高考数学一轮复习 圆的方程课时作业41 文 北师大版

课后限时集训(四十四)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1A [设圆心为(0，a )， 则1－02＋2－a2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A ．]2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2019·广东六校模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 D [设所求圆的圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝33×a ＋22，b a －2＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.]4．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A ．]5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C ．]二、填空题6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝2＋12＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.]7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254[由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2，得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.]8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆C 坐标为(0，－1)．]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )． 由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2， 解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10， 得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.B 组 能力提升1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________．(x －1)2＋(y －3)2＝2 [圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.]4．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解] (1)因为圆C 过原点O ，所以|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5， 此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， |OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞ 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 即为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。

课时作业(四十六)B 第46讲 圆的方程时间：35分钟 分值：80分基础热身1．圆(x －3)2＋(x ＋1)2＝2的圆心和半径分别为( ) A ．(－3,1)，2 B ．(－3,1)， 2C ．(3，－1)， 2D ．(3，－1)，22．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝53．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( ) A ．2 2 B.2－1C ．22－1D ．14．若原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝8的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．－22<m <2 2 B ．0<m <2 2 C ．－2<m <2 D ．0<m <2 能力提升5．2011·银川一中二模 x 2＋y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )6．曲线x 2＋y 2＋22x －22＝0关于( ) A ．直线x ＝2轴对称 B ．直线y ＝－x 轴对称 C ．点(－2，2)中心对称D ．点(－2，0)中心对称7．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点轨迹是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝1 D ．(2x －3)2＋4y 2＝1 8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( ) A ．(－23，4) B ．－23，4C ．－4,4D ．－4,2 39．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．10．在圆x 2＋y 2＝9上，到直线3x ＋4y ＋24＝0的距离最小的点的坐标是________．11．在平面区域⎩⎨⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________．12．(13分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋(m －2)x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0，根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．(1)圆的面积最小；(2)圆心距离坐标原点最近．难点突破13．(12分)已知定点A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，动点P满足：·＝k||2.(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；(2)当k＝2时，求|2＋|的最大、最小值．课时作业(四十六)B【基础热身】1．C 解析 圆心坐标为(3，－1)，半径为 2. 2．A 解析 把x ，y 分别换成－x ，－y 即得．3．C 解析 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.4．C 解析 依题意，得m 2＋m 2<8，∴－2<m <2. 【能力提升】5．C 解析 x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0等价于x －1＝0，或者lg(x 2＋y 2－1)＝0，即等价于x ＝1或x ≥1且x 2＋y 2＝2.选项C 中的图形正确．6．D 解析 把x 2＋y 2＋22x －22＝0化为(x ＋2)2＋y 2＝2＋22，可知，该曲线为圆，选项中两条直线都不经过圆心，所以只有关于圆心对称．7．D 解析 设圆上任意一点为A (x ′，y ′)，AB 的中点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝3＋x ′2，y ＝y ′2，即⎩⎨⎧x ′＝2x －3，y ′＝2y ，由于A (x ′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以满足x ′2＋y ′2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.8．B 解析 由于y ≥0，∴x 2＋y 2＝4表示上半圆，又3x ＋y －m ＝0是直线(如图)，且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2,0)时，m ＝－2 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈－23，4．9.⎝⎛⎭⎫185，245 解析 设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2， 显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时＝－6，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫185245.10.⎝⎛⎭⎫－95，－125 解析 由于直线和圆相离，过圆心O 作直线OQ ⊥直线3x ＋4y ＋24＝0，交圆于点Q ，则点Q 即为所求点，设Q 点坐标为(x ，y )，则k OQ ＝y x ＝43①，又Q 在圆上，∴x 2＋y 2＝9②，由①②解得x ＝－95，y ＝－125，即所求的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－95，－125. 11．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 解析 作图知(图略)，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.12．解答 (1)因为(m －2)2＋(m ＋1)2－4(m －2)＝2m 2－6m ＋13＝2⎝⎛⎭⎫m －322＋172恒成立，无论m 为何值，方程总表示圆．圆心坐标⎝⎛⎭⎫2－m 2，－m ＋12，圆的半径为r ＝122m 2－6m ＋13.圆的半径最小时，面积最小，r ＝122m 2－6m ＋13＝122⎝⎛⎭⎫m －322＋172≥344， 当且仅当m ＝32时，等号成立，此时面积最小．所以当圆的面积最小时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫14，－54，半径r ＝344.(2)圆心到坐标原点的距离d ＝122⎝⎛⎭⎫m －122＋92≥324.当且仅当m ＝12时，距离最近．此时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，－34，半径r ＝424.【难点突破】13．解答 (1)设动点坐标P 为(x ，y )，则＝(x ，y －1)，＝(x ，y ＋1)，＝(1－x ，－y )．因为·＝k ||2，所以x 2＋y 2－1＝k (x －1)2＋y 2，即(1－k )x 2＋(1－k )y 2＋2kx －k －1＝0.若k ＝1，则方程为x ＝1，表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；若k ≠1，则方程化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 1－k 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫11－k 2，表示以⎝⎛⎭⎫k k －10为圆心，以1|1－k |为半径的圆．(2)当k ＝2时，方程化为(x －2)2＋y 2＝1， 因为2＋＝(3x,3y －1)， 所以|2＋|＝9x 2＋9y 2－6y ＋1.又x 2＋y 2＝4x －3，所以|2＋|＝36x －6y －26.方法1：问题归结为求6x －y 的最值，令t ＝6x －y ，由于点P 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，故圆心到直线t ＝6x －y 的距离不大于圆的半径， 即|12－t |37≤1，解得12－37≤t ≤12＋37，结合|2＋|＝36x －6y －26，得|2＋|的最大值为46＋637＝3＋37，最小值为46－637＝37－3.方法2：因为(x －2)2＋y 2＝1，所以令x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， 则36x －6y －26＝637cos(θ＋φ)＋46∈46－637，46＋637． 所以|2＋|的最大值为46＋637＝3＋37， 最小值为46－637＝37－3.。

