是M ，N ，求PM PN +的最小值为_____________.【解析】【分析】根据圆的切线的几何性质可推出PM PN +=可看作点(0)Pt,到((0,,A B 的距离的和，结合几何意义即可求得答案. 【详解】由题意知()221:21O x y +−= 的圆心为(0,2)，半径11r =，()()222:369O x y −+−= 的圆心为(36),，半径23r =，的设(0)P t,，则||PM =，PN ===则PM PN +==，设((0,,A B ，则||||||||||PM PNPA PB AB +≥=+， 当且仅当,,P A B 三点共线时取等号，此时PM PN +的最小值为AB ==，四. 解答题：本题共577分，其中第15题13分，第16题和第17题每题15分，第18题和第19题每题17分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+，（1）求角A ;（2）若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长. 【答案】（1）23A π=（2）9+ 【解析】【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBAD CAD S S S =+ 结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACD S S 结合已知条件可得2c b=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+−+−+=×+×=所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B −=+ 再由正弦定理，得222a cb c b −=+，得222c b a bc +−=−，所以2221cos 22b c a A bc +−==−. 因(0,)A π∈， 所以23A π= 【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=. 由1211sin sin sin 232323ABC BAD CAD S S S b c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅ ， 得22bc b c =+. 作AE BC ⊥于E ，则1sin2321sin 23ABD ACD c AD S c BD S b DC b AD ππ⋅==⇒==⋅ .由222bc b c c b =+= ，解得6,3,c b == 由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A =+-=，所以a =故ABC的周长为9+16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E .F 分别是棱1DD ，11A D 的中点.为（1）证明：1B E ⊥平面ACF . （2）求二面角B AF C −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，得到10AF EB ⋅= ，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥，证明出线面垂直；法二：作出辅助线，先由线面垂直得到1AC EB ⊥，再根据三角形全等得到1AF A E ⊥，进而得到AF ⊥平面11A B E ，得到1AF EB ⊥，从而证明出1B E ⊥平面ACF ； （2）利用空间向量求解二面角余弦值. 【小问1详解】法一：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,0,2F ，()0,0,1E ，()12,2,2B . ()1,0,2AF =−，()2,2,0AC =−，()12,2,1EB =.因为10AF EB ⋅=，10AC EB ⋅=，所以1AF EB ⊥，1AC EB ⊥. 【的因为AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 法二：连接1A E ，BD ，11B D .在正方体1111ABCD A B C D −中，1B B ⊥平面ABCD ，所以1B B AC ⊥.因为BD AC ⊥，1B B BD B ∩=，1,B B BD ⊂平面11B BDD ，所以AC ⊥平面11B BDD . 因为1EB ⊂平面11B BDD ，所以1AC EB ⊥.因为11A B ⊥平面11ADD A ，AF ⊂平面11ADD A ，所以11A B AF ⊥.在正方形11ADD A ，E ，F 分别是边1DD ，11A D 的中点，可得111A AF D A E ≌△△，所以111A AF D A E ∠∠=，1111190EA A A AF EA A D A E ∠∠∠∠+=+=，所以1AF A E ⊥.因为1111A B A E A = ，111,A B A E ⊂平面11A B E ，所以AF ⊥平面11A B E . 因为1EB ⊂平面11A B E ，所以1AF EB ⊥.因为AC AF A ∩=，,AF AC ⊂平面ACF ，所以1B E ⊥平面ACF . 【小问2详解】结合（1）可得1EB为平面ACF 的一个法向量.()0,2,0AB =.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z = ，则()()()()0,2,0,,201,0,2,,20AB n x y z y AF n x y z x z ⋅=⋅== ⋅=−⋅=−+=， 解得0y =，令2x =，得1z =，所以()2,0,1n =，111cos ,E nB n EB n EB ⋅==⋅. 由图可知二面角B AF C−−为锐角，故二面角BAF C −−.17. 已知某系统由一个电源和并联的,,A B C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.（1）电源电压X （单位：V ）服从正态分布()404N ，，且X 的累积分布函数为()()F x P X x =≤，求()()4438F F −.（2）在统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量T （单位：天）表示某元件的使用寿命，T 服从指数分布，其累积分布函数为()()001104tt G t P T t t <=≤= −≥ ，，.（ⅰ）设120t t >>，证明：()()1212P T t T t P T t t >>=>−；（ⅱ）若第n 天只有元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行条件概率. 附：若随机变量Y 服从正态分布()2N µσ，，则()0.6827P Y −µ<σ=，()20.9545P Y −µ<σ=，()30.9973P Y −µ<σ=.【答案】（1）0.8186 （2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）716【解析】【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解;（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()Fx P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.．【小问1详解】由题设得()738420.682P X =<<，()536440.954P X =<<，所以()()()()()()4438443840443840F F F X F X F X F X −=≤−≤=≤≤+≤≤1(0.68270.9545)0.81862=+= 【小问2详解】（ⅰ）由题设得：120t t >>的()[]12111122222()()()1()1()()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >∩>>−≤−>>====>>−≤−112122111(1)444111(1)44t t t t t t −=−−==−−， ()()2112121211()4t t P T t t P T t t G t t −>−=−≤−=−−=,所以()()1212P T t T t P T t t >>=>−． （ⅱ）由（ⅰ）得()()1111(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=−≤=−=，所以第1n +天元件,B C 正常工作的概率均为14． 为使第1n +天系统仍正常工作，元件,B C 必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为2171(1)416−−=.18. 已知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2O 的方程为222x y +=，过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线Γ的方程； （2）求证：π2AOB ∠=； （3）若直线l 与双曲线的两条渐近线的交点为C ，D ，且AB CD λ=，求实数λ的范围.【答案】（1）2212y x −=（2）证明见解析 （3）λ∈【解析】【分析】（1）由题意列式求出212a ,c===，即可得答案；（2）分类讨论，求出00y =和00x =时，结论成立；当000x y ≠时，利用圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为002x x y y +=，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，计算OA OB ⋅的值，即可证明结论； （3）求出弦长AB 以及CD的表达式，可得λ=. 【小问1详解】由题意知双曲线()2222Γ:10,0x y a b a b−=>>的实轴长为2故22222a c a c ab == =+，解得212a ,c===，故双曲线Γ的方程为2212y x −=；【小问2详解】证明：设()00,P x y ，则22002x y +=，当00y =时，不妨取)P ，此时不妨取,AB，则0OA OB ⋅= ，即π2AOB ∠=； 同理可证当00x =时，有π2AOB ∠=； 当000x y ≠时，圆222x y +=在()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y −=−−， 即002x x y y +=； 由2200122y x x x y y −= += 可得()222000344820x x x x x −−+−=， 因为切线l 交双曲线于A ，B 两点，故2002x <<，()()22220000340,Δ16434820x x x x −≠=−−−>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则20012122200482,3434x x x x x x x x −+=⋅=−−，故()()121212*********OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+−−⋅ ()212012012201422x x x x x x x x x =+−++ − ()22220000222200082828143423434x x x x x x x x −− =+−+−−−−22002200828203434x x x x −−=−=−−， 故OA OB ⊥，综合上述可知π2AOB ∠=； 【小问3详解】由（2）可得当000x y ≠时，2002x <<，AB ==2212y x −=的渐近线方程为y =，联立002y x x y y=+=，得C，同理可得C ，则CD =022*******234|y ||y ||x y ||x |=−−，由于AB CD λ=，故234AB CDx λ==−由于2002x<<，则λ； 当00y =时，不妨取)P ，则4|AB ||=，此时λ=； 当00x =时，不妨取(P ，则2|AB ||=，此时λ=综合上述可知λ∈. 19. 给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++−+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =−−，求2a 及3a ； （2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈−≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】【详解】（1）因为0c >，1(2)a c =−+，故2111()242a f a a c a c ==++−+=，3122()2410a f a a c a c c ==++−+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++−+≥+即只需证明24+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立第21页/共21页综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n ∈N ，1n n a a c +−≥ （3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +++−+++即8d c =+ 故21111()248a f a a c a c a c ==++−+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=−−， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=−+ 也满足题意； 综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c −+∞∪−−．【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．。

