选择、填空题中函数零点的常见题型 2016.11.17 B4

函数零点的题型总结例题及解析考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( )(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )(A)[0,1] (B)[-1,0](C)[0,2] (D)[-1,1]解析:f(1)=ln 2>0,当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;当a=2时,f(12)=ln 32-12<0,所以f(x)在(12,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π2,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B.解析:(2)令2xx +x-2x=0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围 【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)= 3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x ≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x ≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a ≤0,a ≥-23,使得第一段有一个零点,故a ∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g ′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e.综上所述,a ∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C ) (A)(0,4) (B)(0,+∞)(C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a ∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)= 4log,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8. 令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x x x x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)【教师备用 巩固训练2】 已知函数f(x)=32233,2,4(56),2,x x x x x x ⎧-+⎪⎨--+≥⎪⎩＜则函数f(f(x))的零点个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 解析:画出函数的图象,如图所示,令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t 1=2,t 2=3,-1<t 3<0,1<t 4<2, 由图象可知,当t 1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点; 由图象可知,当t 2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;由图象可知,当-1<t 3<0时,f(x)=t 有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;由图象可知,当1<t 4<2时,f(x)=t 有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;综上所述,函数f(f(x))有8个零点. 考点三 函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围 【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞) (B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x ∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞）， 由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2,由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b ≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12),所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14), 所以1t +t ∈(174,25716],故选B. 解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x), 所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质 【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2) (B)[3-2ln 2,2] (C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1, 则满足0<n ≤e-1, -2<m ≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n ≤e-1,则h ′(n)=1-21n +=11n n -+, 当h ′(n)>0,解得1<n ≤e-1,当h ′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为( A ) (A)(1,+∞) (B)(0,+∞)(C)(12,+∞) (D)(12,1)解析:方程12e x+x-a=0的根,即y=12e x与y=a-x图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标, 而y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,如图所示.所以x1+x2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)= 42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24) (D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四 函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( )(A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4 (2)已知f(x)=9x-t ·3x,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β,所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln 2e β=4e β=22e e β. 所以α,2e β分别是方程ex=2e x ,ln x=2e x的根,因为点(α,2e α)与点(2e β,4e β)关于直线y=x 对称, 所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x ---+=1212xx-+=-2121x x -+=-g(x),所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t ·3a +9-a -t ·3-a =0有解, 即t=9933a a aa--++有解.令m=3a+3-a(m ≥2),则9933a aa a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t ≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,18] (C)[18,14) (D)(0,18] 解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x ,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x+2t=12x m在R上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x+2t=12x m可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18].故选D.。

