高中数学选修2-1第三章空间向量测试题

选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝135．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．66．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________. 14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．20．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A —SC —B 的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证： AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，则OA ，OB ，OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，由空间向量的基本定理知，x ＝y ＝12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ，11B D ，11,B A C D 四条直线对角线满足题意，由题得C 是正确答案，故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确，④错误．故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=，故选C.【第8题解析】△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0.∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．故选B. 【第9题解析】建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，A C 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，A C 1→〉＝＝12·2＝12.∴〈BA 1→，A C 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，A C 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 故填2.【第14题解析】AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y ，x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．故填2∶3∶(－4)【第15题解析】∵cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)， B C 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，B C 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，B C 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】（1）证明见解析；（2）SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO ＝O ， ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ，∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2. ∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝||||||SC SA SC SA ⋅⋅＝|－3a 2＋a 2|3＋1a·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴ (k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.【第21题答案】（1）证明见解析；（2）455. 【第21题解析】(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4，0，0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455，∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.∴OC ⊥SD ，即AC ⊥SD .(2)由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量 OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32， 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。

这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。

112019-2020学年高中数学选修2-1第3章《空间向量与立体几何》测试卷(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在空间四边形ABCD ,连接AC ,BD ,若△BCD 为正三角形,且E 为其中心,则化简AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的结果是( ) A .AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .0 D.2AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:如图,F 是BC 的中点,E 为DF 的三等分点,于是32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −32AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故选C . 答案:C2设平面α内的两个向量a =(1,2,1),b =(-1,1,2),则下列向量中是α的法向量的是( ) A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1) C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)解析:设平面α的法向量为n =(x ,y ,z ),22则{A +2A +A =0,-A +A +2A =0,取y=1,得n =(-1,1,-1).答案:B3如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,CA=CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A .√55B .√53C .2√55D .35解析:不妨设CB=1,则B (0,0,1),A (2,0,0),C 1(0,2,0),B 1(0,2,1).∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,1).cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×3=√55. 故选A . 答案:A4若向量a =(1,x ,2),b =(2,-1,2),a ,b夹角的余弦值为89,则A 等于( )或255 D .2或−255解析:cos <a ,b >=A ·A|A ||A |=3√5+A2=89,33解得x=-2或x =255. 答案:C5如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 为正方体的棱AA 1的中点,F 为棱AB 上的一点,若∠C 1EF=90°,则点F 的坐标为( )A .(2,14,0)B .(2,13,0)C .(2,12,0)D .(2,23,0)解析:由题意可得E (2,0,1),C 1(0,2,2),设F (2,y ,0),则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,A ,−1). 因为∠C 1EF=90°,所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2A −1=0, 解得y =12,则点F 的坐标为(2,12,0),故选C .答案:C6已知点A (-3,4,3),O 为坐标原点,则OA 与坐标平面yOz 所成角的正切值为( )A .34B .35C .53D .1解析:∵点A 在平面yOz 上射影为B (0,4,3),且|OB|=5,∴OA 与平面yOz 所成角θ满足tan θ=|AA ||AA |=35. 答案:B447如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°,且A 1A=3,则A 1C 的长为( )A .√5B .2√2C .√14D .√17 答案:A8在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC=60°.将菱形沿对角线AC 折起,使折起后BD=1,则二面角B -AC -D 的余弦值为( )A .13B .12C .2√33D .√32解析:设菱形对角线AC 与BD 相交于点O ,则∠BOD 为二面角B-AC-D 的平面角, 由余弦定理可得cos ∠BOD =13.答案:A9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=√2,A ,A 分别是面A 1A 1A 1A 1、面AAA 1A 1的中心,则A ,A 两点间的距离为( )B .√52C .√62D .32 解析:以点A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,55则E (1,1,√2),A (2,1,√22),所以|EF|=√(1-2)2+(1-1)2+(√2-√22)2=√62,故选C . 答案:C10已知正三角形ABC ,BC ⊂平面α,点A 在α上的射影为点A',∠BA'C=90°,则平面ABC 与平面α所成的二面角的正弦值等于( ) A .√63B .√134 C .√195D .√306 解析:如图所示,过点A'作A'D ⊥BC ,垂足为D ,连接AD ,则易知∠ADA'为所求二面角的平面角,令BC=a ,则AB=AC=a ,∴A'B=A'C =√22A , ∴A'A =√22A .又∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )66=AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴sin ∠ADA'=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63. 答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若空间三点A (1,5,-2),B (2,4,1),A (2A ,3,A2)共线,则A +A =_______________. 解析:由已知,得AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,3), AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2A -1,-2,A2+2).∵AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴2A -11=-2-1=A 2+23,∴p =32,A =8.故p+q =192.答案:19212在空间四边形OABC 中,若OB=OC ,∠AOB=∠AOC =π3,则cos <AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值是_______________.解析:cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π3-|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosπ3|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0.答案:013已知正三棱柱ABC-DEF 的侧棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点,若直线CF 上有一点N ,使MN ⊥AE ,则AAAA =_______________.77解析:如图,设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ==AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因为MN ⊥AE ,所以AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 因此12×1×1×(-12)+4A =0,解得m =116,所以AA AA =116.答案:11614如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱CD ,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是.解析:如图,以点D 为原点,以DA ,DC ,DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故异面直线A 1M 与ND 所成的角为90°. 答案:90°8815已知在矩形ABCD 中,AB=1,BC =√3,将矩形AAAA 沿对角线AA 折起,使平面AAA 与平面AAA垂直,则点A 与点A 之间的距离为_______________ .解析:如图,过点B ,D 分别向AC 作垂线,垂足分别为M ,N.则可求得AM =12,AA =√32,AA =12,AA =√32,AA =1.因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(√32)2+12+(√32)2+2×(0+0+0)=52,故|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√102. 答案:√102三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知a =(1,2,-2). (1)求与a 共线的单位向量b ;(2)若a 与单位向量c =(0,m ,n )垂直,求m ,n 的值.分析:(1)a 与b 共线,则b =(λ,2λ,-2λ),根据|b |=1,可求得λ;(2)a ⊥c ,则a ·c =0,且|c |=1,注意讨论解的情况.解:(1)设b =(λ,2λ,-2λ),而b 为单位向量,∴|b |=1,即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1, ∴λ=±13.99∴b =(13,23,-23)或b =(-13,-23,23).(2)由题意,知{A ·A =0,|A |=1⇒{1×0+2A -2A =0,√A 2+A 2+02=1,解得{A =√22,A =√22或{A =-√22,A =-√22.17(8分)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱CC 1上一点,CP=m.试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (1,1,0),P (0,1,m ),C (0,1,0),D (0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,A ),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0). 又由AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0知, AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BB 1D 1D 的一个法向量. 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ,则sin θ=|cos <AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2+A 2·√2.√2+A 2·√2=sin 60°=√32,解得m =√63.1010故当m =√63时,直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.18(9分)如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,∠BAC=90°,D ,E ,F 分别是棱AB ,BC ,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值; (2)求点P 到平面DEF 的距离.解: (1)如图所示,以A 为原点,AB ,AC ,AP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A (0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),P (0,0,2),A (12,0,0),A (12,12,0),A (0,12,1). 设平面DEF 的法向量n =(x ,y ,z ),则{A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(A ,A ,A )·(0,12,0)=0,(A ,A ,A )·(-12,12,1)=0,解得{A =2A ,A =0.取z=1,则平面DEF 的一个法向量n =(2,0,1). 设PA 与平面DEF 所成的角为θ, 则sin θ=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A |=√55, 故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为√55.1111(2)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),n =(2,0,1), ∴点P 到平面DEF 的距离d =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A ||A |=√55. 19(10分)如图,正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直,CE ⊥AC ,EF ∥AC ,AB =√2,AA =AA =1.(1)求证:AF ∥平面BDE ; (2)求证:CF ⊥平面BDE ; (3)求二面角A-BE-D 的大小.(1)证明如图,设AC 与BD 交于点G ,连接EG.∵EF ∥AG ,且EF=1,AG =12AA =1, ∴四边形AGEF 为平行四边形,∴AF ∥EG. ∵EG ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE , ∴AF ∥平面BDE.(2)证明∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直,且CE ⊥AC ,∴CE ⊥平面ABCD. 如图,以C 为原点,建立空间直角坐标系Cxyz ,则C (0,0,0),A (√2,√2,0),A (0,√2,0),A (√2,0,0),A (0,0,1),A (√22,√22,1).1212∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,1), ∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0−1+1=0,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+0+1=0. ∴CF ⊥BE ,CF ⊥DE.又BE ∩DE=E , ∴CF ⊥平面BDE.(3)解由(2)知,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,1)是平面BDE 的一个法向量,设平面ABE 的法向量n =(x ,y ,z ), 则n ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{(A ,A ,A )·(√2,0,0)=0,(A ,A ,A )·(0,-√2,1)=0.∴A =0,A =√2A .令y=1,则z =√2.∴n =(0,1,√2),从而cos <n ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32. ∵二面角A-BE-D 为锐角,∴二面角A-BE-D 的大小为π6.20(10分)如图,在四面体A-BCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD=2,BD=2√2.A 是AA 的中点,A 是AA 的中点,点A 在线段AA 上,且AA =3AA .(1)证明:PQ ∥平面BCD ;(2)若二面角C-BM-D 的大小为60°,求∠BDC 的大小.方法一(1)证明:取BD 的中点O ,在线段CD 上取点F ,使得DF=3FC.连接OP ,OF ,FQ ,因为AQ=3QC ,AA.所以QF∥AD,且QF=14因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是△BDM的中位线,AA.所以OP∥DM,且OP=12又点M为AD的中点,AA.所以OP∥AD,且OP=14从而OP∥FQ,且OP=FQ,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD,OF⊂平面BCD,所以PQ∥平面BCD.(2)解:作CG⊥BD于点G,作CH⊥BM于点H,连接GH.因为AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,所以AD⊥CG.又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD.又BM⊂平面ABD,所以CG⊥BM.又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH,所以GH⊥BM,CH⊥BM.所以∠CHG为二面角C-BM-D的平面角,即∠CHG=60°.设∠BDC=θ.在Rt△BCD中,CD=BD cos θ=2√2cosθ,CG=CD sin θ=2√2cosθsin θ,13131414BG=BC sin θ=2√2sin2A .在Rt △BDM 中,HG =AA ·AA AA=2√2sin 2A3.在Rt △CHG 中,tan ∠CHG =AA AA =3cos A sin A=√3.所以tan θ=√3.从而θ=60°. 即∠BDC=60°.方法二(1)证明:如图,取BD 的中点O ,以O 为原点,OD ,OP 所在射线为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A (0,√2,2),A (0,−√2,0),A (0,√2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0).因为AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A (34A 0,√24+34A 0,12). 因为M 为AD 的中点,故M (0,√2,1). 又P 为BM 的中点,故A (0,0,12), 所以AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(34A 0,√24+34A 0,0).又平面BCD 的一个法向量为u =(0,0,1), 故AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·u =0. 又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD.(2)解:设m =(x ,y ,z )为平面BMC 的一个法向量.1515由AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−A 0,√2−A 0,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,1), 知{-A 0A +(√2-A 0)A +A =0,2√2A +A =0.取y=-1,得m =(A 0+√2A 0,-1,2√2). 又平面BDM 的一个法向量为n =(1,0,0),于是|cos <m ,n >|=|A ·A ||A ||A |=|A 0+√2A 0|√9+(A 0+√2A 0)=12,即(A 0+√2A 0)2=3.①又因为BC ⊥CD ,所以AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故(-x 0,−√2−A 0,0)·(-x 0,√2−A 0,0)=0,即A 02+A 02=2.②联立①②,解得{A 0=0,A 0=-√2(舍去)或{A 0=±√62,A 0=√22.所以tan ∠BDC =|√2-A 0|=√3.因为∠BDC 是锐角,所以∠BDC=60°.。

