江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试数学试卷 PDF版含答案

2021届江苏省南通市高三第一次模拟考试数学(理)试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体枳公式：心济=仍，其中S 为柱体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.1 .已知集合庆={1, 3}, B={0, 1},贝IJ 集合 AUB=.2 .己知复数z=：二一3八3为虚数单位)，则复数z 的模为3 .某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下:4 .如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为.5 .有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参 这两位同学参加不同兴趣小组的概率为. 6 .已知正四棱柱的底而边长是3 cm,侧而的对角线长是3小cm, 四棱柱的体积为 c/7 .若实数x, y 满足xWyW2x+3,则x+y 的最小值为•0&在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线/=2px(p>0)的准线为L 直线1与双曲线宁一y'=l 的两 条渐近线分别交于A ，B 两点，AB=加，贝Up 的值为.9 .在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y = 3x + t 与曲线y=as 。

x+bcos x(a, b, t £R)相切于点 (0,1),则(a+b) t 的值为 o10 .已知数列{aj 是等比数列，有下列四个命题：①数列{11}是等比数列； ②数列瓜a+J 是等比数列；f .③数列］工堤等比数列； ④数列{痣 蜴是等比数列.其中正确的命题有 个.11 .已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)=f(x).当0<xWl 时，f(x)=V — ax+1,则实 数a 的值为.12 .在平而四边形 ABCD 中，AB=1, DA=DB, AB -AC=3, AC -AD=2,则 AC + 2AD 的最小值为.13 .在平而直角坐标系xOy 中，圆0： x £+y ：=l,圆C ： (x —4)-+y'=4.若存在过点P(m, 0)的直线1, 直线1被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是.14 .已知函数 f(x) = (2x+a)(|x-a +|x + 2a )(a<0).若 f (1)+f (2)+f (3) + …+ f (672) =0,则满 足f(x) =2 019的x 的值为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.加一个，则则这个正15.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，M, N分别为棱PA, PD的中点.已知侧而PADJ_底而ABCD,底面ABCD是矩形, DA=DP.求证：(1)MN〃平面PBC：(2)MDL平而PAB.16.(本小题满分14分)在△ ABC中，a, b, c分别为角A, B» C所对边的长,acos B=A/2bcos A, cos A=坐(1)求角B的值：(2)若&=乖,求AABC的面积.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=± + 1A x(a€R). x(1)讨论函数F(x)的单调性：(2)设函数f(x)的导函数为f (x),若函数f(x)有两个不相同的零点用，自①求实数a的取值范围；② 证明：X，(义)+££ (照)>21n a+2.20.(本小题满分16分)已知等差数列5｝满足a,=4,前8项和数=36.(1)求数列UJ的通项公式：(2)若数列｛bj满足-(bxa=n+x.a) +2a a=3(2n-l) (nER*). k=l①证明：｛儿｝为等比数列：②求集合,(卬，P)£=中，m,数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21.【选做题】本题包括4 5、。

化学本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷满分100分，考试时间90分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必在答题纸姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、准考证号等，并用2B铅笔涂写在答题纸上。

2.每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题号的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试题卷上。

3.考试结束，将答题纸交田。

可能用到的相对原子质量：H 一1C 一12N 一140一16Cl-35.5选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个选项符合题意。

I .下列物质不属于高分子化合物的是A.纤维素B.聚丙烯2.下列有关化学用语表示正确的是A.硫化氢的电子式：H ＋［：豆：tH+B叫结构示意图：＠对c.,ffi;糖c.质子数为53，中子数为78的腆原子：：：I D .碳酸的电离方程式：H 2C03�2H →＋co�－3.下列有关物质性质与用途对应关系正确的是A.液氮汽化时要吸收大量的热，可用作制冷剂B.二氧化硅熔点高硬度大，可用于制光导纤维c.四氯化碳的密度比水大，可用于萃取澳水中的澳D.浓硫酸具有强氧化性，可用作乙酸和乙醇反应的催化剂4.常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.lmol/L的硫酸氢铀溶液中：NHS,AP ＋、Cl 一、CH3COO-B. lmol/L 的BaCh溶液中：Na ＋、K ＋、NOi 、OH 一C.ImoνL 的NaCI O 溶液中z K +, Na ＋、Cl －、so�－ D.蛋白质D.水电离出的c(H +)= Ix I 0·12mol/L 的溶液中：K ＋、Fe 3＋、NOi,sor江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试5.X、Y、Z、W是原子序数依次增大的短周期主族元素。

Y是同周期元素中非金属性最强的元素，Z 是短周期中金属性最强的元素，W 的单质晶体是应用最广泛的半导体材料，X原子的最外层电子数等于Z、W原子最外层电子数之和。

南通市2021－2022(上)高三期中调研测试数 学 试 卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩(C U B )＝A ．(1，2)B ．(1，2]C ．(2，4)D ．[2，4)2．已知z ＝1－2i ，|z -－z |＝A ．2B ．4C ．4iD ．－4i3．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，有下列四个等式 甲：a 1＝1；乙：a 4＝4；丙：S 3＝9；丁：S 5＝25． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．经研究发现，某昆虫释放信息素t s 后，在距释放处x m 的地方测得信息素浓度y 满足ln y ＝－12ln t －K tx 2＋A ，其中A ，K 为非零常数．已知释放1s 后，在距释放处2m 的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4s 后，信息素浓度为a2的位置距释放处的距离为A ．14mB ．12m C ．2m D ．4m5．已知圆锥SO 的顶点为S ，母线SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝6，则圆锥 SO 的体积为A ．182πB ．542πC ．163πD ．483π6．函数y ＝2sin xx 2＋1(x ∈[－2，2)的图象大致为7．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且e a－e－12＝a＋12，eb－e－13＝b＋13，ec－2－15＝c＋15，则A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．－般地，存在一个n 次多项式P n (t )，使得cos nx ＝P n (cos x )这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．Tschebyscheff )多项式．例如cos2x ＝P 2(cos x )＝2cos 2x －1，记作P 2(t )＝2t 2－1．利用P 3(t )求得sin18°＝A ．5－14 B ．3－52 C ．5－12 D ．5＋18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每/小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＞b ，则A ．ln(a 2＋1)＞ln(b 2＋1) B ．a 13＞b 13C ．1a ＜1bD ．(13)a ＜(13)b10．已知把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝f (x )图象，则A ．f (x )＝sin(2x －π3)B ．f (x )＝sin(2x －π6)C ．f (x )＝cos(2x －5π6)D ．f (x )＝cos(2x －2π3)11．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则12．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 在线段AD 1上，点N 在线段BD 上，则 A ．当M 为AD 1的中点时，AC 1⊥MNB ．当MN //平面CC 1D 1D 时，AM ＝BNC ．当N 为BD 的中点时，三棱锥C 1－BMN 的体积为16D ．当M 为AD 1的中点时，以M 为球心，MN 为半径的球被平面BB 1D 1D 截得的圆的面积的最小值为π4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知中心为O 的正六边形ABCDEF 的边长为2，则→OA ·→OC ＝ ．14．已知函数f (x )＝(x －a )(x －3)2(a ∈R )，当x ＝3时，f (x )有极大值．写出符合上述要求的一个a 的值为 ．15．设函数f (x )的定义域为R ，f (x )为偶函数，f (x ＋1)为奇函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝a ·2x＋b ，若f (0)＋f (1)＝－4，则f (72)＝ ．16．如图，将矩形纸片ABCD 的右下角折起，使得点B 落在CD 边上点B 1处，得到折痕MN 已知AB ＝5cm ，BC ＝4cm ，则当tan ∠BMN ＝ 时，折痕MN 最短，其长度的最小值为 cm ．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，且a 1＝2，a 3＝a 2＋4． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ． 【解析】18．(本题满分12分) 函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos2x ．(1)求f (0)，f (π12)；(2)求函数f (x )在[－π4，π4]上的最大值与最小值．【解析】19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD //BC ，P A ⊥CD ，AB ＝BC ＝P A ＝PC ＝1，AD ＝2． (1)证明：CD ⊥平面P AC ；(2)若AC ＝1，求二面角A －PD －C 的正弦值．【解析】20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋1e x(a ∈R ) ． (1)当a ＝－2时，求f (x )的单调区间； (2)当x ≥0时，f (x )≤1，求a 的取值范围． 【解析】21．(本题满分12分)在△ABC 中，已知D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，且AC －CD ＝32．(1)若AB ＝2BD ＝5，求△ABC 的面积； (2)若AB ＋BD ＝6，求AD ． 【解析】22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝x ln x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)设x 1，x 2为两个不相等的正数，且f (x 1)＝f (x 2)，证明：2e ＜x 1＋x 2＜1．【解析】∴2e ＜x 1＋x 2＜1．。

