2017-2018学年北京市第41中学九年级第一学期期中数学试卷(简略答案)

2019-2020年北京市第四十一中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、抛物线1)3(22+-=x y的顶点坐标是（ ）A.（3，-1)B.(-3,1)C.（3,1）D.(-3,-1)2．抛物线244y x x =--的对称轴是（ ）． A ．2x =- B ．2x = C ．4x =D ．4x =-【答案】B【解析】2244(2)8y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴是2x =．3．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）． A ．23(1)2y x =-- B ．23(1)2y x =+- C ．23(1)2y x =++ D ．23(1)2y x =-+【答案】A【解析】抛物线23y x =向右平移1个单位得到23(1)y x =-，再向下平移2个单位得到23(1)2y x =--．4．ABC △和A B C '''△是相似图形，且对应边AB 和A B ''的比为1:3，则ABC △和A B C '''△的面积之比为（ ）．A ．3:1B ．1:3C ．1:9D ．1:27【答案】C【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，故选C ．5．如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若4AC =，6CE =，3BD =，则BF =（ ）．A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5【答案】B【解析】∵a b c ∥∥，∴AC BDCE DF=， ∵4AC =，6CE =，3BD =，∴436DF =，解得：92DF =， ∴937.52BF BD DF =+=+=．6．在ABC △中，15 cm BC =，45 cm CA =，57 cm AB =，另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm ，则最长边长是（ ）． A ．18cm B ．19cm C ．24cmD ．19.5cm【答案】B【解析】根据题意，这两个相似三角形的相似比是15:53=，最长边是57319÷=（cm ）．7．如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）． A ．22cm B ．24cm C ．28cmD ．216cm【答案】C【解析】设留下矩形的宽为cm x ，由题意得：484x=，解得2x =， 则留下矩形的面积2428cm =⨯=．8．二次函数与288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）． A ．2k < B ．2k <且0k ≠ C ．2k ≤ D ．2k ≤且0k ≠【答案】D【解析】二次函数与288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则284864320k k ∆=-⋅=-≥，又该函数是二次函数，所以0k ≠， 故2k ≤且0k ≠．9．如图，身高1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得4m BA =，0.8m CA =，则树的高度为（ ）．A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．10m【答案】C【解析】因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x 米，则 1.6AC AB x=， 即0.8 1.60.8 3.2x=+， ∴8x =．10、如图为二次函数错误！未找到引用源。

第 1 页 共 14 页初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程3610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的 大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A B C D 5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．120第 1 页 共 14 页7．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________． 10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________． 12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2， BD =CD ，则BC 的长为________．lllll。

2017年-2018北京市海淀区初三年级第⼀学期期中数学试题（附答案解析）AOA '海淀区九年级第⼀学期期中练习数学 2016.11学校姓名学号⼀、选择题（本题共30分，每⼩题3分）下⾯各题均有四个选项，其中只有⼀个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．⼀元⼆次⽅程2320x x --=的⼆次项系数、⼀次项系数、常数项分别是 A ．3，1-，2- B ．3，1，2- C ．3，1-，2 D ．3，1，22．⾥约奥运会后，受到奥运健⼉的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健⾝再次成为了⼀种时尚，球场上也出现了更多年轻⼈的⾝影．请问下⾯四幅球类的平⾯图案中，是中⼼对称图形的是A B C D3．⽤配⽅法解⽅程2620x x ++=，配⽅正确的是A ．()239x += B ．()239x -= C ．()236x += D ．()237x +=4．如图，⼩林坐在秋千上，秋千旋转了80°，⼩林的位置也从 A 点运动到了A '点，则'OAA ∠的度数为 A ．40° B ．50° C ．70° D ．80°5．将抛物线22y x =平移后得到抛物线221y x =+，则平移⽅式为 A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位6．在△ABC 中，90C ?∠=，以点B 为圆⼼，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为 A ．点A 在圆外 B ．点A 在圆内C ．点A 在圆上 D ．⽆法确定 7．若扇形的圆⼼⾓为60°，半径为6，则该扇形的弧长为C ．3πD ．4π 8．已知2是关于x 的⽅程230x ax a +-=的根，则a 的值为A ．4-B ．4C ．2D ．459．给出⼀种运算：对于函数nx y =，规定1-='n nx y ．例如：若函数41y x =，则有314y x '=．函数32y x =，则⽅程212y '=的解是A ．14x =，24x =-B ．123x =，223x =-C ．0==x xD ．2x =，2x =-10．太阳影⼦定位技术是通过分析视频中物体的太阳影⼦变化，确定视频拍摄地点的⼀种⽅法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对⽐视频中影⼦最短的时刻与同⼀天东经120度影⼦最短的时刻．在⼀定条件下，直杆的太阳影⼦长度l （单位：⽶）与时刻t （单位：时）的关系满⾜函数关系2l at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影⼦最短时，最接近的时刻t 是A ．12.75B ．13C ．13.33D ．13.5⼆、填空题（本题共18分，每⼩题3分） 11．⽅程02=-x x 的解为．12．请写出⼀个对称轴为3x =的抛物线的解析式．13．如图，⽤直⾓曲尺检查半圆形的⼯件，其中合格的是图（填“甲”、“⼄”或“丙”），你的根据是_____________________________________________________________________________________________．14．若关于x 的⽅程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，半径OB 的长为3，则AB 的长为．丙1413120.350.40.6Ol (⽶)t (时)CBAOyxO –1–2–3123–1–2–312316．CPI 指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格⽔平的变动情况．CPI 的涨跌率在⼀定程度受到季节性因素和天⽓因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI 涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1~8⽉份与2016年1~8⽉份，同⽉份⽐较CPI 涨跌率下降最多的⽉份是⽉；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI 涨跌率变化趋势是，你的预估理由是．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每⼩题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解⽅程：246x x +=．18．求抛物线22y x x =-的对称轴和顶点坐标，并画出图象．19．如图，A ，D 是半圆上的两点，O 为圆⼼，BC 是直径，∠D =35°，求∠OAC 的度数．D B O C A图220．已知：2230m m +-=．求证：关于x 的⽅程2220x mx m --=有两个不相等的实数根．21．如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上⼀点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针⽅向旋转60°后得到CE ，连接AE ．求证：AE ∥BC ．22．如图1，在线段AB 上找⼀点C ，C 把AB 分为AC 和CB 两段，其中BC 是较⼩的⼀段，如果2BC AB AC ?=，那么称线段AB 被点C 黄⾦分割．⾦分割，已知太和殿到内⾦⽔桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（5的近似值取2.2）．A C B图1B CDA EDOMB EC FA23．如图1是某公园⼀块草坪上的⾃动旋转喷⽔装置，这种旋转喷⽔装置的旋转⾓度为240°，它的喷灌区是⼀个扇形．⼩涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪⾯积，他测量出了相关数据，并画出了⽰意图．如图2，A ，B 两点的距离为18⽶，求这种装置能够喷灌的草坪⾯积．24．下表是⼆次函数2y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值：x… 1-12-12 132 252 3 … y…m141-74- 2-74- 1-142…（1）⼆次函数图象的开⼝向，顶点坐标是，m 的值为；（2）当0x ＞时，y 的取值范围是；（3）当抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x n =+的下⽅时，n 的取值范围是．25．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点A 作⊙O 的切线交BC的延长线于点F ，连接AE ．（1）求证：∠ABC =2∠CAF ；（2）过点C 作CM ⊥AF 于M 点，若CM = 4，BE = 6，求AE 的长．图1OA B240°图2xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O 26．⼩华在研究函数1y x =与22y x =图象关系时发现：如图所⽰，当1x =时，11y =，22y =；当2x =时，12y =，24y =；…；当x a =时，1y a =，22y a =．他得出如果将函数1y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数22y x =的图象．类⽐⼩华的研究⽅法，解决下列问题：（1）如果函数3y x =图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为；（2）①将函数2y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数24y x =的图象；②将函数2y x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为．（2）若抛物线与y 轴正半轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ，当△OAB 是等腰直⾓三⾓形时，求n 的值；（3）点C 的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC 有且只有⼀个交点，求n 的取值范围． xyy 2=2xOy 1=x–1–2–31234567–11234528．在菱形ABCD 中，∠BAD =α，E 为对⾓线AC 上的⼀点（不与A ，C 重合），将射线EB 绕点E 顺时针旋转β⾓之后，所得射线与直线AD 交于F 点．试探究线段EB 与EF 的数量关系．⼩宇发现点E 的位置，α和β的⼤⼩都不确定，于是他从特殊情况开始进⾏探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD 是正⽅形．⼩宇发现，在正⽅形中，AC 平分∠BAD ，作EM ⊥AD 于M ，EN ⊥AB 于N ．由⾓平分线的性质可知EM =EN ，进⽽可得EMF ENB △≌△，并由全等三⾓形的性质得到EB 与EF 的数量关系为．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补②请帮⼩宇继续探究（1）的结论是否成⽴．若成⽴，请给出证明；若不成⽴，请举出反例说明；（3）⼩宇在利⽤特殊图形得到了⼀些结论之后，在此基础上对⼀般的图形进⾏了探究，设∠ABE =γ，若旋转后所得的线段EF 与EB 的数量关系满⾜（1）中的结论，请直接写出⾓α，β，γ满⾜的关系：．FD CA BEM CD A N B E图1 图2长度为点P 到AOB ∠的距离，记为()d P AOB ∠，．特别的，当点P 在AOB ∠的边上时，()0d P AOB ∠=，．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，A ()40，．（1）如图1，若M （0，2），N （1-，0），则()d M AOB ∠=，，()d N AOB ∠=，；（2）在正⽅形OABC 中，点B （4，4）．①如图2，若点P 在直线34y x =+上，且()22d P AOB ∠=，，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在抛物线24y x =-上，满⾜()22d P AOB ∠=，的点P 有个，请你画出⽰意图，并标出点P ．图2xyy=3x+4CBA–1–2–3123456–1–2–3123456O21y xBAO 60°-12图3xyOCBA–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5123456789数学答案 2016．11⼀、选择题（本题共30分，每⼩题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDBCA⼆、填空题（本题共18分，每⼩题3分）11．1201x x ==，； 12．()23y x =-（答案不唯⼀）；13．⼄，90°的圆周⾓所对的弦是直径； 14．1-； 15．32；16．8，第⼆空填“上涨”、“下降”、“先减后增”等，第三空要能⽀持第⼆空的合理性即可．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每⼩题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解法⼀：解：24410x x ++=， ----------------------------------------------------------------------------------1分 ()2210x +=， -------------------------------------------------------------------------------------3分210x =-±，1210x =-+，2210x =--． -------------------------------------------------------------5分解法⼆：解：2460x x +-=， ----------------------------------------------------------------------------------1分()2244416-4221b ac b x a-±-??-±-==， ----------------------------------------------------3分210x =-±，1210x =-+，2210x =--． -------------------------------------------------------------5分18．解：()211y x =--， -----------------------------------------------------------------------------------1分顶点为()11-，． ----------------------------------------------------------------------------------3分yxO –1–2–31223----------------------------------------------------------------------------5分19．解法⼀：解：∵35D ∠=°，∴35B D ∠=∠=°． ---------------------------------------------1分∵BC 是直径，∴90BAC ∠=°．∴90ACB ∠=°55ABC -∠=°． -------------------------------3分∵OA OC =，∴55OAC OCA ∠=∠=°． --------------------------------------5分解法⼆：解：∵35D ∠=°，∴270AOC D ∠=∠=°． ---------------------------------------------------------------------1分∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠， ----------------------------------------------------------------------------3分∵180OAC OCA AOC ∠+∠+∠=°，∴55OAC ∠=°． ---------------------------------------------------------------------------------5分20．解：∵2230m m +-=，∴223m m +=． ---------------------------------------------------------------------------------1分∴248m m ?=+ -----------------------------------------------------------------------------------2分 ()242120m m =+=＞， ------------------------------------------------------------------4分∴原⽅程有两个不相等的实数根． -------------------------------------------------------------5分21．解：∵等边ABC △，∴AC BC =，60B ACB ∠=∠=°．DB O CAA E∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ，∴CD CE =，60DCE ∠=°．∴DCE ACB ∠=∠．------------------------------------------------1分即1223∠+∠=∠+∠．∴13∠=∠． -----------------------------------------------------------------------------------------2分在BCD △与ACE △中，13BC AC CD CE =??∠=∠??=?，∴EAC ACB ∠=∠．--------------------------------------------------------------------------------4分∴AE BC ∥． --------------------------------------------------------------------------------------5分22．解：设太和门到太和殿的距离为x 丈， -----------------------------------------------------------1分由题意可得，()2100100x x =-. ----------------------------------------------------------------------------3分150505x =-+，250505x =--（舍）. --------------------------------------------4分 5050 2.260x ≈-+?=．答：太和门到太和殿的距离为60丈． ------------------------------------------------------------5分 23．解：过点O 作OC AB ⊥于C 点．∵OC AB ⊥，18AB =，∴192AC AB ==． ---------------------------------------1分∵OA OB =，360AOB ∠=°240-°120=°，∴1602AOC AOB ∠=∠=°． ---------------------------2分在Rt OAC △中，222OA OC AC =+，⼜∵12OC OA =，∴63r OA ==． -----------------------------------------4分∴240360S =πr 2=72π（m 2）．----------------------------------5分24．（1）上；()12-，；2；（说明：每空1分） ------------------------------------------------------3分 240°A C BO（3）3n >-． -------------------------------------------------------------------------------------------5分 25．（1）连接BD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=°． --------------------------1分∵AF 是⊙O 的切线，∴90BAF ∠=°.∴1290BAC BAC ∠+∠=∠+∠=°．∴12∠=∠. ∵AB=BC ，∴2122ABC ∠=∠=∠． ---------------------------------------------------------------------2分（2）∵12334∠=∠=∠∠=∠，，∴24∠=∠．∵AB 是直径，∴CE ⊥AE ．--------------------------------------------------------------------------------------------3分∵CM ⊥AF ，CM =4,∴CE =CM =4． --------------------------------------------------------------------------------------4分∵BE =6,∴AB =BC =BE +EC =10．在Rt △ABE 中，22221068AE AB BE =-=-=． ----------------------------------------------------5分26．（1）9y x =; -------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）①4； ----------------------------------------------------------------------------------------------3分②214y x =． --------------------------------------------------------------------------------------5分27．（1）4-． ----------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）241y x x n =-+-，4321AB EC FMOD()01A n -，，()20B ，　， ------------------------------------------------------------------2分 12n -=，3n =． --------------------------------------------------------------------------------------------3分（3）如图1，当抛物线顶点在x 轴上时，5n =，------------------------------------------------4分如图2，当抛物线过点C (3，0)时，4n =，--------------------------------------------------5分如图3，当抛物线过原点时，1n =， ---------------------------------------------------------6分结合图象可得，14n ≤<或5n =．------------------------------------------------------------7分–1–2–3123–1–2–3123O xyC –1–2–3123–1–2–3123y xO C –1–212345–1–2–3–412O xy C 28．（1）EB=EF ； ------------------------------------------------------------------------------------------1分（2）①；A BCDEF ---------------------------------------------------------------------2分②结论依然成⽴EB =EF ． -----------------------------------3分证法1：过点E 作EM ⊥AF 于M ，EN ⊥AB 于N ．∵四边形ABCD 为菱形，∴12∠=∠．∵EM ⊥AF ，EN ⊥AB ．∴=90FME N ∠=∠°，EM=EN ． -------------------4分∵60BAD ∠=°，120BEF ∠=°，∴3360F ∠+∠=°180BAD BEF -∠-∠=°．∵3180EBN ∠+∠=°，∴F EBN ∠=∠．------------------------------------------------------------------------------5分在△EFM 与△EBN 中，F EBN FME N EM EN ∠=∠??∠=∠??=?，，，∴△EFM ≌△EBN ．321NM F EDC图2 图3证法2：连接ED∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，∠DAC =∠BAE ．⼜∵AE =AE , ∴△ADE ≌△ABE ．∴ED =EB ，∠ADE =∠ABE ． ------------------------4分⼜∵∠DAB =60°，∠BEF =120°．∴∠F +∠ABE =180°．⼜∵∠ADE +∠FDE =180°， --------------------------5分∴∠F =∠FDE ．∴EF =ED ．∴EF =EB ． -------------------------------------------------------------------------------------6分（3）+=180αβ°或++=18022αβγ°． ------------------------------------------------------7分29．（1）1；1．（说明：每空1分） --------------------------------------------------------------------2分（2）①如图，点P 在EF 上时，OP =22，设P （x ，3x +4），()22348x x ++=，12225x x =-=-，（舍），P ()22--，， --------------------------------4分点P 在射线FG 上时，P 到射线OB 的距离为22，点P 与点C 重合，P ()04，， -------------------------------------5分∴P ()22--，，()04，．②4． -------------------------------------------------------------------------------------------------6分F E D CB A y xGFE–1–2–312345–1–2–3–4–51BCxy CBAO –1–2–312345–1–2–3–4–512345P 4P 2P 1P 3-------------------------------------------------------------8分（说明：每标对两个点得1分）1、发⽣以下情形，本协议即终⽌：(1)、公司因客观原因未能设⽴;(2)、公司营业执照被依法吊销;(3)、公司被依法宣告破产;(4)、甲⼄丙三⽅⼀致同意解除本协议。