函数的零点 习题一、选择题（共15小题；共75分）1. 方程 log 3x +x −3=0 的零点所在区间是 ( ) A. (1,2) B. (0,2) C. (3,4) D. (2,3)2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( )A. y =cosxB. y =sinxC. y =lnxD. y =x 2+13. 已知 ab ≠0，方程 ax 2+bx +c =0 的系数满足 (b 2)2=ac ，则方程的两根之比为 ( )A. 0:1B. 1:1C. 1:2D. 2:3 4. 如果方程 x 2+mx =1 的两个实根互为相反数，那么 m 的值为 ( ) A. 0 B. −1 C. 1 D. ±1 5. 已知关于 x 的方程 x 2+kx −2=0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ( ) A. −3 B. 3 C. −2 D. 2 6. 若函数 f (x )=x 3−3x +a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (−2,2) B. [−2,2] C. (−∞,−1) D. (1,+∞) 7. 函数 f (x )=2x +x 3−2 在区间 (0,1) 内的零点个数是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知函数 f (x )=lnx −(12)x−2的零点为 x 0，则 x 0 所在的区间是 ( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)9. 函数 f (x )={√1−x 2,−1≤x <1,lgx,x ≥1,的零点个数是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 设函数 f (x )=x 2+bx +c ．则“f (x ) 有两个不同的零点”是“∃x 0∈R ，使 f (x 0)<0”的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. “a >2”是“函数 f (x )=log a x （a >0，且 a ≠1）的图象与函数 f (x )=x 2−4x +4 的图象的交点个数为 2 个的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知函数 f (x )={2−x −1,x ≤0,f (x −1),x >0.若方程 f (x )=x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (0,1)D. [0,+∞)13. 已知函数 f (x )={∣x +1∣,x ≤0∣log 2x ∣,x >0，若方程 f (x )=a 有四个不同的解 x 1，x 2，x 3，x 4，且 x 1<x 2<x 3<x 4，则 x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4的取值范围是 ( )A. (−1,+∞)B. [−1,1)C. (−∞,1)D. (−1,1]14. 已知函数 f (x )=x 3−3x +m 只有一个零点，则实数 m 的取值范围是 ( )A. [−2,2]B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2]∪[2,+∞)15. 定义：区间 [x 1,x 2](x 1<x 2) 的长度为 x 2−x 1．已知函数 y =2∣x∣ 的定义域为 [a,b ]，值域为[1,2]，记区间 [a,b ] 的最大长度为 m ，最小长度为 n ．则函数 g (x )=m x −(x +2n ) 的零点个数是 ( )A. 1B. 2C. 0D. 3二、填空题（共5小题；共25分）16. 若函数 f (x )=x 2−ax −b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g (x )=bx 2−ax −1 的零点是 ．17. 已知函数 f (x )={a +2x ,x ≤112x +a,x >1，其中 a ∈R ．如果函数 f (x ) 恰有两个零点，那么 a 的取值范围是 ．18. 已知函数 f (x )=x ∣2x −a ∣−1．①当 a =0 时，不等式 f (x )+1>0 的解集为 ；②若函数 f (x ) 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ． 19. 已知关于 x 的方程 x 2−8x +(m −2)∣x −4∣+16−2m =0 有且仅有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是 ．20. 如果关于 x 的方程 x +a x 2=3x 有两个实数解，那么实数 a 的值是 ．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知函数 f (x )=x ∣m −x ∣(x ∈R )，且 f (4)=0．（1）求实数 m 的值； （2）作出函数 f (x ) 的图象；（3）根据图象指出 f (x ) 的单调递减区间； （4）若方程 f (x )=a 只有一个实数根，求 a 的取值范围.22. 已知函数 f (x )=2kx4x +1，g (x )=m⋅2x +2√2，且 f (x ) 为偶函数．（1）求实数 k 的值； （2）若函数 f (x ) 与 g (x ) 的图象恰好有一个公共点，求实数 m 的取值范围．23. 已知函数 f (x )=∣3x −1∣,a ∈[13,1)，若函数 g (x )=f (x )−a 有两个不同的零点 x 1,x 2(x 1<x 2)，函数 ℎ(x )=f (x )−a2a+1 有两个不同的零点 x 3,x 4(x 3<x 4)． （1）若 a =23，求 x 1 的值； （2）求 x 2−x 1+x 4−x 3 的最小值．答案第一部分 1. D2. A【解析】y =cosx 是偶函数，且存在零点；y =sinx 是奇函数；y =lnx 既不是奇函数又不是偶函数； y =x 2+1 是偶函数，但不存在零点． 3. B 4. A 5. C6. A【解析】fʹ(x )=3x 2−3，令 fʹ(x )>0，得 f (x ) 的增区间为 (−∞,−1) 和 (1,+∞)，令 fʹ(x )<0，得 f (x ) 的减区间为 (−1,1)，所以 f (x ) 的极大值为 f (−1)=2+a ，极小值为 f (1)=a −2，所以若函数有 3 个不同的零点，则 {f (−1)=2+a >0f (1)=a −2<0，解得 −2<a <2．7. B【解析】解法一：因为 f (0)=1+0−2=−1，f (1)=2+13−2=1，即 f (0)⋅f (1)<0 且函数 f (x ) 在 (0,1) 内单调递增且连续不断，故 f (x ) 在 (0,1) 内的零点个数是 1． 解法二：设 y 1=2x ，y 2=2−x 3，在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示：可知B 正确． 8. C【解析】因为 f (x )=lnx −(12)x−2在 (0,+∞) 上是增函数，又 f (1)=ln1−(12)−1=ln1−2<0，f (2)=ln2−(12)0<0，f (3)=ln3−(12)1>0，所以 x 0∈(2,3)． 9. C【解析】令 f (x )=0，则 √1−x 2=0(x ∈[−1,1))，或 lgx =0(x ∈[1,+∞))，解得 x =−1 或x =1． 10. C 11. A12. A 【解析】函数 f (x ) 的图象如图所示：方程 f (x )=x +a 有两个不相等的实数根，即函数 f (x ) 的图象与直线 y =x +a 有两个交点，由图可得，a 的取值范围是 (−∞,1)．13. D 【解析】提示：由已知可得 x 1+x 2=−2，x 3x 4=1，1<x 4≤2，x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4=x 4−2x 4为关于 x 4 的函数 在 (1,2] 上为增函数，14. B 【解析】由已知得 fʹ(x )=3(x +1)(x −1)，令 fʹ(x )>0 得 f (x ) 的增区间为 (−∞,−1)或(1,+∞)；令 fʹ(x )<0 得 f (x ) 减区间为 (−1,1)；所以 f (x )极大值=f (−1)=2+m ，f (x )极小值=f (1)=m −2，因为 f (x )=x 3−3x +m 只有一个零点，所以 f (x )极大值=f (−1)=2+m <0 或 f (x )极小值=f (1)=m −2>0，解得 m >2或m <−2． 15. B【解析】由已知可得 20≤2∣x∣≤21，即 0≤∣x ∣≤1，解得 −1≤x ≤1，区间 [a,b ] 的最大长度为 m =1−(−1)=2，最小长度为 n =1−0=1，所以 g (x )=2x −(x +2)，令 g (x )=2x −(x +2)=0，即 2x =x +2，故 2x =x +2 方程解的个数就是函数 y =2x 与函数 y =x +2 图象的交点个数，如图：由图可知函数 y =2x 与 y =x +2 的图象有两个交点． 第二部分 16. −12，−13【解析】由 {22−2a −b =0,32−3a −b =0, 得 {a =5,b =−6,所以 g (x )=−6x 2−5x −1 的零点是 −12，−13． 17. [−2,−12)18. (0,+∞)，a >2√2 19. (0,+∞)∪{−2}【解析】由方程 x 2−8x +(m −2)∣x −4∣+16−2m =0 变形得 (∣x −4∣−2)(∣x −4∣+m )=0，所以 ∣x −4∣−2=0 或 ∣x −4∣+m =0，由 ∣x −4∣−2=0 得 x =2或x =6，由题意得 ∣x −4∣+m =0 与 ∣x −4∣−2=0 同解，或 ∣x −4∣+m =0 无解，当 ∣x −4∣+m =0 与 ∣x −4∣−2=0 同解时可得 m =−2；当 ∣x −4∣+m =0 无解时可得 m >0；综上可得 m 的范围为 (0,+∞)∪{−2}． 20. 0 或 ±2 【解析】由 x +a x 2=3x，得 a =3x −x 3 且 (x ≠0) 有两个实数解，所以函数 y =a 与函数 f (x )=3x −x 3 (x ≠0) 的图象有两个不同的交点，因为 fʹ(x )=3(1−x )(1+x )，所以 f (x ) 的增区间为 (−1,0) 和 (0,1)；f (x ) 的减区间为 (−∞,−1) 和 (1,+∞)；所以函数 f (x ) 的极大值为 f (1)=2，极小值为 f (−1)=−2，作出函数 f (x ) 与 y =a 的草图，所以求得 a 的值是 0 或 ±2．第三部分21. （1） 因为 f (4)=0， 所以 4∣m −4∣=0，即 m =4．（2） f (x )=x ∣x −4∣={x (x −4)=(x −2)2−4,x ≥4,−x (x −4)=−(x −2)2+4,x <4. f (x ) 的图象如图所示：（3） f (x ) 的减区间是 [2,4]．（4） 从 f (x ) 的图象可知，当 a >4 或 a <0 时，f (x ) 的图象与直线 y =a 只有一个交点， 方程 f (x )=a 只有一个实数根，即 a 的取值范围是 (−∞,0)∪(4,+∞)．22. （1） 因为函数 f (x )=2kx4x +1 为偶函数，所以 f (−x )=f (x )，即 2−kx4−x +1=2kx4x +1． ∴2−kx ⋅4x1+4x =2kx4x +1，∴2−kx+2x =2kx，−kx +2x =kx ，∴2kx =2x ，得 k =1．（2） 函数 f (x ) 与函数 g (x ) 的图象恰好有一个交点等价于方程 2kx4x +1=m⋅2x +2√2 恰好有一个实根，令 2x =t >0，上式等价于方程 (2m −3)t 2+2√2t +m −3=0 恰好有一个正实根， 令 F (m )=(2m 一3)t 2+2√2t +m −3，①若 2m −3=0，即 m =32，由 F (m )=0，解得 t =3√28>0 成立；② 若 2m −3>0，即 m >32，因为此时对称轴 t =−√22m−3<0， 只要 F (0)=m −3<0，即 m <3，所以 32<m <3；③ 若 2m −3<0，即 m <32，因为此时对称轴 t =−√22m−3>0，且 F (0)=m −3<0， 所以只有 Δ=8−4(2m −3)(m −3)=0，解得 m =72 或 m =1，所以 m =1．综上所得：实数 m 的范围为 32≤m <3 或 m =1．23. （1） 当 a =23 时，g (x )=∣3x −1∣−23=0，即 3x =13 或 53， 因为 x 1<x 2， 所以 x 1=−1．（2） 由 g (x )=∣3x −1∣−a =0， 3x =1±a 因为 x 1<x 2，所以 x 1=log 3(1−a )，x 2=log 3(1+a )， 由 ℎ(x )=∣3x −1∣−a 2a+1=0，3x =1±a 2a+1因为 x 3<x 4，所以 x 3=log 3(1−a2a+1)，x 4=log 3(1+a2a+1)， 因为x 2−x 1+x 4−x 3=log 3(1+a )(1+a2a+1)(1−a )(1−a2a+1)=log 31+3a 1−a =log 3(41−a−3).因为 y =log 3(41−a−3) 在 a ∈[13,1) 上单调递增，所以当 a =13 时，x 2−x 1+x 4−x 3 的最小值为 1．。