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试，一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，清将答案填写在等呼下 相应的位置上.)1 .已知集合 A={x|-1 vxv3} , B= { - L 0, 1, 2, 3},则 A 「| B=.2 .已知复数z 满足(l + i)z =3 —i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的模为. 3 .双曲线下一丁 二 1的顶点到渐近线的距离为.4 54 . 口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1, 2, 3, 4,若从袋中一次性摸出2个球, 则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为.5 .函数/*) = J ； — log4(x — l)的定义域为.|x + 2|,-2<x<0八 c c ，贝4/(/(17))-tan ——,0< x< 24的值为.7 .设函数/。

)=碗(5・+ 土)(2>0)，若f(x)< /(£)对任意的实数X 都成立，则出的最小值为8 4v <n8 .己知函数/(x)=,则不等式/(制>一1+ 1的解集为 ________lgM x>09 .设aeR,函数/(x) = 3f —为奇函数，则函数/(X)的极大值为10・ 已知 sin(a - £)=金，0 < a < 三，则 cos(a + 二)= 6 5 2 12 11 .已知Iog2〃 + log2^ = 2,则2"+2,的最小值为 12 .如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC±BD, BC=2, 则B A B C=.13 .在锐角AABC 中，设角A, B, C 的对边分别为a, 6, c ,若」的取值范围为14 .定义在 R 上的函数 “X), »(X), /7(x),若对 Vx £R,点(主，h(x) ) > (x 9 g(x))关于点(x , f (x))对称，则称函数〃(x)是函数g(x)关于函数/‘(X)的"对称函数”.已知函数/z(x)是函数 g(X)=。

2021届江苏省南通市高三年级第一次调研测试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,A a =-， {}0,B a =.若B A ⊆,则实数a 的值为__________． 【答案】1【解析】∵B A ⊆， ∴a A ∈． ∴a a =，解得1a =或0a =（舍去）． 答案：12．[2018·南通调研]已知复数，其中为虚数单位，则复数的实部为_________．【答案】【解析】 ，所以复数的实部为3．已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400， 400， 500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取_________名学生. 【答案】25【解析】由分层抽样得应从高三年级抽取50065=25400+400+500⨯名学生4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.【答案】10【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.【答案】12【解析】从4个社团中随机选择2个，有6种选法，其中数学建模社团被选中的选法有3种选法，所以概率为31=626．若实数,x y 满足1,{3, 10,x y x y ≥≤--≤则2x y -的最大值为________. 【答案】5【解析】作可行域，如图，则直线2x y z -=过点A(4,3)时z 取最大值5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________.【答案】65【解析】()2,0F , 双曲线221169x y -=的渐近线为340x y ±=，距离为|32+0|6=55⨯8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =， 8646a a a =+，则3a 的值为_________. 3【解析】由8646a a a =+得4223263,3,3q q q q a a q =+∴====9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为_________. 【答案】6π【解析】函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位得sin 223y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为过坐标原点，所以()-2036226k k k Z πππππϕπϕϕϕ+=∈∴=-<<∴=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.10．若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为_________. 【答案】2e -【解析】因为ln 1y x '=+ ，所以()()2ln11ln 11ln 2,t t t e -++=-∴=-=11．11．如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_________.（不计损耗）【答案】【解析】设正三棱柱的底面边长为 ，则12．如图，已知矩形的边长，.点， 分别在边，上，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】以A 坐标原点，AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系，设所以因为，所以因为 ，所以因此点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ， PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________. 【答案】32【解析】由射影定理得2224OD OM OP OM OP =⋅∴⋅==设()()1111,,,4,4y y M x y P x y x x ==∴= 2214x y x x+∴=因为11144x y +=- ，所以11x 1,44x yx +⋅=- 14x x y x=- 所以2222221114400,+-222x y y x x y y x x y y x+⎛⎫⎛⎫∴=->∴+-+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因此线段AM =点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．14．已知函数()()221,{ ,x ax a f x ln x --+=- 0,0,x x ≥< ()212g x x a =+-，若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得()()min 01,12f a g x a =-=-．（1）当1a >时， ()()2010,410f a a a =-∆=+-，如图，函数()y f x =有2个零点，即11x =-，20x >．又()min 120g x a =-<，故方程2121220x a x a =-+=->和方程22210x a x =-+>各有两个解， ∴方程()0g x =有4个解．∴函数()()y f g x =有4个零点．故1a >满足题意．（2）当1a =时， ()00,40f =∆=>，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >，30x >．又()min 10g x =-<，结合（1）中的方法可得方程()211,2,3i x x i =+=有5个解． ∴函数()()y f g x =有5个零点．故1a =不满足题意．（3）当1a <时， ()010f a =->， ①若()2410a a ∆=+->，即5112a -<<时，如图，函数()y f x =有3个零点，即11x =-， 20x >， 30x >．又()min 121g x a =->-，故当11x =-时，方程2220x a =-<无解． 所以要是函数()()y f g x =有4个零点，需满足()12{120a af a -<->，解得113a <<，故5112a -<<．②当512a -≤时，结合图象可得，函数()()y f g x =不会有4个零点． 综上可得5112a -<<或1a >． 故实数a 的取值范围是()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 答案： ()51,11,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中， AB PC ⊥， CA CB =， M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ； （2）平面ABN ⊥平面PMC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线性质得//MD AN ，再根据线面平行判定定理得结论（2）由等腰三角形性质得AB MC ⊥，再由已知AB PC ⊥，以及线面垂直判定定理得AB ⊥平面PMC .最后根据面面垂直判定定理得结论试题解析：（1）在ABN ∆中， M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ， MD ⊄平面PAC ， 所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中， CA CB =， M 是AB 的中点， 所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥， PC ⊂平面PMC ， MC ⊂平面PMC ， PC MC C ⋂=，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ， 所以平面ABN ⊥平面PMC .16．在ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，且222a b c bc =+-， 15a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（152）10 【解析】试题分析：（1）根据余弦定理得3A π=.再根据正弦定理得sin B 的值（2）根据同角三角函数平方关系得cos B ，再根据三角形内角关系以及两角差余弦公式得结果试题解析：（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得， 2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B =得， sin sin bB A a =3515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<. 又5sin 5B =，所以225cos 1sin 5B B =-=. 在ABC ∆中， A B C π++=，所以cos cos 1212C A B πππ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 4B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭252525252⎛⎫=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 1010=-. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）220x y ++=， 220x y -+= 【解析】试题分析：（1）根据两条准线之间的距离为22a c，联立离心率条件解得2a =， 2c =2b =.（2）由面积关系得M 为AB 中点，由直线AB 点斜式方程与椭圆方程联立解得B 坐标，由中点坐标公式得M 坐标，代入圆方程解得直线AB 斜率试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得， 22c a =，2242a c= 解得2a =， 2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=， 所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以()2,0A -.设()00,M x y ，则()0022,2B x y +.所以220089x y +=①，()()2200222142x y ++=②， 由①②得20918160x x --=， 解得023x =-， 083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为()2y k x =+.由()221,{ 422,x y y k x +==+得()2222128840k x k x k +++-=， 所以()()22212420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，解得222412B k x k -=+，所以()2224212B M x k x k +--==+， ()22212M M ky k x k =+=+， 代入2289x y +=得2222242812129k k k k ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 化简得422820k k +-=， 即()()2272410k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为()122y x =±+即220x y ++=， 220x y -+=.18．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ， PB ， PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上， AD 分别与PB ， PC 相交于点E ， F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大. 【答案】（1）5m （2）①最小值为)2640021m ②当sin 222θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大【解析】试题分析：（1）先建立直角坐标系，联立直线OB 方程与圆方程解得P 点纵坐标，即得点P 到AD 的距离；（2）①先求点P 到AD 的距离为40sin θ，再根据三角形相似得EF 的长度；②根据三角形面积公式求三个三角形面积，再用总面积相减得绿化区域面积，最后利用导数求函数最值试题解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =， 半圆O 的方程为22240x y += ()0y ≥， 由()2222,{400,y x x y y =+=≥得5y =所以，点P 到AD 的距离为165m .（2）①由题意，得()40cos ,40sin P θθ. 直线PB 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+ 80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为()sin 28040cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++ 80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以， EF 的长度为 ()F E f x x θ=- 80sin sin 2θθ=+， 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭ 6400sin 2θ=+， 区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯ 180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭ 21600sin sin 2θθ=+， 所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+ (0)2πθ<<.设sin 2t θ+=，则23t <<，()212160026400t S S t-++=.816004t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()16004≥ )64001=-.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为)264001m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19．已知函数()32g x x ax bx =++ (),a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明： ()73M a <-.【答案】（1）243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭（2）见解析【解析】试题分析：（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得b 关于a 的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究()F x 导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式 试题解析：（1）因为()()'x x f x e x a e =++ ()1x x a e =++，令()'0f x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()f x 取得极小值. 因为()2'32g x x ax b =++，由题意可知()'10g a --=，且24120a b ∆=-> 所以()()231210a a a b --+--+=， 化简得243b a a =---，由2412a b ∆=- ()()2412130a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---， 32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.（2）因为()()()F x f x g x =- ()()32x x a e x ax bx =+-++，所以()()()'''F x f x g x =- ()()()213213x x a e x ax a a ⎡⎤=++-+-++⎣⎦()()()1133x x a e x a x a =++-++-- ()()133x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则()'3x h x e =-，令()'0h x =，解得ln3x =.所以ln3x =时， ()h x 取得极小值，也是最小值， 此时， ()ln3ln33ln33h ea =-++ 63ln3a =-+ ()32ln3a =-+ 23ln 03e a a ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.令()'0F x =，解得1x a =--.所以1x a =--时， ()F x 取得极小值，也是最小值.所以()()1M a F a =--= ()()()()()3211111a a e a a a b a -------+--+--()()2112a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记()()21t m t e t t =--- 32t e t t =-+-， 1t <-， 则()2'32t m t e t t =-+-， 1t <-. 因为10t e e --<-<， 2325t t ->， 所以()'0m t >，所以()m t 单调递增.所以()172233t m t e -<--<--=-，所以()73M a <-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20．若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列.【答案】（1）是（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义验证两个条件是否成立，由于函数为分段函数，所以分奇偶分别验证（2）根据定义数列隔项成等差，再根据单调性确定公差相等，最后求各项通项，根据通项关系得数列{}n b 通项，根据等差数列证结论试题解析：（1）当n 为奇数时， ()()1212130n n a a n n +-=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时， ()121210n n a a n n +-=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立； 若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+， 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113db n =+--，()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313db n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n db b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列. 21．如图，已知的半径为，的半径为，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.【答案】【解析】试题分析： 作辅助线，即延长交与点，连结，，，则过点．则得，然后证得，根据相似三角形的性质可得，从而可求得.试题解析： 延长交与点，连结，，，则过点．由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.又，所以.22．已知R x ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -.【答案】2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦【解析】试题分析：由向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵1[ 0A = 2x ⎤⎥⎦的属于特征值λ的一个特征向量可得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由此可求得,x λ，从而可得A ，然后根据逆矩阵的定义并由待定系数法求得1A -． 试题解析：由已知得1[ c 2x ⎤⎥⎦ 00121x λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2,{0.x λ==所以1[ 0A = 02⎤⎥⎦.设1[ a A c -= b d ⎤⎥⎦，则11[ 0AA -= 0[ 2a c ⎤⎥⎦ b d ⎤⎥⎦ 1[ 0= 01⎤⎥⎦，即[ 2ac 1[ 20bd ⎤=⎥⎦ 01⎤⎥⎦.解得1a =， 0b c ==， 12d =， 所以11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.综上2λ=， 11[ 0A -= 012⎤⎥⎥⎦.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线21,{ 1x t y t =-=-（t 为参数）相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.【解析】试题分析：先把曲线的参数方程化成普通方程，然后将曲线方程和直线方程联立解方程组，从而得到点A ， B 的坐标，再用两点间的距离公式求解． 试题解析： 由21,{1x t y t =-=-消去参数t 得22y x x =+，所以曲线的普通方程为22y x x =+. 解方程组2,{2,y x y x x ==+得0,{x y ==或1,{1,x y =-=-所以()0,0A ， ()1,1B --， 所以AB ==即线段AB ．24．已知1a >， 1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】试题分析：根据基本不等式得()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-，再两式相加即得22811b a a b +≥--.即可得最小值 试题解析：因为1a >， 1b >，所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-. 两式相加：()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +， 所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8. 25．如图，在四棱锥P ABCD -中， AP ， AB ， AD 两两垂直， //BC AD ，且4AP AB AD ===， 2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23（2）13λ=【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果（2）设PH PC λ=，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PH PC 的值. 试题解析：以{},,AB AD AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ， ()4,0,0B ， ()4,2,0C ， ()0,4,0D ， ()0,0,4P （1）由题意可知， ()0,4,4DP =-， ()4,2,0DC =-.设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =，则110{ 0n DP n DC ⋅=⋅=即440{ 420y z x y -+=-=令1x =，则2y =， 2z =.所以()11,2,2n =.平面ACD 的法向量为()20,0,1n =，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅==， 所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知， ()4,2,4PC =-， ()4,2,0DC =-，设()4,2,4PH PC λλλλ==-，则DH DP PH =+= ()4,24,44λλλ--，因为DC DH =，所以()()()2224244420λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.26．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+= 1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（220152【解析】试题分析：（1）根据数学归纳法格式逐一证明，主要用到两角差正弦公式给以论证（2）先对等式两边分别求导，再取自变量为6π，即得所求的值 试题解析：（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-. 那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++()()11sin 12sin cos 1122122sin 2k x x x k x x ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦=- ()()()111sin 1cos cos 1sin 2sin cos 11222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- ()()11sin 1cos cos 1sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin 112122sin 2k x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+= 1sin 201812122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-， 两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-21111112018cos 2018sin sin 2018cos 22222212sin 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 211112018cos 2018sin sin 2018cos 22612226122sin 12πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=20152= 所以2342018sin2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。