初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11学校班级___________姓名成绩一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应 的位置．题号 答案12 3 4 5 6 7 81．一元二次方程 3x 2 6 x 1 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．3，6，1B ．3，6，1C ．3， 6，1D ．3， 6，12．把抛物线 y x 向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的表达式为A ． y x 1C ． yx 1B ． y x 1D ． yx 13．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的C大小为 A ．35° B ．55° C ．65° D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是OA BAB C D5．用配方法解方程 x 2 4 x 2 0 ，配方正确的是A ．x 222B ．x 222C ．x 22D ．x 266．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重 合，那么 n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数yax 2 bx c与一次函数y mx n的图象如图所示，则满足．． 2 222 2 22ax2bx c mx n的x的取值范围是A．3x 0C．x 3或x 1 8．如图1，动点P从格点AB．x 3或x 0D．0x 3出发，在网格平面内运动，设点P走过的路程为s，点P到直线l的距离为d.已知d与s的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P的运动路线的是l d43A21 l l l lO图1A A A AA B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P（1，2）关于原点的对称点的坐标为________．12345图2s10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：________．A B11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD的延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的大小为________．OE D C12．抛物线y x2x 1与x轴的公共点的个数是________．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若y A点A的对应点A的坐标为（2，0），则点B的对应点B 的坐标为________．BO A'x14．已知抛物线y x22x经过点(4，y )，(1，y )12，则y 1________y（填“＞”，“=”，或“＜”）．215．如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D，若OD=3，AD=2，BD=CD，则BC的长为________．OB DAC16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知△：ABC．AB C 求作：BC边上的高AD．作法：如图，1（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的2长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；A POD Q B C（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分）17．解方程：x24x 30．18．如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是线段BC上的点，CD=2，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．求CE的长．AEB D C19．已知m 是方程x23x 10的一个根，求m 32m 2m 2的值．20．如图，在⊙O中，AB CD．求证：∠B=∠C．BO C A D21．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形A EFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃A EFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？A D GEH FB C22．关于x的一元二次方程x22m 1x m210有两个不相等的实数根x,x12．（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得x x 012由．成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．»»以x210x 39为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和x55的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x xx55x ____239____，从而得到此方程的正根是________．524．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再B绕点O逆时针旋转90°得到点C．（1）直接写出点B和点C的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．yPO A x将点25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6，求四边形CAOD的面积．C DEA O B26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y x24x 4和直线l：y kx 2k(k 0)．（1）抛物线C的顶点D的坐标为________；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；x 2 4x 4，x 2,（3）记函数ykx 2k，x 2的图象为G，点M(0,t)，过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P(x，y )11，Q(x，y)22．当1t 3时，若存在t使得x x124成立，结合图象，求k的取值范围．y6543x27．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d，到y轴的距1离为d2，若d d12，则称d1为点P的“引力值”；若d d12，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（2力值”为2．，3）到x 轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为23，所以点P的“引（1）①点A（1，4）的“引力值”为________；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为________；（2）若点C在直线y 2x 4y8765432上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；1–4 –3–2–1O–1–2–3–412345678xy8765（3）已知点M是以D（3，4）为圆心，半径为2上的一个动点，那么点M的“引力值”d 4321的圆的取值范围是．–4 –3–2–1O–112345678x–2–3–428．在△R t ABC中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为点O，△将ABC绕点O 顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示．（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC 的大小（用含 α 的式子表示）；（3）点 N 是 BD 的中点，连接 MN ，用等式表示线段 MN 与 BE 之间的数量关系，并证明．ADMNBCEO初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）2017．11题号答案1D 2A 3D 4B 5A 6D 7A 8D二、填空题（本题共 24 分，每小题 3 分）9．（1，2 ）10．答案不唯一，例如yx211．110°12．213．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点 确定一条直线．（注：写出前两个即可给 3 分，写出前两个中的一个得 2 分，其余正确的理由得 1 分）三、解答题（本题共 72 分）17．解法一：解： x2 4 x 4 1，x 221，………………2 分x 21，x11，x3 2．………………4 分解法二：解：x 1x 3，………………2 分x 10或 x 3 0，18．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1 分 ∵△ADE 是等边三角形，A1 3 2∴AD =AE ，∠DAE =60°.∴∠2+∠3=60°.………………2 分E∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中AB AC12 ，BDCAD AE ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4 分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.∴CE =1．………………5 分 19．解：∵m 是方程 x 3 x 1 0的一个根，∴ m 23m 1 0.………………2 分∴ m 2 3m1 .∴原式m 2 6m 9 m 2m 23m 53 ．………………5 分24………………4 分20．方法 1：AB CD ，证明：∵在⊙O 中，∴∠AOB =∠COD .………………2 分 ∵OA =OB ，OC =OD ， 1∴在△AOB 中， B 90 AOB ， 21在△COD 中， C 90COD .………………4 分 2BOCAD∴∠B =∠C ．………………5 分方法 2：证明：∵在⊙O 中， AB CD，∴AB =CD .………………2 分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4 分 ∴∠B =∠C ．………………5 分2» »» »）………………3分21．解：（1）y 2x24x 16（或y4x 42x（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2x24x 1616.解得：x 2，x 0（不合题意，舍去）.………………5分12答：此时BE的长为2米.有两个不相等的实数根，22．解：（1）∵方程x22m 1x m 210∴4，m 124m 218m 80∴m 1．………………2分0.（2）存在实数m使得x x12x x 0，即是说0是原方程的一个根，则m210.………………3分12解得：m 1或m 1.………………4分当m 1时，方程为x20，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去．∴m．………………5分123．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为x 5………………1分23925………………3分从而得到此方程的正根是3．………………5分24．（1）点B的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分（2）方法1：设抛物线的解析式为y ax2bx c. 因为它经过A（1，0），B（3，0），C（0，3），a b c 0,则9a 3b c 0,………………4分c 3.a 1,解得b 4,………………6分c 3.方法2：抛物线经过点A（1，0），B（3，0），故可设其表达式为………………4分因为点C（0，3）在抛物线上，a 01033，得a1.………………6分所以y a(x 1)(x 3)(a 0).∴经过A,B,C三点的抛物线的表达式为y x24x 3．………………7分方法3：抛物线经过点A（1，0），B（3，0），则其对称轴为x 2.设抛物线的表达式为y a x 22k.………………4分将A（1，0），C（0，3）代入，得a k 0, 4a k 3.解得a 1,k 1.………………6分∴经过A,B,C三点的抛物线的表达式为y x24x 3．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE=BE.………………1分∵CD∥AB，∴∠DCE=∠B.………………2分AC DEO B在△DCE与△OBE 中DCE B,CE BE,CED BEO.∴△DCE≌△OBE（ASA）.∴DE=OE.∴E为OD 的中点．………………4分（2）解：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵OD⊥BC，∴∠CED=90°=∠ACB.∴AC∥OD.………………5分AC DEO B∵CD∥AB，∴四边形CAOD 是平行四边形.∵E是OD 的中点，CE⊥OD，∴OC=CD.∵OC=OD，∴OC=OD=CD.∴△OCD是等边三角形.∴∠D=60°.………………6分∴∠DCE=90°-∠D=30°. ∴在△R t CDE中，CD=2DE.∵BC=6，∴CE=BE=3.∵C E2DE2CD24D E2，∴DE 3，C D 23.∴O D CD 23.∴S四边形C AODOD CE 63.………………7分26．（1）（2，0）；………………2分（2）点D 在直线l上，理由如下：直线l 的表达式为y kx 2k(k 0)，∵当x 2时，y 2k 2k 0，………………3分∴点D（2，0）在直线l 上．………………4分注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P在点Q左侧.由题意知：要使得x x 4成立，即是要求点P 与12y 6 5点Q 关于直线x 2对称.又因为函数y x24x 4的图象关于直线x 2对称，所以当1t 3时，若存在t使得x x 4 成立，即要求点Q12在y x24x 4(x 2,1y 3)的图象–2–14321OBP QA123456x上.………………6分根据图象，临界位置为射线y kx 2k(k 0,x 2)过–1–2y x24x 4(x 2)与y 1的交点A(3,1)处，以及射线y kx 2k(k 0,x 2)过y x24x 4(x 2)与y 3的交点B(23,3)处.此时k 1以及k 3，故k的取值范围是1k 3.………………8分27．（1）①1，②2；………………2分注：错一个得1分.（2）解：设点C的坐标为（x，y）.由于点C 的“引力值”为2，则x 2或y 2，即x 2，或y 2.当x 2时，y 2x 40，此时点C的“引力值”为0，舍去；当x2时，y 2x 48，此时C 点坐标为（-2，8）；当y 2时，2x 42，解得x 1，此时点C 的“引力值”为1，舍去；当y 2时，2x 42，x 3，此时C 点坐标为（3，-2）；综上所述，点C的坐标为（2，8）或（3，2）.………………5分注：得出一个正确答案得2 分.（3）1d 772.………………8分注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分.28．（1）③；………………1分（2）连接BM，OB，OC，OE.∵△R t ABC中，∠ABC=90°，M为AC的中点，1∴MA=MB=MC=AC.………………2分2∴∠A=∠ABM.∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α.∵点M 和点O关于直线BC对称，AMNB CD∴∠BOC=∠BMC=2α.………………3分E ∵OC=OB=OE，∴点C，B，E 在以O 为圆心，OB为半径的圆上.O1∴BEC BOC2.………………4分（3）MN 12BE，证明如下：连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD.∵∠A=α，∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-∠A=90°-α.∴∠DEC=∠ACB=90°-α.A F∵∠BEC=α，D∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90°.∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α.MN∵MB=MC，B C∴∠MBC=∠ACB=90°-α.∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90°.E ∴∠MBE+∠BED=180°.∴BF∥DE.………………6分∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，1∴MN=DF.21∴MN=BE.………………8分2O注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.。