选择题：1. 若函数f(x) 满足f(x+1) = f(x) + 3，且f(0) = 1，则f(5) 的值为（）。

A) 5 B) 8 C) 10 D) 122. 在直角三角形中，如果一个锐角的正切值是2/3，那么该角的余弦值是（）。

A) 3/√13 B) 2/√13 C) √13/3 D) √13/23. 若集合A 包含数1，2，3，集合B 包含数3，4，5，则集合A 和B 的并集包含多少个元素？A) 2 B) 3 C) 5 D) 64. 设α 和β 是方程x^2 + 3x + 2 = 0 的两根，则αβ 的值为（）。

A) 2 B) -2 C) 3 D) -35. 在大圆上随机选择两个点，这两点之间弧长的几何期望值是（）。

A) π B) π/2 C) π/4 D) 4π填空题：1. 圆的面积公式为S = πr^2，若一个圆的半径是5 单位长度，则这个圆的面积是________。

2. 在统计中，样本均值的分布可以用_____________来描述，这个分布中心位于群的均值附近。

3. 如果一个直角三角形的两直角边分别是3 和4 个单位长度，那么这个直角三角形的斜边长是________。

4. 一架飞机以每小时300公里的速度飞行，如果飞行了4小时，它一共飞了多少公里？5. 若一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、4厘米、5厘米，则它的体积是多少立方厘米？应用题1. 小明每天骑自行车上学，每天花费25分钟。

如果他每周上5天学，他每周在骑自行车上学的总时间是多少小时多少分钟？2. 一个三角形的底边长是8厘米，高是6厘米。

求这个三角形的面积。

3. 甲、乙两人同时从一个地点出发，甲以每小时5公里的速度向东行驶，乙以每小时4公里的速度向南行驶。

如果他们分别行驶4小时后，他们之间的直线距离是多少公里？4. 一个长方形花园的长是12米，宽是8米。

如果在这个花园的四周都围上篱笆，需要多少米的篱笆？5. 一只水桶的容积是15升，已经装了8升水。

2023—2024学年安徽省马鞍山二中高二下学期6月月考数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知数列是公比不为1的正项等比数列，则是成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(★) 3. 展开式中的系数为（）A．B．5C．15D．35(★) 4. 一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为，则使目标受损但未击毁的概率是（）A．0.8B．0.56C．0.5D．0.06(★) 5. 已知，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 平面上的两个点A( )，B( )，其中横纵坐标均为自然数，且不大于5，则两点之间的距离可以有多少种取值（）A．19B．20C．25D．27(★★★★) 7. 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么且的概率为A．B．C．D．(★★★) 8. 记△ABC各边的中点分别为D，E，F，在A，B，C，D，E，F 中任取4点，若这4点为平行四边形顶点，则称为选取成功．某人连续进行3次这种选取，则至少成功1次的概率是()．A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列说法中，正确的命题有（）A．已知随机变量服从正态分布，，则B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和0.3C．8个完全相同的球放入编号为1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子均不空且数量均不同，则有12种放法D．若样本数据的方差为2，则数据，，的方差为(★★★) 10. 已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（）A．B．C．D．(★★★★) 11. 设一组样本数据满足，则（）A．拿走，这组数据的方差变大B．拿走，这组数据的方差变大C．拿走，这组数据的方差减小D．拿走，这组数据的方差减小三、填空题(★) 12. 已知x为正整数，若，则 ________ .(★★) 13. 若~ ，则取得最大值时， ________ .(★★★★) 14. 某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ______ ．附：，，四、解答题(★) 15. 学习了《高中数学必修》的内容后，高二年级某学生认为：考试成绩与考试次数存在相关关系.于是他收集了自己进入高二以后的前5次考试成绩，列表如下：第次考试考试成绩经过进一步研究，他发现：考试成绩与考试的次数具有线性相关关系.(1)求关于的线性回归方程；(2)判断变量与之间是正相关还是负相关（只写出结论即可）；(3)按计划，高二年级两学期共有次考试，请你预测该同学高二最后一次考试的成绩（四舍五入，结果保留整数）.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，(★) 16. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表：(1)从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.(2)试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.附：，其中.0.12.706(★★★★) 17. 激光的单光子通讯过程可用如下棋型求述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)已知发送者连续三次发送值息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为a，有两种偏振状态的可能性为b，有三种偏振状态的可能性为c，试比较的大小关系．(★★★★) 18. 为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.(1)若.（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；(2)若监测系统在监测识别中，当时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求的范围（精确到0.001）.（参考数据：）。