2021届江苏省南通市通州区高三上学期一诊考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．函数()f x =的定义域为 A ．[1,3] B ．(1,3] C ．(-∞,1) D ．[3,+∞)2．已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题正确的是A ．若a ＞b ,n N *∈,则n n a b >B ．若a ＞b ,c ＜d ,则a ﹣c ＞b ﹣dC ．若a ＞b ,c ＞d ,则ac ＞bdD ．若a ＞b ,则11a b< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．314．已知131()2a -=,13log 2b =,121()3c =,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为A ．(1,+∞)B ．(0,1)C ．(12-,1)D ．(-∞,12-)和(1,+∞) 7．某种物体放在空气中冷却,如果原来的温度是1θ℃,空气的温度是0θ℃,那么t min 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e t θθθθ-=+-．若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ,2t ,则21t t -的值为（取ln2＝0.7,e=2.718…）A ．72-B ．27-C ．72D ．278．已知函数()ln a f x x x =+,∀m ,n ∈[1,2],m ≠n 时,都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-,则实数a 的取值范围是A ．(-∞,1)B ．(-∞,1]C ．(-∞,2)D ．(-∞,2]二、 多项选择题（本大题共4小题,每小题5分, 共计20分．在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列命题正确的是A.“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件B ．“M＞N”是“lgM＞lgN”的必要不充分条件C ．命题“∀x ∈R,x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R,使得x 2＋1＜0”D ．设函数()f x 的导数为()f x ',则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件10．设a ＞b ＞0,则下列不等式一定成立的是A ．0a b b a -<B ．20201a b ->C ．2ab a b<+．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R,(2)()f x f x +=成立D ．当x ∈(0,1]时,()e 1x f x =-,则函数()f x 在区间[1＋4k ,3＋4k ](k ∈Z)上单调递减（其中。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

江苏省南通市通州区2020-2021学年高三第一次调研抽测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =，则A B =________.2．设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为________.3．某校共有学生2400人，其中高三年级600人.为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_______.4．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．5．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为-2，则输入的x 的值为_______.6．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4.则a 的值为________. 7．不等式23122x x --<的解集为_______. 8．设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______.9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若21a =，3680a a +=，则5S 的值为______. 10．将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个）11．已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为_______.12．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________. 13． 函数2()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______.14．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值为 _______.二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：PA ⊥平面PCD16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量sin ,16a A π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向量()1,cos b A =，且12a b ⋅=. （1）求角A 的大小； （2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值.17．设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2128n n S a =+，*n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为q （0q >），前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得33m S S T =⋅，求q 的值.18．如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得3tan BCN ∠=.拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：22221(0)43x y t t t-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值； （3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上。