九年级数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ） A .（3，-1) B .(-3,1) C .（3,1） D.(-3,-1)2、抛物线442--=x x y 的对称轴是( ) A . 2-=x B . 2=x C .4=x D . 4-=x3、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )A . 23(1)2y x =--B . 23(1)2y x =+-C . 23(1)2y x =++D . 23(1)2y x =-+ 4、△ABC 和△A ′B ′C ′是相似图形，且对应边AB 和A ′B ′的比为1∶3，则△ABC 和 △A ′B ′C ′的面积之比为( )A ．3∶1B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶275、如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，若AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( )A ．7B ．7.5C ．8D ．8.56、在△ABC 中，BC ＝15 cm ，CA ＝45 cm ，AB ＝57 cm ，另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm ，则最长边长是( )A ．18 cmB ．19 cmC ．24 cmD ．19.5 cm班级 学号 姓名 成绩7、如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ． 8 cm 2D ．16 cm 28、二次函数与882+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A .2<k B .02≠<k k 且 C .2≤k D .02≠≤k k 且9、如图，身高1.6 m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BA ＝4 m ，CA ＝0.8 m ，则树的高度为( )A ．4.8 mB ．6.4 mC ．8 mD ．10m第9题 第10题10、 如图为二次函数错误！未找到引用源。