第三章 空间向量与立体几何（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）班别 姓名 成绩一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.15，12 B ．5，2 C ．－15，－12 D ．－5，－2 解析：选A.a ∥b ，则存在m ∈R ，使得a ＝m b ，又a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2λ＝2m ，可得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝12.2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形解析：选A .AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，CA →＝(－5，－1,7)， ∴BC →·CA →＝－10＋3＋7＝0. ∴BC ⊥CA. ∴△ABC 是直角三角形．3．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．15 C ．35 D ．75【答案】D 试题分析：依题意可得(1,,2),2(3,2,2)ka b k k a b +=--=-，由()(2)ka b a b +⊥-可得()(2)0ka b a b +⋅-=，所以3(1)240k k -+-=，解得75k =，选D. 4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( )A ．310B ．210 C.10 D ．5 解析：选A.|a －b ＋2c |＝(a －b ＋2c )2，∵a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋0＝310. 5．给出下列命题： ①已知a ⊥b ，则a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝b ·c ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 四点共面； ③已知a ⊥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则基向量a ，b 可以与向量m ＝a ＋c 构成空间另一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.当a ⊥b 时，a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝a ·b ＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＝c ·b ＝b ·c ，故①正确；当向量BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底时，BA →、BM →、BN →共面，从而A 、B 、M 、N 四点共面，故②正确；当a ⊥b 时，a ，b 不共线，任意一个与a ，b 不共面的向量都可以与a ，b 构成空间的一个基底，故③错误；当{a ，b ，c }是空间的一个基底时，a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，m 也不共面，故a ，b ，m 可构成空间的另一个基底，故④正确．6．已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0, 4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )(A) (B)π (C) (D)π 【答案】B 【解析】由题意知=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),故cos θ===-, 所以θ=π.7．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P(2,3,3)B ．P(－2,0,1)C ．P(－4,4,0)D ．P(3，－3,4)解析：选A.逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．8．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 解析：选B.因MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a .考点：1.空间向量的坐标运算；2.空间向量垂直的条件；3.空间向量的数量积.9．已知非零向量a,b 及平面α,若向量a 是平面α的法向量,则a ·b=0是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵a,b 是非零向量,且a 是平面α的法向量,∴当a ·b=0时,向量b 所在的直线平行于平面α或在平面α内,反之也成立.10．已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，v 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式 A ．平行 B ．垂直 C ．所成的二面角为锐角 D ．所成的二面角为钝角 【答案】B试题分析：由(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以u v ⊥，而u ，v 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.11．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AM ⊥OP 恒成立,即AM 与OP 所成的角为. 12．如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点,则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )(A) (B)- (C) (D)-【答案】A【解析】如图, 正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点.以C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1), =(0,-2,2),=(-1,2,1),∴||=2,||=,·=-2, ∴cos<,>==-.∴直线AD 与GF 所成角的余弦值为. 【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.第II 卷（非选择题）二．填空题（每题5分，总20分）13．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 【答案】-1【解析】∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，∴a ＋b ＝(1，m －1)，∵(a ＋b)∥c ，c ＝(－1,2)，∴1×2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－114．在空间直角坐标系O xyz -中，设点M 是点(2,3,5)N -关于坐标平面xoy 的对称点，则线段MN 的长度等于 .【答案】10 【解析】试题分析：点(2,3,5)N -关于坐标平面xOy 的对称点()2,3,5M --，故线段10MN =． 考点：空间中的距离．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成的角的余弦值是________．16．若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 【答案】56；试题分析：计算||a =||b =1472,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，所以,为邻边的平行四边形的面积为||a ||b 35sin ,1457a b <>=⋅= 三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CM ＝2MA ，A 1N ＝2ND ，且AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量MN →.解：∵MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(A 1A →＋A 1D 1→)＝－13AB →－13AD →＋13AA 1→＋23AD →＝－13a ＋13b ＋13c ，∴MN →＝－13a ＋13b ＋13c .18．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，M 为四边形ABCD 的中心．求证：对A 1B 1上任一点N ，都有MN ⊥AP.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N(1，y,1)． ∴AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， MN →＝⎝⎛⎭⎫12，y －12，1. ∴AP →·MN →＝(－1)×12＋0×⎝⎛⎭⎫y －12＋12×1＝0， ∴AP →⊥MN →， 即A 1B 1上任意一点N 都有MN ⊥AP.19．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且，试求MN 的长．6试题分析：解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．O'N M D'C'B'A'CBA Dz yx由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a ，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．20．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． (1)求证：EF ∥平面ACD 1；(2)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B 1(2,2,2)、E(1,0,2)、F(0，2,1)．(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→＝(2,2,2)． ∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(2)∵AB →＝(0,2,0)， ∴cos 〈EF →，AB →〉＝EF →·AB →|EF →||AB →|＝426＝63，∴异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值为63.21、如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M.(1)求证：AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB.∵AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，∴AB ⊥平面PAD.∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ， ∴PD ⊥平面ABM.∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD.(2) 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ， 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)． ∵AM ⊥PD ，PA ＝AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,1,1)． ∴AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD →＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1.∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝|CD →·n ||CD →|·|n |＝63.∴cos α＝33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为33.22.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD. (1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 解：(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ， 由余弦定理得BD ＝3AD ， 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD. 又因为PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 又因为AD ∩PD ＝D ，所以BD ⊥平面PAD ，故PA ⊥BD.(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0,0,1)， AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)， BC →＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)． 设平面PBC 的法向量为m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0， 可取m ＝(0，－1，－3)，〈m ，n 〉等于二面角A －PB －C 的平面角，cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.。

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算1.下列命题中不正确的命题个数是 （）①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有 AB +BC + CD +DA =0 ；A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。