2021届江苏省南通市通州区高三上学期9月第一次诊断测试数学试题一、单选题1．函数()f x =的定义域为（ ） A ．[1,3] B ．(1,3]C ．(,1)-∞D ．[3,)+∞【答案】B【解析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】由()f x 解析式知：3010x x -≥⎧⎨->⎩，解之得：13x <≤，故选：B 【点睛】本题考查了具体函数的定义域求法，属于简单题. 2．已知,,,a b c d R ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a N b n *>∈，则n n a b > B ．若,a b c d ><，则a c b d ->- C ．若,a b c d >>，则ac bd > D ．若a b >，则11a b< 【答案】B【解析】利用不等式的性质，结合特殊值法即可判断选项的正误. 【详解】A 选项，22(1)(2)-<-，故A 错误；B 选项，,a b c d ><有,a b c d >->-，即有a c b d ->-，故B 正确；C 选项，1,0,1,2a b c d ===-=-，ac bd <，故C 错误；D 选项，0a b >>时不等式不成立，故D 错误； 故选：B 【点睛】本题考查了不等关系的判断，结合不等式性质、特殊值法等知识的应用，属于简单题.3．集合M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭的非空子集个数是（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31【答案】C【解析】根据集合描述求集合，由集合中元素的个数即可求非空子集个数. 【详解】 由M =8,,1y y x N y N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭知：{1,2,4,8}M = ∴非空子集个数为：42115-=， 故选：C 【点睛】本题考查了集合中子集个数，利用已知集合求其元素的个数，进而确定非空子集的个数，属于简单题.4．已知131()2a -=，13log 2b =，121()3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】根据对数、指数的性质比较大小即可. 【详解】131()12a -=>，13log 20b =<，1210()13c <=<， ∴b c a <<， 故选：D 【点睛】本题考查了指数、对数比较大小，根据对应函数的性质结合边界值0、1比较大小，属于简单题.5．函数1()()cos f x x x x=-在其定义域上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值符号即可由排除法选出正确图象. 【详解】()11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+-=--=-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项A D 、， 因为当02x π<<时，(1)0f =，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，故在区间()0,2π与x 轴有两个交点，故 排除B 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式选择正确的图象，属于中档题. 6．函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．()0,1 C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和(1,)+∞ 【答案】A【解析】求出导函数，由'()01f x x <⇒>，从而可得答案.【详解】因为1()ln 2f x x x x=--， 所以()()2'2221121121()2,0x x x x f x x x x x x -+-++=-+==> 由'()01f x x <⇒>， 所以函数1()ln 2f x x x x=--的单调减区间为(1,)+∞，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是熟练掌握求导公式，属于基础题.7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()teθθθθ-=+-.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ，2t ，则21t t -的值为(取207,2718ln e ==⋯．．)（ ）A ．72-B ．27-C ．72D ．27【答案】C【解析】根据题中所给函数模型，分别求出1t ，2t ，再由对数的运算，即可得出结果. 【详解】若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃， 则有10.24515(6215)t e-=+-，即10.23047t e -=，则10.24730t e=，解得1475ln 30t =； 若物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到30℃， 则有20.23015(6215)t e -=+-，即20.21547t e -=，则20.24715t e=，解得2475ln 15t =； 因此2147305ln 5ln 2 3.51647t t ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查对数的运算，考查给定函数模型的应用，属于常考题型. 8．已知函数()ln ,,[1,2],af x x m n m n x =+∀∈≠时，都有(1)(1)0f m f n m n+-+>-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞【答案】D【解析】[],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，等价于()()ln 11ag x x x =+++在[]1,2x ∈上单调递增，只需()'0g x ≥恒成立即可. 【详解】()()1ln 11af x x x +=+++， 令()()()1ln 11ag x f x x x =+=+++， [],1,2m n ∀∈且m n ≠，都有()()110f m f n m n+-+>-，()g x ∴在[]1,2x ∈上单调递增，即()()()2211'0111a x a g x x x x +-=-=≥+++恒成立， 即1a x ≤+，[]1,2,12x x ∈∴+≥，2a ∴≤，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义，考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件 【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10．设0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a bb a-< B ．20201a b ->C ．2aba b<+D ．b a a b >【答案】BC【解析】对选项A ，利用做差法即可判断；对选项B ，利用指数函数的性质即可判断，对选项C ，利用基本不等式即可判断，对选项D ，利用赋值法即可判断. 【详解】对选项A ，22a b a b b a ab--=，因为0a b >>，所以22a b >，0ab >.所以0a bb a->，故A 错误. 对选项B ，因为a b >，所以0a b ->，即20201a b ->，故B 正确.对选项C ，因为0a b >>，所以(22aba b a b ab a b+>⇒+>⇒>+， 故C 正确.对选项D ，设4a =，3b =，满足0a b >>，此时3464b a ==，4381a b ==，不满足b a a b >，故D 错误. 故选：BC 【点睛】本题主要考查利用作差法，基本不等式法和赋值法比较大小，属于简单题. 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11+f x f x -=，则（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 是周期函数且对于任意x ∈R ，(2)()f x f x +=成立D ．当(0,1]x ∈时，()1x f x e =-，则函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减(其中e 为自然对数的底数) 【答案】ABD【解析】由函数()f x 是奇函数，可判断A ；由()()11+f x f x -=，可得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，可判断B ；因为()()(2)1+1+f x f x f x +=≠⎡⎤⎣⎦，可判断C ；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，由函数()f x 的奇偶性、单调性和周期性可判断D.【详解】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，故A 正确； 因为函数()f x 满足()()11+f x f x -=，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故B 正确；因为()()()()(2)1+1+11+()f x f x f x f x f x f x +==-=-=-≠⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()(4)1+3+13+(2)2+f x f x f x f x f x f x f x +==-=--=-=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，故C 不正确；当(0,1]x ∈时，()1xf x e =-，且()1xf x e =-在(0,1]x ∈上单调递增，因为函数()f x 是奇函数，所以函数()f x 在()10x ∈-，上单调递增， 又函数()f x 关于直线1x =对称，所以函数()f x 在()13x ∈，上单调递减，所以()()1>3f f ，又函数()f x 的周期为4，所以()()1+4>3+4f k f k ，所以函数()f x 在区间[]14,34()k k k Z ++∈上单调递减，故D 正确； 故选：ABD. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性、周期性，以及对称性，属于中档题. 12．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC【解析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D . 【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nnf x x x f x x x -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t =+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.三、填空题13．已知函数1,01()2(1),1x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩，若()(1)f a f a =+，则实数a =___________.【答案】2【解析】根据分段函数各分支上的性质有011a a <<<+，结合解析式得12a a=即可求a . 【详解】∵()f x 在不同分支上是单调的， ∴()(1)f a f a =+有011a a <<<+，即12a a=，解之得：2a =，（舍去2a =-），故答案为：2【点睛】本题考查了利用分段函数各分支的性质，根据函数的等量关系，结合函数解析式求参数值，属于简单题.14．若()230,0s t st s t +=>>，则s t +的最小值是___________.【答案】5+【解析】利用“1”的代换，结合基本不等式求s t +的最小值. 【详解】 由题意知：231t s+=，∴2323()()555s t s t s t tst s +=++=++≥++，=时等号成立故答案为：5+【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用了“1”的代换转化目标式的形式，进而使用基本不等式，属于简单题.15．已知偶函数()f x (0)x ≠的导函数为()'f x ，()f e e =，当0x >时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是___________.(其中e 为自然对数的底数)【答案】(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞；【解析】构造函数()()2f x g x x =，求导()()()''32xf x g xf x x -=，由已知分析出函数()g x 的奇偶性的单调性，可求得答案.【详解】令()()2f x g x x =，则()()()()()'''43222f x xf x xf x f x x x g x x--==， 因为当0x >时，()2()0xf x f x '->，所以当0x >时，()'>0g x ，()g x 单调递增，又()f x 是偶函数，所以()()()()()22f x f xg x x x g x --==-=，所以()g x 是偶函数， 而21(1)(1)ef x x ->-，所以()22(1)1(1)f e f x x e e ->=-，即()(1)g x g e ->，所以()(1)g x g e ->，又()g x 在()0+∞，单调递增，所以1x e ->，解得+1x e >或1x e <-， 故答案为：(,1)(1,)e e -∞-⋃++∞. 【点睛】本题考查构造函数求解抽象不等式，构造合适的函数是解决问题的关键，属于中档题. 16．在①AB A =，②A B ⋂≠∅，③R BC A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合{}20,,log (1)1,1x a A xx R B x x x R x -⎧⎫=<∈=-≤∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，是否存在实数a ，使得___________？ 【答案】答案见解析【解析】求得集合[1,1)B =-，化简集合{()(1)0,}A xx a x x R =-+<∈∣，分1a >-，1a =-，1a <-三种情况讨论得到集合A ；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a 的取值范围. 【详解】{}2log (1)1,R [1,1)B x x x =-≤∈=-∣，0,{()(1)0,}1x a A x x R x x a x x R x -⎧⎫=<∈=-+<∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，当1a >-时，(1,)A a =-； 当1a =-时，A =∅； 当1a <-时，(,1)A a =- 若选择①AB A =，则A B ⊆，当1a >-时，要使(1,)[1,1)a -⊆-，则1a ≤，所以11a -<≤ 当1a =-时，A =∅，满足题意 当1a <-时，(,1)A a =-不满足题意 所以选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1] 若选择②A B ⋂≠∅，当1a >-时，(1,),[1,1)A a B =-=-，满足题意； 当1a =-时，A =∅，不满足题意；当1a <-时，(,1),[1,1)A a B =-=-，不满足题意 所以选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞. 若选择③RB A ⊆，当1a >-时，(1,),(,1][,)RA a A a =-=-∞-⋃+∞，而[1,1)B =-，不满足题意当1a =-时，,R RA A =∅=，而[1,1)B =-，满足题意当1a <-时，(,1),(,][1,)RA a A a =-=-∞⋃-+∞，而[1,1)B =-，满足题意.所以选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-，综上得：若选择①，则实数a的取值范围是[-1,1]；若选择②，则实数a的取值范围是(1,)-+∞；若选择③，则实数a的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.四、双空题17．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面(墙面与地面垂直)(如图)，现在一支架斜杆长为16dm，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为___________dm；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30dm，面积为230dm，则此时斜杆长度应设计为___________dm.【答案】16162+13.【解析】（1）由勾股定理有22256x y+=，结合基本不等式即可求周长最大值；（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，根据题设列方程组并结合同角三角函数关系构造方程求值即可；【详解】（1）设其在墙面和地面上射影分别为x、y，则：周长16l x y=++，而22256x y+=，又222()x y x y+≤+，∴2216162()16(12)l x y x y=++≤+=，（2）设斜杆长为a，它与地面的夹角为θ，由题意有：22sin cos30sin cos sin2602a a aaaθθθθθ++=⎧⎪⎨==⎪⎩，∴21202sin cosaθθ=，而30sin cosaaθθ-+=，结合22sin cos1θθ+=，知：2230120()1a a a--=，解之得13a =，故答案为：16+13； 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，应用勾股定理、同角三角函数关系列方程求直角三角形斜边长，属于中档题.五、解答题18．已知函数2()f x x ax b =++，,R a b ∈，关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,3.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()()2y f f x =-的所有零点之积. 【答案】（1）5a =-，6b =；（2）10.【解析】（1）根据不等式的解集得到方程20x ax b ++=的解为2和3，列出方程组求解，即可得出结果； （2）令()()20ff x -=，由（1）得到2[()]5()62f x f x -+=，求出()1f x =或()4f x =，由韦达定理，即可求出结果.【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为()2,3，即20x ax b ++<的解集为()2,3， 所以方程20x ax b ++=的解为2和3，所以24056a b a b ⎧->⎪-=⎨⎪=⎩，解得5a =-，6b =；（2）由（1）得2()56f x x x =-+，令()()20ff x -=，即2[()]5()62f x f x -+=，解得()1f x =或()4f x =，即2550x x -+=或2520x x -+=，2212(5)4550,(5)42170∆=--⨯=>∆=--⨯=>,方程2550x x -+=有两解，设为1x ，2x ，方程2520x x -+=有两解，设为3x ，4x ， 所以125x x =，342x x =，即函数()()2y f f x =-的所有零点之积为123410x x x x =. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，考查求函数的零点之积，属于常考题型. 19．设函数()3221()(1)23,,3f x x k x k k x x R k R =+-+--∈∈. （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[]3,3﹣上的最值； （2）若函数()f x 在区间()0,2内不单调，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）最大值为163，最小值为163-；（2）(3,1)(1,3)--. 【解析】（1）由已知得()()f x f x -=对x R ∀∈成立，根据恒等式的思想可求得1k =，得到31()43f x x x =-，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可求得函数的最值.（2）对函数求导得()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，由已知条件建立不等式可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=对x R ∀∈成立， 即()()32232211(1)23(1)2333x k x k k x x k x k k x -+----=------对R x ∀∈成立，即22(1)0k x -=对x R ∀∈成立，所以1k =，此时31()43f x x x =-， 2()4(2)(2),[3,3]f x x x x x '=-=+-∈-，令()0f x '=，则2x =-或2x =，函数()f x 的极大值为16(2)3f -=，极小值为16(2)3f =-，而(3)3f -=，(3)3f =-. 所以函数()f x 在区间[-3,3]上的最大值为163，最小值为163-；（2）因为()3221()(1)233f x x k x k k x =+-+--，所以()22()2(1)23(3)(1)f x x k x k k x k x k '=+-+--=+-++，令()0f x '=，得3x k =-或1x k =--，因为函数()f x 在区间(0,2)内不单调，所以032k <-<或012k <--<，解得13k <<或31k -<<-.所以实数k 的取值范围为(3,1)(1,3)--.【点睛】本题考查利用导函数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.20．经验表明，在室温25C ︒下，85C ︒开水冷至35︒C 到40C ︒(温水)饮用对身体更有益.某研究人员每隔1min 测量一次开水温度(如下表)，经过min x 后的温度为C y ︒.现给出以下2个函数模型：①25(,01,0)ay kx k R a x =+∈<<≥；②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中a 为温度衰减比例，计算公式为：11251()525i n i i y a i N y =--=∈-∑.开水温度变化（1）请选择一个恰当的函数模型描述,x y 之间的关系，并求出k ； （2）求a 值(a 保留0.01)；（3）在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置多长时间(单位：min ，保留整数)才能冷至到对身体有益温度？(参考数据：16.6140.92≈，21.5160.92≈) 【答案】（1）应该选择②，k 的值为60；（2）0.92；（3）17min .【解析】（1）应用表格数据代入所选模型确定是否合适，有矛盾的排除，选择合适的模型即可；（2）根据题设提供的公式计算求值；（3）由人体合适温度在35C ︒到40C ︒之间，结合（1）（2）所得模型列不等式求x 范围即可； 【详解】（1）若选择①25(,01,0)a y kx k R a x =+∈<<≥，把0x =代入得2585y =≠矛盾；若选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，把0,85x y ==代入，得60k =. ∴选择②25(,01,0)xy ka k R a x =+∈<<≥，其中k 的值为60.（2）5112511545046434052556054504643i i i y a y =--⎛⎫==++++ ⎪-⎝⎭∑0.92≈ （3）由（1）（2）知，x 、y 之间的关系为600.9225xy =⨯+，∵85C ︒开水冷至35C ︒到40C ︒ (温水)饮用对身体更有益， ∴35600.922540x ≤⨯+≤，有110.9264x ≤≤，即1460.92x ≤≤， 又16.621.5114,60.920.92≈≈，得16.621.5x ≤≤，∴在25C ︒室温下，85C ︒开水至少大约放置17min 才能冷至到对身体有益温度. 【点睛】本题考查了利用表格数据选择合适的数学模型，并确定模型中的参数值，进而应用模型计算预测值，属于中档题.21．已知函数()(2)ln 1f x x x x =-+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（2）已知0x x =是函数()y f x =的极值点，若()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，求证：1202x x x +>(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值). 【答案】（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义求()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程即可；（2）利用导数研究()f x 有极值点01x =；结合已知条件构造()()(2),01h x f x f x x =--<<，应用导数研究其单调性及()()12f x f x =即可证122x x +>.【详解】（1）由()(2)ln 1f x x x x =-+-，有2()ln 1x f x x x'-=++∴()01f '=，而(1)0f =，可知曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为0y = （2）由（1）得22()ln 1ln 2x f x x x x x '-=++=+-，令2()ln 2,0g x x x x=+->， 则212()0g x x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，即2()ln 2g x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =，知当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，∴当函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即()f x 在1x =处取得极大值.∵()()121212,,,f x f x x x x x R =≠∈，不妨设1201x x <<<， 令()()(2),01h x f x f x x =--<<，则22()()(2)ln 2ln(2)22h x f x f x x x x x'''=+-=+-+-+--4ln (2)4(2)x x x x =-+--因为01x <<，所以0(2)1x x <-<，即有4ln (2)0,40(2)x x x x -<-<-，∴()0h x '<，即函数()()(2)h x f x f x =--在(0,1)上单调递减，而(1)(1)(1)0h f f =-=，所以()(1)0h x h >=在(0,1)上恒成立，即()(2)f x f x >-在(0,1)上恒成立，有()()112f x f x >-在(0,1)上恒成立，又()()12f x f x =，所以()()212f x f x >-，因为1201x x <<<且121x ->，而函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-，即122x x +>，而01x =，所以1202x x x +>得证. 【点睛】本题考查了由导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的单调性，并结合已知条件构造函数并判断其单调性，进而证明不等式.22．已知函数1()x f x e ax -=+，()ln g x bx b x =-，其中e 为自然对数的底数，,a b ∈R . （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,1]-∞.【解析】（1）求得函数的导函数，将参数分为1a e ≥-、1a e<-讨论函数的单调区间；（2）[方法1]由不等式构造含参函数1()ln x h x bx b x xe -=-+，结合导数研究其在0x >上的单调区间，再由不等式恒成立为前提分类讨论参数b 并确定其范围；[方法2、3]利用导数研究函数不等式恒成立问题，结合参变分离，构造函数()g x 将问题转化为min ()b g x ≤，由()g x 的导数研究单调性得到最小值，进而求得b 的范围.【详解】（1）因为1()x f x e ax -=+，则1(),0x f x e a x '-=+>当1a e ≥-时，1()0f x e a -'>+≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时令1()0x f x e a '-=+>，得1ln()x a >+-，所以()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，令1()0x f x e a '-=+<，得1ln()x a <+-，所以()f x 在(0,ln()1)a -+上单调递减，综上，当1a e ≥-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a e<-时，函数()f x 在)(ln()1,a -++∞上单调递增，在(0,ln()1)a -+上单调递减；（2）当0a =时，()()f x xg x ≥对0x >恒成立12ln x e bx bx x -⇔≥-对0x >恒成立， 【方法1】1ln 0x bx e b x x--+≥对0 x >恒成立，令1()ln x h x bx b x x e -=-+则112(1)(1)(1)(),0x x b x x x b x h x x x x xe e --⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'=+=>， 设1()x b e x x ϕ-=-，令12(1)()0x x x xe ϕ--'==，得1x =， ∴当1x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1x b ϕϕ≥=-.①若10b -≥，即1b ≤，当1x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增；当01x <<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10h x h b ≥=-≥成立. 即1b ≤时()()f x xg x ≥对0x >恒成立.②当10-<b ，即1b >时，(1)10h b =-<与()0h x ≥矛盾； 综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【方法2】1ln (ln )0x x b x x e ----≥对0x >恒成立，令()ln h x x x =-，由11()10x h x x x-'=-==得1x =，即当1x >时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增，当01x <<时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)1h x h ≥=.令ln t x x =-，则1t ≥，则原问题等价于10t t e b --≥，对1t ≥恒成立，等价于1t b te -≤，对1t ≥恒成立，令1(),1t e p t t t -=≥，则12(1)()0t t p t e t--'=≥，所以()p t 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()1p t =，所以，实数b 的取值范围为(,1]-∞. 【方法3】令()ln x x x ϕ=-，由1()10x xϕ'=-=得1x =，函数()ϕx 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，有()(1)1x ϕϕ≥=，所以ln 1x x -≥当且仅当1x =时取等号.令()1xp x e x =--，则由()10x p x e '=-=得0x =，函数()p x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0p x p ≥=，所以1x e x ≥+当且仅当0x =时取等号.因为ln 1x x -≥，所以原条件等价于11ln (ln )ln x x xe e b x x x x x---≤=--对0x >恒成立，令1ln ()ln x xe g x x x --=-，因为1ln 1ln 1ln x x x e x x x ----+=-≥，当且仅当ln 10x x --=时取等号，即1x =时取等号，所以1ln ()(1)1ln x xg x g x xe --=≥=-，所以min ()1g x =，即1b ≤.综上，实数b 的取值范围为(,1]-∞ 【点睛】本题考查了应用分类讨论求含参函数的单调区间，第二问--方法一：应用导数研究函数单调区间、结合参数分类讨论求参数范围；方法二、三：利用导函数研究函数不等式恒成立问题：应用参变分离法将问题转化为min ()b g x ≤，由导数得到函数的最值，进而求参数范围.。