2015-2016年北京市第四十一中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、31222b3e23c346f99327a81a7ead0a3f 抛物线1)3(22+-=x y的顶点坐标是（ ）A.（3，-1)B.(-3,1)C.（3,1）D.(-3,-1)2．抛物线244y x x =--的对称轴是（ ）．A ．2x =-B ．2x =C ．4x =D ．4x =-【答案】B【解析】2244(2)8y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴是2x =．3．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）．A ．23(1)2y x =--B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =++D ．23(1)2y x =-+【答案】A【解析】抛物线23y x =向右平移1个单位得到23(1)y x =-，再向下平移2个单位得到23(1)2y x =--．4．ABC △和A B C '''△是相似图形，且对应边AB 和A B ''的比为1:3，则ABC △和A B C '''△的面积之比为（ ）． A ．3:1 B ．1:3C ．1:9D ．1:27【答案】C【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，故选C ．5．如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若4AC =，6CE =，3BD =，则BF =（ ）． A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5【答案】B【解析】∵a b c ∥∥， ∴AC BDCE DF=， ∵4AC =，6CE =，3BD =， ∴436DF =，解得：92DF =， ∴937.52BF BD DF =+=+=．6．在ABC △中，15 cm BC =，45 cm CA =，57 cm AB =，另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm ，则最长边长是（ ）． A ．18cm B ．19cm C ．24cm D ．19.5cm【答案】B【解析】根据题意，这两个相似三角形的相似比是15:53=，最长边是57319÷=（cm ）．7．如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）． A ．22cm B ．24cm C ．28cmD ．216cm【答案】C【解析】设留下矩形的宽为cm x ，由题意得：484x=，解得2x =， 则留下矩形的面积2428cm =⨯=．8．二次函数与288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．2k ≤D ．2k ≤且0k ≠【答案】D【解析】二次函数与288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则284864320k k ∆=-⋅=-≥，又该函数是二次函数，所以0k ≠， 故2k ≤且0k ≠．9．如图，身高1.6m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得4m BA =，0.8m CA =，则树的高度为（ ）．A ．4.8mB ．6.4mC ．8mD ．10m【答案】C【解析】因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x 米，则 1.6AC AB x=， 即0.8 1.60.8 3.2x=+， ∴8x =．10、8aac49074f72f20f014f879bd5f87165如图为二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象，则下列说法:①a >0；②2a +b =0；③a +b +c >0；④当-1<x <3时，y >0.其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（每小题3分，共18分）11．若函数||2)(m m y x -=是二次函数，则m =__________．【答案】2-【解析】若函数||2)(m m y x -=是二次函数，则20||2m m -≠⎧⎨=⎩，∴2m =-．12．若将二次函数223y x x =-+配方为2()y a x h k =-+的形式，则y =__________．【答案】2(1)2y x =-+【解析】2223(1)2y x x x =-+=-+．13．如图，在ABC △中，DE BC ∥，若1AD =，2DE =，4AB =，则BC =__________．【答案】8【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC ∽△△， ∴14DE AD BC AB ==， ∴8BC =．14．在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若:1:2DE BC =，则:BF FE =__________．【答案】3:5【解析】∵:1:2DE BC =，∴:2:3EC CD =，即:2:3EC AB =， ∵AB CD ∥， ∴ABF CEF ∽△△， ∴::3:2BF EF AB EC ==． ∴:3:5BF BE =．15．二次函数2y x bx c =-++的图象如图，则一次函数y bx c =+的图象不经过第__________象限．【答案】四【解析】根据图象得：0a <，0b >，0c >， 故一次函数y bx c =+的图象不经过第四象限．16、8aac50a74e724b3f014eb0048b5f4dc5如图，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠，，，交EF于D ．给出下列结论：①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠． 其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共72分，17(1)(2)每问5分，27、29题每题6分，其它每题5分） 17．（1）已知抛物线的顶点为()1,3--，与y 轴的交点为()0,5-，求抛物线的解析式．（2）求经过()1,4A ，1()2,B -两点，对称轴为1x =-的抛物线的解析式．【答案】（1）2245y x x =---；（2）21(1)43y x =--+【解析】（1）设所求的二次函数为2)1(3y a x =+-， 由条件得：点()0,5-在抛物线上，35a -=-，得2a =-，故所求的抛物线解析式为21)2(3y x =-+-， 即：2245y x x =---．（2）设2(1)y a x c =-+，将()1,4A ，1()2,B -代入， 则491c a c =⎧⎨+=⎩，∴134a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴21(1)43y x =--+．18．如图，在ABC △中，8AB =，6AC =，12AD =，点D 在BC 的延长线上，且ACD BAD ∽△△，求BD 的长． 【答案】9【解析】∵ACD BAD ∽△△， ∴AC CD AD AB AD BD ==，即687CD ADAD CD==+， ∴43AD CD =，3(7)4AD CD =+，∴43(7)34CD CD =+， 解得9CD =．19．如图，在ABC △中，DE BC ∥，3AD =，2AE =，4BD =，求AC 、EC 的长度．【答案】143AC =，83EC = 【解析】∵DE BC ∥， ∴AD AE AB AC =，33347AE AC ==+，∴237AC =， ∴143AC =， ∴83EC AC AE =-=．20．如图，在平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，FG ED ∥，:2:5DE DA =，4EF =，求线段CG的长． 【答案】6【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，DC AB ∥， ∵EF AB ∥， ∴EF DC ∥， 又∵FG ED ∥，∴四边形DEFG 是平行四边形， ∴4DG EF ==， ∵EF AB ∥，∴::2:3DF FB DE EA ==， ∵FG ED ∥， ∴GF BC ∥，∴::2:3DG CG DF FB ==， ∴362CG DG ==．21．如图，在ABC △中，DE BC ∥，EF AB ∥，求证：ADE EFC ∽△△．【答案】证明见解析． 【解析】∵DE BC ∥， ∴DE FC ∥， ∴AED C ∠=∠．又∵EF AB ∥， ∴EF AD ∥， ∴A FEC ∠=∠． ∴ADE EFC ∽△△．22．已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c +=-+的图象交于点,()1A m -．（1）求m ，c 的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．【答案】（1）5m =-，2c =-；（2）对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,1)-． 【解析】（1）∵点A 在函数5y x=的图象上， ∴551m ==--， ∴点A 坐标为(1,5)--， ∵点A 在二次函数图象上， ∴125c --+=-， ∴2c =-．（2）∵二次函数的解析式为222y x x +=--， ∴2222(1)1y x x x =-+-=---，∴对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,1)-．23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC △（顶点是网格线的交点）．（1）请画一个格点111A B C △，使111A B C ABC ∽△△，且相似比不为1；（2）以C 为位似中心，将ABC △缩小为原来的12，请画出图形．【答案】（1）如图所示的111A B C △．（2）如图所示的222A B C △．【解析】见答案．24．在ABC △中，AD DB =，12∠=∠，试证明：ABC EAD ∽△△． 【答案】证明见解析．【解析】∵AD DB =，∴DAE B ∠=∠， ∵AED ∠为EBD △的外角，2AED B ∠=∠+∠，另1BAC BAD ∠=∠+∠，∵BAD DAE B ∠=∠=∠，12∠=∠， ∴12BAC BAD B AED ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 在ABC △和EAD △中，∵DAE B ∠=∠，BAC AED ∠=∠， ∴ABC EAD ∽△△．25．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分钟）之间满足函数关系式20.1 2.643y x x =-++（030x ≤≤），y 的值越大，表示接受能力越强．（1）若用10分钟提出概念，学生的接受能力y 的值是多少？（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．【答案】（1）59；（2）用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；用15分钟与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．【解析】（1）当10x =时，220.1 2.6430.110 2.6104359y x x =-++=-⨯+⨯+=． （2）当8x =时，220.1 2.6430.18 2.684357.4y x x =-++=-⨯+⨯+=， ∴用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；当15x =时，220.1 2.6430.115 2.6154359.5y x x =-++=-⨯+⨯+=． ∴用15分钟与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．26．用12米长的木料，做成如图的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？【答案】长与宽都是2米，面积最大为4平方米． 【解析】设长为x 米，则宽为123(4)3xx -=-米， 2(4)(2)4S x x x =-=--+，∴当2x =时，4S =最大．这时长与宽都是2米，为正方形窗框．27．已知二次函数2y ax bx c +=+的图象C 经过()5,0-，5(0,)2，()1,6三点，直线l 的解析式为23y x =-．（1）求抛物线C 的解析式；（2）判断抛物线C 与直线l 有无交点；（3）若与直线l 平行的直线2y x m =+与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标．【答案】（1）215322y x x =++；（2）无；（3）(1,0)P -． 【解析】（1）∵二次函数2y ax bx c +=+的图象C 经过()5,0-，5(0,)2，()1,6三点，∴0255526a b c c a b c =-+⎧⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩，解得12352a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩， ∴抛物线C 的解析式为：215322y x x =++． （2）∵由（1）得抛物线G 的函数解析式为：215322y x x =++， ∴22315322y x y x x =-⎧⎪⎨=++⎪⎩①②，①-②得，2111022x x ++=，∵21111410022∆=-⨯⨯=-<，∴方程无实数根，即抛物线抛物线C 与直线l 无交点．（3）∵与直线l 平行的直线2y x m =+与抛物线C 只有一个公共点P ， ∴2215322y x my x x =+⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y 得，215022x x m ++-=①， ∵抛物线C 与直线2y x m =+只有一个公共点P ，∴21514()022m ∆=-⨯⨯-=，解得2m =，把2m =代入方程①得，2152022x x ++-=，解得1x =-，把1x =-代入直线22y x =+得，0y =， ∴(1,0)P -．28．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且3BP =，1PC =，Q 是CD 的中点．求证：（1）AQ QP ⊥；（2）ADQ AQP ∽△△． 【答案】证明见解析．【解析】∵已知正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，3BP =，1PC =，Q 是CD 的中点，∴BC DC =，∴4DC CP BP =+=，∵Q 是CD 的中点，∴2DP PC ==，则::2QC CP AD DQ ==，又∵90ADC PCQ ∠=∠=︒，∴PCQ ADQ ∽△△，∴18018090AQP AQD PQC QPC PQC PCQ ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=︒， ∴AQ QP ⊥．∴25AQ =，5PQ =，5AP =，∴:::2:5AD AQ DQ QP AQ AP ===，∴ADQ AQP ∽△△．29．如图，已知抛物线与x 交于0()1,A -、()3,0E 两点，与y 轴交于点()0,3B ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）AOB △与DBE △是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．【答案】（1）223y x x =-++；（2）9；（3）相似．【解析】（1）∵抛物线与y 轴交于点()0,3B ，∴设抛物线的解析式为23y ax bx =++（0a ≠），根据题意，得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++．（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4)，设对称轴与x 轴的交点为F ，∴四边形ABDE 的面积ABO DFE BOFD S S S =++梯形△△111+()222AO BO BO DF OF EF DF =⋅+⋅+⋅11113(34)1249222=⨯⨯++⨯+⨯⨯=． （3）相似．如图，2222112BD BG DG =+=+=； ∴22223332BE BO OE =+=+=，22222425DE DF EF =+=+=， ∴2220BD BE +=，220DE =， 即：222BD BE DE +=，∴是直角三角形， ∴90AOB DBE ∠=∠=︒，且2AO BO BD BE ==， ∴AOB DBE ∽△△．。