A .1B .2C .3D .4r 4 * r 4 t 44.已知四边形 ABCD 中，AB =a — 2C , CD =5 a +6 b — 8C ，对角线AC 、BD 的中点分别为 E 、F ，则EF = __________5.已知矩形 ABCD , P 为平面ABCD 外一点，且 PA 丄平面 ABCD , M 、N 分别为 PC 、PD 上的点，且 M N 分PD 成定比1，求满足 MN =xAB - yAD - zAP 的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱 ABCD-ABC 1D 1中，AA = 2AB , E 为AA 重点，则异面直线BE 与C0所形成角的(x , y , z ) 为（)A . ( 1,1 1)B . ( 3 ,-,-)C .( 1 1I ) D .(2 ,2 2) 4 444 4 43 3333 3T T T3 •在平行六面ABC D—EFGHAG 二 xAC yAFzAH , 则x + y + z =2.设OABC 是四面体，G i 是厶ABC 的重心，G 是OG i 上一点，且OG=3GG i,若 10 A . 10 13.10 B . C . 5 10 3 D .52•如图，设 A , B , C , D 是空间不共面的四点， 且满足 丿 ABR ,余弦值为（） ②对空间任意点0与不共线的三点A 、B 、C ,若 OP =x OA +y OB +z OC（其中 x 、y 、z € R ）,则 P 、OG =x OA +y OB +z OC ,分PC 成定比2,NACAD.0 , ABAD =0,则厶BCD 的形状是（）A .钝角三角形B •锐角三角形C •直角三角形D .不确定的 3.已知ABCD — A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列命题中错误的命题为I F I Q F Q①(A 1A+A 1 D 1+A 1B 1)2 =3(A 1 B )2;②AC (A|B _AiA)=O;③向量AD 与向量A |B 勺夹角为60 ; ④立方体ABCD-/AB 1C 1D 1的体积为|ABAA AD4. 如图，已知：平行六面体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且/ CQB = / C 1CD= / BCD=60 °（1）证明：C 1C 丄 BD ;CD（2）当2CD 的值为多少时,CC 15.如图，正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1的底边长为a ,侧棱长为.2 a .建立适1 .已知向量 OA = (2 ,§.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示OB = （x , 1 -y , 4z ）, -2, 3), 且平行四边形OACB 的对角线的中点31坐标为M (0, ,)，则(X ,2 2 A . (-2,-4, -1)B . (-2,一4, 1) C. (-2, 4,-1)D . (2, -4, -1)2 .已知 a = (2, - 2, 4) , b = (1,-1, 2), c = (-6.6,-12)，则向量 a 、b> c ()A •可构成直角三角形 C •可构成钝角三角形B •可构成锐角三角形D .不能构成三角形3 .若两点的坐标是 A （3cos a3sin a 1), B (2cos 0 2sin,01）,则| AB |的取值范围是（） A . [0, 5] B . [1 , 5]4.设点 C (2a+1 , a+1 , 2)在点 的值为 ________________ . C . (1 , 5)P (2, 0, 0)、A (1 , — 3,D . [1 , 25]2 )、B ( 8, -1, 4）确定的平面上，则 a能使 A i C 丄平面C i BD ?请给出证明.当的坐标系，⑴写出A, B, A1, B1的坐标；⑵求AC1与侧面ABB1A1所成的角.B13.2立体几何中的向量方法1到一定点(1 , 0, 1)的距离小于或等于 2的点的集合为()A • {(x,y,z)|(x —1)2y 2 (z —1)2 乞4}B - {(x,y,z)|(x-1)2 y 2 (z-1)2 =4}C • {(x,y,z)|(x —1)2 y 2 (z —1)2 乞 2}D • {(x,y,z)|(x-1)2y 2 (z_1)2 =2}2. 正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面4 二3 .3 3 "2"3. 已知斜三棱柱 ABC-A 1B 1C 1,BCA=90* , AC 二 BC = 2 , A在底面ABC 上的射影恰为 AC 的中点D ，又知BA — AC 1.(1) 求证：AG _平面ABC ; (2) 求C 1到平面A,AB 的距离；4.如图，在直三棱柱 ABC-ABG 中，AB=1 , AC 二 AA =、3 , / ABC=60 °(1)证明：AB_AC ;(2)求二面角A — AC — B 的大小.5.如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱SD 上的点.A 1BD 所成角的余弦值为()(3)求二面角A - AB - C 余弦值的大小.BC1C(1)求证：AC丄SD;(2)若SD丄平面PAC,求二面角P-AC-D的大小(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE //平面PAC.若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由.FDCD2(2)设x, CD =2,则 CC=,CC 1 x』2寸・彳*彳24 2.A 〔C GD = (a b c) (a - c)二 a a b - b c - c 5 6 ,x x4 2 2 2 令飞6=0，则 3x 「x -2 € ,解得 x = 1，或 x = -一x 2 x3（舍去），CD 1时，能使AQ _平面GBD. CC f§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 §3.1.5空间向量运算的 坐标表示参考答案第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §.1.2空间向量的数乘运算 3 4 4 1. A 2.A 3. 4.3a +3b — 5C25.如图所示，取 PC 的中点E ,连结NE ,则MN =EN —EM . 1 i i h••• EN 二 CD 二 BA= — AB ,2 2 2 21 1 _1 EN =PM _PE = _PC PC PC ,连结A C ,则^ _P C A C_ A P1(AB AD —AP) 621 1 …x , y , z .366§3.1.3空间向量的数量积运算 T 彳 T 彳 —H 轉 叫 呻1.C2.B3.③④4. (1)设 CB = a, CD = b,CC 〔 =c ，贝V |a|=|b| ,BD=CD —CB 绪二，所以BDCC^(b -a)c =b c —a c =|b||c|cos60 -|a||c|cos60 =0, BD _ CG 即 BD _ CC 1 ;BD _A 〔C , 只须求 x 满足：AC GD =0 ,A BADBD 一 面AA1C C ,■A A = a, AD =b, DC =c, A|C =ab21. A2.D3.B4.165. (1 )建系如图，贝U A (0, 0, 0) B ( 0, a , 0)(2)解法一：在所建的坐标系中，取 a *-于是 M (0, _, J2a ),连结 AM , MC 12则有2,0,0) AB=(0,a,0), 胃=(0,0、、2a),2二 MQ AB = 0, MC 1 AA =0, 所以，M6丄平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是 AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法 新课标第一网3.取 AB 的中点E ，贝U DE // BC ,以DE, DC,DA 1为x, y,z 轴建立空间坐标系, 则 A 0, -1,0，C 0,1,0，B 2,1,0 ,A 0,0,t , C 0,2,t ,R -HA i ( 0, 0,■… 2 a), C 1|,Z )A iB i 的中点M ,ACi =( 亍,2，池,)爲“j,忌),9a 2.AC 1 AM，而 || AC4AC 1 AM -3| AG ||AM 「2 ,由 cos< AC 1, AM >= < AC 1, AM >=30 °••• AC 1与侧面 ABB 1A 1所成的角为30°1 .A 2. C (1)如右图,所以DE _ AC ，又AD _平面ABC ，AG=(0,3,t ), BA=(-2,-1,t ),T > TCB 二2,0,0 ，由AC CB = 0，知AC — CB ,又BA丄AG,从而AC1丄平面ABC.(2)由AC1 BA = -3 + t2设平面 AAB 的法向量为 n= x, y,z , A A^ = 0,1,3 , "AB 二 2,2,0，所以•竺二y 、3z =o ，设乙=i ，则 n 二；3, _、、3,1，n AB' = 2x 2y = 0(3)再设平面 A|BC 的法向量为m= x, y, z ， CA , 所以m CA = -y ^3z = 0，设 z =1，则 m = 0, ■. 3,1 ，m CB = 2x = 0故 cos ：：：m, n 1 二二，根据法向量的方向,7可知二面角A-AB-C 的余弦值大小为 -74. (1) T 三棱柱ABC-AB iG 为直三棱柱,二 AB 丄 AA , AC 丄 AA ，Rt ：ABC ，AB =1, AC 二，3, ABC = 60， 由正弦定理/ACB= 300. . BAC =90° 即 AB _ AC如右图，建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0B, (1,0,0) (0^3,小，(0,0, 3).A^ = (1,0,0), AC = (0^.3/. 3)， AB _ AC .I⑵ 如图可取m =AB =(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量,设平面A 1BC 的法向量为n =(l,m, n)， 则B C n =0, AC n =0,又 BC =( —1,73,0)，所以点G 到平面AAB 的距离d 二AC 1n2.21-1八 3 , CB 二 2,0,0 ,=1 0 0 .3 0 (一、、3)=0，丨 J 、、3m = 0_ _ . ^ </3m, n =m. 3m - x 3 n = 0不妨取m =1,则门=(13,1,1)，m ncos £ m, n >= ----- :—=m ，n,3 11 01 0 .15I 2 12 12 J 2 02 025j 15 二面角 A _AC -BD 的大小为arccos .'P55. ( 1)连结BD ，设AC 交于BD 于O ， 由题意知SO _平面ABCD .以O 为坐标原点,OB,OC,OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立坐标系O -xyz 如右图.D设底面边长为a ，则高SO 二—2a .于是 S(0,0,6a),D( 2a,0,0)，C(0^-2 a,0)2 2 2OC =(0仝a,0)，SD -( 2a,0, 6a)，OC S ^-0 2 2 2 ，故OC 丄SD 从而AC 丄SD .7 ■2 • 6 ⑵由题设知，平面PAC 的一个法向量DS=( a,0, a)，平面DAC 的一个法向量 2 2 OS =(0,0,6a )，设所求二面角为6，则cos 日=笃笛=庚，得所求二面角的大小为 30 ° 2 |OS||DS| 2 ,6a 2 (3)在棱 SC 上存在一点E 使BE//平面PAC .由(2 )知DS 是平面PAC 的一个法向量，且f a)丘® -予,予).设 CE =tCS,____ ______________________________ if Q / Q jf O则 BE = BC CE =BC tCS =(— a,二 a(1 -1),2—at)，而2 2 2t 二1 .即当 SE: EC =2:1 时，BE _ DS .而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE// 平面 PAC . 3作 者于华东 责任编辑庞保军。