江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18B ．14 C ．38 D ．12 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<-B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >， 又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12答案：C解析：P ＝38，故选C ．7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc aa b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ．8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b]，当x ∈[a ，b]时的值域为[ka ，kb](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是A ．(e ＋1，+∞)B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞)D ．(2e e+，+∞)答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2ab a kab kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2x x kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)x g x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ．10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵bcosC ＋ccosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴c＝b ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1B 正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+ C ．2112()()x f x x f x < D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2kπ2π-≤2x 6π-≤2kπ2π+，k ∈Z ，解得kπ6π-≤x≤kπ3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[kπ6π-，kπ3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 12c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+ ∴S △ABC 12=absinC 12=（1322+⨯=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．（1； （2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得1519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221x y-=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-， 由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k k m ∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=，整理得()()22121210k x x km x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340k m k m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值. 20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)；（3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->， 所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x x xg x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；② 时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增； 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减， 由于，因此，当且仅当取得等号， 所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=， 即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y 、()22,B x y ， 则以A 为切点的切线方程为()1112y y x x y -=-，即()112y y x x =+， 同理以B 为切点的切线方程为()222y y x x =+，两条切线均过点()1,P t -，()()11222121ty x ty x ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x ty x ty --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足直线220x ty --=的方程， 所以，直线AB 的方程为220x ty --=，在直线AB 的方程中，令0y =，可得1x =，所以，直线AB 过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PABPCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。