课时规范练46 圆的方程基础巩固组1.(2018河北涞水月考,5)圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,则圆的面积为()A.9πB.πC.2πD.由m的值而定2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x-1)2+(y+3)2=29C.(x+1)2+(y-3)2=116D.(x-1)2+(y+3)2=1163.(2018四川阆中中学期中,4)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1或a>1D.a=±14.(2018贵州凯里期末,6)设圆x2+y2-4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y-4=0的距离为d,则d的取值范围是()A.[0,3]B.[2,4]C.[3,5]D.[4,6]5.(2018甘肃兰州诊断,7)半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=2均相切,则该圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y+2)2=46.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为()A.2B.-2C.1D.-17.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.8.若直线l:2ax-by+2=0(a>0,b>0)与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则|OA|+|OB|(O为坐标原点)的最小值为.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为.综合提升组11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.-C.[-]D.-12.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.创新应用组15.(2018安徽定远重点中学月考,16)如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.参考答案课时规范练46 圆的方程1.B∵圆的方程是x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0,∴圆心坐标是(2m+1,m),∵圆心在直线x+y-4=0上,∴2m+1+m-4=0,解得m=1,∴圆的方程是x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1,∴半径r=1,圆的面积S=πr2=π,故选B.2.B由题意知以线段AB为直径的圆的圆心为点,,即(1,-3),其半径为=,故以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29.故选B.3.A∵点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.故选A.4.C由题得圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=1,所以圆心坐标为(2,-2),半径为1.所以圆心到已知直线的距离为=4,所以动点P到已知直线的最短距离为4-1=3,最大距离为4+1=5,故选C.5.C设圆心坐标为(2,-a)(a>0),则圆心到直线x+y=2的距离d==2,所以a=2,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4.6.D曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.7.(x-1)2+y2=2由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为=.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.3+2由题意可得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2),半径为2,而直线l被圆截得的弦长为4,所以直线过圆心,所以a+b=1,又A-,0,B0, ,所以|OA|+|OB|=+=+(a+b)≥=3+2,当且仅当b=a时等号成立.9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得解得或所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使∠OMN=45°,则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.当∠AOM=45°时,x0=±1.∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].12.6方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),·=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故·的最大值为6.方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),·=2x+4,故·的最大值为6.13.解 (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.又|QC|==4>2,所以点Q在圆C外,所以|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.(2)由题意可知表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则=k.因为直线MQ与圆C有交点,所以≤2,所以2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.14.解 (1)将圆C的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由=,得k=2±,∴切线方程为y=(2±)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0(a≠0),由=,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.∴切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,圆的切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得+=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO⊥l,∴直线PO的方程为2x+y=0.解方程组得点P的坐标为-,.15.①②④当-2≤x≤-1,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,当-1≤x≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为的圆,当1≤x≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,当3≤x≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,∴函数y=f(x)的周期是4.画出函数y=f(x)的部分图像如图所示.①根据图像的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.②由图像可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.(x-2)2+(y-1)2=5由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r==,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。