高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρC ．)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）A ．19B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．0二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________。

2．若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。

3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______。

高中数学选修2-1第三章+空间向虽与立体几何+测试题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的）1.向量a=(2x,1,3),b=(1, — 2y,9), 若a 与b 共线， 则（）- 1 1A . x= 1, y= 1B . x= 2， y= — 2- 1312C. x= 0, 6v= — 2D . x=— 6, v=3解析由 a// b 知，a ：=?b,2x=入1 = 一2 入 ys,= 9 入. 、 1 1. .灯a ，x =6. 3V= — 2答案 C2. 已知 a = (- 3,2,5), b = (1, x, - 1)，且 a b= 2,贝U x 的值是( )A . 6B . 5C . 4D . 3解析 ab=— 3 + 2x — 5 = 2, •■- x= 5. 答案 B3. 设11的方向向量为a = (1,2,— 2), 12的方向向量为b = (-2,3, m),若11± 12,则实数m 的值为()-1 A . 3 B.2 C. 1D.2解析 • hJ_ 12, aJ_ b, a b = 0, — 2+ 6 — 2m= 0, m= 2.答案 B4 .若a, b 均为非零向量，贝U a b = |a||b|是a 与b 共线的()A .必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析 a b = |a||b|cos 〈a, b 〉，而 a b= |a||b|.cos 〈a, b> = 1,〈a, b 〉= 0.•■- a 与b 共线.反之，若 a 与b 共线，也可能ab=— |a| |b|,因此应选B.答案 B3 67, 一 3)5 .在△ ABC 中，AB= c, AC= b.若点 D 满足 BD = 2DC ，贝U AD =(21A.gb+ 3c / 1 一 Cgb - 3c12D .3b +3c367, 一 3)64A . 2B . 3 C. 7解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4),•• AD = (- 1, —2,2).• - |AD |= —1 + 4 + 4= 3.答案 B8.与向量a= (2,3,6)共线的单位向量是解析如图，AD = AB + BD2八= AB+ -BC … 2 一… = AB+ -(AC- AB) 12=-AB+ -AC =3c +$.答案 A6.已知a, b, c 是空间的一个基底，设 p = a+ b, q = a- b,则下列向量中可以与p, q起构成空间的另一个基底的是(D.以上都不对解析a, b, c 不共面,c 不共面, •••p, q, c 可构成空间的一个基底.答案 C7 .已知△ ABC 的三个顶点A(3,3,2), B(4, —3,7),C(0,5,1)，贝U BC 边上的中线长为(3 67, 一 3)2 3 6A • (7，-，7)2B. (-7,2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 C•(7,一〒-7)和(-7 7，7) D.(7, 7)和(--)解析|a|=寸22 + 32 + 62 = 7, .••与a共线的单位向量是号(2,3,6),故应选D.答案 D 9.已知向量a= (2,4 , x), b = (2, y,2)，若|a|= 6 且a±b，则x + y 为( ) A . - 3 或1 B . 3 或—1 C. - 3 D. 1解析由|a|= 6, a±b,4+ 16+ x2= 36, x= 4, 得解得4+ 4y+ 2x = 0, y=- 3,x= — 4, 或y= 1.x+ y= 1,或一3.答案A10.已知a= (x,2,0), b= (3,2 — x, x2)，且a与b的夹角为钝角，贝U实数x的取值范围是( )A . x>4B . x<- 4C . 0<x<4 D. - 4<x<0.解析〈a, b〉为钝角,a b= |a||b|cos〈a, b> <0，即3x+ 2(2 — x)<0 , x< — 4.答案B11.已知空间四个点A(1,1,1), B(-4,0,2), C(- 3, —1, 0), D( — 1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析设平面ABC的一个法向量为n= (x, y, z),. AB= (-5, - 1,1), AC= (-4, -2, - 1),由n AB = 0 及n AC = 0,得—5x — y+ z= 0,令z= 1,—4x — 2y— z= 0,得x = 2 y=—3 n = (；, - I，1).又AD = (-2, - 1,3)，设AD与平面ABC所成的角为0,则sin 0= f 』3 -|AD n|_ T+ 2+ 3“ 一一14M14 x-|AD||n| 14 212'••• 0= 30°.答案 A12 .已知二面角 a- l - 6的大小为50 °, P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面a 和平面6所成的 角都是25°的直线的条数为（ ）解析 过点P 分别作平面 a, 6的垂线l i 和12,贝U 11与12所成的角为130。

章末检测一、选择题1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( ) A ．α⊥βB ．α∥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD → ＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a|n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a|n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定7．在以下命题中，不．正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2B ．3C ．4D ．18.已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ， PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.PA →与CD →9．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．610.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ， BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2D. 311．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 12.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线 EF 和BC 1的夹角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB→＋λOC →，则λ＝________.14．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是_______________________．15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ (θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2)， AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面N 内，BC 在l 上，CD 在平面M 内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________． 三、解答题17.已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中 点，问向量PA →、MB →、MD →是否可以组成一个基底，并说明理由． 18.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1， AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .19.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上 一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值． 21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平 面角的余弦值．22.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的 结论．答案1．B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C 10．C 11．C 12．B 13．－2 14．(5,0,2) 15．60°或120° 16.3－2cos θ17．解 PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底，理由如下：连接AC 、BD 相交于点O ，∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 、BD 的中点，在△BDM 中，MO →＝12(MD →＋MB →)，在△PAC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点，则MO →＝12PA →，即PA →＝MD →＋MB →，即DA →与MD →、MB →共面．∴PA →、MB →、MD →不可以组成一个基底． 18．证明 由平行六面体的性质ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E → ＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A → ＝－12AB →－AD →－13AA 1→，NF →＝NB →＋BC →＋CF → ＝12AB →＋AD →＋13CC 1→ ＝12AB →＋AD →＋13AA 1→， ∴ME →＝－NF →，又M ，E ，N ，F 不共线， ∴ME ∥NF .19.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， D 1(0,0,1)．则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )， AC →＝(－1,1,0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知， AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2 依题意得22＋m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝63. 故当m ＝63时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20．解 以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知AB ＝2，AA 1＝1，可得 A (0,0,0)，B (2,0,0)，F (1,0,1)．又AD ⊥平面AA 1B 1B ，从而直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为∠DBA ＝30°，又AB ＝2，∴AD ＝233，从而易得D ⎝⎛⎭⎫0，233，0.易知平面AA 1B 1B 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的一个法向量，BF →＝(－1,0,1)，BD →＝⎝⎛⎭⎫－2，233，0，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，令z ＝1，可得n ＝(1，3，1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m||n |＝155. 即二面角A —BF —D 的余弦值为155. 21．(1)证明 连接BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线， 所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解 连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线 为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°， 得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AC .在直角△PAC 中， AC ＝23，PA ＝26，AQ ⊥PC ， 得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)P (－3，0,26)， M ⎝⎛⎭⎫－32，－32，6，N ⎝⎛⎭⎫－32，32，6，Q ⎝⎛⎭⎫33，0，263.设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量， 由AM →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，6，AN →＝⎝⎛⎭⎫32，32，6知⎩⎨⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0.取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量，由QM →＝⎝⎛⎭⎫－536，－32，63，QN →＝⎝⎛⎭⎫－536，32，63知 ⎩⎨⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.取z ＝5，得n ＝(22，0,5)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333. 22．解 设正方体的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz .(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)， 所以BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD →＝(0,1,0)． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量． 设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1) (0≤t ≤1)．又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为棱C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .。