通州区2021—2021学年第一学期高三年级摸底质量检测数学试卷2021年1月第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每个小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA =A ．{}2,5B ．{}3,5C ．{}4,5D ．{}1,2,3,4,52．抛物线24y x =的准线方程是A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x = 3．已知命题:p x ∀∈R ，20x ≥，则p ⌝是A ．x ∀∈R ，20x <B ．x ∀∉R ，20x ≥C ．0x ∃∈R ，200x ≥D ．0x ∃∈R ，200x <4. 已知数列{}n a 为等差数列，且11a =，59a =，则数列{}n a 的前5项和是A ．15B ．20C ．25D ．355．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是A ．20B ．25C ．30D ．55 6．已知a b >，且0ab ≠，则下列不等式中一定成立的是A ．11a b >B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33a b > D ．22log log a b >7．已知角α的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos2α= A ．2425-B ．725-C ．725D ．16258．在ABC △中，2AB =，3AC =，且3AB AC ⋅=-AC AB-λ()∈R λ的最小值是 A ．32BCD． 9．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30m AB =. 若水面下降5m ，则水面宽是（结果精确到0.1m ）（≈1.412.24≈2.65）A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．如图，等腰直角ABC △中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，π2PBA ∠=，给出下列四个结论： ①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ；③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是A ． ①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．复数1ii-（i 是虚数单位）的虚部是 ． 12．在6()2x -的展开式中，3x 的系数是 ．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()4,0，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．14．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>，()0,πϕ∈．CBAPBA统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律： ①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同． 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.15．已知函数()4e,0,e ,0.x x x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16．（本题13分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为矩形，1DD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是1BB ，1DC 的中点，1DA =，12DC DD ==.（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线1DC 与平面EAD 所成角的正弦值.17．（本题13分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为ABC S △，已知c =为已知，求a 与sin C 的值. 条件①：3b =；条件②：ABC S =△cos B =． 注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．FED 1C 1B 1A 1DC BA18．（本题14分）某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有职工对两款APP 是否使用相互独立.（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率、该企业女职工使用A 款APP 的概率；（Ⅱ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04﹪、女性占47.96﹪；B 款APP 的用户中男性占38.92﹪、女性占61.08﹪.试分析该企业职工使用A 款APP 的男、女用户占比情况和使用B 款APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符. 19．（本题15分）已知函数()11f x x=-. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()ln g x f x t x =+，当1t ≤时，求()g x 零点的个数.20．（本题15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且4AB =，椭圆C 离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.21．（本题15分）已知数列n A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （2n ≥）满足：①11a =；②12k ka a +=（1k =，2，⋅⋅⋅，1n -）.记12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+.（Ⅰ）直接写出()3S A 的所有可能值； （Ⅱ）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （Ⅲ）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.。