智学大联考·皖中名校联盟合肥2023-2024学年第二学期高二年级期中检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）1.甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是112p =，213p =，那么只有一人解答对的概率是（）A.16B.12C.13D.56【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率公式，即可求解.【详解】只有1人答对的概率()()1212121111123232P p p p p =-+-=⨯+=.故选：B2.若6x⎛- ⎝的展开式中常数项为15，则=a （）A.2 B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式和常数项为15，求解出a【详解】6x⎛- ⎝的通项公式()3662166C C rr r r r r r T x a x --+⎛==- ⎝,令3602r -=，则4r =，由展开式中的常数项为15，故()446C =15a -，所以1a =±.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，84a =，则10S =（）A.50 B.63C.72D.135【答案】A 【解析】【分析】思路一：由已知利用等差数列的求和公式和通项公式求解1a 和d ，即可求解10S ；思路二：由530S =得36a =，结合84a =、等差数列求和公式以及等差数列下标和性质即可求解.【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1154530274d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得134525a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10110910502dS a ⨯=+=.方法二：()()5152433530S a a a a a a =++++==，所以36a =，从而由等差数列求和公式得()()()()11010110381055564502a a S a a a a +==+=+=⋅+=.故选：A .4.若曲线2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直，则实数a 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】求导2ay x x'=-，12x y a ='=-与直线2y x =-垂直，求出a 的值.【详解】由2ln y x a x =-，求导2a y x x'=-，则2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线的斜率为12x y a ='=-，而2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直,则21a -=-，故3a =.故选：D5.将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入,,A B C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（）A.2B.24C.36D.18【答案】C 【解析】【分析】将所有情况分为标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球和共有3个小球两种情况，结合分组分配、平均分组问题的求法，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球，则剩余三个小球需放入两个不同的盒子中，将剩余三个小球分为12+的两组，则共有13C 3=种分法；将分组后的小球放入三个盒子中，共有33A 6=种放法，则共有1863=⨯种方法；若标有数字1和2的小球所放入盒子中共有3个小球，则需选择一个小球与标有数字1和2的小球放在一起，有13C 3=种选法；将剩余两个小球平均分为两组，有1222C 1A =种分法；将分组后的小球放入三个中，共有33A 6=种放法，则共有31618⨯⨯=种方法；综上：不同放法的总数为181836+=.故选：C.6.已知12e a -=，3ln 2b =，12c =，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数及对数函数的单调性判断即可.2<12>，即a c >，又322lnl 94n ln e=12b ==<，所以12b c <=，所以a c b >>.故选：D.7.随机变量X 的取值为1，2，3，若()115P X ==，()2E X =，则()D X =（）A.15B.25C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】根据概率之和为1，以及方差公式，即可解得()2P X =和()3P X =，进而利用方差公式直接求解即可.【详解】由题知，()()()423115P X P X P X =+==-==，又()()()()122332E X P X P X P X ==+=+==，所以()()922335P X P X =+==，所以()325P X ==，()135P X ==，所以()()()()22213121222325555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.故选：B8.设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A.4p =B.AM AQ +的最小值为2C.若3MFO π∠=，则5AB = D.x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B 选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C 选项，得到A 点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得B 点的坐标进而求得；对于D 选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入AN BN k k +进行化简，要使得为定值，1t =-，从而存在点N .【详解】A 选项，因为1l 过焦点F ，故当且仅当AB 为通径时，AB 最短，即min 24AB p ==，从而2p =，故A 错误；B 选项，由抛物线的定义知AM AF =，所以AM AQ AF AQ +=+，由图知，当且仅当Q A F 、、三点共线时，AF AQ +取得最小值，即()minAM AQ QF +==B 错误；C 选项，由图K 是抛物线的准线l 与准线的交点，所以2FK p ==，在MFK Rt 中，3MFO π∠=，所以KM =，所以A y =，所以(3,A，所以1:l y =-，联立24y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得231030x x -+=，得13,3A B x x ==，从而123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1163233AB =++=，故C 错误；D 选项，设1:1l x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩得2440y my --=，216160m +>，设()()1122,,,A x y B x y ，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，设x 轴上存在一点(),0N t ，则1212121211AN BN y y y y k k x t x t my t my t+=+=+--+-+-()()()()()()()()()()()1212222222212122124414111441114my y t y y m m tm t m y y m t y y t m t m t t m t+-+-+--+===+-++--+-+---，故当1t =-时，0AN BN k k +=，即存在()1,0N -使得AN BN k k +为定值0，故D 正确.故选：D .二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分.请把正确答案涂在答题卡上）9.已知数列{}n a 满足11a =，()*12N nn n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A.45a = B.{}n a 为等比数列C.221221213a a a -+++=D.231222213a a a -+++=【答案】AC 【解析】【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n ++=∈N，则122a a+=，234+=a a ，3342a a +=，有21a =，33a =，45a =，A 正确；显然211a a =，323a a =，因此数列{}n a 不是等比数列，B 错误；1221123520214()()()a a a a a a a a a a +++=++++++++ 11112224201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，C 正确.()()()122212342122a a a a a a a a a +++=++++++ ()1111231321214242222+2++2===1433-⨯--=- ，D 错误；故选：AC 10.已知()14P A =，()13P B A =.若随机事件A ，B 相互独立，则（）A.()13P B =B.()112P AB =C.()34P A B =D.()1112P A B +=【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得.【详解】随机事件A ，B 相互独立，()14P A =，()13P B A =，对于A ，()()()()1()()()3P A P B P AB P B P B A P A P A ====，A 正确；对于B ，()111()()4312P AB P A P B ==⨯=，B 正确；对于C ，()()()()3()1()()()4P AB P A P B P A B P A P A P B P B ====-=，C 正确；对于D ，()11113()()()1)43434P A B P A P B P AB +=+-=+---=，D 错误.故选：ABC11.已知函数()2ln x f x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B.()f x 的单调递减区间为()e,+∞C.若()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<D.对任意两个不相等正实数1x ，2x ，若()()12f x f x =，则212ex x ⋅>【答案】AD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；选项B ，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项C ，作出()2ln x f x x =的图象，数形结合即可求解；选项D ，由条件知1212ln ln x x x x =，设120e x x <<<，构造函数ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，利用2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调性，得到2121e ()()()h x h x h x =<，再利用ln ()x h x x =的单调性即可求解.【详解】对于选项A ，因为()2ln x f x x=，所以当0x >时，()222ln x f x x -'=，所以()12f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-，故选项A 正确，对于选项B ，易知函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为()222ln x f x x-='，由()0f x '<，得到22ln 2ln e x >=，解得e x <-或e x >，所以()f x 的单调递减区间为(),e ∞--，()e,∞+，所以选项B 错误，对于选项C ，因为()222ln x f x x -='，由()222ln 0x f x x-'=>得到e e x -<<且0x ≠，所以()f x 的增区间为区间()e,0-，()0,e ，由选项B 知，()f x 的减区间为(),e ∞--，()e,∞+，又22(e),(e)e ef f =-=-，当x →-∞时，()0f x <，且()0f x →，当x →+∞时，()0f x >，且()0f x →，当0x <且0x →时，()f x →+∞，当0x >且0x →时，()f x →-∞，其图象如图所示，由图知，()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<且0a ≠，所以选项C 错误，对于选项D ，由题知()1212122ln 2ln ()x x f x f x x x ===，得到1212ln ln x x x x =，由图，不妨设120e x x <<<，设ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，则222222222e e 1ln 1ln (1ln )(e )()()()e ex x x x H x h x h x x x x ----'''=+=-=，当0e x <<时，1ln 0x ->，22e 0x ->，所以()0H x '>，即2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调递增，又(e)(e)(e)0H h h =-=，所以2111e ()()()0H x h x h x =-<，得到2121e ()()()h x h x h x =<，又21ln ()x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即ln ()xh x x =在区间(e,)+∞上单调递减，又221e e,e x x >>，所以221e >x x ，得到212e x x ⋅>，所以选项D 正确，故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.）12.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，132n n S S +=+，则5a =____________.【答案】108【解析】【分析】由题设可得122n n a S +=+，利用,n n a S 的关系求出数列通项，进而求出5a 即可.【详解】由题意可知，111,32n n a S S +==+，所以122n n a S +=+，则12)2(2n n a S n -=+≥，所以12n n n a a a +=-，则13(2)n n a a n +=≥，又因为11a =，所以21224a S =+=，所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此通项公式为22,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，所以3543108a =⨯=.故答案为：108.13.设()525012512x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则135a a a ++=____________.【答案】122【解析】【分析】分别令1x =和=1x -，作差即可求得结果.