2016-2017学年北京四十一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）2．抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=4 D．x=﹣43．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+24．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF6．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）7．如图，观察图形，找出规律，确定第四个图形是（）A．B．C．D．8．二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠09．如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°10．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．若函数y=（m﹣2）x|m|是二次函数，则m= ．12．若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y= ．13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．14．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB= °．15．二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 象限．16．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 对应的点上．三、解答题（本大题共72分）17．（1）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y 轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．（2）求经过A （1，4），B （﹣2，1）两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式．18．已知二次函数y=x 2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）求二次函数与x 轴的交点坐标；（4）画出这个二次函数的图象；（5）观察图象并写出y 随x 增大而减小时自变量x 的取值范围．（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．19．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3），（1）画出△ABC向右平移三个单位的对应图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标．20．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是多少？（结果保留π）．21．已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．22．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y的值越大，表示接受能力越强．（1）若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．23．用12米长的木料，做成如图的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC ，点D 刚好落在AB 边上．（1）求n 的值；（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．25．已知：如图，P 为等边△ABC 内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP 、BP 、CP 为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．26．有这样一个问题：探究函数y=x 2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x 2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值．求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．27．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过（﹣5，0），（0，），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x﹣3．（1）求抛物线C的解析式；（2）判断抛物线C与直线l有无交点；（3）若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．28．如图，已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．29．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．2016-2017学年北京四十一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2．抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=4 D．x=﹣4【考点】二次函数的性质．【分析】根据题意可知a=1，b=﹣4，依据抛物线的对称轴x=﹣求解即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，∴x=﹣==2．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴方程是解题的关键．3．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF【考点】旋转的性质；菱形的性质．【专题】常规题型．【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．【解答】解：OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两对应边所组成的角都可以作为旋转角，难度一般．6．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-对称．【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答．【解答】解：A，M关于原点对称，A的坐标是（1，3），∴M（﹣1，﹣3）；∵A，N关于x轴对称，A的坐标是（1，3），∴N（1，﹣3）．故选C．【点评】两个点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．7．如图，观察图形，找出规律，确定第四个图形是（）A．B．C．D．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据（1）（2）（3）可以看出图形每次逆时针方向旋转90°，按此规律不难作出判断．【解答】解：观察图形，发现（1）（2）（3）每次逆时针方向旋转90°，依次规律第四个图形应为C．故选：C．【点评】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的题目一般是从所给的图形、数据以及运算方法进行分析，从特殊到一般，从而总结出一般性的规律．8．二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠0【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】直接利用△=b2﹣4ac≥0，进而求出k的取值范围．【解答】解：∵二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，∴△=b2﹣4ac=64﹣32k≥0，k≠0，解得：k≤2且k≠0．故选：D．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出△的符号是解题关键．9．如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°【考点】旋转的性质．【分析】如图，作辅助线；首先证明∠AA′C=45°，然后证明AB′2=AA′2+A′B′2，得到∠AA′B′=90°，进而得到∠A′=135°，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，∴AB′2=AA′2+A′B′2，∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，故选C．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理的逆定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将分散的条件集中．10．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题11．若函数y=（m ﹣2）x |m|是二次函数，则m= ﹣2 ．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义可得：|m|=2，且m ﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|m|=2，且m ﹣2≠0，解得：m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．12．若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= （x ﹣1）2+2 ．【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=x 2﹣2x+3=（x 2﹣2x+1）+2=（x ﹣1）2+2故本题答案为：y=（x ﹣1）2+2．【点评】，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x ﹣h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．13．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB=3，则BE= 3 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE ，得出△BAE 是等边三角形，进而得出BE=3即可．【解答】解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，∴∠BAE=60°，AB=AE ，∴△BAE是等边三角形，∴BE=3．故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．14．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= 70 °．【考点】旋转的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，∴△OAB≌△OA1B1，∴∠A1OB1=∠AOB=30°．∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．故答案为：70．【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．15．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c 不经过的象限．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．故答案为：四．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．16．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 2 对应的点上．【考点】规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类．【分析】根据题意可得：青蛙的跳动规律为3﹣5﹣2﹣1﹣3…，周期为4；又由2015=4×503+3，经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2．【解答】解：由4起跳，4是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在3上，3是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上，5是奇数，沿顺时针跳两个点，落在2上，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上，…3﹣5﹣2﹣1﹣3，周期为4；又由2015=4×503+3，经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2．故答案为：2．【点评】此题考查图形的变化规律，理解题题，发现循环的规律是解决问题的关键．三、解答题（本大题共72分）17．（1）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．（2）求经过A（1，4），B（﹣2，1）两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】（1）设顶点式y=a（x+1）2﹣3，然后把（0，﹣5）代入求出a的值即可；（2）设一般式y=ax2+bx+c，再把两已知点的坐标代入得到两个方程，加上抛物线对称轴方程可以组成方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）2﹣3，把（0，﹣5）代入得a﹣3=﹣5，解得a=﹣2，所以抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得a=1，b=2，c=1，所以抛物线解析式为y=x2+2x+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）求二次函数与x轴的交点坐标；（4）画出这个二次函数的图象；（5）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质．【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）根据（1）中的二次函数解析式直接写出答案；（3）将已知函数解析式转化为两点式方程即可得到答案；（4）根据顶点坐标，抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图象；（5）（6）根据图象写出x的取值范围．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则该抛物线解析式是y=（x﹣2）2﹣1；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y=（x﹣2）2﹣1，所以对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；（3）∵二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数与x轴的交点坐标分别是：（1，0）（3，0）；（4）其图象如图所示：（5）由图象知，当y 随x 增大而减小时x ≤2；（6）由图象知，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0．【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法．属于基础题型，比较简单．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y=a （x ﹣h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．19．如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，﹣1），B （﹣3，﹣3），C （﹣1，﹣3），（1）画出△ABC 向右平移三个单位的对应图形△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；（2）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质分别得出对应点关于原点对称，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；A 1（1，﹣1）；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求；A 2（2，1）．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B 经过的路径与BA ，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是多少？（结果保留π）．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据点B 经过的路径与BA ，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是=S 扇形BDB′+S 矩形ABCD 求解即可．【解答】解：如图，连接BD 与B′D，点B 经过的路径与BA ，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是：S 扇形BDB′+S 矩形ABCD =π×52+3×4=+12．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质，解题的关键是理解点B 经过的路径与BA ，AC′，C′B′所围成的封闭图形．21．（2008•云南）已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象交于点A （﹣1，m ）．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的性质；反比例函数的性质．【专题】计算题．【分析】先通过反比例函数求出A值，再把A的值代入二次函数中求出二次函数的解析式．再化简二次函数的解析式，就可得到它的对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）∵点A在函数y=的图象上，∴m==﹣5，∴点A坐标为（﹣1，﹣5），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c=﹣5，c=﹣2．（2）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2，∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣1）．【点评】此题运用了反比例函数和二次函数的有关知识．22．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y的值越大，表示接受能力越强．（1）若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）知道接受能力y与提出概念所用的时间x之间满足函数关系式，令x=10，求出y，（2）求出x=8和15时，y的值，然后和x=10时，y的值比较．【解答】解：（1）当x=10时，y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×102+2.6×10+43=59．（2）当x=8时，y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×82+2.6×8+43=57.4，∴用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；当x=15时，y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×152+2.6×15+43=59.5．∴用15分钟与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．【点评】本题主要考查二次函数的应用，本题知道函数解析式，直接求y值，用二次函数解决实际问题，比较简单．23．用12米长的木料，做成如图的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】设长为xm，表示出宽，然后根据矩形的面积公式列式并整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题求解．【解答】解：设长为xm，则宽为：（12﹣3x）=（4﹣x）m，面积=x（4﹣x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，所以，当x=2m时，窗框有最大面积4m2．【点评】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积，主要利用了二次函数的最值问题，难点在于用长表示出宽．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．25．已知：如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，可以证明△APQ是等边三角形则QP=AP，则△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，然后分别求出△QBP的三个内角的度数即可．【解答】解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC∴BQ=CP ，AQ=AP ，∵∠1+∠3=60°，∴△APQ 是等边三角形，∴QP=AP ，∴△QBP 就是以AP ，BP ，CP 三边为边的三角形，∵∠APB=113°，∴∠6=∠APB ﹣∠5=53°，∵∠AQB=∠APC=123°，∴∠7=∠AQB ﹣∠4=63°，∴∠QBP=180°﹣∠6﹣∠7=64°，∴以AP ，BP ，CP 为边的三角形的三内角的度数分别为64°，63°，53°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，用到的知识点是等边三角形的性质和判定，证得△QBP 就是以AP ，BP ，CP 三边为边的三角形是解题的关键．26．有这样一个问题：探究函数y=x 2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x 2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值．求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）该函数没有最大值．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠0，（2）令x=3，∴y=×32+=+=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．27．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过（﹣5，0），（0，），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x﹣3．（1）求抛物线C的解析式；（2）判断抛物线C与直线l有无交点；（3）若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）直接把点（﹣5，0），（0，），（1，6）代入二次函数y=ax2+bx+c，求出a、b、c的值即可；（2）把（1）中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x﹣3组成方程组，再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；（3）把直线y=2x+m与抛物线C的解析式组成方程组，根据只有一个公共点P可知△=0，求出m的值，故可得出P点坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线C经过（﹣5，0），（0，），（1，6）三点，∴，解得，∴抛物线C的函数解析式为：y=x2+3x+；（2）∵由（1）得抛物线C的函数解析式为：y=x2+3x+，∴代入y=2x﹣3得2x﹣3=x2+3x+，整理得x2+x+=0，∵△=12﹣4××=﹣10＜0，∴方程无实数根，即抛物线C与直线l无公共点；（3）∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P，∴，消去y得， x2+x+﹣m=0①，∵抛物线C与直线y=2x+m只有一个公共点P，∴△=12﹣4××（﹣m）=0，解得m=2，把m=2代入方程①得， x2+x+﹣2=0，解得x=﹣1，把x=﹣1代入直线y=2x+2得，y=0，∴P（﹣1，0）．【点评】本题是二次函数综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键．28．如图，已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D 的坐标；过D 作DF ⊥x 轴于F ，那么四边形AEDB 的面积就可以由△AOB 、△DEF 、梯形BOFD 的面积和求得．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a （x+1）（x ﹣3），则有：a （0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3；（2）由（1）知：y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，即D （1，4）；过D 作DF ⊥x 轴于F ；S 四边形AEDB =S △AOB +S △DEF +S 梯形BOFD =×1×3+×2×4+×（3+4）×1=9；即四边形AEDB 的面积为9．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．29．（1）如图1，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G ，使DG=BE ，连结EF ，AG ．求证：EF=FG ．。