课时规范练41 圆及其方程基础巩固组1.圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0),B (1,0)的圆的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=√5 C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=√52.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4B.5C.6D.73.已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( ) A.12√2B.3√2C.6√2D.4√24.已知P 为圆C :(x-1)2+(y-2)2=4上的一点,点A (0,-6),B (4,0),则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.√26+2 B.√26+4 C.2√26+4D.2√26+2 5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A (8,0),以OA 为直径的圆与直线y=2x 在第一象限的交点为B ,则直线AB 的方程为( ) A.x+2y-8=0 B.x-2y-8=0 C.2x+y-16=0 D.2x-y-16=06.(多选)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0),且被x 轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C 的方程可能为( ) A.x 2+(y +√33)2=43B.x 2+(y -√33)2=43C.(x-√3)2+y 2=43D.(x+√3)2+y 2=437.(多选)已知点A (-1,0),B (0,2),P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,若△PAB 面积的最大值为a ,最小值为b ,则 ( )A.a=2B.a=2+√52 C.b=2-√52D.b=√52-18.在平面直角坐标系xOy 内,若曲线C :x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0上所有的点均在第四象限内,则实数a 的取值范围为 .9.(2020福建厦门一模)在△ABC 中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P 在以点A 为圆心,半径为1的圆上,则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 综合提升组10.(2020福建厦门双十中学高三月考)阿波罗尼斯(约公元前262—公元前190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (k>0,k ≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ,B 间的距离为2,动点P 满足|PA ||PB |=√2,当P ,A ,B 不共线时,三角形PAB 面积的最大值是( )A.2√2B.√2C.2√23D.√2311.设点P是函数y=-√4-(x-1)2的图像上的任意一点,点Q(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为()A.8√55-2 B.√5C.√5-2D.7√55-212.点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b均为正实数,则1a+1+1b的最小值为.13.有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,现P地的居民从A,B两地之一购得商品后回运的运费是:A地每公里的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地相距10 km,居民选择A或B地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.(1)求P地的居民选择A地或B地购物总费用相等时,点P所在曲线的形状;(2)指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.创新应用组14.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.参考答案课时规范练41圆及其方程1.A 由题意可知圆心在直线x=-1上.又圆心在直线x+y=0上,所以圆心的坐标为(-1,1).所以半径r=√(-1+3)2+(1-0)2=√5.所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A .2.A 设圆心C (x ,y ),则√(x -3)2+(y -4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C 的轨迹是以M (3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5,所以|OC|≥5-1=4,当且仅当C 在线段OM 上时,等号成立. 3.A 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆的圆心坐标为(3,4),半径为3,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意,知最长弦AC 为圆的直径,最短弦BD 与最长弦AC 垂直,故|BD|=2√32-12=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2.故选A . 4.C 取AB 的中点D (2,-3),则PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 由已知得C (1,2),半径r=2,所以|CD|=√(1-2)2+(2+3)2=√26.又P 为圆C 上的点,所以|PD|max =|CD|+r=√26+2,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√26+4.故选C . 5.A如图,由题意知OB ⊥AB ,因为直线OB 的方程为y=2x ,所以直线AB 的斜率为-12,所以直线AB 的方程为y-0=-12(x-8),即x+2y-8=0.故选A .6.AB 由已知得圆C 的圆心在y 轴上,且被x 轴所分得的劣弧所对的圆心角为2π3,设圆心的坐标为(0,a ),半径为r ,则r sin π3=1,r cos π3=|a|,解得r=2√33,即r 2=43,|a|=√33,即a=±√33.故圆C 的方程为x 2+(y +√33)2=43或x 2+(y -√33)2=43.7.BC 由题意知|AB|=√(-1)2+(-2)2=√5,直线l AB 的方程为2x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆心到直线l AB 的距离d=√4+1=4√55.因为P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,所以点P 到直线l AB 的距离的最大值为4√55+1,最小值为4√55-1.所以△PAB 面积的最大值为12×√5×(4√55+1)=2+√52,最小值为12×√5×(4√55-1)=2-√52.故a=2+√52,b=2-√52.8.(-∞,-2) 由x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0,得(x+a )2+(y-2a )2=4,所以曲线C 为圆,圆心坐标为(-a ,2a ),半径r=2.由题意知{a <0,|-a |>2,|2a |>2,解得a<-2.故实数a 的取值范围为(-∞,-2).9.5-2√7如图,以A 为原点,AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则点A (0,0),B (4,0),C (1,√3).设点P (x ,y ),则PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,-y ),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,√3-y ),所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.则(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1,所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7. 10.A 以经过A ,B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,则A (-1,0),B (1,0).设P (x ,y ),因为|PA ||PB |=√2,所以√(x+1)2+y 2√(x -1)+y 2=√2,两边平方并整理,得x 2+y 2-6x+1=0,即(x-3)2+y 2=8,当点P 到AB (x 轴)的距离最大时,三角形PAB 的面积最大,此时面积为12×2×2√2=2√2.故选A .11.C 由题意可知点P 在半圆C :(x-1)2+y 2=4(y ≤0)上,圆心C (1,0),半径r=2,设点Q 的坐标为(x ,y ),则{x =2a ,y =a -3,消去a 得x-2y-6=0,即点Q 在直线l :x-2y-6=0上.如图,过圆心C 作直线l 的垂线,垂足为A ,则|CA|=√5.故|PQ|min =|CA|-r=√5-2.故选C .12.1 由x 2-4x+y 2-21=0,得(x-2)2+y 2=25,则曲线C 表示圆心为(2,0),半径为5的圆.t=x 2+y 2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a.设d=√(x +6)2+(y -6)2,则d 表示圆C 上的点到点(-6,6)的距离,则d max =√(2+6)2+(0-6)2+5=15,故t max =152-222-a=b ,整理得a+1+b=4,所以1a+1+1b =141a+1+1b (a+1+b )=14×1+ba+1+a+1b+1≥14×(2+2)=1,当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时等号成立.所以1a+1+1b 的最小值为1.13.解(1)以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系,则A (-5,0),B (5,0),设P 地的坐标为(x ,y ),且P 地到A ,B 两地购物的运费分别是3a ,a (单位:元/公里),当P 地到A ,B 两地购物总费用相等时,即价格+A 地运费=价格+B 地运费,得3a √(x +5)2+y 2 =a √(x -5)2+y 2, 整理得(x +254)2+y 2=(154)2. 故P 地的居民选择A 地或B 地购物总费用相等时,点P 所在曲线的形状是圆. (2)若居民在A 地购货费用较低时,即价格+A 地运费<价格+B 地运费,得3a √(x +5)2+y 2<a √(x -5)2+y 2,化简得(x +254)2+y 2<(154)2,所以,此时点P 在圆(x +254)2+y 2=(154)2内,即圆内的居民从A 地购货费用较低.同理,圆外的居民从B 地购货费用较低. 14.解令y=0,得x 2-mx+2m=0.设点A (x 1,0),B (x 2,0),则Δ=m 2-8m>0,即m<0或m>8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,故点C (0,2m ).(1)若存在以AB 为直径且过点C 的圆,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0,解得m=0或m=-12.因为m<0或m>8,所以m=-12,此时点C (0,-1),所求圆的圆心为线段AB 的中点M (-14,0),半径r=|CM|=√174,故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716.(2)证明:设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx+Ey+2m=0,将点C (0,2m )的坐标代入,可得E=-1-2m ,所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx-(1+2m )y+2m=0, 整理得x 2+y 2-y-m (x+2y-2)=0.令{x 2+y 2-y =0,x +2y -2=0,解得{x =0,y =1或{x =25,y =45.故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)和(25,45).。

A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A2．(2011·咸阳检测(二))圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案 A3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )． A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5. 答案 D4．(2011·北京海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2. 因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5．(2011·合肥模拟)已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )． A.95 B ．1 C.45 D.135解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．解析 线段AB 的中垂线方程为2x －y －4＝0，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为|CB |＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案 (x －2)2＋y 2＝107．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线的方程是________． 解析 易知点C 的坐标为(－1,0)，而所求直线与x ＋y ＝0垂直，所以所求直线的斜率为1，故所求直线的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝08．(2012·成都检测)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.答案2三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·盐城一调)经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程． 解 法一 设圆的一般方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0，即圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.法二 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.10．(12分)已知一等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，求另一底角顶点C (x ，y )的轨迹．解 由|AB |＝|AC |，得x －32＋y －202＝3－32＋20－52，整理得：(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)，故底角顶点C 的轨迹是以点(3,20)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)．B 级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·杭州调研)若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )． A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6]解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A2．(2011·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着 直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是z 小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的 图形大致是( )．解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处位置为点M ′，则大圆圆弧 的长与小圆圆弧 的长之差为0或2π.切点A 在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A 在第三象限为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧 的长为l 1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧 的长为l 2＝2θ×1＝2θ，则l 1＝l 2，即小圆的两段圆弧 与 的长相等，故点M 1与点M ′重合．即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动．点A 在其他象限类似可得，故M ，N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项知，只有选项A 符合．故选A. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l AB 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案 3－ 24．(2012·重庆三校联考)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________． 解析 设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22，即为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9 三、解答题(共22分)5．(10分)求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．解 法一 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2，∴r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14，①由于所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.② 又因为所求圆心在直线3x －y ＝0上， ∴3a －b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9. 法二 设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F .令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由圆与x 轴相切，得Δ＝0，即D 2＝4F .又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22.由已知，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 222＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )⑤ 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线3x －y ＝0上， ∴3D －E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－2，E ＝－6，F ＝1或D ＝2，E ＝6，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0.6．(★)(12分)(2011·北京西城模拟)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．思路分析 第(2)问画出曲线C 及l 1的图象，结合条件断定|QM |取最小值的情况． 解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图， 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， |CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.【点评】 解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系．解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面： (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (2)研究图形的形状、位置关系、性质等．。