【详解】令1x =，则50123453243a a a a a a +++++==；令=1x -，则()501234511a a a a a a -+-+-=-=-；两式作差得：()()135********a a a ++=--=，135122a a a ∴++=.故答案为：122.14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，经过点F 作直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M ，直线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点N ，若3MN MF =，则双曲线的离心率e =____________.【答案】3【解析】【分析】设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，从而有22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，根据条件有212y y =-，从而得到2229b t a =，再利用bt a=-，即可求出结果.【详解】易知(c,0)F ，如图，由对称性不妨设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消x 得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，则22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，因为3MN MF =，所以212111(,)3(,)x x y y c x y --=--，得到2113y y y -=-，即212y y =-，将212y y =-代入22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a +=-=--，整理得到2229b t a =，又易知b t a =-，所以2229(b b a a -=，得到223b a =，即2213b a =，所以双曲线的离心率c e a ===，故答案：3.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，37S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，根据题意列式求1,a q ，即可得通项公式；（2）由（1）可知：12n n b n -=⋅，利用错位相减法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 公比为q ，由题意可得212311127a a q S a a q a q ==⎧⎨=++=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为等比数列{}n a 为递增数列，可知112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）可知：12n n b n -=⋅，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，可得12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()0211222222212112n n nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以()121n n T n =-⋅+.16.某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品.②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得1-分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为15，25，35，求学生甲答对所选试题的概率；（2）学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为13，12，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率.【答案】（1）1645；（2）2572.【解析】【分析】（1）根据题意可知分三类求解：选题为历史类并且答对，选题为数学类且答对，选题为生活类且答对，由条件概率和全概率计算即可；（2）可先求出乙同学每轮获得1分的概率，然后由二项分布概率模型计算即可.【小问1详解】设学生甲选1道“历史类”试题为事件A ，选1道“数学类”试题为事件B ，选1道“生活类”试题为事件C ，答对试题为事件D ，则()844689P A ==++，()614683P B ==++，()424689P C ==++，()15P D A =，()25P D B =，()35P D C =，所以：()()()()()()()41122316|||95359545P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故学生甲答对所选试题的概率为1645.【小问2详解】由题可知每一轮中学生乙得1分的概率为1111326⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为21131525C 6672P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率为：2572.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ，动直线l 与椭圆交于,P Q 两点；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，2PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0E ，椭圆的左顶点为B ，当BPQ V时，求直线l 的斜率k .【答案】（1）22142x y +=（2）1±【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:1l x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据1212BPQ S EB y y =⋅- ，结合韦达定理可构造方程求得结果.【小问1详解】由题意得：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，()1,AF c b ∴=-- ，()2,AF c b =- ，22120AF AF c b ∴⋅=-+= ，即22b c =，22222a b c b ∴=+=；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，:l x c =±，不妨令:l x c =，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2b y a =±，222b PQ a ∴==，由222222a b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=.【小问2详解】由题意知：直线l 斜率不为0，可设:1l x ty =+，由221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222230t y ty ++-=，则()222Δ412216240t t t =++=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+，1222462y y t ∴-=+，又()2,0B -，()123EB ∴=--=，12213222BPQ S EB y y t ∴=⋅-=⨯=+ ，解得：1t =±，∴直线l 的斜率11k t==±.18.已知函数()()1ln 1a x x g x x +-=-，（R a ∈）.（1）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()1y g x x=+有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 单调递增区间()0,1，()g x 单调递减区间()1,+∞（2）2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导后构造函数()21ln x x x ϕ=--，再求导分析单调性，得到()10ϕ=，进而得到()g x 的单调性即可；（2）问题等价于2ln 0a x x a -+=有两解，构造函数()2ln f x a x x a =-+，求导分析单调性，得到202f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再结合对数运算解得2e a >，之后构造函数()8ln 414e g t t t t a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，求导分析单调性和最值，验证即可.【小问1详解】当1a =，()ln x g x x x=-，()221ln ,0x x g x x x--=>，当0x >，令()21ln x x x ϕ=--，则()12,0x x x xϕ=-->'，因为()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上为减函数，因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()1,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 单调递减.【小问2详解】根据条件()1y g x x=+有两个零点等价于2ln 0a x x a -+=有两解.不妨令()2ln f x a x x a =-+，则()2a f x x x='-（0x >），当0a ≤时，()0f x '<在定义域()0,∞+内恒成立，因此()f x 在()0,∞+递减，最多一个零点，不符.当0a >时，由()0f x '>，解得02x <<；()0f x '<，解得2x >；所以，0a >时，()f x 的单调减区间为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；若()f x 有两个零点，则必有2222ln 0222f a a ⎛⎫⎛=-+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化简得ln 102a +>，解得2e a >，又因2110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()()24ln 416ln 4161f a a a a a a a a =-+=-+，即()()8114ln 4144e t h t t t t a h t t t -⎛⎫=-+=>⇒=-= ⎪⎝'⎭，当8,e t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0h t '<恒成立，即()h t 在8,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，可得()883283232ln 1ln ln e ln 80e e e e e eh t g ⎛⎫≤=-+=-+=-< ⎪⎝⎭，也即得()0h t <在8,et ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭恒成立，从而可得()f x 在1,e 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,42a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭区间上各有一个零点，综上所述，若()f x 有两个零点实数a 的范围为2,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题可理解为方程根的个数问题，求导分析单调性和极值可求解.19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处n （*n ∈N ）阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++++''' .注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()n f x （3n ≥）表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）写出()11f x x =-泰勒展开式（只需写出前4项）；（2）根据泰勒公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；（3）证明：当0x ≥时，2e sin cos 02xx x x ---≥.【答案】（1）()231f x x x x =+++（2）0.48（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求解()f x 的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案；（2）写出sin x 的泰勒公式，代入12可得答案；（3）方法一利用泰勒公式得2e 12xx x ≥++，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论.【小问1详解】()11f x x=-，()()21=1f x x '-，()()32=1f x x ''-，()()()346=1f x x -；()()00=1f f '=，()0=2f ''，()()30=6f ；所以()23111f x x x xx ==+++-.【小问2详解】因为()()sin cos ,cos sin x x x x ''==-，由该公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，故111sin 0.482248=-+≈ .【小问3详解】法一：由泰勒展开2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，易知当0x ≥，2e 12xx x ≥++，所以222e sin cos 1sin cos 222xx x x x x x x x ---≥++---1sin cos sin x x x x x =+--≥-，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00f x f ≥=，即证得2e sin cos 02xx x x ---≥.法二：令()2e sin cos 2xG x x x x =---，()πe 4x x G x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，易知当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，e x y x =-，π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均为增函数，所以()πe 4x x G x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭'单调递增，所以()()00G x G '≥='，所以当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()G x 单调递增，所以()()00G x G ≥=，当3π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()22e sin cos e 222x x x x G x x x =---≥--，令()2e 22xF x x =--，则()e 0x x F x =-≥'，则()2e 22x F x x =--单调递增，则()()22e 2e 2022xF x F x =--≥=-≥，综上，原不等式得证.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明.。