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

函数零点例1：函数的零点所在的一个区间是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】，，，，，所以零点在区间上．例2：函数的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】当时，直接解方程，即，解得， 当时，为增函数，，，所以在有一零点，即在有一个零点，综上，函数有两个零点，故选C ．例3：已知函数与的图象有且仅有两个公共()2x f x e x =+-(2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)()22220f e --=--<()11120f e --=--<()00020f e =+-<()1120f e =+->()()100f f ∴<(0,1)()22,026lg ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩0x ≤()0f x =220x -=2x =-0x >()26lg f x x x =-+(1)40f =-<(10)150f =>()f x (1,10)()f x (0,)+∞()f x ()1xy a a =>()log 1a y x a =>1、判断零点所在区间2、判断零点的个数3、根据零点求参数的取值范围点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】因为函数与的图像关于对称，所以其公共点在上，由已知图像与直线有两个公共点．可转化为与有两个公共点，即有两解，即，即， 令，所以， 当，单调递增；当，单调递减， 画出的图像，则只需，有两个公共点，解得，故选A ．一、选择题1．函数的零点所在的大致区间是（ ） a 11ea e <<1a e <<1ee a e <<a e >()1xy a a =>()log 1a y x a =>y x =y x =()log 1a y x a =>y x =y x =()1xy a a =>x x a =ln ln x x a =ln ln xa x=()ln x h x x =()21ln xh x x-'=()0,x e ∈()h x (),x e ∈+∞()h x ()hx 10ln a e <<11,ea e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()23log 111f x x x x =+->-A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】易知在上是连续增函数， 因为，， 所以的零点所在的大致区间是，故选B ．2．已知函数，则函数的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．6【答案】C【解析】令，则，令，若，解得或，符合；若，解得，符合． 作出函数的图象，如下图，时，；时，；时，．结合图象，若，有3个解；若，无解；若，有1个解．所以函数的零点个数为4个，故选C ．1,2()2,3()3,4()4,5()f x ()1,+∞()22log 330f =-<()33202f =->()f x ()2,32log (1),(1,3)()4,[3,)1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩[]()()1g x f f x =-[]()()10g x f f x =-=[]()1f f x =()1f x =2log (1)1x +=1x =12x =-(1,3)x ∈-411x =-5x =[3,)x ∈+∞()f x (]1,0x ∈-[)()0,f x ∈+∞()0,3x ∈()()0,2f x ∈[3,)x ∈+∞(]()0,2f x ∈()1f x =1()2f x =-()5f x =[]()()1g x f f x =-3．已知函数，函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ．D ． 【答案】C【解析】当时，设，则，易知当时，，即是减函数，∴时，， 又时，且，而时，是增函数，．有两个零点，即的图象与直线有两个交点，函数的图象如下所示：所以，故选C ．()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩()()g x f x m =-m 28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦280,e ⎛⎫⎪⎝⎭[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭2x ≥()22xx xh x e +=()()()2222222x xxx x e x x e x h x e e+-+-'==-2x >()0h x '<()h x 2x =()()2max 82h e h x ==x →+∞()0h x →()0h x >2x ≤()2f x x =+()24f =()()g x f x m =-()y f x =y m =()22,22,2xx xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩280m e <<4．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由，即与有三个交点，设，，故当时，；当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故，，故． 故选D ．5．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D1()xaf x xe x-=-a ()20,4e 220,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()20,2e 40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1210x xa xe a x e x---=⇒=y a =21x y x e -=21()x g x x e -=1()(2)x g x e x x -'=-(),0x ∈-∞()0g x '<()0,2x ∈()0g x '>()2,x ∈+∞()0g x '<()g x (,0)-∞(0,2)(2,)+∞(0)0g =4(2)g e =40a e<<()2xmf x xe mx =-+(0,)+∞m ()0,e ()0,2e (,)e +∞(2,)e +∞【解析】函数在上有两个零点， 等价于与有两个不同的交点，恒过点， 设与相切时切点为，因为，所以切线斜率为， 则切线方程为，当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为， 由函数图像特征可知：函数在上有两个零点，则实数的取值范围是，故选D ．6．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】， 当时，单调递减；当时，单调递增，，即函数存在唯一零点，即， ，，即在有零点．①若，即，()2xmf x xe mx =-+(0,)+∞()x h x xe =1()()2g x m x =-()g x 1(,0)2()g x ()h x (,)a a ae ()(1)x h x e x '=+(1)a e a +(1)()a a y ae a e x a -=+-1(,0)21a =12a =-2e ()2xmf x xe mx =-+(0,)+∞m (2,)e +∞1x ()()1ln 2f x x x =+-+2x ()2244g x x ax a =-++121x x -≤a 2-1-2-1-()111022x f x x x +'=-=>++∴21x -<<-()()0,f x f x '<1x >-()()0,f x f x '>()10f -=()f x 11x =-211x --≤220x ∴-≤≤()g x []2,0-()244440Δa a =-+=2a =±此时的零点为，显然②（i ）若，即或，若在只有一个零点，则，； （ii ）若在只有两个零点，则，解得，即的最小值为，故选D ．二、填空题7．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由可得， 令，则直线与函数的图象有两个交点． ， 当时，，此时，函数单调递增； 当时，，此时，函数单调递减． 所以，函数在处取得极大值，且极大值为．()g x a 2a =()244440Δa a =-+>2a <2a >()gx []2,0-()()200g g -≤1a ∴=-()g x []2,0-()()20002022g g a a a ⎧-≥⎪≥⎪⎨-<<⎪⎪-+⎩12a -≤<-a 1-()21x f x ae x =--a ⎛ ⎝()0f x =21xx a e +=()21x x g x e +=y a =()21xx g x e +=()12xx g x e -'=12x <()0g x '>()y g x =12x >()0g x '<()y g x =()y g x =12x =12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，；当时，． 如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是， 故答案为．三、解答题8．已知函数． （1）若，求的最大值；（2）当时，讨论函数零点的个数． 【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）当时，， 求导得， 12x <-()0g x <12x >-()0g x>0a <<y a =()y g x =a ⎛⎝⎛⎝21()(2)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R 0a =()f x 0a ≥()f x 2-0a =()22ln (0)f x x x x =-+>22(1)()2x f x x x -'=-+=令，解得；令，解得， ∴在递增，在递减， ∴． （2）函数，，当时，由（1）可得函数，没有零点； 当，即时，令，得或；，得， 即函数的增区间为，，减区间为，而，所以当时，；当时，； 当时，时，，所以函数在区间没有零点，在区间有一个零点； 当，即时，恒成立，即函数在上递增，()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x ()0,1(1,)+∞max ()(1)22ln12f x f ==-+=-21()(2)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R 22(2)2(1)(2)()(2)(0)ax a x x ax f x ax a x x x x-++--'=-++==>0a =()0f x <21>a02a <<(1)(2)()0x ax f x x --'=>01x <<2x a>(1)(2)()0x ax f x x --'=<21x a<<()f x (0,1)2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21,a ⎛⎫⎪⎝⎭11(1)(2)2ln12022f a a a =-++=--<(0,1)x ∈()(1)0f x f <<21,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2(1)0f f a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x →+∞()f x →+∞()f x 20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21a 2a =2(1)(2)(1)(22)2(1)()0x ax x x x f x x x x-----'===≥()f x (0,)+∞而时，， 所以函数在区间有一个零点； 当，即时，令，得或；，得， 即函数的增区间为，；减区间为， 因为，所以， 又时，，根据函数单调性可得函数在区间没有零点，在区间有一个零点．综上：当时，没有零点； 当时，有一个零点．11(1)2220,22f a x =--=-⨯-<→+∞()f x →+∞()f x (0,)+∞201a <<2a >(1)(2)()0x ax f x x --'=>20x a <<1x >(1)(2)()0x ax f x x --'=<21x a<<()f x 20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,)+∞2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭2a >222222ln 22ln10f a a a a ⎛⎫=--+<--+< ⎪⎝⎭x →+∞()f x →+∞()f x ()0,1(1,)+∞0a =()f x 0a >()f x。