课时分层训练(四十三) 圆的方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2B ．22C ．1D ． 2D [圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)． 故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2.]2．(2017·山西运城二模)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )【导学号：00090276】A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0D [易知圆心坐标为(2，－1)． 由于直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴该直径所在直线的斜率k ＝－2.故所求直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.]3．(2018·厦门模拟)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A 、B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4A [由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A ．]4．(2018·太原模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C ．]5．(2017·重庆四校模拟)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．2B [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]二、填空题6．(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 【导学号：00090277】(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]7．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，则k CM ＝1－02－1＝1.∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y－1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝2－12＋－1－02＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.] 三、解答题9．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．[解] 法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )， 2分 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，5分 解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，8分圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12分法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 2分依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ， 6分解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，10分 所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12分10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．【导学号：00090278】[解] (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 2分 所以圆C 1的圆心坐标为(3,0).5分(2)设M (x ，y )，依题意C 1M →·OM →＝0，所以(x －3，y )·(x ，y )＝0，则x 2－3x ＋y 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.7分又原点O (0,0)在圆C 1外，因此中点M 的轨迹是圆C 与圆C 1相交落在圆C 1内的一段圆弧．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，x 2＋y 2－6x ＋5＝0，消去y 2得x ＝53，因此53＜x ≤3.10分 所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·佛山模拟)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( ) A ．6 B ．25 C ．26D ．36D [(x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝5－22＋－42＝5.则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.] 2．(2018·西安模拟)若过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点分别为A ，B ，则△APB 的外接圆的方程为________．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [圆x 2＋y 2＝4的圆心坐标为O (0,0)，由题意知△APB 的外接圆是以OP 为直径的圆，又线段OP 的中点M (2,1)，|OP |＝25，因此所求外接圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]3．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值． [解] (1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0， 2分则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. 5分(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 8分令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.12分。

课时规范练61 圆的方程基础巩固练1.以点A(1,-1)为圆心,且经过点B(0,1)的圆的一般方程是( )A.x2+y2-2x-2y-7=0B.x2+y2-2x+2y-7=0C.x2+y2-2x+2y-3=0D.x2+y2-2x+2y+3=02.已知点P(4,-2),点Q是圆的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(是圆C:x2+(y-1)2=4上的任意一点,点N(2√3,3),则|MN|的最大值为( )A.3B.4C.5D.64.(甘肃定西模拟)若点(2,1)在圆x2+y2-x+y+a=0的外部,则a的取值范围是( ),+∞)A.(12)B.(-∞,12C.(-4,12)D.(-∞,-4)∪(12,+∞)5.(全国Ⅲ,文6)在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则点C 的轨迹为( ) A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线6.已知点P 为圆C:(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A(0,-6),B(4,0),则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.√26+2 B.√26+4C.2√26+4D.2√26+27.(多选题)已知圆M 的标准方程为(的圆心为(4,-3) B.点(1,0)在圆内 C.圆M 的半径为5 D.点(-3,1)在圆内8.(多选题)已知实数x,y 满足方程x 2+y 2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是( ) A.y x 的最大值为43B.yx的最小值为0 C.x 2+y 2的最大值为√5+1D.x+y的最大值为3+√29.圆心在直线x+y=0上,且过点(0,2),(-4,0)的圆的标准方程为.10.(山东威海模拟)在平面直角坐标系中,过A(-2,4),B(2,6),C(-1,-3),D(2,-4)四点的圆的方程为.综合提升练11.(北京平谷模拟)点M,N在圆C:y-4=0上,且M,N两点关于直线x-y+1=0对称,则圆C的半径( )A.最大值为√22B.最小值为√22C.最小值为3√22D.最大值为3√22的最小值12.已知点M(x,y)为圆C:x2+y2-4Q|的最大值是;y-3x+2是.13.已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程是.创新应用练14.(湖北襄阳模拟)已知在平面直角坐标系满足|MA|=2|MO|.若对任意实数k,直线l:y=k(的轨迹恒有公共点,则b的取值范围是( )A.[-√133,√133] B.[-√143,√143]C.[-√153,√153] D.[-43,43]课时规范练61 圆的方程1.C 解析由题意得,圆的半径r=|AB|=√(0-1)2+(1+1)2=√5,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆的一般方程为x 2+y 2-2x+2y-3=0. 2.A 解析设Q((x,y), 则{x =x 1+42,y =y 1-22,可得{x 1=2x -4,y 1=2y +2. 又点Q 在圆x 2+y 2=4上,代入x 2+y 2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.3.D 解析圆C:x 2+(y-1)2=4的圆心C(0,1),半径为r=2,由于|NC|=√(2√3)2+(3-1)2=4>2,∴点N 在圆外.∴|MN|max =|NC|+r=4+2=6.4.C 解析依题意,方程x 2+y 2-x+y+a=0表示圆,则(-1)2+12-4a>0,解得a<12.由点(2,1)在圆x 2+y 2-x+y+a=0的外部,可知22+12-2+1+a>0,得a>-4.故-4<a<12,即a 的取值范围是(-4,12).5.A 解析以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系.(图略)设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+a,y),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-a,y),由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得(x+a)(x-a)+y 2=1,整理得x 2+y 2=a 2+1,即点C 的轨迹为圆.故选A.6.C 解析取AB 的中点D(2,-3),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2PD⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵|DC|=√(2-1)2+(-3-2)2=√26>2,∴点D 在圆C 之外.|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆心C(1,2)与D(2,-3)的距离d 再加上圆C 的半径, 即|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√26+2. ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2(√26+2). ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为2√26+4. 7.ABC 解析圆M:(x-4)2+(y+3)2=25的圆心为(4,-3),半径为5,AC 正确; 由(1-4)2+(0+3)2=18<25,得点(1,0)在圆内,B 正确;由(-3-4)2+(1+3)2=65>25,得点(-3,1)在圆外,D 错误.故选ABC. 8.ABD解析由实数x,y 满足方程x 2+y 2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,作其图象如图所示.因为yx 表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k -1|√k 2+1=1,解得k=0或k=43,则yx∈[0,43],(yx)main =0,故A,B 正确;x 2+y 2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x 2+y 2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=√22+12,所以x 2+y 2的最大值为6+2√5,故C 错误; 因为x 2+y 2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,故可设x=2+cosθ,y=1+sinθ,θ为参数,所以x+y=2+cosθ+1+sinθ=3+√2sin(θ+π4),所以当θ=π4时,即x=2+√22,y=1+√22时,x+y 取最大值,最大值为3+√2,故D 正确.故选ABD.9.(x+3)2+(y-3)2=10 解析过点(0,2)与点(-4,0)的直线的斜率为k=2-00-(-4)=12,以点(0,2)和(-4,0)为端点的线段的中点为(-2,1),所以该线段的垂直平分线的方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.圆心在直线x+y=0与直线2x+y+3=0上,由{2x +y +3=0,x +y =0,解得{x =-3,y =3,所以圆心为(-3,3),圆的半径r=√(-3)2+(3-2)2=√10,所以圆的标准方程为(x+3)2+(y-3)2=10.10.x 2+y 2-4x-2y-20=0 解析设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A,C,D 的坐标分别代入,可得{20-2D +4E +F =0,10-D -3E +F =0,20+2D -4E +F =0,解得{D =-4,E =-2,F =-20.则可得圆的方程为x 2+y 2-4x-2y-20=0.将B(2,6)的坐标代入方程,也成立.故圆的方程为x 2+y 2-42+4,所以圆心C 为(-k,-m),半径为r=√k 2+m 2+4. 由题意可得直线),故有-k+m+1=0,即k=m+1,所以半径为r=√k 2+m 2+4=√(m +1)2+m 2+4=√2(m +12) 2+92≥3√22,当m=-12时,圆C 的半径的最小值为3√22. 12.6√2 2-√3 解析(1)圆C 的方程可化为(x-2)2+(y-7)2=8,因为|QC|=√(-2-2)2+(3-7)2=4√2>2√2,所以点Q 在圆外.如图所示,连接QC 交圆C 于A,B 两点,当点M 与点B 重合时|MQ|取得最大值即4√2+2√2=6√2.(2)易知直线MQ 的斜率为k=y -3x+2,由图形知当直线MQ 与圆C 相切时,其斜率取得最值,如图所示.直线MQ 的方程为y=k(x+2)+3,即kQ 的距离为|4k -4|√k 2+1=2√2,解得k=2±√3,故所求最小值为2-√3.13.,如图所示.因为四边形APBQ 为矩形,所以点M 为AB,PQ 的中点,连接OM,可知OM ⊥AB.设M(|2=|OA|2-|OM|2=36-(x M 2+y M 2).①又在Rt △APB 中,有|AM|=|PM|=√(x M -4)2+y M 2.② 由①②得x M 2+y M 2-4的轨迹是圆.因为点M 是PQ 的中点,设Q(=x+42,y M =y2,代入点M 的轨迹方程中得(x+42)2+(y 2)2-4×x+42-10=0,整理得(A|=2|MO|,∴(x+2)2+y 2=4的轨迹为圆C:x 2+y 2-4x 3−43=0.又直线l:y=k(x-1)+b 恒过点(1,b),∵对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b 与圆C 恒有公共点,∴点(1,b)在圆C 的内部或圆C 上,所以12+b 2-43−43≤0,所以b 2≤53,解得-√153≤b ≤√153,即b 的取值范围是[-√153,√153].。