2023-2024学年全国高二下数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知为虚数单位，复数满足＝，则复数对应的点位于复平面内的（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合＝，集合＝，则＝（ ）A.B.C.D.3. 已知直线经过椭圆 的左焦点 ，且与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为 ，是椭圆的右焦点，且 ，则椭圆的方程为()A.B.C.D.i z (1+2i)z 4+3i z M {x |−5x +6<0}x 2N {x |x >0}M ∪N {x |x >0}{x |x <3}{x |x <2}{x |2<x <3}2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1M y N F 2|MN|=|M |F 2+=1x 240y 24+=1x 25y 2+=1x 210y 2+=1x 29y 25抛物线的焦点到准线的距离是（ ）A.B.C.D.5. 已知平面向量,,若，则( )A.B.C.D.6. 规定：若双曲线与双曲线 的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线 与双曲线 为”等渐双曲线”，且双曲线 的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.7. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则实数的值是（ ）A.B.C.D.=8x y 21248a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →⊥a →b →k =8−8434−434C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260=4x y 22–√−=1x 2y 2mm 12348. 已知椭圆的离心率，则的取值范围是( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.的最小值为B.椭圆的短轴长可能为C.椭圆的离心率的取值范围为D.若，则椭圆的长轴长为10. 已知直线，动直线，则下列结论正确的是A.存在，使得的倾斜角为B.对任意的，与都有公共点C.对任意的，与都不重合D.对任意的，与都不垂直11. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（ ）A.B. C.+=1x 24y 2m e >2–√2m (0,1)∪(2,+∞)(0,2)∪(8,+∞)(−∞,2)(−∞,2)∪(8,+∞)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2||=2F 1F 2P (1,1)Q |Q |+|QP|F 12a −1C 2C (0,)−15–√2=PF 1−→−Q F 1−→−C +5–√17−−√:x −y −1=0l 1:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2()k l 290∘k l 1l 2k l 1l 2k l 1l 2+(x −a)2(y −b)2−−−−−−−−−−−−−−−√A (x,y)B (a,b)|−|+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√=223–√33–√6−23–√3–√D.12. 已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于，则以下结论正确的是( )A.B.为的中点C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 抛物线的准线方程为________.14. 直线的斜率为________．15. 设点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，，为两焦点，动点满足，则动点的轨迹方程为________.16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点.若点的坐标为，求双曲线的方程；设，分别为双曲线的右顶点、左焦点，是否存在常数，使得，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．18. 已知点，圆．（1）若直线＝与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程．19. 已知函数，，．−3–√6C ：=10x y 2F F 60∘l C A B AD |AF|=10F AD 2|BD|=|BF||BF|=83y =8x 2y =−5x +9Q +=1x 236y 29F 1F 2P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→P −=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)，F 1F 2F 1+=x 2y 2a 2M ∠M =F 1F 2π4C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b22A C (1)A (−2,3)C (2)B F C λ∠AFB =λ∠ABF λM(3,1)+=4C :(x −1)2(y −2)2ax −y +40C A B AB 23–√a M C =(2sin x,sin x −cos x)a →=(cos x,cos x +sin x)b →3–√f (x)=⋅a →b →0,]π求的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；若，，求的值．20. 已知抛物线，为其焦点，点在抛物线上，且，过点作抛物线的切线，为上异于点的一个动点，过点作直线交抛物线于，两点.求抛物线的方程；若，求直线的斜率，并求的取值范围． 21. 已知过点的曲线的方程为.求曲线的标准方程；已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，，求的最大值． 22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点．求双曲线方程；若点在此双曲线上，求．(1)f (x)f (x)[0,]π2(2)f ()=x 065∈[,]x 0π4π2cos 2x 0C :=2px y 2F Q (1,y)(y >0)C |FQ|=2Q C l 1P (,)x 0y 0l 1Q P l 2C A B (1)C (2)|PQ =|PA|⋅|PB||2l 2x 0P (1,)32C +=2a +(x −1)2y 2−−−−−−−−−−−√+(x +1)2y 2−−−−−−−−−−−√(1)C (2)F (1,0)A x =4F AF C BD |BD||AF|F 1F 2y =x (4,−)10−−√(1)(2)M(3,m)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数对应的点的坐标得答案．【解答】由＝，得，则复数对应的点的坐标为，位于复平面内的第四象限．2.【答案】A【考点】并集及其运算【解析】可求出集合，然后进行并集的运算即可．【解答】∵＝，＝，∴＝．3.【答案】z z (1+2i)z 4+3i z ====2−i 4+3i 1+2i (4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)10−5i 5z (2,−1)M M {x |2<x <3}N {x |x >8}M ∪N {x |x >0}D【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，直线与轴的交点为，又直线过椭圆的左焦点 ，∴，即，∵直线与椭圆在第二象限的交点为，与轴的交点为，且，∴，即，又由，∴椭圆的方程为.故选.4.【答案】C【考点】抛物线的求解【解析】本题主要考查抛物线的基本性质．【解答】解：，∴抛物线的焦点到准线的距离是.故选.5.【答案】D【考点】2x −y +4=02–√2–√x (−2,0)2x −y +4=02–√2–√+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1(−2,0)F 1c =22x −y +4=02–√2–√M y N(0,4)2–√|MN|=|M |F 2|M |+|M |=|N|=2a F 1F 2F 1a =|N|==312F 112+(4222–√)2−−−−−−−−−−√=−=9−4=5b 2a 2c 2+=1x 29y 25D ∵2p =8，∴p =4=8x y 24C数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的坐标运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由,,得.若，则，解得.故选.6.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知， ，a →=(−4,3)−2=(k,−6)a →b →=b →−(−2)a →a →b →2=(−4,3)−(k,−6)2=(,)−4−k 292⊥a →b →⋅=(−4,3)⋅(,)a →b →−4−k 292=8+2k +=0272k =−434D =,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2,(a +c))–√,−(a +c))–√由分析知，点坐标为 或 ，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线 的标准方程是 .故选7.【答案】A【考点】抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】答案未提供解析．【解答】解：，M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.e =>1−b 2a 2−−−−−−√2–√22，当时，或，∴或．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：选项，由椭圆的第一定义得，当且仅当，，三点共线，且在与中间时，等号成立，故正确；选项，若，即，因为，所以，则椭圆方程为，所以，点在椭圆外，故错误；选项，因为在椭圆内部，所以，解得，所以，故正确；选项，因为，所以点的坐标为，所以，故正确.故选.10.【答案】∴<b 2a 212∴m >0<m 412<4m 120<m <2m >8B A |Q |+|QP|=2a −|Q |+|QP|F 1F 2≥2a −|P|=2a −1F2F2P Q P F 2Q B 2b =2b =1c =1a =2–√+=1x 22y 2+1>112P C P =>1b 2a −1a 2aa >+15–√2e =∈(0,)c a −15–√2D =PF 1−→−Q F 1−→−Q (−3,−1)2a=|Q |+|Q |F 1F 2=+(−3+1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(−3−1+(−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+5–√17−−√ACDA,B,D【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的倾斜角【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知动直线 ，当时，斜率不存在，其倾斜角为，选项正确；联立，可得，此方程有解，即两直线存在交点，选项正确；当时，动直线成立，此时两直线重合，选项错误；当时，，与不垂直，当时，，即对任意的，与都不垂直，选项正确.故选.11.【答案】A,C【考点】双曲线的应用双曲线的定义点到直线的距离公式【解析】【解答】解：由，得，其几何意义为平面内一点与两定点，距离之差的绝对值为．平面内与两定点，距离之差的绝对值为的点的轨迹是双曲线．设该双曲线的方程为，，:(k +1)x +ky +k =0(k ∈R)l 2k =090°A {x −y −1=0(k +1)x +ky +k =0(2k +1)x =0B k =−12:==l 2k +11k −1k −1C k =0：x =0l 2l 1k ≠0⋅=1×=−1−≠−1k l 1k l 2k +1−k 1k k l 1l 2D ABD |−|=2+4x +5x 2−−−−−−−−−√−4x +5x 2−−−−−−−−−√|−|=2+(x +2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√+(x −2)2(1−0)2−−−−−−−−−−−−−−−√(x,1)(−2,0)(2,0)2(−2,0)(2,0)2−=1(a >0x 2a 2y 2b 2b >0)则 解得，．所以该双曲线的方程是．联立方程组 解得．故选．12.【答案】A,B【考点】抛物线的性质直线的倾斜角解三角形抛物线的定义【解析】无【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线与轴交于点，则，由于直线的倾斜角为，轴，由抛物线定义可知，，则为正三角形，所以，则，所以，，正确；因为，，所以点为的中点，正确；2a =2，c =2，=+，c 2a 2b 2a =1b =3–√−=1x 2y 23y =1，−=1，x 2y 23x =±23–√3AC A B C m E M m x P |PF|=5l 60∘AE//x |AE|=|AF|△AEF ∠EFP =∠AEF =60∘∠PEF =30∘|AF|=|EF|=2|PF|=10A |AE|=|EF|=2|PF|PF//AE因为，所以，所以，错误；，错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】先将抛物线的方程化为准线方程，进而根据抛物线的性质可求得答案．