第1页共4页微专题：选择、填空题中的零点问题(第一课时) 【教学分析】函数的零点问题是高考的热点问题.常见考法有:①判断零点所在的区间;②判断函数零点的个数;③根据(初等)函数零点的个数求参数的取值(或范围);④以分段函数为载体的零点问题;⑤以复合函数为载体的零点问题;⑥结合函数基本性质综合考查零点对于前三种考法,大部分学生掌握得较好.但后三种还需加强训练,主要原因是学生的做图能力,分类讨论和转化等能力还比较欠缺. 基于此,本节课定位于重点解决分段函数为载体数的零点问题,力求通过这类问题的解决培养学生做图、转化、分类讨论等能力. 【教学过程】开场白：同学们好，很高兴与大家相逢在这里，很荣幸能与你们一起学习。

我们知道，零点是高考及模拟考试的热点，它可以出在选填题中，也可以出在大题中，难度可难可以简单，也可以做为压轴题，今天，我们一起来探讨分段函数的部份零点问题，从而巩固提升所学知识，我想我们一定能合作愉快！同学们先自行回顾基础知识，然后完成基本能力养成. 一、基础知识(1)零点的定义：对于函数y =f (x ),把使_____________的实数x 叫函数y =f (x )的零点。

(2)零点的存在性定理：零点的存在性定理：如果函数如果函数y =f (x )满足:①在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的一条曲线;②f (a ).f (b )<0;则函数y =f (x )在(a ,b )上存在零点.(只能判断异号零点,只能判断有,不能判断有几个,逆命题不成立.) (3)确定函数零点的常用方法:①解方程;②利用零点的存在性定理;③数形结合转化为两个图像的交点问题(往往伴随零点、根和图像交点的转化及对方程的适当变形) 二、基本能力养成1.1.(2014•(2014•北京)已知函数()log 26f x x x =-,在下列区间中,包含f (x )零点的区间是() A .(0,1) B .(1,2) C .(2,4) D .(4,+∞) 2.2.(2015•(2015•湖北)f (x )=2sin xsin (x +2p)﹣x 2的零点个数为. 3.3.(2015•(2015•湖南)已知函数f (x )=|2x ﹣2|﹣b 有两个零点,则实数b 的取值范围是. 小结：1、存在性定理应用要注意准确计算和比较大小; 2、要有转化的意识（零点转为交点）;3、做图要注意关键点和关键的线; 4、结果书写要规范三、重难点突破例 1.1.(2016•(2016•山东)已知函数||,(),2≤24x x m f x x mx m x m ì=í-+>î,其中m ＞0,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是. 变式1.1.(2015•(2015•北京改编)设函数,()()(),2142≥1xa x f x x a x a x ì-<=í--î,若f (x )恰有3个零点, 则实数a 的取值范围是______________ 小结：1、注意分段处理与总体把握; 2、分界点要注意实心和空心;3、二次函数要注意对称轴，零点和与y 轴的交点;4、参数不明确时要注意分类讨论，分类讨论时注意从特殊到一般的思想。

函数的零点测试题一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ） （０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ５．ｆ（ｘ）＝6在[-A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根7．设f (x )=12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练）3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况()A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解[来源:学_科_网Z_X_X_K])内( )A 且0q >D ( )A 13.已知()()()2f x x a x b =---,,m n 是方程()0f x =的两个根,且,a b m n <<,则,,,a b m n 的大小关系为( )A ． m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ． m a n b <<<15、若方程0x a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）A、(1,)+∞D、Φ+∞B、(0,1)C、(0,)x+=根的个数为（）16、方程12xA、0B、1C、2D、3二、填空题：1．关于ｘ的方程２ｋ2x－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围．2．若函数ｆ（ｘ）＝2x－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x－ａｘ－１的零点．3、函数222()(1)(2)(23)=-+--的零点是（必须写全所有f x x x x x的零点）。

⾼中数学：关于函数零点的⼏种常见题型
（许兴华⽂摘）
[题型⼀]函数零点个数的求解
【题后⼩结】在解决函数与⽅程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运⽤.如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很⼤，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第⼀反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利⽤数形结合求解.
[题型⼆]由函数零点的情况求参数范围
【题后⼩结】利⽤函数零点的情况求参数值或取值范围的⽅法
(1)利⽤零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从⽽构建不等式求解.
[题型三]⽤导数及函数的图像研究零点问题
【题后⼩结】好好思考之后，这第三种题型的“题后⼩结”由同学们⾃⼰来完成？可以做到吧？。

函数零点练习题一、选择题1. 函数f(x)=x²-1在区间[-1,1]上有几个零点？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若函数f(x)=2x³-x在(-∞,+∞)上恰有一个零点，则f'(x)=0的解有几个？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 函数g(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上零点的个数是？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 函数h(x)=x³+2x²-4x-8的零点个数为？A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个5. 函数y=x³-6x²+11x-6的零点一定在哪个区间内？A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)二、填空题6. 若函数f(x)=x³-6x²+11x-6的零点在区间[1,2]内，求f'(x)=______。

7. 函数y=x³-8x+4的导数为y'=______。

8. 函数f(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上有一个零点，求f(x)在x=1处的导数值为______。

9. 若函数g(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上的零点为x₀，则g'(x₀)=______。

10. 若函数h(x)=x³+2x²-4x-8在区间[-2,2]上恰有两个零点，求h'(x)=______。

三、解答题11. 已知函数f(x)=x³-6x²+11x-6，求证其在区间[1,2]内恰有一个零点。

12. 函数y=x³-8x+4在区间[-1,1]上有几个零点？请给出证明。

13. 设函数g(x)=x³-3x²+2，求其在区间[1,2]上的零点，并证明其唯一性。

14. 函数h(x)=x³+2x²-4x-8的导数为h'(x)，求h(x)在区间[-2,2]上的零点个数，并给出证明。

函数零点存在的典型题函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用。

函数的零点即方程的根，也就是函数的图像与x 轴交点的横坐标。

主要考查二次函数及其性质，一元二次方程，函数的应用，解不等式等基础知识，考查数形结合，分类与整合的思想方法，以及抽象概括能力，运算求解能力。

二次函数的零点情况分如下几种情况：(1)在某个区间上有一个零点，(2)在某个区间上有两个零点，(3)在某个区间上有零点，但没说多少个，(4) 在某个区间上有一个零点，且此零点大于零。