A. 45 C. 90B. 60D. 120初三第一学期期中学业水平调研2017.11学校___________________ 姓名_________________________ 准考证号________________________ 一.选择题(本题共24分.每小题3分)下面各题均有四个选项.其中只有一个是符合题意的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.题号12345678答案1・一元二次方程3是&-1=0的二次项系数、八次项系数.常飲项分别是A. 3, 6. 1B. 3. 6. -1C. 3, -6, 12.把施物线 X 向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为A. j^c2+lB.尸宀1C.尸3.如图，A, B t C是OO上的三个点.若乙C=35。

，则乙"03的大小为A. 35°B. 55°C. 65°D. 70°4.下列手机手势解锁图案中，是中心对祢图形的是® ® ® ® ® IS ®(t-® ® ® (fc ®A B C D5.用配方法解方程?-4x+2=0,配方正确的是A. (x-2)*=2B.(珀2比2C. (X-2)J=-2D. (X-2)J=66.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转”。

后能与原来的图案重合，那么〃的值可能是D. 3, -6, -I初三年级(数学)第1页(共&页)初三年级（数学）第2頁（共8页）二.填空题（本题共24分.毎小题3分）9. _____________________________________ 点P （-l, 2）关于原点的对称点的坐标为 .10. 写出一个图線开口向上，过点（0, 0）的二次函数的表达式: 11. 如图3.四边形MCP 内接于OO, E 为CQ 的延长线上一点.若乙弘110%则LADE 的大小为 ________ •12. 抛物线户#-4】与*轴的公共点的个敷是 ________ . 13・如图4.在平面直角坐标系◎中•点"•点8的塑标分别为（0, 2）,（", 0）.将线段绕点0順时针旋转，若点/的对应点彳的坐标为（2. 0）.则点B 的对应点F 的坐标为 ________ .14.已知枇物线经过点（-4, >r,）,（l,儿），则” ________________ y 3（填 “A”，“「或15・如图5. 00的半径CM 与弦BC 交于点0若00=31 4D=21BACD. II BC 的长为 __________ .7. 二次函数”与一次函数y^mx^n 的图彖如图所示，則鴻足 ax\bx-¥omx^n 的x 的取值范嗣是A ・-3<r<0 B. xv_3 或 r>0C ・ JCJ 3 或 x>l D. （kx<38. 如图1,动点P 从格点*出发.在网格平面内运动, 设点P 走过的路程为$,点P 到宜线/的距离为M.巳 知〃与$的关系如图2所示.下列选项中，可能是点 P 的运动路线的是…»1:□•• 工・1• t •―*! ■P“ i一一… —tBS394K516.下面是"作已知三角形的髙"的尺规作图过程.巳知？△*BC.求作：BCHL上的禺AD.相交tP9 0两点；（2）柞直後PQ,交*C于点O；（3）以0为11心・0*为半径作O0.与C3的琏长钱支于点D.连H-4D.线技AD即为所作的高.谓回答：该尺規作图的依据是______________________________________________________三.解答巫（本题共72分.第17题4分，第18~23題.每小题5分.第2425虬毎小题7分, 第24 28题.每小題8分）17.解方程：込4/3-0・初三年拔（败学）第3页（共8页）18・如图.等边三角形/〃C的边长为3,点£＞是线段BC上的点.CD=2t以2为边作尊边三角形ADE.连接CE・求CE的长.19・已知加是方程兰-女+1=0的一个根.求S-3）•（叶2）（叭2）的值.20.如图.在OO 中.AB 二 CD.求证：LBnLC.21・如图.ABCD是一块边长为4米的正方形苗Iffl.园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状• 其中点EXiAB 边上•点G在4D的延长线上.DG =：2BE.设朋的长为x米，改适后苗圃4EFG的面积为y平方米.（1 ”与x之闾的函数关系式为________________ （不需写自变蚩的取值范围）；（2）根据改造方案•改造后的矩形苗H/4EFG的面积与原正方形苗［ffi ABCD的面积相尊，请问歧时BE的长为多少米？初三年圾（数学）第4页（共8页）22.关于x的一元二次方程入2（力-1 ）x+m,-l=O有网个不相等的实数根九帀.（1）求实数加的取值范何；（2）是否存往实数加，使得x円=0成立？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由23.古代丝禺之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家一“代数学之父”阿尔•花拉子米.在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”.以?*10r=39为例，花拉子米的几何解法如下：如图.在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形.通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（x+）2=39+ ,从而猖到此方程的正根是_______24.如图.在平直直角坐标系中.点*的坐标为（1. 0）.点P的横坐标为2.将点*绕点p庶转.使它的对应点〃恰好落在X轴上（不与X点重合）$再将点B绕点g逆时针族转■初三年级（敛学）第5頁（关8页）妙得到点C.（1）直接写岀点B和点C的坐标；（2）求经过儿B. C三点的拋物线的表达式.初三年级(数学)第6页(共8萸)25.如图."为00的直衝点C在O0上.过点0作0。

2017-2018学年上学期期中考试九年级数学试卷（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成；一、选择题 （本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。

1、在﹣5，0，﹣2，1这四个数中，最小的数是（ ）A ．﹣5B ．﹣2C ．0D ．12、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列计算正确的是（ ）A ．532x x x =+B ．2x ·63x x =C ．()532x x =D ．235x x x =÷4、下列调査中，适合采用全面调査（普査）方式的是 ( )A ．对嘉陵江水质情况的调査B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调査C ．对某班50名同学体重情况的调査D ．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调査5、对于二次函数2(1)2y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）．A ．开口向下B ．对称轴是1x =-C ．顶点坐标是(1,2)D ．与x 轴有两个交点 6、若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ）A.1-B.1C.21-D.21 7、将抛物线y =(x －4)2＋2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的 表达式为（ ）A ．y =(x －3)2＋5B ．y =(x －3)2－1C ．y =(x －5)2＋5D ．y =(x －5)2－18、共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）A ．21000(1)1000440x +=+B ．21000(1)440x +=C ．2440(1)1000x +=D ．1000(12)1000440x +=+9、在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ）A B C D10、下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ）A ．50B ．60C ．64D ．7211、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连结BM ，则BM 的长是（ ）A.4B. 13+C. 23+D. 712、在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，随机取出一个数，记为a ，若数 a 使关于x 的分式方程3233ax x x+=---的解是正实数，且使得二次函数y =﹣x 2+（2 a ﹣1）x +1的图象，在x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则满足条件的所有a 之和是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13、据报道，西部地区最大的客运枢纽系统﹣﹣重庆西站，一期工程已经完成90%，预计在年内建成投入使用。