【解答】解：∵抛物线，可化为，∴，即，∴抛物线的准线方程为．故答案为：.14.【答案】【考点】直线的斜截式方程直线的斜率【解析】根据直线的斜截式方程，结合题中的数据即可得到已知直线的斜率值．【解答】∠DAE =60∘∠ADE =30∘|BD|=2|BM|=2|BF|C |BF|=|DF|=|AF|=1313103D AB y =−132y =8x 2=y x 2182p =18p =116y =−132y =−132−5解：∵直线中，一次项系数，∴直线的斜率为.故答案为：.15.【答案】【考点】轨迹方程椭圆的标准方程【解析】设， ，由，可得，，利用在椭圆上，即可求解．【解答】解：设，，又，，，，，，∵动点满足，则，，，即．故答案为：．16.【答案】【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设切点为，连接，作作，垂足为，y =−5x +9k =−5y =−5x +9−5−5+=1(x ≠±2)x 24y 2P (x,y)Q (,)x 0y 0++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0Q (,)x 0y 0P(x,y)Q(,)x 0y 0(−c,0)F 1(c,0)F 2(≠±6)x 0=(−c −x,−y)PF 1−→−=(c −x,−y)PF 2−→−=(−x,−y)PQ −→−x 0y 0P ++=PF 1−→−PF 2−→−PQ −→−0→=3x x 0=3y y 0∴+=19x 2369y 29+=1(x ≠±2)x 24y 2+=1(x ≠±2)x 24y 23–√N ON F 2A ⊥MN F 2A由，且为的中位线，可得，，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，∴，∴.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又 ，|ON|=a ON △A F 1F 2A =2a F 2N =F 1−c 2a 2−−−−−−√|A|=2b F 1M A F 2|M |=2a F 22–√|M |=2b +2a F 1|M |−|M |=2b +2a −2a =2a F 1F 22–√b =a 2–√c ==a +a 2b 2−−−−−−√3–√e ==c a3–√3–√(1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．【考点】双曲线的标准方程双曲线的离心率双曲线的应用双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：∵离心率．∴，又，∴双曲线方程，把点代入双曲线方程得，，解得，故双曲线的方程为：．由知：双曲线方程，∴.①当直线的斜率不存在时，则，∴，此时；②当直线的斜率存在时，设，其中∵，故，故渐近线方程为：，∴，又 ，=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF (1)e ==2c ac =2a =−=3b 2c 2a 2a 2C :−=1x 2a 2y 23a 2A (−2,3)−=14a 293a 2=1a 2C −=1x 2y 23(2)(1)C :−=1x 2a 2y 23a 2B (a,0)，F (−2a,0)AF ∠AFB =，|FB|=3a,|AF|==3a 90∘b 2a ∠ABF =45∘λ=2AF ∠AFB =α，∠ABF =β，A (,)x 0y 0<−a ，y >0.x 0e =2c =2a,b =a 3–√y =±x 3–√α∈(0,),β∈(0,)2π3π3tan α=，tan β=y 0+2a x 0y 0a −x 0，∴，又，∴综上：存在常数满足．18.【答案】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．【考点】圆的切线方程直线与圆相交的性质【解析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线＝的距离，结合点到直线的距离公式可得，解可得的值，即可得答案；（2）根据题意，分切线的斜率是否存在种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案．【解答】根据题意，圆：＝，圆心为，半径＝，若弦的长为，则圆心到直线＝的距离，又由圆心为，直线＝，则有，解得；根据题意，分种情况讨论：=2(a −)y 0x 0(a −−3(−1)x 0)2a 2x 20a 2=2(a −)y 0x 0(a −−3(−)x 0)2x 20a 2==2y 0(a −)+3(+a)x 0x 0y 0+2a x 0tan α=tan 2βα,2β∈(0,)2π3α=2β.λ=2∠AFB =2∠ABF O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50ax −y +40d d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a 2O 1(x −1+(y −2)2)24(1,2)r 2AB 23–√ax −y +40d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√(1,2)ax −y +40d ==1|a +2|+1a 2−−−−−√a =−342当切线斜率不存在时，其方程为＝，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为＝，圆心到它的距离，解得，切线方程为＝，所以过点的圆的切线方程为＝或＝．19.【答案】解：，其最小正周期为.又，，，．，，又，，，．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式三角函数的化简求值三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：，其最小正周期为.又，x 3y −1k(x −3)=2|2k +1|+1k 2−−−−−√k =343x −4y −50M x 33x −4y −50(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)f (x)=⋅=sin 2x −cos 2x a →b →3–√=2sin(2x −)π6πx ∈[0,]π2，，．，，又，，，．20.【答案】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以 （由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.【考点】圆锥曲线的综合问题∴2x −∈[−,]π6π65π6∴f =2(x)max f =−1(x)min (2)∵f ()=x 065∴sin(2−)=x 0π635∈[,]x 0π4π2∴2−∈[,]x 0π6π35π6∴cos(2−)=−x 0π645∴cos 2=cos(2−)cos −x 0x 0π6π6sin(2−)sin x 0π6π6=−3+43–√10(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y1y 01+m 2−−−−−−√y2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0抛物线的标准方程抛物线的定义【解析】【解答】解：因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为： .由可知，.设切线的方程为：，代入，得，由，得，所以切线的方程为：.因为在直线上，所以.设直线方程为：，代入，得.设，，则且，得，所以.又，所以，所以 （由题意取负），所以直线的斜率为，代入，得，所以，所以.又，所以的取值范围为：且.21.【答案】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.(1)Q |FQ|=1+=2p 2p =2C =4x y 2(2)(1)Q (1,2)l 1y −2=k (x −1)=4x y 2k −4y −4k +8=0y 2Δ=0k =1l 1y =x +1P (,)x 0y 0l 1=−1x 0y 0l 2x −=m(y −)x 0y 0=4x y 2−4my +4m −4=0y 2y 0x 0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2{+=4m,y 1y 2=4m −4,y 1y 2y 0x 0Δ=16−16m +16>0m 2y 0x 0−m +>0m 2y 0x 0|PA|⋅|PB|=|−|⋅|−|1+m 2−−−−−−√y 1y 01+m 2−−−−−−√y 2y 0=(1+)(−)(−)m 2y 1y 0y 2y 0=(1+)[−(+)+]m 2y 1y 2y 0y 1y 2y 20=(1+)(4m −4−4m +)m 2y 0x 0y 0y 20=(1+)[−4(−1)]m 2y 20y 0=(1+)(−2m 2y 0)2|PQ =2|2(−2)y 021+=2m 2m =±1l 2−1Δ>01++>0y 0x 02(+1)>0x 0>−1x 0≠1x 0x 0>−1x 0≠1x 0(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为【考点】椭圆的标准方程轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）将点的坐标代入曲线的方程可求出的值，再由曲线方程的几何意义即可求出曲线的方程；设，设直线的方程为，令即可求出点坐标，再由两点间距离公式即可求出，将直线的方程为与椭圆的方程联立消去，利用根与系数关系求出，由弦长公式的最小值即可．【解答】解：将代入曲线的方程得.由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，所以的标准方程为.设，，BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF |1.P C 4C C (2)B (,)D (,)x 1y 1x 2y 2BD x =my +1x =4A |AF |BD x =my +1C x +,y 1y 2y 1y 2(1)P (1,)32C a =2C (−1,0)(1,0)C +=1x 24y 23(2)B (,)x 1y 1D (,)x 2y 2由题意知，直线的斜率不为，可设的方程为，则的方程为，所以，所以.将直线与椭圆的方程联立得，所以，，所以，所以.令，所以.令，.因为，所以在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为22.【答案】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．BD 0BD x =my +1AF y =−m(x −1)A (4,−3m)AF ==3(4−1+(−3m −0)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+1m 2−−−−−−√BD C x =my +1,+=1,x 24y 23(3+4)+6my −9=0m 2y 2+=y 1y 2−6m 3+4m 2=y 1y 2−93+4m 2|BD|=+1m 2−−−−−−√−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=12(+1)m 23+4m 2=|BD ||AF |4+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√==|BD ||AF |4t 3+1t 243t +1t f (t)=3t +1t t ≥1(t)=3−=>0f ′1t 23−1t 2t 2f (t)=3t +1t [1,+∞)f (t)=3t +≥f (1)=41t =≤=1|BD ||AF |43t +1t 44|BD||AF | 1.(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−=0−→−−−→−−故．【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的标准方程平面向量数量积坐标表示的应用【解析】（1）设双曲线方程为，，由双曲线过点，能求出双曲线方程．（2）由点在此双曲线上，得．由此能求出的值．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，一条渐近线方程为，∴设双曲线方程为，，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为．∵点在此双曲线上，∴，解得．∴，或，∵，，∴当时，，，；当时，，，．故．⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−−=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√M(3,m)m =±3–√⋅MF 1−→−−MF 2−→−−(1)F 1F 2y =x −=λx 2y 2λ≠0(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=1x 26y 26(2)M(3,m)−=196m 26m =±3–√M(3,)3–√M(3,−)3–√(−2,0)F 13–√(2,0)F 23–√M(3,)3–√=(−2−3,−)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,−)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−M(3,−)3–√=(−2−3,)MF 1−→−−3–√3–√=(2−3,)MF 2−→−−3–√3–√⋅=−12+9+3=0MF 1−→−−MF 2−→−−⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