例题如下：例1. 若函数()12--=x ax x f 在()1,0内有一零点，求a 的取值范围。

分析：把函数的零点问题转化为方程的根。

此函数恰有一零点，即方程012=--x ax 在()1,0内有一个根。

可分为以下三种情况： (1)0=a (2)()内有一解，在10,0>∆(3),0=∆且根在()1,0内 解：由题意得令012=--x ax ，因为最高次项系数是常数，所以首先要讨论最高次项系数为0的情况。

(1)当0=a 时，解得1-=x ,不在()1,0内，∴不符合题意(2)方程有两个根，且有一个根在()1,0内，即 ()()⎩⎨⎧⋅>∆100f f 241>->a a 2>∴a (3)当方程有两个相等的根时，即0=∆，解得41-=a ，解得2-=x ，不在()1,0内。

41-≠∴a 综上所述，当函数()12--=x ax x f 在()1,0内有一零点时，2>a例2．已知a 是实数，函数(),3222a x ax x f --+=如果函数()x f 在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

分析：函数在区间上有零点，分以下几种情况讨论，首先最高次项系数是常数要讨论常数0=a 时；下面，当0≠a 时，就是二次函数，可分以下情况，有一个零点(即所对应的方程在给定区间上有一个根(在0>∆的情况下)或有两个重根)，或两个零点。