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22C [a ＝(1，－3，2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.]2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12 B ．x ＝1，y ＝13 C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14D [AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→ ＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选A.]3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9，2)B ．(－5，9，－2)C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2) B [a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)， ∴a ＋b ＝(－5，9，－2)．]4．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是( )A.13 B.23 C.773D.63C [设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x ，3－y ，4－z )， 由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773.]5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB →＝－C 1D 1→ B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0D [如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．]6．设ABCD 的对角线AC 和BD 交于E ，P 为空间任意一点，如图所示，若P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝xPE →，则x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5C [∵E 为AC ，BD 的中点， ∴由中点公式得PE →＝12(P A →＋PC →)， PE →＝12(PB →＋PD →)．∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PE →.从而x ＝4.]7．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657D [∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2) ＝(2x －y ，－x ＋4y ，3x －2y )， 所以⎩⎨⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657.]8．若向量a ＝(x ，4，5)，b ＝(1，－2，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A ．3B ．－3C ．－11D ．3或－11A [因为a·b ＝(x ，4，5)·(1，－2，2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A.]9．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 C [∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量． ∴21＝112＝m 2.∴m ＝4.]10．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° C [建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，A 1(0，0，1)，C 1(0，1，1)， ∴BA 1→＝(－1，0，1)，AC 1→＝(0，1，1)，∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12×2＝12.∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成角为60°.]11．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13A [以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.]12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，（x ，y ，z ）·（－3，4，0）＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32，∴所求二面角为30°.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中： ①AB →－CB →＝AC →； ②AA ′→＝CC ′→；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 其中正确的有________．①② [①AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，正确；②显然正确；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝(AB →＋BC →)＋(BB ′→＋C ′C →)＝AC →＋0≠AC ′→，错误．]14．若向量m ＝(－1，2，0)，n ＝(3，0，－2)都与一个二面角的棱垂直，则m ，n 分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为________．－36565或36565 [∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n | ＝－1×3＋2×0＋0×（－2）5×13＝－36565.∴二面角的余弦值为－36565或36565.]15．如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．36 [建立坐标系如图，则B (1，1，0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DA 1→＝(1，0，1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．又OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1，∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈OB →，DA 1→〉| ＝|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|＝1262×2＝36.] 16．设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD1B＝λ，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，设P (x ，y ，z )，则D 1P →＝(x ，y ，z －1)，D 1B →＝(1，1，－1)，由D 1P →＝λD 1B →， 得(x ，y ，z －1)＝λ(1，1，－1)， ∴⎩⎨⎧x ＝y ＝λ，z －1＝－λ，即P (λ，λ，1－λ)， ∴P A →＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝(－λ，1－λ，λ－1)， 由P A →·PC →<0得－2λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，解得13<λ<1. 由题意知P A →与PC →所成的角不可能为π，故13<λ<1.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是正方形，CC 1＝3，CD ＝2，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝60°.(1)设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示A 1C →； (2)已知O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，求CO 的长． [解] (1)由CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，得CA 1→＝a ＋b ＋c ， 所以A 1C →＝－a －b －c .(2)O 为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心，即O 为线段A 1C 的中点． 由已知条件得|a |＝|b |＝2，|c |＝3，a ·b ＝0，〈a ，c 〉＝60°，〈b ，c 〉＝60°. 由(1)得CA 1→＝a ＋b ＋c ，则|CA 1→|2＝CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝29.所以A 1C 的长为29，所以CO 的长为292.18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .[证明] 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2，1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC 平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .19．(本小题满分12分)如图所示，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小． (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．[解] (1)如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，DD ′分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设DA ＝1.则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)． 连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22， 所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×12×1＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0，1，0)， 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值． [解] (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0， 不妨令x 2＝1，则n 2＝(1 3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64. 由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.21．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解]以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0， 于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角， 则m·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值． [解] (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．所以A 1B →＝(0，3，－4)，A 1C 1→＝(4，0，0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎨⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(0，4，3)． 同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3，4，0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1­BC 1­B 1为锐角，所以二面角A 1­BC 1­B 1的余弦值为1625.(3)证明：假设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→(λ∈[0，1])，所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3，4)． 解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B . 此时BD BC 1＝λ＝925.。

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°， 即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。