安徽省安庆市九一六学校2024-2025学年高一数学下学期3月月考试题考试时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量 D ．起点相同的向量2．设向量→a ，→b 均为单位向量，且|→→+b a |＝1，→a 与→b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π43．已知→a ，→b 为平面对量，且→a ＝(4,3)，2→a ＋→b ＝(3,18)，则→a ，→b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665D ．－16654．已知|→a |＝3，|→b |＝5，→→•b a ＝12，则向量→a 在向量→b 上的投影向量的模为( ) A.125B ．3C ．4D ．55．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.346．在,3,160A 0===∆∆ABC S b ABC ，中，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ）A ．338 B ．3392C ．3326D ．327．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,sin :sin 2cos a b c A B c C === 则ABC ∆的周长为（ ）A ．3+．．3+．38．如图所示，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处须要的时间为( )A.12小时 B ．1小时 C.32小时 D ．2小时9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B ．23a ＋13b C.12a ＋14b D ．13a ＋23b 10.在△ABC 中，c b a ,,分别为角C B A ，，的对边，，且sin 2A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形态为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形11.已知点P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则→→•AB AP 的取值范围为（ ） A.（-2，6） B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)12．在△ABC 中，点D 满意BD ＝34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是( )A.31010B.824C.910D.418二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在ABC ∆中，,30,3,1 ===A b a 则B sin = ．14.设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为 ． 15.在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ． 16.在AB C ∆中，c b a ,,分别为角C B A ，，的对边，若B 3C =，则bc的取值范围为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知→→→c b a ,,是同一平面内的三个向量，其中→a ＝(1,2)．(1)若|→b |＝25，且→a ∥→b ，求→b 的坐标；(2)若|→c |＝10，且→→+c a 2与→→-c a 34垂直，求→a 与→c 的夹角θ. 18．(本小题满分12分).设向量a,b 满意|→a |=|→b |=1及|3→a -2→b |=.(1)求→a ，→b 夹角的大小.(2)求|3→a +→b |的值.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．20.(本小题满分12分）已知→e 1，→e2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2→e 1+→e2BE →＝－→e1＋→e2λ，EC →＝－2→e 1＋→e2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值； (2)若→e 1＝(2，1)，→e2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针依次构成平行四边形，求点A 的坐标．21.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且c a C b 21cos -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．22.(本小题满分12分)已知→a ＝(ααsin ,cos ) →b =(ββsin ,cos )，且|k →a ＋→b |＝3|→a －k →b |(k >0)． (1)用表k 示→→•b a ；(2)求的最→→•b a 小值，并求出此时→a 与→b 的夹角θ.3月月考答案1B ，2C ，3C ，4A ，5B ，6B ，7C , 8B , 9B, 10D, 11A ,12C13,2314,(2,16) 15,106 16,(1,3) 17.已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|b |＝25，且a ∥b ，求b 的坐标；(2)若|c |＝10，且2a ＋c 与4a －3c 垂直，求a 与c 的夹角θ. 解：(1)设b ＝(x ，y )， 因为a ∥b ，所以y ＝2x .① 又|b |＝25，所以x 2＋y 2＝20.②由①②联立，解得b ＝(2,4)或b ＝(－2，－4)．(2)由(2a ＋c )⊥(4a －3c )，得(2a ＋c )·(4a －3c )＝8a 2－3c 2－2a ·c ＝0， 由|a |＝5，|c |＝10， 解得a ·c ＝5，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝22，θ∈[0，π]18.设向量a ,b 满意|a |=|b |=1及|3a -2b |=.(1)求a ,b 夹角的大小.(2)求|3a +b |的值. 【解析】(1)设a 与b夹角为θ,因为向量a ,b 满意|a |=|b |=1及|3a -2b |=,所以9a 2+4b 2-12a ·b =7,所以9×1+4×1-12×1×1×cos θ=7,所以cos θ=.又θ∈[0,π],所以a 与b 夹角为.(2)因为==19.(本小题满分12分)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．解：因为cos B ＝45＞0，所以0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在三角形ABC 中A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＝π－(B ＋C )． 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210，因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A ·sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.20.(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针依次构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针依次构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD →＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．21．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且c a C b 21cos -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3π=B ；（Ⅱ）(2,3]【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=可得ca abc b a b 212.222-=-+整理可得ac b c a =-+222，所以2221cos 22a c b B ac +-==可得3π=B ；（Ⅱ）只需求得a c +的范围，因为ac b c a =-+222，所以221a c ac +-=，即ac c a 31)(2=-+由不等式可得22)(43131)(c a ac c a ++≤+=+即可求得a c +的范围 试题解析：解法一：（Ⅰ）∵ca Cb 21cos -=，∴由余弦定理，得ca abc b a b 212.222-=-+， ∴ac a c b a -=-+22222， ∴ac b c a =-+222，∴ac B ac =cos 2，则21cos =B ，∵),0(π∈B ，∴3π=B ．（Ⅱ）ac c a c a c b a l =-+++=++=1)1(,122知由， ∴ac c a 31)(2=-+ ∴22)(43131)(c a ac c a ++≤+=+∴4)(2≤+c a ．∴2≤+c a ． 又∵1=>+b c a ，∴ABC 的周长]3,2(∈++=c b a l ．解法二：（Ⅰ）∵ca Cb 21cos -=， ∴由正弦定理得：CA CB sin 21sin cos sin -=，∴CC B C B C C B C B sin 21sin cos cos sin sin 21)sin(cos sin -+=-+=， ∴1cos sin sin 2B C C=，∵0sin ≠C ，∴21cos =B ．∵),0(π∈B ，∴3π=B ．（Ⅱ）∵3π=B ，∴32π=+C A ．由正弦定理，得A aB b sin sin =， ∴AB A b a sin 332sin sin ==，同理可得C c sin 332=，2(sin sin )sin()]33322sin cos cos sin )333a c A C A A A A A πππ+=+=+-=+-cosA 2sin(A )6A π=+=+ ∵320π<<A ，∴5666A πππ<+<，∴1)6sin(21≤+<πA ， ∴,2)6sin(21≤+<πA ，故ABC 的周长]3,2(∈++=c b a l ．22.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)用k 表示a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ. 解：(1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |，得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， ∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1， |b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0，∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)由(1)知，a ·b ＝k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k .由函数的单调性可知，f (k )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，θ∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为θ＝π3.。