课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。

2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业41圆的方程一、选择题1．[2011·安徽卷] 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.答案：B2．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2. 答案：D3．(2010年广东广州模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C4．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14)C ．(－14，0)D ．[－14，＋∞)解析：配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心(－1,2)在直线上． ∴a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b2)2＝14.∴选A. 答案：A5．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9解析：设圆心(a ，3a )(a >0)，则圆心到直线的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5，而d ≥15(23·12a ＋3)＝3，当且仅当3a ＝12a，即a ＝2时，取“＝”，此时圆心为(2，32)，半径为3，圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9. 答案：C6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：PQ 中点M (1,2)，∴k OM ＝21＝2.∴k PQ ＝－12.∴l PQ ：y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：B 二、填空题7．若过点A (－2,0)的圆C 与直线3x －4y ＋7＝0相切于点B (－1,1)，则圆C 的半径长等于________．解析：圆心在过B (－1,1)且与直线3x －4y ＋7＝0垂直的直线l 1：4x ＋3y ＋1＝0上．圆心也在线段AB 的中垂线l 2：x ＋y ＋1＝0上．解方程组4x ＋3y ＋1＝0，,x ＋y ＋1＝0 得x ＝2，,y ＝－3即圆C 的圆心是(2，－3)，所以半径等于5. 答案：58．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)9．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意列出方程组a 2＋b 2＝r 2,a －12＋b －12＝r 2，,2a ＋3b ＋1＝0解之得a ＝4,b ＝－3,r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0. 联立3x －y －1＝0,x ＋y －3＝0， 得x ＝1,y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11． [2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组x －y ＋a ＝0，,x －32＋y －12＝9 消去y ，得到方程 2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.12．(2010年烟台一模)在平面直线坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2,b ＝2或a ＝2,b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2,b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意， 则m －42＋n 2＝42，,m 2＋n 2≠0，,m ＋22＋n －22＝8解得m ＝45， n ＝125故圆C 上存在异于原点的点Q (45，125)符合题意．。