1 .2 .3 .4. 选修2-1第三章空间向量检测题（一）、选择题（每小题5分，共60分）已知向量2A. 3在长方体A.AD i 5. a = (2,—3,5)与向量b= (3,人号）平行，则X=（9B.2ABCD—A1B1C1D1 中，A B+ B C+ C C1 —D7C1 等于(B.AC1C.ADD.AB若向量a= (1, m,2), b= (2, —1,2)，若8 rcos〈a, b〉= 9,贝" m的值为（）A . 2 B.—2 C.—2或552 D. 2或—55已知空间向量a= (1,1,0), b= (—1,0,2), (0,1,2)已知A,共面的是（则与向量a+ b方向相反的单位向量的坐标是（）1 B. (0,—1,—2) C. (0, ，5, D . (0，- 15,-B, C三点不共线，对平面ABC内任一点0,下列条件中能确定M与点A , B , C 一定) A.O M = O A+OB + O C B.O M= 2OA —OB —OtC.OM = 0A + joB + 100D.OM = 1(5A + 1(5B+1(5C6•如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB, AC , M , N分别是对边0A , BC的中点，点G在线段MN上，且MG = 2GN ,现用基向量0A , OB , Oc表示向量，设0G=xOA+yOB+zOC ,则x, y, z的值分别是（1 A . x= 3,1y=3,1z= 31 1B. x=3, y= 3,c. x= 3,1y =6,1Z= 31 1D. x=6, y=11Z= 37•如图所示，已知三棱锥A—BCD, O BCD内一点，则AO + AD）是0 BCD的重心的（）G NB1(A B+A CA •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件E8已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，若ABCD 是边长为2 的正方形，AA i = 1，/ A i AD = Z A i AB=60°贝V BD i 的长为（）A . 3B. .' 7C. . 13D . 99•如图所示，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AB = BC = AA i ,Z ABC = 90° 点E , F 分别是棱AB , BB i 的中点，则直线 EF 与BC i 所成的角是（ ） A . 45°B . 60°C . 90°D . i20°iO .把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A , B , C , D 四点为顶点的 三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（）A . 90 °B . 60 °C . 45 °D . 30 °ii.如图所示，在三棱锥 P —ABC 中，/ APB =Z BPC =Z APC = 90° M 在厶 ABC 内，/ MPA = 60° / MPB = 45° 则/ MPC 的度数为（ ）A . i50°B . 45°C . 60°D . i20°i2 .已知直二面角 a — PQ — 3, A € PQ , B € a, C € 3, CA = CB ，/ BAP =45° ,直线CA 和平面a 所成的角为30° ,那么二面角 B — AC — P 的正 切值为（）i3.已知四面体 ABCD 中，AB = a — 2c , CD = 5a + 6b — 8c , AC , BD 的中点分别为 E , F ,则 =14. 在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ ACB = 90 ° / BAC = 30 ° , BC = 1 , AA1 = ： 6 , M 是 CC i 的 中点，则异面直线 AB i 与A i M 所成角的大小为 _____________ .15. 已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，ABCD 是边长为 a 的正方形，AA i = b , / A i AB =Z A i AD = I20 °,贝U AC i 的长为 __________ .i6.如图，平面 ABCD 丄平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形，四题号 i2 3456789I0iiI2答案B . 3C.|、填空题（每小题5分，共20分）iD .3Ci边形ABEF是矩形，且AF = 2AD = a, G是EF的中点，贝U GB与平面AGC所成角的正弦值为__________ .8已知平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，若ABCD是边长为 2 的正方形，AA i= 1，/ A i AD = Z A i AB三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17. (10 分)已知A(1，- 2,11), B(6 , - 1,4), C(4,2,3), D(12,7 12)，证明:A, B, C, D 四点共面.18. (12分)如图，已知点P在正方体ABCD —A1B1C1D1的体对角线BD1上，/ PDA = 60 °(1)求DP与CC1所成角的大小；⑵求DP与平面AA1D1D所成角的大小.19. (12分)如图所示，已知正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证A1E丄BD ; (2)若平面A1BD丄平面EBD，试确定E点的位置.20.(12分)如图，四边形 PDCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，平面 PDCE 丄平面ABCD ，/ BAD21.(12分)如图所示，在四棱锥P — ABCD 中，底面ABCD 是矩形, AB = 1 , BM 丄 PD 于点 M.(1)求证AM 丄PD ; (2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.22.(12分)如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面是边长为 2^3的菱形，且/ BAD = 120 ° PA 丄 平面ABCD , PA = 2 6, M , N 分别为PB , PD 的中点.(1)证明MN //平面ABCD ; (2)过点A 作AQ 丄PC ,垂足为点Q ,求二面角A — MN — Q 的平面角的 余弦值.1=/ ADC = 90° AB = AD = 2CD = a , PD = >/2a.(1)若M 为PA 的中点，求证： AC //平面 MDE ; (2)求平面PAD 与平面 PBC所成锐二面角的大小.PA 丄平面 ABCD , PA = AD = 2,第三章单兀质量评估(一■)1. C T a // b ,「. b = ma(m € R),2= Y= 15，得入——7 8 92AB + BC + CC i — D 1C 1 = AC 1 — D iG = AC 1 + CD 1 = AD 1. ab = 6-m |a 匸.m 2 + 5 |b| = 3, cos 〈a，b 〉=|a||b|=3 m 2 + 57 C8 A BD 1=BA +AD + DTD 1 = E B A +BC + BB 1, |BD 1|2= BD 12 = (BA + BC + BB 1)2= |BA|2 + |BC|2 + |BB 1|2 + 2BA BC + 2BA BIB 1 + 2BC BIB 1 = 4 + 4+1 + 1 10+ 2X 2X 1 X ( — 2 + 2X 2X 1X 2= 9, |就|= 3, 即卩 BD 1 的长为 3.2. A3. C 8 =9解得、 2m = — 2 或 m = 55.由已知得a + b = (0,1,2)且|a + b|= 5,则与向量a +b 方向相反 1 1的单位向量为一 5(°,1,2)= (0,-5,-5. D16. D 连接ON , T M , N 分别是对边OA , BC 的中点，二OM = -Q A , 1 Oh=2(O B + O C),OG = oM + MG = oM + 3MN = oM + 3(O~N - oM) = 30M +X 舟0^+|x ^(OB +OC) = 6O A +3O B +^OC ,二x = 6, y = z = 3.故选 D.4. D.故选D.9. B以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2, 则E(0,1,0), F(0,0,1), G(2,0,2), B(0,0,0),则EF = (0, - 1,1), BC i = (2,0,2),2 i••• cos <EF, BC I〉=頁2迄=2，二〈EF, BC i>= 60° A直线EF 与BC i 所成的角为60°10. C 翻折后A, B, C, D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC 丄平面BAC,设未折前正方形对角线的交点为O,则/ DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°11. CAB如右图所示，过M作MH丄面PBC于H，贝S MH // AP,「./ MPH =12. A 在平面B 内过点C 作CO 丄PQ 于O ,连接OB.又a 丄B,则OC X OB , OC X OA ,又 CA = CB ,所以△ AOC ^A BOC , 故 OA = OB.又 / BAP = 45°所以OA X OB.以O 为原点，分别以OB , OA , OC 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图).不妨设AC = 2,由/ CAO = 30°,知OA = 3, OC = 1.在等腰直角三角 形 OAB 中，/ ABO =/ BAO = 45° 贝卩 OB = OA = 3，所以 B( 3, 0,0), A(0, 一3, 0), C(0,0,1), AB = ( .3,- , 3, 0), AC = (0,— 3, 1)，设平tt m AC = — V 3y +z = 0面ABC 的法向量为n 1 = (x , y , z),由_ _ ，取x = 1,n 1 AB = V 3x —V 3y = 0则y = 1,z =Q 3,所以n 1= (1,1,3),易知平面B 的一个法向量为n 尸(1,0,0), 则 cos < n 1, n 2>= |；||：2厂丁5：〔二中，又二面角 B — AC — P 为锐角，由此可得二面角B — AC — P 的正切值为2.13. 3a + 3b — 5c30° 二 cos45 = cos / HPB cos30 °6 ~3，cos / HPC =cos / HPB•••/ MPC= 60° 又 cos / HPC cos30解析：A 1M = 0，— 3，— ~2 ， cos <AB 1， A 1M 〉= 0，二〈AB 1， A 1M 〉= n即直线AB 1与A 1M 所成角为扌15/, 2a 2 + b 2— 2ab如图所示，取BC 的中点M ,连接EM , MF ,则EF = EM + M F = 2A B +1(a —2c) + 2(5a + 6b — 8c) = 3a + 3b — 5c.14. 扌解析：由条件知AC , BC , CG 两两垂直， 图，以C 为原点，CB ，CA ，CC i 分别为x 轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),A(0, 3 0)，B i (1,0，.'6)，M 0，0,屮，几(0，3'6)，A解析：设AB= a，AD = b，A/A1 = c，则|a|= |b|= a，|c|=b ,• • AkC i = AB + B C + cC i = a + b + c ,• • |AC i |2 = (a + b + c)2 = 2a 2 + b 2 — 2ab ,「. |/AC i |= 2a 2 + b 2 — 2ab.'616可解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐 标系，则 A(0,0,0), B(0,2a,0), C(0,2a,2a), G(a ,a,0), F(a,O,O), AG = (a , a,0), AC = (0,2a,2a),BG = (a , — a,0),设平面AGC 的一个法向量为n i = (x i ,AG n i = 0 y i,i)，由—AC n i = 0AGC 所成的角为B,则 |BG n i |=2a _^6 |BG||n i | ；2a x 3 3i7.证明：AB = (5,i ,— 7), AC = (3,4,— 8), AD = (ii,9,— 23)，设AD = X AB +yAC ,5X + 3y = ii得 x +4y = 9 ,—7X — 8y = — 23解得 X = i , y = 2.ax i + ay i = 0 2ay i + 2a = 0 ，则 x i = 1 y i = — i,故n i = (i ,— i,i).设GB 与平面 sin 0=所以AD = AB+2AC,则AD, AB, AC为共面向量，又A B,A D, AC有公共点A,因此A, B, C, D四点共面.18. 解:如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1, 则DA = (1,0,0), CC i = (0,0,1),连接BD, B i D i，在矩形BB i D i D 中，延长DP交B1D1于H点.设DH = (m, m,1)(m>0),〈DH , DA> = 60° 则DA DH = DA|DH|cos 〈DH , DA >,可得2m= 2m2+1,得m^-^,所以DH =(承孑,1).(1) cos〈D H , CC1 > = DH C C1 = 1，所以〈D H , CC1 > = 45°,即IDH11CC1I 72DP与CC1所成的角为45°DH DC(2) 平面AA1D1D 的一个法向量为DC = (0,1,0), co〈DH , DC> = ——|DH||DC| 1=2,所以〈DH , DC > = 60°故DP与平面AA1D1D所成的角为30°19. (1)证明：如图所示，以D为原点，DA,D C,D D I所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,O,O), B(a, a,0)，C(0，a,0),A i(a,0，a)，C i(0，a，a)，设E(0，a，e)，则A i E=(—a，a，e —a)，BD = (—a，—a,0)，A i E BD =—a (—a) + a (-a) + (e- a) 0=0，A A i E丄BD，贝A i E丄BD.(2)解：当E为CC i的中点时，平面A i BD丄平面EBD.由题意可得DE=BE，••• E0 丄BD.同理A i O丄BD，/ A i OE为二面角A i - BD —E的平面角，EO ==^23a，A i O = ^Ja2+^|2a2 = ^a，A i E2= ^/2a)2+ p 29 9=4a2，二EO2+ A i O2= 4a2= A i E2，：/ A i OE = 90° •平面A i BD 丄平面EBD.20 .解：T四边形PDCE是矩形，且平面PDCE丄平面ABCD，平面PDCE A平面ABCD = CD，二PD 丄平面ABCD，贝S PD丄AD，PD丄DC，又/ ADC =90° • PD，AD，DC两两垂直.以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知，得D(0,0,0),A(a,O,O), P(0,0, 2a), E(0,2a , 2a), C(0,2a,0), B(a , a,0).(1) T M 为 PA 的中点，二 M(|, 0,今),则AC = (— a,2a,0), DM = (2, 0,手)，DE = (0,2a , 2a).设平面MDE 的法向量为m = (x , y , z),m DE = 0 2y + 2z = 0取 m = (2,1,— 2).而AC m = (— a) 2 + 2a + 0= 0,且 AC?平面 MDE ,••• AC //平面 MDE.⑵平面 FAD 的一个法向量 n i = (0,1,0), PC = (0,2a ,—2a), PB = (a , a , — 2a).设平面PBC 的法向量为 七=(x °, y °, %),则有取 n 2 = (1,1, 2).设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为0,则有..n 1 n 2 . 1cos = |cos 〈n 1, n 2〉ITjn^= 2, m DM = 0x + 2z =0由题意得则0= 60°•平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°21 . (1)证明：T PA丄平面ABCD, AB?平面ABCD,••• FA X AB.v AB 丄AD , AD A FA = A 」.AB 丄平面 FAD.v PD?平面 FAD ,• AB 丄PD.v BM 丄 PD , AB A BM = B ,. PD 丄平面 ABM.v AM?平面 ABM ,. AM 丄 PD.⑵解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB , AD , AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0),D(0,2,0), M(0,1,1)，贝SAC = (1,2,0)，AM = (0,1,1)，CD = (-1,0,0).设平面ACM 的一个法向量为n = (x , y , z),由n 丄AC , n 丄AM 可得 平面ACM 所成的角为a,贝卩sin a= CD n = 乂6，二COS a= W3，.・.直线ICDII n| 3 3CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为 §.22. (1)证明：连接BD ，因为M , N 分别为PB , PD 的中点，所以MN 是厶PBD 的中位线，所以MN // BD.又因为MN?平面ABCD ,所以MN //平 面 ABCD.x + 2y = 0,y +z = 0, 令 z = 1,得 x = 2, y =- 1,. n = (2,- 1,1).设直线 CD 与(2)解法1:连接AC 交BD 于0,以0为原点，OC, OD 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示.在菱形ABCD 中，/ BAD =120° 得 AC = AB = 2书，BD = ^3AB = 6,又因为 PA 丄平面 ABCD ，所 以FA X AC ,在直角三角形 FAC 中，AC = 2,3, FA = 2 6, AQ 丄PC ,得 QC = 2, PQ = 4•由此知各点坐标如下:A(- 3, 0,0), B(0,— 3,0), C( 3, 0,0), D(0,3,0), P(— 3, 0,2 6), M -于，-1, 6 , N — f, |, .6 , Q -f, 0,響•设m = (x i , y i , z i )为平面AMN 的一个法向量，AM = 于，—3, 6 , AN =彊 2 6 ,由 m 丄 AM , m 丄AN 知 y 2, Z 2)为平面 QMN 的一个法向量， QM = -563,— 2, , QN =取 z i = — 1,得 m = (2 2, 0,— 1).设 n = (X 2,5/3 3丄0一—T x2—2y2+T Z2= 0,n丄QN知—，-5/3 3 卡门帝X2 + 刃2 + -^2= °MN —Q的平面角的余弦值为解法2:如图所示，在菱形ABCD中，/ BAD = 120°得AC= AB = BC= CD = DA，BD = ,'3AB.又因为PA丄平面ABCD，所以PA X AB, FA X AC, FA X AD，所以FB= FC= FD，所以△ FBC^^ PDC.而M , N 分别是1 1PB, PD的中点，所以MQ = NQ,且AM = 2PB = 2PD= AN.取线段MN的中点E,连接AE, EQ,贝S AE X MN , QE X MN,所以/ AEQ为二面角A —MN —Q 的平面角，由AB= 2.3 PA= 2：6,故在△ AMN 中，AM = AN1 3X/3=3, MN =尹D = 3,得AE=〒.在直角三角形PAC中，AQ X PC,得AQ=2 2, QC= 2, PQ= 4,在厶PBC 中，cos/ BPC= PB［黑/' '得MQ = *PM2+ PQ2—2PM PQcos Z BPC= '5.在等腰三角形MQN 中，MQ =NQ= ：5, MN= 3,得QE = \MQ2—ME2=,11 , 亠3 3“ 4 “2 .在△ AEQ 中，AE=〒,QE= 2, AQ3于•由n丄QM,取Z2=5,得n = (2 '2, 0,5).故cos〈m,n —归*|m||n|=药，所以一面角 A —所以二面=6, P4玄2AE QE=2 2 得cos/ AEQ = AE"：严二AQ =雰,33 33。