江苏省南通市通州区2021届高三数学第一次调研抽测试题（含解析）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =，则A B =________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为{1,1,2}A =-，{1,2,4}B =， 所以{1,2}AB =.故答案为{1,2}【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.设i 为虚数单位，则复数3(1)i +的实部为________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，化简3(1)i +，即可得出结果. 【详解】因为32(1)((1)2(1)221)=++=+-++=i i i i i i ，所以其实部为2-. 故答案为2-【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的乘法运算法则即可，属于常考题型.3.某校共有学生2400人，其中高三年级600人.为了解各年级学生兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为_______. 【答案】25 【解析】【分析】先由题意确定抽样比，进而可得出结果.【详解】由题意，从全校2400人中抽取100人，抽样比为1001 240024=，又高三年级共有600人，所以高三年级应抽取的学生人数为1 6002524⨯=.故答案为25【点睛】本题主要考查分层抽样各层样本数的问题，熟记分层抽样的概念，会求抽样比即可，属于常考题型.4.若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．【答案】3 4【解析】分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为4位同学中选出3位同学共有344C=种，甲被选中事件数有233C=,所以甲被选中的概率为34.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5.在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为-2，则输入的x的值为_______.【答案】14【解析】 【分析】先由程序框图，得到该算法流程图表示求分段函数222,1log ,1x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值，由输出的y 值为2-，分类讨论，即可求出结果.【详解】由题意可得，程序框图表示求分段函数222,1log ,1x x y x x ⎧->=⎨≤⎩的函数值；因为输出的y 的值为2-，当1x ≤时，有2log 2x =-，所以14x =，满足题意； 当1x >时，有222x -=-，所以0x =，不满足题意； 所以输入的x 的值为14. 故答案为14【点睛】本题主要考查条件结构的流程图，会分析流程图的作用即可，属于常考题型.6.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4.则a 的值为________.3【解析】 【分析】根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，求解，即可得出结果.【详解】因为双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，所以24===c，解得a =【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.7.不等式23122x x --<的解集为_______. 【答案】(﹣1，2) 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求解即可【详解】由题23122xx --<则2311222x x ---<=，故23112x x x --<-⇒-<< 故填(﹣1，2)【点睛】本题考查指数函数的单调性及指数运算，是基础题8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C 过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______.【答案】2【解析】 【分析】先由题意得到(,0)A a ，(0,)B b ，再由椭圆过点(2,1)P ，得到22411a b +=，由基本不等式，确定AB =取最小值时的条件，进而可得出结果.【详解】因为A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，所以(,0)A a ，(0,)B b ， 又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以22411a b +=，所以3===≥=AB ，当且仅当22224a b b a=，即222a b =时，取等号，此时222a c =，所以离心率为2===c e a .故答案为2【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质，以及基本不等式的应用即可，属于常考题型.9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若21a =，3680a a +=，则5S 的值为______. 【答案】112- 【解析】 【分析】先设等比数列的公比为q ，由题中条件，列出方程组，求出首项与公比，再由求和公式，即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得212536111880a a q a a a q a q ==⎧⎨+=+=⎩，即13180a q q =⎧⎨+=⎩， 解得1122a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，因此5151(132)(1)1121122-+-===--+a q S q .故答案为112-【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和基本量的运算，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型.10.将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】先由题意得到sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x x ，显然()g x 为偶函数，所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.11.已知函数()()xf x ax b e =+，若曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为_______.【答案】3e 【解析】 【分析】先对函数求导，得到(0)'=+f a b ，再由曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，列出方程组，求出函数解析式，从而可得出结果.【详解】因为()()xf x ax b e =+，所以((()))++=++'=x x x ax b f x ae a e x b e a ，则(0)'=+f a b ，又曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，当0x =时，1y =，即(0)1f =，所以有31a b b +=⎧⎨=⎩，解得2,1a b ==.因此()(21)xf x x e =+，所以(1)3f e =.故答案为3e【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.12.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.【答案】9 【解析】 【分析】将分式展开，利用基本不等式求解即可【详解】(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+又x ＋2y ＝422,xy ≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件13. 函数2()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______. 【答案】()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】 先令2()3=-g x x x，作出其图像，根据函数2()3f x x x k =--有两个零点，得到2()3=-g x x x 的图像与直线y k =有两个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】令2223,0()33,0x x x g x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，因为函数2()3f x x x k =--有两个零点， 所以2()3=-g x xx 的图像与直线y k =有两个交点，作出函数2()3=-g x x x 的图像如下：因为min 39()24⎛⎫=±=- ⎪⎝⎭g x g ， 由图像可得：min 9()4==-k g x 或0k >. 故答案为()90,4⎧⎫-+∞⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查由函数零点的个数求参数的问题，通常需要将函数零点个数转化为两函数图像交点个数来处理，结合函数图像即可求解，属于常考题型.14.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA 点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ的长度的最大值为 _______. 【答案】6 【解析】 【分析】先以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ，设(,,0)Q x y ，由QC =，得到22(2)(2)4-++=x y ，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果.【详解】以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，1AA =所以(0,2,0)C ，(1,P ，(2,2,0)B ， 因为点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点， 设(,,0)Q x y ，因为QC =，=整理得：22(2)(2)4-++=x y即点Q 可看作圆22(2)(2)4-++=x y 上的点，又22(2)(2)=-+-BQ x y ，所以BQ 表示圆22(2)(2)4-++=x y 上的点与定点(2,2)之间的距离，因此22max (22)(22)426=-+--+=+=BQ r （其中r 表示圆22(2)(2)4-++=x y 的半径.） 故答案为6【点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，通常可用建系的方法求解，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连结OE ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据线面垂直的判定定理，即可直接证明结论成立. 【详解】（1）连结OE .因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ， 所以O 为AC 的中点. 因为E 为PC的中点，所以//OE PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE .（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥. 由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.因为PA PD ⊥，PC ， PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=， 所以PA ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查线面平行，线面垂直的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型.16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知向量sin ,16a A π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向量()1,cos b A =，且12a b ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，求sin 2B 的值. 【答案】（1）3A π=（2）7【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算，结合两角和差正弦公式和辅助角公式可求得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据角的范围可确定3A π=；（2）利用余弦定理求得a ，根据正弦定理求得sin B ；由三角形大边对大角知道B 为锐角，从而求得cos B ；利用二倍角公式求得结果. 【详解】（1）1sin cos sin cos cos sin cos cos 66622a b A A A A A A Aπππ⎛⎫⋅=+-=+-=- ⎪⎝⎭1sin 62A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()0,A π∈ 5π,666ππA ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭ 66A ππ∴-=，解得：3A π=（2）由余弦定理得：2222cos 162540cos213a b c bc A π=+-=+-=a ∴=由正弦定理sin sin ab A B=得：4sin sin b A B a ⨯===b c < B C ∴< B ∴为锐角cos 7B ∴==sin 22sin cos 2777B B B ∴==⨯=【点睛】本题考查解三角形知识的应用，涉及到正弦定理和余弦定理解三角形、两角和差和辅助角公式化简三角函数、平面向量数量积公式的应用、二倍角公式的应用等知识，属于常考题型.17.设数列{}n a 的各项均为正数，{}n a 的前n 项和()2128n n S a =+，*n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 的首项为2，公比为q （0q >），前n 项和为n T .若存在正整数m ，使得33m S S T =⋅，求q 的值.【答案】（1）42n a n =-（2）12-+或24-+. 【解析】 【分析】 （1）先由()2128n n S a =+求出12a =，再由2n 时，1n n n a S S -=-，求出通项，进而可求出结果；（2）先由（1）得到22n S n =，根据33m S S T =⋅，得到22912q q m=++，结合题意求出1m =或2m =，分情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）当1n =时，()2111128a S a ==+，则12a =. 当2n 时，()()2211112288n n n n n a S S a a --=-=+-+， 即2211440n n n n a a a a -----=， 所以()()1140n n n n a a a a --+--=.因为数列{}n a 的各项均为正数，所以10n n a a ->+， 所以14n n a a --=，所以数列{}n a 是公差为4的等差数列， 所以24(1)42n a n n =+-=-.（2）由（1）知，22n S n =.由33m S S T =⋅，得()22182222m q q =⋅++，所以22912q q m=++. 因为0q >，所以2912m >，即322m <， 由于*m ∈N ，所以1m =或2m =. 当1m =时，2702q q +-=，解得1152q -±=（舍负）， 当2m =时，2108q q +-=，解得264q -±=（舍负）， 所以q 的值为115-+或26-+. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A ，B 两地，A 地位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 地位于海上一个灯塔处，在A 地用测角器测得4BAN π∠=，在A 地正西方向4km 的点C 处，用测角器测得3tan BCN ∠=.拟定铺设方案如下：在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 和4万元/km ，设BPN θ∠=，,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，铺设电缆的总费用为()f θ万元.（1）求函数()f θ的解析式；（2）试问点P 选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.【答案】（1）2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当点P 选在距离A 地(623)km -处时，铺设的总费用最少，详见解析.【解析】 【分析】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ，根据题中条件，得到BD AD =，3BD DC =，由BPN θ∠=，得到6sin BP θ=，6tan DP θ=，66tan AP θ=-，进而得到66()264tan sin f θθθ⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭，化简即可得出结果； （2）根据（1）的结果，先设2cos ()sin h θθθ-=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对()θh 求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值.【详解】（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D .在Rt BAD ∆中，4BAD π∠=，则BD AD =.在Rt BCD ∆中，tan 3BDBCD DC∠==， 所以3BD DC =. 因为4AC =，所以143BD BD -=， 所以6BD =.由BPN θ∠=，则6sin BP θ=，6tan DP θ=.由6AD BD ==，得66tan AP θ=-. 所以66()264tan sin f θθθ⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭， 即2cos ()1212sin f θθθ-=+⨯，其中,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）设2cos ()sin h θθθ-=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin h θθθθθθθ'---==. 令()0h θ'=，得1cos 2θ=，所以3πθ=.列表如下：所以当3πθ=时，2cos ()sin h θθθ-=所以()f θ取得最小值12+6AP =-答：当点P 选在距离A 地(6-处时，铺设的总费用最少，且为12+. 【点睛】本题主要考查函数的模型的应用，以及导数的方法求最值的问题，熟记导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.19.在平面直角坐标系xOy 中，己知椭圆C ：22221(0)43x y t t t-=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F .过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB 的值；（3）设直线l :2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BO 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上。