课时规范练40 圆的方程基础巩固组1.与圆(x-1)2+y 2=4圆心相同且过点P (-2，4)的圆的标准方程为( ) A.(x-1)2+y 2=17 B.(x+1)2+y 2=25 C.(x+1)2+y 2=17D.(x-1)2+y 2=252.若点P (1，1)在圆C :x 2+y 2+x-y+k=0外，则实数k 的取值范围是( ) A.(-2，+∞) B.[-2,-12)C.(-2,12)D.(-2，2)3.(2021安徽合肥第六中学模拟)点M (0，1)与圆x 2+y 2-2x=0上的动点P 之间的最近距离为( ) A.√2B.2C.√2+1D.√2-14.(2021北京高三二模)已知实数x ，y 满足x 2+y 2+4x-6y+12=0，则x 的最大值是( ) A.3B.2C.-1D.-35.已知圆M 的一般方程为x 2+y 2-8x+6y=0，则下列说法中错误的是( ) A.圆M 的圆心为(4，-3) B.圆M 截x 轴所得的弦长为8 C.圆M 的半径为25D.圆M 截y 轴所得的弦长为66.已知圆C 关于y 轴对称，过点(1，0)，且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程可能为( ) ①x 2+(y +√33)2=43 ②x2+(y -√33)2=43③(x-√3)2+y 2=43④(x+√3)2+y 2=43A.①②B.②③C.③④D.①④7.(2021江苏扬州中学模拟)已知a ∈R ，方程a 2x 2+(a+2)y 2+2x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是 .8.过圆x 2+y 2-4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 .9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 截x 轴所得的线段长为2√2，截y 轴所得的线段长为2√3. (1)求圆心P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y=x 的距离为√22，求圆P 的方程.综合提升组10.(2021重庆巴蜀中学高三月考)圆C 为过点P (4，3)，Q (2，5)的圆中最小的圆，则圆C 上的任意一点M 到原点O 距离的取值范围为( ) A.[2，5]B.[3，6]C.[5-2√2，5+2√2]D.[5-√2，5+√2]11.实数x ，y 满足x 2+y 2+2x=0，则下列关于yx -1的判断正确的是( ) A.yx -1的最大值为√3 B.y x -1的最小值为-√3 C.yx -1的最大值为√33 D.y x -1的最小值为012.已知等腰三角形ABC 的底边BC 对应的顶点是A (4，2)，底边的一个端点是B (3，5)，则底边另一个端点C 的轨迹方程是 .13.在△ABC 中，AB=4，AC=2，A=π3，动点P 在以点A 为圆心，半径为1的圆上，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .14.已知圆O :x 2+y 2=1，点A (-1，0)，B (1，0)，且点P 是圆O 上异于A ，B 的动点. (1)证明:k AP k BP 是定值;(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为点Q ，点M 满足2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点M 的轨迹方程; (3)在(2)的条件下证明:k AM k BM 是定值.创新应用组15.(2021江苏南京雨花台中学月考)现有△ABC ，AC=6，sin C=2sin A ，则当△ABC 的面积最大时，BC 的长为 .课时规范练40 圆的方程1.D 解析:由圆(x-1)2+y 2=4的方程可知圆心为(1，0). 设所求圆的方程为(x-1)2+y 2=r 2， 代入(-2，4)得(-2-1)2+42=r 2，解得r=5， 所以圆的标准方程为(x-1)2+y 2=25. 故选D .2.C 解析:由题意得{1+1+1−1+k >0,1+1−4k >0,解得-2<k<12.故选C .3.D 解析:将圆x 2+y 2-2x=0化为标准方程得(x-1)2+y 2=1， 所以圆心为(1，0)，半径为1，所以点M 到圆心的距离为√(0-1)2+(1−0)2=√2， 所以点M 与圆上的动点P 之间的最近距离为√2-1. 故选D .4.C 解析:方程可化为(x+2)2+(y-3)2=1，所以(x ，y )在圆心(-2，3)，半径r=1的圆上，所以x 的最大值是-2+1=-1. 故选C .5.C 解析:由x 2+y 2-8x+6y=0，得(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M 的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，圆M 截x 轴所得的弦长为8，圆M 截y 轴所得的弦长为6.故选C .6.A 解析:由已知得圆C 的圆心在y 轴上，且被x 轴所截得的劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心的坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3=1，r cos π3=|a|，解得r=2√33，即r 2=43，|a|=√33，即a=±√33.故圆C 的方程为x 2+(y+√33)2=43或x2+(y -√33)2=43.故选A .7.(-1，-4) 解析:因为方程a 2x 2+(a+2)y 2+2x+8y+5a=0表示圆，所以a 2=a+2≠0，解得a=-1或a=2. 当a=-1时，方程x 2+y 2+2x+8y-5=0，即(x+1)2+(y+4)2=22，所求圆的圆心坐标为(-1，-4);当a=2时，方程4x 2+4y 2+2x+8y+10=0，即x 2+y 2+12x+2y+52=0，此时(12)2+22-4×52=-234<0，方程不表示圆.综上所述，圆心坐标是(-1，-4).8.x-2y-2=0 解析:由x 2+y 2-4x=0，得(x-2)2+y 2=4， 所以圆心为(2，0).由2x+y=0得直线2x+y=0的斜率为-2， 所以与直线2x+y=0垂直的直线的斜率为12， 所以所求直线的方程为y-0=12(x-2)，即x-2y-2=0. 9.解(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ， 则y 2+2=r 2，x 2+3=r 2， ∴y 2+2=x 2+3，即y 2-x 2=1， ∴圆心P 的轨迹方程为y 2-x 2=1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则00√2=√22，即|x 0-y 0|=1， ∴y 0-x 0=±1，即y 0=x 0±1.①当y 0=x 0+1时，由y 02−x 02=1，得(x 0+1)2-x 02=1，∴{x 0=0,y 0=1,∴r 2=3， ∴圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3.②当y 0=x 0-1时，由y 02−x 02=1，得(x 0-1)2-x 02=1，∴{x 0=0,y 0=−1,∴r 2=3， ∴圆P 的方程为x 2+(y+1)2=3.综上所述，圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3或x 2+(y+1)2=3.10.D 解析:过点P ，Q ，以线段PQ 为直径的圆最小，则圆心为C (3，4)，半径为√2. ∵圆心到原点的距离为5，∴点M 到原点O 距离的取值范围为[5-√2，5+√2].故选D . 11.C 解析:由题意可得方程x 2+y 2+2x=0表示圆心为点C (-1，0)，半径为1的圆，则yx -1为圆上的点到定点P (1，0)的斜率.设过P (1，0)的直线为y=k (x+1)，即kx-y+k=0， 则圆心到直线kx-y+k=0的距离d=r ，即√1+k 2=1，整理可得3k 2=1，解得k=±√33，所以yx -1∈[-√33,√33]，即yx -1的最大值为√33，最小值为-√33.故选C .12.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3，5)，(5，-1)两点) 解析:设C (x ，y ).由题意知，|AB|=√(3-4)2+(5−2)2=√10.因为△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，所以|CA|=|AB|=√10，即点C 的轨迹是以点A 为圆心，√10为半径的圆.又点A ，B ，C 构成三角形，所以三点不可共线，所以轨迹中需去掉点B (3，5)及点B 关于点A 对称的点(5，-1)，所以点C 的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3，5)，(5，-1)两点).13.5-2√7 解析:如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (1，√3).设P (x ，y )，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ，-y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ，√3-y )，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.因为(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方，由图得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1，所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7. 14.(1)证明由题意可知直线AP ，BP 的斜率均存在.因为线段AB 是圆O 的直径，所以AP ⊥BP ，所以k AP k BP =-1，即k AP k BP 是定值.(2)解设P (m ，n )，M (x ，y )，则Q (m ，0)， 所以PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-n )，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-m ，y-n ).因为2PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{2×0=−(x -m),-2n =−(y -n), 所以{m =x,n =13y.① 因为点P 在圆O 上，所以m 2+n 2=1. ②将①代入②，得x 2+y 29=1.又点P 异于A ，B 两点，所以m ≠±1，即点M 的轨迹方程为x 2+y 29=1(x ≠±1).(3)证明由题可知直线AM ，BM 的斜率均存在. 由M (x ，y )，得k AM =y x+1，k BM =yx -1. 由(2)可知x 2-1=-y 29， 所以k AM k BM =yx+1·y x -1=y 2x 2-1=-9，即k AM k BM 是定值.15.2√5 解析:如图所示，以线段AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.因为AC=6，所以A (-3，0)，C (3，0).设B (x ，y ).因为sin C=2sin A ，由正弦定理可得c=2a ，即|AB|=2|BC|， 所以(x+3)2+y 2=4(x-3)2+4y 2，化简得(x-5)2+y 2=16，且x ≠1或9， 所以圆的位置如图所示，圆心为(5，0)，半径r=4.观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方或正下方时，高最大，此时△ABC 的面积最大，B 点坐标为(5，4)或(5，-4)，所以BC=√(5-3)2+42=2√5.。