合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考高二年级数学参考答案（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在一次跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t（单位：s ）存在函数关系：=−++h t t t 44112().该运动员在=t 1s 时的瞬时速度（单位：m/s ）为（ ）A ．-4B ．4C ．11D ．-11【答案】A【分析】根据导数的物理意义，求出=−++h t t t 44112()的导数，即可求得答案.【详解】由=−++h t t t 44112()可得=−+'h t t 84()，故=−'h 14()，即该运动员在=t 1s 时的瞬时速度为−4（m/s ）.故选：A 2．已知等差数列a n {}的前n 项和为==+S a S a n ,1,627195，则=S 5（ ） A ．25 B ．27C ．30D ．35【答案】A【分析】借助等差数列及其前n 项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】设等差数列a n {}的公差为d ，则有++=++⨯a d a a d 6224897111()()，又=a 11，则+++=⨯d d 14914627()()，解得=d 2， 则==++⨯⨯S 225114255().故选：A.3.−+x y x y 3(2)5()的展开式中，x y 33的系数为（ ） A ．160 B ．40 C ．120 D ．80【答案】B【分析】由题意首先确定+x y (2)5展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数【详解】+x y (2)5展开式的通项公式为==+−−−T x y x y r r r r r rrrC 22C 515555()，当=r 3时，==−−T x y x y 2C 403545353323，此时只需乘以第一个因式−x y 3()中的x 3，即可得到x y 12033；当=r 2时，==−−T x y x y 2C 802535252232，此时只需乘以第一个因式−x y 3()中的−y ，即可得到−x y 8033；据此可得：x y 33的系数为−=1208040.故选：B.【答案】B【分析】根据奇偶性判断A ；根据奇偶性、单调性判断B ；验证f 1()的值判断C ；根据单调性判断D. 【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数f x ()为奇函数，且=f 10()， 对于A ，()−++−===−x x f x f x xx11ln ln 2()()，为偶函数，故A 错误； 对于B ，−−==−−−−xxf x x x 1122()()，为奇函数，当>x 0时，==−−x x f x x x 112()， 因为=y x ，=−x y 1在+∞0,()为单调递增函数，所以=−xf x x 1()在+∞0,()单调递增，故B 正确；对于C ，==−≠−−f e1e e e 110211()，故C 错误； 对于D ，当>x 0时，=x f x x ln ()，='−x f x x1ln 2()，所以∈x 0,e ()时，0fx ，f x ()单调递增，当∈+∞x e,()时，<'f x 0()，f x ()单调递减，故D 错误， 故选：B.5．疫苗是为预防､控制传染病的发生､流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：附表及公式：()()()()++++=−a b c d a c b d K n ad bc 22()，=+++n a b c d .现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断错误的是（ ）A ．注射疫苗发病的动物数为10B ．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为52C ．能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效D ．该疫苗的有效率为80% 【答案】D【分析】完善列联表判断A ，利用古典概型概率判断B ，计算卡方利用独立性检验判断C ，利用题目数据判断D.【详解】从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5， 则取得“注射疫苗”的动物为⨯=0.510050，完善列联表得：所以注射疫苗发病的动物数为50-40=10，故选项A 正确； 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为=505202，故选项B 正确； 又()()()()⨯⨯⨯++++≈>==⨯⨯−⨯−a b c d a c b d K n ad bc 703050504.762 3.84110030102040222)(()，所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效，故选项C 正确； 对于选项D ，虽说注射疫苗的动物中不发病的频率为=5080%40， 但是未注射疫苗的动物中也有不发病的情况，错误.故选：D【答案】C【分析】先确定P 的轨迹以及直线l 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由⊥PA PB 可得点P 的轨迹为以线段AB 为直线的圆，圆心为0,0()，半径为1，又直线+−=l m x n y :((1)0，其过定点)，=13.故答案为：C 7．泊松分布的概率分布列为()e (0,1,2,)===−λλk P X k k k!，其中e 为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X 服从二项分布，当n 很大且p 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中=λnp ，即X B n p ~,,()N ∈==−i n P X i np np i!e *()()().现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率不超过1%的概率约为（参考数据:≈e0.371）（ ）A ．37%B ．74%C ．90%D ．99%【答案】B【分析】100个元件，次品率不超过1%，即次品数为0或1，根据题干公式，求=+=P X P X (0)(1)即可. 【详解】由题意知==n p 100,0.01，则=⨯=λ1000.011，所以==−k P X k )1!(e 1. 因为======−−P X P X 1!e0!e (0)e ,(1)e 111111， 所以次品率不超过1%的概率约为==+==+≈P P X P X e e(0)(1)74%11. 故选：B8. 已知直线=+∈>y ax b a b (R,0)是曲线=f x xe ()与曲线=+g x x ln 2()的公切线，则+=a b （ ）A ．2B ．21C ．eD ．e1【答案】A【分析】设t t,e ()是f x ()图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线=+g x x ln 2()上的切点，继而求出t 的值，结合切线方程，即可求得答案.【详解】由题意知直线=+∈>y ax b a b (R,0)是曲线=f x xe ()与曲线=+g x x ln 2()的公切线，设t t ,e ()是f x ()图象上的切点，='f x xe ()，所以f x ()在点t t ,e ()处的切线方程为−=−y x t t t e e ()，即=+−y x t t te 1e ()①令='=xg x t e 1()，解得==+=−−−−t x g t t t e ,e lne 22()， 即直线=+∈>y ax b a b (R,0)与曲线=+g x x ln 2()的切点为−−t te ,2()，所以−=−−−tt t t t e e 2e ，即−=−t t t11e ()，解得t =0或=t 1，当=t 1时，①为==y x b e ,0，不符合题意，舍去， 所以t =0，此时①可化为=+y x 1，所以+=+=a b 112， 故选：A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。