2016-2017学年北京四十一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）2．抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=4 D．x=﹣43．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+24．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF6．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）D．M （﹣1，3），N（1，﹣3）7．如图，观察图形，找出规律，确定第四个图形是（）A．B．C．D．8．二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠09．如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°10．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．若函数y=（m﹣2）x|m|是二次函数，则m= ．12．若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y= ．13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．14．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．15．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限．16．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数对应的点上．三、解答题（本大题共72分）17．（1）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．（2）求经过A（1，4），B（﹣2，1）两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）求二次函数与x轴的交点坐标；（4）画出这个二次函数的图象；（5）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．19．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3），（1）画出△ABC向右平移三个单位的对应图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出A2的坐标．20．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是多少？（结果保留π）．21．已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．22．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y的值越大，表示接受能力越强．（1）若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．23．用12米长的木料，做成如图的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？24．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后，得到△DEC ，点D 刚好落在AB 边上． （1）求n 的值；（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．25．已知：如图，P 为等边△ABC 内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP 、BP 、CP 为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．26．有这样一个问题：探究函数y=x 2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x 2+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值．﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．27．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过（﹣5，0），（0，），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x﹣3．（1）求抛物线C的解析式；（2）判断抛物线C与直线l有无交点；（3）若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．28．如图，已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．29．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．2016-2017学年北京四十一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2．抛物线y=x2﹣4x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=4 D．x=﹣4【考点】二次函数的性质．【分析】根据题意可知a=1，b=﹣4，依据抛物线的对称轴x=﹣求解即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，∴x=﹣==2．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴方程是解题的关键．3．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（）A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF【考点】旋转的性质；菱形的性质．【专题】常规题型．【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．【解答】解：OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；故选D．【点评】此题考查了旋转的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握两对应边所组成的角都可以作为旋转角，难度一般．6．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）D．M （﹣1，3），N（1，﹣3）【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-对称．【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念解答．【解答】解：A，M关于原点对称，A的坐标是（1，3），∴M（﹣1，﹣3）；∵A，N关于x轴对称，A的坐标是（1，3），∴N（1，﹣3）．故选C．【点评】两个点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．7．如图，观察图形，找出规律，确定第四个图形是（）A．B．C．D．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据（1）（2）（3）可以看出图形每次逆时针方向旋转90°，按此规律不难作出判断．【解答】解：观察图形，发现（1）（2）（3）每次逆时针方向旋转90°，依次规律第四个图形应为C．故选：C．【点评】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的题目一般是从所给的图形、数据以及运算方法进行分析，从特殊到一般，从而总结出一般性的规律．8．二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠0【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】直接利用△=b2﹣4ac≥0，进而求出k的取值范围．【解答】解：∵二次函数与y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，∴△=b2﹣4ac=64﹣32k≥0，k≠0，解得：k≤2且k≠0．故选：D．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出△的符号是解题关键．9．如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°【考点】旋转的性质．【分析】如图，作辅助线；首先证明∠AA′C=45°，然后证明AB′2=AA′2+A′B′2，得到∠AA′B′=90°，进而得到∠A′=135°，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，∴AB′2=AA′2+A′B′2，∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，故选C．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理的逆定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将分散的条件集中．10．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题11．若函数y=（m﹣2）x|m|是二次函数，则m= ﹣2 ．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义可得：|m|=2，且m﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|m|=2，且m﹣2≠0，解得：m=﹣2． 故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．12．若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= （x ﹣1）2+2 ． 【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：y=x 2﹣2x+3=（x 2﹣2x+1）+2=（x ﹣1）2+2 故本题答案为：y=（x ﹣1）2+2．【点评】，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）； （2）顶点式：y=a （x ﹣h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．13．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB=3，则BE= 3 ．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE ，得出△BAE 是等边三角形，进而得出BE=3即可． 【解答】解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ， ∴∠BAE=60°，AB=AE ， ∴△BAE 是等边三角形， ∴BE=3． 故答案为：3．【点评】本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．14．如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB= 70 °．【考点】旋转的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，∴△OAB≌△OA1B1，∴∠A1OB1=∠AOB=30°．∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．故答案为：70．【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．15．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限．【解答】解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0，故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限．故答案为：四．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．16．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 2 对应的点上．【考点】规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类．【分析】根据题意可得：青蛙的跳动规律为3﹣5﹣2﹣1﹣3…，周期为4；又由2015=4×503+3，经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2．【解答】解：由4起跳，4是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在3上，3是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上，5是奇数，沿顺时针跳两个点，落在2上，2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上，…3﹣5﹣2﹣1﹣3，周期为4；又由2015=4×503+3，经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2．故答案为：2．【点评】此题考查图形的变化规律，理解题题，发现循环的规律是解决问题的关键．三、解答题（本大题共72分）17．（1）已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．（2）求经过A（1，4），B（﹣2，1）两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】（1）设顶点式y=a（x+1）2﹣3，然后把（0，﹣5）代入求出a的值即可；（2）设一般式y=ax2+bx+c，再把两已知点的坐标代入得到两个方程，加上抛物线对称轴方程可以组成方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）2﹣3，把（0，﹣5）代入得a﹣3=﹣5，解得a=﹣2，所以抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2﹣3；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得a=1，b=2，c=1，所以抛物线解析式为y=x2+2x+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象．18．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）把这个二次函数化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）求二次函数与x轴的交点坐标；（4）画出这个二次函数的图象；（5）观察图象并写出y随x增大而减小时自变量x的取值范围．（6）观察图象并写出当x为何值时，y＞0．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质．【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）根据（1）中的二次函数解析式直接写出答案；（3）将已知函数解析式转化为两点式方程即可得到答案；（4）根据顶点坐标，抛物线与y轴的交点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标画出图象；（5）（6）根据图象写出x的取值范围．【解答】解：（1）y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，则该抛物线解析式是y=（x ﹣2）2﹣1；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y=（x ﹣2）2﹣1， 所以对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；（3）∵二次函数y=x 2﹣4x+3=（x ﹣1）（x ﹣3）， ∴二次函数与x 轴的交点坐标分别是：（1，0）（3，0）；（4）其图象如图所示：（5）由图象知，当y 随x 增大而减小时x ≤2；（6）由图象知，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0．【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法．属于基础题型，比较简单． 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）； （2）顶点式：y=a （x ﹣h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．19．如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣2，﹣1），B （﹣3，﹣3），C （﹣1，﹣3）， （1）画出△ABC 向右平移三个单位的对应图形△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标； （2）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2，并写出A 2的坐标．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质分别得出对应点关于原点对称，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求； A 1（1，﹣1）；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求；A 2（2，1）．【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B 经过的路径与BA ，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是多少？（结果保留π）．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是=S扇形BDB′+S矩形ABCD求解即可．【解答】解：如图，连接BD与B′D，点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是：S扇形BDB′+S矩形ABCD=π×52+3×4=+12．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算及旋转的性质，解题的关键是理解点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成的封闭图形．21．（2008•云南）已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．【考点】二次函数的性质；反比例函数的性质．【专题】计算题．【分析】先通过反比例函数求出A值，再把A的值代入二次函数中求出二次函数的解析式．再化简二次函数的解析式，就可得到它的对称轴和顶点坐标．【解答】解：（1）∵点A在函数y=的图象上，∴m==﹣5，∴点A坐标为（﹣1，﹣5），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c=﹣5，c=﹣2．（2）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2，∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣1）．【点评】此题运用了反比例函数和二次函数的有关知识．22．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间满足函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y的值越大，表示接受能力越强．（1）若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）知道接受能力y与提出概念所用的时间x之间满足函数关系式，令x=10，求出y，（2）求出x=8和15时，y的值，然后和x=10时，y的值比较．【解答】解：（1）当x=10时，y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×102+2.6×10+43=59．（2）当x=8时，y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×82+2.6×8+43=57.4，∴用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；当x=15时，y=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1×152+2.6×15+43=59.5．∴用15分钟与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．【点评】本题主要考查二次函数的应用，本题知道函数解析式，直接求y值，用二次函数解决实际问题，比较简单．23．用12米长的木料，做成如图的矩形窗框，则当长和宽各多少米时，矩形窗框的面积最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】设长为xm，表示出宽，然后根据矩形的面积公式列式并整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题求解．【解答】解：设长为xm，则宽为：（12﹣3x）=（4﹣x）m，面积=x（4﹣x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，所以，当x=2m时，窗框有最大面积4m2．【点评】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积，主要利用了二次函数的最值问题，难点在于用长表示出宽．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．（1）求n的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；（2）四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC 是等边三角形是解题关键．25．已知：如图，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，试说明：以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，并确定所构成三角形的各内角的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，可以证明△APQ是等边三角形则QP=AP，则△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，然后分别求出△QBP的三个内角的度数即可．【解答】解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC∴BQ=CP，AQ=AP，∵∠1+∠3=60°，∴△APQ是等边三角形，∴QP=AP，∴△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，∵∠APB=113°，∴∠6=∠APB﹣∠5=53°，∵∠AQB=∠APC=123°，∴∠7=∠AQB﹣∠4=63°，∴∠QBP=180°﹣∠6﹣∠7=64°，∴以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数分别为64°，63°，53°．【点评】本题主要考查了旋转的性质，用到的知识点是等边三角形的性质和判定，证得△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形是解题的关键．26．有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=x 2+的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值． ﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣ 求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 ．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】（1）由图表可知x ≠0；（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m ，把x=3代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x ≠0，（2）令x=3，∴y=×32+=+=； ∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．27．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象C经过（﹣5，0），（0，），（1，6）三点，直线l的解析式为y=2x﹣3．（1）求抛物线C的解析式；（2）判断抛物线C与直线l有无交点；（3）若与直线l平行的直线y=2x+m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）直接把点（﹣5，0），（0，），（1，6）代入二次函数y=ax2+bx+c，求出a、b、c的值即可；（2）把（1）中求出的抛物线的解析式与直线l的解析式y=2x﹣3组成方程组，再根据一元二次方程根的判别式即可得出结论；（3）把直线y=2x+m与抛物线C的解析式组成方程组，根据只有一个公共点P可知△=0，求出m的值，故可得出P 点坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线C经过（﹣5，0），（0，），（1，6）三点，∴，解得，∴抛物线C的函数解析式为：y=x2+3x+；（2）∵由（1）得抛物线C的函数解析式为：y=x2+3x+，∴代入y=2x﹣3得2x﹣3=x2+3x+，整理得x2+x+=0，∵△=12﹣4××=﹣10＜0，∴方程无实数根，即抛物线C与直线l无公共点；（3）∵与l平行的直线y=2x+m与抛物线G只有一个公共点P，∴，消去y得， x2+x+﹣m=0①，∵抛物线C与直线y=2x+m只有一个公共点P，∴△=12﹣4××（﹣m）=0，解得m=2，把m=2代入方程①得， x2+x+﹣2=0，解得x=﹣1，把x=﹣1代入直线y=2x+2得，y=0，∴P（﹣1，0）．【点评】本题是二次函数综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知一元二次方程的解与△的关系式解答此题的关键．28．如图，已知抛物线与x交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则有：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）由（1）知：y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即D（1，4）；过D作DF⊥x轴于F；S四边形AEDB =S△AOB+S△DEF+S梯形BOFD=×1×3+×2×4+×（3+4）×1=9；即四边形AEDB的面积为9．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．29．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．。

北京市第四十四中学2016—2017学年度第一学期期中测试初三数学试卷试卷满分：120分 考试时间：120分钟一 选择题（每题3分，共30分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.2.抛物线1)2(2+-=x y 的顶点坐标是( )A.(21)-，B.1) 2(，C.(21)-，D.(21)--， 3.如图,A ∠是⊙O 的圆周角,40A ∠=,则BOC ∠的度数为（ ）.A.50°B. 80°C. 90°D. 120°第3题图 第4题图 第5题图4.如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC=3，则弦AB 的长为（ ）.A.8B.6C.4D.105.如图，在单位为1的方格纸中,ABC ∆经过变换得到DEF ∆，正确的是（ ）.A.把ABC ∆向右平移6格B.把ABC ∆向右平移4格，再向上平移1格C.把ABC ∆绕着点A 顺时针旋转90°，再向右平移6格D.把ABC ∆绕着点A 逆时针旋转90°，再向右平移6格6.将抛物线26y x =先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线解析式是( ).A.3)2(62+-=x yB.3)2(62++=x yC.3)2(62--=x yD.3)2(62-+=x y7.圆内接正方形半径为2,则面积为（）A.2B.4C.8D.168.平面直角坐标系中，⊙O是以原点O为圆心，4为半径的圆，则点A（2，-2）的位置在（）A.⊙O内B.⊙O上C.⊙O外D.不能确定9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a＞0B.当x≥1时，y随x的增大而增大C.c＜0D.当 -1＜x＜3时，y＞010.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，△APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是( )二填空题（每题3分，共18分）11.点A（3,-4）关于原点对称点的坐标为。