2022届高考（文科）数学一轮复习课时作业41圆的方程一、选择题1．[2022·安徽卷] 若直线3＋＋a＝0过圆2＋2＋2－4＝0的圆心，则a的值为A．－1 B．1 C．3 D．－3解析：圆的方程可化为＋12＋－22＝5，因为直线经过圆的圆心－1,2，所以3×－1＋2＋a ＝0，得a＝1答案：B2．若曲线C：2＋2＋2a－4a＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为A．－∞，－2 B．－∞，－1C．1，＋∞ D．2，＋∞解析：曲线C的方程可以化为＋a2＋－2a2＝4，则该方程表示圆心为－a,2a，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2答案：D3．2022年广东广州模拟动点A在圆2＋2＝1上移动时，它与定点B3,0连线的中点的轨迹方程是A．＋32＋2＝4 B．－32＋2＝1C．2－32＋42＝1 D．＋错误!2＋2＝错误!解析：设中点M，，则动点A2－3,2，∵A在圆2＋2＝1上，∴2－32＋22＝1，即2－32＋42＝1，故选C答案：C4．已知圆2＋2＋2－4＋1＝0关于直线2a－b＋2＝0a，b∈R对称，则ab的取值范围是A．－∞，错误!] B．0，错误!C．－错误!，0 D．[－错误!，＋∞解析：配方得＋12＋－22＝4，圆心－1,2在直线上．∴a＋b＝1，∴ab≤错误!2＝错误!∴选A答案：A5．圆心在曲线＝错误!>0上，且与直线3＋4＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为A．－12＋－32＝错误!2B．－32＋－12＝错误!2C．－22＋－错误!2＝9D．－错误!2＋－错误!2＝9解析：设圆心a，错误!a>0，则圆心到直线的距离d＝错误!，而d≥错误!2错误!＋3＝3，当且仅当3a＝错误!，即a＝2时，取“＝”，此时圆心为2，错误!，半径为3，圆的方程为－22＋－错误!2＝9答案：C6．若2a2a2a16a4a，n符合题意，则m－42＋n2＝42，,m2＋n2≠0，,m＋22＋n－22＝8解得m＝错误!， n＝错误!故圆C上存在异于原点的点Q错误!，错误!符合题意．。

课时分层训练(五十) 圆的方程A 组 基础达标一、选择题1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.]2．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线 A [由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．]3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任一点的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设点P 与圆上任一点连线的中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.]4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8 A [直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.]5．(2017·重庆四校模拟)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )【导学号：79140276】A ．6B ．4C ．3D ．2B [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]二、填空题6．(2018·郑州第二次质量预测)以点M (2,0)，N (0,4)为直径的圆的标准方程为________．(x －1)2＋(y －2)2＝5 [圆心是MN 的中点，即点(1,2)，半径r ＝12MN ＝5，则以MN 为直径的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.]7．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________． x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，则k CM ＝1－02－1＝1. ∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1×(x －1)，即x ＋y －1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2).【导学号：79140277】[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有。

第九章平面解析几何 9.3 圆的方程试题理北师大版圆的定义与方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：(－D2，－E2)半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 B解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.3．(2015·)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4．(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.5．(2016·某某)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是______，半径是______．答案(－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．题型一 求圆的方程例1 (1)(2016·某某)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·某某八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋12＋y －22，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－ 6.(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－3)2＝7－4 3.题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·某某模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．21．利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规X 解答解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，3＋222＋D3＋22＋F ＝0，3－222＋D3－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －12＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·某某检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0 答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2016·某某一模)方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2016·某某诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －3)2＝3C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3答案 A解析 依题意，得题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.6．(2016·某某模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3答案 C解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则C (1,1)，当|PC |最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC |min ＝|3－4＋11|32＋42＝2，此时|PA |＝|PB |＝ 3. 所以四边形PACB 的面积S ＝2×12×3×1＝3，故选C. 7．(2016·某某模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254. 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0 解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ≥0， x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1， 得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)． 10．(2016·某某模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 7＋1解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x－1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －12＋y ＋32. 问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为3－12＋0＋32＝7， ∴x －12＋y ＋32的最大值为7＋1.11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －12＋y 2＝13得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝2＋22＋7－32＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