专题四《函数》讲义5.9函数的零点知识梳理.函数的零点1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．题型一.零点所在的区间1．函数f（x）＝3x−3−2的零点所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：由于函数f（x）＝3x−3−2，∴f（1）＝3﹣3﹣2＝﹣2＜0，f（2）＝9−32−2＞0，∵f（1）•f（2）＜0，函数是连续增函数，∴函数f（x）＝3x−3−2的零点所在的区间是（1，2），故选：C．2．函数f（x）＝log2x+x+2的零点所在的一个区间是（）A．(0，18)B．(18，14)C．(14，13)D．(13，12)【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且其图象在定义域上是一条不间断的曲线，又o18)=−3+18+2=−78＜0，o14)=−2+14+2=14＞0，由函数零点存在性定理可知，函数f（x）在(18，14)上有零点．故选：B．3．设函数y＝x3与y＝（12）x﹣2的图象交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（3，4）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：函数y＝x3在R上单调递增，y=(12)K2在R上是减函数．∵x≤1时，函数y＝x3的图象在y=(12)K2的下面；x≥2时，函数y＝x3在y=(12)K2的上面．∴x0所在的区间是（1，2）．故选：C．题型二.零点的个数1．函数f（x）＝4x|log0.5x|﹣1的零点个数为2．【解答】解：函数的零点满足|l0.5U=(14)，则零点的个数即函数y＝|log0.5x|与=(14)交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数零点的个数为2．故答案为：2．2．函数f（x）=2−2，≤12−3+2，＞1的图象与函数g（x）＝ln（x+1）的图象的交点的个数是2．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：由两个函数的图象可知两个函数有2个交点，故答案为：2．3．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方程f（x）＝（110）x在[0，4]上根的个数是4．【解答】解：因为偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），所以函数f（x）的图象关于y 轴对称，同时以2为周期．根据x∈[0，1]时，f（x）＝x2得该函数在[0，4]上的图象为：再在同一坐标系中做出函数=(110)的图象，如图，当x∈[0，4]时，两函数图象有四个交点．所以方程f（x）＝（110）x在[0，4]上有4个根．故答案为4．4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）=l(−1)＞12≤1，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，5）C．（1，5）D．（1，4）【解答】解：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点即函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上有8个交点，由f（x+1）＝﹣f（x）＝f（x﹣1）知，f（x）是R上周期为2的函数，作函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上的图象如下，由图象知，当x∈[﹣5，1]时，图象有5个交点，故在[1，5]上有3个交点即可；故l(3−1)＜1l(5−1)＞1；解得，2＜a＜4；故选：A．题型三.已知零点个数求参1．若函数f（x）＝e x﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．[5−22，+∞)B．（﹣∞，2﹣e] C．(5−22，2−p D．[5−22，2−p【解答】解：依题意，−=−−1在x∈[1，2]上有且仅有一个解，设op=−−1，则n(p=⋅K2−1+12=(K1)(−K1)2，由e x≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）可知，当x∈[1，2]时，函数g（x）单调递增，∴当x∈[1，2]时，op m=o1)=−2，op B=o2)=22−2−12=2−52，∴−∈[−2，2−52]，∴∈[5−22，2−p．故选：D．2．若函数f（x）＝log a x﹣x+a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，e）D．（e，+∞）【解答】解：令f（x）＝0，有log a x＝x﹣a，①当a＞1时，函数y＝log a x单增，函数y＝x﹣a相当于函数y＝x向下至少移动了1个单位，故函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象有两个交点；②当0＜a＜1时，函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象显然仅有一个交点，综上，a＞1．故选：B．3．已知函数f（x）=3，∈(−1，0]∈(0，1]，且函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（−94，﹣2]∪（0，32]．【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），分别作出函数f（x）（图中红色曲线），和y＝h（x）＝m（x+1）的图象（图中绿色曲线），为一条过点（﹣1，0）的直线，如图：由图象可知f（1）＝3，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，3）时，m=32，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤32①．当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，此时两个函数有两个交点．当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时1r3x+3＝m（x+1），即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，当m＝0时，只有1解；当m≠0，由△＝9+4m＝0得m=−94，此时直线和f（x）相切．∴要使函数有两个零点，则−94＜m≤﹣2②．综上可得，函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（−94，﹣2]∪（0，32]，故答案为：（−94，﹣2]∪（0，32]．4．已知函数f（x）＝e2x﹣a（x+2）．当a＝2时，f（x）的增区间为（0，+∞）；若f （x）有两个零点，则实数a的取值范围为（2e﹣3，+∞）．【解答】解：当a＝2时，f（x）＝e2x﹣2（x+2），f′（x）＝2e2x﹣2，令f′（x）＞0，解得x＞0，则f（x）的增区间为（0，+∞）．f′（x）＝2e2x﹣a，x∈R．①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，至多有一个零点，不合题意；②当a＞0时，令f′（x）＝0⇒x=12ln2，可得f（x）在（﹣∞，12ln2）单调递减，在（12ln2，+∞）单调递增，故f（x）的最小值为f（12ln2）=2−a（12ln2+2）=−2ln2−32．∵f（x）有两个零点，当x→±∞时，f（x）→+∞，∴f（2ln2）＜0⇒2ln2+32＞0，解得a＞2e﹣3，所以实数a的取值范围为（2e﹣3，+∞）故答案为：（0，+∞）；（2e﹣3，+∞）．5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，12）．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知∈(0，12)．故答案为：（0，12）．6．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x2，g（x）＝log a|x﹣1|（2＜a＜2），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），可得对称轴x＝1，所以可得周期T＝2，又g（x）＝log a|x﹣1|（2＜a＜2），可得g（x）也是关于x＝1对称，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，可得g（x）＝f（x），在同一坐标系中在作y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示：因为2＜a＜2，g（x）＝log a|x﹣1|，所以g（2）＝0，g（5）＝log a4∈（2，4），与f（x）无交点，g（3）＝log a2∈（1，2）与f（x）有两个交点，所以x＞1时，g（x）与f（x）有3个交点，所以x∈R时，g（x）与f（x）有3对关于x＝1对称的点，所以所以交点之和为2+2+2＝6，即函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为6，故选：D．7．已知函数g（x）＝a﹣x2（1≤x≤e（e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，1+2]B．[12+2，e2﹣2]C．[e2﹣2，+∞）D．[1，e2﹣2]【解答】解：因为h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的函数为：f（x）＝﹣2lnx，所以可得g（x）＝f（x）有零点，即a＝x2﹣2lnx（1≤x≤e）有解，令t（x）＝x2﹣2lnx（1≤x≤e），则t'（x）＝2x−2=2⋅(K1)(r1)，当x∈（1，1）时，t'（x）＜0，则t（x）单调递减，x∈（1，e）时，t（x）＞0，t（x）单调递增，而t（1）=12−2ln1=12+2，t（1）＝12﹣2ln1＝1，t（e）＝e2﹣2lne＝e2﹣2＞o1)，所以t（x）∈[1，e2﹣2]．所以a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选：D．8．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（）A．−13B．−12C．﹣3D．﹣2【解答】解：函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，设x﹣1＝t，则函数f（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）﹣a2有唯一零点，则3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝a2，设g（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t），∵g（﹣t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝g（t），∴g（t）为偶函数，∵函数f（t）有唯一零点，∴y＝g（t）与y＝a2有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，∴3﹣2a＝a2，解得a＝﹣3或a＝1（舍去），故选：C．题型四.复合函数的零点1．已知f（x）＝x2e x，若函数g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，42+24）C．（82，2）D．（42+24，+∞）【解答】解：f′（x）＝2xe x+x2e x＝x（x+2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣2，∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）=42，当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝0．作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）＝t，则当t＝0或t＞42时，关于x的方程f（x）＝t只有1解；当t=42时，关于x的方程f（x）＝t有2解；当0＜t＜42时，关于x的方程f（x）＝t有3解．∵g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0，42）上有1解，在（42，+∞）∪{0}上有1解，显然t＝0不是方程t2﹣kt+1＝0的解，∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0，42）和（42，+∞）上各有1解，∴164−42+1＜0，解得k＞42+24．故选：D．2．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）＝x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．以上都有可能【解答】解：由题意可得，f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两个不同的实数根x1，x2，不妨设x1≠x2，所以3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根f（x）＝x1，f（x）＝x2，若x1＜x2，易得函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，此时f（x）＝x2有2个根，f（x）＝x1可能的根3或2或1，此时关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数5或4或3个，当x1＞x2，同理可得关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数3个，故选：D．3．已知函数f（x）=(12)−4，≤−1B(+1)，＞−1，若f（f（x））＜0，则x的取值范围为（）A．（﹣2，0）B．(−∞，12−1) C．(−2，12−1)D．(−2，−1)∪(12−1，0)【解答】解：令f（x）＝t，则f（t）＜0，t≤﹣1时，(12)−4＜0，所以2﹣t＜4，解得﹣2＜t≤﹣1；t＞﹣1时，ln（t+1）＜0，解得﹣1＜t＜0；综上知，t的取值范围是﹣2＜t＜0，即﹣2＜f（x）＜0．由f（x）＝﹣2，x≤﹣1时，(12)−4＝﹣2，解得x＝﹣1；x＞﹣1时，ln（x+1）＝﹣2，解得x=12−1；综上知，x＝﹣1或=12−1，画出函数f（x）的图象，如图所示：根据分段函数f（x）的图象得，f（f（x））＜0的解集为(−2，−1)∪(12−1，0)．故选：D．4．已知函数f（x）＝x3﹣3x，则函数h（x）＝f[f（x）]﹣c，c∈[﹣2，2]的零点个数（）A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个【解答】解：设t＝f（x），则由y＝f[f（x）]﹣c＝0，得f[f（x）]＝c，即f（t）＝c，t＝f（x），函数f（x）的导数f′（x）＝3﹣3x2，由f′（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，即函数在x＝1，取得极大值f（1）＝3﹣1＝2，函数在x＝﹣1，取得极小值f（﹣1）＝﹣3+1＝﹣2，又由f（﹣2）＝﹣2，f（2）＝2得：若f（t）＝c，c∈（﹣2，2），则方程有三个解，满足﹣2＜t1＜﹣1，0＜t2＜1，1＜t3＜2，则当﹣2＜t1＜﹣1时，方程t＝f（x），有3个根，当0＜t2＜1时，方程t＝f（x），有3个根，当1＜t3＜2时，方程t＝f（x），有3个根，此时共有9个根，若f（t）＝c，c＝2，则方程有两个解，满足t1＝﹣2，t2＝1，则当t1＝﹣2时，方程t＝f（x），有2个根，当t2＝1，有3个根，此时共有5个根，同理f（t）＝c，c＝﹣2时，也共有5个根故选：D．课后作业.函数的零点1．设定义在R上的函数op=2，≤0|l2U，＞0，g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a ＜1时，函数y＝g（x）的零点个数为3个．【解答】解：定义在R上的函数op=2，≤0|l2U，＞0，函数的图象如图：g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y＝g（x）的零点个数，就是y ＝f（x）与y＝a图象的交点个数，由图象可知，零点个数为3个．故答案为：3．2．已知函数f（x）=|+1|，≤0|l2U，＞0，若方程f（x）＝a（a∈R）有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）x4的取值范围是[﹣4，﹣2）．【解答】解：由题意作函数f（x）=|+1|，≤0|l2U，＞0与y＝a的图象如下，，结合图象可知，x1+x2＝﹣2，0＜log2x4≤1，故x1+x2＝﹣2，1＜x4≤2，故﹣4≤（x1+x2）x4＜﹣2，故答案为：[﹣4，﹣2）．3．已知函数op=|BU，＞0|2+4+3|，≤0，若g（x）＝ax（a∈R）使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为[0，1)∪{23−4}．【解答】解：由已知得f（x）得图象如图（1），（1）当a＞0时，要使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同根，则需存在x＞1，使得lnx ＞ax，即a＜B，又y=B的图象如图（2），故0＜a＜1；（2）当a＜0时，由图象（1）知y＝ax需与函数f（x）＝|x2+4x+3|＝﹣x2﹣4x﹣3相切，设切点为（m，n），则y﹣f（m）＝f'（m）（x﹣m），即y﹣（﹣m2﹣4m﹣3）＝（﹣2m﹣4）（x﹣m）过点（0，0），故m2＝3，因为m＜0，故m=−3，所以a＝f'（m）=23−4，（3）当a＝0时，显然符合题意，综上，实数a的取值范围为[0，1)∪{23−4}．故答案为：[0，1)∪{23−4}．4．已知函数f（x）=3−34+32，0≤≤122+12，12＜≤1，g（x）＝e x﹣ax（a∈R），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e﹣2]C．（﹣∞，e−54]D．（﹣∞，e]【解答】解：①当0≤x≤12时，f（x）＝x3−34+32，则f′（x）＝3x2−34≤0在[0，12]上恒成立，所以函数f（x）在区间[0，12]上单调递减，则f（12）≤f（x）≤f（0），即54≤op≤32，②当12＜≤1时，f（x）＝2x+12，函数在区间（12，1]上单调递增，所以f（12）＜f（x）≤f（1），即32＜op≤52，综上，函数f（x）的值域为[54，52]；又g′（x）＝e x﹣a，x∈[0，1]，若a≤0时，则g′（x）＞0，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g （1），即g（x）∈[1，e﹣a]，此时若要满足题意，只需[1，e﹣a]∩[54，52]≠∅，当a≤0时恒成立；若a＞0时，令g′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当0＜a＜e时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g （x）≤e﹣a，又因为[1，e﹣a]∩[54，52]≠∅，所以−≥540＜＜，解得0＜a≤−54，当a＞e时，g（x）在[0，1]上单调递减，所以g（1）≤g（x）≤g（0），即e﹣a≤g（x）≤1，此时[e﹣a，1]∩[54，52]=∅，所以不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）＝g（x2），综上，实数a的取值范围为（−∞，−54]，故选：C．5．已知函数f（x）=，=1(12)|K1|+1，≠1，若方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有5个不同的实数解，则a的范围是（）A．（1，32）∪（32，2）B．（1，2）∪（2，3）C．（1，+∞）D．（1，3）【解答】解：方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0，解得f（x）＝a或f（x）=32，若a=32，f（x）=，=1(12)|K1|+1，≠1，可得x＝1或0或2，不满足题意；则a≠32，由f（x）=32，可得原方程有3个不等实根；只要1+（12）|x﹣1|＝a有2个不等实根即可．由|x﹣1|＞0可得0＜（12）|x﹣1|＜1，即有1＜a＜2，综上可得a∈（1，32）∪（32，2）．故选：A．6．已知f（x）=2−4，≤−1，＞（其中a＜0，e为自然对数的底数），若g（x）＝f[f（x）]在R上有三个不同的零点，则a【解答】解：（1）当x≤a时，f（x）＝x2﹣4，①当x2﹣4≤a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）＝（x2﹣4）2﹣4＝0得x=−2；②当x2﹣4＞a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）=2−4−1＝0得x＝﹣2（2）当x＞a时，f（x）＝e x﹣1，①当e x﹣1≤a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）＝（e x﹣1）2﹣4＝0得e x＝﹣1无解，②当e x﹣1＞a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）=−1−1＝0解得x＝0，因为g（x）＝f（f（x））在R上有三个不同的零点，所以−2≤−2≤0＞，解得：−2≤a＜0，故答案为：[−2，0）．。