第三章 单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为( )A.AB → B ．2BD → C ．0D ．2DE→ 解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE →＝DF →.∵12BC →＝BF →，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →－AD →＝AF →＋FD→－AD →＝AD →－AD →＝0. 答案：C2．在以下命题中，不．正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝ 2OA→－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．已知A 、B 、C 、D 为四个不同点，且AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，则( )A ．A 、B 、C 、D 四点必共面B ．A 、B 、C 、D 四点构成一个空间四边形 C ．A 、B 、C 、D 四点必共线D ．A 、B 、C 、D 四点的位置无法确定解析：共线、共面和构成一个空间四边形三种情况都可能出现，故选D.答案：D4．如图，在四面体ABCD 中，已知AB→＝b ，AD →＝a ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE→＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13c C ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c解析：DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝DA →＋AB →＋13(AC →－AB →)＝－a ＋23b ＋13c ，故选A.答案：A5．已知向量a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)，a ·b >0，则函数y ＝x 2＋4x －1的值域是( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．(－4，＋∞)D ．(－∞，－4)解析：由a ·b >0，得2＋x －1>0，解得x >－1.而函数y ＝x 2＋4x －1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y >(－1)2＋4×(－1)－1，即y >－4.答案：C6．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6D ．±6解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(－1，－5，－2)·(x,2，x ＋2)＝－x －10－2x －4＝－3x －14＝0，∴x ＝－143，故选B.答案：B7．已知点A (－3,4,3)，O 为坐标原点，则OA 与坐标平面yOz 所成角的正切值为( )A.34B.35C.53D ．1解析：A 点在面yOz 上射影为B (0,4,3)且|OB |＝5，所以OA 与平面yOz 所成角θ满足tan θ＝|AB ||OB |＝35.答案：B8．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 答案：A9．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，QP →＝(0，－1,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 所成角为π2.答案：D10．已知A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：∵A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)， ∴AB→＝(1,1,1)，AC →＝(2,1,3)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝2＋1＋33·14＝427，∴sin 〈AB →，AC →〉＝77， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉 ＝12×3×14×77＝62，故选D. 答案：D11．如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22 C.23D.55解析：∵A 1B 1∥EF ，点G 在A 1B 1上，∴点G 到平面D 1EF 的距离即为点A 1到平面D 1EF 的距离，即是点A 1到D 1E 的距离．∵D 1E ＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55，故选D.答案：D12．如图，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33D.23 3解析：如图，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． ∴cos 〈n ·OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与a ＋b 同方向的单位向量是________．解析：∵a ＋b ＝(0,1,2)，∴|a ＋b |＝5，∴与a ＋b 同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，25，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255 14．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为矩形ABCD 的中心，设A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→，则x ＝________，y ＝________.解析：∵A 1E →＝A 1A →＋AE →＝A 1A →＋12AC → ＝A 1A →＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→，∴x ＝y ＝12. 答案：12 1215．已知a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，向量c 与z 轴垂直，且满足a ·c ＝9，b ·c ＝－4，则c ＝________.解析：设c ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧(0，0，1)·(x ，y ，z )＝z ＝0，(3，1，5)·(x ，y ，z )＝3x ＋y ＋5z ＝9，(1，2，－3)·(x ，y ，z )＝x ＋2y －3z ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝225，y ＝－215，z ＝0，所以c ＝(225，－215，0)．答案：(225，－215，0)16．如图所示，已知正四面体A —BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成的角的余弦值为________．解析：ED →＝EA →＋AD →＝14BA →＋AD →， BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋14CD →， cos 〈ED →，BF →〉＝ED →·BF →|ED →|·|BF →|＝(14BA →＋AD →)·(BC →＋14CD →)(14BA →＋AD →)2·(BC →＋14CD →)2＝413.答案：413三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在DB 、D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长．求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：如图，建立空间直角坐标系， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3，2a 3，故EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3.又AB →＝(0，a,0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量，而AB →·EF→ ＝(0，a,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3＝0， ∴AB→⊥EF →. 又∵E ∉平面BB 1C 1C ，∴EF ∥平面BB 1C 1C .18．(12分)如图，已知点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1. 在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH→＝(m ，m,1)(m >0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DH →·DA →＝|DA →||DH →|cos 〈DA →，DH →〉， 可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝(22，22，1)． (1)因为cos 〈DH →，CC 1→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22， 所以〈DH →，CC 1→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC→＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.19．(课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)可知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)． 则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0.即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.20．(12分)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系． (1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0,0,1)， BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)， 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . 21．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥平面P AC.(2)设AC∩BD＝O，∵∠BAD＝60°，P A＝AB＝2，∴BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，∴PB→＝(1，3，－2)，AC →＝(0,23，0)． 设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64.(3)由(2)，知BC→＝(－1，3，0)． 设P (0，－3，t )(t >0)， 则BP→＝(－1，－3，t )． 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧BC →·m ＝0，BP→·m ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .∴平面PBC 的法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3，6t .同理，平面PDC 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t .∵平面PBC ⊥平面PDC ， ∴m ·n ＝0，即－6＋36t 2＝0， 解得t ＝6，∴P A ＝ 6. 故P A 的长为 6.22．(12分)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上，设二面角A 1—DN —M 的大小为θ.(1)当θ＝90°时，求AM 的长； (2)当cos θ＝66时，求CM 的长．。

高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元质量测评（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若平面α外直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,1)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)2．已知A (1,2，－1)，B 为A 关于平面xOy 的对称点，C 为B 关于y 轴的对称点，则BC →＝( )A ．(－2,0，－2)B ．(2,0,2)C ．(－1,0，－1)D ．(0，－2，－2) 3．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4-Ｂ．9Ｃ．9-Ｄ．6494．若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为89，则λ=（ ）Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-5．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2) 6．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14 D ．x ＝1，y ＝－17．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( )A ．7B ．－20C ．28D ．118．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6D ．±69．如图，在四面体ABCD 中，已知AB →＝b ，AD →＝a ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE →＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13cC ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c10．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π211．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于 （ ）A ．627B ．637C ．647D ．65712. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 14．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为矩形ABCD 的中心，设A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→，则x ＝________，y ＝________.15．已知a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，向量c 与z 轴垂直，且满足a ·c ＝9，b ·c ＝－4，则c ＝________.16．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为________． 三、解答题：17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．18．(本小题10分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．化简12AA 1→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；19．(本小题满分10分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3. 证明：AC ⊥B 1D ；20．(本小题满分10分) 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求证：AD 1∥平面BDC 1. 参考答案 一．选择题二．填空题13． 120° 14． 12 12 15． (225，－215，0) 16．66a三、解答题：17． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)·(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.18． 解 如图所示，取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连接EF ，则 12AA 1→＋BC →＋23AB → ＝EA 1→＋A 1D 1→＋D 1F →＝EF →.19． 解 由题意易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0.解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .20．证明 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则有D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,1)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BDC 1的法向量， 则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ，1，＝0，x ，y ，z，1，＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1,1)，n ·AD 1→＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，故n ⊥AD 1→， 又AD 1⊄平面BDC 1， 所以AD 1∥平面BDC 1.。

高三数学选修2-1第3章空间向量与立体几何专项练习（带答案）空间向量与立体几何知识点是高中必考知识点之一，以下是第3章空间向量与立体几何专项练习，希望对大家有帮助。