课时作业(四十四)B [第44讲 圆的方程](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝02．过A (1，－1)，B (－1，1) ，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝43．已知A (－2，0)，B (0，2)，点M 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是( ) A.322－1 B.322 C.322＋1 D ．2 2 4．已知实数x ，y 满足(x －1)2＋y 2＝4，则x －2y 的最小值与最大值分别为________，________．能力提升5．方程x 2＋y 2－4kx －2y －k ＝0表示圆的充要条件是( )A.14<k <1 B ．k <14或k >1 C ．k ∈R D ．k ＝14或k ＝1 6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝07．已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A ．2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 8．实数x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，点N (2，0)，则MN 的中点P 的轨迹方程是________________________________________________________________________．10．点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________________．11．在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2，内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________________________________________________________________________．12．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB→的取值范围．难点突破13．(1)(6分)若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．(2)(6分)圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0 B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0课时作业(四十四)B【基础热身】1．A [解析] 因为过圆心和点P 的直线垂直于弦AB 所在的直线，圆心C (1，0)，设直线CP ，AB 的斜率分别为k CP ，k AB ，则k CP ·k AB ＝－1，即0－（－1）1－2·k AB ＝－1，所以k AB ＝1.故选A.2．C [解析] 由题意得线AB 的中点C 的坐标为(0，0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1， 则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得y ＝x ＝1. 从而圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2，因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，故答案为C.3．C [解析] 依题意得知，直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0；圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心坐标是(1，0)，半径是1，圆心到直线AB 的距离等于|1＋2|2＝322，因此结合图形可知，点M 到直线AB 的最大距离是322＋1，选C. 4．1－25 1＋25 [解析] 设z ＝x －2y ，因为x ，y 满足(x －1)2＋y 2＝4，所以圆心到该直线的距离不大于圆的半径2，即|1－z |12＋（－2）2≤2，解得1－25≤z ≤1＋25， ∴(x －2y )min ＝1－25，(x －2y )max ＝1＋2 5.【能力提升】5．C [解析] 此方程表示圆的充要条件是(－4k )2＋(－2)2＋4k >0，即4k 2＋k ＋1>0. (*) ∵Δ＝12－4×4×1<0，∴(*)式恒成立，∴k ∈R .6．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直线PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－12·(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B. 7．B [解析] 圆心(1，0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.故选B. 8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1，1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.9．(x －1)2＋y 2＝14[解析] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x 0＝2x －2，y 0＝2y ， ∵x 20＋y 20＝1，∴点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝14. 10．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cosθ)＝－1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 11．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3，1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.12．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2，0)，B (2，0)．设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得，（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得0≤y 2<1，所以P A →·PB →的取值范围为[－2，0)．【难点突破】 13．(1)(0，－1) (2)D [解析] (1)将圆的方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，因为r 2＝1－3k 24≤1，所以k ＝0时r 最大，此时圆心为(0，－1)． (2)抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－12，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心满足y ＝x ＋12(y >0)，与y 2＝2x (y >0)联立可得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，半径为1，则方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0，故选D.。

课时作业(四十六)圆的方程A级1．(2012·江西六校联考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．x2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y＋3)2＝12．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“F＝E＝0且D＜0”是“⊙C与y轴相切于原点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2012·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝164．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)5．(2012·银川模拟)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是() A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝06．经过三点A(1，－1)、B(1,4)、C(4，－2)的圆的方程为________．7．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．8．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．9．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述中：①关于直线x＋y＝0对称：②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为2a.其中叙述正确的是________．(要求写出所有正确命题的序号)10．在平面直角坐标系xOy中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．B 级1．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C 的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 2．已知OP →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ →满足OP →＋OQ →＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．答案课时作业(四十六)A 级1．A 可设圆心坐标为(0，b )，又因为圆的半径为1，且过点(1,2)，所以(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，因而圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．A 由题意可知，要求圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D2，0， 而D 可以大于0，故选A.3．B 设P (x ，y )，则由题意可得：2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.4．D 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2.5．B 设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，∵点(3,1)在圆上， ∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5， ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.6．解析： 根据题意，设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 由于圆过A 、B 、C 三点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧2＋D －E ＋F ＝017＋D ＋4E ＋F ＝020＋4D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7E ＝－3F ＝2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0. 答案： x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝07．解析： 根据|AB |＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.答案： (x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 8．解析： 因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为 d ＝|1－1＋4|12＋(－1)2＝22，所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝ 2. 答案：29．解析： 圆心为(－a ，a )，半径为2|a |，故①③正确． 答案： ①③10．解析： 方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. 因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(0－b )2＝5，(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5 或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.方法二：由A ，B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )，又AC ＝5得(3－1)2＋b 2＝ 5.解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5 或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.11．解析： (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2，∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.B 级1．C ∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上．∴设C (m,3m )． 又圆C 半径为1，且与4x －3y ＝0相切， ∴|4m －9m |5＝1，∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.故选C. 2．解析： 设Q (x ，y )，由OP →＋OQ →＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝－2cos αy ＋2＝－2sin α平方相加得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案： (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝43．解析： (1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.。

课后限时集训(四十四)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1A [设圆心为(0，a )， 则1－02＋2－a2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A ．]2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2019·广东六校模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 D [设所求圆的圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝33×a ＋22，b a －2＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.]4．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A ．]5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C ．]二、填空题6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝2＋12＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.]7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254[由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2，得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.]8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆C 坐标为(0，－1)．]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )． 由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2， 解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10，得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.B 组 能力提升1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________．(x －1)2＋(y －3)2＝2 [圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.]4．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．[解] (1)因为圆C 过原点O ，所以|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5， 此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， |OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞ 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 即为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。