初三第一学期期中学业水平调研数学2017.11一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1．一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为 A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．21y x =-+D ．21y x =--3．如图，A，B ，C 是⊙O 上的三个点. 若∠C =35°，则∠AOB 的 大小为 A ．35° B ．55° C ．65°D ．70° 4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是A BC D5．用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()222x -= B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=6．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是A ．45B ．60C ．90D ．1207．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足CA BOy2ax bx c mx n ++>+的x 的取值范围是A ．30x -<<B ．3x <-或0x >C ．3x <-或1x >D ．03x <<8．如图1，动点P 从格点A 出发，在网格平面内运动，设点P 走过的路程为s ，点P 到直线l 的距离为d . 已知d 与s 的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P 的运动路线的是A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．点P （1-，2）关于原点的对称点的坐标为________．10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的 表达式：________．11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 的延长线上一点． 若∠B =110°，则∠ADE 的大小为________． 12．抛物线21y x x =--与x 轴的公共点的个数是________． 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别 为（0，2），（1-，0），将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为（2，0），则点B 的对应点B '的 坐标为________．14．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y -，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）．15．如图，⊙O 的半径OA 与弦BC 交于点D ，若OD =3，AD =2， BD =CD ，则BC 的长为________．16．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC ．OBA E D C xyA'BA ODAB C Ol A l A l Al A s d 123451234O l A图1 图2B CA求作：BC 边上的高AD ． 作法：如图，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；（2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ．线段AD 即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________．三、解答题（本题共72分，第17题4分，第18~23题，每小题5分，第24~25题，每小题7分，第26~ 28题，每小题8分） 17．解方程：2430x x -+=．18．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点D 是线段BC 上的点，CD =2，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．求CE 的长．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．DOQPB C AEB D CA20．如图，在⊙O 中，»»AB CD =．求证：∠B =∠C ．21．如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．23．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研DCBA O H G FD A B C ExyPAO究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和 5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补 成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与A 点重合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ． （1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．25．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：244y x x =-+和直线l ：2(0)y kx k k =->．（1）抛物线C 的顶点D 的坐标为________； （2）请判断点D 是否在直线l 上，并说明理由；55 5x x xx 5EC DA O B（3）记函数2442,22x x x y kx k x ⎧-+≤=⎨->⎩，，的图象为G ，点(0,)M t ，过点M 垂直于y 轴的直线与图象G 交于点11()P x y ，，22()Q x y ，．当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，结合图象，求k 的取值范围．27．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≤，则称1d 为点P 的“引力值”；若12d d >，则称2d 为点P 的“引力值”．特别地，若点P 在坐标轴上，则点P 的“引力值”为0．xy–1–2123456–1–2123456O例如，点P （2-，3）到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，因为23<，所以点P 的“引力值”为2．（1）①点A （1，4-）的“引力值”为________；②若点B （a ，3）的“引力值”为2，则a 的值为________；（2）若点C 在直线24y x =-+上，且点C 的“引力值”为2，求点C 的坐标；xy–1–2–3–412345678–1–2–3–412345678O（3）已知点M 是以D （3，4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M 的“引力值”d 的取值范围是．扫描二维码，查看视频详细解析28．在Rt △ABC 中，斜边AC 的中点M 关于BC 的对称点为点O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转至△DCE ，连接BD ，BE ，如图所示．xy–1–2–3–412345678–1–2–3–412345678O（1）在①∠BOE，②∠ACD，③∠COE中，等于旋转角的是________（填出满足条件的的角的序号）；（2）若∠A=α，求∠BEC的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．初三第一学期期中学业水平调研数学参考答案2017．11EDNMB C AO一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DADBADAD二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（1，2-） 10．答案不唯一，例如2y x = 11．110° 12．2 13．（0，1）14．＞15．816．①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线．（注：写出前两个即可给3分，写出前两个中的一个得2分，其余正确的理由得1分）三、解答题（本题共72分） 17．解法一：解：2441x x -+=，()221x -=，………………2分21x -=±，11x =，23x =．………………4分解法二：解：()()130x x --=，………………2分 10x -=或30x -=，11x =，23x =．………………4分 18．解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC =AC ，∠BAC =60°. ∴∠1+∠3=60°.………………1分 ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD =AE ，∠DAE =60°.∴∠2+∠3=60°.………………2分 ∴∠1=∠2.在△ABD 与△ACE 中12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌ △ACE （SAS ）. ∴CE =BD .………………4分 ∵BC =3，CD =2， ∴BD =BC -CD =1.321EDCBA∴CE =1．………………5分19．解：∵m 是方程2310x x -+=的一个根，∴2310m m -+=.………………2分 ∴231m m -=-.∴原式22694m m m =-++-………………4分()2235m m =-+3=．………………5分20．方法1：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴∠AOB =∠COD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴在△AOB 中，1902B AOB ∠=︒-∠，在△COD 中，1902C COD ∠=︒-∠.………………4分∴∠B =∠C ．………………5分方法2：证明：∵在⊙O 中，»»AB CD =， ∴AB =CD .………………2分 ∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOB ≌△COD （SSS ）.………………4分 ∴∠B =∠C ．………………5分21．解：（1）22416y x x =-++（或()()442y x x =-+）………………3分（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得2241616x x -++=. 解得：12x =，20x =（不合题意，舍去）.………………5分 答：此时BE 的长为2米. 22．解：（1）∵方程()222110xm x m +-+-=有两个不相等的实数根，∴()()224141880m m m ∆=---=-+>，∴1m <．………………2分（2）存在实数m 使得120x x =.120x x =，即是说0是原方程的一个根，则210m -=.………………3分DCBAO解得：1m =-或1m =.………………4分当1m =时，方程为20x =，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． ∴1m =-．………………5分23．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为()25 x +………………1分39 25 =+………………3分从而得到此方程的正根是 3 ．………………5分24．（1）点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3）；………………2分 （2）方法1：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++. 因为它经过A （1，0），B （3，0），C （0，3），则0,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩………………4分 解得1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩………………6分∴ 经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法2：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），故可设其表达式为(1)(3)(0)y a x x a =--≠. ………………4分因为点C （0，3）在抛物线上，所以()()01033a --=，得1a =.………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分 方法3：抛物线经过点A （1，0），B （3，0），则其对称轴为2x =. 设抛物线的表达式为()22y a x k =-+.………………4分 将A （1，0），C （0，3）代入，得0,4 3.a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩………………6分∴经过,,A B C 三点的抛物线的表达式为243y x x =-+．………………7分25．（1）证明：∵在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ， ∴CE =BE .………………1分 ∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B .………………2分 在△DCE 与△OBE 中,,.DCE B CE BE CED BEO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCE ≌△OBE （ASA ）.∴DE =OE .∴E 为OD 的中点．………………4分（2）解： 连接OC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°. ∵OD ⊥BC ， ∴∠CED =90°=∠ACB . ∴AC ∥OD .………………5分 ∵CD ∥AB ，∴四边形CAOD 是平行四边形. ∵E 是OD 的中点，CE ⊥OD ， ∴OC =CD . ∵OC =OD ， ∴OC =OD =CD .∴△OCD 是等边三角形. ∴∠D =60°.………………6分 ∴∠DCE =90°-∠D =30°. ∴在Rt △CDE 中，CD =2DE . ∵BC =6， ∴CE =BE =3.∵22224CE DE CD DE +==， ∴3DE =，23CD =. ∴23OD CD ==.∴63CAOD S OD CE =⋅=四边形.………………7分OABDCEOABDCE26．（1）（2，0）；………………2分 （2）点D 在直线l 上，理由如下： 直线l 的表达式为2(0)y kx k k =->，∵当2x =时，220y k k =-=，………………3分 ∴点D （2，0）在直线l 上．………………4分 注：如果只有结论正确，给1分.（3）如图，不妨设点P 在点Q 左侧.由题意知：要使得124x x =+成立，即是要求点P 与点Q 关于直线2x =对称.又因为函数244y x x =-+的图象关于直线2x =对称， 所以当13t <<时，若存在t 使得124x x =+成立，即要求点Q在244(2,13)y x x x y =-+><<的图象上.………………6分根据图象，临界位置为射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与1y =的交点(3,1)A 处，以及射线2(0,2)y kx k k x =->>过244(2)y x x x =-+>与3y =的交点(23,3)B +处. 此时1k =以及3k =，故k 的取值范围是13k <<.………………8分27．（1）①1，②2±；………………2分 注：错一个得1分.（2）解：设点C 的坐标为（x ，y ）.由于点C 的“引力值”为2，则2x =或2y =，即2x =±，或2y =±. 当2x =时，240y x =-+=，此时点C 的“引力值”为0，舍去；xyBAQ P–1–2123456–1–2123456O当2x =-时，248y x =-+=，此时C 点坐标为（-2，8）；当2y =时，242x -+=，解得1x =，此时点C 的“引力值”为1，舍去； 当2y =-时，242x -+=-，3x =，此时C 点坐标为（3，-2）； 综上所述，点C 的坐标为（2-，8）或（3，2-）.………………5分 注：得出一个正确答案得2分. （3）7712d +≤≤.………………8分 注：答对一边给2分；两端数值正确，少等号给2分；一端数值正确且少等号给1分. 28．（1）③；………………1分 （2）连接BM ，OB ，OC ，OE .∵Rt △ABC 中，∠ABC =90°，M 为AC 的中点， ∴MA =MB =MC =12AC .………………2分 ∴∠A =∠ABM . ∵∠A =α，∴∠BMC =∠A +∠ABM =2α. ∵点M 和点O 关于直线BC 对称， ∴∠BOC =∠BMC =2α.………………3分 ∵OC =OB =OE ，∴点C ，B ，E 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上.∴12BEC BOC α∠=∠=.………………4分（3）12MN BE =，证明如下：连接BM 并延长到点F ，使BM =MF ，连接FD . ∵∠A =α，∠ABC =90°， ∴∠ACB =90°-∠A =90°-α. ∴∠DEC =∠ACB =90°-α. ∵∠BEC =α，∴∠BED =∠BEC +∠DEC =90°. ∵BC =CE ， ∴∠CBE =∠CEB =α. ∵MB =MC ，∴∠MBC =∠ACB =90°-α. ∴∠MBE =∠MBC +∠CBE =90°. ∴∠MBE +∠BED =180°. ∴BF ∥DE .………………6分OMNAB DCEFOMNABDCE∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC.∵AC=DE，∴BF=DE.∴四边形BFDE是平行四边形.………………7分∴DF=BE.∵BM=MF，BN=ND，∴MN=12 DF.∴MN =12 BE.………………8分注：如果只有结论正确，给1分.解答题解法不唯一，如有其它解法相应给分.更多初中数学资料，初中数学试题精解请微信关注。