函数零点练习题函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标之值，也就是函数f(x)= 0的解。

在数学中，寻找函数的零点是一个常见的问题，因为理解和求解函数的零点有助于我们对函数的性质和行为有更深入的了解。

本文将介绍一些函数零点练习题，帮助读者提高对函数零点的求解能力。

练习一：线性函数的零点首先我们来看一个简单的例子，求解线性函数的零点。

线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

要求解线性函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。

由于线性函数的图像是一条直线，所以零点即为直线与x轴的交点。

例如，考虑函数f(x) = 2x - 3，我们将f(x)置为零得到方程2x - 3 = 0。

解这个方程我们得到x = 3/2，即函数f(x) = 2x - 3与x轴交于点(3/2, 0)。

因此，线性函数f(x) = 2x - 3的零点为x = 3/2。

练习二：二次函数的零点接下来我们来看一个二次函数的例子，求解二次函数的零点。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。

同样地，要求解二次函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。

而求解二次函数的零点，可以通过配方法、因式分解或者求根公式等方式进行。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们将f(x)置为零得到方程x^2 - 4x + 3 = 0。

通过因式分解得到(x - 1)(x - 3) = 0，解这个方程我们得到x = 1和x = 3，即函数f(x) = x^2 - 4x + 3与x轴交于点(1, 0)和(3, 0)。

因此，二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x = 1和x = 3。

练习三：三角函数的零点除了线性函数和二次函数，我们还可以考虑求解三角函数的零点。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的零点是三角函数图像与x轴的交点。

高一数学必修一函数零点试题及解析(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高一数学必修一函数零点试题及解析一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 答案：B解析：∵函数f (x )＝lg x －1x，∴f (2)＝lg2－12＝lg2－lg1012＜0，f (3)＝lg3－13＝lg3－lg1013＞0，∴f (2)f (3)＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为(2,3)，故选B. 2．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝lnx ＋2x ＋a 的零点所在区间是( )B ．(1,2) D ．(2,3) 答案：C解析：解：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，而g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，A ．h 2>h 1>h 4B ．h 1>h 2>h 3C ．h 3>h 2>h 4D ．h 2>h 4>h 1 答案：A解析：饮各自杯中酒的一半，柱形杯中酒的高度变为原来的一半，其他的比一半大，前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高，可排除选项B 、C 、D.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则每件产品的平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件 答案：B解析：若每批生产x 件产品，则平均每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x 8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元．因为y ＝800x ＋x 8＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫800x －x 82＋20≥20，当800x＝x8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件．二、填空题(每小题5分，共15分)7．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧c x，x<AcA，x≥A(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A件产品用时15 min，所以cA＝15 ①；所以必有4<A，且c4＝c2＝30 ②，联立①②解得c＝60，A＝16.8．设函数y＝x3与y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.答案：1解析：画出函数y＝x3和y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x－2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x0<2，所以n＝1.9．若关于x的方程|x|x－2＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：由题意可知k≠0，答案：D解析：⎩⎪⎨⎪⎧m ·e －5a ＝12m ，m ·e－a5＋n＝m8，∴e －5a＝12，e －a (5＋n )＝18∴e －15a ＝e －a (5＋n )，15＝n ＋5，n ＝10.13．(15分)某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大最大月收益是多少解：(1)租金增加了900元，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆．租赁公司的月收益为y 元，y ＝(3 000＋60x )(10－x )－160(100－x )－60x ，其中，x ∈[0,100]，x ∈N ，整理，得y ＝－60x 2＋3 100x ＋284000＝－60⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15562＋972 1253.当x ＝26时，y max ＝324 040，即最大月收益为324 040元． 此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．。