2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}13x x -<<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则AB ＝ ．2．已知复数z 满足(1i)3i z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线22145x y -=的顶点到渐近线的距离为 ． 4．口袋中有形状和大小完全相同的4个小球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次性摸出2个球，则摸出的两个球编号之和为奇数的概率为 ． 5．函数41()log (1)2f x x =--的定义域为 ． 6．函数()f x 满足(4)()(R)f x f x x +=∈，[2x ∈-，2)时，2,20()tan ,024x x f x xx π⎧+-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎩，则((17))f f 的值为 ． 7．设函数()sin()(0)8f x x πωω=+>，若()()4f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 8．已知函数20()lg 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则不等式()1f x x >-+的解集为 ．9．设a ∈R ，函数32()3(1)f x x a x ax =+--为奇函数，则函数()f x 的极大值为 ．10．已知4sin()65πα-=，02πα<<，则cos()12πα+＝ ． 11．已知22log log 2a b +=，则22a b +的最小值为 ． 12．如图，在△ABC 中，D 为AC 的中点，BC ⊥BD ，BC ＝2，则BA BC ⋅＝ ．13．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sinC ﹣sinA ＝2sinAcosB ，baλ=，则实数λ的取值范围为 ．14．定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x ，若对x ∀∈R ，点(x ，()h x )，(x ，()g x )关于点(x ，()f x )对称，则称函数()h x 是函数()g x 关于函数()f x 的“对称函数”．已知函数()h x 是函数()1g x a x =-关于函数2()8f x x x =+的“对称函数”且函数()h x 存在4个零点，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥平面SCD ； （2）求证：BD ⊥SC ．16．（本题满分14分）已知平面向量(sin a α=，cos 2)α，3(cos 2b α=，)t ，R t ∈． （1）若a b =，求t 的值； （2）若t 3，a b ⊥，求tan(2)4πα+的值．17．（本题满分14分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12123a a a a +=，14a ，23S ，32S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 中，12b a =，861b a =-．①求数列{}n b 的前n 项和n T ；②若对n N*∈，不等式230n n na T n λ-+≥恒成立，求实数λ的最小值．18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1，0)为椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFP与△BFQ的面积分别为1S，2S，若123 2SS=，求直线l的方程．19．（本题满分16分）一个创业青年租用一块边长为4百米的等边△ABC田地（如图）养蜂、产蜜与售蜜．田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在BC上．规划在小路MN与AP的交点O（O与M、N不重合）处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口（小路的宽度不计）．为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计．为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米4万元，小路ON段的建造费用为每百米3万元．（1）若拟修的小路AO7百米，求小路ON段的建造费用；（2）设∠BAP＝θ，求cosθ的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．20．（本题满分16分）设R a ∈，函数()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）设直线210x y -+=与函数()y f x =的图像相切．①求实数a 的值；②求证：当x ≥0时，2()21f x x ≥+．（参考数据：148＜e 5＜149）2021届江苏省南通市高三第一次教学质量调研考试数学试题参考答案1．{0，1，2} 2．5 3．253 4．23 5．(1，3] 6．1 7．328．(1，+∞) 9．2910．210- 11．8 12．﹣4 13．2，3)14．a ＞815．证明：（1）∵底面ABCD 为菱形 ∴AB ∥CD∵AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD∴AB ∥平面SCD（2）∵SA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ∴SA ⊥BD连接AC ，∵底面ABCD 为菱形 ∴AC ⊥BD又∵SA AC ＝A ∴BD ⊥平面SAC ∵SC ⊂平面SAC ∴BD ⊥SC 16．解：（1）∵a b =∴sin cos 2t ααα⎧=⎪⎨⎪=⎩①②由①得tan 2α=由②得22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin =cos sin 1tan 7t ααααααααα--==-==++ （2）当t时3=sin cos 222a b ααααα⋅=+ 由a b ⊥，得=0a b ⋅，即sin 2204αα+=，求得tan 24α=- ∴tan 2tan4134tan(2)41(4)51tan 2tan 4παπαπα+-++===---- 17．（1）∵12123a a a a +=∴113q a q +=①∵14a ，23S ，32S 成等差数列 ∴21332S a S =+，化简得322a a =，即2q = 将2q =代入①式求得112a =∴数列{}n a 的通项公式：11211()222n n n naa q ---==⋅=（2）①01221b a ===，48612115b a =-=-=∴81142817b b d -===- ∴2(1)22n n n T n n -=+=②要使不等式230nn na T n λ-+≥恒成立则222230n n n n λ--+≥，即max 223()2n n λ--≥ 令2232n n n c --=，则1121212352222n n n n n n n nc c +-------=-=∴当1≤n ≤2时，10n nc c +->，此时{}n c 单调递增当n ≥3时，10n nc c +-<，此时{}n c 单调递减∴当n ＝3时，max 33()2n c c == 即当max 2233()22n n λ--≥=时，原不等式恒成立 ∴实数λ的最小值为3218．（1）由F(1，0)，得c ＝1由点P 到两个焦点的距离之和为4，得2a ＝4，即a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝3∴椭圆C 的标准方程为22143x y += （2）113AF PF sin AFP PF sin AFP 22S =⋅∠=∠ 211BF QF sin BFQ QF sin BFQ 22S =⋅∠=∠由1232S S =，得QF 2PF =，即2Q P y y =-（0P y >） 设直线PQ 为：1x my =+由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=∴2634P Q m y y m +=-+①，2934P Q y y m ⋅=-+②，又2Q P y y =-③由①和③求得：226341234P Q m y m my m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，代入②求得24=5m由0P y >可知m ＞0，∴=5m 所以直线PQ的方程：15x y =+20y --= 19．（1）在△AOM 中，222AO AM OM 2AM OM cos AMO =+-⋅∠∴2222AM 22AM 2cos 3π=+- 化简得：2AM 2AM 30+-= ∵AM ＞0，∴AM ＝1，则ON MN AM 211=-=-=，3×1＝3答：小路ON 段的建造费用为3万元． （2）由正弦定理得：AM AO OM2sin sin sin()33θπθ==-则AO sin θ=，sin OM sin θθθ-=ON MN AM 2=-==设小路AO 段与ON 段的建造总费用为()f θ则9sin ()4AO 3ON sin f θθθθ-+=+=63ππθ<<2()sin f θθθ'=，若0θ满足03cos 4θ=，且063ππθ<<，列表如下：则当θ＝0θ时，()f θ有极小值，此时也是()f θ的最小值∴03cos cos 4θθ== 答：当cos θ34=，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．。