一、填空题1.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为________.2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)①AB=AC+BC②AB=-AC-BC③AC与BC同向;④AC与CB同向.3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1-AB+BC 化简后的结果是________.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB，AD，AA1来表示向量AC1的表达式为___________________________________________________ _____________________.5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB+12(BD+BC)化简的结果是________.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)① +GH+PQ② -GH-PQ③ +GH-PQ④ -GH+PQ=0.7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC与AC是________向量，AB与BA是________向量.8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB+CD+BC+DA的结果为________.二、解答题9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB+BC+CD，(2)AB+GD+EC，并标出化简结果的向量.10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心. 求证：AG=13(AB+AC+AD).能力提升11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=______________________.12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.参考答案1①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.2.④解析由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向.3.BD1解析如图所示，∵DD1=AA1，DD1-AB=AA1-AB=BA1，BA1+BC=BD1，DD1-AB+BC=BD1.4.AC1=AB+AD+AA1解析因为AB+AD=AC，AC+AA1=AC1，所以AC1=AB+AD+AA1.5.AM解析如图所示，因为12(BD+BC)=BM，所以AB+12(BD+BC)=AB+BM=AM.6.①解析观察平行六面体ABCDA1B1C1D1可知，向量EF，GH，PQ平移后可以首尾相连，于是EF+GH+PQ=0.7.相等相反8.0解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量. 9.解(1)AB+BC+CD=AC+CD=AD.(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.BE=EC，EF=GD.AB+GD+EC=AB+BE+EF=AF.故所求向量AD，AF，如图所示.10.证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知BG=23BE.∵E为CD的中点，BE=12BC+12BD.AG=AB+BG=AB+23BE=AB+13(BC+BD)=AB+13[(AC-AB)+(AD-AB)]=13(AB+AC+AD).11.23a+13b解析AF=AC+CF=a+23CD=a+13(b-a)=23a+13b.12.证明如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC 的中点，则AO=12AC=12(AB+AD+AA).设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点.则AP=AB+BP=AB+12BD=AB+12(BA+BC+BB)=AB+12(-AB+AD+AA)=12(AB+AD+AA).同理可证：AM=12(AB+AD+AA)要练说，得练听。

高中数学选修2-1 第三章空间向量（B卷）试卷一、选择题（共16题；共50分）1.下列说法正确的是()A.向量与的长度相等B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【考点】空间向量的概念【解析】与互为相反向量，模相等，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B错误；有向线段只是空间向量的一种表示形式，二者并不相同，故C错误；不相等的向量可以长度相等而方向不同，故D错误．2.在中，已知D是AB边上一点，若，则λ＝()A.B.C.－D.－【答案】A【考点】空间向量的线性运算,空间向量中的共线与共面问题【解析】如下图，.∴λ＝.3.若向量的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量成为空间一组基底的关系是()A.B.C.D.【答案】C【考点】基底的概念【解析】对于选项A，由结论(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，共面；对于B，D选项，易知共面，故只有选项C中，不共面．4.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于() A.B.C.D.【答案】B【考点】空间向量坐标运算【解析】∵a、b、c三向量共面，所以存在实数m、n，使得c＝ma＋nb.即∴λ＝.5.已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则C的坐标是()A.B.C.D.【答案】A【考点】空间向量坐标运算【解析】＝(－3，－2，－4)，＝，∴C.6.如下图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则的值为()A.0B.C.D.【答案】A【考点】数量积的概念,数量积运算律【解析】设，，，由已知条件< a , b >= < a , c >=，且|b|＝|c|，∴.7.若O是所在平面内一点，且满足则一定是()A.等边三角形B.斜三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【考点】数量积的概念,数量积的应用【解析】∴BC⊥AC.∴一定是直角三角形．8.两平面α、β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是()．A.－3B.6C.－6D.－12【答案】B【考点】平面法向量的求法【解析】α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.9.如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则()A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF与A1D、AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【答案】B【考点】直线方向向量的求法,直线方向向量与平面法向量证证明位置关系【解析】设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝，＝(－1，－1，1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.10.如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.【答案】D【考点】空间向量求线面角【解析】建立坐标系如下图所示则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，1)，B1(2，2，1)，连接B1D1交A1C1于O，则是平面BB1D1D 的一个法向量，由A1(2，0，1)，C1(0，2，1)知O(1，1，1)，∴＝(－1，1，0)，＝(－2，0，1)．∴cos〈，〉＝设BC1与平面BB1D1D成的角为θ，则sinθ＝cos〈，〉＝.11.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A.30°B.150°C.30°或150°D.以上均错【答案】A【考点】空间向量求线线角【解析】直线的方向向量的夹角与直线所称的角为相等或者互补关系，注意范围.12.如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()．A.B.C.D.【答案】B【考点】空间向量求距离【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)．因O为A1C1的中点，所以O(，，1)，＝(，－，0)，设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取n＝(1，0，1)∴O到平面ABC1D1的距离为：d＝＝＝.13.已知向量a＝(1，1，,0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A.1B.C.D.【答案】D【考点】空间向量坐标运算【解析】∵ka＋b=(k－1，k，2)，2a－b=(3，2，－2)，若(ka＋b)⊥(2a－b)，则(ka＋b)·(2a－b)=0，∴3(k－1)＋2k－4＝0，∴k＝，故选D.14.已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()A.B.97C.D.61【答案】C【考点】数量积的概念【解析】|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a||b|cos60°＝97－12×2×3×＝61.∴|2a－3b|=，故选C.15.从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是() A.B.C.D.【答案】B【考点】空间向量求二面角【解析】在射线PA上取一点O，分别在面PAB，PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB，PB于EF，连接E、F，则∠EOF即为所求二面角的平面角．在△EOF中可求得cos∠EOF＝.16.如下图所示，在几何体A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为()A.B.C.2D.【答案】B【考点】空间向量求距离【解析】＝＋＋，∵||＝||＝1＝||，且·＝·＝·＝0.又∵2＝(＋＋)2，∴2＝3，∴AE的长为.故选B.二、解答题（共6题；共50分）17.已知空间三点A(0，2，3)、B(－2，1，6)、C(1，－1，5)．(1).以、为邻边的平行四边形面积( )A.B.C.D.【答案】B【考点】空间向量求线线角,空间向量求距离【解析】由题中条件可知＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，∴，∴sin〈，〉＝，∴以，为邻边的平行四边形面积S＝||·||·sin〈，〉＝7.(2).若|a|＝，且a分别与、垂直，则向量a的坐标（）A.a＝(1，1，1)B.a＝(－1，－1，－1)C.a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)D.a＝(1，－1，－1)或a＝(－1，－1，－1)【答案】C【考点】空间向量求线线角【解析】设a＝(x，y，z)，由题意得解得或∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).18.直三棱柱ABC－A1B1C1，底面中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1).则的长为（）A.1B.2C.D.【答案】C【考点】空间向量求距离【解析】如下图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴.(2).则cos〈，〉的值为（）A.B.C.D.【答案】B【考点】空间向量求线线角【解析】依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，∴.19.如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD ＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．则BD与平面ADMN所成的角θ( )A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】B【考点】空间向量求线线角【解析】如下图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)则N(1，0，1)，∴＝(－2，2，0)，＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由得取x＝1，则z＝－1，∴n＝(1，0，－1)，∵＝＝－，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.20.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝1，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1).直线AC与PB所成角的余弦值（）A.B.C.D.【答案】A【考点】空间向量求线线角【解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)、D(0，1，0)、P(0，0，2)，E(0，，1)，∴＝(1，1，0)，＝(1，0，－2)设与的夹角为θ，则∴AC与PB所成角的余弦值为.(2).在侧面PAB内找一点N坐标（），使NE⊥平面PAC.A.(，0，-1)B.(，0，2)C.(，0，-2)D.(，0，1)【答案】D【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系【解析】由于N点在侧面PAB内，故可设N(x，0，z)，则＝(－x，，1－z)，由NE⊥平面PAC可得，即化简得∴，即N点的坐标为(，0，1)．21.如下图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.(1).则PA的长为（）A.B.C.D.3【答案】A【考点】直线方向向量与平面法向量证证明位置关系,空间向量求距离【解析】如下图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD cos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD sin＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，又，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，z＝2(舍去－2)，所以||＝2.∴PA的长为2.(2).则二面角B－AF－D的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【考点】空间向量求二面角【解析】由(1)知＝(－，3，0)，＝(，3，0)，＝(0，2，)．设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n1·＝0，n1·，得因此可取n1＝(3，，－2)．由n2·＝0，n2·＝0，得故可取n2＝(3，－，2)．从而法向量n2，n2的夹角的余弦值为cos <n2，n2>＝＝.故二面角B－AF－D的正弦值为.22.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.若二面角P-CD-A的大小为45°，则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【考点】空间向量求线线角,空间向量求线面角,空间向量求二面角【解析】由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.由∠PAB＝90°，且PA与CD所成的角为90°，可得PA⊥平面ABCD.设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.作Ay⊥AD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)．所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，0，2)．设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)．由得设x＝2，解得n＝(2，－2，1)．设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα＝＝＝.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.。

新课程高中数学测试题组〔数学选修2-1〕 第三章 空间向量与立体几何[根底训练A 组]一、选择题1．以下各组向量中不平行的是〔 〕A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g2．点(3,1,4)A --，那么点A 关于x 轴对称的点的坐标为〔 〕A ．)4,1,3(--B ．)4,1,3(---C ．)4,1,3(D ．)4,1,3(--3．假设向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，那么λ等于〔 〕 A ．2 B ．2-C ．2-或552D ．2或552- 4．假设A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，那么△ABC 的形状是〔 〕A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．假设A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A 取最小值时，x 的值等于〔 〕A ．19B ．78-C ．78D ．1419 6．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，那么cos <,OA BC >的值是〔 〕 A ．21 B ．22 C ．－21 D ．0 二、填空题1．假设向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ，那么(23)(2)a b a b -+=__________________。

2．假设向量,94,2k j i b k j i a ++=+-=，那么这两个向量的位置关系是___________。

3．向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-= ，假设a ⊥b ，那么=x ______；假设//a b 那么=x ______。

4．向量,3,5k r j i b k j i m a ++=-+=假设//a b 那么实数=m ______，=r _______。