一、选择题 1．函数11y x=-的图象与函数()2sin 24y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 82．设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，则方程的根落在区间（ ）A.B.C. D. 不能确定3．设函数3y x =与21xy =+的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．已知函数() 2 0ln 0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，（k R ∈），若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.2k ≤B.10k -<<C.21k -≤<-D.2k ≤-5．设函数若有三个不等实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.6．定义域为R 的函数lg |x 2|,x 2(x)1,2f x -≠⎧=⎨=⎩，若关于x 的方程2(x)bf(x)c 0f ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345(x x x x)f x ++++的值等于（ ）A.4lg 2B.3lg 2C.2lg 2D.lg 27．已知实数,0,(x)lg(x),x 0,x e x f ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2(x)f(x)t 0f ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为（ ）A.(,2]-∞-B.[1,)+∞C.[2,1]-D.(,2][1,)-∞-+∞8．函数，若方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.9．若函数则当时，函数的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410．已知函数，方程，，则方程的根的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题11．若函数()|21|x f x m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．参考答案1．D【解析】试题分析：由于函数11y x=-与函数()2sin 24y x x π=-≤≤均关于点()1,0成中心对称，结合图形以点()1,0为中心两函数共有8个交点，则有18212x x +=⨯=，同理有2736452,2,2x x x x x x +=+=+=，所以所有交点的横坐标之和为8.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用. 2．B【解析】试题分析：方程的解等价于的零点.由于在上连续且单调递增，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B ．考点：函数的零点． 【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的判定与应用，其中熟记函数零点的判定方法和函数零点的存在性定理是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于基础题，本题的解答中，方程的解等价于的零点，利用函数零点的存在定理，即可得到零点的区间，得到结论．3．B 【解析】 试题分析：设()()()32111210,28410x f x x f f =--=--<=--> ()()120f f ∴<，所以函数在区间(1,2)内有零点，即函数3y x =与21xy =+的图象的交点横坐标0x 所在的区间是()1,2考点：方程的根与函数零点4．D 【解析】试题分析：由下图可得22k k-≥⇒≤-，故选D.考点：函数与方程.5．D【解析】试题分析：由下图可得，故选D.考点：函数与方程.6．B【解析】试题分析：当2x=时，()1f x=，则由2(x)bf(x)c0f++=，所以12,1x c b==--，当2x>时，()log(2)f x x=-，由2(x)bf(x)c0f++=得[lg(2)]blg(2)c0x x-+-+=，解得2lg(2)112x x-=⇒=或3lg(2)210bx b x-=⇒=+，当2x<时，()log(2)f x x=-，由2(x)bf(x)c0f++=得[log(2)]blog(2)c0x x-+-+=，解得4log(2)18x x-=⇒=-或3log(2)210bx b x-=⇒=-，所以12345(x x x x)(10)lg1023lg2f x f++++==-=，x故选B.考点：函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到对数函数的性质，一元二次函数的图象与性质，对数的运算及指数幂的化简等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中按照题设条件分别根据三种情况分类讨论求出关于x 的方程2(x)bf(x)c 0f ++=的5个不同的实数解，即可求解12345(x x x x )f x ++++的值.7．A 【解析】试题分析：设()m f x =，作出函数()f x 的图象，如图所示，则1m ≥时，()m f x =有两个根，当1m <时，()m f x =有一个根，若关于x 的方程2(x)f(x)t 0f ++=有三个不同的实根，则等价为2t 0m m ++=由两个不同的实数根，且1m ≥或1m <，当1m =时，2t =-，此时由220m m +-=，解得1m =或2m =-，满足()1f x =有两个根，()2f x =-有一个根，满足条件；当1m ≠时，设()2t h m m m =++，则()10h <即可，即110t ++<，解得2t <-，综上实数t 的取值范围为2t ≤-，故选A.考点：根的存在性及个数的判断. 【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 8．D【解析】试题分析：方程恰有两个不相等的实数根，等价于函数与图象恰有两个不同的交点，由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意，因为为直线的截距，由图易得上直线的截距为，由可得，由可得，所以的取值范围为，故选D．考点：函数的零点问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、一元二次函数的图象与性质、函数的图象等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的考查，本题的解答中把方程恰有两个不相等的实数根，转化为函数与图象恰有两个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．9．D【解析】试题分析：先作出函数的图象,如图所示.当时,令有,则或,当,存在两个零点;当时,存在两个零点,故函数的零点个数为.选D.考点：根的存在性及个数判断.【方法点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数的判断,属于中档题. 本题方法: 先画出函数的草图，求函数的零点个数,就是求的根的个数,利用分段函数的解析式,得到或,再转化为函数与的图象的交点个数,或者转化为函数与的图象的交点个数.做本题时注意数形结合思想. 10．D【解析】试题分析：因为，所以或，作函数的图象如图，结合图象可知，有两个不同的根，，有三个不同的根，且个根都不相同，故方程的根的个数是，故选D ．考点：分段函数图象与性质．【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质，由于，所以或，作函数的图象，根据图象可知有两个不同的根，，有三个不同的根，合起来就一共有个不同的实根．对于函数根的问题，往往转化为函数图象和值域来求解，有时候也转化为两个函数交点来求解． 11．()0,1 【解析】试题分析：令()0f x =，所以21x m =-有两个交点，画出21x-的图象如下图所示，由图可知()0,1m ∈.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令()0f x =，变为两个函数,21x y m y ==-，先画出21x-的图象，然后将x 轴下方的图象向上翻折，得到21xy =-的图象，由图可知，()0,1m ∈有两个交点.。

函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。

根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。

对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。

2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。

对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。

3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。

对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。

4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。

对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。

二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。

例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。

2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。

数学中的函数零点与极值问题练习题在数学的广袤领域中，函数的零点与极值问题一直是重要的研究课题，也是我们在学习过程中需要重点掌握的内容。

下面，让我们通过一系列的练习题来加深对这两个概念的理解和应用。

一、选择题1、函数$f(x)＝x^3 3x ＋ 1$的极小值为（）A －1B 1C 3D －3解析：对$f(x)＄求导得$f'（x)＝3x^2 3$，令$f'（x)＝0$，解得$x=＼pm 1$。

当$x ＜－1$时，＄f'（x) ＞ 0$；当$－1 ＜ x ＜ 1$时，＄f'（x) ＜ 0$；当$x ＞ 1$时，＄f'（x) ＞ 0$。

所以$x=1$为极小值点，＄f(1)＝1 3 ＋ 1 ＝－1$，故选 A。

2、函数$f(x)＝x^2 2\ln x$的零点个数为（）A 0B 1C 2D 3解析：对$f(x)＄求导得$f'（x)＝2x ＼frac{2}｛x}＝＼frac{2(x^2 1)｝｛x}＄，令$f'（x)＝0$，解得$x=＼pm 1$（舍去负根）。

当$0 ＜ x ＜1$时，＄f'（x) ＜ 0$；当$x ＞ 1$时，＄f'（x) ＞ 0$。

所以$f(x)＄在$x=1$处取得极小值，＄f(1)＝1 ＞ 0$。

又因为当$x$趋近于$0$时，＄f(x)＄趋近于正无穷；当$x$趋近于正无穷时，＄f(x)＄也趋近于正无穷。

所以函数$f(x)＄有两个零点，故选 C。

3、已知函数$f(x) ＝ x^3 ＋ ax^2 ＋ bx ＋ c$，在$x ＝－2$处取得极值，且它的图像与直线$y ＝－3x ＋ 3$在点$（1,0)＄处相切，则（）A ＄a ＝ 2$，＄b ＝ 4$，＄c ＝ 5$B ＄a ＝－2$，＄b ＝－4$，＄c ＝ 5$C ＄a ＝ 1$，＄b ＝ 0$，＄c ＝ 2$D ＄a ＝－1$，＄b ＝－2$，＄c ＝ 1$解析：因为函数在$x ＝－2$处取得极值，所以$f'（－2) ＝ 0$。